Исследование процессов тепло- и массопереноса в конденсированных средах методом искусственной гиперболизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Норматов Зафар Сафармуродович

• Норматов Зафар Сафармуродович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Норматов Зафар Сафармуродович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЯВЛЕНИЙ ТЕПЛО-

И МАССОПЕРЕНОСА В СРЕДАХ

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТЕЛ МЕТОДОМ

ИСКУССТВЕННОЙ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ

2.1. Исследование потока тепла в неограниченной среде

2.2. Исследование распространение тепла в ограниченной среде

2.3. Исследование распространения теплового потока в неограниченной среде при наличии внешнего постоянного источника

2.4. Моделирование лазерного нагрева твердых тел методом искусственной гиперболизации

2.5. Определение характерного времени релаксации теплового потока 73 ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАССОПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ИСКУССТВЕННОЙ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ

3.1. Постановка задачи

3.2. Исследование потока вещества в среде плоской формы

3.3. Исследование потока вещества в среде цилиндрической формы

3.4. Исследование потока вещества в среде сферической формы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Сокращения:

К - градус Кельвин, 0С - градус Цельсия. Обозначения:

г, т - переменная по времени, х, г - переменная по пространству, к, и, I - временной и пространственный индексы, И - длина, [м], Я радиус цилиндра или сферы, [м];

и(г, г) произвольная функция координат и времени, например, р(Г, г) плотность или Т (Г, г) - температура среды. Физические величины:

Дж"

К

С - теплоемкость, с„ - удельная теплоёмкость р - плотность материала

Дж кг ■ К

т - масса среды, [кг],

Т - температура, [К или С],

кг

м

„ дТ

д = -Л— - поток тепла,

дх

Вт м ■ К

X -коэффициент теплопроводности,

Вт м ■ К

у - поток массы вещества,

кг

Б - коэффициент диффузии,

м

кг

2

м ■ с

или теплоотдачи,

А - коэффициент массапереноса,

а - коэффициент релаксации (параметр регуляризации), Р - коэффициент массоотдачи,

Вт

м2 ■ К

а - коэффициент теплоотдачи,

Вт

(м2 ■ с)

с

с

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование процессов тепло- и массопереноса в конденсированных средах методом искусственной гиперболизации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Процессы теплопроводности и переноса массы являются неотъемлемой частью работы многих технических средств и оборудования самого разного назначения, в том числе энергетической, атомной, химической, строительной промышленностей, космонавтики и многих других отраслей народного хозяйства.

Решение многих задач, связанных с эффективностью и надежностью работы современных тепловых двигателей и космической техники, особенно по части организации их системы охлаждения, существенном образом зависят от успехов теории тепло- и массопереноса.

Согласно второму началу термодинамики, если в конденсированной среде имеется неоднородное поле температуры или концентрации, тогда в ней обязательно происходит процесс переноса тепла или массы. Эти процессы протекают в сторону уменьшения температуры или концентрации.

Механизмы переноса тепла или массы могут быть различными, например, за счет теплового движения или тепловых колебаний структурных единиц среды. Во многих практических случаях процессы теплопроводности и переноса массы происходят одновременно. В таких случаях процессы тепло - и массопереноса взаимно влияют друг на друга, например, наличие массопереноса на поверхности среды приводит к изменению граничного условия процесса теплопроводности. Однако в случае независимого протекания процессов теплопроводности и переноса массы их можно описать аналогичным образом. Это обстоятельство даёт возможность при определенных условиях использовать для исследования рассматриваемых процессов аналогичные дифференциальные уравнения и, тем самым, строить общую теорию процесса переноса. Следует также отметить, что инженерные расчёты кинетики целого ряда физических и химико-технологических процессов аналогичны задачам стационарного и нестационарного тепло- и массопереноса. Именно этими обстоятельствами объясняется бурное развитие теории тепло - и массопереноса

в последние годы, в частности, развитие аналитических методов решения краевых и начальных задач для уравнений тепло- и массопереноса. Не проводя сравнения с другими подходами, отметим, что приближенные аналитические методы решения прямых и обратных задач тепло- и массопереноса позволяют наглядно и удобно анализировать исследуемые явления, выявить влияние всех факторов, оценить их значимость и выделить главные из них. Число публикаций в этой области непрерывно растет, охватывая все новые содержательные физические объекты и все большее число самых разнообразных приложений, отчего становится практически необозримым. По-видимому, дальнейшее накопление частных результатов стало малополезным, а для специалистов-прикладников более эффективным является овладение приближенными аналитическими методами в теории прямой и обратной задач тепло- и массопереноса, позволяющими получать решения большого числа частных задач.

В разработке приближенных аналитических методов решения прямой и обратной задач тепло- и массопереноса, наряду с классическими методами Фурье, интегральными преобразованиями Фурье, применяется также и метод регуляризации.

Следует отметить, что актуальным направлением исследований прямой и обратной задачи тепло- и массопереноса является комбинация точных и приближенных аналитических методов, к числу которых относится и метод искусственной гиперболизации. Существенным моментом этого метода является его универсальность, простота реализации при высокой точности решения. Смысл метода искусственной гиперболизации заключается в замене исходного уравнения тепло- и массопереноса близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым исходным возмущениям. Такая замена уравнения тепло- и массопереноса возмущенными задачами позволяет более трудоемкую часть

решения выполнять на современных средствах вычислительной техники и, в то же время, получать решения в приближенном аналитическом виде.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании процессов тепло- и массопереноса в различных конденсированных средах методом искусственной гиперболизации.

Для достижения поставленной цели в работе решается следующий комплекс задач:

-построение физической и математической модели, описывающей распределение температуры и массы в средах с течением времени;

-исследование распространения температуры в неограниченной и ограниченной среде с течением времени;

-исследование распространения температуры в неограниченной среде при наличии внешнего источника;

-математическое моделирование лазерного нагрева твердых тел на основе гиперболического уравнения теплопроводности;

-исследование потока концентрации вещества в средах плоской, цилиндрической и сферической формы;

-определение характерного времени релаксации теплового и концентрационного потока.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые: -разработан метод приближенного аналитического решения прямой и обратной задач тепло- и массопереноса путём использования интегрального преобразования, разделения переменных и разложения в ряды с помощью методов регуляризации;

-предложена новая математическая модель, описывающая восстановление начальных распределений температуры и концентрации, то есть метод искусственной гиперболизации;

-получено приближенное аналитическое решение уравнения гиперболического типа, описывающего распределение температуры и перенос массы в средах с различной геометрической формой;

-разработана математическая модель лазерного нагрева твердых тел на основе метода искусственной гиперболизации;

-разработан метод определения характерного времени релаксации теплового и концентрационного потока;

-определена непрерывная зависимость распределения температуры и концентрации от их начального распределения.

Теоретическая и практическая значимость работы. -результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих физико-математических утверждениях;

-приближённые аналитические результаты диссертации могут быть использованы при разработке компьютерных моделей тепло- и массопереноса и в других научно-прикладных задачах, а также в образовательном процессе.

-результаты исследования могут быть использованы при разработке принципиально новых, более эффективных технологий создания теплотехнических сооружений.

Представленная работа является обобщением теоретических исследований, выполненных автором на кафедре «Вычислительные машины, системы и сети» Таджикского национального университета. Исследования проводились согласно планам госбюджетных тематик ТНУ,

зарегистрированных под № 0107ТД648 (01.01.2006-31.12.2010)

«Аналитическое исследование и численное решение некоторых задач математической физики и информационной технологии» и № 0110РК15084(а) (01.01.2011-31.12.2015) «Исследование физических основ информационных процессов и методов регуляризации некоторых задач математической физики», а также проектов Президентского фонда фундаментальных исследований за

2008-2010 гг. за № 0108ТД745 «Метод устойчивых решений некоторых задач математической физики».

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов теоретической физики, математической физики, теории дифференциальных уравнений, в частности, методом искусственной гиперболизации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложенный в диссертации метод решения прямой и обратной задач тепло- и массопереноса, то есть метод искусственной гиперболизации, является более общим методом по сравнению с другими методами. Смысл этого метода заключается в преобразовании дифференциального уравнения первого порядка по времени параболического типа в дифференциальное уравнение второго порядка по времени гиперболического типа.

2. Установлено, что решение дифференциального уравнения второго порядка по времени для задач прямого и обратного тепло- и массопереноса является устойчивым по отношению к возмущению исходных данных.

3. Показано, что в ограниченных и неограниченных конденсированных средах по мере возрастания линейных размеров тела температура нелинейно уменьшается, что находится в качественном согласии с существующими литературными данными.

4. Показано, что при наличии внешнего источника ход зависимости распределения температуры от изменения длины тела имеет линейный характер и с увеличением длины медленно уменьшается, что находится в удовлетворительном согласии с результатами существующих работ.

5. Установлено, что под воздействием лазерного нагрева температура тела на начальной стадии нелинейно возрастает и достигает максимального значения. При дальнейшем возрастании времени действия лазера температура тела медленно уменьшается и стремится к постоянному значению.

6. Показано, что по мере проникновения тепла в глубь тела температура нелинейно уменьшается и в пределе стремится к постоянному значению.

7. Установлено, что в сосуде плоской геометрической формы, когда распределение концентрации вещества во всех внутренних точках среды задано, то есть известно начальное и конечное распределение массы, тогда плотность потока массы с течением времени нелинейно возрастает.

8. Показано, что в сосуде цилиндрической геометрической формы при заданной концентрации вещества во внутренний и внешний поверхности цилиндра, изменения плотности потока вещества на начальной стадии процесса остается почти неизменной, а в последующие моменты времени имеет тенденцию к медленному уменьшению.

9. Численно установлено, что в сосуде сферической геометрической формы, при известных значениях концентрации вещества во внутренний и внешний поверхностях сферы, изменении плотности потока массы с течением времени медленно, но нелинейно возрастает.

Степень достоверности. Достоверность полученных результатов подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, применением обоснованных методов построения приближенных аналитических решений прямой и обратной задач тепло- и массопереноса, которые непрерывно зависят от начальной концентрации вещества, плотности потока вещества, распространения температуры.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на: Международной конференции «Современные проблемы физики конденсированных сред и астрофизики» (Душанбе, 21-22 мая 2010г.); Международной конференции «Современные вопросы молекулярной спектроскопии конденсированных сред» (Душанбе, 11-12 ноября 2011г.); Международной конференции, посвященной 60-летию ТНУ (Душанбе, 22-24 октября 2008г.); научно-теоретической конференции профессорского -

преподавательского состава ТНУ (ежегодно с 2008-2017 гг.); республиканской научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» (Душанбе, 2010-2011 гг.); республиканской конференции по ядерно-физическим методам анализа состава биологических, геологических, химических и медицинских объектов (Душанбе, 19 октября 2014г.); республиканской конференции «Современные проблемы физики конденсированного состояния» (Душанбе, 24 октября 2015г.); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 25-27 мая 2016 г.); республиканской научно-практической конференции «Развития естественных наук в период Независимости Республики Таджикистан» (Бустон, 4 января 2017); Международной научной конференции «Современные проблемы математики и их приложения» (Душанбе, Куляб, 14-15 июня 2017); научных семинарах физического факультета и кафедры вычислительных машин, систем и сетей ТНУ.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликованы 20 научных трудов, из которых 7 статей- в рецензируемых изданиях из Перечня ВАК Российской Федерации.

Личный вклад автора. Во всех опубликованных работах идея постановки задачи принадлежит научному руководителю, а выполнения и решения поставленных задач принадлежит автору диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов и списка цитируемой литературы из 110 наименований. Общий объем 111 страниц, включая 99 страниц текста, который содержит 26 рисунков.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, выделяются и формулируются цели и задачи исследования, описывается структурно логическая схема диссертационной работы.

В первой главе приведен обзор методов решения прямой и обратной задачи тепло- и массопереноса. Детально рассматриваются физические основы математического моделирования задачи тепло- и массопереноса, механических оснований волнового процесса задачи тепло- и массопереноса, проблемы, возникающие при исследовании распределения температуры в теле и концентрации вещества в среде, понятие прямой и обратной задачи тепло- и массопереноса, а так же метод искусственной гиперболизации.

Во второй главе исследованы процессы теплопроводности среды методом искусственной гиперболизации. Описывается предлагаемый аналитический метод решения и описан переход от некорректной задачи к корректной. Это достигается путем сужения множества возможных решений, то есть области отыскания решения, а именно подчинения функции и(х, г) дополнительному условию, фиксирующему ее значение в начальный момент времени. Исследуется поток тепла в неограниченной и ограниченной среде. Излагается метод исследования распространения теплового потока в неограниченной среде при наличии внешнего источника. Описан метод определения характерного времени релаксации теплового потока, и доказана непрерывность приближенного решения и согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных.

В третьей главе исследованы процессы массопереноса методом искусственной гиперболизации и предложена гиперболическая теория массопереноса. Исследована плотность потока концентрации вещества в плоской, цилиндрической и сферической стенке. Описана архитектура метода исследования прямой и обратной задачи массопереноса, которая представляет собой оценивание временной зависимости плотности потока вещества на диффузионной поверхности по данным измерений в одной или нескольких точках внутри концентрации среды.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ГЛАВА I

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И

ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЯВЛЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ

Используемые в настоящее время теоретические методы исследования различного рода прикладных задач физики (в том числе обратной задачи тепло-и массопереноса) условно можно разделить на четыре класса: аналитические (точные), асимптотические, численные и приближенные [1-12]. Естественно, что указанная классификация достаточно схематична и не единственна. При решении конкретных задач нередко приходится использовать сочетание нескольких методов различных классов. Кроме того, иногда объединяют точные и численные (а также асимптотические и приближенные) методы в одну более широкую группу. Предлагаемая здесь классификация весьма удобна, она основана на использовании ряда характерных черт и отличительных признаков каждого класса. Ниже дано краткое описание точных методов исследования обратной задачи тепло- и массопереноса, указаны их основные достоинства и недостатки.

Под точными методами решения обратной задачи тепло- и массопереноса понимают математические методы, позволяющие получать искомые величины в аналитическом виде (например, в виде конечных формул, интегралов и рядов), и они должны быть корректными решениями. При этом в процессе решения не допускаются какие-либо упрощения исходной обратной задачи тепло- и массопереноса.

В настоящее время точные методы применяют преимущественно для решения некоторых линейных задач, описываемых уравнениями тепло- и массопереноса сравнительно невысокого порядка в областях простой геометрии, наибольшую пользу они приносят при исследовании линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Наиболее распространенными

методами, используемыми для решения линейных задач, являются: метод разделения переменных, метод характеристик, различные интегральные преобразования (например, преобразования Лапласа и Фурье) и некоторые другие [1-6].

Используемые для получения частных решений методы обычно основаны на различного рода преобразованиях зависимых и независимых переменных. Такой метод позволяет в случае успеха свести исходную задачу к эквивалентной - более простой модельной задаче, решение которой известно. Успех процедуры отыскания точного решения зависит, в первую очередь, от существования такой эталонной задачи, что встречается очень редко. Кроме того, даже если такая задача существует, возникает второй, не менее важный, вопрос - определение такого преобразования искомых функций и координат, которые приводят исходную задачу к эталонной.

Из этого следует, что в подавляющем большинстве обратных задач тепло- и массопереноса не удается получить точные аналитические решения. Основные причины, затрудняющие получение точных решений обусловлены, как правило, тем, что задача не имеет физического смысла, зависимостью коэффициентов уравнений от координат, сложной формой границ и тому подобное. Более того, даже в тех случаях, когда точное решение обратной задачи тепло- и массопереноса найдено в явном аналитическом виде, то оно может оказаться неудобным, а иногда и вообще бесполезным. Для получения необходимой информации об исследуемом явлении или процессе приходится прибегать к разного рода упрощениям в математической формулировке соответствующей задачи, к различным приближениям и аппроксимациям, численным методам или к тем и другим одновременно.

В то же время следует отметить, что в некоторых задачах теории теплопроводности, когда на одной части границы области граничные условия переопределены, а на остальной части эти условия не доопределены, складывается ситуация, которая характерна для некорректных задач

математической физики [10,13-15]. Если даже решения задач существуют и единственны, может не существовать непрерывная зависимость решений от исходных данных. В условиях практических задач исходные данные являются результатом интерполяции данных дискретных измерений или результатом некоторых процессов и всегда известны с определенной точностью. Аналитические, асимптотические, приближенные или численные решения этих задач могут сколь угодно отличаться от их действительного значения. Причем таких решений, которые могут сильно отличаться от истинных физических решений, очевидно, существует неограниченное количество.

Одним из способов восстановления истинных физических решений задачи тепло- и массопереноса может быть привлечение, когда это возможно практически, дополнительных, сверх необходимых для построения единственного решения задачи, данных измерений.

Известно, что многие приближенные методы решения обратной задачи тепло- и массопереноса основаны на глубоком и неформальном понимании физической сущности явления. Конкретные представления о механизме рассматриваемого явления или процесса, которые черпаются непосредственно из повседневной практической деятельности или эксперимента и неявно заложены в приближенный метод, нередко позволяют получать искомые зависимости, успешно конкурирующие с результатами соответствующего численного анализа. Более того, в ряде случаев приближенные формулы значительно более удобны для проведения конкретных расчетов, чем любые вычисления с привлечением ЭВМ. Это обычно происходит тогда, когда одна и та же формула, полученная тем или иным разумным приближенным методом, дает возможность в простом аналитическом виде учесть сразу довольно много различных факторов.

Подобные результаты принципиально не могут быть получены численными методами: можно посчитать лишь много различных частных случаев (с фиксированной кинетикой, геометрией течения и формой частицы) и

для каждого из них определить искомые зависимости в виде таблиц или графиков. При этом представляется маловероятным дать какие-либо рекомендации общего характера (например, для обратной задачи теплопроводности), аналогичные приведенным в [8-10, 12-16]. Из сказанного ясно, что актуальная проблема получения любых достаточно общих приближенных соотношений не может быть исчерпана применением численных методов.

Важно подчеркнуть, что имеющиеся в настоящее время опытные данные для численных значений многих физических постоянных в механике и инженерной технологии (например, определения константы скорости объемных и поверхностных данных) имеют очень невысокую («порядковую») точность. Это дополнительно говорит в пользу того, что в такого рода задачах уместно использовать апробированные приближенные методы, точность которых, как правило, выше точности определения исходных констант, входящих в уравнения тепло- и массопереноса.

Приближенные аналитические методы необходимы и очень удобны для получения достаточно грубых оценок на предварительном этапе любого исследования прямой и обратной задаче тепло- и массопереноса, а также тогда, когда результат должен быть получен сравнительно быстро. Приближенные аналитические методы решения прямой и обратной задач тепло- и массопереноса нередко играют большую роль в формировании качественного понимания того или иного физического явления или процесса.

Общие и хронические недостатки приближенных методов решения обратной задачи тепло- и массопереноса - их сравнительно невысокая точность и отсутствие физической сущности явления. Оценка точности используемых приближенных методов обычно проводится на примере частных случаев, для которых уже имеются необходимые для проверки и точные, численные или асимптотические результаты. При этом обычно считают, что если на типичных «тестовых» задачах определенного класса данный метод работает достаточно

хорошо, то он с успехом может быть использован и для решения других задач этого класса. Принципиальным ограничением приближенных методов является то, что они не могут быть использованы при необходимости получения большой точности.

Таким образом, все перечисленные методы исследования имеют свои характерные достоинства и недостатки. При этом очень важно то, что все теоретические методы полностью не перекрывают друг друга. Поэтому, как уже отмечалось ранее, при решении конкретных прямых и обратных задач тепло- и массопереноса часто приходится прибегать к сочетанию нескольких методов различных классов.

Весьма перспективно комбинирование точных и приближенных методов для решения прямой и обратной задачи тепло- и массопереноса [4, 6, 8-10, 15, 16]. Оно позволяет, с одной стороны, получить окончательные результаты в простом аналитическом виде, а с другой - устранить возможные наиболее существенные недостатки приближенных формул, связанные с их неточным поведением в некоторых предельных случаях. При этом, как правило, существенно повышается точность приближенных формул и нередко значительно возрастает их информативность, что позволяет для расчета ряда сходных задач использовать одну и ту же формулу [8, 12, 15]. Известные комбинированные методы такого типа подробно описаны и проиллюстрированы конкретными примерами в работах [10, 12, 15].

Следовательно, ошибочно противопоставлять друг другу различные теоретические методы решения обратной задачи тепло- и массопереноса. Гораздо вернее считать, что все теоретические методы решения обратной задачи тепло- и массопереноса (точные, численные и приближенные) взаимно дополняют друг друга. Более того, для получения необходимой информации о реальных явлениях и процессах, помимо известных классических методов исследования, нужно разрабатывать новые нетрадиционные подходы и методы решения соответствующих задач (см., например, [12, 15-17]). Большое

внимание также следует уделять принципам и методам построения приближенных семейств задач, удобных для практического использования. При этом основными требованиями, предъявляемыми к приближенным методам и формулам, являются простота, хорошая точность, общность и информативность.

Таким образом, следует очень важный вывод о том, что обработку экспериментальных данных нужно производить в безразмерных переменных, сокращая тем самим число измеряемых и варьируемых величин. Кроме того, использование безразмерных параметров позволяет успешно моделировать различные явления и процессы, которые непосредственно нельзя осуществить в лабораторных условиях. Несмотря на ее безусловную полезность, теория прямой и обратных задач тепло- и массопереноса по существу ограничена, так как не позволяет получить явный вид функциональных соотношений между безразмерными величинами (она выявляет только структуру этих зависимостей, и число безразмерных параметров). Искомые функциональные зависимости, описывающие рассматриваемое явление или процесс, могут определяться как из эксперимента, так и теоретически, путем привлечения существующих методов исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Норматов Зафар Сафармуродович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лыков А.В. Тепломассообмен / А.В.Лыков //М.: Энергия, 1972.-560с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В.Лыков // М.: Высшая школа, 1966.-600с.

3. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. Второе издание //М.: Энергия, 1978.-480 с.

4. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц //М.: Наука, 1986.-736 с.

5. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена / С. С. Кутателадзе //М.: Атомиздат, 1979.-416 с.

6. Гупало Ю.П. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком / Ю.П. Гупало, А.Д. Полянин, Ю.С. Рязанцев // М.: Наука, 1985.-336 с.

7. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин // М.: Наука, 1986.-290 с.

8. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионс. Перевод с англ. // М.: Мир, 1972.-587 с.

9. Музылев Н.В. О методе квазиобращения / Н.В. Музылев // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1977.-Т.3.-№3-С.556-561.

10. Алифанов О.В. Экспериментальные методы решения некорректных задач /О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.Я. Румянцев // М.: Наука, 1990.-290 с.

11. Самарский A.A. Примеры численного расчёта температурных волн /А.А.Самарский , И.М.Соболь // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963.-Т.З.-№4.-С.945-970.

12. Алифанов О.М. Обратные задачи теплопроводности / О.М. Алифанов // М.: Машиностроение, 1990.-280 с.

13. Тихонов А.Н. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении/ А.Н. Тихонов, В.Д. Кальнер, В.Б. Гласко // М. : Машиностроение, 1990.-264 с.

14. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательного

аппарата / О.М. Алифанов // М.: Машиностроение, 1979.-216 с.

15. Бек Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности /Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клер. Перевод с англ. // М.: Мир, 1990.-310 с.

16. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач / А.М. Денисов // М.: Изд-во МГУ, 1994.-207 с.

17. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов // М.: Наука, 1984.-261с.

18. Байков В.И. Теплофизика. Т.1. Термодинамика, статистическая физика, физическая кинетика / В. И. Байков, Н. В. Павлюкевич // Минск: Институт тепло- и массообмена имени А. В. Лыкова НАН Беларуси, 2013.-400 с. - ISBN 978-985-6456-85-8.

19. Байков В.И. Теплофизика. Т.2. Термодинамика необратимых процессов, теория конвективного теплообмена, перенос энергии теплового излучения, процессы переноса и фазовые превращения в твердых телах / В. И. Байков, Н. В. Павлюкевич, А. К. Федотов, А. И. Шнип // Минск: Институт тепло- и массообмена имени А. В. Лыкова НАН Беларуси, 2014. - 370 с. - ISBN 978-985-6456-95-7.

20. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С.Л. Соболев // Успехи физических наук, 1991.ж-Т.161.-№3.-С.5-29.

21. Cattaneo C. // Comptes Rendus, 1958.-У247.-№4.-РР.543-548.

22. Васильева И.А. Теплофизические свойства веществ /И.А. Васильева, Д.П. Волков, Ю.П. Заричняк //М.: Инфра-М, 2004.-80 с.

23. Maxwell S.C. // Phil. Trans. Roy/ Soc/ London, 1867.-V.157.-P.49.

24. Соболев С.Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах / С.Л. Соболев // Успехи физических наук, 1991.-Т.161.-№3.-С.5-29.

25. Кудинов И.В. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса / И.В. Кудинов, В.А. Кудинов // М.: Инфра-М, 2013.-287 с.

26. Ляшко В.И. Теоретические основы теплотехники / В.И. Ляшко //М.: Инфра-М, 2005.-171 с.

27. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика / Л.А. Коздоба // Киев: Наукова Думка, 1992.-276с.

28. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсенин // М.: Наука, 1984.-384 с.

29. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. 7-е изд. // М.: Наука, 2004.-798 с.

30. Панкратов Б.М. Основы теплового проектирования транспортных космических систем / Б.М. Панкратов // М.: Машиностроение, 1990.-303с.

31. Дильман В.В. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии / В.В Дильман, А.Д.Полянин // М.: Химия, 1990. -304 с.

32. Гущин В.В. Основы устойчивости и конструирования космических аппаратов / В.В. Гущин, Б.Н. Панкратов, А.Д. Радионов //М.: Машиностроение, 1992.-278с.

33. Малоземов В.В. Анализ и исследование подсистем обеспечения теплового режима летательных аппаратов / В.В. Малоземов, С.Н. Логинов, С.Н. Кутенов // М.: Изд-во МАИ, 1987.-103 с.

34. Полежаев Ю.В. Тепловая защита / Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юревич // М.: Энергия, 1976.-392с.

35. Телегин А.С. Тепломассоперенос / А.С. Телегин, В.С. Швыдский, Ю.Г. Ярошенко // М.: Металлургия, 2002.-456 с.

36. Швыдский В.С. Математические методы теплофизики / В.С. Швыдский // М.: Теплотехника, 2005.-239 с.

37. Юдаев В.И. Техническая термодинамика: Теплопередача / В.И. Юдаев // М.: Высшая школа, 1990.-479с.

38. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы аппаратов со стационарным и кипящим зернистым слоем / М. Э. Аэров, О. М. Тодес // Ленинград: Химия, 1968.-512 с.

39. Потырин Л.С. Математическое моделирование и оптимизация теплоэнергетических установок / Л.С. Потырин // М.: Энергия, 1978.-415 с.

40. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. Монография /А.Ф.Чудновский// М.: Наука, 1976.-352 с.

41. Зарубин В.С. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов / В.С. Зарубин // М.: Машиностроение, 1978.-184 с.

42. Джураев Х.Ш. Модель и решения обратной задачи определения мощности утеплителя из условия обеспечения требуемых температурных режимов в пахотном слое почвы /Х.Ш. Джураев, Б. Хамидов // Тезисы докладов международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент». Ташкент, 25-27 марта 2002.-С.46.

43. Джураев Х.Ш. Один способ определения температуры почвы / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов // Материалы международной конференции « Наука и современное образование проблемы и перспективы». Душанбе, ТГНУ, 24-25 октября 2008.-С.48-50.

44. Джураев Х.Ш. Продолженный тепловой поток на поверхности почвы / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов, А.М.Наджмиддинов // Материалы научно-теоретической конференции проф.-преп. состава и студентов ТГНУ, посвященной 1150-летию А.Рудаки. Душанбе, ТГНУ, 24-25 апреля 2008.-С.48-50.

45. Джураев Х.Ш. О регуляризации обратной задачи теплопроводности в почве / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов // Материалы республиканской конференции «Наука и память» к 70-летию М. Джураева. Душанбе, ТГПУ им. С.Айни, 19 мая 2009.-С.240.

46. Формалев В.Ф. Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве /В.Ф.Формалев, И.А.Селин // Вестник Самарского Государственного Технического Университета, 2010.-№1(20).-С.239-244.

47. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В.Савельев // М.: Наука, 1970. -

510 с.

48. Залетаев В.М. Расчет теплообмена космического аппарата / В.М.

Залетаев, Ю.В. Капинос, О.В. Сургучев // М.: Машиностроение, 1979. -208 с.

49. Видин Ю.В. Теоретические основы теплотехники. Тепломассообмен. /Ю.В. Видин, В.В. Колосов. 3-е изд. испр. и доп. // Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005.-174 с.

50. Формалёв В.Ф. О тепловых волнах в твёрдых телах /В.Ф. Формалёв, И.А. Селин // Труды XV Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова, 2009.-Т.1. -С. 57-158.

51. Формалёв В.Ф. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве /В.Ф. Формалёв, И.А. Селин , Е.Л. Кузнецова // Известия РАН «Энергетика», 2010.-№3.-С. 136-141.

52. Формалёв В.Ф. Тепловые волны в нелинейном анизотропном пространстве /В.Ф. Формалёв, И.А. Селин // Труды МАИ, 2010.-№37.-С. 12-13.

53. Шашков А.Г. Волновые явления теплопроводности / А.Г.Шашков, А.В.Бубнов, С.Ю.Яновский // М.: УРСС, 2004.-189 с.

54. Шашков А. Г. Системно-структурный анализ процессов теплообмена и его применение / А. Г. Шашков // М.: Энергоатомиздат, 1983. -165 с.

55. Корслоу Г. Теплопроводность твёрдых тел / Г. Корслоу, Д. Егор// М.: Наука, 1964.-490 с.

56. Рикитин О.И. Локально-неравновесные процессы в конденсационной среде / О.И. Рикитин // Вестник Таджикского технического университета им. М.С.Осими, 2004.-Т.10.-№1А.-С.66-71. Transactions TSTU/ ISSN 0136-5835.

57. Малая Ю.А. Математическое моделирование лазерного нагрева тел с покрытиями на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности /Ю.А.Малая, А.И.Губин //Вютник Нащонального техшчного ушверситету «Харювський полггехшчний шчтитут». Збiрник наукових праць. Тематичний випуск: Енергетичш та теплотехшчш процеси й устаткування. -Харюв: НТУ «ХП1», 2012.-№7.-С.174-180.

58. Адаменко С.В. Процессы обострением и дробление масштабов в

плазменно-полевых структурах / С.В.Адаменко, А.В. Пащенко, И.Н. Шаповал, В.Е. Новиков // Труды 11-й Межд. конф. КрыМиКо'. Севастополь, Украина, 2001.-С.533.

59. David J.N. Wall. Invariant imbedding and hyperbolic heat waves / J.N. David J.N. Wall // J. Math. Phys. 38(3), 1997.-РР. 1723-1749.

60. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П. Танана // М.: Наука, 1978.-206 с.

61. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский //М.: Наука, 1980.286 с.

62. Джураев Х.Ш. Об одном подходе к проблеме регуляризации задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /Х.Ш.Джураев // Дифференциальные уравнения, 2007.-Т.43.-№5.-С.721-725.

63. Джураев Х.Ш. Некорректно поставленные задачи математической физики. Монография / Х.Ш. Джураев // Германия: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012.-156 с.

64. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том II. Термодинамика и молекулярная физика. 5 изд. испр. / Д.В.Сивухин // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.544 с. -ISBN 5-9221-0601-5.

65. Блейхер Г.А., Кривобоков В.П., Пащенко О.В. Тепломассоперенос в твердом теле под действием ионных пучков заряженных частиц / Г.А. Блейхер, В.П. Кривобоков, О.В. Пащенко // Новосибирск: Наука, 1999.-176 с.

66. Волосевич П.П. Динамика и нагрев плазмы с учетом релаксации теплового потока / П.П. Волосевич, Н.В. Змитренко, Е.И. Леванов, Е.В. Северина // Математическое моделирование, 2008.-Т.20.-№4.-С.57-68.

67. Волосевич П.П. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и объемных источников энергии / П.П. Волосевич, Е.И. Ливанов, Е.В. Северина // Изв. Вузов. Математика, 2005.-№1.-С.31-39.

68. Крылов П.Н., Лебедева А.А. Локально-неравновесная модель дальнодействия при ионном облучении / П.Н. Крылов, А.А. Лебедева // Поверхность. Рентгеновский, синхротронные и нейтронные исследования, 2008.-№5.-С.67-71.

69. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / М.: Наука, 1981.-400 с.

70. Джураев Х.Ш. О решениях задачи Коши для сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами /Х.Ш. Джураев // Материалы II международной конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке». Душанбе: Изд-во ТТУ им.М.С. Осими, 2006. -С.21-23.

71. Джураев Х.Ш. Об одном устойчивом методе определения приближенного решения уравнения тепло- и массопереноса / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов // Вестник Таджикского национального университета. Спецвыпуск, 2010.-С.50-57.

72. Джураев Х.Ш. Искусственной гиперболизации уравнения теплопроводности. / Х.Ш.Джураев, З.С.Норматов, Г.К.Собирова //Современный научный вестник, 2011 .-№15(111).-С.90-94.

73. Комилов К. Исследование теплопроводности в неограниченных средах методом искусственной гиперболизации / К. Комилов, Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов //Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук, 2015.-№1/4 (168).-С.75-82.

74. Джураев Х.Ш. Тепловые волны в ограниченных и неограниченных средах / Х.Ш.Джураев, К.Комилов, З.С.Норматов// Материалы республиканской научной конференции «Современные проблемы физики конденсированного состояния», посвященной 60-летию научно-педагогической деятельности заслуженного работника республики Таджикистан, д.ф.м.н., профессор Ш.Туйчиева и 60-летию со дня образования кафедры физики твёрдого тела ТНУ. Душанбе: Андалеб-Р, 2015.-С.105-107.

75. Норматов З.С. Математическое моделирование процессов волнового механизма тепло- и массопереноса / З.С. Норматов // Материалы республиканской научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и сотрудников ТНУ, посвященной 700-летию Мир Сайида Али Хамадони, Году семьи и международному десятилетию действия «Вода для жизни» 2005-2015 гг. Душанбе, 2015.-С.77.

76. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа / И.П. Макаров // М.: Просвещение, 1968.-308 с.

77. Бухмиров В.В. Справочные материалы для решения задач по курсу «Тепломассообмен» /В.В.Бухмиров, Д.В.Ракутина, Ю.С.Солнышкова // Иваново: ГОУ ВПО Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина, 2009.-102 с.

78. Волков А.И. Большой химический справочник / А.И. Волков, И.М. Жарский // Минск: Современная школа, 2005.-608 с.

79. Кайгородов Г.К., Каргин В.Ю. Влияние скорости охлаждения полиэтиленового сварного шва на ее прочность / Г.К. Кайгородов, В.Ю. Каргин // Трубопроводы и экология, 2001 .-№2.-С.13-14.

80. Кашковская Е.А. Очаги разрушения сварного соединения полиэтиленовых трубопроводов / Е.А. Кашковская, Г.К. Кайгородов // Автоматическая сварка, 1975.-№8(269).-С.23-26.

81. Гориловский М.И. Исследование кристалличности и термостабильности в трубах, полученных из различных видов полиэтилена / М.И. Гориловский, Е.В. Калугина, А.Н. Иванов, Ф.К. Сатдинова // Пластические массы. Структура и свойства, 2005.-№4.-С.9-12.

82. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин // М.: Физико-математическая литература, 2001.-576 с.

83. Джураев Х.Ш. Искусственная гиперболизация уравнения теплопроводности / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов, Г.К. Собирова // Вестник Таджикского национального университета, 2011.-№4(68).-С.3-7.

84. Джураев Х.Ш. Метод искусственной гиперболизации к обратной задач теплопроводности / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов // Современный научный вестник, 2011.-№°16(112).-С.92-98.

85. Джураев Х.Ш. Об одном устойчивом методе построения приближенного решения уравнения теплопроводности. / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов //Материалы международной конф. «Современные проблемы физики конденсированных сред и астрофизики». Душанбе, 21-22 мая 2010.-С.48-50.

86.Джураев Х.Ш. Об одном методе искусственной гиперболизации уравнения теплопроводности / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов, Г.К. Собирова //Материалы международной конференции «Современные вопросы молекулярной спектроскопии конденсированных сред». Душанбе, 11-12 ноября 2011.-С.196-198.

87. Джураев Х.Ш. Метод искусственная гиперболизация для уравнения теплопроводности / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов //Материалы республиканской конференции по ядерно-физическим методам анализа состава биологических, геологических, химических и медицинских объектов. Душанбе: ТНУ, 19 октября 2014.-С.227-230.

88. Джураев Х.Ш. Исследование теплопроводности в ограниченной среде методом искусственной гиперболизации / Х.Ш. Джураев, К.Комилов, З.С. Норматов //Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук, 2015.-№1/5 (190).-С.53-61.

89. Джураев Х.Ш. Исследование распространения теплового потока в неограниченной среде при наличии внешнего источника / Х.Ш. Джураев, К.Комилов, З.С. Норматов // Научно-технический вестник Поволжья, 2015.-№6.-С.10-13.

90. Малая Ю. А. Математическое моделирование тепловых процессов при лазерной обработке материалов на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности / Ю. А.Малая, А. И. Губин // Техническая теплофизика и промышленная теплоэнергетика: сборник научных трудов. Вип.

3. Днепропетровск: Новая идеология, 2011.-С.72-86.

91. Mehdi Jadidi. Non-fourier heat conduction in a long cylindrical media with insulated boundaries and arbitrary conditions / Jadidi Mehdi // Australian journal of basic and applied sciences, 2009. - No 3(2). - PP.652-663.

92. Кудинов В.А. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности /В.А.Кудинов, И.В.Кудинов // М.: Либроком, 2012.-280 с.

93. Корнеев С.А. Гиперболическое уравнение теплопроводности /С.А.Корнеев // Известия РАН. Энергетика, 2001.-№№4.-С.166-174.

94. Джураев Х.Ш. Исследование процессов массопереноса методом искусственной гиперболизации / Х.Ш. Джураев, К. Комилов, З.С. Норматов //Математическое моделирование и краевые задачи: М33 Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределёнными параметрами. Информационные технология в математическом моделировании. Самара: СамГТУ, 2016.-С.35-38. ил. ISBN 978-5-7964-1904-5.

95.Джураев Х.Ш. Исследование процессов массопереноса методом искусственной гиперболизации / Х.Ш. Джураев, К. Комилов, З.С. Норматов //Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук, 2016.-№1/3 (200).-С.151-155.

96. Джураев Х.Ш. Исследование плотности патоков веществ методом искусственной гиперболизации / Х.Ш.Джураев, К.Комилов, З.С.Норматов // Материалы научно-практической конференции «Развития естественных наук в период Независимости Республики Таджикистан». Бустон: ИГМТ, 2017.-С.39-41.

97. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 3-е изд. / Д.А. Франк-Каменецкий //М.: Наука, 1987.-502 с.

98. Суслов В.А. Тепломассообмен. Учебное пособие / В.А.Суслов // Санкт-Петербург, 2008.-121 с.

99. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов // М.: Высшая школа, 2001.-540 с.

100. Демидов В.Н. Задача о тепловом ударе в обобщенной термоупруго-пластической постановке / В.Н. Демидов // Труды Международной конференции RDAMM, 2001. - Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск. - С.145 - 152.

101. Зельдович Я.Б. Теория детонации /Я.Б. Зельдович, А.С.Компанеец // М.: Из-во технико-теоретической литературы, 1955.-400 с.

102. Джураев Х.Ш. Метод искусственной гиперболизации для обратной задачи теплопроводности / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов //Вестник Таджикского технического университета, 2011.-№2(14).-С.3-7.

103. Джураев Х.Ш. Метод искусственной гиперболизации для обратной задачи теплопроводности / Х.Ш. Джураев, З.С. Норматов //Вестник Дангаринского государственного университета, 2015.-№2(2).-С.5-9.

104.Старостин Н.П. Влияние низких температур воздуха на кристалличность материала сварного соединения газопровода из полиэтиленовых труб / Н.П. Старостин, А.И. Герасимов, Н.А. Бельчусова, О.А. Аммосова // Нефтегазовое дело, 2007.-№2.-С.1-14. http://www.ogbus.ru.

105.Бабенко Ф.И. Трещиностойкость сварных стыковых соединений полиэтиленовых труб /Ф.И. Бабенко, А.А. Герасимов, А.К. Родионов // Материалы технологии, инструменты, 2003.-Т.8.-№3.-С. 19-20.

106. Самарский А.А. Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача //

A.А. Самарский // М.: Эдиториал, 2003.-748 с.

107. Кудинов В.А. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций /В.А.Кудинов, Э.М. Карташов,

B.В.Калашников // М.: Высшая школа, 2005.-430 с.

108. Цирельман Н.М. Прямые и обратные задачи тепломассопереноса /Н.М. Цирельман // М.: Энергоатомиздат, 2005.-392 с.

109. Потырин Л.С. Математическое моделирование и оптимизация теплоэнергетических установок / Л.С. Потырин// М.: Энергия, 1978.-415 с.

110. Ривкин С.Л. Термодинамические свойства воды и водяного пара. Справочник /С.Л. Ривкин, А.А. Александров// М.: Энергоатомиздат, 1984.-80 с.