Математическое моделирование оптических транспортных свойств случайно-неоднородных сред при решении задач оптического зондирования в биомедицине и материаловедении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Исаева Анна Андреевна

• Исаева Анна Андреевна
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Исаева Анна Андреевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Анализ современных численных и аналитических подходов к описанию переноса электромагнитного излучения при решении прямых и обратных задач оптической диагностики случайно-неоднородных сред

1.1. Обзор методов моделирования переноса излучения в случайно-неоднородных средах

1.2. Теория переноса излучения и аналитическая теория многократного рассеяния

1.3. Модельные фазовые функции рассеяния

1.4. Уравнение диффузии излучения

1.5. Потоковые модели переноса излучения

1.6. Статистическое моделирование с использованием прямого и инверсного метода Монте-Карло

1.7. Основы гибридного подхода к описанию преноса излучения

1.8. Статистический и корреляционный анализ флуктуаций рассеянных световых полей

1.9. Выводы по главе 56 Глава 2. Моделирование деполяризующих свойств случайно-неоднородных сред, представляемых ансамблями сферических диэлектрических частиц, на основе гибридного подхода

2.1. Статистическое моделирование переноса линейно поляризованного света в неупорядоченных многократно рассеивающих ансамблях сферических частиц

2.2. Методика статистического моделирования деполяризующих свойств дисперсных систем

2.3. Результаты статистического моделирования деполяризующих свойств случайно-неоднородных сред

2.4. Выводы по главе

Глава 3. Численное моделирование процесса переноса излучения в средах со сложной структурой и динамикой

3.1. Модель для решения обратной задачи лазерной спекл-коррелометрии полного поля пространственно-неоднородных объектов с улучшенным разрешением по глубине

3.2. Общий алгоритм статистического моделирования переноса излучения

3.3. Алгоритм моделирования спекл-коррелометрического зондирования с улучшенным разрешением по глубине применительно к исследованию многослойных сред с различной динамикой рассеивающих центров

3.4. Алгоритм математической модели на основе метода спекл-коррелометрии с улучшенным разрешением по глубине для исследования однородных «стационарных» сред, содержащих «динамические» включения

3.5. Выводы по главе 116 Глава 4. Численное моделирование статистических и корреляционных свойств спекл-полей, формируемых средами со сложной структурой и динамикой и приложения результатов моделирования в оптической диагностике

4.1. Алгоритмы моделирования статистических и корреляционных свойств флуктуаций лазерных спекл-полей

4.2. Пространственно-селективная спекл-коррелометрия кинетики температурно-зависимых процессов гелеобразования

4.3. Спекл-коррелометрия полного поля эволюционирующих пеноподобных сред

4.4. Анализ формирования структуры композитных материалов с использованием спекл-коррелометрии полного поля

4.5. Оценка транспортных характеристик полимерных материалов методом пространственно-селективной спекл-коррелометрии

4.6. Низкокогерентная рефлектометрия флуоресцирующих случайно-неоднородных сред

4.7. Выводы по главе

Глава 5. Численное моделирование и алгоритмы отображения динамической спекл-модуляции лазерного излучения при многократном рассеянии в нестационарных случайно-неоднородных средах

5.1. Статистическое моделирование стохастической интерференции лазерного излучения в нестационарных многократно рассеивающих средах с применением концепции случайных фазоров

5.2. Алгоритм и результаты анализа спекл-полей, формируемых системами эволюционирующих жидкокристаллических кластеров в полимерной матрице при лазерном зондировании

5.3. Метод и алгоритм восстановления оптических транспортных параметров случайно-неоднородных сред по данным оптической диффузионной спектроскопии

5.4. Управление оптическими транспортными свойствами дисперсных сред и спекл-модуляцией зондирующего излучения

5.5. Статистическиое моделирование и визуализация спекл-модуляции зондирующего излучения в пеноподобных материалах

5.6. Выводы по главе 240 Общие выводы по работе и заключение 243 Список литературы 249 Приложения А-Е

ВВЕДЕНИЕ

Анализ переноса электромагнитного излучения оптического диапазона в случайно-неоднородных средах различной природы широко применяется при решении фундаментальных и прикладных диагностических задач в различных областях науки и техники: биофизике, физическом материаловедении, океанологии и т.д.

Наряду с экспериментальными методами оптической диагностики (спекл-коррелометрия, диффузионно-волновая спектроскопия, безопорная рефлектометрия, спектрально-поляризационная диагностика и т.д.), при решении данных задач весьма востребованными являются методы математического моделирования переноса излучения.

Решения прямых и обратных задач переноса излучения в среде, позволяющие установить взаимосвязь между структурными и динамическими характеристиками среды и параметрами рассеянного излучения, основано на двух подходах: «энергетической» теории переноса излучения (ТПИ) и «полевой» аналитической теории многократного рассеяния (АТМР).

Большой вклад в развитие фундаментальных и прикладных походов ТПИ внесли как зарубежные, так и отечественные ученые: О. Хвольсон, С. Чандрасекар, А. Исимару, В.В. Соболев, А. Шустер, К. Шварцшильд, А. Эддингтон, Д.Г. Мензел, Х. К. Ван де Хюлст, К. Стамнес, Дж. М. Винг, В.В. Иванов, К. Кейз, Т.Н. Минин, В. Г. Горбацкий и др.

Фундаментальные основы АТМР были заложены В. Тверским и Л. Фолди, дальнейшее развитие теория получила в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как А.А. Голубенцев, В.Г. Романов, В.И. Кузьмин, С. Е. Скипетров, П. Лойд, У. Фриш, К. Ванг и др.

Значительный вклад в развитие элементов гибридного подхода, объединяющего основные принципы как ТПИ, так и АТМР, за последние несколько десятилетий внесли: Д. Пейн, Д. Вейтц, А. Йод, Д. Боас, С. Джон, Ф. Макинтош, И. В. Меглинский, Д.А. Зимняков, и др.

Вместе с тем, для дальнейшего развития указанных подходов необходим анализ следующих малоизученных проблем. Например, в рамках подхода ТПИ: не учитываются интерференционные эффекты взаимодействия локальных световых полей, рассеянных структурными неоднородностями среды;

не рассматривается мелкомасштабная зернистая структура рассеянного света (спекл-модуляция), проявляющаяся при когерентном зондировании случайно-неоднородных сред.

АТМР, в отличие от ТПИ, предполагает учет интерференционных эффектов в произвольно выбранной точке случайно-неоднородной среды с рассмотрением амплитудно-фазовых соотношений между ними и последующим усреднением по ансамблю рассеивающих центров. Однако основные соотношения аналитической теории (интегральные уравнения для среднего поля и пространственно-временной корреляционной функции поля) являются весьма сложными для интерпретации и анализа.

В связи с эти, представляется перспективным дальнейшее развитие гибридного подхода, объединяющего ТПИ и АТМР. Рассматривая модель рассеяния на основе гибридного подхода, необходимо отметить, что между результатами ТПИ и АТМР существует фундаментальная взаимосвязь; в частности, пространственная корреляционная функция светового поля (объект, рассматриваемый в АТМР) и угловой спектр лучевой интенсивности в многократно рассеивающей среде (ТПИ) связаны между собой через преобразование Фурье по волновому вектору светового поля (А. Исимару, [28]). Указанная взаимосвязь является основой гибридного подхода, в котором в качестве основополагающего объекта вводится функция плотности вероятности оптических путей парциальных составляющих рассеянного поля в среде.

Для нахождения данной функции плотности вероятности требуется

численное решение уравнения переноса излучения (УПИ), например, методом

статистического моделирования на основе Монте-Карло (решается задача о

6

распределении парциальных составляющих рассеянного поля в среде с учетом геометрии среды, ее оптических свойств и условий зондирования).

Гибридный подход является многообещающим в задачах расчета корреляционных и поляризационных характеристик многократно рассеянного светового поля. Решение сводится к линейным интегральным преобразованиям синтезированной функции плотности вероятности оптических путей парциальных составляющих рассеянного поля с соответствующим образом выбранными ядрами.

Вплоть до настоящего времени не учитывались отдельные вопросы теории переноса, связанные с специфическими случаями структурно-зависимого взаимодействия зондирующего излучения со средой и требующие углубленного изучения, в частности:

процессы рассеяния в деполяризующих средах с различными характеристиками эффективности и анизотропии рассеяния;

процессы рассеяния в стационарных случайно-неоднородных средах, содержащих макроскопические динамические включения сложной формы; процессы рассеяния в пеноподобных высокопористых средах; процессы рассеяния в активных флуоресцирующих случайно-неоднородных многократно рассеивающих средах.

В связи с этим целью диссертационной работы явилась разработка и верификация математических моделей, алгоритмов и специального программного обеспечения для численного и приближенного аналитического решения прямых и обратных задач взаимодействия лазерного и широкополосного оптического излучения со случайно-неоднородными средами со сложной структурой и динамикой применительно к дальнейшему развитию методов оптического зондирования многократно рассеивающих сред со случайной структурой.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Развитие и численная верификация метода статистического моделирования переноса излучения (на основе ТПИ и АТМР) в

7

стационарных случайно-неоднородных средах, содержащих макроскопические динамические включения, применительно к характеризации и визуализации многократно рассеивающих объектов с нестационарной структурой;

2. Разработка методологии, алгоритмов и специального программного обеспечения применительно к спекл-коррелометрическому зондированию нестационарных многократно рассеивающих сред с пространственной фильтрацией детектируемого излучения;

3. Разработка методологии, алгоритмов и специального программного обеспечения применительно к низкокогерентному рефлектометрическому зондированию многократно рассеивающих сред с использованием в качестве зондирующего излучения флуоресцентного отклика среды при лазерной накачке;

4. Разработка в рамках лучевого подхода, реализация и верификация стохастической модели переноса излучения (на основе ТПИ и АТМР) в многократно рассеивающих ячеистых средах применительно к проблеме оптического зондирования пеноподобных высокопористых материалов;

5. Развитие в рамках формализма Джонса методологии статистического моделирования переноса поляризованного света (на основе гибридного подхода) в многократно рассеивающих случайно-неоднородных средах и анализ на данной основе деполяризующих свойств сред с различными характеристиками анизотропии и эффективности рассеяния;

6. Разработка на основе проведенных теоретических и экспериментальных исследований комплекса специальных программ для решения прямых и обратных задач оптического зондирования с использованием различных подходов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в создании и

развитии новых подходов к математическому моделированию процессов

переноса электромагнитного излучения оптического диапазона в широком

классе стационарных и нестационарных многократно рассеивающих сред со

сложной структурой и динамикой, включая активные среды с преобразованием зондирующего лазерного излучения во флуоресцентный отклик, и разработке на данной основе фундаментальных и прикладных основ новых методов зондирования случайно-неоднородных сред для применений в биомедицине и материаловедении.

1. Разработана оригинальная математическая модель гибридного подхода, на основе статистического (Монте-Карло) моделирования переноса когерентного излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая текущие амплитудно-фазовые и поляризационные характеристики распространяющихся в моделируемой среде парциальных световых волн в зависимости от текущих направлений волновых векторов этих волн;

Данный пункт научной новизны соответствует пунктам 1, 3, 5 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

2. Разработана статистическая модель переноса когерентного излучения в стационарных многократно рассеивающих случайно-неоднородных средах, содержащих макроскопические динамические неоднородности сложной формы, учитывающая внутренние переотражения излучения на границах раздела;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 3 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

3. Разработан и верифицирован новый численный подход к отображению и анализу динамических спекл-полей при многократном рассеянии лазерного излучения нестационарными случайно-неоднородными средами с использованием синтеза пространственно-временных спекл-текстур, несущих информацию как о доминирующем типе движения структурных неоднородностей среды (дрейфовая или диффузионная микроскопическая динамика неоднородностей), так и об их средней подвижности на масштабе порядка длины волны;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 5 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

4. Разработан оригинальный численный алгоритм, позволяющий анализировать спекл-модулированные поля с использованием статистических и корреляционных характеристик обратно рассеянного света средами со сложной структурой и динамикой;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 3 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

5. Разработан численный подход для расчета спектрально-зависимых статистических моментов флуктуаций флуоресцентного отклика применительно к решению обратной задачи оценки оптических транспортных параметров зондируемых сред с использованием метода безопорной низкокогерентной рефлектометрии флуоресцирующих случайно-неоднородных сред;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 3 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

На основе разработанных моделей, алгоритмов и комплексов программ получены следующие результаты:

6. На основе результатов статистического моделирования и натурных

экспериментов впервые установлено существование двух различающихся по

динамике режимов пространственно-ограниченной трансляционной диффузии

частиц в оптически плотных коллоидных многократно рассеивающих системах

с внедренными рассеивающими центрами выше и ниже области перехода

«золь-гель». Различие обусловлено существенно большими значениями

коэффициента трансляционной диффузии рассеивающих центров выше области

перехода и приводит к значительно меньшим модельным и экспериментальным

величинам времени корреляции флуктуаций интенсивности рассеянного

10

лазерного света в золь-системах по сравнению с гель-системами (так например, для водного раствора желатина с объемными долями рассеивателей равными 0.01 и 0.1 в состоянии геля время корреляции составило, соответственно, тс ~ 2 с и тс ~ 0.8 с и в состоянии золя для обеих сред время корреляции составило порядка тс ~ 0.01 с). Это позволяет определить соотношение между характерными транспортными масштабами массопереноса в том и другом случаях;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 3 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

7. На основе результатов статистического моделирования и натурных экспериментов впервые предложен, обоснован и верифицирован подход к управлению оптическими транспортными параметрами флуоресцирующих случайно-неоднородных сред путем изменения концентрации флуоресцирующего компонента, накачиваемого лазерным излучением в полосе поглощения. Возможность управления оптическими транспортными параметрами (в частности, транспортной длиной распространения излучения в среде) обусловлена сильной концентрационной зависимостью показателей преломления и поглощения матричной среды в подобных системах в области ее аномальной дисперсии;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 3 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

8. На основе результатов статистического моделирования переноса излучения выявлено, что при зондировании флуоресцирующих случайно-неоднородных сред лазерным излучением с различными длинами волн эффект концентрационной зависимости показателей преломления и поглощения матричной среды проявляется в существенном убывании глубины спекл-

модуляции (например, при рассмотрении суспензии частиц полистирола в растворах этиленгликоля с красителем родамина 6Ж);

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 3 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

9. На основе результатов математического моделирования переноса излучения в неупорядоченных ансамблях сферических рассеивающих центров с использованием приближения Перкуса-Йевика и экспериментального исследования спектров диффузного и коллимированного пропусканий вспененных жидкостей в области перехода от «влажной» к «сухой» пене установлено существование эффекта оптической инверсии в подобных системах. Эффект оптической инверсии заключается в переходе от режима рассеяния зондирующего излучения неупорядоченными ансамблями газовых пузырей в жидкой матрице к режиму рассеяния жидкими стенками газовых пузырей и сеткой каналов Плато-Гиббса в сухой пене и сопровождается существенным возрастанием параметра анизотропии рассеяния зондирующего излучения (от значений порядка « 0.15 для «влажных» пен до порядка « 0.600.65 для «сухих» пен);

Данный пункт научной новизны соответствует пунктам 3, 4 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

10. Установленная в результате статистического моделирования и натурных экспериментов инвариантность среднего времени жизни локальных областей когерентности (спеклов) многократно рассеянных лазерных полей по отношению к типу микроскопической динамики рассеивающих центров является основой для создания новых подходов в спектроскопии квазиупругого рассеяния случайно-неоднородных сред, не требующих априорной информации о характере движения рассеивателей на масштабе порядка длины волны зондирующего излучения;

Данный пункт научной новизны соответствует пункту 4 паспорта специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. В результате статистического моделирования переноса линейно поляризованного света в неупорядоченных многократно рассеивающих ансамблях сферических частиц и анализа экспериментальных данных

установлено, что максимальное значение нормированной на транспортную

<?

длину длины деполяризации щ = у- при рассеянии вперед достигается при

значении волнового параметра, соответствующего первому резонансу Ми; например, при рассеянии вперед для частиц диоксида титана в геле нормированное значение длины деполяризации составляет приблизительно 9.3 (соответствует п.1 научной новизны).

2. Математическая модель, алгоритм Монте-Карло моделирования и специальное программное обеспечение для анализа переноса излучения в слоях двухфазных пеноподобных систем с учетом структурных изменений в среде и множественных переотражений излучения на границах раздела фаз в системе (соответствует п.2 научной новизны).

3. Алгоритмы и программное обеспечение для статистического моделирования процесса формирования стохастических интерференционных полей (спекл-модуляции) и анализа их характеристик применительно к решению прямых и обратных задач лазерного зондирования многократно рассеивающих сред со сложной структурой и динамикой (соответствует п.2, п.4 и п.6 научной новизны).

4. Статистическое моделирование стохастической интерференции лазерного излучения в нестационарных многократно рассеивающих средах и результаты экспериментальной верификации разработанной модели ансамблей случайных фазоров позволили установить инвариантность среднего времени существования областей когерентности (спеклов) во флуктуирующем

интерференционном поле по отношению к типу микроскопической динамики рассеивающих центров (соответствует п.3 и п.10 научной новизны).

5. Алгоритм анализа спектральных характеристик и специальное программное обеспечение для расчета спектрально-зависимых статистических моментов флуктуаций флуоресцентного отклика в методе безопорной низкокогерентной рефлектометрии флуоресцирующих случайно-неоднородных сред применительно к решению обратной задачи оценки оптических транспортных параметров зондируемых сред (соответствует п.5 научной новизны).

6. Управление эффективным значением длины когерентности зондирующего излучения в методе безопорной низкокогерентной рефлектометрии флуоресцирующих случайно-неоднородных сред может осуществляться путем изменения длины многомодового волоконно -оптического патч-корда, применяемого для доставки флуоресцентного света от блока сбора излучения к спектрометру. Установленное пороговое значение соотношения -1, выступающего в качестве критерия

чувствительности рассматриваемого метода (соответствует п.5 научной новизны).

7. На основе данных статистического моделирования и натурного эксперимента установлено, что изменение концентрации флуорофора, эффективно поглощающего на длине волны зондирующего излучения в многократно рассеивающих системах с флуоресцирующей матричной средой и дискретными рассеивателями приводит к существенным изменениям оптических транспортных параметров системы (соответствует п.7 и п.8 научной новизны).

8. Эффект оптической инверсии пеноподобных систем в процессе перехода от «влажных» к «сухим» пенам сопровождается существенным возрастанием параметра анизотропии рассеяния от величин, близких к 0.15 в случае «влажных» пен, до « 0.60-0.65 для «сухих» пен (соответствует п.9 научной новизны).

Достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, подтверждается применением верифицированных численных, аналитических и экспериментальных методов исследования переноса электромагнитного излучения в средах со сложной структурой и динамикой, а также соответствием полученных модельных и экспериментальных данных опубликованным результатам исследований других авторов.

Теоретическая значимость

Предложенные в диссертационной работе математические модели позволяют описать сложные процессы взаимодействия электромагнитного излучения: со случайно-неоднородными средами с различной динамикой рассеивающих центров; с двухфазными системами с изменяющейся долей жидкой фазы; с коллоидными системами в процессе термически индуцированного перехода «золь - гель»; с многократно рассеивающими случайно-неоднородными средами с преобразованием лазерного зондирующего излучения во флуоресцентный отклик.

Разработанные модели временной декорреляции и деполяризации многократно рассеянного лазерного света позволили установить фундаментальные особенности переноса излучения в двухкомпонентных средах с разделяющимися фазами, в двухфазных и многофазных системах со сложной структурой, в случайно-неоднородных рассеивающих средах со сложной динамикой рассеивающих центров, в случайно-неоднородных средах с преобразованием зондирующего излучения во флуоресцентный отклик.

Разработанные модели переноса излучения случайно-неоднородных средах на основе статистического моделирования (метода Монте-Карло) позволили обосновать возможность управления оптическими транспортными параметрами среды и установить эффект оптического просветления среды, подобный эффекту Христиансена.

Практическая значимость

Установленные закономерности и обнаруженные эффекты расширяют функциональные возможности оптических диагностических методов на основе эффектов многократного квазиупругого и неупругого рассеяния лазерного излучения (спекл-коррелометрии, диффузионно-волновой спектроскопии, безопорной низкокогерентной рефлектометрии, спектрально-поляризационной диагностики).

Разработанные программные комплексы для экспресс-анализа статистических и корреляционных характеристик пространственно-временных флуктуаций интенсивности лазерного излучения, регистрируемых в процессе оптической диагностики, позволяют получить информацию о характеристиках динамических процессов, протекающих в стационарных и нестационарных случайно-неоднородных средах.

Разработанные программные комплексы на основе метода Монте-Карло позволяют рассчитывать статистические характеристики пространственно-временных флуктуаций интенсивности, исходя из заданной формы функции плотности вероятности путей распространения парциальных составляющих рассеянного излучения и оптических параметров зондируемой среды.

Разработанный программный комплекс для моделирования переноса излучения в случайно-неоднородных средах с учетом взаимосвязи поглощения и показателя преломления базовой среды позволяет рассчитывать эффект различия действительных частей показателей преломления базовой среды и включений в случайно-неоднородных флуоресцирующих средах и концентрации флуоресцирующей составляющей базовой среды на оптические транспортные свойства анализируемых сред.

Разработанный алгоритм переноса поляризованного излучения в

ансамблях диэлектрических частиц на основе метода Монте-Карло и

формализма Джонса позволяет прогнозировать деполяризующие свойства

многократно рассеивающих случайно-неоднородных сред для различных

16

условий регистрации рассеянного частично поляризованного света, структурных и оптических характеристик зондируемой среды.

Все перечисленные модели, алгоритмы и комплексы программ дают существенный вклад в расширение функциональных возможностей существующих в настоящее время оптических методов зондирования нестационарных и квазистационарных многократно рассеивающих сред и создают предпосылки к разработке и внедрению в практику новых диагностических подходов с использованием лазерного и широкополосного оптического излучения в материаловедении и биомедицине.

Полученные в диссертационной работе результаты используются в учебном процессе подготовки бакалавров, магистров и аспирантов по таким образовательным направлениям как «Техническая физика», «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат и магистратура), «Физика и астрономия» (аспирантура).

Методы исследования

В работе предложен оригинальный подход к анализу стохастических распределений флуктуаций интенсивности обратно рассеянного или прошедшего поля на основе метода спекл-коррелометрии с использованием локализованного источника лазерного излучения и пространственной фильтрации регистрируемого излучения.

Разработаны и верифицированы в экспериментах различные модификации метода статистического моделирования переноса излучения в стационарных и нестационарных случайно-неоднородных средах с различной динамикой рассеивающих центров, позволяющие рассчитывать статистические и корреляционные характеристики пространственно-временных флуктуаций интенсивности рассеянного лазерного и широкополосного излучения для различных условий освещения и детектирования применительно к решению прямых и обратных задач оптической диагностики случайно-неоднородных сред.

Предложен метод контроля и управления оптическими свойствами дисперсных флуоресцирующих сред с диэлектрическими частицами путем изменения концентрации флуоресцирующего компонента среды при зондировании излучением с длиной волны, близкой к максимуму поглощения флуоресцирующего компонента.

Разработан и верифицирован в численных экспериментах поляризационно-чувствительный Монте-Карло метод моделирования переноса поляризованного света в случайно-неоднородных средах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование оптических транспортных свойств случайно-неоднородных сред при решении задач оптического зондирования в биомедицине и материаловедении»

Апробация работы

Материалы диссертационной работы получены в результате выполнения грантов и НИР, в которых Исаева А.А. являлась руководителем или основным исполнителем проекта:

Грант для молодых ученых по программе УМНИК «Пространственно-селективный спекл-коррелометр полного поля для диагностических приложений в материаловедении и биомедицине» 2012-2013гг.;

Стипендия президента СП-4086.2016.4 «Разработка комплексного спекл-поляризационного метода мониторинга морфологии биотканей со сложной структурой и динамическими включениями» 2017 г.;

Грант для молодых ученых СГТУ имени Гагарина Ю.А. «Разработка оптической рефлектометрии случайно-неоднородных сред применительно к задачам биомедицины и материаловедения» 2018г. (руководитель проекта);

Грант РФФИ «мол_а» № 18-32-00584, 2018-2019 гг. «Новые методы когерентно-оптической рефлектометрии случайно-неоднородных сред: применение в биомедицинской диагностике и материаловедении», 2018-2019гг. (руководитель проекта);

РНФ №21-79-00051 «Разработка комплексного акустического и когерентно-оптического анализатора морфофункциональных характеристик дисперсных систем и пористых сред для мониторинга процессов синтеза и

функционализации материалов», 2021-2023 гг. (руководитель проекта);

18

РФФИ «мол_а» № 12-02-31568 «Развитие спектрально-поляризационных и нелинейно-оптических методов зондирования наноструктурированных дисперсных систем» (2012-2013гг.) (исполнитель);

РФФИ, № 16-02-00458 а «Когерентно-оптическая диагностика процессов формирования структуры композитных материалов для тканевой и клеточной инженерии», 2016-2018 гг., (исполнитель);

РНФ, №16-19-10455 «Синтез низкоразмерных наноструктур с различными типами проводимости для фотоники и электроники и характеризация их электрофизических свойств в оптическом и НЧ диапазонах», 2016-2018 гг., (исполнитель);

НИР 01В.02 СГТУ (основные научные направления СГТУ имени Гагарина Ю.А.) «Нелинейные и резонансные эффекты при взаимодействии волновых полей с однородными и структурно-неупорядоченными конденсированными средами» (исполнитель), 2016 - 2018 гг. (исполнитель);

РФФИ № 18-29-06024 «Локальный массоперенос в неравновесных средах в процессах СКФ синтеза высокопористых функциональных материалов» 20182019 гг., (исполнитель).

Апробация работы была проведена на следующих российских и международных конференциях:

X международной конференции "Correlation Optics - 2011" (Украина, Черновцы, 2011 г.);

международных конференциях "Saratov Fall Meeting 13 - 27" (Россия, Саратов, 2009-2023 гг.);

XXI Международном симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Россия, Томск, 2016 г.);

IX Научно-практической конференции "Сверхкритические флюиды: фундаментальные основы, технологии, инновации" (Россия, Сочи, 2017 г.);

X Научно-практической конференции "Сверхкритические флюиды: фундаментальные основы, технологии, инновации" (Россия, Ростов-на-Дону, 2019 г.);

международных конференциях «Оптика лазеров 15 - 20» (Россия, Санкт-Петербург, 2012-2023 гг.);

международной конференции "Фотонные коллоидные наноструктуры: синтез, свойства и применения - 2018" (Россия, Санкт- Петербург, 2018 г.);

26-ой международной конференции "Advanced Laser Technologies (ALT''18)" (Испания, Таррагона, 2018г.).

Личный вклад

Все представленные в работе математические модели, алгоритмы и подтверждающие экспериментальные данные были разработаны и получены или лично автором, или совместно с авторами опубликованных работ. Постановка задач исследований и интерпретация полученных результатов производилась совместно с научным консультантом, д.ф.-м.н., проф. Д.А. Зимняковым.

Публикации

Основные результаты диссертации представлены в 48 научных работах, 13 из которых изданы в журналах из списка ВАК Минобрнауки России; 34 статьи, входящих в системы цитирования Web of Science и Scopus; 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав заключения и списка литературы из 356 наименований. Общий объем диссертации 344 страницы.

Глава 1. Анализ современных численных и аналитических подходов к описанию переноса электромагнитного излучения при решении прямых

и обратных задач лазерной диагностики 1.1. Обзор развития методов моделирования переноса излучения в случайно-неоднородных средах

Математические модели, описывающие перенос электромагнитного излучения

оптического диапазона в случайно-неоднородных средах, играют важную роль

в современных аналитических подходах, устанавливающих связь между

теоретическими и экспериментальными исследованиями в различных научно-

технических отраслях. В течение XX и первой четверти XXI века

отечественными и зарубежными исследователями разработан ряд хорошо

обоснованных математических моделей переноса электромагнитного излучения

в стационарных и нестационарных случайно-неоднородных средах.

Фундаментальные основы теории переноса излучения были заложены при

исследовании переноса лучистой энергии газовыми (атмосферы звезд и планет,

туманности, межзвездная среда) и жидкими средами (океан) [1 - 6].

Развитие аналитических и численных методов количественного описания

распространения электромагнитных волн в пространственно-неоднородных

средах со случайной структурой позволило значительно расширить

функциональные возможности оптической диагностики в таких

фундаментальных и прикладных областях, как биофизика, физическое

материаловедение, метеорология, контроль окружающей среды и т.д.

В 50 - х гг. прошлого века был сформирован раздел математической

физики, нацеленный на исследования в области теории переноса

электромагнитного излучения в случайно-неоднородных средах, явившийся

основой для разработки новых эффективных методов решения интегральных и

интегро-дифференциальных уравнений.

Разработанные математические модели и апробированные алгоритмы

процессов переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах

позволят расширить возможности подходов на основе многократного рассеяния

лазерного излучения, таких как спекл-коррелометриия [7], диффузионно-волновая спектроскопия [8], безопорная низкокогерентня рефлектометрия [9], спектрально-поляризационная диагностика [10 - 11] и т.д., и улучшить качество интерпретации эмпирически полученных данных в натурных экспериментах.

В области биомедицинской оптики за последние несколько десятилетий математические модели на основе теории переноса излучения активно внедрялись в качестве подходов, используемых для описания процессов распространения излучения в биологических тканях, таких как кожа, склера глаза, мышечные ткани и др., и жидкостях, примером которых являются кровь, лимфа и т.д. [12 - 14].

Взаимодействие лазерного излучения со случайно-неоднородными многократно рассеивающими средами сопровождается амплитудной, фазовой, частотной модуляциями, равно как и изменением состояния поляризации зондирующего излучения. Многие современные методы оптической диагностики основаны на особенностях взаимодействия когерентного излучения со средами со сложной структурой и динамикой. Так, динамические методы рассеяния, чувствительные к смещениям рассеивателей на расстояние порядка длины волны, активно используются в области материаловедения; например, для анализа таких процессов как фазовые превращения многокомпонентных систем [15], исследования критического поведения границы раздела жидкой и газовой фаз в слоях пористой системы в процессе капиллярного подъема жидкости [16], определение вязкоупругих свойств сложнокомпонентных полимерных жидкостей [17], изучение диффузии мезоскопических рассеивающих центров в сильно мутных жидкостях, находящиеся в тепловом равновесии [18] и т.д.

При лазерном зондировании многократно рассеивающих случайно-

неоднородных сред формируется динамическая или статическая спекл-картина,

являющаяся следствием стохастической интерференции рассеянных компонент

поля с различными пройденными внутри среды оптическими путями. Развитие

численных подходов, основанных на статистическом анализе подобных

22

случайных распределений флуктуации интенсивности, позволит расширить возможности и углубить фундаментальные основы современных диагностических лазерных методов.

Статистический подход позволяет оценить ряд аналитических параметров зарегистрированных случайных распределений флуктуаций интенсивности, таких как контраст спекл-изоражения, статистические моменты первых и вторых порядков флуктуаций интенсивности, структурную и корреляционную функции флуктуаций интенсивности и т.д. полученных из детектируемых спекл-модулированных изображений, формируемых обратно рассеянным или прошедшим излучением [19, 16, 129].

Одной из проблем при внедрении современных лазерных методов зондирования в практику является разработка методов и алгоритмов решения обратных задач восстановления контролируемых параметров объекта по измеренным в эксперименте статистическим и корреляционным характеристикам рассеянного случайно-неоднородной средой лазерного излучения.

Определенная сложность решения задачи переноса излучения в средах заключается в непрерывной динамической изменчивости и многопараметричности модели среды, большом разнообразии процессов трансформации излучения в процессе рассеяния в случайно-неоднородных средах, большой вариативности способов детектирования излучения. Также необходимо учитывать краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения, описывающего перенос излучения в рассеивающих, поглощающих, излучающих, преломляющих, поляризующих средах с одномерной, двумерной или трехмерной геометрией.

1.2. Теория переноса излучения и аналитическая теория многократного рассеяния

К наиболее часто используемым аналитическим и численным методам и

подходам описания переноса электромагнитного излучения в случайно-

неоднородных средах со сложной динамикой и структурой при решении

23

прикладных задач стоит отнести ТПИ и аналитическую теорию многократного рассеяния (АТМР) [20 - 26]. Предложенные подходы основаны на различных физических принципах: при описании рассеянного поля в ТПИ используется пространственно-временное распределение плотности потока энергии, усредненной по масштабу, превышающему размер структурной неоднородности; при рассмотрении рассеянного поля в АТМР в качестве характеристик используются амплитуда и фаза рассеянных парциальных волн в среде.

Основой для развития ТПИ стало предложенное О. Хвольсоном интегральное уравнение переноса излучения и диффузионное приближение [26]. С. Чандрасекаром, А. Исимару, В. В. Соболевем, А. Шустером разработаны модели стационарного и нестационарного переносов излучения в слоях атмосферы, К. Шварцшильдом, А. Эддингтоном, Д. Г. Мензелем -термодинамическая теория лучистого равновесия, модели переноса электромагнитного и теплового излучения слоями атмосферы, Х. К. Ван де Хюлстом - метод добавления-удвоения решения стационарного уравнения переноса излучения в атмосферах планет и пылевых туманностях, К. Стамнесом - метод дискретных ординат решения стационарного уравнения переноса излучения в многократно рассеивающих и поглощающих многослойных системах, Дж. М. Вингом - когерентные эффекты при многократном рассеянии электромагнитного излучения в неупорядоченных системах, В. В. Ивановом -модели многократного рассеяния излучения в частотах спектральных линий, К. Кейзом - модели переноса нейтронов с учетом анизотропии рассеяния, Т. Н. Мининым и В. Г. Горбацким - модели нестационарного переноса излучения оптического диапазона в однородных газовых средах и т.д. [27 - 33]

Основополагающими уравнениями АТМР были интегральные уравнения для статистических моментов первого и второго порядков амплитуды рассеянного поля, полученные В. Тверским и Л. Фолди [34 - 36]. Важный вклад в развитие теории был внесен такими учеными, как В.Г. Романов, описавший

24

модель переноса излучения с учетом коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния. А.А. Голубенцев и В.И. Кузьмин рассмотрели модели рассеяния излучения неупорядоченными средами с учетом когерентных эффектов; С. Е. Скипетров, предложил модель многократного рассеяния излучения в случайно-неоднородной среде со светоиндуцированными потоками рассеивателей. П. Лойд предложил модель рассеяния на изолированных частицах с учетом сдвига фаз; Д. Б. Келлер предложил стохастические дифференциальные уравнения гармонического осциллятора; К. Ванг разработал теорию упругого многократного рассеяния частиц с сильно анизотропной функцией рассеяния и т.д. [37 - 42].

В рамках аналитической теории многократного рассеяния падающая электромагнитная волна представляется как совокупность парциальных волн, каждая из которых претерпевает трансформацию в процессе рассеяния и приобретает свой определенный оптический путь. Детектор суммирует парциальные волны с учетом их направлений движения в среде. Формируемей отклик на детекторе будет зависеть от параметров зондирующего излучения, транспортных характеристик и геометрических особенностей среды. Распределение интенсивности внутри среды /(иа, ^, g) является функцией коэффициента поглощения ца, коэффициент рассеяния среды и среднего косинуса угла рассеяния g (параметра анизотропии рассеяния). Также определенную роль играет относительный показатель преломления пт1, влияющий на долю отраженного излучения на границах раздела внутри или на поверхности среды. Вышеуказанные транспортные параметры ца, ^, g, пти определяются структурными особенностями зондируемой случайно-неоднородной среды.

В нестационарной теории переноса лучевая интенсивность может быть сопоставлена со «структурной» модификацией функции распределения Вигнера, описывающей когерентность первого порядка электромагнитного поля [43]. В этом случае можно установить взаимосвязь между теорией

переноса и строгой электромагнитной теорией. В теории переноса стирается различие между когерентным источником излучения и тепловым источником, так как не учитываются эффекты пространственной когерентности на достаточно больших расстояниях, сравнимых с несколькими десятками длин свободного пробега парциальных составляющих поля. Теория переноса не включает дифракционные эффекты ввиду рассмотрения среднего значения составляющих лучевой интенсивности, приходящих с различных направлений в рассматриваемую точку пространства, игнорируя фазовые соотношения.

В настоящее время существует большое количество численных методов для решения стционарного и нестационарного интегро-дифферециальных уравнений ТПИ. К приближенным методам решения стаионарного уравнения ТПИ, сводящимся к получению общего решения с неизвестными параметрами, определяемыми из соответсвующих граничных условий, стоит отнести метод Рь-моментов [44 - 46] (или сферических гармоник [47 - 48]), дискретных ординат [49 - 51], метод конечных элементов [52 - 55] и т.д. Подобные подходы демонстрируют эффективность и достаточную гибкость при получении приближенных решений для случаев рассеяния сложными геометрическими объектами.

Альтернативный подход опирается на решение интегральных уравнений для ряда неизвестных функций, полученных из дифференциальных уравнений с определнными граничными условиями. Наиболее часто используемыми задачами, к которым сводится большинство прикладных случаев, являются задачи с изотропным рассеянием в плоскопараллельных средах. Малоугловое приближение [56], двухпотоковое [57] и многопотоковые [58, 28] приближения позволяют получить решение уравнения переноса излучения (УПИ) с определенной степенью точности.

Основное уравнение ТПИ можно вывести из тензора лучевой

интенсивности, описывающего поляризационные эффекты и привести к

скалярному уравнению относительно лучевой интенсивности, пренебрегая

поляризационными эффектами [59]. В скалярной теории переноса излучения

26

исходные транспортные оптические параметры (коэффициент поглощения, коэффициент рассеяния, зависящая от времени фазовая функция рассеяния, показатель преломления среды) среды задаются как усредненные величины по малому конечному объему в некоторой окрестности выбранной точки.

Рассматривая лучевую интенсивность электромагнитного поля, распространяющегося в случайно-неоднородной изотропной среде, протекающую за единицу времени и через единичную площадку перпендикулярную направлению 7 в пространственной точке г как поток квантов электромагнитного излучения, можно записать уравнения ТПИ в общем виде как:

> стационарное уравнение ТПИ:

дЦ^О + тЩг_±0 = _ц,_,г) + ц _, Iиг^р(1,и7, гу(1.2)

4л

где I (г, 7) - лучевая интенсивность в точке г в направлении 7, I(г, 7, г) -меняющаяся во времени лучевая интенсивность в точке г в направлении 7, t -текущее время, р(7, 7') - независимая от времени фазовая функция рассеяния, р(7, г, 7' , г') - зависимая от времени фазовая функция рассеяния, которая задается как функция плотности вероятности рассеяния компонент с направлением 7 в момент времени t в направлении 7' в момент времени V, /(г,г') - функция задержки однократного рассеяния, инвариантная относительно трансляции, т.е. /(г,г') = /(г'_г), йО'- единичный телесный угол в направлении 7', т = 1/(сц) -среднее время, за которое компонента проходит расстояние между двумя последовательными актами рассеяния, ц = ц+ц - коэффициент экстинкции среды, ц - коэффициент рассеяния среды, ц - коэффициент поглощения среды. Отметим, что в уравнениях 1.1 и 1.2 не рассматриваются внутренние источники излучения и не учитываются поляризационные эффекты.

(1.1)

> нестационарное уравнение ТПИ:

Время задержки единичного акта рассеяния определяется как первый момент функции задержки / (г, г') [60]:

ад

=

0

(г)Л. (1.3)

Тогда можно оценить среднее время блуждания парциальной компоненты в среде как ^ (+ ^), где - среднее количество актов рассеяния.

Учитывая частотно-временное преобразование Фурье для лучевой интенсивности, имеющее вид:

со

/(г, 5, м>)= |/(гД,0ехр(-/1^>Й, (1.4)

—ад

можно записать уравнение переноса излучения в частотном виде как

+ + [/(^М^смдиуо1 (1.5)

где /Д^)- Фурье-образ функции задержки однократного рассеяния [61,

62].

В прикладных областях исследований (биомедицина, материаловедение и т.д.) прямая и обратные задачи в современных диагностических методах могут быть интерпретированы как:

Прямая задача сводится к определению набора результатов измерений X в точках локализации приемников, при этом полагается, что оптические свойства среды O заданы в рассматриваемой пространственной области G и набор источников излучения S задан в области О + дО, где до - граница области О;

Обратная задача сводится к определению оптических свойств среды O по заданным наборам значений источников излучения S и известным наборам результатов измерений X.

Граничные условия для поверхности до можно записать как

^ ^ С<о = ^ (Г, *, г) + & 1(Г, ^ Г едО (1.6)

где I(г, 7, г) - граничное распределение лучевой интенсивности, созданное внешними источниками излучения, п - внешняя нормаль к до в точке г, ^ -оператор граничного отражения.

В случае однократного акта рассеяния угловое распределение рассеянного частицей света определяется ее формой, размером, относительным показателем преломления и длиной волны падающего излучения, тогда интегральное значение функции плотности вероятности по всем направлениям равно единице:

где м - бесконечно малый телесный угол в направлении 7'. Учитывая, что функция плотности вероятности определяется углом, задающим взаимную ориентацию волновых векторов, определяющих направление распространения компоненты до рассеяния 7 и после рассеяния 7 , то очевидно, что рассеяние носит осесимметричный характер [63].

1.3. Модельные фазовые функции рассеяния Существуют различные виды математических моделей, позволяющих аппроксимировать фазовую функцию рассеяния, которые подбираются с учетом математической простоты и адекватности.

К наиболее распространенным теоретическим фазовым функциям при решении прикладных задач в области астрофизики [64], атмосферы и океана [65 - 66], транспорта нейтронов [67 - 69], оптической визуализации [70, 71] анализа клеток крови в биофизике [72 - 75] стоит отнести такие, как функции Хеньи - Гринштейна, 5 - Эддингтона, Рейнольда, фазовая функция Гегенбауэра и т.д.

Для изотропного рассеяния р(7,7') = 1/4л. В соответствии с многочисленными экспериментальными данными, весьма часто используется однопараметрическая функция Хеньи - Гринштейна [76], которая имеет вид:

р(я, 7 = 1,

(1.7)

Рно (0)

_ * .1 .

(1.8)

В случае анизотропных сред, характеризующихся преимущественной направленностью рассеянного излучения вперед, параметр анизотропии стремится к 1 (рассеяние Ми на крупных частицах); в случае g , близкого к -1, имеет место преимущественно обратное рассеяние в среде; для изотропного рассеяния характерно g = 0 (рэлеевское рассеяние). Угловые распределения, соответствующие фазовой функции рассеяния Хеньи - Гринштейна при различных значениях параметра анизотропии g представлены на рис. 1.1.

Фазовую функцию Хеньи - Гринштейна можно записать в эквивалентном виде с использованием бесконечного ряда полиномов Лежандра pi (cos в) как:

Phg в) = ¿ IL (2n + 1)fnPl (cos в), (1.9)

где f = g".

100

10

cd

1 1

CL

0.1

0.01

CO50

Рис. 1.1. Модельная фазовая функция Хеньи - Гринштейна в зависимости от |cosl| < 1 (a) и в логарифмических координатах (b) [рисунок из открытых

источников].

Рис. 1.2. Фазовая функция Хеньи - Гринштейна в полярных координатах для различных значений фактора анизотропии: 1 - ё = 0.3 ; 2 -ё = 0.5 ; 3 -ё = 0.7 [рисунок из открытых источников]. При исследовании биологических тканей достаточно хорошее согласование с экспериментальными результатами дает модифицированная фазовая функция Хеньи - Гринштейна [77], имеющая вид

Pmhg (в) = —

р+(1 -р)

1 - g2

(1 + g2 - 2g cos (в))

3/2

(1.10)

Раскладывая модифицированную фазовую функцию Хеньи-Гринштейна по полиномам Лежандра p](cose), получим

Pmhg (в) = ^ (pP (COS в) + (1 - о (2« +1) fP (COS в)). (1.11)

Рис.1.3. Результаты моделирования фазовой функции Хеньи -Гринштейна для g = 0.8 и различных значений Р: 1 -Р = 0.9; 2 -Р = 0.5 ; 3 -Р = 0.1; 4 -Р = 0 [рисунок из открытых источников]. Фазовая функция рассеяния Релея характеризуется симметричностью как для случая рассеяния вперед, так и для обратного рассеяния и имеет вид:

3

Рк = 3 (1 + сов2 в)

(1.12)

Л.О. Рейнолдс и Н.Д. Мак- Кормик [78 - 79] предложили использовать в качестве фазовой функции двухпараметрическую функцию с ядром Гегенбауэра вида:

- (а+1)

где

рж (в) = К (1 + g2 - 2g сов (в))

К = agл~x (1 - g2 Г [(1 + gТ - (1 - gТ ]-1.

(1.13)

(114)

^ < 1 и а>— .

2

Смоделированные значения фазовой функции Гегенбауэра моделирования в зависимости от двух параметров а и g в случае рассеяния строго вперед представлены на рисунках 1.4 и 1.5.

Рис. 1.4. Результаты моделирования фазовой функции Гегенбауэра для параметров: а = 0.001,0.5,1.5,2.5 , ё = 0.5 [78].

Рис. 1.5. Результаты моделирования фазовой функции Гегенбауэра для параметров: а = 0.001,0.5,1.5,2.5 , ё = 0.995 [78]. Фазовая функция Гегенбауэра математически может быть интерпретирована через бесконечный ряд полиномов Лежандра как:

Рок (в) = 77^4 I

и=01

1 + ^

ч а]

са( совев)) ^,

(1.15)

(1 - £2)

где са - полиномы Гегенбауэра [80].

Случайный угол рассеяния, получаемый с помощью фазовой функции Хеньи - Гринштейна вно может быть записан как

вна = агссоБ

<Х<

V 2 * V

1 + *2 +

1-*

2 Л

2 ЛЛ

(1.16)

1- * + 2

Для фазовой функции Гегенбауэра случайный угол рассеяния вак можно

записать как

вок = агссоБ

1+*2 - 1

2 *

(1.17)

где ^ = (1 + *

к

Вышеописанная функция неоднократно применялась для исследования процессов рассеяния в рассеивающих диффузных материалах [81], при интерпретации пространственных распределений спектров отражения в субдиффузионном режиме [82 - 84] процессов однократного рассеяния излучения на клетках крови человека [85 - 87] и тканях [88] и т.д.

При этом функция Гегенбауэра является обобщенной формой и при

условии а = 1 может быть сведена к фазовой функции Хеньи - Гринштейна.

При рассмотрении однократного рассеяния на сферических изолированных крупных однородных частицах используется фазовая функция Ми [89 - 92, 31] Согласно теории Ми можно записать:

поперечное сечение экстинкции как

¿( 2ш + 1) ( ат 12+ \Ьт\2)

(118)

ш=1

поперечное сечения рассеяния в виде

2п

К 2ш + 1) Яе (а „, + Ь„)

(119)

ш=1

фазовую функцию сферической однородной частицы как

= (I ^ +| 52|2);

параметр анизотропии как

(1.20)

го

\п

2ш + 1) / .ч ^ т (т + 2) ,

ЕЬ-1(атЬт ) +1 ( , ) Ке (

V / ^ т +1 4

а та т+1 +

, , * \

т т+1 у

. (1.21)

"1 т(т +1)

Компоненты матрицы рассеяния S1 и S2 могут быть заданы комбинацией полиномов Лежандра и сферическим функциям Бесселя первого и второго, определяющими зависимость амплитудной матрицы рассеяния от угла рассеяния 0:

2 т +1

=1 т(т +1)

(атлт (с^) + Ъттт (с^ ),

2 т +1 1 т(т +1)

(Ътлт (с084) + атТт (с084)) ,

(1.22) (1.23)

т

ат и Ъш - коэффициенты ряда Ми, определяемые сферическими функциями Бесселя как

П¥т (ПХ)¥ ' т (Х) - ¥т (Х)^ ' т (ПХ)

а

т

п¥т (пх)% т(х) - т^т (х)¥ т(пх)' (124)

Ъ = ¥т (т)У 'т (Х) - П¥т (Х)¥ 'т (пх) т ¥т (пх)£ 'т (Х) - П^т (Х)¥ 'т(пх) ' ( . )

где п - относительный показатель преломления, у/т (р) = р]т (р) и % т (р) = р (р) + ¡рут (р) - функции Рикатти - Бесселя первого и второго рода.

Коэффициенты ряда Ми а и Ъ определяются длиной волны зондирующего излучения, размерами сферической рассеивающей частицы и относительным показателем преломления рассеивателя п=4ё.

В работе [93] предложен метод моделирования рассеяния света двухслойной моделью среды с различной послойной концентрацией наночастиц ТЮ2 с оптическими характеристиками, повторяющими роговой слой кожи человека, с использованием моделирования методом Монте-Карло. Для описания переноса излучения в подобной среде, один слой которой

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Исаева Анна Андреевна, 2026 год

источников].

Рис. 1.2. Фазовая функция Хеньи - Гринштейна в полярных координатах для различных значений фактора анизотропии: 1 - ё = 0.3 ; 2 -ё = 0.5 ; 3 -ё = 0.7 [рисунок из открытых источников]. При исследовании биологических тканей достаточно хорошее согласование с экспериментальными результатами дает модифицированная фазовая функция Хеньи - Гринштейна [77], имеющая вид

Pmhg (в) = —

р+(1 -р)

1 - g2

(1 + g2 - 2g cos (в))

3/2

(1.10)

Раскладывая модифицированную фазовую функцию Хеньи-Гринштейна по полиномам Лежандра p](cose), получим

Pmhg (в) = ^ (pP (COS в) + (1 - о (2« +1) fP (COS в)). (1.11)

Рис.1.3. Результаты моделирования фазовой функции Хеньи -Гринштейна для g = 0.8 и различных значений Р: 1 -Р = 0.9; 2 -Р = 0.5 ; 3 -Р = 0.1; 4 -Р = 0 [рисунок из открытых источников]. Фазовая функция рассеяния Релея характеризуется симметричностью как для случая рассеяния вперед, так и для обратного рассеяния и имеет вид:

3

Рк = 3 (1 + сов2 в)

(1.12)

Л.О. Рейнолдс и Н.Д. Мак- Кормик [78 - 79] предложили использовать в качестве фазовой функции двухпараметрическую функцию с ядром Гегенбауэра вида:

- (а+1)

где

рж (в) = К (1 + g2 - 2g сов (в))

К = agл~x (1 - g2 Г [(1 + gТ - (1 - gТ ]-1.

(1.13)

(114)

^ < 1 и а>— .

2

Смоделированные значения фазовой функции Гегенбауэра моделирования в зависимости от двух параметров а и g в случае рассеяния строго вперед представлены на рисунках 1.4 и 1.5.

Рис. 1.4. Результаты моделирования фазовой функции Гегенбауэра для параметров: а = 0.001,0.5,1.5,2.5 , ё = 0.5 [78].

Рис. 1.5. Результаты моделирования фазовой функции Гегенбауэра для параметров: а = 0.001,0.5,1.5,2.5 , ё = 0.995 [78]. Фазовая функция Гегенбауэра математически может быть интерпретирована через бесконечный ряд полиномов Лежандра как:

Рок (в) = 77^4 I

и=01

1 + ^

ч а]

са( совев)) ^,

(1.15)

(1 - £2)

где са - полиномы Гегенбауэра [80].

Случайный угол рассеяния, получаемый с помощью фазовой функции Хеньи - Гринштейна вно может быть записан как

вна = агссоБ

<Х<

V 2 * V

1 + *2 +

1-*

2 Л

2 ЛЛ

(1.16)

1- * + 2

Для фазовой функции Гегенбауэра случайный угол рассеяния вак можно

записать как

вок = агссоБ

1+*2 - 1

2 *

(1.17)

где ^ = (1 + *

к

Вышеописанная функция неоднократно применялась для исследования процессов рассеяния в рассеивающих диффузных материалах [81], при интерпретации пространственных распределений спектров отражения в субдиффузионном режиме [82 - 84] процессов однократного рассеяния излучения на клетках крови человека [85 - 87] и тканях [88] и т.д.

При этом функция Гегенбауэра является обобщенной формой и при

условии а = 1 может быть сведена к фазовой функции Хеньи - Гринштейна.

При рассмотрении однократного рассеяния на сферических изолированных крупных однородных частицах используется фазовая функция Ми [89 - 92, 31] Согласно теории Ми можно записать:

поперечное сечение экстинкции как

¿( 2ш + 1) ( ат 12+ \Ьт\2)

(118)

ш=1

поперечное сечения рассеяния в виде

2п

К 2ш + 1) Яе (а „, + Ь„)

(119)

ш=1

фазовую функцию сферической однородной частицы как

= (I ^ +| 52|2);

параметр анизотропии как

(1.20)

го

\п

2ш + 1) / .ч ^ т (т + 2) ,

ЕЬ-1(атЬт ) +1 ( , ) Ке (

V / ^ т +1 4

а та т+1 +

, , * \

т т+1 у

. (1.21)

"1 т(т +1)

Компоненты матрицы рассеяния S1 и S2 могут быть заданы комбинацией полиномов Лежандра и сферическим функциям Бесселя первого и второго, определяющими зависимость амплитудной матрицы рассеяния от угла рассеяния 0:

2 т +1

=1 т(т +1)

(атлт (с^) + Ъттт (с^ ),

2 т +1 1 т(т +1)

(Ътлт (с084) + атТт (с084)) ,

(1.22) (1.23)

т

ат и Ъш - коэффициенты ряда Ми, определяемые сферическими функциями Бесселя как

П¥т (ПХ)¥ ' т (Х) - ¥т (Х)^ ' т (ПХ)

а

т

п¥т (пх)% т(х) - т^т (х)¥ т(пх)' (124)

Ъ = ¥т (т)У 'т (Х) - П¥т (Х)¥ 'т (пх) т ¥т (пх)£ 'т (Х) - П^т (Х)¥ 'т(пх) ' ( . )

где п - относительный показатель преломления, у/т (р) = р]т (р) и % т (р) = р (р) + ¡рут (р) - функции Рикатти - Бесселя первого и второго рода.

Коэффициенты ряда Ми а и Ъ определяются длиной волны зондирующего излучения, размерами сферической рассеивающей частицы и относительным показателем преломления рассеивателя п=4ё.

В работе [93] предложен метод моделирования рассеяния света двухслойной моделью среды с различной послойной концентрацией наночастиц ТЮ2 с оптическими характеристиками, повторяющими роговой слой кожи человека, с использованием моделирования методом Монте-Карло. Для описания переноса излучения в подобной среде, один слой которой

содержал сферические наночастицы, использовалась линейная комбинация фазовых функций Ми и Хеньи - Гринштейна.

Авторами работ [94, 95] была предложена фазовая функция рассеяния, представленная набором функций Хеньи - Гринштейна, каждая из которых отражает тип рассеивателей, со своим удельным вкладом в индикатрису рассеяния; были выполнены экспериментальные измерения фазовых функций образцов цельной крови и проведены оценки показателей анизотропии.

Для аппроксимации фазовой функции рассеяния используют также s -функцию Эддингтона [96-99], имеющую вид:

Ps = ^ (2/S(l - cos6) + (1 - /)(1 + 3g'cos 6)), (1.26)

где s - дельта-функция Дирака, / [-1,1] характеризует долю излучения, рассеянного строго вперед (в случае сильного рассеяния вперед / немного меньше 1), g' - коэффициент асимметрии фазовой функции. Формула (1.26) представляет собой линейную комбинацию рассеяния вперед, задаваемого s -функцией, и слабо анизотропной функции рассеяния.

Фактор анизотропии для фазовой функции s - Эддингтона может быть записан как:

g = 1я cos6PsdQ =/ + (1 - /) g'. (1.27)

Функция s - Эддингтона может быть разложена в бесконечный ряд по полиномам Лежандра [4, 28, 100-101,28] как:

Ps = / ZI=0 (2n +1) P (cos 6) + (1 - /) (1 + 3g' P1 (cos 6) ), (1.28) Ps= 1 + 3g cos6 + Xm2(2n +1) g2 P1(cos6), (1.29)

где взаимосвязь g' и g может быть записана как g' = g f.

Параметр / характеризует долю излучения, рассеянного только вперед, и оказывает существенное влияние на интенсивность рассеянного излучения по всем направлениям кроме направления строго вперед, соответствующего

дельта - функции. На рисунках 1.6 и 1.7 показано влияние параметра / на индикатрису рассеяния.

120 ._________ / V........... 60 ........................ /

150 / / > / У У- У* 30

V ж / . \ (г '■ ь

/ Ач/ V У ... / УЧ/

210 \ /Л \ \ '■■■',. ..■ к 330

240^____ ________ 300

Рис. 1.6. Фазовая функция Эддингтона (1) и фазовая функция 5-Эддингтона (2) при Я' = 0.8 и / = 0.1 [рисунок из открытых источников]. В ряде случаев для упрощения вычислений вместо фазовой функции 5-Эддингтона используют фазовую функцию Эддингтона (рис. 1.7), имеющую вид:

Р5= (1 + 3Я'СО80) . (1.30)

Рис. 1.7. Фазовая функция Эддингтона для различных значениях фактора анизотропии: Я = 0, я = 0.5 , я = 1. [рисунок из открытых источников]. 1.4. Уравнение диффузии излучения

Использование фазовой функции 5- Эддингтона позволяет свести уравнения переноса излучения ТПИ к диффузионному уравнению. При зондировании лазерным излучением, нормально падающим на поверхность

37

сильно рассеивающей среды с пренебрежимо малым поглощением (рис. 1.8), уравнение диффузии для среднего значения интенсивности коллимированного луча с гауссовым профилем имеет вид:

(г)-д2и, (г) = -&(#■), (1.31)

где и а (г) - среднее значение интенсивности [102].

Sample Celt

□eiecior.

о0» ч- О °о О о о Medium ^Pin hoie J

y Vi I

/ Pholo. f Diode ^ Iris Diaphragm

I— d—-

г-О

Рис. 1.8. Процесс рассеяния лазерного излучения в сильно рассеивающей среде с малым поглощением [102]: в - угол между направлением 7 и нормалью к поверхности среды, г - расстояние от центра луча до точки наблюдения, 2W -

диаметр падающего луча. Распределение интенсивности внутри рассеивающей среды I (г, 7) может быть представлено как сумма когерентной !сой (г, 7) и диффузной 1Л (г, 7) компонент излучения:

I(Г,7) = I,(Г,7) + 1соЬ(г,7) , (1.32)

где 1сой (Г, 7) = ^ (г)ехр(-^2)5(7 - г) , а( = рст{ - коэффициент экстинкции р -число рассеивателей в единице объема, аг - сечение экстинкции, 7 -единичный вектор направления рассеяния из точки г . При этом вектор потока падающего излучения может быть задан как

F0(r) = /0ехр(-—)z .

(1.33)

2

Пиковое значение интенсивности прошедшего излучения достигается в точке пересечения оси падения луча относительно поверхности зондируемой среды и плоскости детектирования. На большой оптической глубине диффузная компонента интенсивности рассеянного излучения 1Л (7, 7) становится изотропной и может быть выражена через полином Лежандра как

ад

1, (7 , 7) = ^ип (Г )Рп (СОВО)

п=0

где

3

= ий (r) + ^Fd (7)7 +(1.34) Граничные условия для уравнения (1.31) имеют следующий вид:

иа (7)-н| и, (7) + = 0, при Г = 0, (1.35)

и, (7) + н| и, (7)-ОТ) = 0, при г = , , (1.36)

д2 = 3(1 - Го)(1 - ,

Н =_2_,

3(1 - Жод)а{

0>(7) = со ехр ) ехр (~а{г) ,

01(7) = с1 ехр ) ехр ),

3

Со = —Кч2 (1 - Жой+д), 4Ж

г _ КоМ С1 ='

1 - КоЙ

Й - средний косинус угла рассеяния О , < - полное сечение рассеяния, К = < - альбедо единичной рассеивающей частицы.

В цилиндрической системе координат для изотропного источника решение уравнения (1.31) с учетом граничных условий (1.35-1.36) может быть записано через функцию Грина О(7, у'), с учетом отсутствия угловой зависимости функции О (7,7') [103,104], как

39

гад г,

и, (7, г) = {о 7' ,7 '{^г ' о1(7,7 г, Г )О0(Г', Г ') -

1

■ |ош [о! (7, 7 ' , г, 0)0! (7 ', 0) - о! (7, 7 ' , г, ,0 (7 ' , ,)]7' ,7 '

(1.37)

2пН>0

При этом О (7, 7') удовлетворяет условиям:

[V2 - д2 ] О (7,7') = -8(7 - 7'),

5

О(7,7 ')-Н —О(7,7 ') = 0, при г = 0 ,

____5__

О (7, 7 ') + Н —О (7, 7 ') = 0, при г = ,.

(1.38)

(1.39)

(1.40)

Функция Грина для одномерного случая может быть получена с использованием преобразования Ханкеля для двумерного случая О (7,7г, г ') как

О1 (7,7', Г, г ') = | g(Л, 7; Г, Г У0 (Л7),Л,

0

где (Л7) - функция Бесселя первого рода и

g(Л, 7; Г, Г') = Г)^( Г 0 Jо(Л7') при г > г ' ,

g(Л,7;г,Г') = gl(Г')Ag2(Г) Jо(Л7') при г < г', А

^ ( г) = (Ну 1) ехр (-у, + уг ) + (Ну +1) ехр (у, -уг ), g2 ( г ) = (Ну +1) ехр (уг ) + (Ну-1) ехр (-уг ) ,

а = 2у ((Ну +1)2 ехр (у,) - (Ну -1)2 ехр (-у,)),

,2 <]2 , „2

(141)

у2 = Л2 + д1

(1.42)

(1.43)

(1.44)

(1.45) (146) (1.47)

Подставляя (1.41) в (1.37) получим

Ч,(7, Г) = ^ .7о(Л7)

у

К2 2

х ехр

Г К2Л2^

Т Г)+г)

(1.48)

где

А(г) = —1— (ехр(-а,г) - ехр(-уг))--1— (ехр (у г -уё - а{ё) - ехр(-а,г)) -

у-аг У + ^г

+ ■

(ехр (-уг -уё - аё) - ехр(-уг)) + §12 (ехр(-уг + уё - а ё) - ехр(-уг)) +.

у+' у - а

§21 /„„„/-„,_ , -,,7 ,74 „„„/-„,_\Ч §2

-( ехр(уг + уё - аё) - ехр(уг))--— ( ехр (уг - уё - а{ё)- ехр(уг))

у-а( у + а

В(г) = ехр (уг -уё -а(ё)- ехр (-уг) + §п (ехр (-уг -уё -а(ё)- ехр(-уг))-

- §12 (ехр (-у2+уё -аё)- ехр(-уг))+§21 (ехр (у2+уё -аё)- ехр(уг))+ +§22 (ехр (у2 -уё -аё)- ехр(уг))

где а -(к2у2-1) ехр (уё)/ „ _(Ну-1)2 ехр (-уё)/ _(к2у2 -1) ехр {-уё)/

1де §11 = /д' 612 = /д' §21 = /д'

_( ку- 1)2ехр (уё )

§22 = /Д ' •

Поток вектора диффузных компонент излучения может быть записан как (Г) = ) ехр(р2)2-§гаёил(г), (1.49)

где (1 -Д) + аа- среднее сечение экстинкции с учетом фактора

анизотропии рассеяния.

Учитывая граничные условия для 2 = ё имеющие вид:

-ЦДГ) + ^к! = 0, (1.50)

где (Г) - проекция компоненты ^ (Г) на нормаль к поверхности среды, можно записать

^ (Г, ё) = 2пи, (г) • (1.51)

Общий поток вектора Б, (г, ё) определяется суммой когерентного потока и диффузного потока как

р (г, ё) = ^ (г, ё) + ^ (г, ё) = 10 ехр (- г V Ж2) ехр (-а,ё ) + (г, ё). (1.52)

Для случая зондирования полубесконечной однородной среды

одиночными импульсами и при условии пренебрежимо малых размеров

источника и детектора излучений по сравнению с расстоянием между ними

процесс распространения излучения в среде может быть описан

нестационарным диффузионным уравнением вида:

41

V - СЙБ- - Б-5У (г, t) = -ео(г) (1.53)

где D = с (3 (й + м ')) 1 - коэффициент диффузии излучения, м ' = (1 - g)й -

транспортный коэффициент рассеяния, с - скорость света в вакууме.

При отсутствии поглощения диффузионное уравнение становится аналогичным уравнению теплопроводности [105]. Решение уравнения (1.53) позволяет оценить долю обратно рассеянного на поверхность среды излучения в единицу времени и с единицы площади как:

= 1 52 ехр

(4лD)

с ^

Р + Го ч 2Вг

ехр (-М ) ,(1.54)

1

где г0 = — и р - расстояние между источником и детектором.

Й'

1.5. Потоковые модели переноса излучения

К упрощенным методам теории переноса излучения относятся двух-, тех-, смипотоковые модели Кубелки - Мунка. В двухпотоковой модели уравнение переноса упрощается на основе представления, что падающее и рассеянное излучение распространяются только в двух противоположных направлениях переноса. Также предполагается, что интенсивность излучения изменяется только вдоль оси, направленной перпендикулярно границам раздела. Такое двухпотоковое приближение было представлено многими авторами, начиная с статьи Шустера [276]. Одним из наиболее известных двухпотоковых приближений является приближение, представленное Кубелкой и Мунком [277] в 1931 году. Кубелка и Мунк дали исчерпывающую формулировку, позволившую в дальнейшем найти этому методу описания широкое практическое применение. Он был быстро адаптирован для использования в бумажной промышленности [278 - 280] и в настоящее время широко используется в течение десятилетий для характеризации параметров цвета, яркости и непрозрачности листов бумаги.

При рассмотрении одномерной задачи двухпотоковой модели интенсивность диффузного излучения делится на два потока (рис. 1.9): первый описывает падающее излучение в направлении зондирующего пучка ¡г, а второй - рассеянный в обратном направлении поток . Дифференциальные уравнения для двух потоков излучения с интенсивностями ¡г и могут быть записаны как

Ё-.

&

= - 8/ - а! +

2 2

= -э1ь - а1ъ + 812

(1.55)

(1.55)

где 2 - направление падающего потока, 8 и а - коэффициенты Кубелки - Мунка, определяющие поглощение и диффузное рассеяние, соответственно [106, 28], и связанные с коэффициентами поглощения и рассеяния, как А = и

8 = ^8 .

Рис. 1.9. Отображение двухпотоковой модели Кубелки - Мунка [106]. Теория Кубелки - Мунка имеет ряд особенностей:

• рассматривался плоскопараллельный среды конечной толщины и бесконечной длины и ширины;

• рассматривался рассеянный световой поток в двух направлениях;

• предполагается однородность и изотропность исследуемой среды;

• рассеяние предполагается изотропным;

43

• на рассматривается флуоресценция и поляризация излучения;

• не рассматривается переотражения потоков на границах слоя;

• коэффициенты рассеянии и поглощения считаются одинаковыми во всех точках внутри слоя.

Шести - и семипотоковые модели описывают перенос потоков излучения в среде в трехмерной системе координат. Двух - и многопотоковые теории дают решение обратной задачи для диффузионной составляющей интенсивности и применимы только для сильно рассеивающих и слабо поглощающих случайно-неоднородных сред, т.е. при условии ца «//v.

1.6. Статистическое моделирование с использованием прямого и инверсного метода Монте-Карло

В области лазерной диагностики существуют прямые и обратные задачи. К прямым задачам относится восстановление детектируемого сигнала при зондировании среды с известными оптическими и геометрическими характеристиками и известными характеристиками зондирующего излучения. К обратным задачам относится восстановление характеристик среды по экспериментально полученному отклику среды с известными характеристиками зондирующего излучения.

За последние десятилетия был разработан ряд численных методов для решения прямых задач, связанных с переносом излучения в случайно-неоднородных средах, в частности, методы основанные на трассировке компонент рассеянного поля, к которым стоит отнести: зонный метод [107], метод Монте-Карло [108 - 110, 126], метод дискретного переноса [111, 112.] и метод трассировки лучей [113, 114].

Для численного решения уравнения ТПИ в разнообразных прикладных научных задачах перспективным является метод Монте-Карло, позволяющий находить решения задач со средами произвольных конфигураций и различными граничными условиями [115 - 118, 126]. Этот метод основан на численном моделировании трассировок компонент рассеянного поля в случайно-неоднородной рассеивающей среде и позволяет для каждой

44

отслеживаемой компоненты в выбранной точке детектирования зафиксировать направление и координаты выхода из рассеивающей среды. Метод Монте-Карло обладает рядом преимуществ при сравнении с другими методами:

> позволяет учитывать разницу показателей преломления на границах раздела сред;

> позволяет использовать разнообразные фазовые функции рассеяния;

> позволяет задать произвольное угловое распределение зондирующего луча и задать конечный размер падающего луча. Важным параметром в алгоритме Монте-Карло является функция

плотности вероятности случайного приращения длины трассы распространяющейся компоненты, меняющегося после каждого акта рассеяния в последовательности многократных актов рассеяния при распространении внутри среды. Функция плотности вероятности, определяющая случайное приращение, может быть записана как

Р = А ехР(-М). (1.56)

Анализируя смоделированные данные для парциальной компоненты, можно оценить пространственное распределение рассеянного средой излучения, а учитывая взаимосвязь функции плотности вероятности рассеяния компонент р(в,ф) с матрицей Мюллера рассеивающей частицы м(в,ф) и вектором Стокса можно также оценить поляризационные характеристики излучения. Алгоритм метода Монте-Карло более подробно описан в главе 2.

Решение обратной задачи лазерной диагностики методом инверсного Монте-Карло [119, 120, 157], используемого в качестве численного подхода для восстановления оптических параметров исследуемых случайно-неоднородных сред, сводится к расчету таких параметров среды как , ца и g по зарегистрированному отклику [121 - 123]. Алгоритм инверсного Монте-Карло основан на итерационной процедуре сравнения измеренных данных и рассчитанных путем многократного прогона прямого моделирования Монте-

Карло при заданных параметрах среды с их последующей корректировкой в случае несогласованности рассчитанных параметров с экспериментальными. Алгоритм инверсного Монте-Карло моделирования подробнее рассмотрен в главе 4.

Подход с использованием экспериментальных измерений диффузного отражения, коллимированного пропускания и полного пропускания на интегрирующей сфере и инверсного метода Монте-Карло был применен для определения оптических характеристик образцов оксигенированной крови [124, -125].

При численном решении уравнения ТПИ методом Монте-Карло необходимо подбирать оптимальную фазовую функцию рассеяния, исходя из длины волны зондирующего излучения и характеристик анализируемой случайно-неоднородной среды. Так, в работе [123] показано расхождение в полученных оптических характеристиках цельной крови при использовании в инверсном методе Монте-Карло фазовых функций Хеньи - Гринштейна и Гегенбауэра. Продемонстрировано умеренное влияние вида фазовой функции на приведенный коэффициент рассеяния и коэффициент поглощения, в отличие от коэффициента рассеяния.

1.7. Основы гибридного подхода к описанию переноса излучения

Гибридный подход, позволяющий проанализировать корреляционные и поляризационные характеристики рассеянного излучения на основе численных моделей, позволил установить существование различных значений длин деполяризации водных суспензий полистироловых сфер с различными значениями волнового параметра [126, 127]. При исследовании биотканей подзод позволил установить различное поведение длины деполяризации при зондировании линейно поляризованным излучением и излучением с круговой поляризацией [128 - 130]. и т.д.

Пример рассеивающей среды (например, водной суспензии

диэлектрических сферических частиц) и процесс рассеяния при зондировании

локализованным источником излучения, ортогонально направленного

относительно поверхности объекта, представлен на рисунке 1.10. На рисунке исследуемая среда (2) освещается источником зондирующего излучения, при этом размер освещаемой зоны (1) на поверхности объекта мал в сравнении с расстоянием между источником и детектором (3), в'ы и ^ - случайные значения, характеризующие пошаговое распространение парциальной составляющей в среде.

Рис. 1.10. Отображение принципа построения математической модели на

В качестве основных входных оптических транспортных параметров среды при решении прямых задач выступали: показатель анизотропии g, - коэффициент экстинкции (интегральная характеристика затухания потока энергии в процессе распространения), ^ - коэффициент рассеяния и -коэффициент поглощения. При решении обратных задач вышеуказанные параметры будут являться выходными.

Процесс многократного рассеяния каждой парциальной компоненты излучения при распространении от предыдущего акта рассеяния к последующему акту характеризуется оптической длиной пути / и углом

2

основе гибридного подхода.

рассеяния в), при этом конечный оптический путь, пройденный 1-й

N

компонентой и испытавшей N актов рассеяния, можно записать как 8' 81} .

]=1

Решение нестационарного уравнения переноса (1.2) для заданной геометрии среды и условий зондирования представляет собой исходный пункт применения гибридного подхода, объединяющего в себе основные принципы ТПИ и АТМР. Предполагая, что зондирование осуществляется ультракоротким световым импульсом и, рассматривая функцию Грина для данной краевой задачи с уравнением (1.2), можно ввести понятие функции плотности вероятности путей распространения 8 парциальных составляющих излучения в зондируемой среде р (8) для заданных условий детектирования и освещения, и можно записать:

I* (Г, 8, г - О (8) (1.57)

где г0 - начальный момент времени, 8 = ^ (г - г0), ^ - групповая скорость

парциальных волн в среде.

Возможно как приближенное аналитическое, так и численное решение уравнения (1.2) для определения р (8); одним из наиболее эффективных методов решения этой задачи в гибридном подходе является применение статистического моделирования (метода Монте-Карло). В частности, в рамках диссертационной работы Монте-Карло моделирование применено в теоретических моделях в главах 2, 3, 5.

В рамках гибридного подхода полученная путем численного решения (1.2) или статистического моделирования функция плотности вероятности р (8) используется для вычисления статистических или корреляционных характеристик отклика среды на зондирующее воздействие через линейные интегральные преобразования. В режиме многократного рассеяния ядра подобных интегральных преобразований с приемлемой точностью допускают экспоненциальную аппроксимацию [131]. В частности, временная корреляционная функция флуктуаций напряженности рассеянного лазерного

излучения в случае зондирования нестационарной случайно-неоднородной среды представима в форме:

рад *

{ ехр(-В(т> /1 )рлфЖ ~ ^

§1 (т) = гад ' ( . )

{ рл(э^э

где В(т) = к2 (дг 2(т)^ - коэффициент, пропорциональный среднему квадрату смещения рассеивающих центров за время т, I * = 1/ ^ - транспортная длина. Степень остаточной поляризации линейно поляризованного излучения в случае зондирования случайно-неоднородной непоглощающей среды может быть представлена как:

рад

|оехР(-8 / )Р(8)^8 (159)

^ад 5

р( 8)^8

о

где ^ - длина деполяризации, характеризующая пространственный

масштаб, на котором происходит полная деполяризация излучения. Степень остаточной поляризации линейно поляризованного излучения в случае зондирования случайно-неоднородной поглощающей среды принимает следующую форму:

„ Г ехр (-(^ 1) 8)р(8^8, (160)

I™ ехр (-^5 )р(я)Ж

где ца - коэффициент поглощения среды.

1.8. Статистический и корреляционный анализ флуктуаций рассеянных световых полей

Ряд когерентно-оптических методов определения транспортных параметров случайно-неоднородной среды основан на взаимосвязи нормированной корреляционной функции флуктуаций случайных распределений интенсивности с функцией плотности вероятности оптических длин путей, пройденных составляющими рассеянного поля, формирующими стохастическое распределение интенсивности, имеющей вид:

(/ (t + т) -< /) )(1 (t) -( ^ )

§2(т) = —

гexpi - j*

(i.6i)

;(' с) -< '> )2

где р(^) - функция плотности вероятности оптических путей парциальных компонент рассеянного поля в среде, ^Лт2(т)^ - средний квадрат смещения рассеивающих центров за время т, определяемый подвижностью

7*

рассеивающих центров в среде, I - транспортная длина.

В случае однократного рассеяния зондирующего излучения в среде, имитирующей кровеносный сосуд в биоткани и представляющей собой слой полимера с рассеивающими частицами, внутри которого расположен цилиндрический канал, содержащий водную суспензию полистироловых сфер, результирующее электрическое поле может быть записано как [132]:

Е = Е0F(q)E exp (ikmrn) exp \ikout (Rd - rn)] =

m=1

_ _ _ M

= E F (q) exp (ikoUtRd) E exP (-iqrn), (1.62)

m=1

где E - электрическое поле на фотодетекторе, локализованном в некоторой точке Rd , Е0 - амплитуда падающего поля, F(q) - форм фактор, эквивалентный усреднённому квадрату интерференционной функции F(q) = (G2(u)), N - количество рассеивающих частиц в объёме, rn - положение

каждого рассеивателя, q = kout - kin - вектор рассеяния, kout - волновой вектор,

соответствующий рассеянной волне, kin - волновой вектор падающей волны,

|q| = 2ko sin (в/ 2), где k0 = \kout\ = |kin|. Фазовый набег парциальной волны будет

определяться вектором рассеяния (т.е. углом рассеяния) и положением рассеивающей частицы (Рис. 1.11). Интерференционная функция для частиц простой формы может быть задана в аналитическом виде [133]. Например, для частиц сферической формы радиуса a и для угла рассеяния в интерференционную функцию можно записать как:

G (u) = - Jl(u),

(1. 63)

где u = qa = 2ka sin 6/ 2 и j (u) сферическая сумма Бесселя первого

рода.

Рис. 1.11. Модель однократного рассеяния в среде со сложной структурой

[133].

Падение световой волны на неупорядоченную систему постоянно смещающихся, случайно распределённых частиц (например, на систему случайно блуждающих броуновских частиц) приводит к постоянным случайным изменениям значений фазы парциальных составляющих, интерференция которых формирует флуктуации интенсивности. Время флуктуаций интенсивности связано со скоростью изменения фазы рассеянных парциальных составляющих и, соответственно, с движением рассеивателей и вектором рассеяния. Таким образом, флуктуации интенсивности несут информацию о подвижности частиц в рассеивающей среде и, анализируя скорость их изменения, можно получить информацию о скорости движения рассеивателей. Существует два подхода к анализу флуктуаций интенсивности рассеянного лазерного света. Первый из них основан на определении

51

временной корреляционной функции флуктуаций интенсивности [5, 7, 28, 132, 136, 169], которая записывается как:

в2(т) = + т)>, (1.64)

где I^) - интенсивность в момент времени t и ( ) означает усреднение

по ансамблю частиц. Фактически корреляционная функция флуктуаций интенсивности является функцией четвёртого порядка комплексной амплитуды детектируемой электромагнитной волны Е ^) [28, 169] и можно записать

02(т) = {I^)I^ + т)> = |(Е*(t)Е^ + т))\2. (1.65)

Второй подход основан на расчете корреляционной функции флуктуаций интенсивности рассеянного излучения и ее Фурье преобразования, позволяющего оценить спектр мощности регистрируемой интенсивности 5(м>), связанной с временной корреляционной функцией как:

л

• да

(/У »

5(^ =ЪГ £^)(^Т)"^ , (1.66)

где ^ (т) = - нормированная корреляционная функция флуктуаций

\11

интенсивности и (/) - среднее значение интенсивности.

Для определённых условий рассеяния (нулевое среднее значение комплексной амплитуды рассеянного поля, эргодичность и стационарность рассеивающей системы) соотношение между корреляционной функцией интенсивности рассеянного света С2(т) и корреляционной функцией комплексной амплитуды ^(т) определяется формулой Зигерта [134-136, 244]:

о2(т)=( I)2|ед|2, (1.67)

где коэффициент р зависит от количества регистрируемых спеклов в апертуре приемника, длины когерентности и стабильности лазера и равен 1 при идеальных условиях детектирования [137].

Модель на основе статистического анализа динамических спекл-картин,

возникающих вследствие броуновского движения сферических частиц

52

коллоидной суспензии, позволила оценить степень влияния гидродинамических взаимодействий соседних рассеивающих частиц на малых временных масштабах путем введения локального структурного фактора при описании временной корреляционной функции флуктуаций интенсивности. Показано что увеличение объемной доли рассеивающих центров приводит к возрастанию числа их столкновений и, как следствие, к возрастанию вязкостных свойств среды [138]. Влияние гидродинамического взаимодействия на коэффициент самодиффузии частиц монодисперсной суспензии, определяемой как

(дт 2(т)}/ _ „ ,,

Дт) = ^ у^, отразилось в обратной зависимости коэффициента от вязкости

среды. Наибольшего численного значения коэффициент диффузии достигает при зондировании суспензии, образованной частицами малых диаметров, но со значительными объемными долями, и суспензий содержащих частицы порядка 1мкм с малыми объемными долями. Также установлено, что поведение временной корреляционной функции флуктуаций интенсивности определятся режимом рассеяния в системе. Переход от диффузионного к баллистическому режиму сопровождается медленным возрастанием корреляционной функции по закону gl (т) ~ г3/2 и возникновением «хвоста» на длительных временных интервалах [139 - 141].

Статистические характеристики оптических путей определяются геометрией рассеивающей среды и условиями освещения и детектирования; для диффузионного режима распространения излучения в зондируемом объёме среды плотность вероятности оптических путей р(8) может быть получена из решения нестационарного уравнения диффузии излучения, описывающего прохождение ультракороткого светового импульса, излучаемого источником с заданной геометрией.

В работе [142] получена функция плотности вероятности оптических путей р(8) при рассеянии зондирующего излучения в бесконечной статистически однородной изотропной среде от точечного источника:

(1.68)

где Г - расстояние между источником и детектором.

Данное выражение (1.68), рассматриваемое как функция Грина уравнения диффузии излучения, позволяет определить распределение оптических путей для заданных условий освещения и детектирования. Для функции плотности вероятности (1.68) корреляционную функцию поля можно записать как:

При отсутствии поглощения функция ^ (г) характеризуется наличием слабо затухающего «хвоста», и функция плотности вероятности оптических путей p(s) для больших s будет пропорциональна p(s) ~ s15. Учёт поглощения рассеивающей системы приводит к введению бугеровского множителя exp (-р5) в выражении для плотности оптических путей и к подавлению

диффузионных составляющих в распределении оптических длин путей пройденных парциальными составляющими падающего излучения и, соответственно, к следующему виду корреляционной функции поля:

где ¡иа - коэффициент поглощения среды.

В случае заданных граничных условий и использовании протяжённого когерентного источника излучения при зондировании исследуемых сред функция р(^) может быть получена путем модификации приведенного выше решения для бесконечной среды и точечного источника (1.68).

Аналитические выражения функций плотности вероятности оптических длин путей для сред с различной геометрией были получены в ряде работ [4, 21, 143 - 145]. Ниже представлены несколько форм распределения р( наиболее интересные с точки зрения материаловедения и биомедицины:

(169)

(1.70)

полубесконечная рассеивающая среда и точечный источник излучения в условиях регистрации обратно рассеянного излучения:

¡с

( (

p( s) =

( 4nl V3)1'5,

,2.5

exp

3 r

VaS +

V v

л 7*

4l s

(1.71)

JJ

бесконечная рассеивающая среда и точечный источник излучения в условиях регистрации прошедшего излучения:

( (