Математическое моделирование процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гинзгеймер, Сергей Александрович

• Гинзгеймер, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гинзгеймер, Сергей Александрович

Введение.

Глава I. Основные уравнения теплопередачи в криволинейных неоднородных слоях и стержнях. Условия сопряжения при контакте стержней и оболочек.

1.1 Основное уравнение теплопередачи в криволинейном слое.

1.2 Основные уравнения теплопередачи в криволинейном стержне при наличии внешней теплоотдачи.

1.3 Системы стержней и оболочек. Условия сопряжения.

1.4. Основные уравнения теплопроводности в системе оболочек, контактирующих по простиранию.

Глава II. Стационарные процессы теплообмена в системе стержней.

2.1 Построение решения основных краевых задач для стержня с внешним теплообменом.

2.2. Процесс теплопередачи в криволинейном замкнутом стержне.

2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников тепла с внешней теплоотдачей.

2.4. Системы стержней и их моделирование геометрическими графами.

Основные краевые задачи.

Глава III. Нестационарные процессы теплопередачи в системах контактирующих стержней.

3.1. Основные краевые задачи для одного стержня без внешнего теплообмена.

3.2 Процесс выравнивания температуры в простейших стержневых системах121 3.3. Задача Коши для произвольной системы стержней.

3.4 Нестационарные процессы теплопередачи в простейших пространственных конструкциях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней»

В практике часто встречаются конструкции, отдельные детали которых состоят из элементов, которые можно достаточно точно считать при изучении теплопередачи стержнями. Это могут быть элементы систем охлаждения, компоненты микроэлектронной техники, проводные системы коммуникаций, антенны, фермы строительных конструкций, просто системы труб, и т.д.

Задачи о распространении тепла в системах контактирующих стержней с внешней теплоотдачей особо остро возникают при эксплуатации систем охлаждения энергетических установок. Инженеров интересует процесс остывания разветвленной системы трубок охлаждения при плановом или экстренном отключении подачи теплоносителя в системы охлаждения при условии, что трубки имеют различную форму, имеют различные оболочки и находятся в различных температурных условиях внешней среды.

Если установки эксплуатируются в сложных климатических условиях, то, например, достижение пороговых низких температур и, как следствие, образование наледи на трубках изменяют параметры теплоотдачи системы и могут служить причинами аварий.

Исходя из этого, необходимо оценивать не только температурные поля стержней и время остывания до некоторой температуры, но и величину и направление тепловых потоков в системе, для определения потенциально слабых мест, которым требуется дополнительное обслуживание при эксплуатации действующих установок или особое внимание конструкторов при проектировании новых.

При моделировании процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней можно выделить три направления исследования. Первое должно обеспечивать построение достаточно полной модели, то есть ее соответствие возможностям протекания физического процесса теплопередачи, а значит учитывать: а) теплопередачу внутри стержня, б) наличие теплопроводящих оболочек, в) теплопередача в окружающую среду, г) наличие источников/стоков тепла внутри стержней и оболочек, д) особенности теплообмена в точках соединения стержней, е) опосредованное взаимодействие находящихся рядом стержней (через окружающую среду), ж) геометрическую и физическую структуру стержней.

Учет всех вышеперечисленных возможностей в практике является очень трудоемким. Экспериментальное исследование сложных систем охлаждения является трудоемким и дорогим. Численное исследование систем стержней осложнено тем, что при изменении параметров любого стержня, изменении конфигурации системы, изменении внешних условий необходимо перестраивать программное обеспечение и делать полный перерасчет, несмотря на то, что элементы конструкций являются типовыми.

Поэтому, на сегодняшний день, требуются такие математические модели, которые были бы достаточно общими по спектру учитываемых физических и геометрических параметров системы, учитывали бы возможность использования типовых элементов и упрощенных алгоритмов изменения конфигурации системы для проведения численных или аналитических исследований.

Второе направление исследований - поиск, разработка и адаптация математического аппарата, позволяющего решать задачи, описываемые полученной моделью.

Третье направление - разработка качественных примеров использования модели для изучения определенных систем стержней при определенных внешних и внутренних условиях. Ценность таких примеров заключается в том, что они позволяют проводить проверку работоспособности других методов расчета тепловых процессов в системах контактирующих стержней, а также проверку качества разрабатываемых численных методов и соответствующего программного обеспечения.

Многие используемые в работе модели рассматривались с некоторыми упрощениями в классической литературе по теплообмену и математической физике ([9],[42],[46],[55],[60],[78]). Однако некоторые особенности моделей являются продолжением исследований процессов переноса в криволинейных слоях, начатых О.В. Голубевой и продолжающихся до сих пор в работах Ю.А. Гладышева [18], В.А. Толпаева и В.И Дедовского [79-80]. В этих работах рассматривается двумерная модель переноса жидкости в фильтрационном слое, ограниченном по одной из координат, аналогичная процессу переноса тепла. При этом Ю.А. Гладышевым1 в монографии [20] был обобщен метод решения параболических уравнений с использованием обобщенных степеней Берса ([92] и др.) применительно к двумерным моделям переноса.

Предложенные ранее модели, как правило, ограничены рассмотрением конкретных систем стержней ([9],[42]) или введением в решаемое уравнение лишь малой части факторов влияющих на процесс теплопередачи в системах стержней, например не рассматривается возможность внешнего теплообмена ([46],[67] и др.).

При физической постановке задачи можно считать, что в начальный и в последующие моменты времени трубки нагреты по сечению одинаково в силу их тонкости и однородности окружающей среды. В связи с этим, можно рассматривать одномерные модели распространения тепла в стержнях, принимая за температуру в точке стержня ее усредненное значение по сечению. Оценка этого подхода дана в предлагаемой работе (см. п. 1.2).

Широкое представление аналитических методов решения уравнений теплопроводности представлено в классических работах Г. Карслоу, Д. Егера, Н.М. Беляева, А.А. Рядно, Лыкова А.В. ([9],[42],[55]). Однако в настоящее время разрабатываются алгебраические методы, позволяющие в ряде случаев проводить безкоординатное решение задач теплопроводности. При построении решений

1 Автор выражает свою глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., доценту Гладышеву Ю.А. за многократные консультации и большую методическую помощь при выполнении и написании данной работы. нестационарного уравнения теплопроводности, определенного на системах стержней в работах Л.А.Коздобы ([46] и др.) предлагается алгебраический метод, основанный на представлении проводников тепла, входящих в систему, в виде сопротивлений и использующий методы аналогичные методам электротехники. В работах Ю.А. Гладышева ([18],[20],[23] и др.) предлагается модель процессов теплопередачи в системах контактирующих оболочек и тел вращения, где тепловые потоки определяются матрицей теплопроводимости системы, описывающей характер входящих в систему и исходящих из нее тепловых потоков. Этот подход и был взят за основу при моделировании тепловых потоков в системах контактирующих стержней в данной работе.

При построении решений нестационарных задач теплопроводности методом Фурье на геометрическом графе, возникает проблема собственных значений. Теоретическим обоснованием решения этой проблемы посвящены работы Ю.В. Покорного и др. ([66], [27-29], [64], [67-69], [85-86], [97-100]). Однако изучение уравнения теплопроводности в этих работах не является приоритетным, поэтому оно исследуется при значительных ограничениях: не рассматривается внешний теплообмен, не рассматриваются оболочки для ребер графа и не рассматриваются задачи с адиабатической изоляцией вершин.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что исследования процессов переноса на графах и связанных с ними математических проблем актуальны и в современной науке им уделяется большое внимание. Предлагаемая работа является продолжением исследований в данном направлении. Приведенные в данной работе модели также не являются полными, однако позволяют учитывать возможности протекания процесса а)-д), ж) (стр. 3-4). Кроме того, предлагается использование терминов и понятий теории графов, позволяющих проводить удобное словесное и графическое описание модели. Поэтому можно сформулировать

Цель работы

Построить математическую модель, позволяющую описывать и определять тепловые потоки и температурные поля стационарных и нестационарных тепловых процессов, происходящих в системах криволинейных неоднородных контактирующих стержней.

Задачи работы:

1. Определить математическую модель, описывающую процессы теплопередачи в криволинейном неоднородном одиночном стержне и системе контактирующих стержней и указать условия применимости этой модели.

2. Адаптировать понятие матрицы теплопроводимости для определения тепловых потоков стационарных и нестационарных процессов теплопередачи в криволинейном неоднородном стержне.

3. Построить решения стационарных и нестационарных уравнений теплопроводности, определенных на простейших планарных и пространственных геометрических графах с краевыми условиями I, II, и III типа методом Фурье с использованием формализма Бельтрами-Берса.

4. Разработать методы построения матрицы теплопроводимости для произвольной системы стержней.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гинзгеймер, Сергей Александрович

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

2-я Российская научно-практическая конференция «Математика в современном мире» - Калуга, 2004 г.

2-я международная конференция «Физика электронных материалов» - Калуга, 2005 г.

Седьмой всероссийский семинар «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики - Москва, ФГУП «Орион», 2005 г.

XIV Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел» - Черноголовка, 2005 г.

Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. - Калуга, 2005 год.

Микроэлектроника и информатика - 2006, 13-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов. - Москва, 2006.

Международная конференция «Современные проблемы математики», -Орел, 2006.

IV Российская национальная конференция по теплообмену - Москва, 2006.

Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», - Тула, 2006 г.

Также результаты докладывались на кафедрах:

Программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики КФ МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Математического анализа механико-математического факультета ТулГУ.

Вычислительной механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации.

Опубликовано 10 статей, из них 2 работы опубликованы в журналах из перечня ВАК.

Заключение

Научная новизна и теоретическое значение работы

1. Получено аналитическое решение задач стационарной и нестационарной теплопроводности для основных систем криволинейных неоднородных стержней при наличии внешней теплоотдачи на основе использования формализма Бельтрами-Берса.

2.Введена матрица теплопроводимости для произвольных систем контактирующих стержней. Тем самым введены алгебраические, в принципе, бескоординатные методы решения задач теплорередачи, удобные для практического использования.

3.Предложены методы для построения матрицы теплопроводимости для произвольных планарных и пространственных систем стержней. Найдены матрицы типовых систем.

Практическая значимость работы

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гинзгеймер, Сергей Александрович, 2006 год

1. Абрамовщ М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.-832 с.

2. Ахиезер Н.И., Глазман КМ. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

3. Басакер Р., Саати Т. Конечные сети и графы. М.: Наука, 1974. - 368 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 624 С.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. М.: Наука,

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2. М.: Наука,

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 3. М.: Наука, 1967.-300 с.

8. Белов В. В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. М.: 1976. -392 с.

9. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М: Высшая школа, 1978. - 328 с.

10. Ю.Борзых А. А., Черепанов Г. П. Плоская задача теории конвективной теплопередачи и массообмена. // Прикл. матем. и механика, 1978, т. 42, №5, с. 848-855.

11. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964. -214 с.

12. Вере JI., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1966.-352 с.

13. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. -512 с.

14. Вольперт А.И. Дифференциальные уравнения на графах // Матем. сборник. 1972. - Т. 88, № 4. - С. 578-588.

15. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. О некоторых нестационарных задачах теплопередачи для системы криволинейных стержней //Математика в современном мире: материалы 2-й Российской научно-практической конференции. Калуга, 2004. - с. 199-211.

16. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. Функция Грина задачи нестационарной теплопроводности для системы N контактирующих стержней // Сборник трудов кафедры общей физики по результатам научно-исследовательской работы за 2003 г. Калуга, 2003. - с. 30-33.

17. Гладышев Ю.А. Краевые задачи теплопроводности в системах тонких стержней и оболочек. 2002 г., М., 3-я нац. конференция по теплообмену, т. 7. стр. 86-89.

18. Гладышев Ю.А. О методе расчёта тепловых потоков в сложных системах. //Тр. Всероссийской научно-технической конфер. прогрессив. технологии. Т 1. 2001 М. С. 128-135.

19. Ю.Гладышев Ю.А. Формализм Бельтрами-Берса и его приложения в математической физике. Калуга, 1997. - 261 с.

20. Гласно В.Б. Обратные задачи математической физики, М: МГУ, 1984.

21. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М: Наука, 1977. - 440 с.

22. Голубева М.С. К вопросу о расчете тепловых потоков в системах контактирующих оболочек. Тр. шк. сем. Физические основы математического моделирования процессов тепломассобмена. С. Петербург. 2001. т.2. стр. 198.

23. Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. М.: Высшая школа, 1974. -328 с.

24. Данфорд Я., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962. - 895 с.

25. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, №6, с. 1393-1400.

26. Завгородний М.Г, Покорный Ю.В. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях //Успехи мат. наук. 1989. Т.44, №4. -С. 220-221.

27. Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графах // Успехи мат.наук. 1991. Т.46 №6. - С. 199-200.

28. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Доклады РАН. 1994. - Т. 335, №3. - С. 281-283.

29. Зайцев В. Ф, Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: Приложения в механике, точные решения. М.: Наука, 1993.-464 с.

30. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Международная программа образования, 1996-512 с.

31. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. - 304 с.

32. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. - 512 с.

33. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Наука, 1995. - 560 с.

34. Исаев С. И., Кожинов И А., Кофанов В. И, Леонтьев А. И и др. Теория тепломассообмена. М.: Высшая школа, 1979. - 495 с.38 .Калафати П. Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 26, № 6. - С. 535-539.

35. Калиткин Н.Н. Численные методы. М: Наука, 1978. - 512 с.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М: Наука, 1976,-576 с.

37. Карелина И Г., Покорный Ю.В. О функции Грина краевой задачи на графе // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 1. - С. 41-47.

38. М.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -488 с.43 .Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.

39. Климов Д. М., Руденко В. М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. - 215 с.45 .Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1958.

40. А6.Л.А. Коздоба Вычислительная теплофизика, Киев: Наукова думка, 1992 г. -224 с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984. - 832 с.

42. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М: Высшая школа, 1970. - 712 с.

43. Кристофидес Н. Теория графов, М.: Мир, 1978, 431 с.

44. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.-736 с.51 .Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.: Гос-техиздат, 1933.

45. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.:Наука, 1984, 843 с.

46. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. -416 с.

47. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

48. Лыков А. В. Теория теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

49. Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.-336 с.

50. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: «Наука». 1977.

51. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса.-М.: Наука, 1987. 352 с.

52. Математическая энциклопедия, М:«Болыпая советская энциклопедия», 1998, 692 с.

53. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1976. - 392 с.

54. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

55. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. - 352 с.

56. Пежин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 4. - С. 701-703.

57. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. -400 с.

58. Покорный Ю.В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах, М: Физматлит, 2004 272с.6^.Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах // Успехи мат. наук.- 1987. Т. 42, №- 4. - С. 128-129.

59. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. Об уравнениях на пространственных сетях // Успехи матем. наук. 1994. - Т. 49, вып. 4. -С. 140.

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.:

61. Наука, 1981.-799 с. 1Ъ.Розенфельд А. С, Яхинсон Б. И. Переходные процессы и обобщенныефункции. М.: Наука, 1966. - 448 с. 1 А.Романовский ИИ. Ряды Фурье. - М: ФИЗМАТГИЗ, 1961. 15.Сакс С. Теория интеграла. - М.: ИЛ, 1949. - 494 с.

62. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1963, т. 3, № 4, с. 702719.

63. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988, 336 с.

64. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-736 с.

65. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Математическое моделирование фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривленных пластах конечной толщины // Обозрение прикладной и промышленной математики.- Т. 12. В. 2. - М. - 2005. С. 524-527.

66. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: «Мир». -1968.83Харари Ф. Теория графов. М., 1973. - 304 с.84Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М., 1977. - 328 с.

67. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.8e.Ali-Mehmeti F. A characterization of a generalized cr -notion on nets // Integral Equations and Operator Theory. 1986. - V. 9, № 6. - P. 753-766.

68. Ali-Mehmeti F., Dekoninck B. Transient vibrations of planar networks of beams: interaction of flexion, transversal and longitudal waves // Lect. Notes Pure Appl. Math. V. 219. Berlin: Springer, 2001. - P. 1-18.

69. Bers L. and Gelbart A. On class of functions defined by partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 56. N1 (1944). P.67-93

70. Burgan J. R-, Munier A., Feix M. R., Fijalkow E. Homology and the nonlinear heat diffusion equation. // SIAM J. Appl. Math., 1984, v. 44, No. 1, p. 11.

71. Munier A., Burgan J. R., Gutierres J., Fijalkow E., Feix M. R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation. // SIAM J. Appl. Math., 1981, v. 40, No. 2, p. 191.

72. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve im-puls transmission // Lect. Notes Math. №1771. Berlin: Springer-Verlag, 1985.-P. 532-541.

73. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1983. - 280 p.

74. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Boca Raton - New York: CRC Press, 1995. - 720 p.

75. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. I: Functional Analysis, Academic Press , 1980, 208 p.

76. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. II: Fourier Analysis, Self Adjointness, Academic Press , 1980, 108 p.

77. Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics.

78. Vol. Ill: Scattering Theory, Academic Press , 1980, 468 p.

79. Reed M. and Simon B. Methods of modem mathematical physics.

80. Vol. IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1980, 404 p.

81. Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. Academic Press: San Diego, 1989. -673 p.