Гиббсовская модель гауссовских случайных полей. Математическая модель переноса излучения в случайной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Аветисян, Миша Грантович

• Аветисян, Миша Грантович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аветисян, Миша Грантович

Введение 3стр.

Глава 1. Краткий обзор литературы 13стр.

Глава 2. Гиббсовская модель гауссовских случайных полей

2.1 Векторные случайные поля 20стр.

2.2 Гауссовские векторные поля 25стр.

2.3 Линейно регулярные векторные случайные поля 27стр.

2.4 Гиббсовские поля с линейно квадратичным потенциалом 39стр.

2.5 Основная теорема второй главы 43стр.

Глава 3. Математическая модель переноса излучения в случайной среде

3.1 Пространство траекторий 48стр.

3.2 Распределение вероятностей на пространстве траекторий 50стр.

3.3 Теорема о вероятности выхода кванта из среды 52стр.

3.4 Случай, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией 56стр.

3.5 Среднее число точек рассеяния 62стр. Литература 63стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиббсовская модель гауссовских случайных полей. Математическая модель переноса излучения в случайной среде»

Теория гиббсовских случайных полей с непрерывным множеством значений вызывает большой интерес. Некомпактность пространств состояний приводит к дополнительным трудностям, и получить полное описание гиббсовских полей данным потенциалом здесь трудно. Поэтому представляется интересным рассмотреть частный случай линейно-квадратичного потенциала, приводящий к гауссовским случайным полям.

Марковские гауссовские случайные поля были рассмотрены еще в работе Розанова [4] (см. также работу Чея [7]). В статье Добрушина [1] был подробно изучен общий класс гиббсовских полей с линейно-квадратичным потенциалом, включающий гауссовские-гиббсовские поля и в частности марковские гиббсов-ские случайные поля. Эти исследования были продолжены в статье Кюнша [11]. Во всех цитируемых работах рассматривались случайные поля со скалярными значениями.

Вторая глава этой работы посвящена распространению этих результатов на векторный случай. Здесь применены традиционные методы линейной теории случайных процессов, а также был получен новый результат для линейно-регулярных векторных случайных полей. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие регулярности векторного случайного поля в терминах его спектральной меры. В скалярном случае эта задача была решена Розановым [4]. Оказалось, что рассматриваемая здесь задача существенно легче аналогичной задачи об условиях векторного процесса в обычной «одностроной >1 формулировке».

В диссертационной работе также приводится условие сингулярности векторных случайных полей. Эти результаты распространяются для обобщенных случайных полей.

Теория переноса лучистой энергии представляет собой важнейший раздел теоретической астрофизики. С проблемой переноса излучения мы встречаемся также в геофизике (при изучении земной атмосферы и водных бассейнов).

В теории переноса излучения широко применяются вероятностные методы исследования. К ним относятся известный метод Соболева [18], вероятностная трактовка операторов отражения и пропускания, применяемые в сочетании с принципом инвариантности Амбарцумяна [19].

Следует отметить, что до сих пор эти методы использовались на «физическом уровне строгости». Математическое обоснование вероятностных методов теории переноса излучения представляет не только чисто математический интерес, но и может способствовать адекватному математическому описанию новых, более сложных задач переноса (например, задач переноса в случайно неоднородных средах).

Задачи теории переноса соответствуют малоизученному классу задач теории вероятностей, а именно задач случайного блуждания в непрерывных средах.

В третьей главе этой работы дается математическая постановка и решение одного класса задач, хорошо известных и изученных в теории переноса. Случай, когда параметры среды постоянны, исследуются довольно полно. В случае, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией от среды, ситуация определенно усложняется. Работы, посвященные этому случаю содержат принципиальную ошибку, (см. например [26], [23])

V; ■

В диссертации рассматривается случай, когда радиус корреляции е случайного процесса очень мал, по сравнению с длинной свободного пробега кван- ] та. С точностью е2 получается формула для вероятности выхода кванта.

В работе получена формула для вычисления среднего числа точек рассеяния кванта. По теме диссертационной работы опубликованы 3 печатных работы ([27] - [29]).

Диссертация состоит из трех глав, которые делятся на 10 параграфов. Нумерация утверждений двойная: например, теорема 3.1 является первой теоремой главы 3. Нумерация формул в каждой главе отдельна!* Список литерату- |/ ры содержит 30 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аветисян, Миша Грантович, 2006 год

1. Розанов Ю.А. О Гауссовских нолях с заданными условными распределе- ниями. Теория вероятности и ее нрименение. XII, 3, 1967, 165-202.

2. Н. Helson, D. Loudenslager. Prediction theary and Tourier series in several variables, Acta Mall. 99,3-4,1958.

3. Яглом A.M. Введение в теорию стационарных случайных функций.// УМН 7(5), 1952, 3-168.

4. S.C. Chay. Н.Оп Qausi-Markov random Fields.// J of Multip. Anal 2 №1. 1972,14-76.

5. Дж. Л.Дуб. Вероятностные процессы. - М.: ИЛ, 1956.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1976.

7. Preston. Random fields Lect. Notss. Math. №534. Springer, Berlin, 1976.

8. H. Kunsch. Termodynamice and statistical analysins of Gaussian random fields. Диссертация.

9. Май ер H.A. Вероятность и потенциалы. - М.: Мир, 1965. 64

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. - М.: Мир, 1965.

11. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1976.

12. Маркус М., Манк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М.: Наука, 1972.

13. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Вып. 4. Некоторые примечания гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы про-странства. М.: Физматгаз, 1961.

14. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. - М.; Мир, 1978. - Т.2.

15. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. - М.: ГИТТЛ, 1956.

16. Амбарцумян В.А. Научные труды. - Изд. АН Арм. ССР, 1960. - Т. 1.

17. Енгибарян Н.Б. Нестационарное рассеяние света. Астрофизики. - 1966.- Т.2.-№2.С18-25.

18. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. - М.: Наука, 1985.

19. Chandrasekhar S Radiative Transfer. Oxford, 1950.

20. Варданян P.B., Енгибарян Н.Б. Нрименение вероятностных методов в теории переноса со случайными параметрами.// Астрофизика, 1989. -Т.31.-.№31. 37-44

21. Минлос Р.А. Предельное распределение Гиббса. Функциональный анализ и его приложения. - 1967. - Вып.2. // Т.1.-С.60-73.65

22. Халмош П. Теория меры. - М.: ИЛ, 1953.

23. Енгибарян Н.Б., Никогосян А.Г. Диффузное рассеяние света в турбулен- той среде. // Ереван, Юб, конф. Бюриканской обсерватории, 1969. С72-76с.

24. Аветисян М.Г. Векторные гауссовские гиббсовские случайные по- ля/известия. АН Арм. ССР. -1983. - XVIII №5. СЗЗЗ-343.

25. Аветисян М.Г., Добрушин. Р.Л. Условие линейной регулярности вектор- ных случайных полей.// Проблемы передачи информации. -1985. - Вып.4.-XXI.C76-82.

26. М.Н. Avetisian, А. Mathematicol model for one transfer problem.// Integral Eg. Math. Phys. VI №1,1992.

27. Аветисян М.Г. Об одной задаче переноса при случайных изменениях ло- кальных свойств среды. // Известия. АН. Арм. ССР, Физика, 1989. - Т.24.-ВЫП.4.С182-187.