Математическое моделирование динамических процессов в жидких кристаллах с применением технологии CUDA тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Смолехо Ирина Владимировна

• Смолехо Ирина Владимировна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Смолехо Ирина Владимировна

Bведение

1 Обзор литературы

1.1 Физические свойства жидких кристаллов

Эффект Фредерикса

1.2 Математическая модель Озеена-Франка

1.3 Математические модели, основанные на теории Коссера

1.4 Упрощенная модель акустического приближения

1.5 Обзор методов численного решения динамических задач

1.6 Обзор параллельных вычислительных технологий

1.7 Выводы по главе

2 Математическая модель, учитывающая механические, температурные и электрические воздействия

на жидкие кристаллы

2.1 Подсистема уравнений второго порядка для касательного напряжения и угловой скорости

2.1.1 Вывод уравнений

2.1.2 Постановка краевой задачи и алгоритм ее численного

решения

2.1.3 Исследование устойчивости схемы

2.1.4 Сравнение с точным решением

2.2 Основная система уравнений модели

2.2.1 Двуциклическое расщепление

2.2.2 Схема "предиктор-корректор" для системы уравнений акустики

2.2.3 Схема Кранка-Николсон

2.2.4 Схема "предиктор-корректор" для уравнения теплопроводности

2.3 Электрическое воздействие на ЖК

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Численный метод

2.3.3 Учет особенностей на краях пластин

2.3.4 Численный анализ эффекта Фредерикса

2.4 Выводы по главе

3 Программная реализация вычислительных алгоритмов

3.1 Среда разработки программы

3.1.1 Действия, производимые на CPU

3.1.2 Действия, производимые на GPU

3.2 Программа расчета механического воздействия на ЖК

3.2.1 Структура программы и описание ядер

3.2.2 Эффективность параллельной программы

3.3 Программный комплекс для численного моделирования динамических процессов в ЖК

3.3.1 Подпрограмма расчета электрического воздействия на ЖК Структура и описание ядер

3.3.2 Подпрограмма расчета термомеханических воздействий

на ЖК. Структура и описание ядер

3.4 Выводы по главе

4 Результаты численных расчетов

4.1 Механическое воздействие на ЖК

4.2 Механическое и температурное воздействия на ЖК

4.3 Электрическое воздействие на ЖК

4.4 Выводы по главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамических процессов в жидких кристаллах с применением технологии CUDA»

Введение

Актуaльнocть темы и степень решения прoблемы. Исследование поведения жидких кристаллов (ЖК) представляет собой одно из современных направлений физики, имеющее приложения в различных областях науки и техники. В приборостроении, электронике и электрооптике жидкие кристаллы применяются для создания устройств отображения, обработки и хранения информации. Жидкокристаллическое состояние вещества представляет научный интерес для исследователей благодаря чувствительности жидких кристаллов к разнообразным внешним воздействиям и их анизотропии.

Математическая теория жидких кристаллов охватывает различные области: теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория многомасштабных систем, комбинаторика, вычислительная математика. Из-за сложности моделей для описания физических процессов в ЖК эффективными средствами исследования являются параллельные алгоритмы с применением многопроцессорных вычислительных систем. Распараллеливание позволяет использовать мелкие расчетные сетки благодаря распределению вычислительной нагрузки. В результате повышается точность численного решения и сокращается время вычислений по сравнению с последовательными аналогами программ.

При решении статических задач применяется модель Озеена-Франка, согласно которой электрическое или магнитное поле вызывает деформацию жидких кристаллов, при которой распределение молекул минимизирует свободную энергию. Модель Озеена-Франка не может быть обобщена для анализа динамических процессов. При моделировании динамики жидких кристаллов используется подход, основанный на представлении среды как мелкодисперсной сплошной среды, в каждой точке которой перемеще-

ние молекул описывается законами динамики жидкости, при этом молекулы встречают упругое сопротивление вращению. Основой для такого подхода послужила модель континуума Коссера, в которой кроме поступательного движения рассматриваются малые независимые повороты частиц. Впервые динамическая модель жидкого кристалла как сплошной среды, основанная на законах сохранения и учитывающая поступательные и вращательные степени свободы молекул, была предложена Эриксеном и Лесли. С помощью термодинамических принципов эта модель была развита Аэро, Эрингером, Ли, Кондауровым, Калугиным и другими исследователями. Модель Эриксена-Лесли описывает различные движения жидкого кристалла, но является достаточно сложной и ее численное исследование практически невозможно. Сложность заключается в наличии параметров и функций, для нахождения которых нужно проводить специальные физические эксперименты. Для более подробного изучения процессов, протекающих в жидких кристаллах, необходимо получать упрощенные модели, описывающие частные движения.

Целью иccледoвaния является разработка упрощенной математической модели динамики ЖК под действием электрического поля, алгоритмическая и программная реализация модели для компьютеров с графическими ускорителями с применением технологии CUDA.

Для достижения поставленной цели решаются следующие зaдaчи:

1. На основе уравнений акустического приближения жидкого кристалла разработать математическую модель, учитывающую нестационарное воздействие электрического поля на жидкокристаллический слой.

2. Разработать параллельный вычислительный алгоритм для анализа динамики жидкого кристалла под действием механических, температурных и электрических возмущений.

3. Выполнить программную реализацию алгоритма на многопроцессорных вычислительных системах с графическими ускорителями с использованием технологии CUDA (Compute Unified Device Architecture).

4. Провести расчеты, демонстрирующие работоспособность программы. Выполнить верификацию программы на точных решениях типа монохроматических волн. Численно исследовать эффект Фредерикса, описывающий неустойчивое состояние молекул жидкого кристалла в неоднородном электрическом поле.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложена новая математическая модель нестационарного воздействия электрического поля на жидкокристаллический слой в рамках уравнений акустического приближения ЖК, учитывающих поступательное движение и вращательные степени свободы частиц.

2. Разработан параллельный алгоритм численной реализации модели динамики ЖК под действием механических, температурных и электрических возмущений, основанный на методе двуциклического расщепления по пространственным переменным, с применением разностных схем Годунова и Иванова, метода прямых и быстрого преобразования Фурье.

3. Разработан параллельный алгоритм численного решения системы двух уравнений для касательного напряжения и угловой скорости, позволяющий для ограниченного класса краевых задач многократно ускорить вычислительный процесс.

4. С использованием технологии СиЭЛ создан комплекс программ для расчета волновых движений жидкокристаллической среды с учетом влияния механических, тепловых и электрических факторов.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в создании математической модели динамики ЖК, допускающей эффективную численную реализацию, и программного комплекса для исследования поведения ЖК под действием слабых термомеханических и электрических внешних возмущений. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для анализа новых физических эффектов в жидких кристаллах, а также в учебном процессе в университетских курсах по прикладной и вычислительной математике.

Метoдoм иccледoвaния является метод математического моделирования, включающий этапы разработки модели, вычислительного алгоритма и компьютерной программы. Математическая модель строится на основе законов механики деформируемого твердого тела. При разработке численного алгоритма используются апробированные конечно-разностные схемы. Программный комплекс, реализующий алгоритм, написан с применением технологии параллельного программирования СиЭЛ.

Дocтoвернocть и oбocнoвaннocть результaтoв подтверждается корректным использованием физических законов для описания механического поведения структурно-неоднородных сред, методов математического анализа, методов вычислительной математики и технологий программирования.

Пoлoжения, вынocимые нa зaщиту:

1. Математическая модель, учитывающая воздействие электрического поля на жидкокристаллический слой, построенная на основе уравнений акустического приближения жидкого кристалла.

2. Анализ подсистемы двух уравнений для касательного напряжения и угловой скорости, включая исследование устойчивости разностной схемы и сравнение результатов расчетов монохроматических волн с точными решениями.

3. Параллельный вычислительный алгоритм для исследования динамики жидкого кристалла под действием механических, температурных и электрических возмущений. Программная реализация алгоритма с применением технологии СиЭЛ.

4. Результаты численного исследования термомеханических и электрических воздействий на жидкокристаллический слой, в том числе результаты, имитирующие ориентационный эффект Фредерикса в жидком кристалле 5ЦБ.

Апрoбaция рaбoты. Результаты диссертации докладывались на следующих Всероссийских и международных конференциях:

• XVIII, XXI - XXIV Международные научные конференции "Решет-невские чтения" (Красноярск, 2014, 2017 - 2020 гг.);

• Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проспект Свободный 2015", посвященная 70-летию Великой Победы (Красноярск, 2015г.);

• XVI Всероссийская конференция-школа молодых исследователей "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2015 г.);

• XVI и XVII Всероссийские конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2015 г.; Новосибирск, 2016г.);

• Открытые конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2015 - 2021 гг.);

• IX Сибирский конгресс женщин-математиков (Красноярск, 2016 г.);

• Международная конференция "Математические и информационные технологии, MIT - 2016" (Врнячка Баня, Сербия - Будва, Черногория, 2016г.);

• IX Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям "ПВВ - 2017" (Томск, 2017 г.);

• EUROMECH Со1^шит 579: Generalized а^ mi^str^^ed сопИпиа: [new ideas in mode1ing] and/or [аррНсаШпз to soudures with (пеаг1у) inextensible fibers] (Арпино, Италия, 2017г.);

• 10-я - 13-я Международные конференции по математическим приложениям в технических и естественных науках "AM^NS 2018", "AM^NS 2019", "AM^NS 2020", "AM^NS 2021" (Албена, Болгария, 2018 -2021 гг.);

• X Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова

и 100-летию Уральского федерального университета (Абрау-Дюрсо, 2020 г.);

• IX Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященная 120-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2020 г.);

• Всероссийская конференция молодых ученых-механиков "YSM-2021" (Сочи, 2021 г.).

Диссертация в целом докладывалась на семинарах "Проблемы математического и численного моделирования" и "Математическое моделирование в механике" ИВМ СО РАН (Красноярск) и семинаре по вычислительной математике Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого (Санкт-Петербург).

Публи^ции. По теме диссертации опубликовано 34 научные работы; из них 8 - публикации в изданиях из списка ВАК, Web о! Sde^e и S^pus [63-65,68,69,141,155], в том числе зарегистрированный программный комплекс для численного моделирования динамических процессов в жидкокристаллической среде с помощью технологии CUDA [142] (свидетельство № 2018666773).

Работа выполнена при финансовой поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 14-01-00130, 16-31-00078, 18-31-00100, 18-41-242001);

• Комплексной программы фундаментальных исследований СО РАН № 11.2П "Интеграция и развитие" (проект № 0356-2016-0728);

• Проекта ФНИ "Математическое моделирование сложных систем и процессов с применением высокопроизводительных вычислительных комплексов новых поколений" (№ 0356-2019-0015);

• Проекта ФНИ "Математическое моделирование поведения неидеальных сред с границами раздела в природных и технических системах" (№ 0287-2021-0002);

• Красноярского математического центра, финансируемого Минобрнау-ки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашения 075-02-2020-1631, 075-02-2021-1384).

Личный вклад автора состоит в разработке математической модели, учитывающей воздействие электрического поля на жидкокристаллический слой, на основе уравнений акустического приближения жидкого кристалла, написании и отладке программного комплекса, проведении расчетов и анализе полученных результатов, а также в подготовке и представлении статей и докладов по тематике работы. Садовскому В.М. принадлежит постановка задач и выбор методов решения, Садовской О. В. - разработка численного алгоритма, а также руководство по созданию программного комплекса.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 167 наименований. Общий объем диссертации 127 страниц, включая 30 рисунков и 3 таблицы.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи работы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, а также выносимые на защиту результаты.

Первая глава включает в себя литературный обзор по тематике диссертации.

В разделе 1.1 описаны основные свойства жидких кристаллов, а также дается представление об эффекте Фредерикса. Этот эффект возникает из-за конкуренции сил упругого взаимодействия молекул (доменов молекул) и сил внешнего электрического поля, которые пытаются сориентировать молекулы вдоль поля. При этом силы упругости стремятся сохранить первоначальное положение доменов. Если интенсивность внешнего поля меньше сил упругости, то домены сохраняют свою первоначальную ориентацию. Иначе они начинают вращаться, и в конечном итоге ориентируются вдоль поля.

Раздел 1.2 посвящен статической теории Озеена-Франка и применению этой модели к решению задач.

В разделе 1.3 дается представление о модели Коссера и математических моделях, основанных на этой теории.

Paздел 1.4 посвящен упрощенным математическим моделям жидких кристаллов.

В рaзделе 1.5 приведен обзор методов численного решения динамических задач. Представлены такие методы, как метод распада разрыва Годунова, разностная схема Иванова и другие.

В рaзделе 1.6 представлен обзор технологий параллельного программирования, рассматриваются подходы МР1, ОрепМР, СиЭЛ.

Paздел 1.7 содержит выводы по главе.

Во втoрoй глaве описывается упрощенная математическая модель жидкого кристалла в акустическом приближении, учитывающая механические, температурные и электрические воздействия, а также алгоритм ее численной реализации. В рамках этой модели жидкокристаллическая среда рассматривается как микронеоднородная сплошная среда с вращающимися частицами. Напряженное состояние характеризуется несимметричным тензором напряжений. Учитываются моментные взаимодействия, которые вызваны механическими и температурными возмущениями, воздействием электрического поля. Из уравнений модели получена и исследована система двух уравнений второго порядка для касательного напряжения и угловой скорости, описывающая механическое и электрическое воздействия на жидкий кристалл.

В рaзделе 2.1 представлена модель механического и электрического воздействия на жидкие кристаллы, исследована подсистема уравнений второго порядка для касательного напряжения и угловой скорости. Для численной реализации применяется конечно-разностная схема "крест" второго порядка точности, для которой исследована устойчивость с помощью метода гармоник Фурье. Проведено сравнение результатов расчетов монохроматических волн с точными решениями.

Описанный в рaзделе 2.2 алгоритм численного решения основной системы уравнений модели строится с применением метода двуциклического расщепления по пространственным переменным, приводящего двумерную систему уравнений к одномерным.

Paздел 2.3 посвящен модели нестационарного воздействия электрического поля на жидкий кристалл. Электрическое поле возникает за счет

появления зарядов на пластинах-обкладках конденсатора, между которыми помещен протяженный горизонтальный жидкокристаллический слой. При разработке алгоритма численной реализации модели используются метод прямых и быстрое преобразование Фурье. Представлен алгоритм, позволяющий учитывать особенности электрического поля, возникающие из-за резкой смены граничных условий в концах пластин-обкладок конденсатора. На основе описанной математической модели жидкого кристалла проведен численный анализ эффекта Фредерикса переориентации молекул жидкого кристалла в направлении интенсивности электрического поля.

Раздел 2.4 содержит выводы по главе.

Третья глава посвящена программной реализации вычислительных алгоритмов, представленных в главе 2.

B разделе 3.1 дается общее представление о среде разработки программы, описаны основные этапы параллельного программирования с применением технологии CUDA (Compute Unified Device Architecture), которая позволяет существенно увеличить вычислительную производительность благодаря использованию графических ускорителей видеокарт. Параллельные вычисления производятся на GPU (Graphics Processing Unit), последовательные на CPU (Central Processing Unit).

B разделе 3.2 описан программный комплекс, предназначенный для исследования динамического поведения жидких кристаллов под действием термомеханических и электростатических внешних возмущений. B этом разделе содержится информация об основных параметрах задачи, способах задания граничных условий, представлены действия, производимые на CPU и GPU во время работы программы, а также в виде блок-схемы показан алгоритм работы программы. B расчетном цикле по времени в первую очередь запускаются процедуры, реализующие электрическое воздействие на жидкие кристаллы. Затем выполняются процедуры, реализующие двуциклическое расщепление.

B разделе 3.3 приводится структура программы и описание ядер для алгоритма из раздела 2.1, учитывающего механическое и электрическое воздействия. Проведено исследование эффективности программы. Для этого вы-

полнялись расчеты c различными размерностями сетки. Сравнивалось время работы параллельной программы с ее последовательным аналогам.

B рaзделе 3.4 представлены структура программы и описание ядер для алгоритма из раздела 2.2, реализующего двуциклическое расщепление.

B рaзделе 3.5 представлены структура программы и описание ядер для алгоритма из раздела 2.3, учитывающего воздействие электрического поля.

Paздел 3.6 содержит выводы по главе.

B четвер^й глaве описаны результаты численных расчетов, полученных на высокопроизводительном вычислительном сервере Р^шап с графическими вычислителями ТеБ1а С2050 Института вычислительного моделирования СО РАН (общее число потоковых ядер CUDA на сервере - 3584). Численные расчеты демонстрируют работоспособность алгоритмов и программ. Представлены результаты расчетов при разных размерах области и размерностях конечно-разностной сетки для:

• задачи о действии распределенной импульсной нагрузки (П-образные и Л-образные импульсы) на границе;

• задачи Лэмба о действии сосредоточенной нагрузки на границе;

• задачи о периодическом действии нагрузки на границе;

• задачи с заданной начальной температурой на всей расчетной области;

• задачи о воздействии электрического поля.

Paздел 4.4 содержит выводы по главе.

B зaключении сформулированы результаты диссертационной работы.

B конце приведен список литерaтуры.

Глава 1 Обзор литературы

1.1 Физические свойства жидких кристаллов. Эффект Фредерикса

Жидкие кристаллы были открыты австрийским ботаником Рейнице-ром [52] и немецким физиком Леманом, которые обратили внимание на необычное состояние некоторых органических веществ (холестерилбензоата и холестерилацетата). У этих веществ наблюдалось две стадии плавления, при первой твердое кристаллическое вещество превращалось в мутную анизотропную жидкость, которая при второй стадии становилась прозрачной и изотропной. Когда Леман изучал мутную жидкость под микроскопом, то увидел кристаллиты и отметил, что мутная фаза течет как обычная жидкость, но при этом была еще одна характеристика - палочковидная упорядоченная структура молекул. Тем самым Леман убедился в том, что вещество является твердым и продолжал изучать как холестерилбензоат, так и другие связанные с ним материалы. Таким образом, в некотором температурном интервале у органических жидкостей появляются анизотропные свойства, присущие кристаллическим структурам. Новые вещества, обладающие необычными свойствами, трудно было отнести к какому-либо агрегатному состоянию. Поэтому возникали сложности в объяснении особенностей поведения данных веществ и, следовательно, в создании теории нового научного направления. Исследования оптических и электрических свойств этих уникальных соединений очень привлекли научное и промышленное сообщество. После накопления достаточного количества экспериментальных данных, ученые смогли теоретически объяснить природу эффектов этих веществ, которые в дальнейшем

были названы жидкими кристаллами. Позже исследования в ряде отраслей, университетов и правительственных лабораторий начали сосредотачиваться на их приложениях.

Жидкие кристаллы представляют собой органические продолговатые молекулы, обладающие свойством жидкости - текучестью. Одновременно с этим в жидких кристаллах присутствует порядок в пространственной ориентации молекул, который существенно влияет на их оптические, электрические и механические свойства, обладающие анизотропией. В отличие от твердых кристаллов, в ЖК отсутствует жесткая кристаллическая решетка.

Для характеристики порядка в жидких кристаллах вводится единичный вектор, который называется "директор". Этот вектор задает преимущественную ориентацию длинных осей молекул. Мерой упорядочения является величина отклонения длинных осей молекул от направления директора, называемая параметром ориентационного порядка, который был введен Цветковым [75]. Формула параметра порядка выводится следующим образом. Рассматривается декартова система координат. Директор параллелен оси z. Ориентация молекул характеризуется вектором 1 с компонентами:

ux = sin9 cos ф, uy = sin9 sin ф, uz = cos 9, где 9, ф - углы отклонения молекул вдоль полярного и азимутного направлений. Функция распределения не зависит от ф, т.к. обладает полной симметрией вращения относительно it и выглядит следующим образом:

1

+ 1 Í

f (9) = ^ fn Pn(cos 9), где f = —— f (9)Pn(cos 9) d(cos 9).

n= 0 - -1

Здесь Pn(cos 9) - многочлены Лежандра, ортогональные на отрезке (—1; 1) относительно скалярного произведения в пространстве L2. Параметр порядка

является вторым полиномом Лежандра и вычисляется следующим образом:

i

S = 1J f (9)P2(cos 9) d(cos 9) = <P2(cos 9)) = ^^ — 1. —i

При S =1 наблюдается идеальный порядок, все молекулы ориентированы вдоль директора, такой порядок характерен для твердых кристаллов. Для жидкости этот параметр принимает значение S = 0, в этом случае молекулы не упорядочены. Таким образом, чем ближе к 1 значение параметра порядка, тем молекулы материала лучше упорядочены. Для жидких кристаллов

значение этой величины находится в промежутке 0 < S < 1 и определяет анизотропию как электрических, так и оптических свойств. В зависимости от метода получения жидкие кристаллы разделяются на две группы. Если ЖК получен растворением органического вещества в некотором растворителе, то его принято называть лиотропным. Лиотропное жидкокристаллическое состояние зависит от концентрации молекул ЖК в растворителе. При превышении определенного порогового значения материал демонстрирует жидкокристаллическую фазу. Жидкие кристаллы такого типа очень распространены в повседневной жизни - большинство моющих средств состоит из таких молекул. Если при нагревании или охлаждении твердое тело переходит в состояние жидкого кристалла, то этот жидкий кристалл относится к тер-мотропным. Фриделем [20] была предложена классификация термотропных жидких кристаллов, получившая широкое распространение и сейчас используемая повсеместно. В зависимости от порядка ориентации молекул в пространстве Фридель разделил жидкие кристаллы на три большие категории:

1. В нематических жидких кристаллах (НЖК) центры масс располагаются хаотично, молекулы сориентированы в направлении вектора-директора.

2. Смектические жидкие кристаллы образуют слои, могут перемещаться относительно друг друга и вращаться вокруг длинной оси. Слои имеют одинаковую толщину и располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга.

3. В холестерических жидких кристаллах молекулы формируются в слои, создавая при этом спираль.

Способность молекул двигаться относительно друг друга позволяет внешними воздействиями управлять их ориентацией в пространстве и, следовательно, управлять анизотропными свойствами. Жидкокристаллическое состояние чрезвычайно чувствительно к изменениям температуры. Чем выше температура, тем больше движений происходит между молекулами. Таким образом, небольшие изменения в упорядочении молекул могут влиять на объемные свойства материала, такие как изменение цвета жидкого кристалла. Из-за чувствительности состояния к изменениям температуры жидкие

кристаллы также нашли множество применений при измерении температуры. При нанесении на поверхность кожи жидкокристаллические вещества используются для обнаружения вен, артерий, инфекций и опухолей, которые теплее окружающих тканей.

Физические свойства жидких кристаллов и их реакция на внешние воздействия различной природы описаны Де Женом, Де Жё и другими авторами в [7,101,102,129]. В [85] рассмотрены гидродинамические свойства жидких кристаллов. Автором предложены методы расчета и измерения вязкости, рассмотрены экспериментальные зависимости вязкости от всех термодинамических параметров, в том числе температурная зависимость. Электрооптике и магнитооптике посвящены работы Блинова [88] и Сонина [156]. В работах представлены основные аспекты, позволяющие анализировать диэлектрические, оптические и электрооптические свойства, описаны влияния электрических и магнитных полей. В основе методов определения вязких и упругих коэффициентов лежат магнито- и электрооптические эксперименты. В учебном пособии [116] описаны электрооптические эффекты, возникающие в жидких кристаллах, а также основные моменты при деформации жидких кристаллов, подвергающиеся воздействию электрического поля.

Наличие оптических свойств позволяет эффективно управлять световыми лучами, изменяя их цвет, направление или интенсивность. Поляризованный свет распространяется в жидкокристаллической фазе с разной скоростью в различных направлениях. Кристаллы с оптическими осями применяются везде, где необходимо быстро управлять световыми лучами. Например, поляроиды пропускают не все световые лучи, они защищают глаза водителям, операторам аэропортов от слепящего света встречных автомобилей или солнца. Если слой нематического жидкого кристалла освещать белым светом, то при изменении угла наклона молекул он будет переливаться цветами радуги.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Смолехо Ирина Владимировна, 2022 год

- 160 с.

[88] Блинов, Л.М. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов / Л.М. Блинов. - М.: Наука, 1978. - 384 с.

[89] Бондарев, А.Е. Решение задач оптимизационного анализа с использованием параллельной обработки данных с применением технологии MPI / А.Е. Бондарев, В.А. Галактионов, Т.Н. Михайлова, И.Г. Рыжова // Новые информац. технологии в автоматизир. системах. - 2014. -№ 17. - C. 222-235.

[90] Боресков, А.В. Основы работы с технологией CUDA / А.В. Боресков, А.А. Харламов. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 232 с.

[91] Варыгина, М.П. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах / М.П. Варыгина, И.В. Киреев, О.В. Садовская, В.М. Садовский // Вестник СибГАУ им. акад. М.Ф. Решетнева. - 2009. -Вып. 2 (23). - С. 104-108.

[92] Воеводин, В.В. Параллельные вычисления / В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

[93] Геворкян, Э.В. К динамике жидких кристаллов в изменяющихся магнитных полях / Э.В. Геворкян // Вестник Моск. гос. област. ун-та. Сер.: Физ., матем. - 2017. - № 4. - С. 62-67.

[94] Геворкян, Э.В. Акустические исследования динамики ориентированных процессов в нематических жидких кристаллах в конических магнитных полях / Э.В. Геворкян, А.Н. Ларионов, А.И. Ефремов, Н.Н. Ларионова // Жидк. крист. и их практич. использ. - 2018. - Т. 18, № 1. -С. 6-14.

[95] Гнатенко, А.С. Исследование применения жидких кристаллов для создания лазеров / А.С. Гнатенко, О.А. Кальная, В.П. Обозная, К.А. Васько, А.К. Бачило // Актуальш проблеми автоматики та прила-добудування: матер1али 1 м1жнародно'1 науково-техшчно'1 конференцп. - Харюв: ХП1, 2017. - С. 216-217.

[96] Гнатенко, А.С. Обеспечение синхронизации мод в волоконных кольцевых лазерах / А.С. Гнатенко, Ю.П. Мачехин, Ю.С. Курской, В.П. Обоз-

ная // Ж. нано- та електронно'1 ф1зики. - 2018. - Т. 10, № 2. -С. 02033-1-02033-8.

[97] Горчаков, А.Ю. Использование возможностей OpenMP для ускорения расчетов в пакете прикладного программного обеспечения Adept / А.Ю. Горчаков // Труды II Междунар. научн. конф. "Конвергентные когнитивно-информационные технологии" (Convergent'2017). - 2017. -С. 202-208.

[98] Годунов, С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики / С.К. Годунов // Матем. сб. - 1959. -Т. 47 (89), вып. 3. - С. 271-306.

[99] Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. - М.: Наука, 1976. - 400 с.

[100] Деменев, Е.И. Нелинейное ориентационное взаимодействие немати-ческого жидкого кристалла с тепловым потоком / Е.И. Деменев, Г.А. Поздняков, С.И. Трашкеев // Письма в ЖТФ. - 2009. - Т. 35, вып. 14. - С. 76-83.

[101] де Жен, П.-Ж. Физика жидких кристаллов / П.-Ж. де Жен. - М.: Мир, 1977. - 400 с.

[102] де Жё, В.Г. Физические свойства жидкокристаллических веществ / В.Г. де Жё. - М.: Мир, 1982. - 153 с.

[103] Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. - 542 с.

[104] Иванов, Г.В. Численное решение динамических задач упругопласти-ческого деформирования твердых тел / Г.В. Иванов, Ю.М. Волчков, И.О. Богульский, С.А. Анисимов, В.Д. Кургузов. - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. - 352 с.

[105] Иванов, М.Я. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений Эйлера / М.Я. Иванов, Р.З. Нигматуллин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1987. - Т. 27, № 11. - С. 1725-1735.

[106] Калугин, А.Г. Механика анизотропных жидкостей / А.Г. Калугин. -М.: Изд-во МГУ, 2005. - 64 с.

[107] Калугин, А.Г. Поверхностные волны в нематических жидких кристаллах / А.Г. Калугин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. - 2012.

- № 3. - С. 70-72.

[108] Калугин, А.Г. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла / А.Г. Калугин, А.Н. Голубятников // Тр. МИАН. - 1998. -Т. 223. - С. 171-177.

[109] Кандидов, В.П. Метод конечных элементов в задачах динамики /

B.П. Кандидов, С.С. Чесноков, В.А. Выслоух. - М.: Из-во МГУ, 1980.

- 165 с.

[110] Кац, Е.И. Динамика жидких кристаллов / Е.И. Кац, В.В. Лебедев. -М.: Наука, 1988. - 144 с.

[111] Клементьев, В.М. Высокочастотные изменения ориентации нематических жидких кристаллов в скрещенных электрических полях радиочастотного диапазона / В.М. Клементьев, С.И. Трашкеев, П.А. Стаценко, Т.Д. Валинуров // Прикл. матем. и техн. физ. - 2004. - Т. 45, № 6. -

C. 38-52.

[112] Ковеня, В.М. Алгоритмы расщепления при решении многомерных задач аэрогидродинамики / В.М. Ковеня. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2014. - 280 с.

[113] Кондауров, В.И. О нелинейных уравнениях динамики упругой микрополярной среды / В.И. Кондауров // Прикл. матем. и механ. - 1984. -Т. 48, № 3. - С. 404-413.

[114] Кондауров, В.И. Основы термомеханики конденсированной среды /

B.И. Кондауров, В.Е. Фортов. - М.: МФТИ, 2002. - 336 с.

[115] Контеев, А.А. Применение метода граничных элементов для задач колебаний / А.А. Контеев, В.П. Федотов // Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Сер.: Матем. моделирование и краев. задачи. - Ч. 1. - Самара: СамГТУ, 2006. -

C. 116-118.

[116] Коншина, Е.А. Оптика жидкокристаллических сред: Учебное пособие / Е.А. Коншина. - Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 2012. - 99 с.

[117] Корнеев, В.Д. Параллельное программирование в MPI / В.Д. Корнеев.

- Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. - 215 с.

[118] Кошур, В.Д. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций / В.Д. Кошур, Ю.В. Немиров-ский. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. - 198 с.

[119] Краева, Я.А. Совместное использование технологий MPI и OpenMP для параллельного поиска похожих подпоследовательностей в сверхбольших временных рядах на вычислительном кластере с узлами на базе многоядерных процессоров Intel Xeon Phi Knights Landing / Я.А. Краева, М.Л. Цымблер // Вычисл. методы и программир. - 2019.

- Т. 20, №. 1. - С. 29-44.

[120] Кучунова, Е.В. Численное исследование распространения сейсмических волн в блочных средах на многопроцессорных вычислительных системах / Е.В. Кучунова, В.М. Садовский // Вычисл. методы и программир. - 2008. - Т. 9, № 1. - С. 70-80.

[121] Максимов, А.В. Описание ориентационного порядка в двумерных полимерных системах с помощью анизотропной модели Вакса-Ларкина / А.В. Максимов, О.Г. Максимова // Высокомолек. соед. Сер. А. - 2003.

- Т. 45, № 9. - С. 1476-1485.

[122] Марчук, Г.И. Методы расщепления / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1988.

- 263 с.

[123] Марчук, Г.И. Методы расщепления для решения нестационарных задач / Г.И. Марчук //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1995. - Т. 35, № 6. - С. 843-849.

[124] Милюкова, О.Ю. MPI + OpenMPI реализация метода сопряженных градиентов с факторизованным предобусловливателем / О.Ю. Милюкова // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2020. - № 031. - 22 с.

[125] Минько, А.А. Методы расчета оптических параметров неоднородных систем на базе жидких кристаллов / А.А. Минько, С.Н. Тимофеев //

Вестник Белорусского гос. ун-та. Сер. 1: Физ., матем., информ. - 2012.

- № 3. - С. 16-21.

[126] Миронов, В.В. Технология MPI решения стационарного уравнения теплопроводности / В.В. Миронов, Н.А. Оверин // Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Матем., механ., информ. - 2013. - Вып. 18. -С. 78-84.

[127] Моисеев, Н.Я. Разностные схемы повышенной точности для решения уравнений газовой динамики методом Годунова с антидиффузией / Н.Я. Моисеев, И.Ю. Силантьева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2009. - Т. 49, № 5. - С. 857-873.

[128] Народицкая, Т.В. Диэлектрическая проницаемость прослоек нематических жидких кристаллов / Т.В. Народицкая, Б.А. Алто-из, Ю.М. Поповский // Физ. аэродисперс. систем. - 2002. - Вып. 39.

- С. 281-286.

[129] Пикин, С.А. Жидкие кристаллы / С.А. Пикин, Л.М. Блинов. - М.: Наука, 1982. - 208 с.

[130] Репьева, А. К вопросу о природе анизотропно-жидкостного состояния вещества / А. Репьева, В. Фредерикс // Журн. Русского физ.-хим. общ-ва (часть физическая). - 1927. - Т. 59, вып. 2. - С. 183-200.

[131] Риман, Б. Сочинения / Б. Риман. - М.: Гостехиздат, 1948. - 543 с.

[132] Родионов, А.В. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К. Годунова / А.В. Родионов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1987. -Т. 27, № 12. - С. 1853-1860.

[133] Романов, В.П. Пороговые эффекты в жидких кристаллах / В.П. Романов // Соросовский образоват. журн. - 2001. - Т. 7, № 1. - С. 96-101.

[134] Садовская, О.В. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред / О.В. Садовская, В.М. Садовский. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.

[135] Садовская, О.В. Параллельная реализация алгоритма для расчета упругопластических волн в сыпучей среде / О.В. Садовская, В.М. Са-

довский // Вычисл. методы и программир. - 2005. - Т. 6, № 2. -С. 86-93.

[136] Садовская, О.В. Технология параллельных вычислений для решения задач динамики упругопластических сред с микроструктурой / О.В. Садовская, В.М. Садовский // Вычисл. технологии. - 2009. - Т. 14, № 6. - С. 82-96.

[137] Садовская, О.В. Численное моделирование вязкоупругих волн в жидких кристаллах при термомеханических и электростатических возмущениях / О.В. Садовская, И.В. Смолехо // XII Всеросс. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Сб. трудов. - Т. 3: МДТТ. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. - С. 1246-1248.

[138] Садовский, В.М. Термодинамически самосогласованная система законов сохранения несимметричной теории упругости / В.М. Садовский // Дальневост. матем. журн. - 2011. - Т. 11, № 2. - С. 201-212.

[139] Садовский, В.М. Термодинамически согласованные уравнения момент-ной теории упругости / В.М. Садовский // Дальневост. матем. журн. - 2016. - Т. 16, № 2. - С. 209-222.

[140] Садовский, В.М. Об акустическом приближении термомеханической модели жидкого кристалла / В.М. Садовский, О.В. Садовская // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16, № 3. - С. 55-62.

[141] Садовский, В.М. Моделирование динамики жидкого кристалла под действием слабых возмущений / В.М. Садовский, О.В. Садовская, И.В. Смолехо // Прикл. мех. и техн. физ. - 2021. - Т. 62, № 1. С. 193206.

[142] Садовский, В.М. Программный комплекс для численного моделирования динамических процессов в жидкокристаллической среде с помощью технологии СиЭЛ (20уп_Сгув1а1в_Си0Л). Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2018666773 от 20.12.2018 / В.М. Садовский, О.В. Садовская, И.В. Смолехо // Ии ОБПБТ. -№ 12-2018. - М.: ФИПС, 2018.

[143] Садовский, В.М. Численный алгоритм, учитывающий воздействие электрического поля на жидкие кристаллы / В.М. Садовский, О.В. Садовская, И.В. Смолехо // Материалы XXI Междунар. научно-практич. конф. "Решетневские чтения". - Ч. 2. - Красноярск: СибГАУ им. М.Ф. Решетнева, 2017. - С. 28-30.

[144] Сандерс, Д. Технология СиЭЛ в примерах. Введение в программирование графических процессов / Д. Сандерс, Э. Кэндрот. - М.: ДМК Пресс, 2018. - 232 с.

[145] Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1994. - 5 изд. - Т. 1. - 528 с. - Т. 2. - 560 с.

[146] Смолехо, И.В. Параллельная реализация алгоритма для описания термоупругих волн в жидких кристаллах / И.В. Смолехо // Молодой ученый. - 2015. - № 11 (91). - С. 107-113.

[147] Смолехо, И.В. Параллельная реализация алгоритма, учитывающего воздействие электрического поля на жидкие кристаллы / И.В. Смо-лехо // Материалы XXII Междунар. научно-практич. конф. "Решетневские чтения". - Ч. 1. - Красноярск: СибГАУ им. М.Ф. Решетнева, 2018. - С. 583-585.

[148] Смолехо, И.В. Параллельный вычислительный алгоритм для анализа акустических волн в жидком кристалле с учетом моментных взаимодействий / И.В. Смолехо // Молодой ученый. - 2016. - № 11 (115). -С. 69-75.

[149] Смолехо, И.В. Численный анализ эффекта Фредерикса на основе акустического приближения модели жидкого кристалла / И.В. Смолехо // Материалы XXIII Междунар. научно-практич. конф. "Решетневские чтения". - Ч. 1. - Красноярск: СибГАУ им. М.Ф. Решетнева, 2019. - С. 619-620.

[150] Смолехо, И.В. Точное решение в окрестности особых точек электрического поля, действующего на жидкий кристалл / И.В. Смолехо, И.В. Киреев // Материалы XXIV Междунар. научно-практич. конф. "Решетневские чтения". - Ч. 1. - Красноярск: СибГАУ им. М.Ф. Решетнева, 2020. - С. 517-518.

[151] Смолехо, И.В. Анализ уравнений жидкого кристалла, учитывающих моментное взаимодействие / И.В. Смолехо, О.В. Садовская // Образо-ват. ресурсы и технологии. - 2016. - № 2 (14). - С. 369-374.

[152] Смолехо, И.В. Параллельный вычислительный алгоритм для описания термомеханического поведения жидких кристаллов / И.В. Смолехо, О.В. Садовская // Материалы XVIII Междунар. науч. конф. "Решет-невские чтения". - Ч. 2. - Красноярск: СибГАУ им. М.Ф. Решетнева, 2014. - С. 121-123.

[153] Смолехо, И.В. Применение технологии СиЭЛ при численном моделировании поведения жидких кристаллов / И.В. Смолехо, О.В. Садовская // Девятая Сибирская конф. по параллельным и высокопроизводительным вычислениям: Сб. статей / Под ред. А.В. Старченко. -Томск: Издательский дом Томского гос. ун-та, 2017. - С. 13-20.

[154] Смолехо, И.В. Реализация математической модели жидкого кристалла на компьютерах с графическими ускорителями / И.В. Смолехо, О.В. Садовская // Сб. трудов XVI Всеросс. конф.-школы молодых исследователей "Современные проблемы математического моделирования". - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2015. - С. 212-217.

[155] Смолехо, И.В. Численное моделирование акустических волн в жидком кристалле с использованием технологии СиЭЛ / И.В. Смолехо, О.В. Садовская, В.М. Садовский // Вычисл. технологии. - 2017. -Т. 22, Спец. вып. 1. - С. 87-98.

[156] Сонин, А.С. Введение в физику жидких кристаллов / А.С. Сонин. -М.: Наука, 1983. - 320 с.

[157] Сутормин, В.С. Температурно индуцированные изменения конфигурации директора в каплях нематика, диспергированного в поливинилпир-ролидоне / В.С. Сутормин, М.Н. Крахалев, О.О. Прищепа // Журн. СФУ: Матем. и физ. - 2009. - Т. 2, № 3. - С. 352-359.

[158] Трашкеев, С.И. Ориентационная механика жидких кристаллов. Переход в локальную систему координат / С.И. Трашкеев // Прикл. матем. и техн. физ. - 2007. - Т. 48, № 2. - С. 98-111.

[159] Трашкеев, С.И. Термоориентационный эффект в нематическом жидком кристалле / С.И. Трашкеев, А.В. Бритвин // Журн. техн. физ. - 2011. - Т. 81, вып 6. - С. 1-7.

[160] Уткин, А.В. Применение технологий CUDA и MPI к решению задач молекулярной динамики / А.В. Уткин, М.С. Ожгибесов // Известия АлтГУ. - 2014. - Т. 1, № 1 (81). - C. 127-129.

[161] Федоренко, Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р.П. Федоренко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1962. - Т. 2, № 6. - С. 1122-1128.

[162] Фредерикс, В.К. О применении магнитного поля к измерению сил, ориентирующих анизотропные жидкости в тонких однородных слоях /

B.К. Фредерикс, В. Золина // Журн. Русского физ.-хим. общ-ва (часть физическая). - 1930. - Т. 62, № 5. - С. 457-464.

[163] Фредерикс, В. Об ориентирующем воздействии электрического поля на молекулы анизотропных жидкостей / В. Фредерикс, В. Цветков // ДАН СССР. - 1935. - Т. 2, № 7. - С. 528-534.

[164] Чандрасекар, С. Жидкие кристаллы / С. Чандрасекар. - М.: Мир, 1980. - 344 с.

[165] Чарахчьян, A.A. Об алгоритмах расчета распада разрыва для схемы

C.К. Годунова / А.А. Чарахчьян // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2000. - Т. 40, № 5. - С. 782-796.

[166] Чарахчьян, А.А. Почти консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики / А.А. Чарахчьян // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1993. - Т. 33, № 11. - С. 1681-1692.

[167] Яненко, Н.Н. Метод дробных шагов решения задач математической физики / Н.Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1967. -197 с.