Элементы кинетики рождения частиц в расширяющихся пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Казарновский Кирилл Александрович

• Казарновский Кирилл Александрович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Казарновский Кирилл Александрович

1.1.2 Квантование Шрёдингера

1.1.3 Функции Вайтмана в различных подходах квантования

1.1.4 Амплитуды перехода и интегралы по траекториям

1.2 Ш-ОИТ против т-о^ пропагаторов

1.3 Ситуация в квантовой теории поля

1.3.1 1п- и ои^состояния в разных подходах

1.3.2 Функция Вайтмана в квантовой теории поля

2 Вычисление мнимой части эфективного действия и оценка скорости рождения частиц

2.1 Амплитуда Ш-ОИТ из коэффициентов Боголюбова

2.2 Рождение частиц за конечный период времени, когда фоновые поля все еще действуют

2.3 Подход функционального интеграла

2.4 Регион Пуанкаре пространства де Ситтера

2.5 Глобальное пространство де Ситтера

2.6 О функциональном интеграле во внешних полях

2.7 Функциональный интеграл в расширяющемся регионе Пуанкаре

2.8 Промежуточный итог

3 Взаимодействующие теории и Диграммная техника Келдыша Швингера

3.1 Диграммная техника Фейнмана

3.2 Наблюдаемые

3.3 Диаграммная техника Келдыша-Швингера

4 Секулярные поправки и кинетическое уравнение в плоском пространстве

5 Секулярные поправки в расширяющемся пространстве-времени

5.1 Фоновая метрика и постановка задачи

5.2 Моды

5.3 Квантование

5.4 Квантовые петлевые поправки в теории 3!ф3

5.4.1 Диаграммы типа головастик

5.4.2 Диаграммы второго типа

5.4.3 Диаграммы второго типа с высокими внешними импульсами

5.4.4 Диаграммы второго типа с низкими внешними импульсами

5.5 Квантовое среднее тензора энергии-импульса

6 Заключение

А Кинетическое уравнение через уравнение Гейзенберга

В Полная поправка из диаграмм типа заходящего солнца

Введение

Квантовая теория поля - один из ярчайших триумфов человеческого гения. Стандартная модель, на данный момент, является самой верифицированной теорией описывающей явления нашего мира на микроскопических масштабах. Однако, уже давно ученые исследуют вопросы и явления выходящие за пределы Стандартной модели, одним из таких направлений является исследование квантовой теории поля на фоне гравитационных внешних полей. Предпосылки к этому очевидны, в то время как стандартная модель апеллирует к квантовым полям "живущим" в плоском пространстве Минковского, научное сообщество уже приняло, что мы живем в более сложной Вселенной.

Феномен рождения частиц внешними полями из вакуума вызывает большой интерес и широко обсуждается в литературе, см. например [1-8]. Процесс преобразования внешнего поля и состояния теории в обычную материю важен для множества фундаментальных квантовых эффектов, таких как излучение Хокинга [9,10], эффект Унру [11], эффект Швингера [12], космологическое рождение частиц [10] и др.

В космологии процесс рождения частиц может играть важную роль в механизме повторного нагрева после инфляции [13,14], который, как полагают, отвечает за создание почти всех частиц во Вселенной (см. также [15]). Кроме того, большое количество энтропии во Вселенной может быть объяснено космологическим рождением пар из начального состояния [16].

В общем случае рождение частиц происходит на зависящих от времени фонах даже для полей без самодействия. В таком случае свободный гамильтониан явно зависит от времени и не является диагональным. В подобной ситуации начальное вакуумное состояние больше не остается вакуумным в будущем, а соответствует возбужденному состоянию, что на самом деле и интерпретируется как процесс рождения частиц. Стоит отметить, что такой взгляд подвергался сомнению еще в период всеобщего внимания к данному вопросу [17].

К сожалению, не все приняли новую парадигму, подразумевающую отказ от диаграммной техники Фейнмана, в силу нарушения теоремы Геллмана и Лоу. Мало того, что многие работы апеллируют к ней, большая часть из них даже ограничивается гауссовым приближением. В конечном итоге, единственный физически осмысленный метод заключается в использовании диаграммной техники Келдыша-Швингера. К тому же приходиться принять тот факт, что вычисление сечений, как в стандартной модели, неприменимо в контексте КТП

на фоне внешних полей. Апеллировать необходимо к наблюдаемым, вроде квантовых средних операторов тока или тензора энергии-импульса. Данный подход существенно усложняет вычисления, приводит в лучшем случае к интегралам от спецфункций. Здесь возникает допольнительная сложность, данные интегралы намного сложнее регуляризуются, например размерная регуляризация в каждой отдельной задаче требует допольнительного уточнения. На данный момент, во многих приложениях единственный вариант это лишь оценка выражений, что катастрофически снижает красоту вычислений по сравнению с классическими вычислениями в стандартной модели или квантовой электродинамике.

Общее мнение со времен оригинальных работ [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24] состоит в том, что на шкале GUT инфляции все другие поля, кроме классического гравитационного фона, хотя и являются квантовыми, следует рассматривать на уровне древесного приближения. Предполагается, что квантовые петлевые эффекты влияют только на перенормировку констант связи, масс и других параметров теории. В любом случае обычно предполагается, что петлевые поправки не изменяют кардинально значения древесного квантового среднего тензора энергии-импульса материи (вычисленное с использованием корреляционных функций на древесном уровне).

Тем не менее, есть достаточно свидетельств о том, что квантовые петлевые поправки в нестационарных ситуациях могут играть ключевую роль (см. [25] для краткого обзора и [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [15], [35], [зб] для неполного списка связанных работ). Инфляционное расширение, безусловно, обычно представлено пространством де Ситтера. Такое пространство-время является очень специальным симметричным фоном, несколько похожим на везде постоянное вечное электрическое поле, в том смысле, который мы объясним сейчас. Такие глобально симметричные ситуации могут ввести в ступор. Ситуация в таких фонах сильно зависит от начальных и граничных условий. Тем временем очевидно, что для нашей Вселенной, даже если она изначально была представлена пространством де Ситтера с высокой кривизной, это представление было лишь приблизительным. На самом деле, изометрия де Ситтера была нарушена с самого начала как самим фоном, так и начальным состоянием полей материи.

Изучение динамики квантовой теории поля на фоне сильных полей требует рассмотрения корреляционных функций для квантовых состояний с ненулевыми аномальными квантовыми средними. На самом деле, даже при нулевых начальных значениях аномальные средние значения генерируются динамически в петлевых поправках на фоне сильных полей. Это происходит, например, в расширяющейся вселенной [29], [37], [38], [31], [33], в процессе коллапса [32], в присутствии сильных электрических полей [39], [40] и в присутствии фоновых скалярных полей [41]. См. [25] для общего обсуждения. Более того, аномальные средние значения играют ключевую роль в модели Бардина-Купера-Шрифера [42], [43].

Одним из самых интригующих вопросов в современной космологии является набор свойств очень ранней Вселенной. Среди этих свойств мы имеем в виду геометрию начальной поверхности Коши, базис мод полей, начальное состояние Фокковского пространства квантовых полей и т.д. Чтобы сегодня ответить на этот вопрос, когда нет никаких возможных экспериментальных проверок очень раннего расширения, необходимо рассмотреть как можно больше и более общие начальные условия и увидеть их последствия во время и после начального быстрого расширения Вселенной.

Решение различных задач данной постановки, физически обоснованным способом, с учетом нестационарности и петлевых вкладов - настоящее испытание для квантовой теории поля. Либо получится расширить аппарат квантовой теория поля, чтобы решить возникающие проблемы, либо позволит разработать кардинально новый аппарат, отличающейся от КТП, но содержащий Стандартную модель как некое приближение. В любом случае, рано или поздно произойдет смена парадигмы. Данная работа один из многочисленных шагов приближающих нас к этому давно ожидаемому событию.

Цели и задачи диссертационного исследования

Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств квантовой теории поля в условиях сильных внешних полей и нестационарной динамике квантовых полей. В работе рассматриваются следующие задачи:

• Анализ процедуры квантования полей на фоне внешних полей и построения функциональных интегралов в ин-аут формализме.

• Термализация состояний с ненулевыми аномальными средними в пространстве-времени Минковского.

• Вычисление и анализ секулярных вкладов из петлевых поправок к тензору энергии-импульса в вечно расширяющихся пространствах.

Основные положения, выносимые на защиту диссертации

• В контексте вычисления мнимой части эффективного действия в расширяющихся пространствах на примере пространства де Ситтера, показано, что предэкпоненциальное отличие ответа полученного с помощью пропа-гатора в совпадающих точках от ответа полученного с помощью непосредственного вычисления перекрытия IN и OUT состояний (два ответа совпадают с экспоненциальной точностью по отношению массы поля к постоянной Хаббла) заключается в пренебрежении вкладами вакуумных функционалов.

• Получено обобщение кинетического уравнения в пространстве Минков-ского в теории Аф4 на состояния с ненулевыми аномальными квантовыми

средними. Получены решения данного уравнения, демонстрирующие релаксацию состояния к термальному, а именно заселенность уровней стремится к планковской, а аномальные квантовые средние стремятся к нулю.

• В модели изотропно расширяющейся Вселенной с плоским стартом вычислены первые петлевые поправки к тензору энергии-импульса в теории Аф3. Выделены наиболее растущие со временем эволюции системы вклады из петлевых поправок. Показано, что наибольший рост наблюдается для инфракрасных мод и имеет вид экспоненциального роста. Продемонстрировано, что петлевые поправки в данной ситуации сильно модифицируют значения тензора энергии-импульса, что сигнализирует как о невозможности пренебречь петлевыми поправками, так и о необходимости пересуммирования всех порядков теории возмущений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Элементы кинетики рождения частиц в расширяющихся пространствах»

Актуальность

Предложенный в работе метод построения кинетических уравнений обобщает подход основанный на предположении о рассмотрении состояний без аномальных средних. Множество работ демонстрируют, что аномальные средние генерируются как на древесном уровне, так и в петлях, в квантовых теориях поля на нестационарных фонах. В силу этого учет аномальных средних представляет особый интерес, с точки зрения изучения динамики квантовых полей.

Рассмотренный в работе подход к построению функционального интеграла в квантовой теории поля на нестационарном фоне демонстрирует огромное влияние вакуумных функционалов на вычисляемые с помощью функциональных интегралов величины. Данный аспект вызывает интерес с точки зрения того, что и как ассоциировать с функциональным интегралом.

Вычисленные в работе квантовые поправки демонстрируют, что они не ограничиваются ультрафиолетовыми перенормировками констант связи, что вызывает особый интерес в контексте проверки квантовой теории поля, как аппарата для описания нашего мира на искривленном фоне, в том числе и в ранней Вселенной.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются оригинальными и впервые получены в ходе научной работы автора диссертации.

В частности показана причина в расхождении ответов для оценки плотности вероятности рождения частиц в вечно расширяющихся пространствах, полученных двумя способами — с помощью вычисления перекрытия IN и OUT состояний и с помощью функционального интеграла.

Показано, что термализация состояния квантового поля имеет место для более широкого класса состояний, а именно для состояний с ненулевыми аномальными квантовыми средними.

Показано, что петлевые поправки существенно поправляют древесные значения для тензора энергии-импульса в расширяющихся пространствах для безмассовых полей. Что демонстрирует невозможность ограничиться древесными вычислениями в ситуациях за пределами адиабатического приближения, например в ранней Вселенной.

Практическая и научная ценность

Исследования, представленные в диссертационной работе, имеют в основном теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, космологии ранней Вселенной, физике черных дыр, а также в теории рождения частиц в гравитационном поле. Результаты диссертации и разработанные в ней подходы позволят более детально понять устройство квантовых полей на фоне сильных внешних полей, что приближает нас к построению квантовой гравитации. Полученные в диссертации результаты также могут быть использованы в будущих экспериментах для объяснения данных о ранней Вселенной и физике черных дыр.

Степень достоверности и апробация работы

Результаты исследований вошедших в диссертацию многократно представлялись соискателем на отечественных и международных конференциях и семинарах. В частности на семинарах по теории твердого тела отделения теоретической физики ФИАН им. П.Н. Лебедева (г. Москва), кафедры теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный), лаборатории физики высоких энергий МФТИ (г. Долгопрудный), лаборатории математической и теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный), а также на следующих международных конференциях: "International School on Theoretical Physics" (Тсакхадзор, Армения, 2022), "Петровские чтения" (Казань, 2022), VII International Conference "Models in Quantum Field Theory" (Санкт-Петербург, 2022), "Supersymmetries and Quantum Symmetries - SQS'24" (Дубна, 2024) и "18th Russian gravitational conference - international conference on gravitation, astrophysics and cosmology" (Казань, 2024). — и отечественных конференциях: "Молодежная конференция по теоретической и экспериментальной физике" (Москва, ИТЭФ, 2019, 2021), 63- и 65-я "Всероссийская научная конференция МФТИ" (Долгопрудный, МФТИ, 2021,2023), "Летний струнный семинар 2021" (Долгопрудный, МФТИ, 2021), "Физика элементарных частиц и космология" (Москва, ФИАН, 2022), "Зимний семинар ЛФВЭ 2022" (Долгопрудный, МФТИ, 2022). Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в международных реферируемых журналах, индексируемых базами данных Web of Science и Scopus.

Личный вклад автора

Результаты, представленные в диссертации, были получены диссертантом лично, либо при его непосредственном участии. Во всех опубликованных работах диссертант совместно с соавторами участвовал в постановке исследовательских задач, выборе методов их решения, интерпретации результатов и формулировке выводов.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, представлены выносимые на защиту научные положения.

В главе 1 представлен анализ квантования на нестационарном фоне, построение корелляторов и вычисление амплитуд.

В разделе 1.1 представлен анализ для изолированной моды поля.

В разделе 1.1.1 обсуждается Гейзенберговский подход к квантованию.

В разделе 1.1.2 обсуждается Шредингеровский подход к квантованию.

В разделе 1.1.3 обсуждается вопрос построения корреляторов и наблюдаемых.

В разделе 1.1.4 описывается метод вычисления амплитуд и построения интеграла по путям.

В разделе 1.2 обсуждается специфика построения in-out пропагатаров.

В разделе 1.3 обсуждается переход к квантовой теории поля.

В разделе 1.3.1 обсуждается специфика определения IN и OUT состояний на фоне вечных внешних полей.

В разделе 1.3.2 обсуждается для каких состояний функции Вайтмана эквивалентны в разных подходах к квантованию, или для каких состояний фаза не влияет на корелляторы.

В главе 2 обсуждаются аспекты IN-OUT техники, а конкретно вычисления мнимой части эффективного действия на фоне расширяющихся пространств.

В разделе 2.1 представлены два метода вычисления мнимой части эффективного действия: через боголюбовские коэффициенты и через функциональный интеграл.

В разделе 2.2 анализируется оценка плотности вероятности рождения частиц за конечное время, в том числе — влияние выбора канонической переменной на итоговый ответ.

В разделе 2.3 представлен наивный подход связывающий амплитуду in-out с функциональным интегралом и следующий из этого подхода метод вычисления мнимой части эффективного действия.

В разделе 2.4 представлены два метода вычисления мнимой части эффективного действия в расширяющемся регионе Пуанкаре.

В разделе 2.5 представлены два метода вычисления мнимой части эффективного действия в глобальном регионе пространства-времени де Ситтера..

В разделе 2.6 показано, что два метода вычисления мнимой части эффективного действия эквивалентны в ситуации, когда внешнее поле ассимпто-тически выключается в бесконечном прошлом и будущем.

В разделе 2.7 на примере расширяющего региона Пуанкаре пространства де Ситтера показано, что наивный подход к функциональному интегралу приводит к отличающемуся ответу. Описана причина расхождения в ответах.

В разделе 2.8 подводится промежуточный итог рассмотрения гауссовых теорий поля.

В главе 3 приведен краткий обзор квантовой теории скалярного поля с самодействием на нестационарном фоне.

В разделе 3.1.1 представлены условия при которых возможно использование диаграммной техники Фейнмана.

В разделе 3.1.2 кратко обсуждается необходимость перехода от вычислений сечений и амплитуд к вычислению непосредственно наблюдаемых, например тока или тензора энергии-импульса.

В разделе 3.1.3 приведен краткий обзор диаграммной техники Келдыша-Швингера.

В главе 4 представлена процедура выделения секулярных поправок, на примере построения уравнения Больцмана для состояний общего положения, то есть с ненулевыми аномальными средними.

В главе 5 рассматривается безмассовая квантовая теория поля с нулевыми аномальными средними в модели вечно расширяющегося пространства с плоским стартом. Исследуется динамика состояния квантовой теории поля на поздних этапах расширения.

В разделе 5.1 приведена фоновая метрика рассматриваемая в данном данной главе.

В разделе 5.2 находятся моды поля и представлены их асимптотики.

В разделе 5.3 фиксируются нормировочные множители мод.

В разделе 5.4 обсуждаются петлевые поправки к Келдышевскому про-пагатору.

В разделе 5.4.1 обсуждаются поправки не несущие информацию об изменении состояния поля.

В разделе 5.4.2 обсуждаются подкласс диаграмм несущих секулярные поправки, которые ответственны за эволюцию состояния за счет взаимодействия.

В разделе 5.4.3 выделяются секулярные поправки для частиц с высоким импульсом.

В разделе 5.4.4 выделяются секулярные поправки для частиц с низким импульсом.

В разделе 5.5 приведена оценка влияния квантовых поправок на значение тензора энергии-импульса.

В главе 6 (Заключение) сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

В приложении изложены второй метод выделения секулярных поправок, а также приводится полные выражения для квантовых поправок.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения (Введение), 5 глав основного текста (Главы 1-5), заключения (Глава 6) и двух приложений (A - B). Общий объем диссертации составляет 110 страниц, включая 9 рисунков. Список литературы содержит 73 ссылки.

Публикации автора по теме диссертации

1. E.T. Akhmedov, I.A. Belkovich, D.V. Diakonov, K.A. Kazarnovskii.

On (dis)agreement between different methods of calculation of the imaginary part of the effective action in expanding space-times //Physics Letters B 861,(2025) 139256.

2. E.T. Akhmedov, A.V, Anokhin, K.A. Kazarnovskii. Relevance of quantum corrections to the matter stress-energy tensor in eternally expanding universes // Phys. Rev. D109 8, 085012 (2024).

3. E.T. Akhmedov, K.A. Kazarnovskii. Thermalization with Non-Zero Initial Anomalous Quantum Averages // Universe 2022, 8(3), 162;.

Глава 1

Аспекты квантования на нестационарном фоне

1.1 Квантовая механика каждой моды в свободной квантовой теории поля, рассматриваемая отдельно

Как известно, свободная квантовая теория поля (КТП) — это набор бесконечного числа осцилляторов. На фоне полей осцилляторы, как правило, имеют изменяющиеся со временем частоты (и коэффициенты трения). По этой причине мы хотим начать с рассмотрения квантовой механики каждой моды в КТП отдельно. Конечно, ситуация даже в свободной КТП сложнее, чем для группы не взаимодействующих осцилляторов, как мы увидим ниже, но многие из явлений уже наблюдаются на уровне квантовой механики одной частицы.

В этом разделе мы представим два способа квантования осциллятора с зависящей от времени частотой (и коэффициентом трения) и покажем, при каких условиях эти два способа дают одинаковый результат, а когда они физически различны. Мы будем называть их квантованием Гейзенберга и Шрёдингера соответственно.

1.1.1 Квантование Гейзенберга

Мы начинаем с подхода, который обычно используется в литературе по квантованию на фоне внешних полей. Лагранжиан осциллятора с зависящей от времени частотой:

т = | - (1.1)

Мы рассматриваем эту теорию как КТП размерности (0 + 1), как упоминалось выше. Процедура квантования Гейзенберга состоит из следующих последовательных шагов:

• оператор д представляется через операторы уничтожения и рождения раз и навсегда:

д (г) = а/ (г) + а+/*(), (1.2)

где функция / удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа для (1.1):

/(г) + и2(г)/(г) = о, (1.3)

а операторы уничтожения и рождения удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению:

[а,а+] = 1. (1.4)

В таком случае вся временная зависимость д(г) в гауссовой (свободной) теории содержится в модах /; а и а+ независимы от времени в гауссовой теории (или в гауссовоом приближении в нелинейной теории).

Затем строится сопряженный импульс

дТ

п = -щ = Я = а/(г) + а+Г(г). (1.5)

Нормировка для функции моды / следует из канонического коммутационного соотношения:

[я(г),п (г)] = г, (1.6)

и (1.4). На самом деле, используя соотношение (1.4), можно переписать (1.6) в терминах функции / как:

/(г)/*(г) - /(г)/*(г) = г. (1.7)

Затем строится гамильтониан как преобразование Лежандра Лагранжиана:

н (г) = пд - Т(г). (1.8)

С использованием определения сопряженного импульса п(г) из (1.5) и д(г) из (1.2) можно переписать гамильтониан (1.8) в терминах операторов уничтожения и рождения:

тт; ч (г)\2 \/(г)\21 + [Ш2(г)/(г)2 /(г)2п

н(г) = к л + иу л аа+ + —к " к ; аа + Н.е.. (1.9)

I- 2 ^^ 12 2 -I vy

Можно проверить, что д(г) удовлетворяет:

д(г) = г [н(г), я(г)] (1.10)

Это означает, что операторы д(г) и Н(г) записаны в представлении Гей-зенберга. Вот почему мы называем эту процедуру квантования гейзенберговской.

Чтобы определить процедуру квантования однозначно, необходимо выбрать решение уравнения (1.3). Таким образом, однозначно определяются также операторы уничтожения и рождения, и пространство состояний Фока в нашей задаче. Это один из ключевых моментов процедуры квантования. Именно поэтому мы обсудим его подробнее.

Ситуация, когда частота не зависит от времени — (t) = —, ясна. В этом случае мы имеем дело с обычным квантовым осциллятором. Соответствующий гамильтониан имеет одно основное состояние, которое называется вакуумом в контексте КТП. Подходящий выбор решения уравнения (1.3) будет:

p-iwt

f (t) = -=, (1.11)

где знаменатель фиксируется из (1.7). Это такой выбор мод, который является адекватным, потому что тогда гамильтониан (1.9) диагонален, что означает, что он не содержит членов типа аа и а+а+:

H = - (аа+ + а+а). (1.12)

2

Очевидно, что в рассматриваемом случае гамильтониан не зависит от времени.

В ситуации, когда — (t) не является постоянной, нет такого решения уравнения (1.3), которое диагонализировало бы гамильтониан (1.9) раз и навсегда. Следовательно, гамильтониан (1.9) не имеет основного состояния. Однако для любого данного момента времени t = t- возможно выбрать решение уравнения (1.3), которое делает гамильтониан (1.9) диагональным в t = t-. Чтобы диагонализировать (1.9), мы выбираем такое решение уравнения (1.3), для которого:

—4t-)2f (t-)2 + ^ = 0, или f(t-) = -i-(t-)f (t-). (1.13)

Это можно интерпретировать как начальное условие для уравнения (1.3), если мы установим t = t- как начальную поверхность Коши1. Как следует из уравнения (1.3), соотношение (1.7) является независимым от времени, и его можно записать в t = t-. С помощью соотношения (1.13) можно получить из (1.7) начальное условие для функции моды f (t):

\f(t-)\ = f(t-) = -i—(t-)f(t-). (1.14)

Обратите внимание, что фаза моды не фиксируется последним условием. Если частота постоянна в бесконечном прошлом, т.е. предел lim — (t) =

t^—<x>

= const существует, можно построить такую моду, которая диагонали-

1 Обратите внимание, что в этом подходе к квантованию нет никакого очевидного присутствия начальной поверхности Коши. На самом деле, функция моды как решение уравнения (1.3) определяется для всех времен: мы не устанавливаем начальную поверхность Коши, чтобы найти решение. Во втором подходе ситуация будет другой.

зирует гамильтониан (1.9) в бесконечном прошлом. Такое решение уравнения (1.3) называется in-мода. Для неё:

fin(t) и т—, и H(t) и — (ата+т + а+тат), при t ^ -то. (1.15) \/2ш- 2

Обратите внимание на выбор фазы in-моды. Состояние, которое уничтожается соответствующим оператором ain, называется основным состоянием IN пространства Фока:

am\IN) = 0. (1.16)

Аналогично, если частота становится постоянной в будущем, lim ш(t) =

то

= const, можно диагонализировать гамильтониан (1.9) в бесконечном будущем. Соответствующее решение уравнения (1.3) называется out-мода. В таком случае:

e-iu+t

fout(t) и , H(t) и (aouta+ut + a+utaout), при t ^ + (1.17)

V 2ш + 2

и тогда можно определить основное состояние OUT пространства Фока:

aout\OUT) = 0. (1.18)

• Однако существование предела lim ш(t) не является необходимым условием для приблизительной диагонализации свободного гамильтониана на прошлой и будущей бесконечностях. А именно, в некоторых особых случаях можно диагонализировать гамильтониан (1.9) в бесконечном прошлом или будущем приблизительно. Это происходит, когда существует решение уравнения (1.3) для которого:

f (t) и -гш(t) f (t), при t ^ ±ТО. (1.19)

Примером такой ситуации является случай, когда ш(t) = t. Эта ситуация возникает для каждой моды отдельно в скалярной КЭД на фоне постоянного вечного электрического поля [5]. Базис решений уравнения (1.3) с такой ш(t) состоит из двух функций параболического цилиндра:

f (t) = AD-1 (вг 472t) + BD-1 (-вг nV2t), (1.20)

где A и B — некоторые константы. Асимптотика D-1 (z) следующая:

1 - 3

D-1 (z) и — e 4 , при \z\ ^ то и \arg z\ < -n. (1.21)

2 v t 4

Если В = 1, то (1.20) удовлетворяет (1.19) и (1.7), и делает гамильтониан (1.9) асимптотически диагональным в бесконечном прошлом2. Аналогичным образом можно сделать гамильтониан диагональным в бесконечном будущем, выбрав другую подходящую моду.

Пример, когда такая мода, которая асимптотически диагонализирует свободный гамильтониан, не может быть найдена, следующий:

* а(п ) 1

¡(п) +1(п)О-) + [Р2+а(П)—2]1 (п) = 0, где а(п) = (Щ^, П е (0,

(1.22)

Это осциллятор с зависящей от времени частотой и коэффициентом трения. Это уравнение выведено из уравнения для скалярной моды с импульсом р в расширяющемся регионе Пуанкаре3 пространства де Ситтера: моды р в О-мерном пространстве де Ситтера эквивалентны I(п), умноженной на объемный фактор а(п)(1-в)/2 (здесь и далее мы работаем в пространстве де Ситтера с конформным временем, п = е~ь, и устанавливаем постоянную Хаббла равной единице Н = 1). В расширяющемся регионе Пуанкаре де Ситтера п = 0 является будущей бесконечностью, тогда как п = является прошлой бесконечностью.

Общее решение уравнения (1.22) для О = 4 можно записать как:

1т2 9

¡(г) = п3 АЗщ(рп) + ВУщ(рп) , где М = — - -. (1.23)

Для некоторых комплексных констант А и В. Условие (1.19) в пространстве де Ситтера сводится к:

¡(п) - —I(п), при п — 0, (1.24)

п

чтобы сделать свободный гамильтониан диагональным в будущей бесконечности. В то же время функция Бесселя Jiм удовлетворяет следующему соотношению:

Мрп) - (3 + щ)^^, при п — 0, (1.25)

2 ' п

и мы можем удовлетворить (1.24) только при В = 0 и т —

В то же время в прошлой бесконечности расширяющегося регионе Пуанкаре, п — есть мода, которая приближённо диагонализирует свободный гамильтониан. Эта мода соответствует функции Ганкеля и называется модой Банча-Дэвиса. Мы обсудим это ниже более подробно.

2Мы увидим ниже, что ситуация в свободной КТП сложнее.

__

(Нп)2

3В котором метрика имеет вид инфляционной ¿я2 = ¿Л2 - е2Нг ¿х2 = (Н )2 [¿п2 - ¿х2].

В заключение этой части мы вводим обозначение для мгновенного основного состояния Фока гамильтониана (1.9). Если гамильтониан (1.9) диа-гонализируется в момент времени £ = т, то соответствующие операторы уничтожения и рождения мы будем обозначать как ат и а+, а мгновенное основное состояние Фока как \От):

ат\От) = 0, Н(£)\От) =

и2(т)\1 (т)\2 , \!(т)\

+

2

О).

(1.26)

Мы будем использовать такие состояния ниже. Обратите внимание, что в рассматриваемом случае £ = т не обязательно должна быть начальной поверхностью Коши, т.е. £ < т также разрешены.

2

1.1.2 Квантование Шрёдингера

Теперь давайте рассмотрим процедуру квантования, которую мы называем шрёдингеровской. Снова мы начинаем с лагранжиана (1.1). Но прежде чем «сделать» д оператором, мы выполняем преобразование Лежандра: избавляемся от д в (1.1) с использованием определения сопряженного импульса для получения свободного гамильтониана:

п2

Н (£) = У +

и2(£)д2 2

(1.27)

Теперь мы определяем операторы координаты и сопряженного импульса в начальный момент времени £ = £-:

1

Ч+

П+

(а б + а+Б), ■(аБ - а+),

(1.28)

Гйо 2

здесь и0 может быть любой константой, которая не обязательно связана с и(£). При квантовании мы предполагаем, что эти операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям :

[д+ ,п+ ] = г, [а + ,а++ ] = 1.

(1.29)

В (1.28) пока нет временной зависимости, так как эти операторы записаны в представлении Шрёдингера. Вот почему мы пометили их индексом Б и относим рассматриваемую процедуру квантования к Шрёдингеру.

После подстановки (1.28) в (1.27) гамильтониан можно записать в терминах а+ и а+ следующим образом:

Н+ (£) =

а+а+ + а+а+

А(£) +

В (£),

. , ч и2(£) и0

где А(£) = ^+т

и

а+а+ + а+а+

и2(£) и0 4й0 4

В(£) =

Затем можно найти оператор эволюции с использованием (1.30), чтобы восстановить представление Гейзенберга из представления Шрёдингера. Оператор в представлении Гейзенберга связан с тем же оператором в представлении Шрё-дингера следующим образом:

OH (t) = Tei Hs (t )dT OS (t)Te-i Hs (t )dT,

(1.31)

где О+ (г) означает возможную явную временную зависимость оператора в представлении Шрёдингера, как например, в (1.30).

Из (1.31) можно написать дифференциальные уравнения для операторов уничтожения и рождения:

ан(г) = Те1 й-н(т)3тг\н+(г),а+]Те-£ н(т)3'т, а+н (г) = те Нз (т)Лт г\н+ (г),а++ ] Те- н (т)Лт.

После вычисления коммутаторов мы получаем:

ан(г) = -2гА(г)аН(г) - 2%в(г)а+н(г), а+н (г) = 2гА(г)а+Н (г) + 2Ш (г)ан (г).

Давайте запишем решение (1.33) в следующей форме:

ан (г) = а(г)а+ + в (г)а+, ан (г) = а (г)а+ + в (г)а+,

(1.32)

(1.33)

(1.34)

для некоторых пока неизвестных комплексных функций а(г) и в (г).

Затем операторы д и п в представлении Гейзенберга будут следующими:

qH (t) = —= (ан (t) + a+H (t)) = —= [as (a(t) + в (t)) + aS (a(t) + в (t))

1

V2—o

nH(t) = ij—(a+H(t) - aH(t)) = ij—[a+S(a(t) - в(t)) - as(a(t) - в(t))"

(1.35)

g(t) = (a(t) + в*(t)) и h(t) = iy/Щ(a(t) - в*(t)) можно переписать (1.35)

(1.36)

как:

qH(t) = as g(t) + a+s g(t),

nH(t) = a+sh(t) - ash(t).

Подставляя (1.34) в (1.33), и делая замену переменных от a(t), в(t) к g(t), h(t), мы получаем следующие соотношения:

g(t) = -h(t), h(t) = —2(t)g(t),

g(t-) = —1

_, h(t-) = i\ —,

V 2—o v 2

где начальные условия в последней строке возникают из того факта, что:

Те- н (т )Лт = 1. Избавившись от функции Н(£) в (1.37) для д(£), мы получаем:

д(£) + и2(£)д(£) = 0, д (£-) = д(£-) = -г^ (1.38)

Обратите внимание, что, в отличие от случая подхода Гейзенберга, эти соотношения действительно фиксируют фазу д(£) в момент времени £ = £- и в данном подходе этот момент времени является начальной поверхностью Коши в правильном смысле.

Теперь, используя (1.36), мы можем записать гамильтониан в представлении Гейзенберга так:

Hh (t) =

"2(t)|g(t)|2 . \№\

2 п

+

as as +

"2(t)g(t)2 , g(t)

2 "1

+

as as + h.c., (1.39)

2

что имеет аналогичную форму как и (1.9), поскольку д(t) действительно решает то же уравнение, что и f (t). Обратите внимание, однако, на разные начальные условия для f (t) и g(t) (или, точнее, в подходе Гейзенберга нет никакой начальной поверхности Коши, но можно добавить её искусственно, требуя условия, чтобы свободный гамильтониан был диагональным в некоторый момент времени).

Таким образом, сравнивая (1.36) с (1.2) и (1.5), мы видим, что второй подход к квантованию на самом деле можно сделать эквивалентным первому. То же самое можно заключить при сравнении (1.39) и (1.9). То, что не очевидно, — это где и как начальная поверхность Коши проявляет себя в подходе Гейзенберга, хоть она очевидно присутствует в подходе Шрёдингера. Прежде чем получить эту информацию, давайте введем некоторые новые определения для дальнейшего использования:

• Если мы выберем в (1.28) частоту равной = ш(т) для некоторого момента времени т, тогда (1.30) является диагональным в этот момент времени t = т. Операторы уничтожения и рождения, соответствующие такому выбору, мы будем обозначать как (aT)s и (a+)s, а соответствующее мгновенное основное состояние Фока гамильтониана (1.30) мы будем обозначать как |0T):

(aT)s|0т) = 0, Hs(t)\0T) = ^\0t); (1.40)

• В таком подходе хорошо определенные состояния in- и out- могут существовать только если lim uj(t) = ш± = const, тогда возможно диагонализи-

ровать (1.30) в бесконечном прошлом и будущем. Таким образом, можно определить:

\in) = lim |0t), \out) = lim |0t) (1.41)

• В общем случае состояния \IN) и \OUT), определенные в (1.16) и (1.18), не совпадают с (1.41). Мы обсудим этот вопрос ниже.

1.1.3 Функции Вайтмана в различных подходах квантования

Способ увидеть, дают ли два метода одни и те же физические величины, заключается в расчетах наблюдаемых величин, т.е. корреляционных функций, которые чувствительны к состояниям теории. Как мы уже указывали выше, начальные условия для функции моды f (t) (1.14) в подходе Гейзенберга не имеют определенной фазы, в то время как в подходе Шрёдингера начальные условия для функции моды g(t) (1.38) фиксируют эту фазу. Чтобы сделать наше рассуждение более прямолинейным, в этом разделе мы рассматриваем ситуацию, когда предел lim ш(Ь) = ш- = const действительно существует.

В КТП на фоне сильных внещних полей наблюдаемые величины представляют собой квантовые средние таких операторов, как токи заряженных частиц или тензора энергии-импульса, которые представляют собой корреляционные функции такого вида [25]4:

(Q(t)) = (rTei Hs (T )dT Qs (t)Te-i £ Hs (t )dT) =

(1.42)

= Tr

p0fe ^ - Hs (T )dT Qs (t)Te-i & - Hs (T )dT

Где ро — начальная матрица плотности, в момент времени £ = £-, что позволяет использовать теорему Вика5 и дает корреляционные функции, которые удовлетворяют условиям Адамара [44]. Чтобы вычислить корреляционную функцию, необходимо найти функцию Вайтмана, потому что она является строительным блоком для любой другой двухточечной функции. Мы определим и вычислим последние в двух различных подходах квантования отдельно:

• В подходе Шрёдингера постановка выглядит следующим образом. Начинаем с задания начального состояния в момент времени £ = £-. В общем случае начальное состояние является некоторым когерентным и/или смешанным состоянием, так что существуют ненулевая заселенность уровней и аномальное квантовое среднее:

{(а+ (аь- )б ) = п, {(аь- )б (а*- )б ) = к. (1.43)

Тогда функция Вайтмана в представлении Шрёдингера (для простоты £\ > £2) определяется как:

W2(£h£2) = {Тег£ Нз(т)<тдвТе-1 ^ н(т)<тд8[Те-£2 н(т)<т). (1.44)

4Мы вернемся к данному обсуждению, когда начнем рассматривать негауссовые теория поля.

5На данный момент, мы рассматриваем только гауссовы начальные матрицы плотности.

Подставляя тождество Те i^- нв(т^тТег^- нв(т= 1 в корреляционную функцию, мы можем переписать её как:

^^^.(гг.г^,) = {дн (гг)дн (г2 ))• (1.45)

Используя (1.36), можно найти, что:

W2(ti,t2) = (1 + gin(tl )9in(t2) + ngin(t 2)g*n(ti) + + Kgin(ti)gin(t2) + K* g*n(ti)g*n

где мода g(t) удовлетворяет (1.38), т.е.:

(1.46)

p-iu-(t-t-)

limg(t) =--- , как t > t- ^ -то, (1.47)

потому что мы предполагаем, что частота uj(t) постоянна в бесконечном прошлом.

В то же время в подходе Гейзенберга функция Вайтмана для когерентного состояния, определённого тем же образом,

{a+ at-) = n, {at-at-) = к, (1.48)

определяется как

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Казарновский Кирилл Александрович, 2025 год

Литература

[1] L. Parker. Particle creation in expanding universes. Phys. Rev. Lett., 21:562564, 1968. doi:10.1103/PhysRevLett.21.562.

[2] Leonard Parker. Quantized fields and particle creation in expanding universes. 1. Phys. Rev., 183:1057-1068, 1969. doi:10.1103/PhysRev.183.1057.

[3] Ya. B. Zeldovich and Alexei A. Starobinsky. Particle production and vacuum polarization in an anisotropic gravitational field. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 61:21612175, 1971.

[4] Ya. B. Zeldovich. Particle production in cosmology. Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz., 12:443-447, 1970.

[5] A. A. Grib, S. G. Mamayev, and V. M. Mostepanenko. Vacuum quantum effects in strong fields. Friedmann Laboratory Publishing, St.Petersburg, 1994.

[6] N. D. Birrell and P. C. W. Davies. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2 1984. doi:10.1017/CBQ9780511622632.

[7] J. Cespedes and E. Verdaguer. Particle Production in Inhomogeneous Cosmologies. Phys. Rev. D, 41:1022, 1990. doi:10.1103/PhysRevD.41.1022.

[8] L. H. Ford. Cosmological particle production: a review. Rept. Prog. Phys., 84(11), 2021. arXiv:2112.02444, doi:10.1088/1361-6633/ac1b23.

[9] S. W. Hawking. Particle Creation by Black Holes. Commun. Math. Phys., 43:199-220, 1975. [Erratum: Commun.Math.Phys. 46, 206 (1976)]. doi:10. 1007/BF02345020.

[10] G. W. Gibbons and S. W. Hawking. Cosmological Event Horizons, Thermodynamics, and Particle Creation. Phys. Rev. D, 15:2738-2751, 1977. doi:10.1103/PhysRevD.15.2738.

[11] W. G. Unruh. Notes on black hole evaporation. Phys. Rev. D, 14:870, 1976. doi:10.1103/PhysRevD.14.870.

[12] Julian S. Schwinger. On gauge invariance and vacuum polarization. Phys. Rev., 82:664-679, 1951. doi:10.1103/PhysRev.82.664.

[13] Lev Kofman, Andrei D. Linde, and Alexei A. Starobinsky. Reheating after inflation. Phys. Rev. Lett., 73:3195-3198, 1994. arXiv:hep-th/9405187, doi: 10.1103/PhysRevLett.73.3195.

[14] Lev Kofman, Andrei D. Linde, and Alexei A. Starobinsky. Towards the theory of reheating after inflation. Phys. Rev. D, 56:3258-3295, 1997. arXiv:hep-ph/ 9704452, doi:10.1103/PhysRevD.56.3258.

[15] Emil T. Akhmedov and Francesco Bascone. Quantum heating as an alternative of reheating. Phys. Rev. D, 97(4):045013, 2018. arXiv:1710.06118, doi: 10.1103/PhysRevD.97.045013.

[16] M. Gasperini and Massimo Giovannini. Entropy production in the cosmological amplification of the vacuum fluctuations. Phys. Lett. B, 301:334-338, 1993. arXiv:gr-qc/9301010, doi:10.1016/0370-2693(93)91159-K.

[17] S. A. Fulling. REMARKS ON POSITIVE FREQUENCY AND HAMILTONIANS IN EXPANDING UNIVERSES. Gen. Rel. Grav, 10:807824, 1979. doi:10.1007/BF00756661.

[18] A. A. Starobinsky. A new type of isotropic cosmological models without singularity. Phys. Lett. B, 91:99-102, 1980. 6977 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi:10.1016/0370-2693(80)90670-X.

[19] A. A. Starobinsky. Dynamics of phase transition in the new inflationary universe scenario and generation of perturbations. Phys. Lett. B, 117:175178, 1982. 2845 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi: 10.1016/0370-2693(82)90541-X.

[20] A. D. Linde. A new inflationary universe scenario: A possible solution of the horizon, flatness, homogeneity, isotropy and primordial monopole problems. Phys. Lett. B, 108:389-393, 1982. 6536 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi:10.1016/0370-2693(82)91219-9.

[21] A. D. Linde. Chaotic inflation. Phys. Lett. B, 129:177-181, 1983. 3555 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi:10.1016/0370-2693(83)90837-7.

[22] A. H. Guth. The inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems. Phys. Rev. D, 23:347-356, 1981. 10293 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi:10.1103/PhysRevD .23.347.

[23] A. H. Guth and S. Y. Pi. Fluctuations in the new inflationary universe. Phys. Rev. Lett., 49:1110-1113, 1982. 2551 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi:10.1103/PhysRevLett.49.1110.

[24] A. Albrecht and P. J. Steinhardt. Cosmology for grand unified theories with radiatively induced symmetry breaking. Phys. Rev. Lett., 48:12201223, 1982. 5288 citations counted in INSPIRE as of 29 Sep 2024. doi: 10.1103/PhysRevLett.48.1220.

[25] E. T. Akhmedov. Curved space equilibration versus flat space thermalization: A short review. Mod. Phys. Lett. A, 36(20):2130020, 2021. arXiv:2105.05039, doi:10.1142/S0217732321300202.

[26] N. C. Tsamis and R. P. Woodard. The quantum gravitational back reaction on inflation. Annals Phys., 253:1-54, 1997. arXiv:hep-ph/9602316 [hep-ph]. doi:10.1006/aphy.1997.5613.

[27] N. C. Tsamis and R. P. Woodard. Quantum gravity slows inflation. Nucl. Phys. B, 474:235-248, 1996. arXiv:hep-ph/9602315 [hep-ph]. doi:10.1016/ 0550-3213(96)00246-5.

[28] N. C. Tsamis and R. P. Woodard. Stochastic quantum gravitational inflation. Nucl. Phys. B, 724:295-328, 2005. arXiv:gr-qc/0505115 [gr-qc]. doi:10.1016/ j.nuclphysb.2005.06.031.

[29] Dmitry Krotov and Alexander M. Polyakov. Infrared Sensitivity of Unstable Vacua. Nucl. Phys. B, 849:410-432, 2011. arXiv:1012.2107, doi:10.1016/ j.nuclphysb.2011.03.025.

[30] E. T. Akhmedov. IR divergences and kinetic equation in de Sitter space. Poincare patch: Principal series. JHEP, 01:066, 2012. arXiv:1110.2257, doi:10.1007/JHEP01(2012)066.

[31] E. T. Akhmedov. Lecture notes on interacting quantum fields in de Sitter space. Int. J. Mod. Phys. D, 23:1430001, 2014. arXiv:1309.2557, doi:10. 1142/S0218271814300018.

[32] Emil T. Akhmedov, Hadi Godazgar, and Fedor K. Popov. Hawking radiation and secularly growing loop corrections. Phys. Rev. D, 93(2):024029, 2016. arXiv:1508.07500, doi:10.1103/PhysRevD.93.024029.

[33] E. T. Akhmedov, U. Moschella, and F. K. Popov. Characters of different secular effects in various patches of de Sitter space. Phys. Rev. D, 99(8):086009, 2019. arXiv:1901.07293, doi:10.1103/PhysRevD.99.086009.

[34] E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov, and D. V. Diakonov. Quantum fields in the future Rindler wedge. Phys. Rev. D, 104(8):085008, 2021. arXiv:2106.01791, doi:10.1103/PhysRevD.104.085008.

[35] Dmitrii A. Trunin. Particle creation in nonstationary large N quantum mechanics. Phys. Rev. D, 104(4):045001, 2021. arXiv:2105.01647, doi: 10.1103/PhysRevD.104.045001.

[36] E. T. Akhmedov, P. S. Zavgorodny, D. I. Sadekov, and K. A. Kazarnovskii. Loop corrections to the current of pairs created in a lengthy electric pulse. Phys. Rev. D, 107(12):125006, 2023. arXiv:2303.08624, doi:10.1103/PhysRevD. 107.125006.

[37] G. Moreau and J. Serreau. Stability of de sitter spacetime against infrared quantum scalar field fluctuations. Phys. Rev. Lett., 122:011302, Jan 2019. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.122. 011302, doi:10.1103/PhysRevLett.122.011302.

[38] Maxime Guilleux and Julien Serreau. Quantum scalar fields in de sitter space from the nonperturbative renormalization group. Phys. Rev. D, 92:084010, Oct 2015. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.92.084010, doi:10.1103/PhysRevD.92.084010.

[39] E. T. Akhmedov, N. Astrakhantsev, and F. K. Popov. Secularly growing loop corrections in strong electric fields. JHEP, 09:071, 2014. arXiv:1405.5285, doi:10.1007/JHEP09(2014)071.

[40] E. T. Akhmedov and F. K. Popov. A few more comments on secularly growing loop corrections in strong electric fields. JHEP, 09:085, 2015. arXiv:1412. 1554, doi:10.1007/JHEP09(2015)085.

[41] E. T. Akhmedov and O. Diatlyk. Secularly growing loop corrections in scalar wave background. JHEP, 10:027, 2020. arXiv:2004.01544, doi:10.1007/ JHEP10(2020)027.

[42] A A Abrikosov, I Dzyaloshinskii, L P Gorkov, and Richard A Silverman. Methods of quantum field theory in statistical physics. Dover, New York, NY, 1975. URL: https://cds.cern.ch/record/107441.

[43] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, and L.P. Pitaevskii. Course of Theoretical Physics: Statistical Physics, Part 2 : by E.M. Lifshitz and L.P. Pitaevskii. Number C,. 9. 1980. URL: https://books.google.ru/books?id=QAcenQAACAAJ.

[44] Christian Gerard. Microlocal analysis of quantum fields on curved spacetimes. URL: https://arxiv.org/abs/1901.10175.

[45] R. P. Feynman and A. R. Hibbs. Quantum mechanics and path integrals. International series in pure and applied physics. McGraw-Hill, 1965. https://cds.cern.ch/record/100771.

[46] Steven Weinberg. The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press, 6 2005. doi:10.1017/CB09781139644167.

[47] E. T. Akhmedov, K. V. Bazarov, D. V. Diakonov, U. Moschella, F. K. Popov, and C. Schubert. Propagators and Gaussian effective actions in various patches of de Sitter space. Phys. Rev. D, 100(10):105011, 2019. arXiv:1905.09344, doi:10.1103/PhysRevD.100.105011.

[48] Emil T. Akhmedov. Real or Imaginary? (On pair creation in de Sitter space). Mod. Phys. Lett. A, 25:2815-2823, 2010. arXiv:0909.3722, doi:10.1142/ S0217732310034043.

[49] E. Mottola. Particle Creation in de Sitter Space. Phys. Rev. D, 31:754, 1985. doi:10.1103/PhysRevD.31.754.

[50] Paul R. Anderson and Emil Mottola. Instability of global de Sitter space to particle creation. Phys. Rev. D, 89:104038, 2014. arXiv:1310.0030, doi: 10.1103/PhysRevD.89.104038.

[51] P. Candelas and D. J. Raine. General Relativistic Quantum Field TheoryAn Exactly Soluble Model. Phys. Rev. D, 12:965-974, 1975. doi:10.1103/ PhysRevD.12.965.

[52] A. M. Polyakov. De Sitter space and eternity. Nucl. Phys. B, 797:199-217, 2008. arXiv:0709.2899, doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.01.002.

[53] Joshua A. Frieman. Particle Creation in Inhomogeneous Space-times. Phys. Rev. D, 39:389, 1989. doi:10.1103/PhysRevD.39.389.

[54] Antonio Campos and Enric Verdaguer. Semiclassical equations for weakly inhomogeneous cosmologies. Phys. Rev. D, 49:1861-1880, 1994. arXiv: gr-qc/9307027, doi:10.1103/PhysRevD.49.1861.

[55] Antonio Dobado and Antonio Lopez Maroto. Particle production from nonlocal gravitational effective action. Phys. Rev. D, 60:104045, 1999. arXiv:gr-qc/ 9803076, doi:10.1103/PhysRevD.60.104045.

[56] E. T. Akhmedov, D. V. Diakonov, and C. Schubert. Complex effective actions and gravitational pair creation. 7 2024. arXiv:2407.06601.

[57] Yu Zhou and Hai-Qing Zhang. Effective Action and Gravitational Pair Production in (A)dS Spacetime. 10 2024. arXiv:2410.20949.

[58] Ashok K. Das and Gerald V. Dunne. Large-order Perturbation Theory and de Sitter/Anti de Sitter Effective Actions. Phys. Rev. D, 74:044029, 2006. arXiv:hep-th/0607168, doi:10.1103/PhysRevD.74.044029.

[59] A. I. Nikishov. Pair Production by a Constant External Field. Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics, 30:660, January 1969.

[60] Paul R. Anderson, Emil Mottola, and Dillon H. Sanders. Decay of the de Sitter Vacuum. Phys. Rev. D, 97(6):065016, 2018. arXiv:1712.04522, doi: 10.1103/PhysRevD.97.065016.

[61] Dmitrii Diakonov. Is the Euclidean path integral always equal to the thermal partition function? JHEP, 04:077, 2024. arXiv:2310.08522, doi:10.1007/ JHEP04(2024)077.

[62] E.T.Akhmedov and E.T.Musaev. Comments on qed with background electric fields. New J. Phys. 11 (2009), 103048, 2009. doi:10.1088/1367-2630/11/ 10/103048.

[63] D. M. Gitman, E. S. Fradkin, and Sh. M. Shvartsman. OPTICAL THEOREM IN QUANTUM ELECTRODYNAMICS WITH AN UNSTABLE VACUUM. Fortsch. Phys., 36:643, 1988.

[64] S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, and Sh. M. Shvartsman. UNITARITY RELATION IN QUANTUM ELECTRODYNAMICS WITH A PAIR GENERATING EXTERNAL FIELD. Sov. Phys. J., 23:257-260, 1980. doi: 10.1007/BF00895089.

[65] E. S. Fradkin and D. M. Gitman. Furry Picture for Quantum Electrodynamics With Pair Creating External Field. Fortsch. Phys., 29:381-412, 1981. doi: 10.1002/prop.19810290902.

[66] A. A. Radovskaya and Andrew G. Semenov. Semiclassical approximation meets keldysh-schwinger diagrammatic technique: scalar **4. arXiv: High Energy Physics - Phenomenology, 2020.

[67] E. T. Akhmedov and P. A. Anempodistov. Loop corrections to cosmological particle creation. Phys. Rev. D, 105(10):105019, 2022. arXiv:2204.01388, doi:10.1103/PhysRevD.105.105019.

[68] A. Kamenev. Many-body theory of non-equilibrium systems. Cambridge University Press, 2011. arXiv:cond-mat/0412296.

[69] J. Berges. Introduction to nonequilibrium quantum field theory. AIP Conf. Proc., 739(1):3-62, 2004. 360 citations counted in INSPIRE as of 12 Apr 2021. arXiv:hep-ph/0409233, doi:10.1063/1.1843591.

[70] E. T. Akhmedov and K. Kazarnovskii. Thermalization with non-zero initial anomalous quantum averages. Universe, 8(3):162, 2022. 0 citations counted in INSPIRE as of 31 Mar 2022. arXiv:2110.00454, doi:10.3390/ universe8030162.

[71] D. V. Diakonov and K. V. Bazarov. Thermal loops in the accelerating frame. 1 2023. arXiv:2301.07478.

[72] D.N. Zubarev, V.G. Morozov, and G. Ropke. Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes, Volume 1 (See 3527400834): Basic Concepts, Kinetic Theory. Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes. Wiley, 1996. URL: https://books.google.ru/books?id=ihIbAQAAIAAJ.

[73] R.D. Mattuck. A Guide to Feynman Diagrams in the Many-body Problem. Dover Books on Physics Series. Dover Publications, 1992. URL: https:// books.google.ru/books?id=pe-v8zfxE68C.