Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Мельникова, Алина Александровна

• Мельникова, Алина Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мельникова, Алина Александровна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Обзор литературы

1.1 Краевые задачи

1.2 Начально-краевые задачи

1.3 Применение с.в. систем в приложениях

2 Краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1 Постановка задачи

2.2 Построение формальной асимптотики решения в виде КСТС

2.2.1 Вид асимптотики

2.2.2 Регулярная часть асимптотики

2.2.3 Функции переходного слоя

2.2.4 Функции пограничных слоев

2.2.5 Формальная асимптотика гг-ого порядка

2.3 Обоснование асимптотики

2.3.1 Построение верхнего и нижнего решений

2.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств

2.4 Пример

3 Краевая задача для системы эллиптических уравнений

3.1 Постановка задачи

А,

3.2 Построение формальной асимптотики

3.2.1 Вид асимптотики

3.2.2 Регулярная часть асимптотики

3.2.3 Функции переходного слоя

3.2.4 Функции пограничного слоя

3.2.5 Формальная асимптотика п-ого порядка

3.3 Обоснование асимптотики

3.3.1 Построение верхнего и нижнего решений

3.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств

4 Начально-краевая задача для системы параболических уравнений

4.1 Постановка задачи

4.2 Построение формальной асимптотики в виде фронта

4.2.1 Вид асимптотики

4.2.2 Регулярная часть

4.2.3 Функции переходного слоя

4.2.4 Функции пограничных слоев

4.2.5 Формальная асимптотика п-ого порядка

4.3 Обоснование асимптотики

4.3.1 Построение верхнего и нижнего решений

4.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений»

Введение

В настоящей работе исследуется ряд краевых и начально-краевых задач для систем сингулярно возмущенных уравнений с разными степенями малого параметра.

Актуальность темы

Нелинейные системы дифференциальных уравнений используются при моделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике сверхпроводников, космической электродинамике, нейрофизиологии, задачах тепло и массопереноса и в других областях.

Разные пространственные и временные масштабы изменения компонент системы, а также учет малых факторов, существенно влияющих на процесс, приводят к появлению в уравнениях, описывающих процесс, малых параметров. Соответствующие слагаемые, содержащие малые параметры, называются возмущением системы.

Задача, решение которой нельзя равномерно приблизить решением соответствующей задачи без возмущения, называется сингулярно возмущенной.

К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н. Тихонова [1]—[3]. Наиболее известными методами теории являются метод пограничных функций [4], метод ВКБ [5] и метод сращивания [6].

Метод пограничных функций был разработан А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым (см. [4]) и позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра. Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (погранслойных) переменных. В дальнейшем область применения метода была расширена на задачи с внутренними пере-

ходными слоями — так называемыми контрастными структурами. Для обоснования асимптотики таких решений H.H. Нефедов предложил асимптотический метод дифференциальных неравенств, основанный на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач и использующий предварительно построенную формальную асимптотику [7].

Представляемая диссертация посвящена исследованию вопросов существования и асимптотики контрастных структур типа ступеньки (КСТС).

Рассматриваемые в диссертации типы уравнений в приложениях носят название уравнений «реакция-диффузия» и описывают химические процессы, в том числе горение, биологические процессы, активные среды. В квантовой физике системы параболического типа используются в теории сверхпроводников. Волновую функцию в виде барьера можно рассматривать как решение с двумя внутренними переходными слоями, и решать уравнения с малым параметром асимптотическими методами.

К нестационарным контрастным структурам относятся волны переключения в активных средах, например фронт горения или волна концентрации в химической реакции. Асимптотический анализ актуален и при рассмотрении волн возбуждения в активных средах. Волны такого типа возникают в нервном волокне, в сердечной мышце, при свертывании крови. Для моделирования волн возбуждения часто используется система двух нелинейных параболических уравнений типа ФитцХью-Нагумо [8] с различными модификациями, в том числе с малым параметром при старшей производной [9].

Контрастные структуры встречаются при изучении вопросов морфогенеза. Типичным примером является полосатая окраска шкур животных. Известный специалист в области математический биологии Дж. Мюррей использует для моделирования процесса формирования окраса систему «реакция-диффузия» [10].

Цель работы

1. Для некоторых классов систем сингулярно возмущенных (с.в.) уравнений (обыкновенных, эллиптических и параболических) определить условия, при которых в рассматриваемых системах существуют решения с внутренним переходным слоем (контрастные структуры).

2. Разработать алгоритм построения асимптотических разложений КСТС для рассматриваемых типов систем нелинейных дифференциальных уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных, позволяющий определить локализацию (расположение) внутреннего переходного слоя.

3. Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.

Научная новизна

1. На основе метода пограничных функций (с соответствующей модификацией) построены асимптотические разложения решений с внутренними слоями для нескольких новых типов с.в. задач, содержащих разные степени малого параметра при производных:

— краевая задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на отрезке,

— краевая задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области,

— начально-краевая задача для системы параболических уравнений в одномерном по пространственной переменной случае.

2. Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию получены путем развития метода дифференциальных неравенств на системы исследуемого типа.

Практическая ценность

1. Разработана методика построения асимптотических разложений решений задач, часто встречающихся в приложениях. Примером могут служить системы типа «активатор-ингибитор», в частности система ФитцХью-Нагумо. Методика позволяет проводить анализ возможных решений, а также может быть использована для разработки модельных систем с известными видами решений.

2. Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для систем уравнений с определенными дополнительными условиями позволит в дальнейшем доказывать существование решений для более широкого класса систем.

3. Результаты диссертации представляют интерес для ученых, работающих в различных естественно-научных областях. В частности, в научной группе кафедры математики Физического факультета МГУ ведется работа по исследованию систем с малым параметром с использованием результатов, полученных в представляемой диссертации, совместно с кафедрой биофизики Физического факультета МГУ (моделирование урбоэкосистем, модельная задача для системы свертывания крови) и лабораторией физики неоднородных систем Физического института им. П.Н. Лебедева РАН (исследование гетеронаноструктур).

Положения, выносимые на защиту

1. Исследование некоторых новых классов с.в. задач, решения которых обладают внутренними переходными слоями.

2. Разработка алгоритма построения асимптотики таких решений. Алгоритм дает возможность получить уравнение, определяющее локализацию переходного слоя для стационарных задач и движение фронта в параболическом случае.

3. Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования решений с построенной асимптотикой.

Краткое содержание

Во Введении освещен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы и изложено ее краткое содержание.

В Главе 1 приведен обзор научных работ, близких к теме диссертации — исследованию решений типа контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах. Наряду с теоретическими результатами описан ряд прикладных задач, в которых возникают контрастные структуры.

Глава 2 посвящена исследованию краевой задачи для системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с разными степенями малого

параметра.

Рассматривается задача:

с4и" = /(и,у,х,е), е2у" — д(и, у,х,е), 0 < х < 1, (1)

и' (0) = и' (1) = О, г/ (0) = у' (1) = О,

где £ — малый параметр, / и д — достаточно гладкие функции в области (и, у, х, е) € 1и х 1У х [0; 1] х (0; £о], Л* и 1У — некоторые промежутки изменения переменных и и V, £о > 0.

Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки х* отрезка [0;1], где происходит быстрый переход решения и(х, е), у(х, е) рассматриваемой задачи от одного корня вырожденной системы (к которому и(х,е), ь(х, е) близко при х < х*) к другому (к которому и(х,е), ь(х, е) близко при х > х*). Решения такого типа называются контрастными структурами типа ступеньки (КСТС). (Вырожденной называется система уравнений, которая получается из исходной при е = 0.) Примерный вид решения такого типа показан на рисунке 1.

Сформулируем условия, при которых рассматривается задача. "Условие А1. Уравнение /(и,у,х,0) = 0 имеет относительно и ровно три корня и = (рг(у,х), г = 1,2,3, такие что (рг(у,х) £ 1и,

^(у^х) < <р2(ь,х) < (р3(у,х) всюду в области (ь,х) е х [0;1], причем 0) > 0, /и(<р2(у, х),у, х, 0) < 0. Условие А2. Каждое из уравнений кг(у, х) := д((рг(у,х),у,х, 0) = 0, г = 1,3 имеет единственное решение у = уг(х) е 1У, причем на всем отрезке [0;1] выполнены неравенства уг(х) < г>3(х), /г*(г>г(х), х) > 0, г = 1,3. Условие АЗ. (Условие квазимонотонности).

/„(и, у, х, 0) < 0, ди(и,у,х, 0) < 0

всюду в области (и, у, х) Е 1и х 1У х [0; 1].

Условие А4. На множестве {х € (0; 1), у е (г;1 (х), г;3 (х))} существует единственное решение (г>о,хо) системы уравнений

ГУ ру3(х)

у(у:х) := / 1г1(у',х)(1у'+ к3 (у', х) ¿у' = 0,

Jv

4>3(у,х)

J0u(v,x) := J f(u,y,x,0)du = 0.

Точка xq определяет положение переходного слоя в нулевом порядке по е, a vq — это значение «-компоненты решения в точке перехода с точностью О (s). Считается, что для «-компоненты переход происходит через неустойчивый корень <-p2{v, х) и выполняется равенство: и(х0, s) = <p2(vo, х0) + О (с).

Условие А5. Якобиан системы из условия A4 удовлетворяет неравенству

D(J0v, J0u)

DQ :=

D(v, x)

< 0.

Х=Хо

При условиях А1-А5 построено формальное асимптотическое разложение решения в виде КСТС с переходом вблизи точки хо из окрестности г»1 (ж) в окрестность

У

1(х) для г>-компоненты и из окрестности <р1(у1(х), х) в окрестность <р3(у3(х), х) для

«-компоненты решения (п.2.2).

Формальная асимптотика п-го порядка £/п, Уп состоит из двух частей, которые сшиваются непрерывно и гладко в точке х = Хп, определяющей положение переходного слоя с точностью 0(еп+1) (х* = Хп + О (с™-1)):

Un (х,е) =

Ui\ x G [0]Хп],

x G [Xn-, 1],

Уп {х, £) =

Vn~\ x G [0; ,

vt\ xe[xn-,i}.

Функции Уп^ имеют вид:

п

ир (*, е) = £.£г (й!-) (х) + (г) + М^и (а) + Р^Сг) + Я^Ы) , ^ ^ [0; *в],

г=0 п

и<+> (х, е) = + (г) + (') + ^.(+)«(Са) + , X € [Хп-, 1],

г=0 п

(я, с) = (у^ (х) + (т) + Мг(Л (а) + Р^у (СО + Ы) +

г=0

п+2

+ £ ^(м^Ч^ + л^ы), *е[о;хп],

г=п+1

п

V« (*, г) = £ (г;<+) (*) + Я^у (г) + (а) + Рг(+)^ (С2) + Я^у (%)) +

г=0

п+2

+ (м^у (а) + Я(г+)у ы) , х € [Хп; 1].

1=П+1

Здесь (х), (х) — регулярные члены асимптотики; О^и (т), (^^у (т), М^и (а), М^у (а) — функции переходного слоя в окрестности точки х = Хп,

х Хц х Хл

т =-, о =--—

с е1

суть переменные переходного слоя, т < 0, а < 0 для функций с индексом «минус», т > 0, о > 0 для функций с индексом «плюс»,

Ри™ (£,), (£г), Яи^ (г]г), Яу^ (г]г), г = 1, 2 — функции пограничных слоев

в окрестностях граничных точек х = 0 и х = 1,

х х 1-х 1-х

О = VI = С2 =-■ Ш = —

£ £г £ £г

суть погранслойные переменные.

В п.2.3 доказана теорема существования КСТС с построенным асимптотическим разложением.

Теорема 1. При выполнении условий А1-А5 для достаточно малого £ > 0 существует решение и(х,с), у(х,е) задачи (1), для которого функции [/„(:г, е), Уп(х,£) являются равномерным на [0; 1] асимптотическим приближением с точностью порядка 0(еп+1).

Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического метода дифференциальных с соответствующей модификацией на случай системы двух сингулярно возмущенных уравнений.

В конце Главы 2 (п.2.4) рассмотрен иллюстрирующий пример, для которого наряду с построением асимптотики нулевого порядка (с точностью 0(е)) проведен численный расчет для е = 0.05. Сравнение приближенных решений, полученных асимптотическим и численным методами, показывает высокую эффективность асимптотического метода.

В Главе 3 рассматривается сингулярно возмущенная задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области £>:

е4Ди = f(u,v,x,e), £2Av — g(u,v,x,s), х = (хг, х2) Е D С R2, (2)

= о,

ди дп

dv

= 0' 7Г

dD дп

3D

где £ > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, D — ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей dD, fug — достаточно гладкие функции в области (и, V, х, е) Е Iu х Iv х D х (0; со], 1и и Iv — некоторые промежутки изменения переменных и и », | - производная по нормали к 3D.

Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с внутренним переходным слоем в окрестности некоторой замкнутой кривой С, лежащей внутри области D.

Задача рассматривается при условиях:

Условие В1. Уравнение f(u, v, х, 0) = 0 при {у, х) € Iv х D имеет относительно и ровно три корня и = <pl(v, х), г = 1,2,3, такие, что <pl(v, х) Е 1и,

<рг(у,х) < v2(v,x) < <p3(v, х),

fu(^'3(v, х), V, х, 0) > 0, fu(<p2(v, х), V, X, 0) < 0.

Условие В2. Каждое из уравнений hl(v, х) := g(<p'(v, х), v, х, 0) = 0, г = 1,3 при х Е D имеет относительно v единственное решение v = ьг(х) Е /„, причем во всей области D выполнены неравенства «1(х) < v3(x); hlv(vl(x), х) > 0, г = 1,3.

Условие ВЗ. (Условие квазимонотонности).

fv(u, V, х, 0) < 0, gu(u, V, х, 0) < 0 всюду в области (и, v, х) Е Iu х Iv х D.

Выберем внутри области D некоторую точку 0{х([\х°) и в окрестности этой точки перейдем к полярной системе координат (р, 9), р > 0, 0 < 9 < 2тт с полюсом в точке О с помощью формул

xi = х® + pcos9, Х2 = Х2 +psin9. (0.1)

Для упрощения записи будем считать х® = 0, х® = 0. Условие В4. Система уравнений относительно v и р\

V V3 (р cos в,р sin в)

h}(г/, рcos9, рsin$) dv' + J h3(v',pcos9,psm9)dv'= 0,

v1(pcose,psme) v

(0.2)

ip3 (v,p cos в,р sin в)

f(u,v,pcos9, psin9) du = 0

ip1 [v,p cos 6,psin в)

имеет решение v = vq(9), p = po(9), 0 < 9 < 2ir, причем

v1(po(9)cos9,po(9)sin9) < v0(9) < v3(p0{9) cos 9, p0(9) sin 9), 0 < 9 < 2тг, (0.3)

а функция p = po(9), 0 < 9 < определяет простую замкнутую гладкую кривую Со, лежащую внутри области D.

В условии В5 записано неравенство, которому должен удовлетворять определитель системы из условия В4. Это условие сформулировано с учетом перехода к локальной системе координат в окрестности кривой Со (см. стр. 71).

Для задачи в двумерной области построена асимптотика решения с внутренним переходным слоем произвольного порядка точности, получены уравнения для определения локализации переходного слоя, проведено обоснование асимптотического приближения решения методом дифференциальных неравенств. Основной результат:

Теорема 2. Если выполнены условия В1-В5, то при достаточно малом г > 0 существует решение и(х, е), v(x, е) задачи (2), для которого функции Un(:г, е), Vn(x, е) являются равномерным в области D асимптотическим приближением с точностью порядка 0(en+l).

/

/

Как и в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений, функции Un(x,e), Vn(x,£) представляют собой частичные суммы асимптотических рядов и состоят из регулярной части, функций переходного слоя и функций пограничного слоя. При доказательстве теоремы использовался модифицированный для данной задачи асимптотический метод дифференциальных неравенств.

В Главе 4 исследуется начально-краевая задача для системы параболических уравнений:

,д2и 2ди . 2d2v 2dv . ,

£ ж -6 ¥ = 51{и>' (3) *е(0;1), te (0,7],

ди.п , д . „ dv . dv. Л

—(0,t,e) = — (l,t,e) = 0, —(0,í,c) = —(l,í,e)-0, ÍG(0,T],

u(x, 0, e) = u°(x), v(x, 0, £■) = г>°(х), x G [0; 1],

где / и g - достаточно гладкие функции в области (и. v, х, е) G Iu х Iv х [0; 1] х (0;£о], а 1и и Iv - некоторые промежутки изменения переменных и и и, е0 > 0, Т > 0.

Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки х* отрезка [0; 1]. Положение точки х* изменяется со временем. Предполагается, что в начальный момент времени уже сформирован фронт в виде КСТС, т.е. положение точки х* задано, и далее исследуется ее движение. В работе доказано существование решения с движущимся фронтом.

Задача рассмотрена при условиях:

"Условие С1. Уравнение f(u,v,x, 0) = 0 имеет относительно и ровно три корня и = (p%(v,x) G Iu, г = 1,2,3, такие что у?1 (г;, я) < <p2(v,x) < ip3{v,x) всюду в области (v,x) £ Iv х [0; 1], причем re), ж, 0) > 0, fu(tp2(v, x),v, х,0) < 0.

Условие С2. Каждое из уравнений hl(v, х) := g(<p*(v, х), v, х, 0) = 0, г = 1,3 имеет единственное решение v = vl(x) G Iv, причем на всем отрезке [0; 1] выполнены неравенства и1 (я) < v3(x)\ hlv(vl(x),x) >0, i = 1,3.

Условие СЗ. (Условие квазимонотонности). fv(u,v,x, 0) < 0, ди(и, v, х, 0) < 0 всюду в области (u,v, х) G Iu х Iv х [0; 1].

Условие С4. Существует единственное решение vq(x) уравнения

v0 v3(x)

V1 (х) ио

определенное на отрезке [0; 1], такое что

v1(x) < v0(x) < vz{x), х G [0; 1], причем при всех х £ [0; 1] выполнено неравенство

vo(x) v3(x)

J hl(v,x)dv+ J h3v(v,x)dv ф 0.

Точка (x*,t) описывает на плоскости (x,t) некоторую кривую х = x*(t), которая определяет положение внутреннего переходного слоя на отрезке [0; 1] в момент времени t G (0;Т]. Функция x*(t) представляется рядом по степеням малого параметра

£'. x*(t) = xo(t) + ex\(t) +----Функция Xo(i) определяется из дифференциального

уравнения вида

с начальным условием хо(0) = х00. Функция F определяется правыми частями уравнений (3). Разрешимость уравнения обеспечивается условием С5 (см. стр.107).

Следующие приближения положения точки перехода Xi(t), г = 1, 2,... определяются из линейных дифференциальных уравнений, разрешимость которых обеспечивается в частности условием С6 (см. стр.107).

Получена формальная асимптотика решения произвольного порядка точности, предложен алгоритм, позволяющий определить положение внутреннего переходного слоя (т.е. точки х*) в момент времени t 6 (0; Т] с произвольной точностью по £, доказана теорема существования решения.

Обоснование формальной асимптотики задачи (3) проводилось с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. С этой целью были построены верхнее и нижнее решения задачи (3). Нижнее U(x, t, е), V_(x, 0, е) и верхнее Û(х, t, е),

У(х,1,е) решения представляют собой асимптотику (п + 1)-го порядка, модифицированную таким образом, чтобы выполнялись условия: Условие 1

и<и, (х,г)е Дг = {[0;1]х(0;Т]}.

Условие 2

Lie(U, v) := e4Uxx - e2Ut - f (F, v, x, e) < 0 < LU(U, v) при V < v < V, (x, t) G DT, L2,(u,V) := e2Vxx - £2Vt - g (u,V,x,e) < 0 < L2e{u,V) при U<u<U, (x,t) G DT.

Условие 3

dU

dx dg dx

i=0

< < dg ~ ~ dx

< 0 <

i=i

dU dx

x=0

X=1

dV dx dg dx

< 0 <

x=0

< 0 <

i=i

dg dx

dV

dx

x=0

, 0 < t < T.

X=1

Четвертое требование определяет условие на разность производных верхнего и нижнего решений в точках сшивания. Для верхнего решения точка сшивания сдвинута влево относительно х = Хп+1^), задающей положение фронта в момент времени г с точностью 0(еп+2), а для нижнего — вправо относительно точки х = Ве-

личина сдвига определяется специально задаваемой положительной функцией Условие 4

V dx dx J x=Xn+1(t)-s(t)

dx dx Jx=

>0, 0 <t<T.

x=Xn+1(t)-6(t)

dx dx J

<0,

dx dx

J x=Xn+i

<0, 0 < t < T.

(t)+<5(£)

x=Xn+i(t)+5(t) Основной результат:

Теорема 3. При выполнении условий С1-С6 для любых достаточно гладких начальных функций щ(х), vo(x), лежащих между верхним U, V и нижним U_, V_ решениями:

U(x,0,e) < щ(х) < Û(x,0,e), V(x,0,£) < v0(x) < V(x,0,e)

существует решение и(я, е), и(х, t,£) задачи (3), которое при любом £ £ [0;Т] заключено между этими верхним и нижним решениями и для которого функции ип(х, е), Уп(х, е) являются равномерным в области Йт : (х, £) £ [0; 1] х (0; Т] асимптотическим приближением с точностью 0(еп+г).

Здесь функции £/„(я, е), Уп(х, е) — это частичные суммы асимптотических рядов, состоящие из регулярной части, функций переходного слоя и функций пограничных слоев.

Глава 1

Обзор литературы

Теория сингулярных возмущений активно развивается, начиная с работ А.Н.Тихонова [1]-[3]. Классическая теория и метод пограничных функций построения асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач, разработанный А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым, изложен в монографии [4]. В последние годы ведутся активные исследования сингулярно возмущенных задач, решения которых имеют внутренние переходные слои. Такие решения называют также контрастными структурами. Различают контрастные структуры типа всплеска и ступеньки. Поясним эти понятия на примере следующей задачи

(Рг1

е2^ = Р(у,х), 0 < ж < 1 (1.1)

2/(0, £) = у0, у{11е)=у\

где е > 0 — малый параметр. Всплеск — это решение задачи (1.1), которое при малых е близко к какому-то устойчивому решению и = <~р(х) вырожденного уравнения

Р(у,х) = 0 (1.2)

всюду на отрезке [0.1] за исключением малой окрестности некоторой внутренней точки х*. В этой окрестности решение отличается на конечную величину от <р(х). С некоторыми результатами по структурам типа всплеска можно ознакомится в работах [11], [12]

Контрастной структурой типа ступеньки (КСТС) называется такое решение задачи (1.1), которое по разные стороны от некоторой точки х* Е (0,1) близко при

малых е к различным устойчивым решениям и = <р\(х) и и = <¿>2(2) вырожденного уравнения (1.2). Решения такого типа могут возникать в различных классах задач. Основное внимание в обзоре уделено краевым и начально-краевым задачам для уравнений типа реакция-диффузия, как наиболее близким содержанию диссертации.

1.1 Краевые задачи

Подробно тема внутренних переходных слоев освещена в обзоре [13]. В разделе, посвященном контрастным структурам, описано построение формальной асимптотики КСТС на основе модификации для данного случая стандартного метода пограничных функций, проводится анализ задачи на фазовой плоскости, излагаются основы метода дифференциальных неравенств, применяемого для обоснования асимптотики. Решение вида КСТС существует для задачи (1.1), если выполнены условия:

Условие У 1.1. Вырожденное уравнение Р(у,х) = 0 имеет три изолированных на отрезке [0,1] корня (х) < </?0 (ж) < (р2 (х) и кроме того выполняются неравенства (</?!,2 (х), х) > О, (<р0 (х) ,х) <0. Условие У 1.2. Уравнение

Г<Р2(х)

1{х):= Р(у,х)<1у = 0 (1.3)

J ч>\{х)

имеет решение х = ж0 6 (0; 1), причем /'(жо) ^ 0. Доказана теорема:

Если Г(хо) > 0, то существует решение у(х,е) задачи (1.1), которое на интервале (<5, Жо — <5) лежит в 0(с)-окрестности (р2(х), а на интервале (жо + <5,1 — 5) лежит в 0(е)-окрестности (¿^(ж). Это решение имеет внутренний переходный слой на множестве (хо — хо + ¿) с переходом от <р2(х) к ф\(х), а также погранслои в окрестности точек ж = 0 и ж = 1. Величина 5 произвольно мала, но фиксирована при е —>■ 0.

В обзоре [13] проведено также исследование задачи (1.1) при условии /(ж) = 0 (так называемый критический случай). Разница по сравнению с некритическим случаем состоит в том, что уравнения для определения положения точки перехода в различных приближениях становятся дифференциальными, а не конечными.

В работах [14], [15], [16] исследованы некоторые обобщения задачи (1.1) в случае, когда в уравнение входит первая производная искомой функции.

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вопрос асимптотического разложения решений типа КСТС рассматривался А.Б. Васильевой и ее учениками [17], [18]. В частности, в работе [19] построено асимптотическое решение в виде контрастной структуры типа ступеньки для системы двух уравнений с малым параметром е > О

£4у" = Р(у,и,х): е2и" = С(у,и,х), х £ (0,1) (1.4)

с граничными условиями

2/(0, е) = у'( 1, е) = 0, г/(0, е) = и'( 1, е) = 0,

.Р, (? — достаточно гладкие функции в области (у, и, х) е 1у х 1и х [0; 1], где 1у, 1и — некоторые промежутки изменения переменных у и и.

Выполнены условия:

У2.1. Функции Р(у,и,х) и С (у. и, х) непрерывны вместе с производными по у и и в некоторой области Н : (у, и, х) € 1У х 1и х [0; 1].

У2.2. Уравнение Р (у, и, х) = 0 имеет три корня у = <рг (и, х), г — 1, 2,3, такие что (-и, х) е {1и х [0,1]}, </?1 (и, х) < <р2 (и, х) < 1р3 (и, х) и Ри (<р1>3) > 0, Ри ((р2) < 0.

У2.3. Уравнение (и, х) := С (<Рг(и, х),и, х) = 0 для каждого ¿ = 1,3 имеет корень и = фг(х), который является устойчивым: > 0.

У2.4. Условие однозначной разрешимости системы уравнений для определения (хо,щ) и отличия детерминанта системы от нуля, гго — это нулевое приближение точки перехода, а щ — значение «-компоненты решения в точке х0: и(х0, г) = щ.

Задача разделяется на две, для каждой из которых на своем промежутке [0, х*] и [х*, 1] методом пограничных функций построена асимптотика решения с точностью 0(с) при выполнении условий У2.1-У2.4 и некоторых дополнительных условий.

В этой задаче переходный слой имеет как у-, так и и-компонента решения. Для функции и переход происходит из окрестности решения и = фт.(х) уравнения С\{и) х) = 0 в окрестность решения и = (я) уравнения х) = 0. у-компонента по разные

стороны от точки перехода близка к функциям ц)\(грг(ж), ж) и <^3(ф2(х), х). Поскольку корень <р2 лежит строго между щ и <р3, то у (х,е) пересекает этот неустойчивый корень, что является одним из условий, определяющих точку перехода (х*,и*).

В работе получены уравнения для построения асимптотического приближения решения в первом порядке по е и первого приближения точки перехода. Дальнейшее построение асимптотики произвольного порядка точности, доказательство существования решения, а также оценка остаточного члена не проводились.

В Главе 1 настоящей диссертации исследуется система (1.4) в той же постановке. Отметим, что асимптотика решения в диссертации построена несколько иначе и получены оригинальные результаты по обоснованию.

Часть работы [13] посвящена контрастным структурам в уравнениях с частными производными, подробно описано построение КСТС в критическом случае для задачи

£2Аи = /(и, ж, е), х = (хг, ж2) Е -О С Я2 ди,

— (х,е) = 0, X 6 дБ,

где е > 0 — малый параметр, А — оператор Лапласа, О — ограниченная область с достаточно гладкой границей дИ.

Задача рассматривается при условиях У3.1 (аналог условия У 1.1) и У3.2 — тождественное равенство нулю интеграла типа (1.3):

У3.1. Уравнение /(и, ж, 0) = 0 имеет три изолированных в области И корня <¿>1 (ж) < <Р2 {%) < <Рз (х) и кроме того выполнены неравенства /и (<^13 (ж)) > 0,

!и (<Р1 (х)) < 0.

УЗ.2. /(ж) := /(и, ж, 0)йи = 0, ж € Условие УЗ.2 говорит о том, что

рассматривается критический случай.

Наряду с построением асимптотики сформулирована и доказана теорема о существовании и асимптотическом приближении решения типа контрастной структуры, обладающего тем свойством, что в окрестности некоторой замкнутой кривой С С Б происходит переход от одного решения вырожденного уравнения к другому. При построении асимптотики решения последовательно находят уравнения для приближе-

ния кривой С со все возрастающей точностью. Эти уравнения дифференциальные, а не конечные. В этом состоит особенность критического случая. В работе [20] рассматривается система эллиптических уравнений:

е4Аи = /(и,у,х), е2Ау — д(и,ь,х), х — (х1,х2) е Б С В2 (1.5)

ди

дп

до дп

= Ф2 (х)

дИ

где £ > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, И — ограниченная область с достаточно гладкой границей сШ, ф2 ~ достаточно гладкие функции.

На систему наложены требования:

Условие У4.1. Уравнение /(и,у,х) = 0 имеет решение и = (р(у,х) и /и (<р (ь, х), у, х) > 0, (у,х) £ 1Ь х Г). (1у — некоторый промежуток изменения переменной у).

Условие У4.2. Уравнение }г(у,х) = д(<р(у,х),у,х) = 0 имеет три корня у = (р^х), г = 1,2,3, причем <рг (х) < кр2 (х) < ц>ъ (х), (у?{(х), х) > 0, г = 1,3; {<р2{х), х) < 0, х £ -О. Между <р1 и <р3 нет других корней, кроме <р2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мельникова, Алина Александровна, 2013 год

Список литературы

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб., 1948, Т.22(64), N2, с. 193-204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб., 1950, Т.27(69), N 1, с. 147-156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры. //Матем. сб., 1952, Т.31(73), N3, с. 575-586.

4. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.

5. Соколов А.А, Лоскутов Ю.М, Тернов И.М. Квантовая механика. М.: Просвещение, 1965.

6. Найфэ А. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976.

7. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями. //Дифферент уравнения. 1995. Т.31. N7. С. 1142-1149.

8. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoritical models of nerve membrane. // Biophys. J. 1961. p. 445-466.

9. Атауллаханов Ф.И. и др. Особый класс автоволн — автоволны с остановкой — определяет пространственную динамику свертывания крови. // УФН. 2002. Т. 172. N6. С. 671-690.

10. Murray J.D. A pre-pattern formation mechanism for animal coat marking. //J. Theor. Biol. 1981. 88(1): 161-199.

11. Бутузов В.Ф. Контрастные структуры типа всплеска в параболической системе двух сингулярно возмущенных уравнений. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. JV4. С. 415-428.

12. Н.Н. Нефедов. Контрастные структуры типа всплеска в системах реакция-диффузия. //Фундамент, и прикл. матем. 2006. Т.12. N5. с. 121-134.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. //Фундамент, и прикл. матем. 1998. Т.4. N3. С. 799-851.

14. Васильева А.Б., Давыдова М.А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38 N 6. с.938-947.

15. Букжалев Е.Е. Контрастные структуры типа ступеньки, растянутые переменные которых зависят от различных степеней параметра возмущения. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. N 4. с.662-675.

16. Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., Ягремцев А.В. Контрастные структуры в уравнениях реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной адвекции. //Ж вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т.53. N3. с.35-45.

17. Васильева А.В., Аникеева В.А. Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущённых уравнений. //Фундамент, и прикл. матем. 1999. Т.5. N3. с.791-800.

18. Давыдова М.А. О контрастных структурах для системы сингулярно возмущенных уравнений. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. N7. с.1078-1089.

19. Васильева А.Б. О контрастных структурах в системах сингулярно возмущенных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1994. Т.34. N8-9. С. 1168-1178.

20. Бутузов В.Ф, Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра. //Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т.40. N 6. С. 877-893.

21. Волков В.Т., Грачев Н.Е., Нефедов H.H., Николаев А.Н. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях реакция-диффузия. //Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2007. Т. 47. N 8. С.1356-1364.

22. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями. // Матем. сб. 2001. Т. 192. 7V5. С. 13-52.

23. Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и область влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки. // Матем. заметки. 2001. Т.69. N 1. С. 82-91.

24. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями в двумерном случае. // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66. N 1. С. 3-42.

25. Божевольнов Ю.В., Нефедов H.H. Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. N 2. С.276-285.

26. Нефедов H.H. Общая схема асимптотического исследования устойчивых контрастных структур. //Нелинейная динамика. 2010. Т.6. N1. С.181-186.

27. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. — М.:Наука. 1987.

28. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. — М.:Наука. 1990.

29. Елькин Ю.Е. Автоволновые процессы. // Математическая биология и биоинформатика. 2006. Т.1. N1. С. 27-40.

30. Грачев Н.Е. и др. Моделирование динамики фронта внутрипластового горения //Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 307-312.

31. Волков В.Т. и др. Формирование и динамика фронта в одной модели реакции-диффузии-адвекции //Матем. моделирование. 2010. Т. 22. N 8. С. 109-118.

32. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon.// Proceedings of IRE. 1962. 50(10). 2061-2070.

33. Zarnitsina V.I., Ataullakhanov F.I., Lobanov A.I., Morozova O.L. Dynamics of stationary spatial-nonuniform patterning in the model of blood coagulation //Chaos: Interdisciplinary Journal of Nonlinear Sciences. 2001. Vol. 11. No.l. P. 57-70.

34. Атауллаханов Ф.И. и др. Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизация в модели свертывания крови. // УФН. 2007. Т.177. N1. С. 1-18.

35. Сидорова А.Э., Мухартова Ю.В. Пространственно-временная модель урбоэко-систем как сопряженных активных сред.// Вестник Моск. Университета. Серия Астрономия и Физика. 2013. N5. С.

36. Taniguchi М., Instability of planar traveling waves in bistable reaction-diffusion systems.// Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2003. 3B(1): pp. 21-44.

37. Mimura M., Nishiura Y. and Yamaguti M. Some diffusive prey and predator systems and their bifurcation problems.// Ann. New York Acad. Sci., 316 (1979), 490-510.

38. P. C. Fife and J. B. McLeod, The approach of solutions of nonlinear diffusion equation to travelling wave solutions.// Arch. Rat. Mech. Anal. 65 (1977), 335361.

39. H. Ikeda, M. Mimura and Y. Nishiura, Global bifurcation phenomena of traveling wave solutions for some bistable reaction-diffusion systems.// Nonlinear Analysis. TMA. 13(1989), 507-526.

40. P. Ortoleva and J. Ross, Theory of propagation of discontinuities in kinetic systems with multiple time scales: Fronts, front multiplicity, and pulses.// J. Chem. Phys., 63 (1975), 3398-3408.

41. M. A. Collins and J. Ross. Chemical relaxation pulses and waves. Analysis of lowest order multiple time scale expansion.// J. Chem. Phys. 68 (1978), 3774-3784.

42. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2011.

43. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ.-М.: Мир. 1983.

44. Murray J.D. Mathematical biology. Berlin. Springer-Verlag. 1993.

45. Murray J.D. Mathematical biology. II: Spatial models and biomedical applications. N.-Y. Springer. 2003.

46. Васильева А.В., Плотников А.А. Асимптотическая теория сингулярно возмущенных задач. - М.: Физический факультет МГУ, 2008.

47. Paul С. Fife, J.В. McLeod. The Approach of Solutions of Nonlinear Diffusion. Equations to Travelling Front Solutions.// Arch, ration, mech. anal. , vol. 65, no. 4, pp. 335-361, 1977.

48. С. V. Pao. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations Plenum Press, New York, 1992.

49. Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра. //XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2009». Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2009. С. 61.

50. Левашова Н.Т., Мельникова А. А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе дифференциальных уравнений второго порядка

с разными степенями малого параметра. (Труды 20-х чтений РГСУ, 29 января - 2 февраля 2010 года). Часть I. - М.: АПКиППРО, 2010. С. 48-56.

51. Мельникова A.A. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений. // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2010». Секция «Физика». Сборник тезисов. Том 1. М.: Физич. ф-т МГУ, 2010. С. 143145.

52. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. О контрастных структурах в системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра. //Научная конференция «Тихоновские чтения 2010». Тезисы докладов. С.54-55.

53. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Условия существования контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с различными степенями малого параметра. Математические методы и приложения (труды двадцатых математических чтений РГСУ) с.89-91, 2011.

54. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Решение вида контрастных структур типа ступеньки для системы эллиптических уравнений с двумя типами функций переходного слоя. //Научная конференция «Тихоновские чтения 2011». Тезисы докладов. С.46-47.

55. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Двумерная контрастная структура. Математические методы и приложения (труды двадцать первых математических чтений РГСУ) с.64-69, 2012.

56. В.Ф.Бутузов, Н.Т.Левашова, А.А.Мельникова. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012, том 52, N 11, с. 1983-2003.

57. Butuzov V. F., Levashova N. Т., Mel'nikova A. A. Steplike contrast structure in a singularly perturbed system of equations with different powers of small parameter

//Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. Vol. 52. No. 11. pp. 1526-1546.

58. Левашова H.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в системе параболических уравнений. // Материалы научной конференции «Тихоновские чтения 2012». с.52.

59. Н.Т. Левашова, А.А. Мельникова. Контрастная структура типа ступеньки в системе параболических уравнений. // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева). - М.:РУДН, 2013. С. 304-305.

60. Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра. В обзоре «О работе НОЦ «Нелинейная динамика». Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т.20. el. С. 160-168.

61. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. N 9. С. 1427-1447.

62. Butuzov V. F., Levashova N. T., Mel'nikova A. A. Steplike contrast structure in a singularly perturbed system of elliptic equations. //Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. Vol. 53. No. 9. pp. 1239-1259.