Математическое моделирование поверхностной диффузии с фронтальной химической реакцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зверев, Владимир Сергеевич

• Зверев, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зверев, Владимир Сергеевич

2.4. Итоги главы 2

Глава 3. Численное решение модели поверхностной реакционной диффузии

3.1. Численное решение системы параболических уравнений

(МйЬание метода

3\.к£лиз результатов

3.2. Численное решение «упрощенной» модели

питЬегНпе 3.2.1.Описание и анализ сходимости

3.3. Сравнение результатов

3.4. Итоги главы 3

Глава 4. Модифицированные модели

4.1. Влияние фактора геометрии

г

£Йд}иальная геометрия

41£>.ф,ольная геометрия

СфзЬнение радиальной и продольной геометрии ПРД

4.2. Влияние фактора возгонки диффузанта

4.2.1. Анализ результатов

4.3. Влияние фактора обратимости химической реакции

4.4. Анализ результатов. Обобщенная модель

4.5. Итоги главы 4

Глава 5. Программный комплекс по исследованию поверхностной диффузии

5.1. Интерфейс пользователя и функциональные возможности

5.2. Логическая структура комплекса

5.3. Итоги главы 5

Заключение

Литература

ъ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование поверхностной диффузии с фронтальной химической реакцией»

Введение

Развитие технологии неразрывно связано с новыми материалами, а их получение, в свою очередь, - с процессами массопереноса, в том числе и с диффузией.

Традиционно под диффузией в общем случае понимают перемещение мельчайших частиц вещества (атомов, молекул или коллоидных частиц), находящегося в любом агрегатном состоянии, относительно своих ближайших соседей на расстояния, которые значительно превышают межатомные. В большинстве практически важных случаев диффузия сопровождается формированием направленных потоков вещества, вызванных действием градиентов термодинамических потенциалов, таких как температура, давление, химический потенциал [7,9,66].

Систематическое исследование процессов диффузии имеет давнюю предысторию. По всей видимости, оно началось с экспериментов шотландского химика Томаса Грехема (Thomas Graham, 1805 - 1869), который изучал перенос вещества в газах и распространение солей в жидкостях [80]. Впоследствии эти исследования стали стимулом к созданию математического описания явления диффузии. А. Фик (Adolf Fick, 1829-1901), обратив внимание на определенное сходство процессов диффузии и теплопроводности, предложил феноменологическую модель, которая в современных обозначениях может быть выражена следующим образом:

' -

то есть поток вещества j прямопропоционален градиенту концентрации С. Соотношение (1) теперь называют первым законом Фика.

Затем в течение длительного времени основные достижения относились только к описанию диффузионных процессов в жидкостях и газах. Массо-перенос в твердых телах изучается чуть больше века. Связано это с тем

фактом, что практически на всем протяжении XIX столетия была широко распространена и принята научным сообществом теория, согласно которой диффузия может наблюдаться только в газах и жидкостях. Подобное преставление было отвергнуто после появления ряда экспериментальных фактов. Первым таким аргументом, на который обратили внимание, стало наблюдение английского металлурга Робетса Остина (Roberts-Austen, 1843 - 1902), который в 1896 году заметил, что при нагревании прижатых брусков золота и свинца через некоторое время (порядка двух недель при 200 °С) составляющие их атомы проникают друг в друга с образованием твердого раствора. Затем последовали и другие факты, доказывающие, что массоперенос в твердых телах является вполне реальным явлением [9], [7]. В последующие десятилетия исследовались различные аспекты явления диффузии, и интерес к ним сохраняется до сих пор: с середины 90-х годов XX века ежегодно публикуется более 10 000 статей так или иначе связанных с транспортными процессами в различных средах. В последующие годы их число росло в среднем на 9%, и в 2003 году количество публикации достигло 20 000. Отметка в 30 000 работ была преодолена уже в 2010 году1.

Не малая доля исследований посвящена изучению транспортных процессов сопровождающихся химическим взаимодействием компонентов. Большинство реакции относятся к числу сложных, то есть расходование исходных веществ и образование продуктов реакции происходят в несколько элементарных стадий, протекающих одновременно или последовательно. Некоторые из них могут включать в себя транспортировку реагирующих частиц друг к другу. Скорость таких процессов определяется наиболее медленной стадией, и такую стадию называют лимитирующей. В отличие от газов и жидкостей в твердых телах основным механизмом теплового движения частиц являются малые колебания около положения равнове-

1 Здесь и далее в работе использована статистическая информация, предоставляемая сервисами books.google.com. sciencedirect.com, scopus.com. Дата обращения: апрель 2012.

сия, которые не приводят к перемешиванию, а значит диффузия в твердых телах - априорно медленный процесс [7]. Скорость сложных процессов определяется наиболее медленной стадией, поэтому диффузия в твердых телах контролирует скорость большого числа процессов, в том числе технологических. Вполне возможно сказать, что диффузия в твердых телах -фундаментальный процесс в современном материаловедении [80].

Потребность в понимании, усовершенствовании и углублении представлений о кинетике диффузионно-контролируемых процессов диктуется необходимостью повышения эффективности различного рода технологий, у которых кинетика хотя бы одной стадии определяется транспортом реагентов [49]. К ним, безусловно, относится такое развивающееся направление как синтез новых твердофазных материалов с заданным набором целевых характеристик, включая керамику, монокристаллы, а также плёнки. Этот тип материалов фактически является основой радиотехники, оптики, СВЧ-устройств, лазерной техники и других видов современной электронной технологии [50], [61], [10].

Существует довольно большое количество монографии и обзоров, по-свящённых плёночным материалам: около 9 500 было издано в предыдущие 20 лет, из них 60% в период с 2001 по 2011 год. Таким образом, появившись несколько десятилетий назад, они сегодня применяются для решения широкого круга инженерных задач. Плёночные технологии легли в основу создания элементов интегральной оптики. Они находят широкое применение в микроэлектронике, например при создании гигаболыпих интегральных микросхем, при создании защитных диэлектрических сло-ёв. В строительной индустрии тонкоплёночные покрытия используются в качестве светоперераспределяющих фильтров, задерживающих жёсткую часть спектра ультрафиолетового излучения. Тонкоплёночные материалы используются в полупроводниковых устройствах, в интегральных схемах, в солнечных батареях, жидкокристаллических дисплеях, магнитооптиче-

ской памяти, в аудио и видео системах, в различных электрооптических покрытиях, в компьютерных чипах, в литографии, в микроэлектромеханических системах, в многослойных конденсаторах, в стёклах с изменяющимися свойствами, называемых иногда смартстеклами, при производстве светодиодов, при изготовлении компакт дисков. Искусственные плёночные покрытия формируются на различных материалах с целью предотвращения коррозии, улучшения внешнего вида и много другого [78].

В связи с востребованностью плёнок, существует большое количество способы их получения. Методы можно подразделять на так называемые физические, химические и промежуточные физико-химические методы [83]. Достаточно полный обзор технологий получения тонких покрытий можно найти в [77].

Примером физико-химического метода служит подход, который основан на самопроизвольном распространении одного твердого вещества по поверхности другого посредством поверхностной диффузии, которое сопровождается при этом химическим взаимодействием. В ходе экспериментального исследования такой методики было обнаружено несколько явлений [44-46,54,59,60,82,88,89] . Так например, продукт реакции формировался не только в месте прямого контакта, но и за его пределами, то есть на открытой боковой поверхности одного из веществ.

Процесс быстрой поверхностной диффузии, сопровождающейся химической взаимодействием, получил название поверхностной реакционной диффузии (ПРД). В работах [44-46,54,59,60,82,88,89] экспериментально изучена зависимость характеристик процесса от температуры, пористости, магнитных полей, а также геометрии расположения твердых реагентов.

В результате всех экспериментов наблюдалась практическая стабилизация длины слоя вступившего в реакцию вещества на поверхности подложки, что является весьма нетипичным поведением для диффузионных процессов.

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей диффузионных процессов с фронтальной химической реакцией с целью проанализировать влияние различных факторов, выявить возможные причины главной особенности поверхностной реакционной диффузии - стабилизации длины поверхностного слоя продукта реакции.

Трудность моделирования данного явления обусловлена тем, что процесс включает различные диффузионные потоки по поверхности и внутри объёма, сопровождаемые массообменом между химическими реагирующими веществами. Движение фронта реакции с течением времени также привносит сложность в математическое описание. Учёт этих факторов приводит к системам нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, связанных друг с другом массообмен-ными слагаемыми. Данный класс уравнений выходит за рамки хорошо исследованных.

Важным аспектом работы является разработка и применение как аналитических, так и численных методов решения систем уравнений в частых производных параболического типа, заданных на областях, меняющихся с течением времени.

Диссертационная работа состоит из пяти глав, заключения и списка литературы. Остановимся подробнее на структуре диссертации.

В первой главе даётся подробное описание процесса поверхностной реакционной диффузии, детально разбираются модели, лежащие в основе математического описания ПРД.

Во второй главе описываются основные принципы построения математических моделей ПРД, применяемые в данной работе. Рассматривается предположение, что основной причиной остановки роста слоя является перераспределение диффузионных потоков. Излагается подход к построению приближенного аналитического решения. Рассматриваемые в данной гла-

ве модели предсказывают лишь квазистабилизацию длины поверхностного слоя продукта реакции.

В третьей главе описываются методы численного решения, которые можно применить для системы параболических уравнений, осложненных наличием подвижных границ. Анализ полученных результатов показал, что численное решение хорошо согласуется с аналитической аппроксимацией.

В предпоследней главе приводятся модели поверхностной реакционной диффузии, в которых учитываются форма образцов, возгонка диффузанта, а также обратимость химического взаимодействия. Для их исследования применялись аналитические и численные методы, разработанные в предыдущих главах. Выяснено, что наиболее существенный вклад в замедление роста длины поверхностного слоя вносит обратимость реакции. Сделан вывод о том, что модель, учитывающая совокупность различных факторов допускает искомое стационарное состояние.

В пятой главе приводится описание программного комплекса, созданного для исследования моделей поверхностной реакционной диффузии, который был использован для получения результатов, представленных в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зверев, Владимир Сергеевич

Заключение

В данной работе рассматривается процесс поверхностно-реакционной диффузии, целью которой было изучение поведения длины поверхностного слоя реагента при больших временах, с помощью математических моделей. Они представляют собой системы уравнений в частных производных параболического типа. Их отличительная особенность: системы определены на меняющихся с течением времени областях.

Впервые были построены математические модели поверхностной-реакционной диффузии, в которых принимается во внимание не только перераспределение потоков вещества диффузанта на поверхности и внутри подложки, но и факторы геометрии, обратимости реакции, возгонки как в отдельности, так и в совокупности.

Развиты подходы к построению приближенных аналитических зависимостей для рассматриваемых в настоящей работе систем уравнений. На основе методов дифференциальных рядов и пограничных функции были найдены соотношения для концентрации диффузанта на поверхности и внутри подложки, фронта химического взаимодействия, а также длины поверхностного слоя для моделей, в которых не учитывается обратимость реакции. Полученные соотношения позволили проанализировать асимптотическое поведение искомых величин.

Были построены численные решения систем уравнений в частных производных, содержащих в себе задачу типа Стефана (то есть с подвижной границей). Протестирована их сходимость. Для метода, основанного на численном решении упрощенной постановке исходной задачи, выявлены условия сходимости применяемых итерационных процедур. Результаты численного решения показали, что профиль распределения концентрации внутри подложки близок к линейному, что свидетельствует о правильности оценок характерных времен, предложенных в работе.

Для реализации развитых в работы численных методов в применении к моделям поверхностной реакционной диффузии и получения решений был создан комплекс программ с графическим интерфейсом пользователя. Теоретической основой комплекса являются численные методы и алгоритмы, разработанные для решения систем параболических уравнений, определенных на области с подвижной границей, закон движения которой также необходимо найти. Комплекс программ позволил объяснить поведение системы в зависимости от интенсивности интересующих факторов: перераспределение диффузионных потоков, сублимации реагента с открытой боковой поверхности подложки, обратимости химического взаимодействия и их комбинаций.

Таким образом, для всех рассматриваемых в настоящей диссертации моделей было найдено пространственно-временное распределение концентрации диффузанта на поверхности и в глубине подложки. Проанализированы свойства получаемых решений. Результаты всех численных методов согласуются друг с другом и с найденными аналитическими зависимостями.

Была учтена цилиндрическая форма образцов реагентов, участвующих в экспериментальном исследовании. Это позволило объяснить наблюдаемое различие в скоростях распространения поверхностного слоя продукта реакции для продольной (латеральной) и радиальной организации эксперимента. Рассмотрено влияние фактора возгонки диффузанта с открытой боковой поверхности в окружающую среду. Анализ математической модели, показал, что в этом случае длина поверхностного слоя продукта реакции должна расти пропорционально 1п(Ь), где I - параметр времени. Выяснено, что при одновременном влиянии процессов перераспределения потоков вещества, возгонки диффузанта и обратимости химического взаимодействия получается самый правдоподобный закон движения реакционно фронта, другими словами, полученные результаты качественно верно передают особенности процесса поверхностной реакционной диффузии, в том числе и фактическую остановку роста поверхностного слоя продукта реакции.

Итогами данной работы являются:

• Развиты математические модели процессов поверхностной диффузии с химической реакцией фронтального типа. В рамках построенных в диссертации описания поверхностной реакционной диффузии была получена возможность остановки роста слоя прореагировавшего вещества, которая зависит от интенсивности процессов оттока с поверхности, возгонки диффузанта и обратимости химического взаимодействия, а также их взаимного влияния.

• Разработаны и протестированы численные методы решения нелинейных системы уравнений в частных производных, граничные условия которых заданы на меняющихся с течением времени областях.

• Создан программный комплекс позволяющий исследовать явление поверхностной реакционной диффузии. Он позволяет сравнивать результаты расчетов для всех описанных в диссертации моделей и анализировать влияние воздействующих на процесс факторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зверев, Владимир Сергеевич, 2012 год

Литература

1. Васильев Ф. П., Успенский А. Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1963. — Т. 3, № 5. - С. 874-886.

2. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений: Науч.-теор. пособие. — М.: Высш. шк., 1990.— С. 208.

3. Гегузин Я. Е. Диффузия по реальной кристаллической поверхности. — В кн.: Поверхностная диффузия и растекание. Под ред. Гегузина Я.Е., М.: Наука, 1969.

4. Гегузин Я. Е. Диффузионная зона / Под ред. 340.— М.: «Наука», 1979.

5. Бадриев И. Б., Ляшко А. Д., Панкратова О. В. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Матем. — 1998. — Т. 11. — С. 8-13.

6. Бадриев И. Б., Ляшко А. Д., Панкратова О. В. Исследование сходимости нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Матем,— 1998. — № 11,- С. 8-13.

7. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах,— М.: Металлургия, 1978. — С. 248.

8. Бокштейн B.C., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. — М.: Металлургия, 1986. — С. 224.

9. Бокштейн B.C., Ярославцев А.Б. Диффузия атомов и ионов в твердых телах. - М.: МИСИС, 2005. - С. 362.

10. Борисов С. Ф. Межфазная граница газ-твердое тело: структура, модели, методы исследования. — Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2005. — С. 154.

11. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел J1. Методы граничных элементов: Пер. с англ. - М.:Мир, 1987. - С. 524.

12. Будак Б. М., Успенский А. Б. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1969. - Т. 9, № 6. - С. 1299-1315.

13. Ильин А. М. Пограничный слой // Дифференциальные уравнения с частными производными - 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 34, ВИНИТИ, М. - 1988. - С. 175-213.

14. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М: Наука, 1989.

15. Зверев B.C. Поверхностная реакционная диффузия возгоняющихся веществ // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613680 от 19.04.2012. - № 1.

16. Зверев B.C. Математическое моделирование поверхностной диффузии с фронтальной химической реакцией при разных геометриях расположения реагентов // Вестник Башкирского университета. — 2008. — Т. 13, № 3(1).- С. 830-835.

17. Зверев B.C. Математическое моделирование поверхностной диффузии с фронтальной химической реакцией при разных геометриях расположения реагентов // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математической и квантовой химии, Уфа: РИЦ БашГУ. — 2008 г. — С. 129-130.

18. Зверев B.C. Исследование модели поверхностной диффузии с фронтальной, объемной химической реакцией // Труды 40-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», г. Екатеринбург, УрО РАН, — 2009 г. — С. 137-141.

19. Зверев B.C. Численное решение модели поверхностной диффузии с фронтальным взаимодействием веществ // Тезисы докладов Всерос-

сийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», г. Пермь. — 2009 г. — С. 44.

20. Зверев B.C. Моделирование поверхностной реакционной диффузии и численное решение // Математической моделирование. — 2010. — Т. 22, № 7. - С. 82-92.

21. Зверев B.C. Моделирование поверхностной реакционной диффузии для продольной геометрии и конечно-разностное решение // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара. - 2010 г. - С. 96-99.

22. Зверев B.C. Анализ модели поверхностной диффузии с фронтальным взаимодействием веществ // Современные проблемы математики: Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, Екатеринбург: УрО РАН. - 2011 г. - С. 83-86.

23. Зверев B.C. Аналитико-численное решение системы параболических уравнений с подвижной границей // Материалы XIX международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики и механики», 12-16 сентября 2011г., Украина, Севастополь: СевНТУ.— 2011 г. — С. 113-116.

24. Зверев B.C., Иванов А.О. Моделирование и численное решение поверхностной диффузии с фронтальной взаимодействии веществ при условии испарения // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», г. Пермь, - 2010 г. — С. 28.

25. Зверев B.C., Иванов А.О. Численное решение модели поверхностной реакционной диффузии методом конечных разностей // «Проблемы теоретической и прикладной математики» Тезисы докладов 41-й Всероссийской молодежной конференции, г. Екатеринбург: УрО РАН. — 2010 г. - С. 255-260.

26. Зверев B.C., Иванов А.О. Численное исследование модели поверхностной реакционной диффузии при учете обратимости химического взаимодействия // Современные проблемы математики: Тезисы международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, г. Екатеринбург: УрО РАН. - 2012 г. - С. 357-360.

27. Зубарев А.Ю., Иванов А.О. Фрактальная структура коллоидного агрегата // Доклады академии наук. — 2002. — Т. 383, № 4. — С. 1-6.

28. Калиткин H.H. Численные методы. — М.: Наука, 1978.— С. 512.

29. Каменомостская С. JI. О задаче Стефана // Матем. сб. — 1961.— Т. 53(95), № 4.- С. 489-514.

30. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высш. шк, 2001. — С. 550.

31. Карташов Э.М., Кротов Г.С. Аналитическое решение однофазной задачи Стефана // Математическое моделирование. — 2008. — Т. 20, № 3. - С. 77-86.

32. Карташов Э.М., Любов Б. Я. Аналитические методы решения краевых задач уравнений теплопроводности в области с движущимися границами // Известия АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». — 1974. — № 6.- С. 83-111.

33. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — С. 1967.

34. Лапин А. Д. О корректности нелинейной двухслойной разностной схемы с весами //О корректности нелинейной двухслойной разностной схемы с весами. — 1973. — Т. 1. - С. 82-89.

35. Лапин А. В., Ляшко А. Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Матем. - 1973. - Т. 1. - С. 71-77.

36. Левенских A.B. Численное решение массообменной системы дифференциальных уравнений // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тр. 37-ой регион, молод, шк.-конф. Екатеринбург. — 2006. — С. 259-263.

37. Левенских A.B., Иванов А.О. Математическое моделирование поверхностной реакционной диффузии. Численное решение // Математическое моделирование в естественных науках: Тез. док. 14-ой Всерос. шк.-конф. мол. уч. Пермь: ПермГТУ. — 2005. — С. 43.

38. Любов Б. Я. Теория кристаллизации в больших объемах. — М.: Наука, 1975.- С. 256.

39. Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных параболических уравнений // Исслед. по прикл. матем., Изд-во Казанского ун-та, Казань. - 1973. - Т. 1. - С. 64-70.

40. Ляшко А. Д., Карчевский М. М. Исследование одного класса нелинейных разностных схем // Изв. вузов. Матем. — 1970. — № 7. — С. 63-71.

41. Меламед В. Г. Решение задачи Стефана в случае второй краевой задачи // Вести. МГУ. Сер. матем, - 1959.- № 1,- С. 17-22.

42. Мишин Ю.М., Разумовский И.М. О возможности определения ширины границы раздела и коэффициента граничной диффузии в рамках модели Фишера // ФММ. - 1982. - Т. 53, № вып 4. - С. 756-763.

43. Мишин Ю.М., Разумовский И.М. Математические модели и методы определения диффузионных параметров индивидуальных границ. В кн. Структура и свойства внутренних поверхностей раздела в металлах. - М.: Наука, 1988. - С. 96.

44. Нейман А. Я. Электроповерхностные явления в твердофазных системах // Журнал физической химии. — 2001. — Т. 75, № 12. — С. 2119.

45. Нейман А. Я., Гусева А. Ф. Новые данные о механизме массопереноса пр твердофазных реакциях. II Поверхностные и электроповерхностные явления // Кинетика и катали. — 1999. — Т. 40, № 1. — С. 38-49.

46. Нейман А. Я, Дириле О., Утюмов В.Ю. Твердофазное распространение и кристаллизация : структура и морфология пленок на монокристаллических подложках стабилизированного // Неорганические материалы. - 2000. - Т. 36, № 1. - С. 39-44.

47. Нелинейная динамика каталитических реакции и процессов / М. Г. Слинько, Т.Н. Зеленяк, Т. А. Акрамов и др. // Математическое моделирование. - 1997. - Т. 9, № 12. - С. 87-109.

48. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч I. — М: Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1987. — С. 464.

49. Овчинников A.A., Тимашев С.Ф., Белый A.A. Кинетика диффузионно-контролируемых химических процессов. — М: Химия, 1986. — С. 288.

50. Остроушко A.A. Физико-химические основы получения сложных оксидов из полимерно-солевых композиций.: Автореферат дисс. ... докт. хим. наук. : Дисс... кандидата наук / A.A. Остроушко. — М.,1996. -44 с.

51. Пермикин Д.В., Иванов А.О. Математическое моделирование поверхностной реакционной диффузии. Постановка задачи // Математическое моделирование в естественных науках: Тез. док. 14-ой Всерос. шк.-конф. мол. уч. Пермь: ПермГТУ. — 2005.— С. 57.

52. Пермикин Д.В, Зверев B.C. Поверхностная реакционная диффузия с испарением // Материалы XIX международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики и механики», 12-16 сентября 2011 г., Украина, Севастополь: СевНТУ. — 2011 г. — С. 109— ИЗ.

53. Пермикин Д.В, Зверев B.C. Поверхностная реакционная диффузия возгоняющихся веществ // Журнал «Вычислительная механика сплошных сред». - 2012. — Т. 5, № 1. — С. 100-107.

54. Поверхностная реакционная диффузия при синтезе молибдатов и вольфраматов: роль фазового состава продуктов / А. Я. Нейман,

А.Ф. Гусева, М. Ф. Трифонова, И.В. Суханкина // Журнал неорганической химии. - 2005. - Т. 50, № 3. - С. 1-6.

55. Попов Ю. П., Самарская Е. А. О сходимости итерационного метода Ньютона для решения // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1977. - Т. 17, № 1. - С. 276-280.

56. Рубинштейн Л. И. К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи Стефана // Изв. вузов. Матем. — 1958. — № 4,-С. 202-214.

57. Самарский А.А, Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.:Едиториал УРСС, 2003. - С. 784.

58. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: главная редакция физико-математической литературы из-ва «Наука», 1977. — С. 657.

59. Твердофазное растекание и кристаллизация высокотемпературных оксидов: 1. Система 1П2О3/А12О3 / А. Я. Нейман, М. В. Шиятова, С.Г. Карпова, Ю.П Костиков // Поверхность. - 1996. - № 11. - С. 20.

60. Твердофазное растекание и кристаллизация высокотемпературных оксидов. Системы М20з/А120з, М20з/гг02(У20з); (М = 1п,Са,Сг) / А. Я. Нейман, В. Ю. Утюмов, С. Г. Карпова и др. // Поверхность.— 2000. — № 3.- С. 52-61.

61. Третьяков Ю.Д., Лепис У. Химия и технология твердофазных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - С. 256.

62. Федотов Е. М. Об одном классе двуслойных нелинейных операторно-разностных схем с весами // Изв. вузов. Матем,— 1995.— № 4.— С. 96-103.

63. Федотов В. П., Спевак Л. Ф. Решение связных диффузионно-деформационных задач на основе алгоритмов параллельного действия. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 171.

et al. // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 54. — Vol. 2011.

76. Fisher J.C. Calculation of diffusion penetration curves for surface and grain boundary diffusion // Journal of Applied Physics. — 1951. — Vol. 22, no. 1.- P. 74-77.

77. Handbook of Thin-Film Deposition Processes and Techniques / Ed. by Krishna Seshan. — Second edition edition. — Noyes Publications, 2002. — Vol. 1.- P. 629.

78. Handbook of Thin Films, Five-Volume Set / Ed. by Hari Singh Halwa. — Academic Press, USA, 2002. - Vol. 1. - P. 634.

79. Heitjans Paul, Karger Jorg. Diffusion in condensed matter: methods, materials, models. — Springer, 2nd edition, 2005. — Vol. 1044.

80. Helmut Mehrer. Pioneers and Landmarks of Diffusion // Defect and Diffusion Forum. - 2006. - Vol. 258-260. - P. 1-14.

81. Holmesa Anthony D., Yangb Hongtao, Zhangc Shuhua. A front-fixing finite element method for the valuation of American options with regime switching // International Journal of Computer Mathematics. — 2012. — Vol. 89, Issue 9. - P. 1094-1111.

82. The interface transport of V2O5 and WO3 into CaMo(W)04 simulated by an electric field / A. Guseva, A. Neyman, M. Trifonova et al. // Surface Science. - 2002. - Vol. 507-510. - P. 140-145.

83. Langhoff T.A., Schnack E. Modelling chemical vapour infiltration of pyrolytic carbon as moving boundary problem // Chemical Engineering Science. - 2008. - Vol. 63. - P. 3948-3959.

84. Mishin Y., Herzig Chr. Grain boundary diffusion: recent progress and future research // Materials Science and Engineering: A. — 1999. — Vol. 260, Issues 1-2,.- P. 55-71.

85. Muntean Adrian. Well-posedness of a moving-boundary problem with two moving reaction strips // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2009. - Vol. 10.

86. Muntean A., Bohm M. Moving-boundary problem for concrete carbonation: Global existence and uniqueness of weak solutions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2009. — Vol. 350. — P. 234-251.

87. Muntean A., Bohm M., Kropp J. Moving carbonation fronts in concrete: A moving-sharp-interface approach // Chemical Engineering Science. — 2011,-Vol. 66.- P. 538-547.

88. Neiman A.Ya. Cooperative transport in oxides: diffusion and migration processes involving Mo (VI), W (VI), V (V) and Nb (V) // Solid State Ionics. - 1996. - Vol. 83, no. 3-4. - P. 263-273.

89. Neyman A., Guseva A., Trifonova M. Surface reaction diffusion during formation of molybdates and tungstates // Solid State Ionics. — 2001. — Vol. 141-142,- P. 321-329.

90. Nielsen B. F., Skavhaug O., Tveito A. Penalty and front-fixing methods for the numerical solution of American option problems // Journal of Computational Finance. - 2002. - Vol. 5, no. 4. - P. 69-97.

91. Paul Suvadip, B.S. Mazumder. Effects of nonlinear chemical reactions on the transport coefficients associated with steady and oscillatory flows through a tube // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2011,- Vol. 54,- P. 75-85.

92. Permikin D. V., Zverev V. S. Mathematical model of surface reaction diffusion in the presence of front chemical reaction // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2013. - Vol. 57. - P. 215-221.

93. Suzuoka T. Lattice and grain boundary diffusion in polycrystals // Trans. Japan. Inst. Met. - 1961. - Vol. 2. - P. 25-33.

94. Tarzia D. A bibliography on moving free "boundary problems for the heat diusion equation. The Stefan and related problems. A no. 2. — MAT, 2000.

95. Vermolena F.J., Javierre E. On the construction of analytic solutions for a diffusion reaction equation with a discontinuous switch mechanism // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 231,- P. 983-1003.

96. Wipple R. Concentration contours in grain boundary diffusion // Philosophical Magazine Series. - 1954. - Vol. 45. - P. 1225-1236.

97. Y. Mishin. 50 years of grain boundary diffusion. What do we know about it today // Defect and Diffusion Forum. - 2001. - Vol. 194-199. - P. 11131126.

98. Yelfimov Yu.A., Ivanov A.O. A Mathematical Model of Surface-Reaction Diffusion // International Journal of Fluid Mechanics Research. — 1999. — Vol. 26, no. 5. - P. 312-319.

99. Zhoua Junde Wub, Xuemei Weic. Analyticity of solutions to a free boundary problem modeling the growth of multi-layer tumors // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2010. — Vol. 11.