Геометрия эквиаффинных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Дмитриева, Татьяна Владимировна

• Дмитриева, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриева, Татьяна Владимировна

Введение.

Глава 1. Дифференцируемые многообразия и их отображения

§1. Многообразия и линейные связности.

§2. Гладкие отображения многообразий.

§3. Некоторые G-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы.

§4. Представление линейных групп. Теорема Вейля.

Глава 2. Эквиаффинные отображения

§1. Эквиаффинные структуры на дифференцируемых многообразиях.

§2. Отображения многообразий с эквиаффинными структурами.

§3. Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий.

Глава 3. Геометрия эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий

§ 1. Классификация эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий.

§2. Геометрия эквиаффинных отображений классов 3, Ф 32;

32ф3-,; 3,Ф33.

§3. Геометрия эквиаффинных отображений классов 3,, 32 и З3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия эквиаффинных отображений»

Актуальность темы исследования. Аффинная дифференциальная геометрия является одним из важных разделов геометрии. Начиная с первых работ Бляшке (W. Blashke) первой четверти прошлого века, она постоянно привлекала к себе внимание геометров. В 1923 году в Германии, в 1959, 1960 и 1977 годах в Советском Союзе, в 1991 году в Японии, в 1993 году в Германии и в 1994 году в США были изданы монографии [1], [31], [38], [40], [43] и [56], специально посвященные аффинной дифференциальной геометрии. Начиная с 1986 года (конференция в Обервольфахе, см. [42]) стали проводиться международные конференции по аффинной дифференциальной геометрии.

Следует констатировать, что если для отечественных геометров аффинная дифференциальная геометрия была традиционным объектом изучения, интерес к которой к концу прошлого века постепенно сошёл на нет, то у зарубежных геометров, наоборот, с конца прошлого века активность исследований в этой области резко возросла.

Толчком для возрождения их интереса послужила лекция [61], прочитанная одним из классиков геометрии Номидзу (К. Nomizu) в Мюнстерском университете в 1982 году с «грандиозным», как об этом пишет Клингенберг (W. Klingenberg) в [51], названием «Что такое аффинная дифференциальная геометрия?».

В лекции Номидзу выдвинул новую структурную точку зрения, согласно которой под аффинной дифференциальной геометрией следует понимать геометрию «-мерного гладкого многообразия М с эквиаффинной структурой (со, V), где со - элемент объема на М, а V аффинная связность без кручения такая, что Vco = 0.

За лекцией последовал цикл статей Номидзу (см., например, [55], [57-60]), который завершила его монография [56]. В пропаганде нового направления исследований приняли участие такие известные геометры, как Яу (Ch.-T. Yau), Калаби (Е. Calabi), Саймон (U. Simon) и др. Первые итоги проведённых исследований были подведены уже в 1988 году в лекции Саймона [65], а спустя два года в 1990 году это сделал уже сам Номидзу (см. [55]). К настоящему времени число работ «новой волны» по аффинной дифференциальной геометрии исчисляется уже десятками.

Нельзя сказать, что эти события не нашли отклика у нас в стране. В качестве подтверждения этого факта приведем цикл работ [23], [27], [29], [31], [69], в которых изучался аффинный аналог техники Бохнера для многообразий с эквиаффинными структурами и описывалась локальная геометрия тензорных полей на таких многообразиях.

В этих работах эквиаффинная структура рассматривалась в рамках теории G-структур, а именно, как SL(«,R) -структура, которая согласно общей теории является интегрируемой (см. [12], стр. 13), допускающей сводимую к ней аффинную связность без кручения, т.е. эквиаффинную связность.

При построении дифференциальной геометрии многообразий наряду с объектами этой теории, которыми являются многообразия, снабженные той или иной структурой, равноправную роль играют отображения, сохраняющие эти структуры. Так, в римановой геометрии многообразий это изометрии, а в аффинной дифференциальной геометрии многообразий это будут изучаемые в данной диссертации эквиаффгшные отображения. Точнее, такие диффеоморфизмы пмерных многообразий с эквиаффинными SL(«, R) -структурами, которые индуцируют изоморфизмы данных структур этих многообразий.

Несмотря на то, что теория G-структур и их изоморфизмов (в частности, автоморфизмов) хорошо разработана, теория изоморфизмов SL(«, R) -структур бедна геометрически содержательными теоремами (см. [12]), если не включать сюда факты теории, связанные с симплектическими структурами. Присоединение к SL(w,R)-структуре эквиаффинной связности V позволило в диссертационном исследовании построить геометрически содержательную теорию изоморфизмов этих структур (теорию эквиаффинных отображений) при том, что работ в данном направлении еще не было.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии эквиаффинных отображений.

Основные задачи диссертационной работы:

1) дать определение эквиаффинных отображений многообразий с эквиаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий; установить их основные свойства;

2) сформулировать и доказать ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинности отображений многообразий с эквиаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий;

3) провести классификацию эквиаффинных (в частности, эквиобъем-ных) отображений (псевдо)римановых многообразий;

4) изучить как локальную, так и глобальную геометрии выделенных классов.

Методы исследования. Изучение геометрии диффеоморфизмов /7-мерных многообразий с эквиаффинными SL(«,R) -структурами, а также геометрии выделенных классов эквиаффинных отображений псевдо)римановых многообразий проведено классическими методами дифференциальной геометрии, используя теорию, изложенную в монографиях [3], [4], [12] и [13], как основной источник. Классификация эквиаффинных отображений (псевдо)римановых многообразий проведена с использованием теории представлений групп, изложенной в классической монографии Г. Вейля (см. [6]), а также с помощью некоторых модификаций этой теории, содержащихся в статьях сборника

5].

Глобальный аспект геометрической теории эквиаффинных отображений будет изучен с помощью техники Бохнера - аналитического метода, основанного на применении интегральных формул Вейценбо-ка (см., напр., [3], стр. 77-83; [70]).

Научная новизна работы. В диссертационной работе дано определение эквиаффинного отображения и-мерных многообразий с эк-виаффинными SL(«,R)-структурами и (псевдо)римановых многообразий, установлены их основные свойства; проведена классификация эквиаффинных (в частности, эквиобъемных) отображений (псев-до)римановых многообразий; изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных классов.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение в исследованиях в аффинной и римановой геометриях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и 5 тезисах (см. [73]-[81]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XII Международной конференции «Математика в высшем образовании» (г. Чебоксары, 2004 г.), XVI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2004 г.), Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" посвященной 200-летию Казанского университета и 70-летию НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева (г. Казань, 2005 г.), Четвертой молодежной научной школе-конференции (г. Казань, 2005 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии ВГПУ (рук. проф. С.Е. Степанов).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, списка литературы, содержащего 81 наименований и занимающего 11 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 109 страниц печатного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриева, Татьяна Владимировна, 2006 год

1. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия /Акивис М.А. - Калинин: Изд-во Калининского ун-та, 1977.

2. Алексеевский В.Д. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии /Алексеевский В.Д. //Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1989. - Т. 28. - С.5-289.

3. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 1 /Бессе А. М.: Мир, 1990.-318с.

4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 2 /Бессе А. М.: Мир, 1990.-384с.

5. Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 /Бессе А. М.: Мир, 1985. - 334с.

6. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления /Вейль Г. М.: ИЛ, 1947. - 408с.

7. Давидов И. Твисторные пространства и гармонические отображения /Давидов Й., Сергеев А.Г. //Успехи матем. наук. -1993.-Т. 48.-№3.-С,3-96.

8. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности и проблема Плато /Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. М.: Наука, 1987. - с.312

9. Егоров И.П. Движения в обобщенных пространствах. Ч. 1. /Егоров И.П. Рязань: Изд-во Рязанского гос. пед. ин-та, 1977. - 101с.

10. Зуланке Р .Дифференциальная геометрия и расслоения /Зуланке Р., Винтген П. М.: Мир, 1975. - 348с.

11. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. Ч. II. /Кириченко В.Ф. Тверь: твер. гос. ун-т, 2001.-110с.

12. Кобаяси III. Группы преобразований в дифференциальной геометрии /Кобаяси Ш. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -224с.

13. Кобаяси. Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 1. /Кобаяси Ш., Номидзу К. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.-344с.

14. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 2. /Кобаяси Ш., Номидзу К. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.-416с.

15. Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. /Мантуров О.В. М.: Просвещение, 1991.

16. Микеш Й. Геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств /Микеш Й. //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2002.-Т. 11. - СЛ 21-162.

17. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях /Р. Нарасимхан М.: Мир, 1971. - 232с.

18. Норден А.П. Пространства аффинной связности /Норден А.П. -М.: Наука, 1976.-432с.

19. Петров А.З. Моделирование физических полей /Петров А.З. //Гравитация и теория относительности. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1968. - № 4-5. - С.7-21.

20. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия /Постников М.М. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 496с.

21. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия /Постников М.М. М.: Изд-во "Факториал", 1998. -496с.

22. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств /Синюков Н.С. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.-256с.

23. Степанов С.Е. Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга /Степанов С.Е., Смольникова М.В. //Известия вузов. Математика. 2004. -№11.- С.82-86.

24. Степанов С.Е. Интегральная формула для компактного многообразия с римановой структурой почти произведения /Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. 1994. - № 7. - С.69-73.

25. Степанов С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Эйнштейна и Максвелла /Степанов С.Е. //Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т. 111. - № 1. - С.32-43.

26. Степанов С.Е. О применении одной теоремы П.А. Широкова в технике Бохнера /Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. -1996. № 9. - С.53-59.

27. Степанов С.Е. Оператор Ходжа на многообразии с эквиаффинной структурой /Степанов С.Е., Цыганок И.И. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ, 1996. - Вып. 27. - С. 114-117.

28. Степанов С.Е. Семь классов гармонических диффеоморфизмов /Степанов С.Е. , Шандра И.Г. //Математические заметки. 2003. -Т. 74.-Вып. 5.-С.752-761

29. Степанов С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях /Степанов С.Е. //Фундаментальная и прикладная математика Центр новых информационных технологий МГУ: Издательский дом «Открытые системы», 2005 - Т. 11 - № 1 -С.35-84.

30. Степанов С.Е. 0(п)х 0(т п)-структуры на т - мерных многообразиях и субмерсии /Степанов С.Е. //Алгебра и Анализ. - 1995. -Т. 7-№ 6.-С. 188-204.

31. Степанов С.Е. Техника Бохнера для т-мерных компактных многообразий с SL(m,К)-структурой /Степанов С.Е. //Алгебра и анализ. 1998. - Т. 10 - № 4. - С. 192-209.

32. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. В 2-х томах. Т. 2. /Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. М.: ИЛ, 1948.-348с.

33. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Под ред. Э. Шмутцера: Пер. с англ. -М.: Энергоиздат, 1982. 416с.

34. Трофимов В.В. Риманова геометрия /Трофимов В.В., Фоменко А.Т. //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2002. - Т. 76. -С.5-262.

35. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства /Хелгасон С. М.: Мир, 1964. - 534с.

36. Шапиро Я.Л. О некоторых полях геодезических конусов /Шапиро Я.Л. //Доклады АН СССР. 1943. - Т. 39. - № 1. - С.6-10.

37. Шапиро Я.Л. Об одном классе римановых пространств /Шапиро Я.Л. //Труды семинара по векторному и тензорному анализу. -М.: МГУ, 1963. Вып. XII. - С.203-212.

38. Широков П.А. Аффинная дифференциальная геометрия /Широков П.А., Широков А.П. М.: Физматгиз, 1959. - 108с.

39. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Шетапп'овых пространствах /Широков П.А. //Изв. физ.-матем. о-ва. Казань, 1925.-Т. 25. -С.86-114.

40. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии /Щербаков Р.Н. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1960.

41. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия /Эйзенхарт Л.П. М.: ИЛ, 1948.-316с.

42. Affine differential geometric. No. 48. Oberwolfach: Tagungsber. Math. Forschungsinst., 1986. - P. 1-24.

43. Blashke W. Vorlesungen euber differential geometric II. Affine differential geometrie /Blashke W., Reidemeister K. Berlin: Springer, 1923.

44. Chen B.-Y. Harmonic metrics, harmonic tensors, and Gauss maps /Chen B.-Y., Nagano T. //J. Math. Soc. Japan, 1984. - Vol. 36. -No. 2. -P.295-313.

45. Chern S.S. Pseudo-groupes continus infinis /Chern S.S. //Coll. de geometrie differentielle. Strasbourg, 1953. - P.l 19-136.

46. Chern S.S. The geometry of G-structures /Chern S.S. //Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - Vol. 72. - P. 167-219

47. Dillen F. Conjugate connections and Radon's theorem in affine differential geometry /Dillen F., Nomizu K., Vrancken L. //Monatshefte Mathematik.- 1990.-Vol. 109. P.221-235.

48. Dodson C.T.J. Harmonic-Killing vector fields /Dodson C.T.Y., Peres M.T., Vazquez-Abal M.E. //Bull. Belg. Math. Soc. 2002. - P.481-490.

49. Donnelly M. Quasiconformal harmonic maps into negatively curved manifolds /Donnelly M. //Illinois Journal of Mathematics. 2001. -Vol. 45.-No. 2.-P.603-613.

50. Garsia-Rio E. Harmonic endomorphism fields /Garsia-Rio E., Van-hecke L., Vazquez-Abal M.E. //Illinois Journal of Mathematics. -1997.-Vol. 41.-No. 1.-P.23-30.

51. Klingeberg W.P.A. Affine differential geometry, by Katsumi Nomizu and Takeshi Sasaki. Book reviews /Klingeberg W.P.A. //Bull. Amer. Math. Soc. 1996. - Vol. 33 - № 1. - P.75-76.

52. Li A.-M. Global affine differential geometry of hypersurfaces /Li A.M., Simon U., Zhao G. Berlin: Walter de Gruyter, 1993. - 328p.

53. Nicolescu Liviu. Les espaces de Riemann en representation sub-geodesique /Nicolescu Liviu. //Tensor, N.S. 1978. - Vol. 32. - №. 2. -P. 182-187.

54. Nijenhuis A. A note on first integrals of geodesies /Nijenhuis A. //Proceedings of the koninklijke Nederlandse Akademie van wetenschappen. Amsterdam, 1967.-Vol. 52.-Ser. A.-P.141-145.

55. Nomizu K. A survey of recent result in affine differential geometry /Nomizu K. //L. Verstraelen, A. West. Geometry and Topology of Submanifolds III, Conf. Leeds, 1990. London, Singapore: Word Scientific, 1991.-P.227-256.

56. Nomizu K. Affine differential geometry /Nomizu K., Sasaki T. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. - 263p.

57. Nomizu К. On affine hypersurfaces with parallel nullity /Nomizu K. //J. Math. Soc. Japan. 1992. - Vol. 44 - № 4. - P.693-699.

58. Nomizu K. On affine surfaces whose cubic forms are parallel relative to affine metric /Nomizu K., Magid M.A. //Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1989. - Vol. 65 - № 7. - P.215-222.

59. Nomizu K. On completeness in affine differential geometry /Nomizu K. //Geometriae dedicata. 1986. - Vol. 20 -№ 1. - P.43-49.

60. Nomizu K. On the geometry of affine immersions /Nomizu K., Pinkall U. //Math. Z. 1987. - Vol. 195 - № 2. - P. 165-178.

61. Nomizu K. What is affine differential geometry? /Nomizu K. //Different. Geom. Meeting Univ. Munster. Tagunsbericht, 1982. -P.42-43.

62. Otsuki T. On curves in Kahlerian space /Otsuki Т., Tashiro Y. //Math. J. Okayama Univ. 1954. - Vol. 4. - P.54-58.

63. Reinhart B.L. Differential geometry of foliations /Reinhart B.L. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1983.- 194p.

64. Simon U. Introduction to the affine differential geometry /Simon U., Schwenk-Schellschmidt A., Viesel H. Japan: Science Univ. of To-kio, 1991.- 161p.

65. Simon U. Recent developments in affine differential geometry /Simon U. //Proc. Int. Conf.: Diff. Geom. and Its Appl., Dubrovnik, June 26-July 3, 1988. Novi Sad: Inst. Math. Univ. Novi Sad, 1989. - P.327-347.

66. Stepanov S.E. An integral formula for a Riemannian almost product manifold/Stepanov S.E. //Tensor. - 1994. - Vol. 55. - № 3. - P.209-214.

67. Stepanov S.E. Geometry of infinitesimal harmonic transformations /Stepanov S.E., Shandra I.G. //Annals of Global Analysis and Geometry. 2003. - Vol. 24. - Issue 3. - P.291-299.

68. Stepanov S.E. Vector fields in manifolds with equiaffine connection /Stepanov S.E., Tsyganok I.I. //Webs&Quasigroups. Tver': Tver' State University, 1993 - P.70-77.

69. Wu H. The Bochner technique in differential geometry /Wu H. //Mathematical Reports. London-Paris-New York: Hardwood Academic Publishers, 1988. - Vol. 3. - Part 2. - 132p.

70. Yano K. Harmonic and relatively affine mappings /Yano K., Ishihara S. //J. Diff. Geom. 1975. - Vol. 10. - P.501-509.

71. Yano K. Union curves and subpaths /Yano K. //Math. J. 1948. -Vol. 1.-P.51-59.Публикации автора по теме диссертации

72. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные диффеоморфизмы псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В. //Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. - С. 142.

73. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиобъемные отображения псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир, 2004.-С.98-100.

74. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ, 2004. - Вып. 35. -С.48-55.

75. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Об одном классе эквиаффинных отображений /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2004. - Вып. 36. - С.43-49.

76. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классе 32 эквиаффинных отображений /Зудина Т.В. //Математика в образовании: Сб. статей. Выпуск 2 /Под ред. Емельяновой И.С. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006 - С.241-243.

77. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классификации эквиобъемных отображений псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. 2006. - № 8 - С. 19-28.