Математические модели и алгоритмы томографии рассеивающих сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Яровенко Иван Петрович

• Яровенко Иван Петрович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Яровенко Иван Петрович

Введение

Глава 1. Импульсная томография рассеивающих сред при

помощи специального источника излучения

1.1. Прямая задача для нестационарного уравнения переноса излучения

1.2. Постановка и исследование задачи рентгеновской томографии

1.3. Вычислительные эксперименты по решению обратной задачи

Основные результаты и выводы

Глава 2. Экстраполяционные методы подавления рассеяния в

импульсной рентгеновской томографии

2.1. Постановка задачи рентгеновской импульсной томографии

2.2. Оценка вклада рассеянной компоненты в зависимости от длительности импульса входящего излучения

2.3. Решение обратной задачи для ультракоротких импульсов входящего излучения

2.4. Экстраполяционный метод компенсации рассеяния в проекционных данных. Асимптотические решения обратной задачи

2.5. Численные эксперименты по решению задачи импульсной рентгеновской томографии при помощи экстраполяционных методов

2.6. Асимптотика восстановления коэффициента ослабления при малой длительности зондирующего импульса. Экстраполяционный метод компенсации рассеяния в пространстве изображений

2.7. Сравнительное тестирование экстраполяции в проекционных данных и пространстве изображений

Основные результаты и выводы

Глава 3. Комптоновское рассеяние в томографии

3.1. Разрешимость краевой задачи для уравнения переноса излучения с комптоновским рассеянием

3.2. Начально-краевая задача для уравнения переноса излучения с комптоновским рассеянием

3.3. Диффузионное приближение для уравнения переноса излучения в случае комптоновского рассеяния

3.4. Метод решения задачи томографии, основанный на специфике комптоновского рассеяния

3.5. Численное моделирование влияния несовершенства источников излучения и детекторов на качество реконструкции

Основные результаты и выводы

Глава 4. Оптическая томография слоистых рассеивающих

сред

4.1. Прямая задача для нестационарного уравнения переноса излучения с условиями сопряжения Френеля

4.2. Постановка и исследование обратной задачи оптической томографии

4.2.1. Метод нахождения показателей преломления

4.2.2. Метод нахождения оптических толщин слоев

4.2.3. Численные эксперименты по решению задачи оптической томографии

4.3. Постановка и исследование задачи импульсной оптической томографии

4.3.1. Метод нахождения показателей преломления

4.3.2. Численные эксперименты по восстановлению показателя преломления при импульсном режиме облучения

4.4. Задача увеличения томографического контраста при иммерсионном просветлении слоистых биотканей

4.4.1. Аналитическое решение вспомогательной задачи увеличения томографического контраста слоя

4.4.2. Численное решение задачи увеличения томографического контраста

Основные результаты и выводы

Глава 5. Численные методы и комплекс программ для компьютерного моделирования в задачах томографии

5.1. Метод Монте-Карло для решения нестационарного уравнения переноса излучения

5.1.1. Особенности реализации метода Монте-Карло на GPU

5.1.2. Численный анализ влияния выбора алгоритма розыгрыша свободного пробега на трудоемкость алгоритма

5.2. Имитационное моделирование в томографии

5.2.1. Имитационная модель работы сканера в режиме компьютерной томографии

5.2.2. Имитационная модель работы томографического сканера

в режиме позитронно-эмиссионного томографа

5.2.3. Численные эксперименты в позитронно-эмиссионной томографии

5.3. Численный метод решения краевой задачи для уравнения переноса излучения с условиями сопряжения Френеля

5.4. Краткое описание программного комплекса

5.4.1. Модуль имитационного моделирования в задачах томографии

5.4.2. Модуль обращения преобразования Радона и томографической обработки сигналов

Основные результаты и выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и алгоритмы томографии рассеивающих сред»

Введение

Актуальность и разработанность темы. Компьютерная томография на протяжении многих лет остается одним из наиболее информативных методов медицинской диагностики, позволяющим получать трехмерные изображения внутренней структуры биологических объектов [1—5]. Активное развитие томографии началось во второй половине прошлого века с присуждения в 1979 году Нобелевской премии по физиологии и медицине Годфри Хаунсфилду и Аллану Кормаку за разработку компьютерной томографии. Это открытие спровоцировало всплеск интереса к изучению методов нераз-рушающего анализа внутренней структуры объектов. Спустя почти полвека со дня присуждения премии, статистика научных публикаций демонстрирует неослабевающий интерес: ежегодно в мировой научной периодике выходит более 500 обзорных статей посвященных томографическим исследованиям. Такое пристальное внимание обусловлено разносторонними подходами исследователей - от практических работ по применению томографии в медицинской диагностике до чисто теоретических трудов посвященных математическому моделированию. Вот далеко неполный список наиболее известных отечественных и зарубежных ученых, занимавшихся математическими проблемами томографии: S.R Arridge, G. Bal, G. Chinn, A. M.K. Foudray,

A.I. Katsevich, W. A. Kalender, T. Kosters, C.S. Levin, A.K.Louis, F. Monard, M. L. Montandon, F. Natterer, M. K. Nguyen, A. Ramm, G.Rigaud, G. Uhlmann, H. Zaidi, T. T. Truong, Ю. Е. Аниконов, Д. С. Аниконов, В. С. Антюфе-ев, А. Л. Баландин, А. Н. Бондаренко, Д. А. Зимняков, А. В. Гончарский, Е. Ю. Деревцов, И. Г. Казанцев, М. В. Клибанов, В. А. Клименов, А. Е. Ко-втанюк, А. В. Лихачев, С. В. Мальцева, Т. С. Мельникова, Р. Г. Мухометов,

B. Г. Назаров, Д. Г. Орловский, С. П. Осипов, В. П. Паламодов, В. В. Пикалов, А. П. Полякова, И. В. Прохоров, С. Ю. Романов, И. Е. Светов, С. Ю. Серёжни-ков, А. К. Темник, С. А. Терещенко, В. В. Тучин, О. В. Филонин, C. Хелгансон и др.

Дополнительный интерес к данной области стимулируется постоянным развитием науки и техники открывающим новые возможности для создания перспективных схем томографического сканирования и обработки томографических данных. Несмотря на накопленный за десятилетия огромный объём знаний о принципах томографии и множество разработанных методов визуализации, в этой области остается немало нерешенных задач. Особую актуальность в последнее время приобрели задачи дальнейшего совершенствования методов компьютерной томографии, повышения качества и контраста получаемых изображений. Это связано как с общим прогрессом в области медицинской визуализации и появлением новых технических возможностей, так и с ростом специфических требований к точности диагностики в условиях распространения различных заболеваний [1; 2; 4].

На качество томографической реконструкции влияет множество физических факторов, таких как сильное ослабление сигнала в плотных средах, деструктивное влияние рассеянного излучения, шумы регистрирующей аппаратуры, неконтролируемые движения пациента в процессе сканирования и т.д. [4]. Как результат, точность и эффективность алгоритмов томографического исследования среды напрямую зависит от того, какие эффекты взаимодействия излучения со средой и материалами детекторов учитываются в математической модели, использовавшейся при построении алгоритма. На ранней стадии изучения рентгеновских лучей в качестве источников излучения применяли разрядные трубки с потенциалом значительно меньшим 100 кэВ. Прохождение рентгеновских лучей, получаемых на этом источнике, через вещество определялось главным образом процессами фотоэлектрического поглощения и достаточно хорошо описывалось простым экспоненциальным законом [6]. При появлении источников с высоким потенциалом и изучении жестких 7-квантов, испускаемых радиоактивными ядрами, выяснилось, что они взаимодействуют с веществом более сложным образом и, в настоящее время, насчитывается более десятка элементарных видов взаимодействия 7-квантов с веществом [6]. Однако, для большинства энергий, характерных для источников рентгеновского излучения, применяемых в прикладных задачах,

преобладают три основных вида взаимодействия излучения с веществом — фотоэлектрическое поглощение, Релеевское рассеяние и рассеяние по Комп-тону [6]. И если поглощение хорошо учитывается в рамках классической томографии, то наличие рассеяния до сих пор остается основной проблемой влияющей на качество реконструкции, приводящей к существенной потере контрастности изображения и возникновению артефактов [4; 7; 8].

Классический метод решения проблемы рассеяния заключается в коллимации исходного и принимаемого сигналов. Использование коллиматоров приводит к уменьшению случайных составляющих в детектируемом сигнале. Однако при этом снижается чувствительность томографа и на порядок увеличивается время накопления необходимого объема информации. Другой подход заключается в применении методов, позволяющих отфильтровывать рассеяние за счет использования специальных источников излучения, либо алгоритмической обработки измеренного сигнала. Как результат, достаточно обширный пласт работ в области компьютерной томографии направлен на разработку методов подавления влияния рассеянного излучения [7—23]. Данная диссертационная работа также посвящена этому направлению. В рамках диссертации задачи томографии рассматриваются, как обратные задачи для интегро-дифференциального уравнения переноса излучения. И, по большей части, заключаются в нахождении коэффициента ослабления излучения. Помимо начального и граничного условий, к уравнению переноса излучения добавлено условие переопределения, которое задает плотность потока излучения выходящего из среды.

Принято считать, что первые постановки обратных задач для уравнения переноса принадлежат М.В. Масленникову [24—26] и Г. И. Марчуку [27; 28]. Однако, нельзя со всей определенностью утверждать, что именно эти работы явились источником развития обратных задач для уравнения переноса излучения ввиду того, что часть работ в этом направлении осуществлялась по закрытой тематике. Например, в работе Г. В. Розенберга [29] обсуждались физические аспекты постановки задачи, аналогичной [24], и рассматривались вопросы нахождения ее решения. Более того, примерно в то же время похо-

жие постановки обратных задач для уравнения переноса излучения стали появляться и в работах зарубежных авторов. Так в обзорной статье П. Цвай-феля [30] упоминается о докладе К. Кейза посвященном решению обратной задачи определения индикатрисы рассеяния по известному угловому распределению излучения.

Следующие по хронологии работы принадлежат А. И. Прилепко [31] и Д. С. Аниконову [32]. В начале 2000-х вышла серия монографий Д. С. Ани-конова, И. В. Прохорова, А. Е. Ковтанюка и В. Г. Назарова [33—35] собравших в себе результаты авторов, посвященные решению задач томографии как обратных задач для уравнения переноса излучения. В настоящее время обратные задачи теории переноса являются активно развивающейся областью науки как в нашей стране, так и за рубежом [9; 14; 15; 17; 18; 21—27; 31—33; 36—73]. Отметим наиболее близких к тематике диссертационного исследования авторов: Д. С. Аниконов, Ю. Е. Аниконов, А. Н. Бондаренко, Н.П. Волков, В. И. Грынь, А. Я. Казаков, В. Р. Кирейтов, А. Е. Ковтанюк, А. И. Прилепко, И. В. Прохоров, В. Г. Романов, В. А. Шарафутдинов, G. Bal, S.R. Arridge, O. Dorn, A. I. Katsevich, N.J. McCormick, S.A. Prahl, A. Ramm.

Несмотря на обширный список трудов, пересечения авторов незначительны, что объясняется большим спектром областей, где используется данная математическая модель и, как следствие, разнообразием постановок возникающих задач.

При рассмотрении задач томографии в рамках уравнения переноса излучения, многие авторы ограничиваются различными упрощениями полной модели. Одно из таких упрощений заключается в рассмотрении стационарного уравнения. Большая скорость распространения рентгеновского излучения при относительно малых размерах исследуемого объекта приводит к тому, что процесс взаимодействия излучения с веществом быстро стабилизируется, что делает данное приближение вполне оправданным. Другое частое ограничение заключается в пренебрежении эффектами некогерентного рассеяния и рассмотрении моноэнергетического уравнения переноса излучения. Несомненно, важность изучения моноэнергетического случая вызвана в след-

ствие общепринятой многогрупповой аппроксимации уравнения переноса по энергетической переменной [74]. Но при этом несколько сужается диапазон применимости результатов. Так, например, практически все современные источники излучения работают в диапазоне, где вклад комптон-эффекта является очень весомым.И, если в компьютерной томографии, за счет выбора энергии источника излучения, можно снизить вклад данного эффекта, то, например, в позитронно-эмиссионной томографии, где фотоны продуцируются в процессе аннигиляции фотонов и имеют фиксированную энергию 511 кэВ это принципиально невозможно. Последний факт усугубляется еще и тем обстоятельством, что при такой большой первоначальной энергии фотонов комптон-эффект будет доминирующим процессом, существенно превосходя фотоэлектрическое поглощение практически для всех материалов.

Конечно, рассмотрение более простых моделей зачастую упрощает исследование вопросов разрешимости прямых задач, либо дает возможность сослаться на уже известные результаты, однако, как справедливо отмечает Д. С. Аниконов в работе [75], традиционное деление моделей на «простые» и «сложные» не всегда оправдано для неклассических и обратных задач. Поэтому в таких случаях рекомендуется сразу рассматривать наиболее полную модель с последующим внесением упрощений по мере необходимости. Такой подход позволяет выявить скрытые математические эффекты, важные для решения задачи, которые могут быть упущены в чрезмерно упрощённых моделях. В итоге это приводит к более глубокому пониманию моделируемого процесса и расширению области применимости полученных результатов. Так, например, появление в последнее время импульсных источников и детекторов с хорошим временным разрешением позволило создать рентгеновские установки, позволяющие испускать и регистрировать ультракороткие импульсы [19]. Поэтому есть технологическая возможность для построения новых методов неразрушающего контроля вещества, учитывающих особенности нестационарных процессов взаимодействия излучения со средой.

Главным объектом исследования диссертации является интегро-диффе-ренциальное уравнение переноса излучения, которое в достаточно общем слу-

чае имеет вид 1 д

-—I(г, и, Е, С) + и • УгI(г, и, Е, С) + д(г, Е)1 (г, и, Е, С) = с дс

Е

Етах

= J ^ Р (г, и • и',Е,Е')1(г,и',Е',С)^и'^Е' + 7(г,и,Е,С). (1)

Е ■ П

Етт П

Основными характеристиками уравнения переноса являются: I(г, и,Е) -плотность потока частиц (плотность потока излучения) в точке г трехмерной области С, в момент времени С € [0, Т], движущихся в направлении единичного вектора и € со скоростью с и имеющих энергию Е € [Етщ, Етах]; д(г, Е)

- коэффициент ослабления в точке г частиц с энергией Е; Р(г, и • и',Е,Е')

- дифференциальное сечение рассеяния в точке г, характеризующее вероятность перехода частиц из состояния (и', Е') в (и, Е); J(г, и, Е,С) - плотность внутренних источников в точке г, в момент времени С испускающих фотоны в направлении и и на энергетическом уровне Е. Уравнение (1) выражает балансовое соотношение между этими величинами.

К уравнению (1) добавляется начальное условие

I(г, и, Е, 0) = ^о(г, и, Е), (г, и, Е) € С х ^ х [Етт,Етах], (2) и граничное условие вида

I(¿,и,Е,С) = ф,и,Е,£), (¿,и,Е,С) € дС х ^ х [Етт, Етах] X [0,Т],

п(г) • и < 0, (3)

где п(г) единичный вектор внешней нормали в точке г € дС. Заметим, что граничное условие задается не для всех значений и € а только для части направлений, которые смотрят внутрь области С. Таким образом, условие вида (3) задает поток входящего в среду излучения.

Как правило, коэффициенты д, Р, J уравнения (1) представляют собой кусочно-непрерывные функции в области С. Физически это означает, что среда С составлена из разнородных по своим радиационным свойствам материалов. На поверхности 7, где рвутся коэффициенты уравнения, ставятся

условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения на функцию I. Чаще всего эти ограничения требуют выполнения определенных условий согласования для соответствующих предельных значений функции I на поверхности 7. В общем случае условия на границах раздела записываются с помощью введения оператора сопряжения B:

I-(z,u, E, t) = (BI+)(z^,E,t),

(z^,E,t) e 7 x П x [Emin,Emax] x [0,T], (4)

где I±(z, ш, E, t) = lim I(z^еш, ш, E, t) предельные значения функции I при соответствующем стремлении точки r к z e 7.

В большинстве работ посвященных исследованию разрешимости краевых задач для уравнения переноса, используются условия непрерывности решения вдоль направления распространения ш, имеющие вид:

I-(z^,E,t) = I+(z^,E,t),

(z^,E,t) e 7 x П x [Emin,Emax] X [0,T], (5)

что соответствует единичному оператору сопряжения в (4). Прямые задачи для уравнения (1) с такими условиями достаточно хорошо изучены как в стационарном, так и в нестационарном случаях и библиография работ, посвященных этому направлению, весьма обширна [33; 74; 76—82]. Особо стоит отметить фундаментальную работ В.С. Владимирова [77], которая сыграла определяющую роль в развитии математической теории уравнения переноса, а также монографию Т.В. Гермогеновой [79], посвященную локальным свойствам решения стационарного уравнения переноса. В случае непрерывности решения уравнения (1) вдоль направления ш многие проблемы, связанные с условиями сопряжения, удается решить с помощью выбора соответствующих классов, в которых ищется решение [33; 77; 79], поэтому, зачастую, данные условия опускаются и явно не фигурируют в постановке задач.

Условия сопряжения типа (5) традиционно применяются при моделировании распространения рентгеновского излучения. Однако для оптического, ультрафиолетового и мягкого рентгеновского диапазонов необходим учет пе-

рераспределения излучения за счет эффектов отражения и преломления на границах раздела материалов, что делает уравнение переноса излучения с условиями (5) неадекватным для описания процесса. В этой ситуации альтернативным решением становится применение условий вида (4) с корректно подобранным оператором сопряжения, который учитывает перераспределения интенсивности излучения на границах контакта различных материалов, обусловленное разностью показателей преломления и характером шероховатости поверхности. Примечательно, что в отличие от волновых уравнений, где граничные условия естественно вытекают из свойств решения задачи, в теории переноса требуется их искусственное задание посредством оператора сопряжения.

Интерес к изучению подобных моделей изначально возник в связи с прикладными задачами атмосферной оптики и фотометрии [48; 49; 52; 83] в дальнейшем он также стимулировался бурным развитием методов исследования биологических тканей [44; 84—93].

Вопросы корректности начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений переноса излучения с условиями отражения и преломления на границах раздела сред исследованы в работах [94—101]. В данном направлении особо стоит отметить работы И. В. Прохорова [94; 95], как первые исследования посвященные построению строгой математической теории краевых задач для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения и фундаментальную монографию А. А. Амосова [102], посвященную вопросам корректности постановок подобных задач в пространствах интегрируемых функций.

Справедливости ради стоит отметить, что существует альтернативный подход учета изменения траекторий фотонов при помощи модификации дифференциальной части уравнения [103—107]. Данный подход находит широкое применение при моделировании распространения излучения в средах с градиентным изменением показателя преломления [108—110]. Подобные задачи, как правило, возникают при исследовании распространения излучения в слоисто-стратифицированных средах, таких как ионосферная плазма, ледя-

ные и снежные покровы и т.д. [111—113]. Существуют попытки применения данного подхода в задачах оптической томографии с применением ближнего инфракрасного диапазона излучения [114; 115], однако этот подход находится за рамками настоящей работы, где основное внимание уделяется моделированию распространения излучения в биологических средах, для которых характерно разделение материалов достаточно резкими границами.

Кроме теоретических исследований уравнения переноса излучения, актуальной задачей является разработка эффективных численных методов его решения. Так, например, в задачах томографии при тестировании рекон-струкционных алгоритмов, зачастую, проекционные данные получают путем решения прямых задач для уравнения переноса излучения. Хорошо известно, что в общем случае это уравнение не имеет аналитического решения. На протяжении многих лет были предложены различные эмпирические и полуаналитические подходы, однако все они накладывают существенные ограничения на структуру среды или параметры самого уравнения [116—127]. Основные методы приближенного решения уравнения переноса излучения, такие как метод сферических гармоник, метод дискретных ординат и т.д., подробно рассмотрены в монографии под редакцией Ж. Ленобль [128].

Практически единственным универсальным численным методом для моделирования переноса излучения в сложных средах является метод Монте-Карло. В России сложилась одна из ведущих научных школ по методам Монте-Карло, представленная такими выдающимися учеными как Г. И. Мар-чук, Г. А. Михайлов, С. М. Ермаков, М. А. Назаралиев, И. М. Соболь и др. [52; 129—131]. В настоящее время метод Монте-Карло широко применяется для расчетов распространения ионизирующего излучения в различных областях науки и техники [85; 132—141]. Существующие пакеты программ [136—142] позволяют эффективно решать типовые задачи, однако для учета новых эффектов или оригинальных схем сканирования зачастую необходима разработка специализированных вычислительных кодов. Это вызвано как необходимостью детального моделирования физических процессов, так и особенностями реализации на современных вычислительных архитектурах.

Целью диссертационной работы является: разработка математических моделей, численных методов и алгоритмов для решения задач восстановления внутренней структуры рассеивающей среды, создание специализированного программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы и проведение вычислительных экспериментов для проверки созданных моделей и алгоритмов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Построить и исследовать математические модели формирования проекционных данных в рентгеновской и оптической томографии рассеивающих сред, формулируемые в терминах обратных задач для уравнения переноса излучения.

2. Разработать асимптотические методы и численные алгоритмы для решения задач томографии рассеивающих сред и реализовать их в виде проблемно-ориентированного программного комплекса с применением современных технологий параллельных вычислений.

3. Провести компьютерное моделирование томографической реконструкции цифровых фантомов с целью апробации предложенных подходов и анализа их устойчивости к погрешностям, вносимым несовершенством систем сбора проекционных данных.

Подходы и методы. Изучение качественных свойств решения рассмотренных в работе краевых и начально-краевых задач основывается на методах теории интегральных и дифференциальных уравнений, функционального анализа и сильно непрерывных полугрупп. Исследование обратных задач проводится на основе теории условно-корректных задач, при этом используются полученные в диссертационной работе качественные свойства решения прямых задач. Вычислительные алгоритмы разрабатываются на основе современных методов компьютерного моделирования с применением технологий параллельных вычислений.

Полученные в рамках диссертации новые научные результаты:

1. Доказаны новые теоремы о разрешимости начально-краевой задачи для

уравнения переноса излучения с разрывной плотностью граничных источников и структуре ее решения, на основе которых предложено решение обратной задачи определения коэффициента ослабления.

2. В рамках математической модели основанной на нестационарном уравнении переноса излучения предложена новая схема томографического сканирования с использованием импульсных источников излучения. Исследована структура решения соответствующей начально-краевой задачи и получены новые оценки для скорости убывания рассеянной компоненты выходящего излучения при уменьшении длительности зондирующего импульса.

3. Предложены новые асимптотические решения задачи томографии при помощи серийного облучения импульсами различной длительности.

4. Предложен новый подход к повышению качества изображений, получаемых в импульсной рентгеновской томографии, базирующийся на установлении функциональной зависимости восстановленных изображений от длительности зондирующих импульсов и проведением экстраполяционной процедуры.

5. Доказаны новые теоремы о разрешимости прямых задач для стационарного и нестационарного уравнения переноса излучения учитывающего комптоновское рассеяние и получены условия стабилизации решения.

6. Предложен новый метод решения обратной задачи томографии основанный на специфике комптоновского рассеяния. При помощи методов компьютерного моделирования установлены требования на источники и детекторы излучения, позволяющие проводить реконструкцию неизвестной среды в случае преобладания комптоновского рассеяния.

7. В рамках модели, основанной на уравнении переноса излучения с условиями сопряжения Френеля на границах раздела материалов, развиты новые подходы определения оптических характеристик слоистых сред, базирующиеся на свойствах гладкости решения и его производных.

8. Предложено новое асимптотическое решение задачи увеличения томографического контраста среды за счет оптимального выбора показателя преломления иммерсионной жидкости.

Положения выносимые на защиту:

о Математическая модель рентгеновской томографии рассеивающих сред при облучении импульсным источником излучения с разрывной по угловой переменной интенсивностью. Алгоритм определения коэффициента ослабления излучения в рамках предложенной модели и результаты его численной апробации, демонстрирующие эффективность предложенного метода.

о Математическая модель формирования проекционных данных при серийном облучении среды импульсами различной длительности, в рамках которой развиты экстраполяционные подходы, позволяющие эффективно подавлять вклад рассеянного излучения и строить асимптотические решения задач томографической реконструкции среды.

о Численный метод решения задачи томографии, основанный на специфике комптоновского рассеяния. Результаты вычислительных экспериментов по установлению параметров существующих источников и детекторов излучения, необходимых для получения высококачественной реконструкции рассеивающей среды.

о Стационарные и нестационарные математические модели оптической томографии слоистых рассеивающих сред. Алгоритмы для восстановления оптических характеристик слоев и для увеличения томографического контраста среды. Результаты численных экспериментов, демонстрирующие приложение предложенных алгоритмов к оптической томографии кожных покровов.

о Проблемно-ориентированный программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы решения задач томографии, и позволяющий проводить имитационное моделирование процессов сканирования рассеивающих сред с использованием параллельных вычислений для оценки эффективности, оптимизации и верификации томографических алгоритмов.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическое значение полученных результатов заключается разработке новых подходов к решению задач томографии рассеивающих сред, базирующихся на исследовании качественных свойств решения уравнения переноса излучения. Разработанные методы предоставляют единый универсальный математический аппарат для

эффективного решения широкого круга задач теории переноса излучения и томографии рассеивающих сред различной физической природы. Практическая ценность заключается в разработке и исследовании математических моделей оптической и рентгеновской томографии. Предложенные в диссертации вычислительные алгоритмы и их реализация в виде компьютерных программ допускают практическое применение результатов в медицине и технике. Созданный комплекс программ может быть использован специалистами в области теории переноса излучения и рентгеновской томографии для оценки эффективности, оптимизации и верификации томографических алгоритмов и систем.

Апробация. Основные результаты диссертации были представлены автором в виде устных докладов на следующих российских и международных конференциях: Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 2007-2014); Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», (Новосибирск, 2007); «Математические и информационные технологии MIT-2013», (Сербия, Черногория, 2014); Международная конференция «Аэрозоль и оптика атмосферы (к столетию Г.В. Розенберга)», (Москва, 2014); «High Performance Scientific Computing», (Hanoi, Vietnam, 2015); 22-ой международный симпозиум оптики атмосферы и океана, (Томск, 2016); Международная конференция «Марчуковские научные чтения», (Новосибирск 2020, 2021,2024); Семинар с международным участием «Вычислительные технологии и прикладная математика», (Владивосток, 2022; Благовещенск, 2023), Всероссийская конференция с международным участием «Математика в медицине», (Владивосток, 2022; Новосибирск, 2024).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Яровенко Иван Петрович, 2025 год

Список литературы

1. Recent trend in medical imaging modalities and their applications in disease diagnosis: a review / B. Abhisheka [et al.] // Multimedia Tools and Applications. — 2023. — P. 1-36.

2. Going deep in medical image analysis: concepts, methods, challenges, and future directions / F. Altaf [et al.] // IEEE Access. — 2019. — Vol. 7. — P. 99540-99572.

3. Cierniak R. X-Ray Computed Tomography in Biomedical Engineering. — London : Springer, 2011.

4. Kalender W. A. Computed Tomography: Fundamentals, System Technology, Image Quality, Applications. — Erlangen : Publicis, 2011.

5. Withers P. J., Bouman C., Carmignato S. X-ray computed tomography // Nature Reviews Methods Primers. — 2021. — Vol. 1. — P. 18.

6. Фано У., Спенсер Л. Перенос гамма излучения. — М. : Госатомиздат, 1963.

7. Blinov A. B., Blinov N. N. X-Ray Image Improvement by Filtering of Scattered Radiation // Biomedical Engineering. — 2014. — Vol. 47. — P. 235-238.

8. Mazurov A. I., Potrakhov N. N. Effect of Scattered X-Ray Radiation on Imaging Quality and Techniques for Its Suppression // Biomedical Engineering. — 2015. — Vol. 48, no. 5. — P. 241-245.

9. Tereshchenko S. A., Lysenko A. Y. Investigation of the Scattering Influence on the Quality of Image Reconstruction in Single-Photon Emission Computed Tomography in a Proportional Scattering Medium // Biomedical Engineering. — 2020. — Vol. 53. — P. 370-374.

10. Robust moving-blocker scatter correction for cone-beam computed tomography using multiple-view information / C. Zhao [et al.] // PLoS ONE. — 2017. — Vol. 12, no. 12. — e0189620.

11. Deep Scatter Estimation (DSE): Accurate Real-Time Scatter Estimation for X-Ray CT Using a Deep Convolutional Neural Network / J. Maier [et al.] // Journal of Nondestructive Evaluation. — 2018. — Vol. 37, no. 3. — P. 57.

12. A unified scatter rejection and correction method for cone beam computed tomography / C. Altunbas [et al.] // Med. Phys. — 2021. — Vol. 48, no. 3. — P. 1211-1225.

13. Яровенко И. П. Метод решения задачи томографии основанный на специфике комптоновского рассеяния // Вычислительные технологии. — 2012. — Т. 17. — С. 99—109.

14. Аниконов Д. С. Единственность определения коэффициента уравнения переноса при специальном типе источника // Доклады АН СССР. — 1985. — Т. 284, № 5. — С. 1033—1037.

15. Anikonov D. S., Prokhorov I. V., Kovtanyuk A. E. Investigation of scattering and absorbing media by the methods of X-ray tomography // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 1993. — Vol. 1, no. 4. — P. 259-282.

16. Antyufeev V. S., Bondarenko A. N. X-ray tomography in scattering media // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1996. — Vol. 56, no. 2. — P. 573-587.

17. Kovtanyuk A. E., Prokhorov I. V. Tomography problem for the polarized-radiation transfer equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2006. — Vol. 14, no. 6. — P. 609-620.

18. Ковтанюк А. Е., Прохоров И. В. Численное решение обратной задачи для уравнения переноса поляризованного излучения // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 55—68.

19. Fetisov G. V. X-ray diffraction methods for structural diagnostics of materials: progress and achievements // Physics-Uspekhi. — 2020. — Vol. 63, no. 1. — P. 2-32.

20. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Задача определения коэффициента ослабления для нестационарного уравнения переноса излучения // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2021. — Т. 61, № 12. — С. 2095—2108.

21. Kawagoe D., Chen I.-K. Propagation of Boundary-Induced Discontinuity in Stationary Radiative Transfer // Journal of Statistical Physics. — 2018. — Vol. 170, no. 1. — P. 127-140.

22. Chen I. K., Kawagoe D. Propagation of boundary-induced discontinuity in stationary radiative transfer and its application to the optical tomog-

raphy // Inverse Problems and Imaging. — 2019. — Vol. 13, no. 2. — P. 337-351.

23. Dorn O., Lesselier D. Level set methods for inverse scattering. Topical review // Inverse Problems. — 2006. — Vol. 22. — R67-R131.

24. Масленников М. В. Об одной обратной задаче теории прохождения через вещество // Доклады АН СССР. — 1962. — Т. 145, № 5. — С. 1019— 1021.

25. Масленников М. В. Единственность обратной задачи асимптотической теории переноса излучения // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1962. — Т. 2, № 6. — С. 1044—1053.

26. Масленников М. В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием // Тр. МИАН СССР. — 1968. — Т. 97. — С. 3—134.

27. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач // Доклады АН СССР. — 1964. — Т. 156, № 3. — С. 503—506.

28. Марчук Г. И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач // Космические исследования. — 1964. — Т. 2, № 3. — С. 462—477.

29. Розенберг Г. В. Абсорбционная спектроскопия диспергированных веществ // Успехи физических наук. — 1959. — Т. 69, № 1. — С. 57—104.

30. Zweifel P. E. Conference on mathematical aspects of transport equation // Transport Theory and Statist. Phys. — 1973. — Vol. 3, no. 1. — P. 55-57.

31. Орловский Д. Г., Прилепко А. И. О некоторых обратных задачах для линеаризованного уравнения Больцмана // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т. 27, № 11. — С. 1690—1700.

32. Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т. 2, № 1. — С. 7—17.

33. Аниконов Д. С., Ковтанюк А. Е., Прохоров И. В. Использование уравнения переноса в томографии. — М. : Логос, 2000.

34. Anikonov D. S., Kovtanyuk A. E, Prokhorov I. V. Transport Equation and Tomography. — Boston-Utrecht : VSP, 2002.

35. Anikonov D. S., Nazarov V. G., Prokhorov I. V. Poorly visible media in X-ray tomography. — Boston-Utrecht : VSP, 2002.

36. Аниконов Д. С., Прохоров И. В. Определение коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения // Доклады АН. — 1992. — Т. 327, № 2. — С. 205—207.

37. Аниконов Д. С., Назаров В. Г. Интегро-дифференциальный индикатор неоднородности по неполным данным // Доклады АН. — 2001. — Т. 376, № 1. — С. 24—26.

38. Аниконов Д. С., Прохоров И. В. Необходимые и достаточные условия единственности одной задачи томографии // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2002. — Т. 42, № 3. — С. 370— 379.

39. Волков Н. П. Разрешимость некоторых обратных задач для нестационарного кинетического уравнения переноса // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2016. — Т. 56, № 9. — С. 1622—1627.

40. Konovalova D. S. Stepwise solution to an inverse problem for the radiative transfer equation as applied to tomography // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2009. — No. 1. — P. 183193.

41. Katsevich A. I., Ramm A. G. A Method for Finding Discontinuities of Functions from the Tomographic Data // Lectures in Applied Mathematics. — 1993. — Vol. 30. — P. 115-123.

42. Katsevich A. I., Ramm A. G. The Radon Transform and Local Tomography. — Boca Raton : Academic Press, 1996.

43. Nagirner D. I., Poutanen J. Single Compton scattering. Series: Astrophysics and Space Physics Reviews. Vol. 9. — Amsterdam : Harwood Academic Publishers, 1994.

44. Prahl S. A., Gemert M. J., Welch A. J. Determining the optical properties of turbid media by using the adding-doubling method // Applied Optics. — 1993. — Vol. 32, no. 4. — P. 559-568.

45. Bal G. Inverse transport theory and applications // Inverse Problems. — 2009. — Vol. 25, no. 5. — P. 025019.

46. Bellassoued M., Boughanja Y. An inverse problem for the linear Boltz-mann equation with a time-dependent coefficient // Inverse Problems. — 2019. — Vol. 35, no. 8. — P. 085003.

47. Прилепко А. И., Иванков А. Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса // Дифференциальные уравнения. — 1985. — Т. 21, № 5. — С. 870—885.

48. Кирейтов В. Р. Обратные задачи фотометрии. — Новосибирск : Из-во ВЦ СОАН СССР, 1983.

49. Грынь В. И. Об обратных диагностических задачах атмосферной оптики // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1985. — Т. 25, № 10. — С. 1506—1525.

50. Аниконов Ю. Е. Соотношения, связанные с задачами томографии // Докл. РАН. — 1995. — Т. 342, № 2. — С. 167—168.

51. Романов В. Г. Определение разрывов в рентгеновской томографии // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 98—110.

52. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике / Г. И. Марчук [и др.]. — Новосибирск : Наука, 1976.

53. Аниконов Ю. Е., Бубнов Б. А. Обратные задачи теории переноса // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 299, № 5. — С. 1037—1040.

54. Аниконов Ю. Е., Бондаренко А. Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 277, № 4. — С. 779—781.

55. Бондаренко А. Н. Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории рассеяния частиц // Докл. РАН. — 1992. — Т. 322, № 2. — С. 274—276.

56. Романов В. Г. Оценки устойчивости в одной обратной задаче для уравнения переноса // Доклады РАН. — 1995. — Т. 341, № 2. — С. 169—172.

57. Романов В. Г. Оценка устойчивости в задаче об определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния для уравнения переноса // Сибирский математический журнал. — 1996. — Т. 37, № 2. — С. 361—377.

58. Прохоров И. В. Определение поверхности раздела сред по данным томографического просвечивания // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2002. — Т. 42, № 10. — С. 1542— 1555.

59. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Исследование задач оптической томографии методами теории переноса излучения // Оптика и спектроскопия. — 2006. — Т. 101, № 5. — С. 817—824.

60. Прохоров И. В., Сущенко А. А. Исследование задачи акустического зондирования морского дна методами теории переноса излучения // Акустический журнал. — 2015. — Т. 61, № 3. — С. 400—408.

61. Амиров А. Х. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса // Сиб. мат. журнал. — 1986. — Т. 27, № 6. — С. 3—20.

62. Dorn O. Das inverse Transportproblem in der Lasertomographie : preprint / Angewandte Mathematik und Informatik. — Miinster, 1997. — 7/97-N.

63. Dorn O. Scattering and absorption transport sensitivity functions for optical tomography // Optics Express. — 2000. — Vol. 7, no. 13. — P. 492-506.

64. Шарафутдинов В. А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса // Доклады РАН. — 1996. — Т. 347, № 5. — С. 604—606.

65. Шарафутдинов В. А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для гамильтоновой системы // Сибирский математический журнал. — 1996. — Т. 37, № 1. — С. 211—235.

66. Arridge S. R. Optical tomography in medical imaging // Inverse Problems. — 1999. — Vol. 15, no. 2. — R41-R93.

67. Arridge S. R., Schotland J. C. Optical tomography: forward and inverse problems // Inverse Problems. — 2009. — Vol. 25, no. 12. — P. 123010.

68. McCormick N. J., Kuscer I. On the inverse problem in radiative transfer //J. Math. Phys. — 1974. — Vol. 15. — P. 926-927.

69. McCormick N. J. Transport scattering coefficients from reflection and transmission measurements //J. Math. Phys. — 1979. — Vol. 20. — P. 1504-1507.

70. McCormick N. J., Sanchez R. General solution of inverse transport problem //J. Math. Phys. — 1982. — Vol. 22, no. 4. — P. 487-453.

71. McCormick N. J. Methods for solving inverse problems for radiation transport - an update // Transport Theory and Statist. Phys. — 1986. — Vol. 15. — P. 759-772.

72. McCormick N. J., Sanchez R. Two-Region Inverse Transport Analysis with Solutions of the Two-Region Milne Problem // Transport Theory and Statist. Phys. — 1997. — Vol. 26. — P. 607-618.

73. McCormick N. J. Analytic inverse radiative transfer equations for atmospheric and hydrologic optics //J. Opt. Soc. Am. A. — 2004. — Vol. 21. — P. 1009-1017.

74. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов / М. Н. Николаев [и др.]. — M. : Энергоатомиздат, 1984.

75. Аниконов Д. С. Простые и сложные математические модели стационарной теории переноса // Дальневост. матем. журн. — 2002. — Т. 3, № 1. — С. 18—23.

76. Agoshkov V. I. Boundary value problems for transport equations. — Boston, MA : Birkhauser, 1998.

77. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр.МИАН СССР. — 1961. — Т. 61. — С. 3—158.

78. Гермогенова Т. А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — Т. 9, № 3. — С. 605—625.

79. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. — М. : Наука, 1986.

80. Сахаров В. И., Лейпунский О. И., Новожилов Б. В. Распространение гамма-квантов в веществе. — ГИФМЛ, 1960.

81. Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов. — Атомиздат, 1976.

82. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (элиптические, параболические, гиперболические и уравнения переноса) // Математические заметки. — 1973. — Т. 14, № 15. — С. 777—789.

83. Апресян Л. А., Кравцов Ю. А. Фотометрия и когерентность: волновые аспекты теории переноса излучения // Успехи физических наук. — 1984. — Т. 142, № 4. — С. 689—711.

84. Подгаецкий В. М., Селищев С. В., Терещенко С. А. Модели распространения излучения для систем медицинской лазерной томографии // Медицинская техника. — 1999. — № 6. — С. 3—11.

85. Сетейкин А. Ю. Анализ по методу Монте-Карло процессов распространения лазерного излучения в многослойных биоматериалах // Оптика и спектроскопия. — 2005. — Т. 99, № 4. — С. 685—688.

86. Тучин В. В. Исследование биотканей методами светорассеяния // Успехи физических наук. — 1997. — Т. 167. — С. 517—539.

87. Тучин В. В. Оптика биологических тканей. Методы рассеяния света в медицинской диагностике. — M. : Физматлит, 2013.

88. Duck F. A. A physical properties of tissue. A comprehensive reference book. — New York : Academic Press, 1990. — P. 167-223.

89. A Monte Carlo model of light propagation in tissue / S. A. Prahl [et al.] // SPIE Institute Series. Vol. 5. — 1989. — P. 102-111.

90. Star W. M., Marjinissen J. Calculating the response of isotropic light dosimetry probes as a function of the tissue refractive index // Applied Optics. — 1989. — Vol. 28, no. 12. — P. 2288-2291.

91. Tuchin V. V. Lasers and fiber optics in biomedicine. Part 1 // Laser Physics. — 1993. — Vol. 3, no. 4. — P. 767-820.

92. Tuchin V. V. Lasers and fiber optics in biomedicine. Part 2 // Laser Physics. — 1993. — Vol. 3, no. 5. — P. 925-950.

93. Time-dependent optical spectroscopy and imaging for biomedical applications / B. C. Wilson [et al.] // Proc. Of the IEEE. — 1992. — Vol. 80, no. 6. — P. 918-930.

94. Прохоров И. В. О разрешимости краевой задачи теории переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред // Известия РАН. Серия математическая. — 2003. — Т. 67, № 6. — С. 169—192.

95. Прохоров И. В. О структуре множества непрерывности решения краевой задачи для уравнения переноса излучения // Математические заметки. — 2009. — Т. 86, № 2. — С. 256—272.

96. Kovtanyuk A. E, Prokhorov I. V. A boundary-value problem for the polarized-radiation transfer equation with Fresnel interface conditions for a layered medium // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2011. — Vol. 235, no. 8. — P. 2006-2014.

97. Прохоров И. В. О разрешимости начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения // Сибирский математический журнал. — 2012. — Т. 53, № 2. — С. 377—387.

98. Прохоров И. В. Задача Коши для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2013. — Т. 53, № 5. — С. 753—766.

99. Amosov A. A. The radiation transfer equation with reflection and refraction conditions. Continuous dependence of solutions on the data and limit passage to the problem with "shooting conditions" // Journal of Mathematical Sciences. — 2013. — Vol. 195. — P. 569-608.

100. Прохоров И. В., Сущенко А. А. О корректности задачи Коши для уравнения переноса излучения с френелевскими условиями сопряжения // Сибирский математический журнал. — 2015. — Т. 56, № 4. — С. 922— 933.

101. Amosov A., Shumarov M. Boundary value problem for radiation transfer equation in multilayered medium with reflection and refraction conditions // Applicable Analysis. — 2016. — Vol. 95, no. 7. — P. 15811597.

102. Амосов А. А. Краевые задачи для уравнения переноса излучения с условиями отражения и преломления. — Новосибирск : Тамара Рож-ковская, 2017.

103. Tualle J., Tinet E. Derivation of the radiative transfer equation for scattering media with a spatially varying refractive index // Optics Communications. — 2003. — Vol. 228. — P. 33-38.

104. Validity conditions for the radiative transfer equation / L. Marti-Lopez [et al.] // J. Opt. Soc. Am. A. — 2003. — Vol. 20, no. 11. — P. 20462056.

105. Bal G. Radiative transfer equations with varying refractive index: a mathematical perspective //J Opt Soc Am A Opt Image Sci Vis. — 2006. — Vol. 23, no. 7. — P. 1639-1644.

106. Gantri M. Solution of radiative transfer equation with a continuous and stochastic varying refractive index by legendre transform method // Com-put Math Methods Med. — 2014. — P. 814929.

107. Premaratne M., Premaratne E, Lowery A. The photon transport equation for turbid biological media with spatially varying isotropic refractive index // Opt Express. — 2005. — Vol. 13, no. 2. — P. 389-399.

108. Ilyushin Y. A. Propagation of a collimated beam in the refractive scattering medium // Radiophysics and Quantum Electronics. — 2013. — Vol. 55, no. 10. — P. 648-653.

109. Ilyushin Y. A. Singular radiation fields in scattering media with refraction // Journal of the Optical Society of America A. — 2021. — Vol. 39, no. 1. — P. 160-166.

110. Soloviev V. Y. Light transport in refractive turbid media //J Opt Soc Am A Opt Image Sci Vis. — 2016. — Vol. 33, no. 3. — P. 383-390.

111. Ilyushin Y. A. Martian northern polar cap: Layering and possible implications for radar sounding // Planetary and Space Science. — 2004. — Vol. 52, no. 13. — P. 195-207.

112. Afanasiev A. N. The energy spectrum of spacecraft radio signals in the caustic shadow zone of the Sun: A new diagnostic of the solar coronal plasma //J. Atmos. Solar-Terr. Phys. — 2005. — Vol. 67, no. 11. — P. 1002-1013.

113. Ilyushin Y. A. Impact of the plasma fluctuations in the Martian ionosphere on the performance of the synthetic aperture ground-penetrating radar // Planetary and Space Science. — 2009. — Vol. 57, no. 12. — P. 1458-1466.

114. Guan J., Fang S., Guo C. Optical tomography reconstruction algorithm based on the radiative transfer equation considering refractive index-Part 1: Forward model // Comput Med Imaging Graph. — 2013. — Vol. 37, no. 3. — P. 245-255.

115. Guan J., Fang S., Guo C. Optical tomography reconstruction algorithm based on the radiative transfer equation considering refractive index: Part 2. Inverse model // Comput Med Imaging Graph. — 2013. — Vol. 37, no. 3. — P. 256-262.

116. Кузнецов Е. С. К вопросу о приближенных уравнениях переноса лучистой энергии в рассеивающей и поглощающей среде // Доклады Академии Наук СССР. — 1942. — Т. 37, № 7/8. — С. 237—244.

117. Кузнецов Е. С. О решении уравнения переноса излучения для плоского слоя при анизотропном рассеянии // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 4. — С. 769—773.

118. Агошков В. И. О гладкости решения уравнения переноса и приближенных методах их построения // В сб.: Дифференциальные и интегро-

дифференциальные уравнения. Вып. 1 / под ред. Г. И. Марчук. — Новосибирск, 1977. — С. 44—58.

119. Агошков В. И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения о переносе частиц. — М. : ОВМ АН СССР, 1984.

120. Будак В. П., Савенков В. И. О новом решении уравнения переноса излучения в рамках мало углового приближения // Тр. Моск. энерг. ин-т. — 1982. — Т. 591. — С. 141—144.

121. Гермогенова Т. А. Регулярные компоненты асимтотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1997. — Т. 37, № 4. — С. 464—482.

122. Грынь В. И. Точные решения уравнения стационарного переноса излучения при одномерной плоской и сферической геометриях // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1997. — Т. 37, № 7. — С. 841—861.

123. Стрелков С. А., Сушкевич Т. А. Полуаналитический метод решения уравнения переноса поляризованного солнечного излучения в неоднородной атмосфере : препринт / Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. — Москва, 1988. — № 65.

124. Сушкевич Т. А. Решение краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтально - неоднородной границей раздела двух сред // Доклады АН. — 1996. — Т. 350, № 4. — С. 460—464.

125. Потапов В. С. Метод решения уравнения теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами // Теоретическая и математическая физика. — 1994. — Т. 100, № 2. — С. 287—303.

126. Потапов В. С. Асимптотические решения уравнений теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами // Теоретическая и математическая физика. — 1994. — Т. 100, № 3. — С. 424— 343.

127. Ямщиков В. М. Аналитическое решение задачи о переносе немонохроматического направленного излучения в резонансно поглощающей среде // Оптика и спектроскопия. — 2023. — Т. 131, № 5. — С. 705—710.

128. Радиационный перенос в рассеивающей и поглощающей атмосферах: стандартные вычислительные процедуры / под ред. Ж. Ленобль. — Deepak Publishing, 1990.

129. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. — Москва : Наука, 1973.

130. Михайлов Г. А., Медведев И. Н. Оптимизация весовых алгоритмов статистического моделирования. — Новосибирск : Омега Принт, 2011.

131. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. — Санкт-Петербург : Бином. Лаборатория знаний, 2009.

132. Прохоров И. В., Жуплев А. С. Об эффективности методов максимального сечения в теории переноса излучения // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 4. — С. 573—582.

133. Жуплев А. С., Прохоров И. В., Яровенко И. П. Статистическое моделирование транспорта электронов в задачах визуализации неоднородных сред // Дальневосточный математический журнал. — 2014. — Т. 14, № 2. — С. 217—230.

134. Каблукова Е. Г., Ошлаков В. Г., Пригарин С. М. Моделирование методом Монте-Карло сигнала лазерной навигационной системы // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2023. — Т. 26, № 3. — С. 253—261.

135. Каргин Б. А., Му Ц., Каблукова Е. Г. Численное статистическое моделирование процесса переноса оптической радиации в случайных кристаллических средах // Сибирские электронные математические известия. — 2023. — Т. 20, № 1. — С. 486—500.

136. Жуковский М. Е., Усков Р. В. Моделирование взаимодействия гамма-излучения с веществом на гибридных вычислительных системах // Математическое моделирование. — 2011. — Т. 23, № 7. — С. 20—32.

137. Alerstam E, Svensson T, Andersson-Engels S. Parallel Computing with Graphics Processing Units for High-Speed Monte Carlo Simulation of Photon Migration // Journal of Biomedical Optics. — 2008. — Vol. 13. — P. 060504.

138. Усков Р. В. О некоторых особенностях применения технологии CUDA для моделирования переноса излучения // Вестник Московского государственного технического университета им. НЭ Баумана. Серия «Естественные науки». — 2011. — № 3. — С. 71—83.

139. Periyasamy V., Pramanik M. Advances in Monte Carlo Simulation for Light Propagation in Tissue // IEEE Reviews in Biomedical Engineering. — 2017. — P. 1-11.

140. Russkova T. Monte Carlo Simulation of the Solar Radiation Transfer in a Cloudy Atmosphere with the Use of Graphic Processor and NVIDIA CUDA Technology // Atmospheric and Oceanic Optics. — 2018. — Vol. 31. — P. 119-130.

141. Четверушкин Б. Н., Марков М. Б., Усков Р. В. О распараллеливании метода частиц для гибридного суперкомпьютера // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — № 505. — С. 19—23.

142. MC GPU project:Monte Carlo simulation of x-ray transport in a GPU with CUDA. —eprint. http://c0de.g00gle.c0m/p/mcgpu/.

143. Яровенко И. П. Численное решение краевых задач для уравнения переноса излучения в оптическом диапазоне // Вычислительные методы и программирование. — 2006. — Т. 7, № 1. — С. 93—104.

144. Prokhorov I. V., Yarovenko I. P., Nazarov V. G. Optical tomography problems at layered media // Inverse Problems. — 2008. — Vol. 24, no. 2. — P. 025019.

145. Яровенко И. П. О диффузионном приближении для уравнения переноса излучения с учетом комптоновского рассеяния // Дальневосточный математический журнал. — 2009. — Т. 9, № 1/2. — С. 209—218.

146. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Анализ томографического контраста при иммерсионном просветлении слоистых биотканей // Квантовая электроника. — 2010. — Т. 40, № 1. — С. 77—82.

147. Яровенко И. П. Численные эксперименты с индикатором неоднородности в позитронно-эмиссионной томографии // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 140—149.

148. Яровенко И. П. Исследование применимости диффузионного приближения для уравнения переноса излучения с учетом комптоновского рассеяния // Дальневосточный математический журнал. — 2011. — Т. 11, № 1. — С. 99—107.

149. Яровенко И. П. О разрешимости краевой задачи для уравнения переноса излучения с учетом комптоновского рассеяния // Дальневосточный математический журнал. — 2014. — Т. 14, № 1. — С. 109—121.

150. Яровенко И. П. Формула градиента выходящего сигнала в позитронно-эмиссионной томографии // Дальневосточный математический журнал. — 2015. — Т. 15, № 1. — С. 121—128.

151. Яровенко И. П. Метод определения поверхности разрыва плотности источников активности в позитронно-эмиссионной томографии // Сибирские электронные математические известия. — 2016. — Т. 13. — С. 694— 703.

152. Yarovenko I. P. Analysis on the applicability of diffusion approximation for the radiative transfer equation with Compton scattering // Key Engineering Materials. — 2016. — Vol. 685. — P. 60-64.

153. Яровенко И. П., Прохоров И. В. Определение показателей преломления слоистой среды при импульсном режиме облучения // Оптика и спектроскопия. — 2018. — Т. 124, № 4. — С. 534—541.

154. Яровенко И. П. Однозначная разрешимость краевой задачи для полихроматического уравнения переноса излучения // Дальневосточный математический журнал. — 2019. — Т. 19, № 1. — С. 96—107.

155. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Задача Коши для нестационарного уравнения переноса излучения с комптоновским рассеянием // Сибирские электронные математические известия. — 2020. — Т. 17. — С. 1943—1952.

156. Modeling and simulation of Compton scatter image formation in positron emission tomography / I. G. Kazantsev [et al.] // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2020. — Vol. 28, no. 6. — P. 923-932.

157. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Повышение качества томографических изображений при облучении среды импульсами различной длительности // Доклады РАН. Математика, информатика и процессы управления. — 2022. — Т. 505. — С. 71—78.

158. Яровенко И. П., Казанцев И. Г. An extrapolation method for improving the linearity of CT-values in X-ray pilsed tomography // Дальневосточный математический журнал. — 2022. — Т. 22, № 2. — С. 269—275.

159. Yarovenko I. P., Prokhorov I. V. An extrapolation method for improving the quality of tomographic images using multiple short-pulse irradiations // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2024. — Vol. 32, no. 1. — P. 57-74.

160. Nazarov V. G., Prokhorov I. V., Yarovenko I. P. Identification of an Unknown Substance by the Methods of Multi-Energy Pulse X-ray Tomography // Mathematics. — 2023. — Vol. 11, no. 15. — P. 3263.

161. Яровенко И. П., Донская М. А. О выборе метода розыгрыша свободного пробега при решении нестационарного уравнения переноса излучения с использованием графических ускорителей // Дальневосточный математический журнал. — 2024. — Т. 24, № 1. — С. 33—44.

162. Яровенко И. П., Ворновских П. А., Прохоров И. В. Экстраполяция томографических изображений по данным многократного импульсного зондирования // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2024. — Т. 27, № 3. — С. 177—195.

163. Яровенко И. П. Об одной обратной задаче для уравнения переноса излучения в слоистой среде // Обратные и некорректные задачи математической физики: Тезисы докладов международной конференции, Новосибирск, 20-25 августа 2007. — 2007.

164. Яровенко И. П. О краевой задаче для уравнения переноса излучения с сечением Кляйна-Нишины в интеграле столкновения // Математические и информационные технологии, MIT-2013: Тезисы доклада международной конференции. Врнячка Баня, Сербия, 5-8 сентября 2013. — 2013.

165. Яровенко И. П. Задача определения показателей преломления слоистой рассеивающей среды // Аэрозоль и оптика атмосферы (к столетию Г.В. Розенберга): Материалы международной конференции. Москва, 21-24 октября 2014. — 2014. — С. 66.

166. Yarovenko I. P. The Method for Detection the Surface of Activity Discontinues in Positron Emission Tomography // Proceedings of 6th International Conference on Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes. March 16-20, 2015, Hanoi, Vietnam. — 2015.

167. Yarovenko I. P., Prokhorov I. V., Kovtanyuk A. E. Effects of polarization of optical radiation in the problem for finding refractive indices of layered medium // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering. Vol. 10035. — 2016. — 100350Y.

168. Prokhorov I. V., Yarovenko I. P. Computed tomography imaging using a short pulse source with angular discontinuity // Journal of Physics: Conference Series, Novosibirsk, 04-08 October 2020. — 2021. — P. 012043.

169. Prokhorov I. V., Yarovenko I. P. An extrapolation method for projection data fltration in pulsed X-ray tomography // Journal of Physics: Conference Series, Novosibirsk, 04-08 October 2021. — 2015. — P. 012050.

170. Яровенко И. П., Прохоров И. В., Донская М. А. Математические модели рентгеновской и оптической томографии // Математика в медицине: Аннотации докладов II Всероссийской конференции с международным участием, Владивосток, 10-15 октября, 2022. — 2022. — С. 8.

171. Yarovenko I. P., Prokhorov I. V., Kazantsev I. G. Scatter correction technique using multiple-impulse sources in computed tomography // Proceedings of 1-st International Workshop on Computing Technologies and Applied Mathematics. Vladivostok, 11-15 July 2022. — 2022. — P. 25.

172. Донская М. А., Яровенко И. П. Решение нестационарного уравнения переноса излучения с использованием графических ускорителей // Вычислительные технологии и прикладная математика: Материалы II Международного семинара, Благовещенск, 12-16 июня 2023. — 2023. — С. 68—69.

173. Прохоров И. В., Ворновских П. А., Яровенко И. П. Экстраполяцион-ные подходы к улучшению качества изображений в рентгеновской импульсной томографии // Вычислительные технологии и прикладная математика: Материалы II Международного семинара, Благовещенск, 12-16 июня 2023. — 2023. — С. 161—162.

174. Яровенко И. П., Прохоров И. В. Экстраполяционный метод улучшения качества идентификации состава неизвестной среды методами импульсной рентгеновской томографии // Марчуковские научные чтения 2024: Тезисы докладов международной конференции, Новосибирск, 7-11 октября 2024. — 2024. — С. 148.

175. Яровенко И. П., Прохоров И. В. Задачи оптической томографии кожи человека // Математика в медицине : Сборник статей IV Всероссийской конференции с международным участием, Новосибирск, 01-04 октября 2024. — 2024. — С. 96—99.

176. Яровенко И. П., Прохоров И. В. Определение параметров слоистой среды методами оптической томографии : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2012612450, 06.03.2012.

177. Яровенко И. П. Программный комплекс обращения преобразования Радона и томографической обработки сигналов : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2012613948, 27.04.2012.

178. Яровенко И. П. Программа решения задачи позитронно-эмиссионной томографии : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2012618710, 24.09.2012.

179. Яровенко И. П. Имитационное моделирование в задачах позитронно-эмиссионной томографии : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2014612190, 20.02.2014г.

180. Яровенко И. П. Моделирование комптоновского рассеяния в томографии : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2014612191, 20.02.2014.

181. Яровенко И. П. Определение показателей преломления слоистой среды при импульсном режиме облучения : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2019664240, 01.11.2019.

182. Яровенко И. П. Вычисление сигнала рентгеновского томографа при облучении медицинского фантома в режиме импульсного излучения : Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2019664649, 11.11.2019.

183. Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. — Chichester : Wiley, 1986.

184. Herman G., Natterer F. Mathematical Aspects of Computerized Tomography. — Oberwolfach : Springer Science & Business Media, 2013.

185. Fujimoto K., Omar A. A., Yoshinaga T. Continuous-time image reconstruction using differential equations for computed tomography // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2010. — Vol. 15. — P. 1648-1654.

186. Zhou J., Qu G. Accelerated convergence strategy of weighted least squares method for image reconstruction // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2023. — Vol. 117. — P. 106938.

187. Unser M. Ridges, neural networks, and the Radon transform // Journal of Machine Learning Research. — 2023. — Vol. 24. — P. 1-33.

188. Steiding C., Kolditz D., Kalender W. A. A quality assurance framework for the fully automated and objective evaluation of image quality in cone-beam computed tomography // Medical Physics. — 2014. — Vol. 41. — P. 031901.

189. Choi J. K, Dong B., Zhang X. Limited tomography reconstruction via tight frame and simultaneous sinogram extrapolation // Journal of Computational Mathematics. — 2016. — Vol. 34. — P. 575-589.

190. Deep learning based spectral extrapolation for dual-source, dual-energy x-ray computed tomography / D. P. Clark [et al.] // Med Phys. — 2020. — Vol. 47, no. 9. — P. 4150-4163.

191. An Extrapolation Method for Image Reconstruction from a Straight-line Trajectory / H. Gao [et al.] // IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record. — 2006. — P. 2304-2308.

192. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Кинетическое уравнение переноса для случая комптоновского рассеяния // Сибирский математический журнал. — 2002. — Т. 43, № 5. — С. 987—1001.

193. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Краевая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием // Сибирский математический журнал. — 2005. — Т. 46, № 1. — С. 3—16.

194. Чернов А. В. Об одном мажорантно-минорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости управляемых распределенных систем // Дифференциальные уравнения. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 112.

195. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. — New-York : Springer-Verlag, 1983.

196. One-parameter semigroups, Series: CWI Monographs. Vol. 5 / P. Clement [et al.]. — Amsterdam : North-Holland, 1987.

197. Truong T. T., Nguyen M. K., Zaidi H. The Mathematical Foundations of 3D Compton Scatter Emission Imaging // International Journal of Biomedical Imaging. — 2007. — P. 92780.

198. Cruvinel P. E, Balogun F. A. Compton scattering tomography for agricultural measurements // Eng. Agrhc. — 2006. — Vol. 26, no. 1. — P. 151-160.

199. Palamodov V. P. An analytic reconstruction for the Compton scattering tomography in a plane // Inverse Problems. — 2011. — Vol. 27, no. 12. — P. 125004.

200. Nguyen M., Truong T. The integral equations of Compton Scatter Tomography // Open Journal of Applied Sciences. — 2013. — Vol. 2. — P. 53-56.

201. Rigaud G., Nguyen M. K, Louis A. K. Modeling and simulation results on a new Compton scattering tomography modality // Simul. Model. Pract. Theory. — 2013. — Vol. 33. — P. 28-44.

202. A deep-learning based algorithm for image reconstruction in Compton tomography / A. Ishak [et al.] // 2023 Twelfth International Conference on Image Processing Theory, Tools and Applications (IPTA). — IEEE. 2023. — P. 1-6.

203. UnWave-Net: Unrolled Wavelet Network for Compton Tomography Image Reconstruction / A. Ishak [et al.] // arXiv. — 2024. — P. 2406.03413.

204. Tashima H., Yamaya T. Compton imaging for medical applications // Radiol. Phys. Technol. — 2022. — Vol. 15. — P. 187-205.

205. Зимняков Д. А., Тучин В. В. Оптическая томография тканей // Квантовая электроника. — 2002. — Т. 32, № 10. — С. 849—867.

206. Исследование возможности увеличения глубины зондирования методом отражательной конфокальной микроскопии при иммерсионном просветлении приповерхностных слоев кожи человека / И. В. Меглин-ский [и др.] // Квантовая электроника. — 2002. — Т. 32, № 10. — С. 875—882.

207. In vivo исследование динамики иммерсионного просветления кожи человека / В. В. Тучин [и др.] // Письма в ЖТФ. — 2001. — Т. 27, № 12. — С. 10—14.

208. Coleman W. A. Mathematical verification of a certain Monte Carlo sampling technique to radiation transport problems // Nucl. Sci. Eng. — 1968. — Vol. 32, no. 1. — P. 76-81.

209. Михайлов Г. А., Аверина Т. А. Алгоритм максимального сечения в методе Монте-Карло // Доклады РАН. — 2009. — Т. 428, № 2. — С. 163— 165.

210. Антюфеев В. С. К обоснованию модификации метода максимального сечения // Вычислительные технологии. — 2012. — Т. 17, № 2. — С. 13— 19.

211. Аниконов Д. С. Построение индикатора неоднородности при радиационном обследовании среды // Доклады АН. — 1997. — Т. 357, № 3. — С. 324—327.

212. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии. — М. : Физмат-лит, 2004.

213. Моделирование распространения ультракороткого импульса света через сильно рассеивающую среду / В. С. Кузнецов [и др.] // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 4. — С. 3—14.

214. Ершов Ю. И., Шихов С. Б. Математические основы теории переноса. — М. : Атомиздат, 1985.

215. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М. : Мир, 1978.

216. Новиков В. М., Шихов С. Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. — М. : Энергоиздат, 1982.

217. Хачатуров А. А. Определение значения меры для области n-мерного евклидового пространства по ее значениям для всех полупространств // Успехи математических наук. — 1954. — Т. 9, 3(61). — С. 205—212.

218. Mah P., Reeves T. E., McDavid W. D. Deriving Hounsfield units using grey levels in cone beam computed tomography // Dentomaxillofac. Radiol. — 2010. — Vol. 39, no. 6. — P. 323-335.

219. CBCT-based bone quality assessment: are Hounsfield units applicable? / R. Pauwels [et al.] // Dentomaxillofac Radiol. — 2015. — Vol. 44, no. 1. — P. 20140238.

220. L'Ecuyer P. Good Parameters and Implementations for Combined Multiple Recursive Random Number Generators // Operations Research. — 1999. — Vol. 47, no. 1. — P. 159-164.

221. Phase-only synthesis of ultrafast stretched square pulses / V. Lozovoy [et al.] // Optics Express. — 2015. — Vol. 23, no. 27. — P. 27105.

222. The Nature of Metal Artifacts in X-ray Computed Tomography and Their Reduction by Optimization of Tomography Systems Parameters / S. Os-ipov [et al.] // Applied Sciences. — 2023. — Vol. 13. — P. 2666.

223. Zhang Y, Yu H. Convolutional Neural Network Based Metal Artifact Reduction in X-Ray Computed Tomography // IEEE Transactions on Medical Imaging. — 2017. — Vol. 37. — P. 1370-1381.

224. Image Quality Assessment: From Error Visibility to Structural Similarity / Z. Wang [et al.] // Image Processing, IEEE Transactions. — 2004. — Vol. 13. — P. 600-612.

225. A spectral geometric model for Compton single scatter in PET based on the single scatter simulation approximation / I. G. Kazantsev [et al.] // Inverse Problems. — 2018. — Vol. 34, no. 2. — P. 024002.

226. Webber J., Miller E. L. Compton scattering tomography in translational geometries // Inverse Problems. — 2020. — Vol. 36, no. 2. — P. 025007.

227. Zhang Y. Recovery of singularities for the weighted cone transform appearing in Compton camera imaging // Inverse Problems. — 2020. — Vol. 36, no. 2. — P. 025014.

228. Suleimanov V., Poutanen J., Werner K. X-ray bursting neutron star atmosphere models using an exact relativistic kinetic equation for Compton scattering // Astronomy and Astrophysics. — 2012. — Vol. 545. — A120.

229. Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984.

230. Никольский С. М. Курс математического анализа. — М. : Наука, 1975.

231. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Физматлит, 2004.

232. Prokhorov I. V. Solvability of the initial-boundary value problem for an integro-differential equation // Siberian Mathematical Journal. — 2012. — Vol. 53, no. 2. — P. 301-309.

233. Prokhorov I. V., Sushchenko A. A., Kim A. Initial boundary value problem for the radiative transfer equation with diffusion matching conditions // Journal of Applied and Industrial Mathematics. — 2017. — Vol. 11, no. 1. — P. 115-124.

234. Prokhorov I. V. The Cauchy Problem for the Radiation Transfer Equation with Fresnel and Lambert Matching Conditions // Mathematical Notes. — 2019. — Vol. 105, no. 1. — P. 80-90.

235. Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media. — New York : Academic Press, 1978.

236. Atomic Form Factors, Incoherent Scattering Functions, and Photon Scattering Cross Sections / J. H. Hubbell [et al.] //J. Phys. Chem. Ref. Data. — 1975. — Vol. 4, no. 3. — P. 471-538.

237. Коновалова Д. С. Один способ аппроксимации меры видимости в рентгеновской томографии // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 64—69.

238. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М. : Физматлит, 2001.

239. XCOM: Photon cross sections database / M. J. Berger [et al.] // NIST Standard Reference Database. — 2009. — Vol. 8. — P. 87-3597.

240. L'Ecuyer P., Cote S. Implementing a Random Number Package with Splitting Facilities // ACM Trans. on Math. Software. — 1991. — Vol. 17, no. 1. — P. 98-111.

241. Галишев В. С., Огиевецкий В. И., Орлов А. Н. Теория многократного рассеяния гамма-лучей // Успехи физических наук. — 1957. — Т. 51, № 2. — С. 161—214.

242. Boone J. M., Seibert J. A. An accurate method for computer-generating tungsten anode x-ray spectra from 30 to 140 kV // Medical Physics. — 1997. — Vol. 24, no. 11. — P. 1661-1670.

243. Manno I. Event Reconstruction Strategies. — [Online] Available: http: //www.rmki.kfki.hu/~manno/Borexino.html.

244. Прохоров И. В. Краевая задача теории переноса излучения в неоднородной среде с условиями отражения на границе // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 6. — С. 848—851.

245. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Численное решение дифракционных задач для уравнения переноса излучения // Сибирские электронные математические известия. — 2005. — Т. 2. — С. 88—101.

246. Прохоров И. В., Яровенко И. П. Краевая задача теории переноса в многослойной среде с обобщенными условиями сопряжения // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 93—107.

247. Arvo J. Backward Ray Tracing // Proceedings of ACM SIGGRAPH'86 Course Notes. — New-York : ACM Press, 1986. — P. 259-263.

248. Kajiya J. T. The rendering equation // Proceedings of ACM SIGGRAPH'86 Course notes. — New York : ACM Press, 1986. — P. 143150.

249. A Practical Model for Subsurface Light Transport / H. Wann Jensen [et al.] // Proceedings of ACM SIGGRAPH'2001. Course notes. — Los Angeles : ACM, 2001. — P. 511-518.

250. Wann Jensen H. Realistic Image Synthesis Using Photon Mapping. — AK Peters, 2001.

251. Prokhorov I. V., Yarovenko I. P., Krasnikova T. V. An extremum problem for the radiation transfer equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2005. — Vol. 13, no. 4. — P. 365-382.

252. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М. : Наука, 1973.

253. Петникова В. М., Третьяков Е. В., Шувалов В. В. Устойчивость фазовой функции Хеньи-Гринштейна и быстрое интегрирование по путям в условиях многократного рассеяния света // Квантовая электроника. — 2006. — Т. 36, № 11. — С. 1039—1042.

254. Попов А. П., Приезжев А. В., Мюллюля Р. Влияние концентрации глюкозы в модельной светорассеивающей суспензии на характер распространения в ней сверхкоротких лазерных импульсов // Квантовая электроника. — 2005. — Т. 35, № 11. — С. 1075—1078.

255. Меглинский И. В. Моделирование спектров отражения оптического излучения от случайно-неоднородных многослойных сильно рассеивающих и поглощающих свет сред методом Монте-Карло // Квантовая электроника. — 2001. — Т. 31, № 12. — С. 1101—1107.

256. Башкатов А. Н., Генина Э. А., Тучин В. В. Исследование оптических и диффузионных явлений в биотканях при воздействии осмотически активных иммерсионных жидкостей. — Саратов : Саратовский гос. унт, 2005.

257. Боресков А. В., Харламов А. А. Основы работы с технологией CUDA. — М. : ДМК Пресс, 2010.

258. Hubbell J. H., Seltzer S. M. Tables of X-ray Mass Attenuation Coefficients and Mass Energy Absorption Coefficients 1 keV to 20 MeV for Elements Z = 1 to 92 and 48 Additional Substances of Dosimetric Interest // NISTIR-5632. — Gaithersburg, MD, USA, 1995.

259. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло. — Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000.

260. Visvikis D., Cheze-Le Rest C., Jarritt P. PET technology: current trends and future developments // British J. of Radiology. — 2004. — Vol. 77. — P. 906-910.

261. Correction for scatter in 3D PET using dual energy window method / S. Grootoonk [et al.] // Phys. Med. Biol. — 1996. — Vol. 41, no. 12. — P. 2757-2774.

262. A PET scatter correction using simultaneous acquisitions with low and high lower energy thresholds / B. Bendriem [et al.] // Conf. Rec. IEEE Medical Imaging Conf. (San Francisco, 1993). Vol. 3. — 1993. — P. 1779-1783.

263. Shao L., Karp J. S. Cross-plane scatter correction-point source decon-volution in PET // IEEE Trans. Med. Imaging. — 1991. — Vol. 10, no. 3. — P. 234-239.

264. Lercher M. J., Wienhard K. Scatter correction in 3-D PET // IEEE Trans. Med. Imaging. — 1994. — Vol. 13, no. 4. — P. 649-657.

265. Ollinger J. M. Model-based scatter correction for fully 3D PET // Phys. Med. Biol. — 1996. — Vol. 41, no. 1. — P. 153-176.

266. Watson C. C., Newport D. A., Casey M. E. A single scatter simulation technique for scatter correction in 3D PET // Fully Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiology and Nuclear Medicine. — Netherlands : Kluwer Acad., 1996. — P. 255-268.

267. Zaidi H. Scatter modelling and correction strategies in fully 3-D PET // Nucl. Med. Communications. — 2001. — Vol. 22, no. 11. — P. 11811184.

268. Zaidi H., Montandon M. L. Scatter Compensation Techniques in PET // PET Clinics. — 2007. — Vol. 2, no. 2. — P. 219-234.

269. Chinn G., Foudray A. M. K., Levin C. S. A Method to Include Single Photon Events in Image Reconstruction for a 1 mm Resolution PET System Built with Advanced 3-D Positioning Detectors // Conf. Rec. IEEE Nucl. Sci. Symposium (San Diego, 2006). — 2007. — P. 17401745.

270. Kazantsev I. G., Matej S., Lewitt R. M. Geometric model of single scatter in PET // Conf. Rec. IEEE Nucl. Sci. Symposium (San Diego, 2006). — 2007. — P. 2740-2743.

271. Kosters T., Natterer F., Wubbeling F. Scatter Correction in PET Using the Transport Equation // Conf. Rec. IEEE Nucl. Sci. Symposium (San Diego, 2006). — 2007. — P. 3305-3309.

272. Colombino P., Fiscella B., Trossi L. Study of positronium in water and ice from 22 to -144 C by annihilation quanta measurements // Il Nuovo Cimento. — 1965. — Vol. 38, no. 2. — P. 707-723.

273. Investigation of single, random, and true counts from natural radioactivity in LSO-based clinical PET / S. Yamamoto [et al.] // Annals of Nucl. Med. — 2005. — Vol. 19, no. 2. — P. 109-114.

274. Anikonov D. S. Integro-differential heterogeneity indicator in tomography problem //J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 1999. — Vol. 7, no. 1. — P. 17-59.

275. Lavrentev M. M., Savelev L. I. Linear operators and ill-posed problems. — New York : Consultants Bureau, 1995.

276. Bendriem B. The theory and practice of 3D PET. — London : Kluwer Academic Publishers, 1998.

277. Медведев И. Н., Михайлов Г. А. Исследование весовых алгоритмов метода Монте-Карло с ветвлением // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. — Т. 49, № 3. — С. 441— 452.

278. Бреднихин С. А., Медведев И. Н., Михайлов Г. А. Оценка параметров критичности ветвящихся процессов методом Монте-Карло // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — Т. 50, № 2. — С. 362—374.

279. Комиссаров А. А. Об одной задаче вычислительной томографии: выпрямляющий алгоритм обратного преобразования радона в схеме веерного пучка // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА. — 2014. — № 3. — С. 128—136.

280. Лавров С. А., Симонов Е. Н. Влияние перепаковки проекций пучка излучения из веерной геометрии в параллельную на качество томографических изображений // ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. — 2009. — № 4. — С. 78—83.

281. Симонов Е. Н., Аврамов М. В., Аврамов Д. В. Анализ трехмерных алгоритмов реконструкции в рентгеновской компьютерной томографии // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2017. — Т. 17, № 2. — С. 24—32.