Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Долгов, Виталий Игоревич

• Долгов, Виталий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Долгов, Виталий Игоревич

Введение.

Глава 1. Обзор основных результатов исследования сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.

1.1. Сети массового обслуживания с интенсивностями обслуживания, зависящими от состояния сети.

1.2. Сети массового обслуживания с оптимальным управлением интенсивностями обслуживания.

Глава 2. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с произвольной структурой.

2.1. Сети массового обслуживания с произвольной структурой.

2.2. Оптимальные интенсивности обслуживания.

2.3. Метод управления интенсивностями обслуживания.

2.4. Модель эволюции сети с управлением.'.

2.5. Исследование эффективности метода управления интенсивностями обслуживания в сети обслуживания с произвольной структурой.

Глава 3. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания с типовой структурой.

3.1. Оптимизация замкнутых сетей обслуживания.

3.2. Динамическое управление интенсивностями обслуживания.

3.2. Методы анализа сетей обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.'.

3.4. Исследование эффективности метода управления интенсивностями обслуживания в сети обслуживания с типовой структурой.

Глава 4. Имитационное моделирование сетей массового обслуживания с управлением.

4.1. Принципы построения имитационной модели.

4.2. Структура и основные алгоритмические действия имитационной модели.

4.3. Моделирование случайных величин.

4.4. Анализ результатов моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания»

Эффективное использование сетей массового обслуживания в качестве математических моделей дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования, примерами которых являются информационно-вычислительные сети, сети передачи данных, транспортные и гибкие производственные системы, обусловило продолжающееся более полувека интенсивное развитие теории сетей массового обслуживания, методов анализа, синтеза и оптимизации сетей массового обслуживания различных классов [3, 4, 6, 7, 8, 18, 20, 24-26, 32, 46, 52, 61, 62, 65, 66, 72, 81]. Как модели дискретных систем сети массового обслуживания используются для вычисления временных характеристик, коэффициентов использования устройств, надежности, производительности и других функциональных характеристик дискретных систем при достаточно общих предположениях об их структуре и процессах функционирования. Широкому практическому применению сетей массового обслуживания способствует простота и естественность, с которыми они отображают структуру моделируемых систем и процессы обработки в системах объектов различных типов. Большой вклад в развитие теории, методов анализа, оптимизации и синтеза сетей массового обслуживания внесли Г. П. Башарин, А. А. Боровков, П. П. Бочаров, В. М. Вишневский, В.А. Жожикашвили, В. А. Ивницкий, Ю. И. Митрофанов, В. В. Рыков. Среди зарубежных специалистов необходимо отметить значительный вклад в развитие этого научного направления таких ученых, как Дж. Джексон, Л. Клейнрок, Ф. Келли, К. Чэнди, Д. Тауслей, М. Райзер, Дж. Уолрэнд.

Отображение в модельных сетях массового обслуживания средств и методов управления дискретными системами приводит к построению сетей обслуживания с управлением, являющихся фактически подклассом сетей массового обслуживания. Сети обслуживания с управлением обеспечивают не только принципиальную возможность решения целого класса задач анализа и синтеза дискретных систем, но и возможность решения ряда задач, связанных с повышением эффективности управления дискретными системами.

Разработка и исследование методов управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и методов анализа сетей обслу4

I живания с управлением интенсивностями обслуживания являются актуальными направлениями развития теории сетей массового обслуживания. Прак-' тическое значение этих направлений определяется широким использованием сетей массового обслуживания в качестве математических моделей дискретс ных систем с управлением, сетевой структурой и стохастическим характером функционирования. Интенсивности обслуживания требований системами обслуживания, входящими в состав сетей массового обслуживания, являются параметрами, в существенной степени определяющими качество функционирования сетей. Поэтому проблемам, связанным с исследованием влияния инI тенсивностей обслуживания на функционирование сетей обслуживания, определением оптимальных интенсивностей обслуживания, управлением интенсивностями обслуживания уделяется значительное внимание в современной теории сетей массового обслуживания.

В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных при участии автора в Саратовском государственном университете по темам, включенным в план НИР СГУ: «Динамическое управление сетями массового обслуживания» (шифр «Темп», гос. per. № 01200201953), «Анализ сетей массового обслуживания с динамическим управлением» (шифр «Тракт», гос. per. № 01200602692), «Разработка и применение фундаментальных методов исследования задач математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, теории упругости и газодинамики» (шифр «Интеграл», гос. per. № 01200002986).

Целью диссертационной работы является развитие теории сетей массового обслуживания с управлением и методов их анализа, разработка эффективных методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания.

Основными задачами, решаемыми в диссертации, являются следующие.

1. Разработка и исследование методов динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

2. Разработка и исследование методов анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с произвольной и типовой структурами и динамическим управлением интенсивностями обслуживания для стационарного режима эволюции сетей.

3. Исследование зависимости стационарных характеристик сетей массового обслуживания от интенсивностей обслуживания.

В диссертационной работе использовались результаты теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания, теории сетей массового обслуживания.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Разработаны методы динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с одним классом требований и произвольной и типовой структурами.

2. Разработаны методы анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с одним классом требований, с произвольной и типовой структурами и динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

3. Проведено исследование эффективности методов динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

Постановка задач, методы решения и полученные результаты являются новыми.

Практическая значимость представленных в диссертационной работе результатов заключается в возможности применения рассмотренных методов динамического управления интенсивностями» обслуживания в сетях массового обслуживания и методов анализа сетей массового обслуживания с управлением в математических моделях дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования. Использование моделей этого вида позволит расширить круг задач анализа систем этого класса и повысить эффективность их решения.

Научные положения и методы, разработанные в диссертации, используются в учебном процессе Саратовского государственного университета.

Результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры системного анализа и автоматического управления Саратовского государственного университета, Международных научных конференциях «Компьютерные науки и информационные технологии» (1—4 июля 2007 года, 1-4 июля 2009 года, г. Саратов), Десятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (19-24 мая 2009 года, г. Санкт

Петербург), Ежегодных межвузовских научных конференциях «Компьютер6 ные науки и информационные технологии» (27 апреля 2005 года, 19 мая 2006 года, г. Саратов), представлены и обсуждались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (1—7 октября 2005 года, г. Сочи-Дагомыс).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-16, 33-35]. Результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

В работе [15] В. И. Долгову принадлежит метод анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат концепция метода динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и модель эволюции сетей с управлением. Е. С. Рогачко принадлежат результаты исследования методами численного и имитационного моделирования точности метода анализа сетей обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания.

В работе [16] В. И. Долгову принадлежат методы анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат постановка задачи управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и модели эволюции сетей с управлением интенсивностями обслуживания. Е. С. Рогачко принадлежат результаты исследования точности методов анализа сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

В работе [33] В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, метод анализа сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания и результаты исследования методами численного и имитационного моделирования сетей с управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат концепция метода динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и модель эволюции сетей с управлением интенсивностями обслуживания.

В работе [34] В. И. Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания, метод формирования вектора минимальных интенсивностей обслуживания; структура и основные алгоритмы функционирования имитационной модели, разработанной для исследования эффективности метода управления. Ю. И. Митрофанову принадлежат приближенный метод синтеза сетей массового обслуживания с заданными стационарными характеристиками, постановка задачи управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания.

В работе [35] В. И; Долгову принадлежат метод динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания и метод анализа сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания. Ю. И. Митрофанову принадлежат основные положения метода динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания. Е. П. Станкевич принадлежит разработка программной системы имитационного моделирования сетей массового обслуживания с динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации 109 страниц. Диссертация содержит 11 таблиц. Список литературы включает 82 наименования

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Долгов, Виталий Игоревич

Заключение

Целью работы являлась разработка методов динамического управления интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания, а также разработка методов анализа сетей данных классов. Основными результатами диссертационной работы являются следующие.

1. Разработаны методы динамического управления интенсивностями* обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с одним классом требований и произвольной и типовой структурами.

2. Разработаны методы анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с одним классом требований, с произвольной и типовой структурами и динамическим управлением интенсивностями обслуживания.

3. Проведено исследование эффективности методов динамического управления интенсивностями-обслуживания в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания с произвольной и типовой структурами.

Полученные результаты являются новыми и могут быть использованы, при решении задач анализа и оптимизации дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования.

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Ю. И. Митрофанову за участие в постановке задач и руководство ходом исследований, а также искренне благодарю коллектив кафедры системного анализа и автоматического управления Саратовского государственного университета за помощь, оказанную при подготовке диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Долгов, Виталий Игоревич, 2010 год

1. Альянах, И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Алья-нах. JL: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1988. - 223 с.

2. Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / А.Т. Баруча-Рид. М.: Наука, ГРФМЛ; 1969. - 512 с.

3. Башарин, Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган. М.: Наука. ГРФМЛ, 1989.-336 с.

4. Башарин, Г.П. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем / Г.П: Башарин, А.Л. Толмачев // Итоги науки и техн. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибер-нет. 1983. - Т. 21. - С. 3-119.

5. Богуславский, Л.Б. Методы оценки производительности многопроцессорных систем / Л.Б. Богуславский, А.И. Ляхов. М.: Наука, 1992. - 213 с.

6. Боровков, A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / A.A. Боровков. М.: Наука, 1980. - 384 с.

7. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем / Н.П. Бусленко. — М.: Наука, ГРФМЛ, 1978. 400 с.

8. Вишневский, В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В.М. Вишневский. М.: Техносфера, 2003. - 512 с.

9. Голенко, Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах / Д.И. Голенко. — М.: Наука, 1965. 228 с.

10. Гурьянов, А.И. Определение параметров замкнутых линейных сетей систем массового обслуживания / А.И. Гурьянов, Ю.И. Митрофанов // Системное моделирование. Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР. 1970. - Вып. 1. - С. 39-49.

11. Долгов, В.И. Исследование зависимости характеристик сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания от топологии сетей / В.И. Долгов; Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2005. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.05.05, № 744-В2005.

12. Ермаков, С.М. Курс статистического моделирования / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. М.: Наука, ГРФМЛ, 1976. - 320 с.

13. Жожикашвили, В.А. Сети массового обслуживания. Теория и применение в сетях ЭВМ / В.А. Жожикашвили, В.М. Вишневский. М.: Радио и связь, 1988. - 192 с.

14. Кемени, Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения / Дж. Кемени, Дж. Снелл. М.: Советское радио, 1972. - 192 с.

15. Кениг, Д. Методы теории массового обслуживания / Д. Кениг, Д. Штоян. -М.: Радио и связь, 1981. 128 с.

16. Киндлер, Е. Языки моделирования / Е. Киндлер. — М.: Энерго-атомиздат, 1985.-288 с.

17. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании / Дж. Клейнен. М.: Статистика, 1978. - Вып. 1. - 221 с.

18. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании / Дж. Клейнен. М.: Статистика, 1978. - Вып. 2. - 335 с.

19. Клейнрок, JI. Вычислительные системы с очередями / JI. Клейн-рок. М.: Мир, 1979. - 600 с.

20. Клейнрок, JI. Теория массового обслуживания / JI. Клейнрок. М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

21. Кофман, А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. М.: Мир, 1965. - 303 с.

22. Jloy, A.M. Имитационное моделирование / A.M. Лоу, В.Д. Кель-тон. СПб.: Питер; Киев: BHV, 2004. - 887 с.

23. Ляхов, А.И. Асимптотический анализ замкнутых сетей очередей, включающих устройства с переменной интенсивностью обслуживания /

24. A.И. Ляхов // Автоматика и телемеханика. 1997. - № 3. - С. 131-143.

25. Митрофанов, Ю.И. Анализ сетей массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов. Саратов: Научная книга, 2005. - 175 с.

26. Митрофанов, Ю.И. Анализ сетей массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания / Ю.И. Митрофанов // Автоматика и вычислительная техника. 2005. - № 6. - С. 22-31.

27. Митрофанов, Ю.И. Методология имитационного моделирования Вычислительного центра коллективного пользования СО АН СССР / Ю.И. Митрофанов // Автоматика и вычислительная техника. 1981. - № 1. -С. 3-14.

28. Митрофанов, Ю.И. Синтез сетей массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995. - 163 с.

29. Митрофанов, Ю.И. Динамическое управление интенсивностями обслуживания в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов,

30. B.И. Долгов // Автоматика и вычислительная техника. 2008. — № 6. —1. C. 44-56.

31. Долгов, В.И. Сети массового обслуживания с управлением интенсивностями обслуживания: синтез, метод управления, исследование / Ю.И. Митрофанов, В.И. Долгов; Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2005. — 26 с. -Деп. в ВИНИТИ 13.05.05, № 688-В2005.

32. Митрофанов, Ю.И. КИМДС — комплекс процедур имитационного моделирования обобщенных дискретных систем / Ю.И. Митрофанов, А.Н. Иванов // Программирование. 1978. - № 5. - С. 74-83.

33. Митрофанов, Ю.И. Управление распределением нагрузки в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов, Е.С. Рогачко // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 9. - С. 94-102.

34. Митрофанов, Ю.И. Модели и анализ сетей массового обслуживания с управлением маршрутизацией / Ю.И. Митрофанов, Н.В. Юдаева // Автоматика и телемеханика. 2000. - № 6. - С. 104-113.

35. Митрофанов, Ю.И. Управление маршрутизацией в сетях массового обслуживания / Ю.И. Митрофанов, Н.В. Юдаева // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 11. - С. 46-57.

36. Михайлов, Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло / Г.А. Михайлов. Новосибирск: Наука, 1974. - 142 с.

37. Нейлор, Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем / Т. Нейлор. М.: Мир, 1978. - 504 с.

38. Полляк, Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах / Ю.Г. Полляк. М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

39. Соболь, И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь. -М.: Наука, 1973.-312 с.

40. Советов, Б.Я. Моделирование систем: Учеб. для вузов / Б .Я. Советов, С.А. Яковлев. М.: Высш. шк., 2001. - 343 с.

41. Столяр, A.A. Об оптимальном управлении нагрузкой сети массового обслуживания / A.A. Столяр // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №5.-С. 184-187.

42. Уолрэнд, Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания / Дж. Уолрэнд. -М.: Мир, 1993.-336 с.

43. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / Шеннон Р. М.: Мир, 1978. - 418 с.106

44. Alidrisi, M. Linear programming model for the optimal control of a queueing network / M. Alidrisi // Int. J. Syst. Sei. 1987. - V. 18. -P. 1079-1089.

45. Alidrisi, M. Optimal control of the service rate of an exponential queueing network using Markov decision theory/ M. Alidrisi // Int. J. Syst. Sei. -1990. -V. 21, № 2. P. 2553-2563.

46. Azaron, A. Optimal control of the service rates and arrivals in Jackson networks / A. Azaron, S.M. Ghomi // European Journal of Operational Research. -2003.-V. 147,№ l.-P. 17-31.

47. Azaron, A. Modelling complex assemblies as a queueing network for lead time control / A. Azaron, H. Katagiri, K. Kato, M. Sakawa // European Journal of Operational Research. 2006. - V. 174, № 1. - P. 150-168.

48. Baskett, F. Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers / F. Baskett, K.M. Chandy, R.R. Müntz, F.G. Palacios // J. ACM. 1975. - V. 22, № 2. - P. 248-260.

49. Bonald, T. Insensitivity in processor-sharing networks / T. Bonald, A. Proutiere // Performance Evaluation. 2002. - V. 49, № 1-4. - P. 193-209.

50. Boucherie, R.J. A generalization of Norton's theorem for queueing networks / R.J. Boucherie, N.M. Van Dijk // Queueing Systems. 1993. - V. 13. -P. 251-289.

51. Bovopoulos, A.D. Optimal load balancing for markovian queueing networks / A.D. Bovopoulos, A.A. Lazar // 30th Midwest Symp. Circ. and Syst., Syracuse, N.Y., Aug. 17-18, 1987.-New York, 1988.-P. 1428-1432.

52. Bruell, S.C. Mean value analysis of mixed, multiple class BCMP networks with load dependent service stations / S.C. Bruell, G. Balbo, P.V. Afshari // Performance Evaluation. 1984. - V. 4. - P. 241-260.

53. Buzen, J.P. Computational algorithms for closed queueing networks with exponential servers / J.P. Buzen // Comm. ACM. 1973. - V. 16, № 9. -P. 527-531.

54. Chao, X. On generalized networks of queues with positive and negative arrivals / X. Chao, M. Pinedo // Probab. Engin. Inform. Sei. 1993. - V. 7, № 3. -P. 301-334.

55. Daduna, H. Individual customer's behaviour in networks with state-dependent arrival rates / H. Daduna, S. Meyer // Queueing Systems. 1999. -V. 32, №4.-P. 351-362.

56. Gelenbe, E. Product form queueing networks with positive and negative customers / E. Gelenbe // J. Appl. Probab. 1991. - V. 28. - P. 656-663.

57. Jackson, J.R. Jobshop-like queueing systems / J.R. Jackson // Manag. Sei. 1963. - V. 10, № 1. - P. 131-142.

58. Jackson, J.R. Networks of waiting lines / J.R. Jackson // Oper. Res. -1957. V. 5, № 4. - P. 518-521.

59. Jo, K.Y. A Lagrangian algorithm for computing the optimal service rates in Jackson queueing networks / K.Y. Jo // Computers Opns Res. — 1989. -V. 16, №5.-P. 431-440.

60. Jo, K.Y. Decomposition approximation of queueing-network control models with tree structures / K.Y. Jo // Ann. Oper. Res. 1987. — V. 8. — P. 117-132.

61. Korilis, Y.A. On the existence of equilibria in noncooperative optimal flow control / Y.A. Korilis, A.A. Lazar // J. ACM. 1995. - V. 42. - P. 584-613.

62. Korilis, Y.A. Achieving network optima using Stackelberg routing-strategies / Y.A. Korilis, A.A. Lazar, A. Orda // IEEE Transactions on Networking. 1997. - V. 5, № 1. - P. 161-173.

63. Lüh, H. Optimal selection of arrival and service rates in tandem queues / H. Lüh, M.S. Moustafa // IJOR. 2006. - № 1. - P. 1-6.

64. Ma, D.-J. A direct approach to decentralized control of service rates in a closed Jackson network / D.-J. Ma, X.-R. Cao // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. - V. 39, № 7. - P. 1460-1463.

65. Mandelbaum, A. Strong approximations for Markovian service networks / A. Mandelbaum, W.A. Massey, M.I. Reiman // Queueing Systems. -1998. — V. 30.-P. 149-201.

66. Mandelbaum, A. State-dependent stochastic networks, Part I: Approximations and applications with continuous diffusion limits / A. Mandelbaum, G. Pats // Ann. Appl. Probab. 1998. - Vol. 8(2). - P. 569-646.

67. Mitra, D. Asymptotic expansions for closed Markovian networks with state-dependent service rates / D. Mitra, J. McKenna // J. ACM. 1986. - V. 33, № 3. - P. 568-592.

68. Reiser, M. Mean-value analysis of closed multichain queueing networks / M. Reiser, S.S. Lavenberg // J. ACM. 1980. - V. 27, № 2. - P. 313-322.

69. Ridder, A.D. A linear programming problem in separable closed queueing networks / A.D. Ridder // IEEE Transaction on Automatic Control. -1989. V. 34, № 2. -P. 214-217.

70. Serfozo, R.F. Introduction to stochastic networks / R.F. Serfozo. New York: Springer-Verlag, 1999.-300 pp.

71. Shanthikumar, J.G. The effect of increasing service rates in a closed queueing networks / J.G. Shanthikumar, D.D. Yao // J. Appl. Prob. 1986. -V. 23.-P. 474-483.

72. Shanthikumar, J.G. Throughput bounds for closed queueing networks with queue-dependent service rates / J.G. Shanthikumar, D.D. Yao // Performance Evaluation. 1988. - V. 9. - P. 69-78.

73. Sobel, M.J. The optimality of full service policies / Sobel M.J. // Operations Research. 1982. - V. 30, № 4. - P. 636-649.

74. Tassiulas, L. Throughput properties of a queueing network with distributed dynamic routing and flow control / L. Tassiulas, A. Ephremides // Adv. Appl. Prob. 1996. - V. 28, № 1. - P. 285-307.

75. Veatch, M.H. Monotone control of queueing networks / M.H. Veatch, L.M. Wein // Queueing Syst. 1992. - V. 12. - P. 391-408.

76. Weber, R.R. Optimal control of service rates in networks of queues / R.R. Weber, S. Stidham // Adv. Appl. Prob. 1987. - V. 19. - P. 202-218.

77. Whitt, W. Open and closed models for networks of queues / W. Whitt // AT&T Bell Lab. Techn. J. 1984. - V. 63, № 9. - P. 1911-1979.

78. Yao, D.D. Decentralized control of service rates in a closed Jackson network / D.D. Yao, Z. Schechner // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1989.-V. 34.-P. 236-240.