Комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента в двумерных задачах электростатики и дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Немцев, Александр Николаевич

• Немцев, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Немцев, Александр Николаевич

Введение

1 Плоские задачи математической физики, сводящиеся к решению сингулярных интегральных уравнений и обзор методов их решения

1.1 Плоская задача электростатики

1.2 Плоская задача теории упругости

1.3 Плоская задача дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода

1.4 Обзор некоторых аналитических методов решения задач дифракции на открытых системах

2 Плоская задача электростатики проводников. Обоснование интегрального подхода и программная реализация

2.1 Формулировка задачи.

2.2 Дискретизация задачи. Основные уравнения

2.3 Метод решения задачи

2.4 Реализация численного метода

2.5 Визуализация решения

3 Дифракция пучка собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах

3.1 Введение *

3.2 Формулировка задачи

3.3 Вывод сингулярных интегральных уравнений

3.4 Дискретизация модели

3.5 Реализация модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента в двумерных задачах электростатики и дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода»

Актуальность темы

Среди многих практически важных задач электродинамики можно выделить класс задач, в которых зависимостью от некоторой координаты трехмерного объекта можно пренебречь. В частности, это могут быть достаточно длинные цилиндрические структуры, являющиеся неотъемлемыми элементами конструкции антенных решеток, волноводов, резонаторов и т.п.

Такие задачи достаточно полно и вполне строго могут быть решены в рамках приближения двумерных моделей.

В связи с этим актуальной является проблема унификации различных программно технологических средств, для решения двумерных задач электродинамики на основе строгой теории и адекватных численных методов.

Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем технической физики. В частности, расчет замедляющих структур линейных резонансных ускорителей, содержащих волноведущие системы, основан на решении двумерных задачи дифракции и рассеяния собственных волн волновода на соосных кольцевых вырезах. При создании СВЧ приборов, с целью предупреждения и подавления электрического пробоя, всегда требуется уметь эффективно вычислять поля вблизи острых кромок и двугранных углов в резонансном диапазоне параметров поля и рассеивающей системы.

В настоящее время к наиболее употребительным аналитическим и численно-аналитическим методам исследования задач стационарной дифракции относятся методы, основанные на сведении исходных краевых задач к системе функциональных или интегральных уравнений типа Винера—Хопфа или сведении к граничной задаче Гильберта для кусочно-аналитической функции. Используемый при этом аппарат теории функции комплексного переменного и функционального анализа позволяет решать задачи, исследуемого класса, точно в рамках рассматриваемой физической модели. Однако сама физическая модель довольно часто содержит существенное упрощение, определяемою геометрией рассеивающей системы.

Так, эти методы эффективны при исследовании дифракционных явлений для структур с одиночной или периодически повторяющейся неоднородностью и малоэффективны при исследовании дифракции на структурах с конечным числом неоднородностей различного типа, а такие задачи нередки в практике СВЧ-приборостроения.

Несмотря на достигнутые успехи численного решения систем СИУ и доказательства сходимости решений, аппроксимирующих их СЛАУ [41-46, 108, 109] к точному решению, математическое обоснование численных методов решения ряда практически важных задач электродинамики, которые сводятся к системам сингулярных интегральных уравнений не всегда можно считать корректным, а часто такое обоснование просто отсутствует. К таковым можно отнести задачи дифракции и рассеяния электромагнитных волн на полуограниченных кусочно-однородных структурах открытого типа, рассеяние собственных волн на системе связанных резонаторов в волноведущих цилиндрических системах и др. Связано это с тем, что сингулярная часть таких уравнений, наряду с характеристической частью, определяемой ядром Коши, содержит слагаемое с ухудшенными свойствами гладкости [76, 77], когда сингулярность имеет место не только во внутренней точке промежутка интегрирования, но и на его концах. Для решения таких уравнений применение хорошо развитой теории полуобращения интегрального оператора не представляется столь же методически очевидным и обоснованным, как в случае решения полного сингулярного интегрального уравнения с гладкой частью и с характеристической частью в форме ядра Коши, поскольку именно и только, для последнего и используются формулы обращения, В связи с этим, регуляризация ядра и сведение сингулярных интегральных уравнений к системе интегральных уравнений Фредгольма, второго рода с хорошо развитой теорией и практикой их решения здесь оказывается невозможным.

К сказанному добавим, что математические модели, построенные на процедуре полуобращения интегрального оператора, оказываются неадекватными исходной физической модели в резонансном диапазоне.

Применение же таких точных методов, как метод Винера-Хопфа-Фока или метод задачи Римана-Гильберта, далеко не всегда оказывается рентабельным с точки зрения полученных результатов и приложенных усилий, так как требует проведения громоздких вычислений.

Таким образом, одной из актуальных проблем, является разработка математических моделей, максимально точно и полно учитывающих структурные особенности физических моделей и для которых численная реализация была бы гибкой к уже апробированным методам. При этом желательно, чтобы модели строились на основе методически простых и, в тоже время, аналитически строгих принципах, адекватно отражающих не только особенности электродинамических систем, но и специфику сингулярных интегральных уравнений.

В настоящей работе предложен принципиально новый подход к исследованию электростатических и дифракционных явлений. Этот подход позволяет применить к решению этих задач единообразный вычислительный алгоритмический аппарат. Развиваемый здесь численно-аналитический метод позволяет провести алгебраизацию и численное решение полученной системы СИУ прямыми методами. Т.е., прямыми в том смысле, что решается непосредственно та система СИУ, которая была выведена. Заметим, что наш подход не предусматривает какой бы то ни было предварительной (перед численной процедурой) обработки характеристических слагаемых систем СИУ, поэтому математическая модель оказывается адекватной всей задаче в целом.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Немцев, Александр Николаевич

Разработан универсальный программный комплекс для решения двумерных задач электростатики и дифракции, в котором последовательно, с необходимой подробностью описаны все этапы построения компьютерной модели.Аппроксимация функции плотности заряда по методу дискретных особенностей распространена на тела с ребрами. Анализ численных результатов свидетельствует об адекватности модели физическим представлениям.Для визуализации результатов распределения плотности заряда на системе проводников применена, реализованная в Delphi, технология перетекания цвета, позволяющая существенно более наглядно интерпретировать результаты вычислений.На основе идеологии парных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей построена численно-аналитическая модель дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах.На основе технологии, разработанной в 1 главе диссертации, создан пакет программ позволяющий эффективно вычислять амплитуду рассеянного поля с любой наперед заданной точностью.Физический анализ результатов свидетельствует об устойчивости вычислительной схемы и адекватности модели физическим представлениям.Предложенная технология компьютерного визуального моделирования показала высокую степень дружественности разработанного графического интерфейса и эффективность работы программного комплекса с большим числом входных параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Немцев, Александр Николаевич, 2003 год

1. Архангельский А.Я. Delphi 6. Справочное пособие - Бином- 2001 -1024с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях. Харьков.: Изд. ХГУ, 1984.

3. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 242с.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные уравнения аэродинамики. // Дифференц. Уравнения.-1981.- T.XVII.- N9.- С. 1539-1547.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. — М.: Наука, 1985. 253с.

6. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. -М.: Советское радио, 1966.

7. Вайнштейн Л.А, Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966.

8. Воскресенский Г.В. Журав С.М. Излучение из плоского волновода с фланцем. // Радиотехника и электроника.- 1976 Т.21- N7 - С. 13901395.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.

10. Гахов Ф. Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.

11. Гандель Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач математической физики. // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков: Вища школа, 1882.—N38.- С. 15—18.

12. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков: Вища школа, 1982.-№40- С.33-36.

13. Гандель Ю.В„ Полянская Т.Е. Обоснование метода дискретных особенностей для систем сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся смешанные краевые задачи математической физики. // Харьковский Университет- Деп. Укр.- НИИНТИ- 1884 N720 -УК-84.

14. Гандель Ю.В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики. //Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1986.- С. 166183.

15. Гандель Ю.В., Полянская Т.С. Математические вопросы метода дискретных зарядов. Учебное пособие. Изд. ХГУ, 1991.

16. Гандель Ю.В., Полянская Т.С. О численном решении двумерных задач электростатики проводников // Вестн.Харьк.ун-та. Харьков, 1989-№334.- С.36-42.

17. Гандель Ю.В., Еременко С.В., Полянская Т.С. Математические вопросы метода дискретных токов. Учебное пособие. Изд. ХГУ, 1992.

18. Гандель Ю.В. Параметрические представления сингулярных интегральных преобразований и краевые задачи математической физики //Сб. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995 - С. 65-66.

19. Гандель Ю.В., Лифанов И.К. О приложении идей метода дискретных вихрей к задачам электродинимики // Научно-методические материалы по численным методам. М.: ВВИА им.проф.Н.Е.Жуковского, 1985. -C3-13.

20. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Материалы 4-й международной Крымской конференции "СВЧ-техника и спутниковый прием". Метод дискретных особенностей в задаче дифракции на плоском волноводе. 1994.- Т. 1.- С.64—57.

21. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Численно-аналитический подход в задаче дифракции электромагнитной волны на полуограниченном плоском волноводе с бесконечным фланцем.- Препринт. ХФТИ.— 1994.- 14с.

22. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Об одном подходе к решению задачи дифракции на плоском волноводе с бесконечным фланцем. Доклады Академии Наук Украины.- 1995- N11- С. 18-20.

23. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Математические модели для численного анализа дифракции на плоском волноводе с бесконечным фланцем.//Журнал Технической Физики 1995.- Т.65.- Вып.7.~ С. 143— 153.

24. Галстьян Б.А., Горностаева О.В. Проникновение длинноволнового электромагнитного излучения в плоский волновод с фланцем. // Журнал Технической Физики 1992 - Т.62 - Вып.5 - С.99-107.

25. В. Гофман, А.Хомоненко Delphi 5. СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000.- 800 е.: ил.

26. Гудмен Д.Ж. Введение в фурье-оптику. Изд-во Мир, М, 1970.

27. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П., Котенок О.А. Программирование в Delphi5. СПб.:БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 784 е.: ил.

28. Захаров Е.М., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982 184с.

29. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991- 224с.

30. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.

31. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния.

32. Канту М., Т. Гуч при участии Дж. Лема Delphi. Руководство разработчика: Пер с англ. К.: ВЕК+, М.:ЭНТРОП, М.:ДЕСС, 1999. -752с., ил.

33. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов / В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964 - С.64-74.

34. Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. УМН, 1858 - Т.13-N21(80), 3.

35. Кэнту М. Delphi 4 для проффессионалов СПб: Издательство «Питер», 1999.- 1120 с.:ил3 8. Кэнту М. Delphi 6 для проффессионалов (+CD). -2002 1088с.

36. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981 - 311 с.

37. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений. //ПММ, 1975.- Т.39- N4.- С.742-746.

38. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши. // ДАН СССР, 1978.- Т.239-N2.- С.265-268.

39. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей. // ПММ. 1979.- Т.43.- N1 .-С.184-188.

40. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений. //Дифференц. уравнения.- 1981.-T.XVII.-N12.

41. Лифаиов И.К., Матвеев А.Ф. О сингулярном интегральном уравнении на системе отрезков. //Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков.: Вища школа, 1983- Вып. 40 - С. 104-110.

42. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995.

43. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения. // Вычислительные процессы и системы. /Под ред. Г.И. Марчука Вып. 7. - М.: Наука, 1990 - С.94-278.

44. Литвиненко Л.Н., Просвирнин С.Л. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плоских экранах. Киев: Наук. Думка, 1984.

45. Люк К). Специальные математические функции и их аппроксимации-М.: Мир, 1980. »

46. Марченко В.А., Сологуб В.Г. Возбуждение кольцевого волновода диполем. // Радиотехника Вып.1.- 1965- С.3-13.

47. Масалов С.А. Расчет постоянных распространения Hoi-волны в кольцевом волноводе с конечной толщиной колец. //Радиотехника — Вып.2.— 1966.-С.88-92.

48. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.

49. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения. //УМН.- 1948-Т.З.- Вып. 3/25/.- С.29-112.

50. Мусхелишвили Н.Н. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

51. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наук. Думка, 1989.

52. Неганов В.А. Электродинамическая теория полосково-щелевых структур СВЧ. Изд. Саратовского университета, 1991.

53. Немцев А.Н. Автоматизация составления, решения и трансформации числовых задач. Актуальные проблемы информатики иинформационных технологий. Материалы IV-ой Тамбовской межвузовской научной конференции.- С.53-55.- 2000.

54. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики. — М. :ВНТИЦ, 2002.- № 50200200510.

55. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. 2003 .-№3.

56. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. М.: ВНТИЦ, 2002.- № 50200200517.

57. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. //Компьютерные учебные программы И инновации. 2003- №4.-С.20-21.

58. Нефедов Е.Н., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. — М.: Наука, 1972.-204с.

59. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Под редакцией А.А. Самарского. М.: Наука, 1978 - 320с.

60. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука - 1967 - 460с.

61. Олвер Ф.Асимптотика и специальные функции. Под редакцией А.П. Прудникова. -М.: Наука, 1990.- 528с.

62. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. К.: Наук, думка, 1984.

63. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными рядами. — Казань; Изд-во Казанского университета, 1987.- 155с.

64. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений. -М.: Мир, 1979.-493с.

65. Рапопорт И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //ДАН УССР.- 1948.- Т.59.- N8.- С.1403-1406.

66. Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. М.: Наука, 1989-432с.

67. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987 — 288с.

68. Сван Т. Delphi 4. Библиотека разработчика: Пер с англ. К.: М.: СПб.: Диалектика, 1998 - 672 е.: ил. — Парал. тит. англ.

69. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962 - 500с.

70. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стигал. — М.: Наука, 1979.-832с.

71. Стивене. Delphi. Готовые алгоритмы ДМК,- 2001.- 384 с.

72. Сидельников Г.Л. Численный анализ дифракции на волноводе с бесконечным фланцем. Тезисы докладов 4-й международной конференции им. ак. Кравчука Н.Ф. Киев, 1995 - С.220.

73. Сидельников Г.Л. Математическая модель для численного анализа дифракции электромагнитных волн на кольцевых вырезах цилиндрического волновода. Тезисы докладов 5-й международной конференции им. ак. Кравчука Н.Ф. Киев, 1996 - С. 293

74. Сидельников Г.Л., Немцев А.Н. Визуальное программирование задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. -2003.- №2, 3.- С.72-75, С. 72-76.

75. Сологуб В.Г. Об одном методе исследования задачи о дифракции на конечном числе лент, расположенных в одной плоскости. // Докл. АН СССР. Сер. А.- 1975.- С.550-564.

76. Тейксейр С., Пачеко К. Borland Delphi 6. Руководство разработчика. Вильяме 2002 - 1120 с.

77. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат.-1948.

78. Уфимц'ев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. -М.: Изд-во Сов. Радио, 1962.

79. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980— 399с.

80. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Математический сборник. -T.14(56)-N.l-2.- С.3-49 1944.

81. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракция.- Пер. с нем. Изд-во "Мир", М. 1864.

82. Хоменко А., Гофман В. Delphi 7. В подлиннике. -BHV-2003 1216 с.

83. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев,- Наукова думка, 1986.

84. Численные методы теории дифракции. Сб. статей. Пер. с англ. М.: Мир, 1982.- 200с. /Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 29./

85. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана—Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971.

86. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. — Киев: Наукова Думка, 1984.-396с.

87. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Рудь JI.A. Волноводные неоднородности. Киев: Наук, думка, 1986- 216с. /Резонансное рассеяние волн: в 2 Т.: Т.2./

88. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Дифракционные решетки. — Киев: Наук, думка, 1986.— 232с. /Резонансное рассеяние волн: в 2 Т.: Т.1./

89. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд.-во Харьковского университета, 1973.-278с.

90. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. -Киев: Наук. Думка, 1983-252с.

91. Янке, Эмде, Леш. Специальные функции. М: Наука, 1977 - 344 с.Литература на иностранных языках.

92. Chu L.J, Journ. Appl. Phys.- 1940.- V.ll.- P.603.

93. Elliot D. The classical collocation method for singular integral equations. SIAM J. Numer. Anal.- 1982.- V.19.- N2.- P.P 816-832.

94. Elliot D. Rates of convergence for the method of classical collocation forлsolving singular integral equations. SIAM J. Numer. Anal 1984.- V.21.-N1.-P.P 136-148.

95. Gandel Yu. V., Zaginailov G.I. A numerical method to solve wide wariety of diffraction problems. Proceedings ofISAP'92. V.I. Sapporo. Iapan-1992.-P.P 226-228.

96. Gandel Yury, Mrozova Nataly Mathematical Models of Diffraction and Radiation Problems for Planar Waveguide- with Impedance Flange. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. MMET'96. Proceedings Lviv. Ukraine.- 10-13 September.-P.P. 88-91.

97. Jones D.S. A simplifying technique in the solution of diffraction problems. Quart. J. Math.- 1962.-N2.-P. 189.

98. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction. Journ. Opt. Soc. Am.- 1956-52.-P. 116.

99. Keller J.B. Journ. Opt. Soc. Am.- 52.- 116.- (1962).

100. Kottler P. Ann. Phys. (4).- T1 457.- (1923).

101. Lifanov 1,1„ Lifanov I.K, Boundary value Problems and singular integral equations with one-dimentional and multiple integrals. Sov. J. Numer. Anal. Modelling. -1991.-V.6.-N1.-P.P. 43-60.

102. Lifanov I.K. Singular Integral Equations and Discrete Vortices. Utrecht-1996.- 475p.

103. Matsushima Aldra and Italtura Tokuya Numerical Analysis of Electromagnetic Scattering from Strip Gratings by Using Singular Integral Equations. // Зарубежная радиоэлектроника-N4- 1996 С. 37-66.

104. Matsushima Akirft and Itakurft Tokuya Singular integral equation approach to electromagnetic scattering from a finite periodic array of conducting strips. // J. Electro. Waves Applic. Vol.5.- 1991- P.P. 5-562.

105. Matsushima Akira and Itakura Tokuya Scattering of an arbitrary plane wave by an infinite strip grating loaded with a pair of dielectric slabs. // J. Electro. Waves Applic.-Vo 1.7.- 1993.-P.P 791-809.

106. Meixner. J The behaviour of electromagnetic fields at edges. New York University Research Report. No. EM-72-(1954).

107. Nemzev A.N., Sidelnikov G.L. Visual programming Tasks of an electrostatics. //The magazine Computing teaching programs and innovation. -2003.-№2.

108. Noble B. The Wiener-Hopf Techniques. Pergamon.— London 1958.

109. Rawlins A.D. and Meister E. Speck Diffraction by an Acoustically Transmissive or an Electromagnetically Dielectric half-plane. Mathematical Methods in the Applied Sciences.- Vol. 14.- P. 387-402 (1991).

110. Seshadri S.R. IRE Transactions on microwave theory and techniques.-1962.-P.573-578

111. Tab J, Park and Hyo J, Eom PROCEEDINGS OF ISAP'92. SAPPORO. JAPAN. An asymptotic Series Solution for the Flanged-Waveguide Radiation.- P.P 609-612.

112. Winer N., Hopf E. Uber erne Klasse singularer Integralgleichungen. Berlin.- 1931.

113. Yee H.Y., Felsen L.B., Keller J.B. Ray theory of reflection from the open end of a waveguide. SIAM J. Appl. Math.- 1968.- 16- N2.- P.P 268-300.Литература в электронных периодических изданиях

114. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. 2003- №3-http://www.informika.ru/text/magaz/innovat/n32003/n32003.html

115. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. //Компьютерные учебные программы и инновации. 2003 - №4. http://www.informika.ru/text/magaz/innovat/ n42003/n42003 .html

116. Сидельников Г.Л., Немцев А.Н. Визуальное программирование задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. -2003- №2 http://www.ofap.ni/magazine/n22003/n2st.html#2