Использование индекса Конли в задачах анализа нетривиальных инвариантных множеств динамических систем в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Юрий Олегович

• Кузнецов, Юрий Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Юрий Олегович

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы.

1.2 Аксиоматическое описание индекса Конли.

1.3 Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса

1.4 Краткое содержание.

1.5 Результаты.

2 Основные классы функционалов

2.1 Базовые типы «компактности».

2.2 Принципиальные отличия основных определений.

3 Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве

3.1 Основная лемма.

3.2 Индекс Конли.

3.3 Гомотопическая инвариантность индекса Конли.

4 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве

4.1 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование индекса Конли в задачах анализа нетривиальных инвариантных множеств динамических систем в гильбертовом пространстве»

1.1 Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Понятие индекса Конли (обобщенного индекса Морса) возникло в 70-х годах прошлого века и стало основой бурно развивающейся области прикладной математики. Исторически отправной точкой послужила теорема Важевско-го, позволяющая локализовать ограниченные траектории динамической системы. Эту теорему можно рассматривать как первый принципиально новый метод качественного исследования динамических систем. В дальнейшем возникли различные направления таких исследований. Вот лишь некоторые из них:

1. Новые методы доказательства существования решений нелинейных операторных уравнений.

2. Исследование бифуркаций.

3. Качественные характеристики инвариантных множеств динамических систем.

4. Исследования нелинейной динамики: доказательство хаотических свойств, например, наличия марковских кодирований.

5. «Строгие вычисления» (rigorous computations): строгое математическое исследование конечномерной динамики на основе приближенных численных результатов.

Не вдаваясь в детали, можно отметить актуальность качественных методов исследования нелинейных динамических систем (в данной работе под таковыми понимаются непрерывные потоки). С развитием вычислительной техники и численных методов все более востребовано аналитическое описание и доказательство общих свойств нелинейных объектов, в то время как те или иные количественные характеристики (траектории и орбиты) могут быть вычислены с высокой степенью точности.

На сегодняшний день теория динамических систем на локально компактных, в том числе конечномерных, пространствах развита достаточно полно; все более актуальными становятся бесконечномерные задачи. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, классические понятия динамики здесь приобретают ясные прикладные толкования: неподвижная точка соответствует решению стационарного операторного (например, дифференциального) уравнения, сепаратриса —решению эволюционного уравнения с фиксированным исходным и конечным состоянием, бифуркация — потере устойчивости системы, а, следовательно, любое утверждение о качественном поведении бесконечномерного потока позволяет сделать вывод об объекте, для которого записано уравнение и соответствующий поток. Во-вторых, бесконечномерная динамика представляет самостоятельный интерес и естественно присутствует, например, в гидродинамике и волновой физике. Настоящая диссертация посвящена, в основном, приложениям бесконечномерного индекса Конли.

Первая фундаментальная монография, посвященная индексу Конли инвариантного множества в банаховом пространстве — работа Кжиштофа Рыбаковского «Гомотопический индекс л дифференциальные уравнения в частных производных» [20]. Автор определяет бесконечномерный индекс Конли, доказывает корректность такого определения и, в качестве приложений, устанавливает существование положительных решений параболических уравнений и периодических решений нестационарных градиентных систем. В дальнейшем появились альтернативные определения бесконечномерного индекса Конли, основанные в основном на теореме о неявной функции, или конечномерных аппроксимациях задач. Однако такие определения не позволяют исследовать явление множественности решений, характерное, например, для дифференциальных уравнений с сильными нелинейностями.

Объект, исследований. Градиентоподобные динамические системы в гильбертовом пространстве; индекс Конли совокупности инвариантных множеств; квазилинейные уравнения с сильной нелинейностью.

Цель работы. Основная цель работы — топологическое исследование явления множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью, в том числе:

1. Определение класса задач, для которых возможно применение методов индекса Конли. Аксиоматическое определение и теорема о представлении соответствующих операторов.

2. Определение и доказательство корректности индекса Конли совокупности инвариантных множеств.

3. Приложение полученных результатов к теории операторных уравнений: доказательство принципа множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью.

4. Сравнительный анализ аналогичных классов задач в различных литературных источниках.

5. Формализация доказательства теоремы о седловой точке с помощью базовых методов алгебраической топологии.

Используемые методы. В работе использованы методы нелинейного функционального анализа, общей и алгебраической топологии и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Научной новизной в предлагаемой работе обладают следующие пункты:

1. Аппроксимационное определение бесконечномерного индекса Конли совокупности критических точек функционала и связывающих сепаратрис.

2. Принцип доказательства существования бесконечного множества решений дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью, основанный на свойствах такого индекса.

3. Аксиоматическое и аналитическое описание класса задач, для которых справедлива построенная теория.

Научные положения, защищаемые авторолг. Это понятие и методы исследования индекса Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве; методика исследования структуры решений операторных уравнений с сильной нелинейностью; аксиоматическое определение и теоремы о представлении класса допустимых уравнений; формализация доказательства теоремы о седловой точке в условиях пониженной гладкости.

Практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использования для эффективного исследования динамических систем и операторных уравнений, возникающих во многих областях прикладной математики, в том числе: теории управления, оптимизации, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Московского государственного университета и Института проблем управления РАН.

Личный вклад соискателя. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В тексте диссертации присутствует глава 3, содержание которой составляет статья [2], выполненная в соавторстве: в этом случае автору принадлежит формализация утверждений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кузнецов, Юрий Олегович

8 Заключение

Результаты настоящей работы можно подытожить следующим образом.

1. Определен класс задач, для которых возможно корректное определение индекса Конли совокупности инвариантных множеств. Дано аксиоматическое определение соответствующих операторов и доказана теорема об их представлении.

2. Определен индекс Конли совокупности инвариантных множеств (решений); доказана его корректность и описаны основные свойства.

3. С помощью введенного индекса установлено существование бесконечного множества решений операторного уравнения с сильной нелинейностью.

4. Проведен сравнительный анализ различных классов допустимых задач.

5. Описана общая схема доказательства теорем о седловых точках в условиях пониженной гладкости.

Наряду с индексом Конли специального вида функционалов, в работе показана эффективность методов деформаций и общей топологии в анализе нелинейных задач. С помощью таких методов получены не только робастные (грубые) результаты — например, существование решений, — но и качественные характеристики нелинейных объектов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Юрий Олегович, 2009 год

1.1 [23 К6710 [Н12131415

2. Бобылев Н. А. О деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку // Мат. заметки. —1983. —Т. 34, № 3. —С. 387-398.

3. Бобылев Н. А., Булатов А. В., Кузнецов Ю. О. Аппроксимационная схема введения индекса Конли изолированных критических точек// Дифф. ур-ия. — 2004.— Т. 40, № 11.-С. 1462-1467.

4. Бобылев И. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические методы в вариационных задачах. — М.: Магистр, 1998.

5. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. — М.: Наука, 2001.

6. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1956.

7. Кузнецов Ю. О. Об одном классе функционалов, определенных на гильбертовом пространстве// Сборник трудов ИПУ. — 2002. — Т. XVII. —С. 73-84.

8. Кузнецов Ю. О. Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве// Дифф. ур-ия. — 2008. — Т.44, № 2. —С. 186-195.

9. Обен Ж. П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. —М.: Мир, 1988.

10. Плотников П.И. Неединственность решений задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов// Изв. АН СССР. Сер. ма-тем. -1991. - Т. 55, № 2. - С. 339-366.

11. Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.

12. Ambrosetti A., Rabinowitz P. Dual variational methods in critical point theory and applications// J. Funct. Anal. —1973. — V. 14, —C. 349-381.

13. Angenent S., Vorst R. A Superquadratic Indefinite Elliptic System and its Morse-Conley-Floer Homology// Math. Z. —1999. —V. 231.-C. 203-248.

14. Bartsch T. Critical Point Theory on Partially Ordered Hilbert Spaces// J. Funct. Anal.-2001.-V. 186. -C. 117-152.

15. Cerami G. Un criterio di esistenza per i punti su varieta illimitate // Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. - 1978. -V. 112.-C. 332-336.

16. Conley C. Isolated invariant sets and the Morse Index// Reg. Conf., Ser. Math. Providence.— AMS, 1978.

17. Conley C. On a generalization of the Morse index// Ordinary Differential Equations. Academic Press, New York and London. —1971. — C. 27-33.

18. Conley C., Easton E. Isolated invariant sets and isolating blocks// Trans. AMS. — 1971.-V. 158. — C. 35-61.

19. Ismailov I. G., Kuznetsov Yu. 0. Minimum residual-Type Methods for Nonlinear Integral Equations// Control sciences. — 2005. — V 6. — C. 18-22.

20. Mischaikow R., Mrozek M. Conley Index theory// Handbook of dynamical systems. Amsterdam: North-Holland.— 2002, —V. 2. —C. 393-460.

21. Rybakowski K.P. The Homotopy Index and Partial Differential Equations, Berlin: Springer, 1987.

22. Wazewski T. Sur un principe topologique de l'examen de l'allure asymptotique des intégrales des équations différentielles ordinaires// Ann. Soc. Polon. Math.— 1947.— V. 20.-C. 279-313.