Исследование метода тензорной факторизации многомерных сигналов для повышения эффективности пространственного мультиплексирования в задачах беспроводной связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Колесников Иван Николаевич

• Колесников Иван Николаевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Колесников Иван Николаевич

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Описание тензорной алгебры

1.1.1 Каноническое разложение

1.1.2 Разложение Таккера

1.2 Описание MIMO систем

1.3 Математическая модель передачи MIMO сигнала

1.4 Математическая модель беспроводной MIMO системы с OFDM

1.5 Методы получения оценки канала

1.6 Существующие алгоритмы прекодирования

1.6.1 Maximum ratio transmission (MRT)

1.6.2 Zero Forcing (ZF)

1.6.3 Minimum Mean Square Error (MMSE)

1.6.4 Singular Value Decomposition precoder (SVD)

1.6.5 SVD на основе QR разложения

1.6.6 Power iteration для вычисления SVD

1.6.7 Tensor Maximum Ratio Transmitting (TMRT)

1.6.8 Tensor Zero Forcing (TZF)

1.6.9 Hybrid Precoding based on Tensor Decomposition

1.7 Выводы к главе

Глава 2. Разработанный алгоритм

2.1 Описание алгоритма

2.2 Выбор ранга аппроксимации

2.3 Устойчивость алгоритма

2.4 Вывод к главе

Глава 3. Результаты моделирования

3.1 Оценка канала при помощи DMRS

3.1.1 Фильтрация оценки канала

3.1.2 Интерполяция канала

3.2 Результаты моделирования работы пространственного фильтра

3.3 Моделирование работы алгоритма оценки ранга

3.4 Анализ эффективного отношения сигнал шум в условиях внешней интерференции

3.5 Моделирование совместной работы пространственного фильтра на основе разложения Таккера и алгоритма оценки ранга

3.6 Выводы к главе

Глава 4. Сравнительный анализ сложности

4.1 Сценарии для расчета вычислительной сложности

4.2 Сравнение вычислительной сложности расчета пространственного фильтра

4.3 Сравнение вычислительной сложности алгоритмов оценки ранга

4.4 Вывод к главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование метода тензорной факторизации многомерных сигналов для повышения эффективности пространственного мультиплексирования в задачах беспроводной связи»

Введение

Прогресс в области современных и перспективных стандартов систем беспроводной коммуникации напрямую обусловливает увеличение максимальных показателей скорости информационного обмена, а также расширение численности одновременно обслуживаемых абонентских соединений в телекоммуникационных сетях. Добиться роста пропускной способности и увеличения скоростных характеристик передачи информации в таких беспроводных архитектурах можно посредством двух ключевых направлений: путем увеличения полосы используемого спектрального диапазона радиочастотного канала, либо посредством совершенствования критического параметра — соотношения амплитуды сигнала полезной информации к интенсивности шумов и интерференционных помех в приемном каскаде. Однако при практических условиях функционирования радиочастотный спектр, выступающий основным дефицитным ресурсом, уже значительным образом распределен и отведен многочисленным телекоммуникационным организациям, что делает невозможным банальное расширение частотной полосы без опасности создания вредных помеховых воздействий в направлении соседних устройств, оперирующих в смежных диапазонах и каналах, позволяя таким образом гарантировать электромагнитную совместимость и предотвратить взаимные воздействия в многопользовательской операционной среде [1],[2].

Один из наиболее прогрессивных и результативных способов повышения как пропускной способности, так и полной надежности канала передачи в беспроводных коммуникационных системах заключается в применении технологии MIMO (Multiple Input Multiple Output). Достижения в области активных управляемых фазированных антенных решеток (АФАР), располагающих способностью динамически и оперативно переориентировать форму и ориентацию своей диаграммы направленности согласно текущим характеристикам среды распространения волн, дали возможность полноценной практической реализации

всех преимуществ MIMO в коммерческих системах телекоммуникаций. Массовое внедрение АФАР, в частности в виде технологии Massive MIMO, формирует фундамент компоновки новейших и грядущих стандартов беспроводной связи 5G/6G, где точное направленное создание узких сигнальных пучков, ориентированных персонально на каждого абонента сети, приводит к многократному возрастанию совокупной пропускной способности радиоканалов и прогрессу показателей применения частотного спектра. По сравнению с SISO (Single Input Single Output), где используется только одна антенну на каждой стороне соединения, конструкции на основе MIMO дают заметное ускорение обмена информацией вследствие процесса пространственного уплотнения нескольких несвязанных потоков и синхронно совершенствуют устойчивость к шумовым помехам благодаря явлению пространственного разнесения сигнальных компонент, что совокупно повышает результативность функционирования всей архитектуры в обстановке много абонентского доступа [1], [3], [4].

В архитектурах радиокоммуникации, действующих согласно концепции MIMO, заложены различные многообразные режимы функционирования и применения, из них выделяют такие основные направления, как пространственное уплотнение для одновременной трансляции несвязанных потоков информации, направленное фокусирование энергетических ресурсов сигнала, пространственно-временное шифрование для укрепления стойкости к трансформациям посредством временно-пространственного резервирования, предварительная компенсация искажений канала (прекодирование) в передающей части, а также формирование множественного доступа с применением пространственного дробления ресурсов среди нескольких абонентов, что в целостности гарантирует адаптивность и производительность MIMO-архитектуры при разнообразных характеристиках распространения волн [5]-[8].

Современные алгоритмы позволяют добиться различных эффектов от применения технологии MIMO, например:

— Снижение рабочего отношения сигнала шум (повышение помехоустойчивости);

— Повышение емкости беспроводного канала.

MIMO активно используется в сетях четвертого поколения таких как LTE [9] и LTE-Advanced [ 10],[11]. В сетях 5G, 6G [11], также применяется MIMO, но с большим количеством антенн. Например, стандарт мобильной связи шестого поколения будет использовать massive MIMO и XL MIMO (Extremely Large-Scale MIMO), в этом случае количество антенн измеряется сотнями и тысячами [12],[19]. При чем ввиду ограничений на габариты абонентских терминалов количество антенн на базовой станции кратно больше [12], [13].

Благодаря использованию нескольких аналоговых трактов сигнал может передаваться на нескольких независимых потоках. Искажения в каждом канале можно описать комплексным коэффициентом. Знание этих коэффициентов на приемной стороне позволяет компенсировать искажения [1], [4], [5].

Практическое внедрение технологии MIMO выходит за границы одиночных каналов и активно задействуется для генерирования многопользовательских каналов информационного обмена, более распространенно именуемых как архитектуры MU-MIMO (Multiuser MIMO), ориентированные на синхронное обслуживание множества абонентов. Принципиальное отличие таких архитектур состоит в способности одновременного взаимодействия всех подсоединенных пользователей с центральной базовой станцией, при этом все они используют идентичные частотно-временные параметры, что накладывает своеобразные условия на разработчиков алгоритмических решений и предписывает принимать во внимание это обстоятельство на всех фазах разработки и совершенствования методик обработки и демодуляции сигналов в многопользовательской среде для минимизирования помех и оптимизирования совокупной пропускной способности.

В многопользовательских MIMO-архитектурах для подавления помеховых воздействий между абонентами используются методы прекодирования, основывающиеся на подготовленных данных о параметрах канала. Через прекодирующие устройства в передатчике генерируются матрицы коэффициентов, расщепляющие сигналы и совершенствующие распределение энергии по пространственным потокам для совершенствования результативности. Без такого

прекодирования в базовой станции MU-MIMO функционирование становится недостижимым, так как помехи от интерференции сигналов пользователей делают прием в терминалах неосуществимым.

В публичном поле доступны несколько алгоритмов прекодирования, задачей котырых является борьба с помехами и интерференцией [20]-[24]. Все существующие ПФ можно классифицировать существующие алгоритмы на две основные группы: линейные и нелинейные.

Например, можно выделить прекодер Томлинсона-Харашимы [20], построенный на принципе «письма на грязной бумаге» DPC [1]. Его задача состоит в повышении помехоустойчивости системы связи, однако он имеет скорее научную ценность, чем практическую поскольку у него высокие требования к вычислительным ресурсам, в следствии чего его затруднительно применять в реальных системах связи. Среди линейных алгоритмов прекодирования известно множество решений, подробно рассмотренных в [21], [24]-[37]. Линейные алгоритмы чаще используются на практике, однако они уступают нелинейным с точки зрения качества работы.

Большинство линейных прекодеров имеет сложность 0(N3) [24]-[37]. Это означает, что при возрастании кол-ва антенн на базовой станции и количества пользователей сложность возрастает кубически.

Существуют прекодеры, которые используют многомерную структуру канала (тензорные прекодеры) [38]-[46]. Основная идея — применить методы тензорной алгебры для поднятия эффективности работы системы передачи. Однако, сложность большинства из них много выше сложности классических (матричных алгоритмов), либо они не применимы на практике, ввиду наличия длительного накопления статистики [42].

Типовые методики расчета пространственного фильтрующего устройства (ПФ), опирающиеся на сингулярное разложение (SVD) матрицы канала для каждой частотной компоненты, обладают кубической расчетной сложностью и перестают быть практичными для архитектур с большими антенными комплексами и широким диапазоном спектра. Имеющиеся стратегии оптимизации, в том числе

усреднение ПФ по частотам, нередко вызывают потерю в качестве в обстановке интенсивной многолучевости и динамичного канала в спектральной области.

По названной причине формируется жесткая необходимость в разработке новейших методов вычисления прекодирующих фильтрующих устройств (ПФ) с малой расчетной сложностью, гарантирующих поддержание высокого стандарта обработки сигналов при существенной экономии вычислительных ресурсов процессора. В виде перспективного направления рассматривается применение тензорных разложений.

Работа посвящена разработке и исследованию нового алгоритма пространственной фильтрации на основе разложения Таккера, который позволяет снизить размерность за счет перехода к сжатому тензорному ядру. Благодаря такому переходу к меньшим размерностям можно снизить вычислительную сложность расчёта пространственного фильтра по сравнению с классическими методами (SVD). При этом можно обойтись без существенных потерь в качестве.

Актуальность. Работа соответствует наиболее актуальным направлениям развития систем связи, а именно использованию большого числа антенных элементов на приемной и передающей стороне. Что в свою очередь требует внедрения эффективных алгоритмов, так как вычислительные возможности аппаратуры ограничены.

В итоге разработка алгоритма позволяющего снизить вычислительные затраты, при этом не теряющего в качестве является актуальной научно-практической задачей.

Степень разработанности темы. Проблема расчета пространственного фильтра (ПФ) для систем MIMO является популярной для изучения областью. Степень разработанности темы можно охарактеризовать анализом существующих подходов, которые условно делятся на двумерные (матричные) и многомерные (тензорные) методы.

Двумерные (матричные) методы разработаны достаточно глубоко и широко представлены в научной литературе (например, в работах ByungMoo Lee, Zhonghua Liang, Rui Dinis, Волчкова В.П., Шурахова А.А.). Классическим подходом является

метод Zero Forcing (ZF), основанный на вычислении псевдообратной матрицы канала, однако его высокая вычислительная сложность 0(Nделает его малоприменимым для систем с большим числом антенн. Итеративные алгоритмы, такие как метод сопряженных градиентов или Якоби, позволяют снизить сложность до 0(N") на итерацию, но требуют множества итераций для достижения удовлетворительной точности, что в совокупности не всегда приводит к выигрышу в производительности. Нелинейные методы, например, метод возмущения векторов (vector-perturbation), показывают высокую эффективность, но плохо поддаются распараллеливанию и оптимизации для векторных процессоров. Общим недостатком всех двумерных методов является необходимость независимого расчета ПФ для каждой поднесущей частоты или группы поднесущих, что приводит к линейному росту вычислительной нагрузки с увеличением полосы пропускания.

Многомерные (тензорные) методы представляют собой более современное и активно развивающееся направление (André L.F. de Almeida., Дорохин С.В., Флаксман А.Г., Martin Haardt). В работах этих авторов предлагается использовать алгоритмы тензорной обработки сигналов. Отличительная особенность этих алгоритмов состоит в том, что в них учитывается многомерная структура канала (пространственно-частотная). Эти алгоритмы обладают схожими недостатками:

— Необходимость длительного накопления статистических данных

— Высокая вычислительная сложность

Также рассматриваются методы машинного обучения, для обработки сигнала. Эти алгоритмы разрабатывались для слепой оценки канала. Таким образом опосредованно могут рассматриваться для решения текущей задачи. Однако эти алгоритмы обладают теми же недостатками что и тензорные алгоритмы.

Предлагаемый в работе метод, основанный на разложении Таккера, направлен на заполнение этой ниши. Он использует способность данного разложения к эффективному сжатию многомерных данных, что позволяет перенести вычислительно сложные операции (такие как SVD) в пространство существенно меньшей размерности (на ядро тензора), а затем спроецировать

результат обратно. Такой подход, в отличие от многих существующих аналогов, не требует накопления статистики и может быть адаптирован для работы в реальном времени, что определяет его научную новизну и практическую значимость.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка алгоритма расчета пространственного фильтра, качество работы которого приближено к оптимальному ^УО), при этом требующего меньших вычислительных затрат.

Для выполнения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1) провести анализ существующих матричных и тензорных алгоритмов расчета пространственных фильтров.

2) разработать алгоритм вычисления ПФ (на основе тензорной алгебры).

3) разработать критерий целесообразности применения тензорного алгоритма расчета ПФ.

4) оптимизировать работу ПФ за счет учета априорных знаний о канале. Научная новизна работы заключается в следующем:

1) разработан алгоритм расчета пространственного фильтра на основе разложения Таккера, позволяющий повысить эффективность систем беспроводной связи за счет совместной обработки в пространственно-частотной области с максимальным падением качества не более 0,5 йБ по сравнению с методом SVD (п. 2 паспорта специальности 2.2.15).

2) Разработан алгоритм быстрой оценки ранга канала на основе аналитической модели гамма-распределения собственных значений, повышающий быстродействие беспроводной системы путем адаптивного выбора параметров пространственного фильтра в условиях многопользовательской интерференции и обеспечивающий надежную работу при искажениях и ошибках оценки канала (п. 1 паспорта специальности 2.2.15).

3) Показана возможность эффективного совместного применения алгоритма расчёта пространственного фильтра на основе разложения Таккера и алгоритма быстрой оценки ранга канала на основе аналитической модели гамма-распределения собственных значений для оптимизации процесса

пространственно-частотной обработки многомерного М1МО-канала (п. 7

паспорта специальности 2.2.15).

Научная значимость. Предложенный алгоритм расчета пространственного фильтра на основе методов тензорного анализа позволяют повысить производительность систем связи за счет совместной обработки в пространстве и частоте.

Дополнительно в диссертации предложен алгоритм оценки собственных чисел канальной матрицы на основе априорных знаний о канале. Метод позволяет снизить вычислительную сложность алгоритмов расчета ПФ. Дополнительно, он позволяет произвести быструю оценку ранга канала и сформулировать критерий для выбора того или иного ПФ для передачи.

Комбинация двух предложенных алгоритмов, позволяет эффективно использовать частотно-пространственный ресурс. Сформулирован критерий применимости алгоритма расчета пространственного фильтра, который может служить как метрика качества последующих алгоритмов.

Практическая ценность. Полученные в ходе работы результаты подтвердили эффективность использования методов тензорной алгебры для расчета пространственного фильтра. Такие алгоритмы находят широкое применение в современных системах связи 5 и 6 поколения в особенности в не наземных сетях (ЫТЫ) для снижения вычислительной сложности приемника/передатчика. Разработанный алгоритм оценки ранга матрицы канала позволяет повысить эффективность таких систем связи.

Методология и методы исследования. Основу исследования составили следующие методы:

— Метод сравнительного анализа.

— Методы тензорных разложений.

— Численные методы линейной алгебры.

— Метод компьютерного имитационного моделирования (в том числе с

применением QuaDRiGa [17]).

Положения, выносимые на защиту:

1) Разработанный алгоритм расчета ПФ на основе методов тензорного анализа позволяет сократить вычислительные затраты, при этом не теряя в качестве работы. Максимальное падение качества составляет 0,5 dB.

2) Сформулирован критерий целесообразности применения алгоритма расчета ПФ, заключающийся в соотношении между рангом тензора и его размерностями.

3) Алгоритм оценки ранга канала показывает схожие результаты с известными алгоритмами, при этом его вычислительная сложность О (N"), что меньше, чем у известных алгоритмов 0(N3 ).

4) Предложено новое комбинированное применение алгоритмов (п.2 и п.3), обеспечивающее сохранение высокого качества работы метода без увеличения вычислительной сложности, за счет обоснованного выбора границы оценки собственных чисел.

Достоверность представленных результатов подтверждается сравнением разработанных алгоритмов с признанными и активно применяемыми на практике алгоритмами оценки ПФ, применением фундаментального математического аппарата тензорной алгебры и численных методов, а также всесторонним имитационным моделированием в различных сценариях, демонстрирующим согласованные и прогнозируемые результаты, которые могут быть независимо верифицированы благодаря представленным аналитическим оценкам. Для подтверждения работоспособности алгоритмов использовался симулятор канала распространения сигнала QuaDRiGa.

Результаты опубликованы в ведущих Российских журналах и доложены на международных конференциях.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на: международных конференциях:

— IEEE International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON);

— 31st Telecommunications Forum (TELFOR);

— международной школе-конференции по тензорным методами в математике и задачах ИИ.

Личный вклад. Все основные результаты работы были получены автором лично.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 4 печатных изданиях, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК и входящих в «белый список» (категория К1-К2), 2 — в изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus.

Публикации автора по теме диссертации:

1. I.N. Kolesnikov and V.A. Lyashev, "The method of rank evaluation in channel estimation problem based on a priori data," Infokommunikacionnye technologii,

— Vol. 23. — № 2. — pp. 7-19. — 2025, doi: 10.18469/ikt.2025.23.2.01.

2. I.N. Kolesnikov, V.A. Lyashev, I.V. Oseledets, "Spatial filtering method based on the Tucker decomposition," T-Comm. — 2025. — Vol. 19. — № 4. — pр. 30-36. DOI: 10.36724/2072-8735-2025-19-4-30-36

3. I. Kolesnikov and V. Lyashev, "Computationally Efficient Tensor-Based MIMO Precoder," 2024 IEEE International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON), Novosibirsk, Russian Federation.

— 2024. — pp 1-4, doi: 10.1109/SIBIRC0N63777.2024.10758516.

4. I. Kolesnikov, V. Lyashev and M. Kirichenko, "Fast algorithm for estimating singular values of Hermitian matrix," 2023 31st Telecommunications Forum (TELFOR), Belgrade, Serbia. — 2023. — pp. 1-4, doi: 10.1109/TELFOR59449.2023.10372724

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, списка сокращений и условных обозначений, словаря терминов, списка литературы, списка иллюстративного материала, списка таблиц и приложения. Общий объем диссертации составляет 110 страниц. Работа содержит 28 рисунков и 9 таблиц. Список литературы включает 83 наименования.

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Описание тензорной алгебры

Тензором называется ^-мерная матрица <Л 6 с11Х ,Х1" . В этом случае говорят, что задан тензор размерности <1. Для этого же тензора можно использовать букву <Л без скобок и индексов там, где эта информация не является существенной.

Широко известны операции над векторами и матрицами. Например, умножение вектора на вектор:

а2

[Ь& Ь2 ••• Ъ' ] . = а^ + а2Ъ2 +-----+ аи Ъи (1)

Умножение матрицы на матрицу, матрицы на вектор, и т. д. Также общеизвестны матричные разложения: Сингулярное разложение ^УО), QR, LU и т. д. [49]. Тензоры, как многомерные обобщения матриц, обладают более сложной структурой и свойствами. Многие концепции, интуитивно понятные для матриц, такие как ранг или разложение по сингулярным числам, не имеют прямого и единственного аналога в мире тензоров. Это связано с существенно большим числом возможных взаимодействий между элементами тензора. Перед тем как объяснить существующие тензорные разложения, необходимо ввести несколько определений.

Пусть есть тензор Л 6 С'1Х (#Х ■■■ Х .

Во первый, для индексации будем использовать нижние индексы, с перечислением через запятую, например элемент тензора <А с индексами ¿&, ¿2,..., ¿*, будем обозначать:

В случае если хотим обозначить все элементы по размерности ¿к, к = 1... d, будем использовать ":".

Определим операции развертки тензора. Наиболее распространенным определением развертки является определение, данное и популяризированное авторами Kolda и Bader [50]. Будем называть <А[п] Е CInX I±l2 -I$-iIn+i-Id разверткой тензора <А, по размерности п. Причем элемент тензора <А с индексами i&, i2,..., id, здесь ik Е [1... I,], к = 1 ...d соответствует элементу <Ащ с индексами in,j, где:

N

J

= i + ?U,-«П

т

(2)

к=& к2п

т=1 т2п

Например, пусть есть тензор, <А Е С

3X4X2

определенный по передним слоям

как:

0 2 4 6

& 8 16 1 10 18 3 12 20 5 14 22 7

<Л2 — 9 17 11 19 13 21 15 23

Тогда развертка по первой размерности

Г 0 2 4 6 1 3 5 7

Л[&] - 8 10 12 14 9 11 13 15

16 18 20 22 17 19 21 23

Развертка по второй размерности:

0 8 16 1 9 17

Л[2] - 2 4 10 12 18 20 3 5 11 13 19 21

6 14 22 7 15 23

Развертка по третьей размерности

Д 8 -\l 9 l6 17 2 3 10 11 18 19 4 5 12 13 20 21 6 7 14 15

(3)

(4)

(5)

22 23-

(6)

Аналогично вводится операция свертки (не путать с классической сверткой) тензора.

Результатом операции сложения тензоров является тензор, каждый элемент которого является суммой соответствующих элементов исходных тензоров. Результатом операции умножения тензора на число является исходный тензор, каждый элемент которого умножен на это число.

Тензоры Л 6 С'1Х (#Х ■ Х и Ъ 6 САХ 4#Х ■ Х называются равными, если

(1 = р

1# =;# ,1б[1...^] (7)

Теперь можем ввести понятие тензорного произведения. Произведением тензора Л на матрицу В 6 С("+1Х(п по размерности п будем называть тензор С:

С = Яхп В (8)

Причем,

(п

Пример:

Пусть есть матрица В = 2|, а тензор <А возьмем из уравнения (3).

Л X В = В^ = Г 8 16 2 10 18 4 12 6 14 22* =

3 = [3] = %з 4* 11 9 17 3 11 19 5 13 21 7 15 23* =

(10)

= %2 26 50 8 32 56 14 38 62 20 44 68*^ %4 60 116 18 74 130 32 88 144 46 102 158*

Аналогично вводится произведение тензора на вектор и скаляр Важные свойства умножения тензора на матрицу:

— Л хп А хт В = Л хт В хп А, при шфп

— Л хп А хп В ^ ^ хп В хп А, в общем случае

— Л хп А хп В = Л хп ВА

— Если Л = Ъх& А& х2 ... х* А*, то

Я{п] = АпЪ[п] (А& 0 ... 0 Ап_& 0 Ап+1 0 ... 0 А*) (11)

Ситуация обстоит иначе с произведением тензора на тензор. В данной работе не потребуется умножение тензоров более третьего порядка, поэтому ограничимся введением данной операции только для трехмерных тензоров. Произведением тензора Л 6 С71Х(2Х(з на тензор Ъ12-Х1)Х1( по 3-ей размерности, назовем тензор С х £(1Х1)Х1з:

С = Л°Ъ (12)

Причем,

-

= ?

,#4,#3 / л

^#1,#3 ,#4,#3

(13)

к=&

Визуально это можно представить как умножение соответствующих фронтальных слоев тензоров Л и Ъ, см Рисунок 1

/

а ъ /

Элементы тензоров которые используются для получения результата

результат

Рисунок 1 — Графическое изображение произведения тензора на тензор Для объяснения тензорных разложений также необходимо ввести понятие ранга тензора. Как и со всеми понятиями в тензорной алгебре с рангом нет единого общего определения. Мы будем использовать следующее определение:

Рангом тензора Л вдоль размерности п (Рангом Таккера) называется ранг развертки тензора Лщ:

гп = гапк{Я [.]) (14)

Этим определением мы будем пользоваться в дальнейших рассуждениях. Введем понятие однорангового тензора, на основе предыдущего определения (ниже обобщим его). Одноранговым тензором назовем тензор ранг, по каждой размерности которого равен 1:

гп = 1,п = 1 „Л (15)

И на самом деле это определение эквивалентно следующему: Одноранговым тензором является тензор которой представим в виде произведения по соответствующим размерностям й векторов (см рисунок 2).

Рисунок 2 — Пример однорангового тензора Также необходимо дать определение произведению Кронекера: Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается 0. Результатом является блочная матрица. Пусть есть матрицы А £ С'1Х'2 и В £ , тогда их произведением Кронекера

является блочная матрица С £ с'!'зХ'2'4, такая что I £ [1 ...Л^],у £ [1 ] блок равен аг,у В:

А =

В =

- а&

-а'1

Л •

Ь'3 •

(16)

С=А®В=

а&В

а'1 в

Я' в

Важные свойства произведения Кронекера:

— (А 0 В)6 = А6 0 В6

— (А 0 В)9 = Ая 0 Вя

— (А 0 В)"1 = А"1 0 В"1

— (А 0 В)(С 0 Э) = АС 0 ВО

— £г(А 0 В) = £г(А)£г(В), £г(-) — след матрицы

— гап&(А 0 В) = гап&(А)гап&(В) Произведение Хатри-Рао:

Произведение Хатри-Рао (обозначается О) основывается на произведение Кронекера, как произведение Кронекера столбцов матрицы А е С'1Х'2 и строк матрицы В е С'(Х'4 :

= |а&, ...,а'2

ь&

В = Л

Ь'з

-1хма

(17)

С=АОВ=

а& 0 Ь&

а» 0 Ь,

е С'1'3Х'2»4

_ ^N1 чУ Умножение Адамара:

Произведением Адамара (обозначается *) матриц А е С'1Х'2 и В е С'1Х'2, является матрица С е с'1Х'2, причем с#5 = а^ Ь^ :

а1 —

А =

В =

••• а'1'2-Ъ& - Ь'2

ь

N1

ь

N1,2

(18)

с = А*в =

2- N2

а&Ъ& - а,2 Ь а'1 ^1 — а'1'2

2

1.1.1 Каноническое разложение

Теперь мы готовы к вводу тензорных разложений. Первым и наиболее понятным является каноническое разложение тензора [51]. Для объяснения канонического разложения (СР) вспомним SVD разложение [52]. Сингулярное разложение матрицы — это разложение этой матрицы на три матрицы (две ортогональных и одну диагональную). Оно обладает некоторыми интересными

алгебраическими свойствами и передает важные геометрические и теоретические идеи о линейных преобразованиях. Математически SVD представляет следующее:

А = и5У6, (19)

где:

А £ С'ХМ — произвольная матрица, ранг которой равен г < тт(М, М) и £ С'ХГ- ортогональная матрица левых собственных векторов 5 £ МГХГ — диагональная матрица сингулярных чисел V £ СГХМ — ортогональная матрица правых собственных векторов Алгоритм вычисления SVD разложения матрицы А £ С'ХМ:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесников Иван Николаевич, 2026 год

Список литературы

1. Бакулин, М.Г. Технология MIMO: принципы и алгоритмы / М.Г. Бакулин, Л.А. Варукина, В.Б. Крейнделин. — М.: Горячая линия — Телеком, 2014. — 244 с.

2. Аджемов, А.С. Общая теория связи: учебник для вузов / А.С. Аджемов, В.Г. Санников. — М.: Горячая линия — Телеком, 2018. — 624 с.

3. Быховский, М.А. Оптимальная линейная коррекция многолучевого канала связи при разнесенном приеме сигналов / М.А. Быховский// Электросвязь. — 2011. — № 12. — С. 36-41.

4. Sibille, A. MIMO: From Theory to Implementation / A. Sibille, C. Oestges, A. Zanella. — UK: Elsevier Ltd., 2011. — 384 p.

5. Ngo, H.Q. Massive MIMO: Fundamentals and System Designs / H. Q. Ngo.

— Linkoping University Electronic Press, 2015. — 301 p.

6. Крейнделин, В.Б. Моделирование инфокоммуникационных систем [Электронный ресурс]: Лабораторный практикум для бакалавров очной формы обучения направления 11.03.02 / В.Б. Крейнделин, А.Э. Смирнов, Т.Б.К. Бен Режеб. — М.: МТУСИ, 2018.

— URL:http://www.mtuci.ru/structure/library/catalogue/download.php?book_id= 1841/

7. Kuhn, V. Wireless Communications over MIMO Channels: Applications to CDMA and Multiple Antenna Systems / V. Kuhn. — John Wiley & Sons Ltd, 2006.

— 388 p.

8. Lu, L. An Overview of Massive MIMO: Benefits and Challenges / L. Lu, G. Ye Li, A. L. Swindlehurst, A. Ashikhmin, R. Zhang. // IEEE journal of selected topics in signal processing. — 2014. — V. 8, issue: 5. — pp. 742-758.

9. 3GPP TS 36.201 v.8.1.0. Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); LTE Physical Layer — General Description (Release 8).

— URL: https://www.etsi.org/deliver/etsi_ts/136200_136299/136201/08.01.00_6 0/ts_136 201v080100p.pdf).

10. 3GPP TS 36.871 v.11.0.0. Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); Downlink Multiple Input Multiple Output (MIMO) enhancement for LTEAdvanced (Release 11). — URL:http://www.qtc.jp/3GPP/Specs/36871-b00.pdf.

11. Ahmadi, S. LTE Advanced. A Practical System Approach to Understanding 3GPP LTE Releases 10 and 11 Radio Access Technologies / S. Ahmadi. — John Wiley & Sons Ltd, 2014. — 1107 p.

12. Larsson, E.G. Massive MIMO for next generation wireless systems / E. G. Larsson, O. Edfors, F. Tufvesson, T. L. Martezza // IEEE Communications Magazine. — 2014. — V. 52, issue: 2. — pp. 186-195.

13. Marzetta, T. L. Noncooperative Cellular Wireless with Unlimited Numbers of Base Station Antennas / T. L. Martezza // IEEE Transactions on Wireless Communications. — 2010. — V. 9, issue: 11. — pp. 3590-3600.

14. Rusek, F. Scaling up MIMO: Opportunities and challenges with very large arrays / F. Rusek, D. Persson, B. K. Lau, E. G. Larsson, T. Martezza, O. Edfors, F. Tufvesson // IEEE Signal Processing Magazine. — 2013. — V. 30, issue: 1.

— pp. 40-60.

15. Крейнделин, В.Б. Сравнение алгоритмов демодуляции при увеличении количества антенн технологии Massive MIMO / В.Б. Крейнделин, А.Э. Смирнов // Международный форум информатизации (МФИ-2014). Труды конференции «Телекоммуникационные вычислительные системы».

— М., МТУСИ, 2014. — С 141.

16. Jeon, C. Optimality of Large MIMO Detection via Approximate Message Passing / C. Jeon, R. Ghods, A. Maleki, C. Studer/ In proc. IEEE International Symposium on Information Theory, 2015. — pp 1227-1231.

17. Wu, S. Low-complexity iterative detection for large-scale multiuser MIMOOFDM systems using approximate message passing / S. Wu, L. Kuang, Z.

Ni, J. Lu, D. Huang, Q. Guo // IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing. — 2014. — V. 8, issue: 5. — pp. 902-915.

18. Jungnickel, V. The Role of Small Cells, Coordinated Multi-point, and Massive MIMO in 5G / V. Jungnickel, K. Manolakis, W. Zirwas, B. Panzner, V. Braun, M. Lossow, M. Sternad, R. Apelfrojd, T. Svensson // IEEE Communications Magazine. — 2014. — V. 52, issue: 5. — pp. 44-51.

19. Hoydis, J. Massive MIMO in the UL/DL of Cellular Networks: How Many Antennas Do We Need? / J. Hoydis, S. ten Brink, M. Debbah // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. — 2013. — V. 31, issue 2. — pp. 160-171.

20. Нечаев, Ю.Б. Нелинейные алгоритмы внесения предыскажений для компенсации многолучевого характера каналов связи /Ю.Б. Нечаев, А.А. Малютин // Нелинейный мир. — 2012, — № 7. — С. 425-439.

21. Spencer, Q.H. Zero-forcing methods for downlink spatial multiplexing in Multiuser MIMO channels / Q.H. Spencer, A.L. Swindlehurst, M. Haardt // IEEE transactions on signal processing. — 2004. — V. 52. — № 2, — p. 461-471.

22. Brown III, D.R. MIMO Nullforming with RVQ Limited Feedback and Channel Estimation Errors / D.R. Brown III, D.J. Love // Proceedings of the 48th Asilomar Conference on Signals, Systems, and Computers. — 2014, p. 983-987.

23. Medra, A. Flexible codebook design for limited feedback downlink systems via smooth optimization on the grassmannian manifold / A. Medra, T. Davidson // IEEE 13th International Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications (SPAWC). — 2012. — p. 50-54.

24. Tsoulos, G. MIMO System Technology for Wireless Communications / G. Tsoulos.: Boca Raton: CRC Press, 2006. — 400 p.

25. Международный патент (РСТ) № WO 2005/046081. Method to determine Precoding weights based on Channel State Information in a MIMO Communication Systems / W. Tong, p. Zhu, M. Jia, A. Chloma, M. Bakouline, V. Kreindeline. 04 November 2004.

26. Wang, F. Performance of Block Diagonalization Scheme for Downlink Multiuser MIMO System with Estimated Channel State Information / F. Wang, M.E. Bialkowski // Int. J. Communications, Network and System Sciences.

— 2011. — №4. — p. 82-87.

27. Cattoni, A.F. Zero-Forcing Pre-coding for MIMO WiMAX Transceivers: Performance Analysis and Implementation Issues / A.F. Cattoni, Y. Le Moullec, C. Sacchi // Proceedings of the IEEE Aerospace Conference. IEEE, I E E E Aerospace Conference. Proceedings. — 2013. — p. 1-7

28. Zu, K. Novel Efficient Precoding Techniques for Multiuser MIMO Systems: PhD thesis / K. Zu.; University of York. — 2013. — 142 p.

— URL:http://etheses.whiterose.ac.uk/4458/.

29. Bala, E. J. Zero-forcing beamforming codebook design for MU-MIMO OFDM systems / E. Bala, J.L. Pan, R. Olessen, D. Grieco // Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. — 2008 Fall. — p. 1-5.

30. Nguyen, D.H.N. Block-diagonalization precoding in a multiuser multicell MIMO system: Competition and coordination / D.H.N. Nguyen, H. Nguyen-Le, T. LeNgoc // IEEE Trans. Wireless Commun. — 2014. — V. 13, — № 2. — p. 968981.

31. Hidekazu, M. Performance improvement of ZF-precoded MU-MIMO transmission by collaborative interference cancellation / M. Hidekazu, S. Ryo // IEICE Communication Express. — 2015. — V. 4, No.5. — p. 155-160.

32. Khan, M.H. A simple block diagonal precoding for multi-user MIMO broadcast channels / M. H. Khan, K. M. Cho, M. Lee, J.-G. Chung // EURASIP J. Wirel Commun. Netw. — 2014. — № 1. — p. 95-101.

33. Agnihotri, A. Performance evaluation of linear/non-linear precoding schemes for downlink multi-user MIMO systems / A. Agnihotri, B. Gupta // 2015 International Conference on Industrial Instrumentation and Control (ICIC), Pune.

— 2015. — p. 484-489

34. Волчков, В.П. Исследование эффективности алгоритмов линейного прекодирования в системах MIMO / В.П. Волчков, А.А. Шурахов // Электросвязь. — 2012. — №5, — с.15-16.

35. Karaa, H. Linear Precoding for Multiuser MIMO-OFDM Systems / H. Karaa, R.S. Adve and A.J. Tenenbaum // 2007 IEEE International Conference on Communications, Glasgow. — 2007. — p. 2797-2802.

36. Kaltenberger, F. Capacity of linear multi-user MIMO precoding schemes with measured channel data / Kaltenberger, M. Kountouris, L. Cardoso, R. Knopp and D. Gesbert // 2008 IEEE 9th Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications, Recife. — 2008. — p. 580-584.

37. Gao, X. Linear pre-coding performance in measured very-large MIMO channels / Х. Gao, O. Edfors, F. Rusek, F. Tufvesson // Proc. of the 74th IEEE Vehicular Technology Conference. IEEE--Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., IEEE Vehicular Technology Conference VTC. — 2011. — p. 1-5.

38. D. Pandey and H. Leib, "Capacity Performance of Tensor Multi-Domain Communication Systems With Discrete Signalling Constellations," in IEEE Open Journal of the Communications Society, — V. 4, — pp. 534-551, 2023, doi: 10.1109/OJCOMS.2023.3240406.

39. D. Pandey and H. Leib, "A Tensor based Precoder and Receiver for MIMO GFDM systems," ICC 2021 — IEEE International Conference on Communications, Montreal, QC, Canada, 2021, — pp. 1-6, doi: 10.1109/ICC42927.2021.9500957.

40. S. Park, A. Ali, N. Gonzalez-Prelcic and R. W. Heath, "Spatial Channel Covariance Estimation for Hybrid Architectures Based on Tensor Decompositions," in IEEE Transactions on Wireless Communications. — V. 19, — № 2, — pp. 1084-1097, Feb. 2020, doi: 10.1109/TWC.2019.2951135.

41. L. N. Ribeiro, S. Schwarz, A. L. F. de Almeida and M. Haardt, "Low-Complexity Massive MIMO Tensor Precoding," 2020 54th Asilomar Conference on Signals, Systems, and Computers, Pacific Grove, CA, USA, 2020, — pp. 348355, doi: 10.1109/IEEECONF51394.2020.9443492.

42. A. L. F. de Almeida, I. L. J. da Silva, G. Favier and F. R. p. Cavalcanti, "Tensor-based precoding with blind MIMO channel estimation and transmit antenna selection," 2008 IEEE 9th Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications, Recife, Brazil, 2008, — pp. 386-390, doi: 10.1109/SPAWC.2008.4641635.

43. L. Liu and Y. Tian, "Hybrid precoding based on tensor decomposition for mmWave 3D-MIMO systems," 2017 IEEE/CIC International Conference on Communications in China (ICCC), Qingdao, China, 2017, — pp. 1-6, doi 10.1109/ICCChina.2017.8330385.

44. L. Zheng, Z. Wang, M. Bai, Z. Tan and Q. Zhu, "Beamforming Tensor Compression for Massive MIMO Fronthaul," in IEEE Transactions on Communications, doi: 10.1109/TC0MM.2024.3496749.

45. André L. F. de Almeida. Tensor modeling and signal processing for wireless communication systems. Networking and Internet Architecture [cs.NI]. Université de Nice Sophia Antipolis, 2007. English. ffNNT : ff. fftel-00460157

46. Бычков, Роман Алексеевич. Разработка алгоритмов на основе статистических данных для реализации пространственной обработки сигналов в приёмнике с большим числом антенн: дис. ... канд. техн. наук: 2.2.15. Системы, сети и устройства телекоммуникаций. - Москва, 2024. - 145 с.

47. Liang, L. Practical precoding design for modern multiuser MIMO communication: A thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of master of applied science / Liang. L. B.Eng., Southeast University, 2012,

— 75 p.

48. Бен Режеб Т. Б. К. Исследование и разработка алгоритмов обработки сигналов для многопользовательских систем беспроводной связи с несколькими передающими и несколькими приемными антеннами: дис. ... канд. техн. наук: 05.12.13. - М.: Моск. техн. ун-т связи и информатики, 2018.

- 123 с.

49. S. Shahabuddin, M. H. Islam, M. S. Shahabuddin, M. A. Albreem and M. Juntti, "Matrix Decomposition for Massive MIMO Detection," 2020 IEEE Nordic Circuits and Systems Conference (NorCAS), Oslo, Norway, 2020, — pp. 1-6, doi: 10.1109/NorCAS51424.2020.9264998.

50. T. Abood, I. Hburi and H. F. Khazaal, "Massive MIMO: An Overview, Recent Challenges, and Future Research Directions," 2021 International Conference on Advance of Sustainable Engineering and its Application (ICASEA), Wasit, Iraq, 2021, — pp. 43-48, doi: 10.1109/ICASEA53739.2021.9733081.

51. A. -H. Phan, p. Tichavsky, K. Sobolev, K. Sozykin, D. Ermilov and A. Cichocki, "Canonical Polyadic Tensor Decomposition With Low-Rank Factor Matrices," ICASSP 2021 — 2021 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), Toronto, ON, Canada, 2021,

— pp. 4690-4694, doi: 10.1109/ICASSP39728.2021.9414606.

52. V. Klema and A. Laub, "The singular value decomposition: Its computation and some applications," in IEEE Transactions on Automatic Control, — V. 25,

— № 2, — pp. 164-176, April 1980, doi: 10.1109/TAC.1980.1102314.

53. Rachel Minster, Irina Viviano, Xiaotian Liu, & Grey Ballard. (2021). CP Decomposition for Tensors via Alternating Least Squares with QR Decomposition.

54. Linjian Ma, & Edgar Solomonik. (2021). Fast and Accurate Randomized Algorithms for Low-rank Tensor Decompositions.

55. Kolda, T.; Bader, B. Tensor decompositions and applications. SIAM Rev. 2009, 51, — pp. 455-500.

56. W. Douskalis, "A number theoretic approach to time division multiplexing," in IEEE Transactions on Communications, — V. 38, — № 9, — pp. 1504-1510, Sept 1990, doi: 10.1109/26.61391.

57. K. Ouazzani, M. E. Jai and B. Elfahime, "Detailed classification of FDM (Fused Deposition Modeling) process parameters and potentially affected Part characteristics," 2022 2nd International Conference on Innovative Research in Applied Science, Engineering and Technology (IRASET), Meknes, Morocco, 2022, — pp. 1-9, doi: 10.1109/IRASET52964.2022.9738432.

58. E. Akay, E. Sengul and E. Ayanoglu, "Achieving full spatial multiplexing and full diversity in wireless communications," IEEE Wireless Communications and Networking Conference, 2006. WCNC 2006., Las Vegas, NV, USA, 2006,

— pp. 2046-2050, doi: 10.1109/WCNC.2006.1696611.

59. W. Kabir, "Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)," 2008 China-Japan Joint Microwave Conference, Shanghai, China, 2008,

— pp. 178-184, doi: 10.1109/CJMW.2008.4772401.

60. Prabhu Chandhar, D. D. (2018). On the Zero-Forcing Receiver Performance for Massive MIMO. IEEE.

61. David Neumann, T. W. (2018). Learning the MMSE Channel Estimator. IEEE, 2905-2917.

62. Y -T. Hwang, K. -T. Chen and C. -K. Wu, "A high throughput unified SVD/QRD precoder design for MIMO OFDM systems," 2015 IEEE International Conference on Digital Signal Processing (DSP), Singapore, 2015,

— pp. 1148-1151, doi: 10.1109/ICDSP.2015.7252059.

63. P. -Y Tsai and C. -Y. Liu, "Reduced-complexity SVD with adjustable accuracy for precoding in large-scale MIMO systems," 2015 IEEE Workshop on Signal Processing Systems (SiPS), Hangzhou, China, 2015, — pp. 1-6, doi: 10.1109/SiPS.2015.7345023.

64. Дорохин С. В. Разреженные измерительные сигналы, методы их мультиплексирования и алгоритмы оценки канала в многоантенных системах связи: ДиС. ... канд. техн. Наук: 2.2.15/ С. В. Дорохин — Долгопрудный, 2026

— 202 с.

65. M. A. Albreem, A. H. A. Habbash, A. M. Abu-Hudrouss and S. S. Ikki, "Overview of Precoding Techniques for Massive MIMO," in IEEE Access, — V. 9,

— pp. 60764-60801, 2021, doi: 10.1109/ACCESS.2021.3073325.

66. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian p. Flannery. 2.6 Singular Value Decomposition // Numerical Recipes in C. — 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press. — ISBN 0-521-43108-5.

67. A. Chauhan and R. Mehra, "Analysis of QR Decomposition for MIMO Systems," 2014 International Conference on Electronic Systems, Signal Processing and Computing Technologies, Nagpur, India, 2014, — pp. 69-73, doi: 10.1109/ICESC.2014.20.

68. Batterson, Steve, and David Day. "Linear Convergence in the Shifted QR Algorithm." Mathematics of Computation, — V. 59, — № 199, — 1992,

— pp. 141-51. JSTOR. — URL:https://doi.org/10.2307/2152985. Accessed 26 Jan. 2025.

69. M. Nikpour, J. H. Manton and I. M. Y. Mareels, "A novel approach to the shifted QR algorithm for the Hermitian eigenvalue problem," 42nd IEEE International Conference on Decision and Control (IEEE Cat. No.03CH37475), Maui, HI, USA, 2003, — pp. 2364-2367 Vol.3, doi: 10.1109/CDC.2003.1272972.

70. Shuxue Ding, "A Power Iteration Algorithm for ICA Based on Diagonalizations of Non-Linearized Covariance Matrix," First International Conference on Innovative Computing, Information and Control — Volume I (ICICIC'06), Beijing, China, 2006, — pp. 730-733, doi: 10.1109/ICICIC.2006.217.

71. S. Roy, p. F. (2004). Maximal-ratio combining architectures and performance with channel estimation based on a training sequence. IEEE, 1154

— 1164. doi:10.1109/TWC.2004.828022

72. A. Mokh, M. Crussière and M. Hélard, "Performance analysis of the maximum ratio transmission preprocessing for extended receive antenna shift keying," 2017 20th International Symposium on Wireless Personal Multimedia Communications (WPMC), Bali, Indonesia, 2017, — pp. 271-275, doi: 10.1109/WPMC.2017.8301821.

73. L. N. Ribeiro, S. Schwarz, A. L. F. de Almeida and M. Haardt, "Low-Complexity Massive MIMO Tensor Precoding," 2020 54th Asilomar Conference on Signals, Systems, and Computers, Pacific Grove, CA, USA, 2020, — pp. 348355, doi: 10.1109/IEEEC0NF51394.2020.9443492.

74. T. Kaur, J. Singh and A. Sharma, "Simulative analysis of Rayleigh and Rician fading channel model and its mitigation," 2017 8th International Conference on Computing, Communication and Networking Technologies (ICCCNT), Delhi, India, 2017, — pp. 1-6, doi: 10.1109/ICCCNT.2017.8204186.

75. L. Liu and Y. Tian, "Hybrid precoding based on tensor decomposition for mmWave 3D-MIMO systems," 2017 IEEE/CIC International Conference on Communications in China (ICCC), Qingdao, China, 2017, — pp. 1-6, doi: 10.1109/ICCChina.2017.8330385.

76. M. Chiani, M. Z. Win and A. Zanella, "The distribution of eigenvalues of a Wishart matrix with correlation and application to MIMO capacity," GLOBECOM '03. IEEE Global Telecommunications Conference (IEEE Cat. No.03CH37489), San Francisco, CA, USA, 2003, — pp. 1802-1805 — V. 4, doi: 10.1109/GL0C0M.2003.1258549.

77. P. Dharmawansa and M. R. McKay, "Extreme Eigenvalue Distributions of Gamma-Wishart Random Matrices," 2011 IEEE International Conference on Communications (ICC), Kyoto, Japan, 2011, — pp. 1-6, doi: 10.1109/icc.2011.5962953.

78. C. Wang, Z. S. Jalali, C. Ding, Y. Wang and S. Soundarajan, "A Fast and Effective Memristor-Based Method for Finding Approximate Eigenvalues and Eigenvectors of Non-negative Matrices," 2018 IEEE Computer Society Annual Symposium on VLSI (ISVLSI), Hong Kong, China, 2018, — pp. 563-568, doi: 10.1109/ISVLSI.2018.00108.

79. C. Chhabra, "Improvements in the Bisection Method of finding roots of an equation," 2014 IEEE International Advance Computing Conference (IACC), 2014, — pp. 11-16, doi:10.1109/IAdCC.2014.6779287

80. — URL : https: / / quadri ga-channel-model. de

81. Hai Tran, T.-A. M.-H. (2018). On Improvement of Channel Estimation for the Uplink of Large Scale MU-MIMO using DMRS. IEEE.

82. A. N. Mody and G. L. Stuber, "Synchronization for MIMO OFDM systems," GLOBECOM'01. IEEE Global Telecommunications Conference (Cat.

No.01CH37270), San Antonio, TX, USA, 2001, — pp. 509-513. — V. 1, doi: 10.1109/GLOCOM.2001.965169 83. QuaDRiGa: A 3-D multi-cell channel model with time evolution for enabling virtual field trials [Текст] / S. Jaeckel [и др.] // IEEE transactions on antennas and propagation. — 2014. — Т. 62, № 6. -- С. 3242-3256.

Список рисунков

1. — Графическое изображение произведения тензора на тензор........................17

2. — Пример однорангового тензора.......................................................................18

— Графическое представление канонического разложения трехмерного тензора....................................................................................................................21

4. — Графическое представление канонического разложения трехмерного тензора....................................................................................................................22

5. — Графическое представление разложения Таккера.........................................24

6. — Схема системы передачи данных с обратной связью...................................30

7. — Графическое представление разработанного алгоритма..............................49

8. — Блок-схема вычисления пространственного фильтра на основе SVD........51

— Блок-схема вычисления пространственного фильтра на основе разложения Таккера.................................................................................................................... 51

К).— Пример результата работы алгоритма аппроксимации собственных чисел 53

11.— Пример зависимости гамма-распределения от параметров 0 и k................54

12.— Схема платформы для проведения моделирования.......................................62

13.— DM-RS конфигурация Type A. Желтым показано место положения пилотов ................................................................................................................................. 64

— DM-RS конфигурация Type B. Желтым показано место расположения пилотов ................................................................................................................... 64

— DM-RS конфигурация 2. Желтым показано место пилотов, фиолетовым — место, в котором в данном слоте нет пилотов, но они находятся в данном месте в другом слоте........................................................................................................65

— DM-RS конфигурация length 2. Желтым цветом отмечены позиции, в которых в данном слоте размещены пилоты, а фиолетовым — позиции, которые в этом слоте свободны, но заняты пилотами в других слотах..........................65

17.— Канал во временной области. Количество поднесущих — 192. SNR = 0 ... 66 1 N.— Прямоугольное окно.........................................................................................67

1L).— Канал во временной области после наложения окна....................................68

20.— Пример линейной интерполяции....................................................................69

21.— Сравнение BER для пространственных фильтров для конфигурации 4x4 MIMO, идеальная оценка канала.........................................................................71

22.— Сравнение BER для пространственных фильтров для конфигурации 4x4 MIMO оценка канала по пилотам........................................................................71

23.— Сравнение BER для пространственных фильтров для конфигурации 4x64 MIMO, идеальная оценка канала.........................................................................74

24.— Сравнение BER для пространственных фильтров для конфигурации 4x64 MIMO оценка канала по пилотам........................................................................75

25.— Сравнение кривой ошибок разработанного алгоритма и SVD для случая не полнорангового канала..........................................................................................78

26.— Результаты моделирования для случая Nrx = 64, Ntx = r = 12..................80

27.— Результаты моделирования для случая Nrx = 1024, Ntx = 64....................81

28.— Сравнение SVD с совместной работой ПФ на основе Таккера и алгоритма оценки ранга для конфигурации 4х4 MIMO.......................................................84

Список таблиц

1. — Результаты моделирования для случая Nrx = 4, Ntx = 4, Nsc = 1024 ICE72

2. — Результаты моделирования для случая Nrx = 4, Ntx = 4, Nsc = 1024 RCE .................................................................................................................................73

3. — Результаты моделирования для случая Nrx = 4, Ntx = 64, Nsc = 1024 ICE .................................................................................................................................74

4. — Результаты моделирования для случая Nrx = 4, Ntx = 64, Nsc = 1024 RCE .................................................................................................................................75

5. — Результаты моделирования для случая Nrx = 4, Ntx = 1024, Nsc = 1024 ICE.................................................................................................................76

6. — Результаты моделирования для случая Nrx = 4, Ntx = 1024, Nsc = 1024 RCE................................................................................................................77

7. — Сравнение разработанного алгоритма с SVD. Метрика — эффективный SNR dB, Nrx = 64, Ntx = 12.........................................................................................83

8. — Сравнение вычислительной сложности алгоритмов расчета пространственного фильтра.................................................................................90

9. — Сравнение вычислительной сложности алгоритмов оценки ранга.............92

Приложение А

Акт о практическом использовании результатов работы

Место нахождения: 121614, Российская Федерация, г. Москва, ул. Крылатская д.17, корп. 2 Registered Office: 17/2 Krylatskaya Str., Moscow 121614, Russian Federation Тел (Tel): [phone] Факс (Fax): [phone]

ОГРН 1027739023212, ИНН/КПП 7714186804/773101001

г. Москва 30 октября 2025 г.

О практическом использовании результатов диссертационной работы Колесникова Ивана Николаевича

Настоящим ООО «Техкомпания Хуавэй» (далее - Общество) сообщает, что результаты диссертационной работы Колесникова И.Н. «Исследование метода тензорной факторизации многомерных сигналов для повышения эффективности пространственного мультиплексирования в задачах беспроводной связи», представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 2.2.15 «Системы, сети и устройства телекоммуникаций», используются для исследовательских проектов внутри структурного подразделения Общества: Московская лаборатория алгоритмов радиосвязи.

Общество с Ограниченной Ответственностью "ТЕХКОМПАНИЯ ХУАВЭЙ" Huawei Technologies Co. Ltd.

HUAWGI

Заинтересованным лицам

Уважаемые господа!

Уполномоченный представитель ООО «Техкомпания Хуавей» (Российский исследовательский институт)

М.П.