Математическое моделирование пороговых эффектов в триггерных динамических системах методами качественной теории дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Слепков, Владимир Анатольевич

• Слепков, Владимир Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Слепков, Владимир Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

1.1. Автономные динамические системы.

1.2. Метод фазовой плоскости.

1.3. Характер устойчивости и типы особых точек.

1.4. Понятие триггерной системы.

1.5. Развитие метода фазовых портретов.

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОПУХОЛЕВЫХ КЛЕТОК С ОРГАНИЗМОМ

2.1. Модель «хищник-жертва» и ее модификации.

2.2. Модель взаимодействия диффузных опухолей с организмом.

2.3. Рост и формообразование солидных форм злокачественных опухолей

2.3.1. Сужение фазового портрета.

2.3.2. Рост солидных опухолей в однородной ткани.

2.3.3. Переход опухоли через границу между тканями.

2.3.4. Некоторые частные случаи.

2.4. Качественный подход к описанию влияния экзо- и эндогенных факторов на риск развития онкологического заболевания.

2.5. Экспериментальное подтверждение теории.

ГЛАВА III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗРЫВНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНОК

3.1. Феномен взрывной кристаллизации.

3.2. Энергетические кривые процесса взрывной кристаллизации. Случай триггерной системы.

3.3. Рост и формообразование кристаллической фазы.

3.4. Схемы экспериментов.

ГЛАВА IV. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КЛАСТЕРАХ [Мо3Х7У7]3- (X = Б, Бе, Те; У = С1, Вг, I)

4.1. Теория атомов в молекулах, топологические свойства электронной плотности и типы критических точек.

4.2. Специфические взаимодействия в комплексах МозС^.

4.3. Детали расчетов.

4.4. Анализ модельной системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование пороговых эффектов в триггерных динамических системах методами качественной теории дифференциальных уравнений»

Объект исследования и актуальность темы

Интерес к динамическим системам триггерного типа прежде всего связан со специфическим для них наличием двух состояний устойчивого равновесия, благодаря которым система может сколь угодно долго находиться в одном из двух состояний, скачкообразно переключаясь из одного в другое под влиянием внешнего воздействия. Хотя первоначально понятие триггера было введено в электротехнике и использовалось в основном в экспериментальной, ядерной физике и в импульсных устройствах [1], впоследствии с помощью триггерных моделей удалось объяснить ряд важнейших биологических явлений, связанных с переключением, то есть резким переходом системы из одного режима функционирования в другой в живых системах. Такое переключение наблюдается, например, при смене типа метаболизма, сопровождающем переход от сна к бодрствованию, при генетически запрограммированных переходах от одной фазы развития к другой у большинства насекомых (яйцо-личинка-куколка-имаго), в процессе дифференцировки тканей, во всех видах рефлекторной деятельности [2, 3] , а также в динамике большей части инфекционных заболеваний [4].

С математической точки зрения внешние воздействия, обусловливающие переход между двумя устойчивыми равновесиями в триггерных системах, связаны с возмущениями системы. Возмущения, как правило, задаются варьированием соответствующих параметров и начальных условий. При варьировании начальных условий уравнения системы остаются неизменными, а траектории продолжают стремиться к прежней точке устойчивого равновесия, пока начальная точка не переходит некоторого порогового значения, соответствующего пересечению сепаратрисы, разделяющей на фазовом портрете два состояния равновесия. После этого все траектории системы начинают сходиться ко второй точке равновесия при любых начальных условиях. Другой тип возмущений связан с варьированием параметров правых частей уравнений, описывающих закон изменения исследуемых величин. В этом случае также существуют пороговые значения параметров, при которых в динамике системы происходят резкие качественные изменения, бифуркации, сопровождаемые переходом системы через вырожденное состояние, когда неустойчивая и одна из устойчивых точек сливаются, а затем исчезают. При этом система превращается в систему с единственным равновесным состоянием.

Естественным образом, особую актуальность в исследовании триггерных систем приобретает развитие качественных методов теории дифференциальных уравнений, поскольку они представляют собой альтернативный подход к преодолению известных трудностей, возникающих при численных расчетах, дающих решение системы лишь при фиксированных значениях параметров и начальных условий. Качественный подход, в свою очередь, не претендуя на поиск точного решения системы, зачастую оказывается полезным для выделения основных режимов динамической системы, выяснения связи между ними и анализа пороговых эффектов, возникающих при достижении параметрами критических значений. Особое значение качественные методы приобретают при анализе сложных систем, с большим количеством различных параметров, точный расчет которых потребовал бы больших вычислительных мощностей.

Триггерные системы встречаются в необозримом числе явлений живой и неживой природы. Выбор конкретных объектов для нашего исследования определялся как желанием с единых позиций описать процессы, происходящие в далеких друг от друга системах биологии, физики и химии, так и актуальностью исследования самих объектов. В результате были выбраны следующие явления: 1) взаимодействие опухолевых клеток и организма, 2) взрывная кристаллизация тонких аморфных и нанокристаллических пленок, 3) химическое связывание между атомами галогенов и халькогенов в кластерах типа [Мо3Х7У7] " (X = Б, Бе, Те; У = Вг, I, С1).

Актуальность математического моделирования процессов, происходящих в живом организме, в частности, динамики развития раковых опухолей, вызвана необходимостью оценки различных факторов, которые по ряду причин бывает трудно или невозможно варьировать в прямом эксперименте. Исследования в этой области весьма обширны и относятся к анализу механизмов диффузии и таксиса раковых клеток, наличием точечных мутаций, биохимических механизмов взаимодействия клеток, и т.д. В частности, в нашей модели впервые учтен такой важный феномен как локальное межклеточное взаимодействие. Особенно актуальны направления исследования, позволяющие приблизиться к возможности управления или частичного контроля динамики системы благодаря лучшему пониманию взаимосвязи различных факторов.

Явление взрывной кристаллизации изучается в последние годы весьма интенсивно. Помимо теоретического интереса, исследование этого явления важно и в связи с растущим применением аморфных и нано-материалов в современной технике. В частности, при выборе аморфных материалов для практического применения необходимо учитывать необыкновенно низкие температуры, при которых может развиваться взрывная кристаллизация. Актуальность моделирования процесса взрывной кристаллизации обусловлена необходимостью осознать это явление в рамках некоторой теоретической концепции, которая дополняла бы имеющиеся количественные исследования. Хотя по этой тематике имеются обширные экспериментальные исследования, выясняющие зависимость параметров взрывной кристаллизации от температуры, толщины и чистоты образца, а также от способов его получения, механизмы, обусловливающие развитие и течение взрывной кристаллизации до сих пор остаются неясными.

Описание взаимодействия атомов внутри молекулы в терминах динамической системы находится в русле общей тенденции последних лет придать более строгий характер таким понятиям как наличие и тип химической связи, что позволило бы в перспективе анализировать химические взаимодействия с помощью качественных и топологических методов. Здесь мы применяем этот подход для решения частной задачи о прояснении нетипичного характера межатомного взаимодействия в ряде неорганических кластеров.

Цели и задачи исследования

Целью работы является

• разработка модифицированного метода анализа фазовых портретов для анализа динамики систем, в которых первичное значение имеет отношение независимых переменных друг к другу и скорость изменения этой величины во времени;

• применение метода к ряду реальных триггерных систем в области попу-ляционной биологии, физики и химии.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

• Математически обосновать модификацию метода анализа фазовых портретов;

• Описать возникающие в триггерной системе пороговые эффекты с общих позиций перехода из одного устойчивого равновесия в другое, при котором внешнее воздействие моделируется возмущением системы, а переход системы из одного режима функционирования в другой - пересечением сепаратрисы или бифуркацией системы с ее переходом через негрубое состояние;

• Построить и с помощью предлагаемого метода проанализировать модель взаимодействия опухолевых клеток с организмом, показать ее триггерный характер, выделить основные динамические режимы и проследить связь между ними методами теории бифуркаций, выделить характерные пороговые эффекты в модельной системе и дать их интерн претацию с точки зрения реальных процессов, происходящих при взаимодействии опухолевых клеток и организма.

• Построить и с помощью предлагаемого метода проанализировать динамическую модель процесса взрывной кристаллизации аморфных и на-нокристаллических пленок, учитывающую основные типы выделения и поглощения энергии, вывести возникающие в ней пороговые эффекты и сопоставить их с имеющимися экспериментальными данными.

• Показать, что межатомное взаимодействие описывается в терминах триггерной динамической системы и применить эту модель для разрешения вопроса о природе межатомной связи в рассматриваемых неорганических кластерах.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложена новая модификация метода фазовых портретов.

2. Построена популяционная модель взаимодействия опухолевых клеток с организмом, в которой впервые был учтен феномен локального межклеточного взаимодействия.

3. Выявлен и в рамках модели объяснен ряд пороговых эффектов, связанных с возникновением, ростом и формообразованием солидных опухолей в однородной ткани, началом и характером метастазирования, переходом метастаз через границу между различными тканями.

4. Предложено теоретическое обоснование модельных экспериментов для оценки воздействия экзо- и эндогенных факторов на риск развития онкологического заболевания.

5. Впервые построена энергетическая модель взрывной кристаллизации в тонких пленках, учтено влияние формы и локальной кривизны фронта кристаллизации, предсказывается ряд эффектов, которые должны наблюдаться в пленках различной толщины и геометрии.

6. Прояснена природа нетипичного межатомного взаимодействия в ряде неорганических кластеров.

Теоретическая и практическая ценность результатов

Теоретическая ценность работы заключается в разработке новой модифи кации метода фазовых портретов и его адаптации ^ решению задач управления в триггерных системах. В частности, построена и проанализирована обобщенная модель, позволяющая учесть ряд важных факторов во взаимодействии опухолевых клеток с организмом: феномен локального межклеточного взаимодействия, зависимость скорости деления опухолевых клеток от их локальной концентрации и зависимости этой скорости от кривизны поверхности солидной опухоли. Предлагаемая модель взрывной кристаллизации представляет собой теоретическое обоснование исследуемого явления, показана связь между некоторыми параметрами этого процесса и динамическим соотношением между основными видами поглощения и выделения энергии в процессе взрывной кристаллизации. Динамическая модель межатомного взаимодействия позволила объяснить нетипичный характер межатомного взаимодействия в рассматриваемых структурах как триггерной модели, стремящейся к вырожденному негрубому состоянию при внешнем возмущении.

Практическая ценность предлагаемого метода состоит в его применимости к конкретным задачам управления. В частности, его применение при планировании и интерпретации результатов экспериментов, направленных на тонкую оценку воздействия внешних и внутренних факторов на риск развития онкологических заболеваний, позволило выявить статистически достоверное воздействие некоторых факторов на риск развития опухолевого заболевания, которые не регистрировались применяемыми ранее методами экспериментального исследования.

Предлагаемая энергетическая модель взрывной кристаллизации может быть использована для целенаправленного варьирования соотношений между различными видами поглощения и выделения энергии с целью управления процессом взрывной кристаллизации и создания тонких поликристаллических пленок с требуемыми свойствами.

Методы исследования

Поставленные в работе задачи решались с использованием методов качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций. Квантово-химические расчеты выполнялись с помощью программного пакета АЛ)Р2005, анализ электронной плотности в критических точках проводился с помощью программы Хат, основанной на топологической теории «Атомы в молекулах» Р. Бейдера.

Достоверность научных положений

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на классических методах качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций и подтверждается сравнением полученных результатов с некоторыми известными, а также рядом проведенных экспериментов, подтверждающих предсказания теории. Достоверность квантово-химических расчетов основывается на применении широко используемого в этой области программного пакета АЭР2005.

На защиту выносятся:

1. Модификация метода анализа и построения фазовых портретов.

2. Построение и результаты исследования популяционной модели взаимодействия опухолевых клеток с организмом:

• анализ пороговых эффектов, связанных с возникновением, ростом и метастазированием солидных форм опухоли в однородной ткани;

• анализ эффектов, возникающих при достижении опухолью границы раздела между двумя разными тканями;

• результаты качественного анализа оценки воздействия внешних и внутренних факторов на риск развития онкологического заболевания.

3. Построение и анализ модели взрывной кристаллизации тонких пленок:

• Описание процесса взрывной кристаллизации как частного проявления механизма цепной реакции, управляемого соотношением между несколькими основными видами поглощения и выделения энергии;

• Анализ эффекта зависимости скорости движения фронта кристаллизации от его локальной кривизны;

• Результаты исследования пороговых эффектов, определяющих начало и завершение процесса взрывной кристаллизации и характерные точки формообразования фронта кристаллизации.

4. Результаты анализа модели межатомного взаимодействия.

• Объяснение нетипичного характера межатомного взаимодействия в рассматриваемых структурах как триггерной модели, стремящейся к вырожденному состоянию при внешнем возмущении.

Апробация результатов

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и симпозиумах:

1. Научная конференция, посвященная 75-летию М.А. Кривоглаза «Теория неидеальных кристаллов», 16-18 июня 2004, Институт металлофизики им. Г.В. Курдюмова, Киев.

2. 8th World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics, July 18-21, 2004, Orlando, Florida, USA, SCI 2004/ ISAS 2004.

3. 2 Международный Евро-Азиатский симпозиум по магнетизму «Euro-Asian Symposium Trends in Magnetism» (EASTMAG-2004), Институт физики им. JI.B. Киренского СО РАН, 24-27 августа, 2004.

4. XIII Международный симпозиум «Сложные системы в экстремальных условиях», Красноярск, 4-10 сентября, 2006.

5. The 6th European Conference on Ecological Modelling ECEM '07, Trieste, November 27-30, 2007.

6. VII международная конференция «Идентификация систем и задачи управления», Москва 28-31 января 2008, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

7. Семинар по теоретической биофизике под руководством к.ф.-м.н. С.И.

Барцева, Институт биофизики СО РАН, 6 июня 2008 г.

Публикации

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 13 работах, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 - в рецензируемых изданиях, 1 препринт, 6 - в материалах и трудах конференций, 1 - в электронном архиве Cornell University.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа без библиографического списка содержит 86 страниц машинописного текста и библиографический список из 77 наименований. Работа содержит 4 таблицы, 25 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Слепков, Владимир Анатольевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена и математически обоснована модификация метода анализа фазовых портретов динамических систем, предназначенная для исследования зависимости между величиной отношения друг к другу независимых переменных и скоростью изменения этой величины во времени.

2. Построена и с помощью предложенного метода проанализирована попу-ляционная модель взаимодействия опухолевых клеток с организмом:

• указаны способы варьирования параметров системы и воздействия на положение изображающей точки для управления динамикой опухолевого роста в припороговых состояниях системы;

• описан ряд пороговых эффектов, связанных с ростом, образованием сложных форм и метастазированием солидной опухоли в однородной ткани;

• обнаружены пороговые эффекты, возникающие при переходе опухоли через границу между тканями;

• предложена принципиальная схема модельных экспериментов для оценки воздействия эндо- и экзогенных факторов на риск развития опухолевого заболевания в припороговых состояниях организма.

3. Развита и с помощью предлагаемого метода проанализирована модель взрывной кристаллизации тонких метастабильных пленок:

• обнаружена зависимость скорости движения фронта кристаллизации от его локальной кривизны;

• обнаружены пороговые эффекты, связанные с началом и завершением процесса взрывной кристаллизации;

• выявлены характерные сценарии формообразования фронта кристаллизации.

4. С помощью метода фазовых портретов проанализирована природа специфических межатомных взаимодействий в кластерах [МозХ7У7] * (X = Б, Бе, Те; У = С1, Вг, I). обнаружено, что исследуемые взаимодействия относятся ковалентному типу; установлено, что специфический характер взаимодействий вызван возмущением системы [Мо3Х7У]3+ под действием дополнительных галогенов показано, что динамическая система, соответствующая структуре о

Мо3Х7У7] , может быть описана как приближенное к негрубому состоянию возмущение системы [Мо3Х7У]3+.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Слепков, Владимир Анатольевич, 2008 год

1. Ицхоки Я. С., Овчинников Н. И., Импульсные и цифровые устройства, М., 1972.

2. А.Б. Рубин, Н.Ф. Пытьева, Г.Ю. Ризниченко. Кинетика биологических процессов. Издательство Московского университета, 1987. 300 с.

3. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва-Ижевск, РХД, 2002, 232 с.

4. Кузнецов В.А. Динамика иммунных процессов при опухолевом росте. М.: Наука, 1992. 336 с.

5. Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1979.

6. Андронов А.А, Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

7. Н.Н. Баутин, Е.А.Леонтович. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

8. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 304 с.

9. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР.- 1937.-ТП4, № 5.

10. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Москва: ВИНИТИ, том 5, 1986. С. 218.

11. И. В. И. Арнольд. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. С. 128.

12. А.С. Исаев, Р.Г. Хлебопрос, Л.В. Недорезов и др. Популяционная динамика лесных насекомых. М.: Наука, 2001, 374 с.

13. Orme М., Chaplain М., A mathematical Model of vascular tumour growth and invasion//Mathl. Comput. Modelling. 1996. Vol. 23. № 10. P. 43-60.

14. Kendal W., The role of multiple somatic point mutations in metastatic progression//Math. Biosci. 1992. № 108. P. 81-88.

15. Chaplain M., Avascular growth, angiogenesis and vascular growth in solid tumours: The mathematical modelling of the stages of tumour development// Mathl. Comput. Modelling. 1996. Vol. 23. № 6. P. 47-87.

16. Bellomo N., Forni G., Dynamics of tumor interaction with the host immune system//Mathl. Comput. Modelling. 1994. Vol. 20. № 1. P. 107-122.V

17. Bajzer Z., Marusic M., Vuk-Pavlovic S., Conceptual frameworks for mathematical modelling of tumor growth dy-namics// Mathl. Comput. Modelling. 1996. Vol. 23. №6. P. 31-46.

18. Кузнецов B.A. Динамика иммунных процессов при опухолевом росте. М.: Наука, 1992. 336 с.

19. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1985. 239 с.

20. А.Д. Базыкин. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 181 с.

21. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985.-470 с.

22. Abercombie М. Contact inhibition and malignancy // Nature. 1979. No 281. P. 259-262.

23. Gleiberman A.S., Kudrjavtseva E.I., Sharovskaya Yu.Yu., Abelev G.I. Synthesis of alpha-fetoprotein in hepatocytes is co-ordinately regulated with cellcell and cell-matrix interactions // Mol. Biol. Med. 1989. No 6. P. 95-107.

24. Jongen W., Fitzgerald D., Asamoto M. Regulation of connexin 43-mediated gap junctional intercellular communica-tion by Ca2+ in mouse epidermal cells is controlled by E-cadherin // J. Cell Biol. 1991. Vol. 114, No 3. P. 545555.

25. Шаровская Ю.Ю, Гайнуллина C.M, Якушева А.А, Кордюкова JI.B, Александров В.Б, Чайлахян Л.М. Органная культура аденокарциномы толстого кишечника че-ловека как модель для изучения локальных межклеточных взаимодействий. ДАН. 2001. Т. 377, № 5, С. 709-714.

26. Шаровская Ю.Ю, Чайлахян J1.M. Локальное взаимодействие клеток и контроль клеточного роста // ДАН. 1999. Т. 366. № 1. С. 128-132.

27. Ярилин А.А. Основы иммунологии. М.: Медицина, 1999. - 608 с.

28. Пол У., Сильверстайн А., Купер М. и др. Иммунология. В 3-х томах. Т.З. М.: Мир, 1987-1988, 476 стр.

29. Bru A; Albertos S., Subiza J.L., Garcia-Asenjo J.L., Bru I. The Universal Dynamics of Tumor Growth // Biophysical Journal. 2003. - № 85. - P. 2948-2961.

30. Nikos V. Mantzaris, Steve Webb, Hans G. Othmer.// J. Math. Biol. 2004. Vol. 49, №2. P. 111-187

31. Thompson H., Zhu Z., Jiang W. Dietary Energy Restriction in Breast Cancer Prevention // Journal of Mammary Gland Biology and Neoplasia. 2003. — Vol 8, № l.-P. 133-142.

32. New Fat-Cancer Study Underscores an Important Evolution (Not a Revolution) in Scientific Thinking // http://www.aicr.org/site/PageServer.

33. Gorman C. How to starve a tumor // Time. 1995. - Vol. 145, № 1. - P. 60.

34. Неговорова B.A. Влияние кормового режима на рост опухолей у экспериментальных животных // Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых физиков НКСФ-XXXV (2006). Красноярск: РИО КрасГУ, 2006. 76 с.

35. Е.В. Инжеваткин, В.А. Неговорова, А.А. Савченко, В.А. Слепков, Е.В. Слепов, В.Г. Суховольский, Р.Г. Хлебопрос. Использование пороговыхэффектов в управлении популяционной динамикой раковых клеток в организме// Проблемы управления, № 5, стр. 73-81, 2008.

36. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980.

37. Кестер У., Герольд У. Металлические стекла. М.: Мир, 1983.

38. Векшинский С.А. Новый метод металлографического исследования сплавов. -М.; Л.: ОГИЗ, 1944. С. 124.

39. Палатник Л.С., Косевич В.М.// Кристаллография. 1958. Т. 3. С. 709.

40. Скрипов В. П., Ковердуа В. П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей. М.: Наука, 1984.

41. Жарков С.М., Квеглис Л.И. // ФТТ. 2004. Т. 46, вып. 5. С. 938.

42. Шкловский В.А., Кузьменко В.М. // УФН. 1989. Т. 157. С. 311.

43. Палатник Л.С., Фукс М.Я., Косевич В.М. Механизм образования и субструктура конденсированных пленок. М.: Наука, 1972. - С. 21.

44. Шкловский В.А.// Аморфные металлические материалы. М.: Наука, 1984.-С. 82.

45. Шкловский В .А., Друинский Е.И. // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 240.

46. Коропов А. В., Шкловский В.А. // Поверхность. 1986. № 7. С. 87.

47. Коропов А. В., Шкловский В.А. // Хим. Физика. 1988. Т. 7. С. 391.

48. Р.Бёйдер. Атомы в молекулах. Квантовая теория. М.: Мир, 2001, 532 с.

49. Collard К., Hall G.G. Int. J. Quantum Chem., 12, 623 (1977).

50. Smith V.H., Price P. F., Absar I. Israel J. Chem., 16, 187 (1977).

51. Bader R.F.W., Beddall P.M. J. Chem. Phys., 56, 3320 (1972)

52. Bader R.F.W., Anderson S.G., Duke AJ. J.Am.chem. Soc., 101, 1389 (1979)

53. Bader R.F.W., Nguyen-Dang T.T., Tal Y. J. Chem. Phys., 70, 4316 (1979)

54. Bader R.F.W., Nguyen-Dang T.T., Tal Y. Rep. Prog. Phys., 44, 893 (1981)

55. A.B. Вировец*, А.Л. Гущин, П.А. Абрамов, Н.И. Алферова, М.Н. Соколов, В.П. Федин. Треугольные теллуридные комплексы, содержащие кластерный фрагмент M3(m3-Te)(m2-Te2)3.4+ (М = Mo, W): исследование спе-цифических невалентных взаимодействий

56. Smith D.M., Ibers J.A. // Coord. Chem. Rev. 2000. - 200—202. - P. 187 -205.

57. Guo G.-C., Мак T.C.W. // J. Chem. Soc., Dalton Trans. 1997. - P. 709 -713.

58. Müller A., Wittneben V., Krickemeyer E. et al. // Z. Anorg. Allg. Chem. -1991.-605.-S. 175- 188.

59. Ying Wang, Jie-Sheng Chen, Hong-Ming Yuan et al.// Chin. J. Chem. -2001.-19.-P. 681 -685.

60. Stevens R.A., Raymond C.C., Dorhout P.K. // Angew. Chem. Int. Ed. 1995. — 34. — P. 2509-2511.

61. Вировец A.B., Подберезская H.B: // Журн. структур, химии. 1993. - 34, № 2.— С. 150— 167.

62. Mayor-Lopez М., Weber М., Hegetschweiler К. et al. // Inorg. Chem. 1998. -37. — P. 2633-2644.

63. P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136, 1964.

64. S.G. Kozlova, S.P Gabuda, V.E. Fedorov. Halogen-chalcogen interactions in Mo3X7Y7.3- Clusters (X = S, Se, Те; Y = CI, Br, I). Journal of Molecular Structure: THEOCHEM, 849, pp. 112-115, 2008.

65. G. te Velde, F.M. Bickelhaupt, S.J.A. van Gisbergen, C. Fonseca Guerra, E.J. Baerends, J.G. Snijders, T. Ziegler, Chemistry with ADF, J. Comput. Chem. 22, 931-967 (2001)

66. С Fonseca Guerra, J G Snijders, G te Velde, and E J Baerends, Theor. Chem. Acc. 99, 391 (1998)

67. Versluis, L. and Т. Ziegler, The determination of Molecular Structure by Density Functional Theory. Journal of Chemical Physics, 1988. 322: p. 88.

68. Versluis, L., The deteimination of molecular structures by the HFS method. 1989, University of Calgary.

69. Becke A.D. //Phys. Rev. A. 1988. 38. P. 3098.

70. Perdew, J.P., Density-functional approximation for the correlation energy of the inhomogeneous electron gas. Physi-cal Review B, 1986. 33(12): p. 8822.

71. F. Wells, Structural Inorganic Chemistry, Oxford University Près, USA, 1984.

72. M.J. Mayor-Lopez, J. Weber, K. Hegetschweiler, M.D. Meienberger, F. Joho, S. Leoni, R. Nesper, G.J. Reiss, W. Frank, B.A. Kolesov, V.P. Fedin and V.E. Fedorov, Inorg. Chem., 1998, 37, 2633-2644.