Маломодовая модель геодинамо тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Фещенко, Любовь Константиновна

• Фещенко, Любовь Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фещенко, Любовь Константиновна

Введение

1 Модель конвекции

1.1 Приближение Буссинеска.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Разложение полей скорости и температуры.

1.4 Ортогональность базисных полей.

1.5 Невращающаяся модель.

1.6 Вращающаяся модель.

2 Модель геодинамо

2.1 Уравнения геодинамо.

2.2 Базис

2.3 Система уравнений маломодовой модели.

2.4 Численное исследование маломодовой модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Маломодовая модель геодинамо»

Актуальность работы

Общепризнанно, что магнитное поле является одним из основных факторов, определяющих эволюцию Земли в целом и эволюцию биологической жизни в частности. Создавая естественный экран от жесткого космического и прежде всего солнечного излучения магнитное поле необходимо для существования жизни. Исследования в области геодинамо также важны и для изучения космического магнетизма в целом, поскольку механизм формирования магнитных полей у разных планет и звезд не должен принципиально отличаться.

Объектом исследования является главное магнитное поле Земли, механизм его формирования и поддерживания на характерных временах порядка сотен тысяч лет.

Предметом исследования является математическая модель динамо-механизма поддерживания геомагнитного поля, учитывающая имеющиеся косвенные данные о распределении плотности вещества в жидком ядре и крупномасштабной структуре конвекции.

Целью работы является разработка и исследование маломодовой модели геодинамо, согласующейся с имеющимися данными о распределении плотности в ядре Земли и крупномасштабной пространственной структуре конвекции.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) методами теории гидродинамической устойчивости обосновать возникновение косвенно наблюдаемых крупномасштабных структур;

2) исследовать влияние вращения на условия возникновения этих структур;

3) рассчитать базисные системы поля для разложения температуры, скорости и магнитной индукции с целью изучения модели геодинамо спектральными методами;

4) изучить структуру собственных значений и полей соответствующих спектральных задач;

5) произвести селекцию мод для построения модели геодинамо, учитывающую косвенно наблюдаемую конвективную структуру;

6) изучить возможность поддержания в модели дипольной компоненты магнитного поля, величина которой близка к реальной.

Научная новизна исследования:

1) впервые предложена маломодовая модель, отражающая косвенные данные о распределении плотности в жидком ядре Земли;

2) показано существование в модели устойчивых квазистационарных режимов, в которых величина вертикального диполя близка к наблюдаемой для магнитного поля Земли, а характерные скорости течений совпадают по порядку величин с имеющимися оценками.

3) построено обобщение модели Лореца маломодовой конвекции в плоском слое на сферические невращающуюся и вращающуюся оболочки;

4) получено решение спектральной задачи rot Д S + //rotS = 0 в сферической оболочке в классе полоидальных полей нулевых на границе, доказана ортогональность системы собственных полей.

Структура работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель исследования и основные задачи, указаны методы исследования, научная новизна и практическая значимость работы, личный вклад автора. Проведен краткий обзор литературы по гидродинамике сферической оболочки и проблеме геодинамо. Описана структура диссертации и кратко изложено содержание ее глав.

В первой главе рассматривается конвективная неустойчивость в сферической оболочке вязкой жидкости по отношению к элементарным (базисным) полоидальным возмущениям, в качестве которых выступают собственные поля некоторой спектральной задачи. Рассматриваются случаи невращающейся и вращающейся оболочек. В случае вращения Корио-лисово воздействие на полоидальное возмущение аппроксимируется тороидальной компонентой. Представлены явные выражения для критических значений числа Релея в зависимости от возмущений и относительной толщины слоя. Отдельно рассмотрены параметры слоя, соответствующие жидкому ядру Земли.

Приводится аналитическое согласование с моделью Лоренца в плоском слое. А также приводятся результаты численных расчетов, графики.

Во второй главе рассматривается маломодовая модель геодинамо, структура полоидального поля скоростей которой согласована с данными о распределении плотности в жидком ядре Земли. Модель включает две компоненты температуры, одну полоидальную компоненту скорости и две тороидальные, моделирующие силу Кориолисов эффект. Магнит

•ч ное поле представлено основным диполем и семью модами, структурно согласованными с модам скорости. Показано, что при параметрах ядра принятых в теории геодинамо в данной модели поддерживается основной диполь и возможна инверсия поля.

Приводятся результаты расчетов, графики.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы.

Достоверность результатов

Исследования базируются на классических моделях конвекции и магнитной гидродинамики, используют аппарат векторного и функционального анализа, методы теории устойчивости, известные алгоритмы вычислительной математики. Для получения маломодовой модели использовался один из вариантов метода взвешенных невязок, являющийся некоторым обобщением классического метода Галеркина. Показало, что характерные скорость конвекции и величина вертикального диполя в модели согласуются с имеющимися данными наблюдений.

Практическая ценность

Работа выполнена по планам научных исследований Института кос-мофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, по Программе фундаментальных исследований Президиума РАН № 16 "Изменение окружающей среды и климата: природные катастрофы", по проекту Президиума ДВО РАН 10-Ш-В-07-158 "Моделирование магнитогид-родинамической конвекции во вращающихся сферических оболочках", в рамках соисполнения по темплану НИР Камчатского государственного университета им. Витуса Беринга (НИР № 01201052397 "Моделирование конвекции в сферических оболочках на основе распределенных систем символьных вычислений").

Разработанная модель содержит минимальное число мод и может служить основой для разработки более сложных моделей, отражающих различные черты морфологии геомагнитного поля и расчетов различных возможных вариантов его эволюции.

Личный вклад

Автором исследованы конвективные режимы в маломодовой модели конвекции во вращающейся сферической оболочке. Установлена невозможность поддержания в этой модели стационарных режимов. Найдены точки покоя в маломодовой модели геодинамо, установлена их неустойчивость в линейном приближении. Рассчитаны фазовые траектории в маломодовой модели геодинамо, показана их устойчивость на характерных временах порядка сотен тысяч лет. Рассчитаны базисные системы полей для разложения температуры, скорости и магнитной индукции. Доказана ортогональность системы собственных полей спектральной задачи rot Д S + /irotS = 0 в сферической оболочке в классе полоидальных полей нулевых на границе.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Обобщение модели Лоренца маломодовой конвекции в плоском слое на сферическую оболочку, выражение для критического значения числа Релея в зависимости от относительной толщины оболочки.

2. Маломодовая модель геодинамо, поля скоростей которой согласованы с данными о структуре конвекции.

3. Рассчитанные в рамках модели квазистационарные режимы, устойчивые на характерных временах порядка сотен тысяч лет, в которых величина вертикального диполя близка к наблюдаемой для магнитного поля Земли, а характерные скорости течений совпадают по порядку величин с имеющимися оценками.

Апробация работы

Основные результаты и выводы, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях:

1. V Международная конференция "Солнечно-земные связи и физика предшественников землетрясений", Камчатский край, Елизовский район, п. Паратунка, 2010;

2. IX Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи "НТТМ-2008", г. Москва, 2008;

3. Всероссийский научный симпозиум "Проблемы синергетики и коэволюции геосфер", г. Саратов, 2008;

4. XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, г. Красноярск, 2010;

5. VI Региональная молодежная научная конференция "Исследования в области наук о Земле" (география, геология, геофизика, геоэкология, вулканология), г. Петропавловск Камчатский, 2008;

6. XI Уральская молодежная научная школа по геофизике, г. Екатеринбург, 2010.

Также результаты обсуждались на семинарах в Институте космофизи-ческих исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Институте вычислительного моделирования СО РАН, на кафедрах прикладной математики и физики в Камчатском государственном университете им. Витуса Беринга.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе 2 статьи в ведущих рецензируемых журналах, входящих в список ВАК, 9 статей в материалах и трудах конференций, 3 программных разработки, зарегистрированные в Государственном информационном фонде неопубликованных документов. Основные результаты работы были опубликованы в работах [3,5-9,12,23-26]. Регистрационные данные программных разработок приведены в [10,11,22].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фещенко, Любовь Константиновна, 2011 год

1. Водинчар Г.М., Крутьева JI.K. Маломодовая модель геодинамо. // Сборник докладов V международной конференции «Солнечно-земные связи и предвестники землетрясений», п. Паратунка, Елизов-ский район. Камчатский край. 2010. С. 102-105.

2. Водинчар Г.М., Крутьева JI.K. Модель маломодовой* конвекции в сферической оболочке // Естественные и технические науки. 2010. - № 4(48). - С. 349-352.

3. Водинчар Г.М., Фещенко JI.K. Библиотека программ для исследования «Маломодовой модели геодинамо» «LowModedGeodynamoModel», №гос. per. 50201100092, 2011.

4. Крутьева JI.K. Численная модель геомагнитного поля, согласованная с 12-ячейковой структурой конвекции в жидком ядре // Десятая уральская молодежная научная школа по геофизике: Сборник науч. материалов. Пермь: Горный институт УрО РАН, 2009. С. 124-129.

5. Крутьева JI.K. Маломодовая модель геодинамо, возбуждаемого 6-ячейковой конвекцией. //XI Уральская молодежная научная школа по геофизике: Сборник науч. материалов. Екатеринбург: Институт геофизики УрО РАН, 2010. С. 131-134

6. КУЗНЕЦОВ В.В. Анизотропия свойств внутреннего ядра Земли // УФН. 1997. Т. 169. № 9. С. 1001-1012.

7. Кузнецов В.В. Введение в физику "горячей"земли. Камчатка, 2008. 364 с.29. ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 232 с.

8. Ландау Л.Д., лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том. VI. Гидродинамика. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1986. 336 с.

9. ЛАНДАУ Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Ч. I. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

10. Ландау Л.Д., лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том. VIII. Электродинмика сплошных сред. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1982. 619 с.

11. МАТРОСОВ A.B. Мар1е6. Решение задач высшей математики и механики. М.: Наука, 2005. 523 с.44. фрик П.Г., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д. Каскадные модели турбулентности в жидком ядре Земли // Докл. РАН (Геофизика). 2002. Т. 387. № 8. С. 988-991.

12. ШИРКОВ П.Д. Оптимально затухающие схемы с комплексными коэффициентами для жестких систем ОДУ // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. № 8. С. 47-57.

13. BUFFET В., Bloxman J. Energetics of numerical geodynamo models // Geophys. J. Inter. 2002. V. 149. P. 211-224.

14. Boubnov B.M., Golitsyn G.S. Experimental study of convective structures in rotating fluids //J. Fluid Mech., Vol. 167. 1986. P. 503531.

15. Boubnov В.М., Golitsyn G.S. Temperature and velocity field regimes of convective motions in a rotating plane fluid layer// J. Fluid Mech., Vol. 219. 1990. P. 215-239.

16. Chandrasekhar S. Hydrodynamics and hydromagnetic stability. NY: Dover Publ. Inc., 1981. 654 p.

17. Christensen U., Aubert J., Cardin P. et al. A numerical dynamo benchmark // Phys. Earth Planet. Inter. 2001. V. 128. P. 25-34.

18. Cupal I., Hejda P., Reshetnyak M. Dynamo model with thermal onvtion and with the free-rotating inner core // Planetary Physics Sciences. V.50. P.1117-1122, 2002.

19. International Geomagnetic Reference Field. http://www.ngdc.noaa.gov/IAGA/vmod/igrf.html.

20. Jones C.A. Convection-driven geodynamo models // Phil. Trans. R. Soc. Lond., A. 2000. V. 358, P. 873-897.

21. A. KAGEYAMA, Т. SATO Generation mechanism of a dipole field by a magnetohydrodynamic dynamo. Phys. Rev. (1997), E, 55, 4617-4626.

22. Kono M., Roberts P.H. Recent geodynamo simulations and observations of the field // Reviews of Geophysics. 2002. V. 40. № 10. P. B1-B41.

23. A. Loddoch, J. schmalzl A finite volume solution method for thermal convection and dynamo problems in spherical shells. Geophys. J. Int. (2005), 161(2), 522-532.

24. MERRIL R.T., McElhinny M.W., McFADDEN P.L. The Magnetic Field of the Earth. N.Y.: Acad. Press, 1996. 532 p.

25. R.eshetnyak M., Seffe B. Dynamo model in the spherical shell // Numerical Methods and Programming. V.6. P.27-32, http//www.srcc.mcu.su/nummeth/inglsh/index.html , 2005.

26. Frick P.G., sokoloff d.d. Cascade and dynamo action in a shell model of turbulence // Phys. R.eview, E. 1998. V. 57. № 4. P. 4155-4164.