Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зверева, Наталья Анатольевна

• Зверева, Наталья Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зверева, Наталья Анатольевна

введение з

глава 1. анализ возможности применения 9 математического моделирования для исследования внутренней структуры дисперсных систем

глава 2. теоретические основы построения 30 математической модели внутренней структуры дисперсных систем

2. 1. Общая характеристика дисперсных систем

2. 2. Математические основы описания внутренней структуры 32 дисперсных систем

2.3. Построение численной модели внутренней структуры дисперсных систем методом частиц

2. 4. Критерии аппроксимации

глава 3. численное исследование внутренней 46 структуры дисперсных систем

3.1. Численное исследование статистической упаковки равных 46 сферических частиц

3. 2. Численное исследование внутренней структуры порошка в процессе его уплотнения

3.3. Численное исследование внутренней структуры суспензий

3. 4. Численное исследование реологического поведения суспензий

3. 5. Численное исследование внутренней структуры полифракционных дисперсных систем заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц»

Актуальность работы. В настоящее время вычислительные эксперименты находят все более широкое применение в решении прикладных задач в области химии. Это определяется сложностью изучаемых реальных систем, появлением новых классов задач в области химии и материаловедения, совершенствованием математического моделирования, разработкой новых классов моделей, методов и программных средств.

Одной из новых и перспективных областей их применения являются задачи исследования внутренней структуры дисперсных систем. Под дисперсной системой понимают системы, состоящие из множества частиц

А 1 размером м (дисперсной фазы), распределенных в жидкой, твердой, или газообразной среде (дисперсионной среде) [1]. На современном этапе проходит активное внедрение дисперсных систем с жидкой дисперсионной средой и твердой дисперсной фазой в химическую технологию. При создании материалов различных классов (например, лакокрасочных материалов, наполненных полимеров, строительных растворов, твердых ракетных топлив) на стадии их разработки требуется проведение большого объема дорогостоящих лабораторных исследований.

В связи с этим при изучении внутренней структуры дисперсных систем на современном уровне вызывает необходимость применения развитых методов математического моделирования, создания вычислительных моделей с использованием численных методов. Разработка математической модели, позволяющей описать комплексное поведение процесса структурообразования данных систем, и создание на ее основе вычислительной схемы методом частиц с проведением численных экспериментов является актуальной, современной и необходимой задачей. Выбор метода частиц для реализации компьютерной модели обосновывается высокой эффективностью, универсальностью, относительно невысокой стоимостью вычислительных исследований по сравнению с натурными экспериментами и практически неограниченными возможностями диагностики моделируемых явлений. При правильном использовании модели частиц в состоянии продемонстрировать явные преимущества над другими численными методами.

Работа «Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц» выполнялась на кафедре Прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.

Целью работы является разработка теоретических основ для математического моделирования процесса структурообразования дисперсных систем методом частиц, программного обеспечения, численного исследования поведения систем такого вида в зависимости от различных факторов с использованием метода частиц. На защиту выносятся :

1. Математическая модель внутренней структуры дисперсных систем.

2. Методика численного исследования внутренней структуры дисперсных систем методом частиц.

3. Результаты исследования процесса структурообразования дисперсных систем и влияния различных факторов на поведение данных систем с использованием разработанной математической модели.

Достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций диссертации обоснованы: теоретическими предпосылками, базирующимися на фундаментальных законах стационарного движения несжимаемой дисперсионной среды; использованием экспериментальных данных из литературных источников, а также результатов лабораторных исследований, полученных в Институте технической химии УрО РАН лаборатории №7.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Создана математическая модель внутренней структуры дисперсных систем.

2. Впервые использован метод частиц для решения задачи математического моделирования процесса структурообразования систем данного типа.

3. Разработана методшса проведения вычислительного эксперимента по изучению внутренней структуры дисперсных систем.

4. Впервые выполнена оценка влияния расположения элементов дисперсной фазы в дисперсионной среде на различные свойства многофазных материалов.

Практическая ценность:

1. Созданы математическая модель и комплексы программ, позволяющие проводить численные исследования влияния различных факторов, имеющих место в реальных условиях, на структуру и реологическое поведение дисперсных систем.

2. Разработана и апробирована методика по исследованию структурообразования наполненных полимеров, на основе, которой проведены работы:

-по государственному оборонному заказу и заключены контракты на разработку твердых топлив нового поколения по линии секции прикладных проблем Президиума РАН и 13 управления МО РФ совместно с ФГУП «НИИПМ» : тема «Ягодница» (№1372, от 1.04 2004 г.), тема «Гиперзвук» (№ 1501, от 19. 03 2006г.);

- по государственному контракту № ИП-04-05 от 01.09.04 с департаментом промышленности и науки Пермской области «Разработка рецептур огнетушащих порошков, получение разрешительных документов на производство и применение, отработка технологии их производства».

3. Разработанное программное обеспечение используется при проведении научных исследований в Институте технической химии УрО РАН в лаборатории №7 (клеевых композитов) по теме «Теоретические и экспериментальные исследования формирования структуры наполненных полимерных систем», номер государственной регистрации 01. 2.00 100354.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всероссийских и Международных конференциях и конгрессах: 14 Международном конгрессе по химии и технологии (Чехия, Прага, 2000 г.); Всероссийской научно- технической конференции «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2001г.); Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2002.); 8 Международной конференции по химии и физикохимии олигомеров «Олигомеры- 2002» (Москва-Черноголовка, 2002г.); 13 Международном семинаре по численным методам для неньютоновских жидкостей (Швейцария, Лозанна, 2003г.).

Публикации. Результаты исследований автора изложены в 11 работах, опубликованных в центральных (4 работы), международных (4 работы), местных (3 работы) изданиях. В опубликованных работах автор диссертации принимал участие в постанове задачи, обсуждении результатов, проводил основные расчеты и эксперименты.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, список литературы, приложений. Диссертация изложена на 100 страницах, включает 30 рисунков, 1 таблица, 2 приложения, библиографический список состоит из 108 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зверева, Наталья Анатольевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Создана математическая модель дисперсных систем на основе базовых принципов и понятий материаловедения, механики. Разработанная модель позволяет проведение комплексного описания структуры данных систем с учетом всего многообразия ее структурных элементов.

2. Проведено обоснование использования метода частиц для численного исследования структур такого типа.

3. С помощью разработанной вычислительной модели проведено численное исследование: механизма уплотнения порошков при сжатии; полученные результаты впервые позволили определить границы изменения структурных параметров (распределения координационных чисел); на основе компьютерной модели изучено влияние расстояния между частицами в статистических упаковках порошка; показано существование бимодального распределения в зависимости числа парных контактов от расстояния между частицами; численно исследовано влияние уплотнения порошка на его внутреннюю структуру, получена зависимость между плотностью упаковки частиц порошка и распределением частиц по координационным числам; установлено, что предельное объемное наполнение порошка, равное 64 объемных процента, соответствует упаковке , когда более чем 40 % частиц имеет координационное число 12;

- формирования пространственных структур частиц в олигомерных композициях; проведенные численные эксперименты позволили определить влияния дисперсности сажи, а также вязкости олигомера и температуры исследуемого процесса на реологическое поведение наполненной композиции в целом, например, увеличение температуры приводит к ускорению процесса структурообразования частиц;

- влияния взаимодействия частиц на диссипацию энергии при течении композиции;

- процесса структурообразования полифракционных дисперсных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зверева, Наталья Анатольевна, 2006 год

1. Льюис, У. Химия коллоидных и аморфных веществ / У. Льюис, Л. Скуайрс, Дж. Брутон. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948. - 535 с.

2. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 630 с.

3. Slichter, С. S. Theoretical investigation of the motion of ground waters / C. S. Slicter // U.S. Geological Survey, 19th Ann. Rep. 1899. - Part. 2. -P. 301-384.

4. Blake, F. C. Flow of floods through porous materials / F. C. Blake // Trans. Amer. Inst. Chem. Engrs. 1922. - Vol. 14. -P. 415.

5. Stokes, G. On the aberration of light / G. Stokes // Mathematical and Physical papers, Cambrige. 1880. - Vol. 1. - P. 134.

6. Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Гостехиздат, 1952. 788 с.

7. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. -М. : Гостехиздат, 1947. 758 с.

8. Lorentz, Н. A. A general theorem concerning the motion of a viscous fluid / H. A. Lorentz //Abhandl. Theoret. Phys. 1906. - Vol.1. -P. 23.

9. Smoluchowski, M. Cultigkeitgrenzen des zweiten Haupt zatzes der Warmetheorie, Vortrage uber die kinetishe theoril der Materie und der Electricitat / M. Smoluchowski // 5th Internh. Congr. Math. Lepzig und Berlin, 1912. -Vol. 2.-P. 192.

10. Cunninghman E. Lecons sur les fluides visquex / E. Cunninghman // Proc. Roy. Soc. London, 1910. - P. 357.

11. Hashin Z. Theory of mechanical behaviour of heterogeneous media / Z. Hashin //Appl. Mech. Rev. 1964. -Vol. 17. -P.l.

12. Кузнецов В. И. Диалектика развития химии / В. И. Кузнецов. М. : Наука, 1973.-328 с.

13. Einstein, A. On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular kinetic theory of heat / A. Einstein // Ann. Phys.- 1905.-Vol. 17.-P. 549.

14. Einstein, A. A new determination of molecular dimensions / A. Einstein // Ann. Phys. 1906. - Vol. 19. - P. 289.

15. Кузнцов, В. В. Физическая и коллоидная химия / В. В. Кузнецов. -М. : Высшая школа, 1968. 390 с.

16. Taylor, G. I. The viscosity of fluid contain small drops of another fluid / G. I. Taylor//Proc. Roy. Soc. 1932. - Vol. A138. -P. 41.

17. Brenner, H. On the Stokes resistance of multiparticle systems in a liner shear field / H. Brenner, M. E. 0' Neill // Chemistry Engineering Science. 1972. -Vol. 27.-P. 1421.

18. Richardson, J. F. Aerodynamic capture of particles / J. F. Richardson, W. N. Zaki // Chem. Eng. Sci. 1954. - Vol. 3. - P. 128- 134.

19. Brinkman, H. C. Flow properties of disperse systems / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. 1947. - Vol. Al. - P. 27.

20. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973.-785 с.

21. Бэтчелор, Дж. Теория однородной турбулентности / Дж. Бэтчелор. -М. : Изд. ин. лит., 1955.-198 с.

22. Batchelor, G. К. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction / G. K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1976. - Vol.74, pt. 1. -P. 1-29.

23. Batchelor, G. K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles of spherical particles to order с / G. К. Batchelor, J. T. Green // Journal of Fluid Mechanics 1972. Vol. 56. - P. 401.

24. Cooley, M. D. On the slow rotation of sphere about a diameter parallel to a nearly plane wall / M. D. Cooley, M. E. O' Neill // J. Inst. Math. And Appl. -1968.-Vol. 4.-P. 163.

25. Cooley, M.D. On the slow motion generated in viscous fluid by the approach of a sphere to a plane wall or stationary sphere / M.D. Cooley, M. E. 0' Neill // Mathematics. 1969. - Vol.16. - P. 37.

26. Davis, M.N. The slow translation and rotation of two unequal spheres in a viscous fluid / M.N. Davis // Chemistry Engineering Science. 1969. - Vol. 24. -P. 1769.

27. Goldman, A. J. The slow motion of two identical arbitrarily oriented spheres through a viscous fluid / A. J. Goldman, R.G. Cox, H. Brenner // Chemistry Engineering Science. 1966. - Vol. 21. - P. 1151.

28. Stimson, M. The motion of two spheres in a viscous fluid / M. Stimson, G. B. Jeffery // Proc. Roy. Soc. 1926. - Vol. A111. - P. 110.

29. Goldman A. J., Cox R. G., Brenner H. Slow viscous motion of a spheres parallel to a plane wall Coutte flow. II. Couette flow / A. J. Goldman, R.G. Cox, H. Brenner // Chemistry Engineering Science. 1967. - Vol. 22, - P.653.

30. Goren, S.L. The normal force exerted by creepin on a small sphere touching a plane / S.L. Goren // Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 41. - P.9.

31. Lin, C. Slow motion of two spheres in a shear field / C. Lin, K. 0. Lee // Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 43. - P. 35.

32. Wakiya, S. Particle motions in shear flow of a doublet of two spheres in contact / S. Wakiya, C. L. Darabaner, S. G Mason // J.Phys. Soc. Japan. — 1971. — Vol. 31.-P. 1581.

33. Wakiya, S. Particle motions in sheared suspensions / S. Wakiya, C. L. Darabaner, S. G Mason // Rheology Acta. 1967. - Vol. 6. - |P. 261.

34. Einstein, A. The theory of Brownian movement / A. Einstein // New York: Dover. 1956. -P. 4-32.

35. Batchelor, G. K. The stress system in a suspension of force- free particles / G. K. Batchelor // Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 41. - P. 545.

36. Batchelor, G. K. Sedimentation in a dilute suspension of spheres / G. K. Batchelor // Fluid Mechanics. 1972. - Vol.52. - P. 245.

37. Batchelor, G. K. The effect of Brownian motion on the bulk stress in a suspension of spherical particles / G. K. Batchelor // Fluid Mechanics. 1977. -Vol. 83.-P. 97-117.

38. Cox, R. G. The rheologhy of a suspension of particles in a Newtonian fluid / R. G. Cox, H. Brenner// Chem. Engng.Sci. 1971. - Vol. 26. - P. 65.

39. Keller, J. B. Extremum principles for slow viscous flows with applications to suspensions / J. B. Keller, I. A. Rubenfeld, J. E. Molyneux // J. Fluid. Mech. -1967.-Vol. 30.-P. 97.

40. Lin, C.J. Slow motion of two spheres in a shear field / C.J. Lin, K.J. Lee, N. F. Sather// Fluid Mechanics. 1970. - Vol. 43. -P. 35.

41. Krieger, I. M. Rheology of monodisperse lattices /1. M. Krieger // Advanced Colloid Interface Science. -1972. Vol. 2. - P. 111.

42. Leal, L. G. Theoretical studies of a suspensions of rigid particles affected by Brownian couples / L. G. Leal, E. J. Hinch // Rheology Acta. 1973. - Vol. 12. -P. 127.

43. Rutgers, R. Relative viscosity of suspension of rigid spheres in Newtonian liquids / R. Rutgers // Rheology Acta. 1962. - Vol. 2. - P. 202.

44. Rutgers, R. Relative viscosity and concentration / R. Rutgers // Rheology Acta.- 1962.-Vol. 2.-P. 305.

45. Walpole, I. J. The elastic behaviour of a suspension of spherical particles / I. J. Walpole // Mechanics und Applied Mathematics. 1971. - Vol. 25. -P. 153.

46. Ouchiyama, N. Predicting the densest packing of ternary and Quaternary Mixtures of solid particles / N. Ouchiyama // Industry Engineering Chemistry Research. 1989. - Vol. 28. - P. 1530-1536.

47. Kremesec, V. J. The apparent stress deformation behavior of dilute suspension of spheres in a power model fluid / V. J. Kremesec, J. S. Slattery // Transaction Society Rheology. 1977. - Vol. 21. - P. 47- 52.

48. Шмаков, Ю. И. Реологическое поведение разбавленных суспензий жестких сферических частиц со степенной дисперсионной средой / Ю. И. Шмаков, JI. М. Шмакова // Механика жидкостей и газа. 1980. - С. 77- 83.

49. Шмаков, Ю. И. Вязкость разбавленной суспензии жестких сферических частиц в неньютоновской жидкости / Ю. И. Шмаков, JI. М. Шмакова // ЖПМТФ. -1977. -№5. -С.81-85.

50. Frankel, N. A. On the viscosity of concentrated suspension of solid spheres / N. A. Frankel, A. Acrios // Chemistry Engineering Science. 1967. - Vol. 22. -P. 847-853.

51. Tanaka, H., White J. L. A cell model theory of the shear viscosity of concentrated suspension of interactiny spheres in a nonnewtonian fluid / H. Tanaka, J. L.White // Non-Went Fluid Mechanics. 1980. - № 7. -P. 333-343.

52. Иванов, В. А. Расчет сдвиговой вязкости концентрированной суспензии жестких сферических частиц в неньютоновской жидкости. / В. А. Иванов // Механика композиционных материалов. 1984. - №5. - С. 940- 943.

53. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии / Д. А. Фрибрихсберг. М. : Химия, 1979. - 170 с.

54. Зимон, А. Д. Адгезия пыли и порошков / А. Д. Зимон. М. : Химия, 1976.-431 с.

55. Фукс, Г. И. Исследование влияния состава граничных слоев на коагуляционные и фрикционные взаимодействия и улучшения смазочных материалов / Г. И. Фукс // ДАН СССР. 1963. - Т. 153, №2. - С. 398.

56. Яхнин, Е. Д. К вопросу о структурообразовании в дисперсных системах / Е. Д. Яхнин, А. Б. Таубман // ДАН СССР. 1964. - Т. 155, №1. - С. 179-182.

57. Яхнин, Е. Д. О связи прочности дисперсной структуры с силами взаимодействия между ее элементами / Е. Д. Яхнин // ДАН СССР. 1968. -Т.178, №1. -С.152-155.

58. Kuhn, L. Т. Power -law creep of powder bonded by isolated contacts / L. T. Kuhn, R. M. // Int. J. Mech. Sci. -1992. Vol. 34. - P. 563-573.

59. Scott Blair, G. W. The classification of the rheological properties of industrial materials in the light of power -law relations between stress, strain and time / G. W. ScottBlair, J. Caffyn//J. Sci. Inst. 1941.-Vol. 19.-P.88-93.

60. Guth, E. Theory of Filler Reinforcement / E. Guth //1. Appl. Phys. 1945. -Vol. 16.-P. 20-24.

61. Rumpf, H. Zur theorie der zugfestigkeit von agglomeraten bei kraftubertrgung an kontaktpunkten / H. Rumpf// Chem. Ing. Tech. 1970. - Vol. 42. - P. 538540.

62. Takaaki, Nagao. A study of the statics of granular materials / Nagao Takaaki // Japan Soc. Mech. Engrs. 1978. - Vol. 21. - P. 1077- 1084.

63. Зонтаг, Г. Коагуляция и устойчивость дисперсных систем / Г. Зонтаг, К. Штренге. Л : Химия, 1973. - 151 с.

64. Глазман, Ю. М., Фукс Г. Н. Факторы агрегативной устойчивости коллоидных дисперсий / Ю. М. Глазман, Г. Н. Фукс // Успехи коллоидной химии.- 1973.-С. 140- 158.

65. Евстратова, К. И. Физическая и коллоидная химия / К. И. Евстратова. -М.: Высшая школа, 1990. 488 с.

66. Simha, R. Calculation viscosity of concentrating suspensions / R. Simha II Kolloid. Z. 1936. - Vol. 76. - P. 16.

67. Красильников, К. Г. Физико- химия собственных деформаций цементного камня / К. Г. Красильников, Л. В. Никитина, Н. Н. Скоблинская. -М.: Стройиздат, 1980. 255 с.

68. Красильников, К. Г. О собственных деформациях пористых тел / К. Г. Красильников, А. М. Подвальный, А. Е. Сегалов // Коллоидный журнал. 1974. - Т. XXXVI, №2. - С. 266- 271.

69. Леонов, А.И. Реология полимеров. Теория тиксотропии / А.И. Леонов, Г.В. Виноградов // ДАН СССР. 1964. - Т. 155, №2. - С.406- 409.

70. Ахметов Б. В. Физическая и коллоидная химия / Б. В. Ахметов, Ю. П. Новиченко, В. И. Чапурин- Л. : Химия, 1986. 320 с.

71. Синельников, Н. Н. Анализ плотных упаковок бикомпонентной системы дисков на плоскости / Н. Н. Синельников, М. А. Мазо // Коллоидный журнал. 1995. - Т. 57, №6. - С.853-856.

72. Ayer, J. E. Compaction of spherical shapes / J. E. Ayer, F. E. Soopet // Am. Ceram. Soc. 1965. - Vol. 48. - P. 180- 183.

73. Sohn, H. Y. The effect particle Size Distribution on Packing Density / H. Y. Sohn // J.Chem. Eng. -1968. Vol. 46. -P. 162-167.

74. Karlsoon, K. Pacing of Irregular Particles / K. Karlsoon, L. Spring // J. Mater. Sci. -1970. Vol. 5. - P.340- 344.

75. Dodds, J. A. The porosity and contact point in multicomponent random sphere packing Calculated by simple statistical Geometric Model / J. A. Dodds // J. Colled Interface Sci. 1980. - Vol. 77. -P. 317-327.

76. German, R. M. Particle Packing Characteristics / R. M. German // Metal Powder Industries. Federation Princeton NJ. 1989. - Vol. 1. - P. 4.

77. Standish, N. Optimization of coal Grind for maximum Bulk Density / N. Standish, A. B. Yu, R. P. Zou // Powder Tech. 1991. -Vol. 68. - P. 175-186.

78. Stewart, I. Has the Sphere Packing Problem Been Solved / I. Stewart // New Sci. 1992. - May. -C. 16.

79. Meakin, P. Application of experimental and numerical models to the Physics of Multiparticle Systems / P. Meakin, A. T Skjeltop // Adv. Phys. 1993. -Vol. 42,- P. 127.

80. Вальцифер, В. А. Анализ микродеформаций в композите с дисперсными компонентами / В. А. Вальцифер, В. А. Аликин, А. С. Ермилов // Механика композитных материалов. 1987. - №5 . - С. 24.

81. Вальцифер, В. А. Стабилизация крупно дисперсных частиц в вязкой среде / В. А. Вальцифер, В. А. Аликин, Ю. Г. Целищев, Т. Е. Стенанова // Химическая промышленность. 1991. -№ 4. - С. 54- 55.

82. Hartree, D. R. Some Calculations of Transients in an Electronic Valve / D. R. Hartree // Appl. Sci. Res. 1950. - Vol. Bl. - P. 379-390.

83. Buneman, O. Dissipation of Currents in Ionised Media / O. Buneman // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. - P. 503- 517.

84. Buneman, O. Time- Reversible Difference Procedures / O. Buneman // J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 1. - P. 517 -537.

85. Buneman, 0. The Advance from 2D Electrostatic to 3D Electromagnetic Particle Simulation / 0. Buneman // Comput. Phys. Commun. 1976. - Vol. 12 -P. 21-31.

86. Buneman, 0. Analytic Inversion of the Five- Point Poisson Operator / 0. Buneman // J. Comput. Phys. 1971. - Vol. 8. - P. 500- 505.

87. Ландау, JI. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Гостехиздат, 1958. - 620 с.

88. Ландау, Л. Д. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Гостехиздат, 1953. 567 с.

89. Дзялошинский, И. Е. Общая теория ван- дер- ваальсовых сил / И. Е. Дзялошинский, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский // Успехи физических наук. 1961. - Т. LXXIII, вып. 3. - С. 381- 422.

90. Хокни, Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. -М. : Мир, 1987. 638 с.

91. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

92. Smith, N. О. Pacing of Homogeneus spheres / N. О. Smith, P. D. Foote // Physical Rewie. 1929. - Vol. 34. - P. 1271- 1274.

93. Bernal, J. D. Pacing of spheres / J. D. Bernal, J. Mason // Nature. 1960. -December 10. - P. 42-43.

94. Шендрик, E. H. Структуры и свойства композитов на основе дисперсных систем / Е. Н. Шендрик, В. А Вальцифер, Ю. С. Клячкин // Сб. УроРАН. 1991,- С. 74- 80.

95. Клячкин, Ю. С. Исследование дисперсных систем / Ю. С. Клячкин, В. А. Вальцифер, Б. А. Погорелов, Е. Н. Шендрик // Каучук и резина. -1993.-№ 2.-С. 33-34.

96. Вальцифер, В. А. Моделирование коллоидных систем / В. А. Вальцифер, Б. А. Погорелов // Коллоидный журнал. 1995. - Т. 57, №6,- С. 909-911.

97. Vand, V. Fluidization and fluidparticle systems / V. Vand // J. of Physical and Colloidal Chemestry. 1948. - Vol. 52, № 2. - P. 277- 299.

98. Firth, В. A. Flow properties of disperse / B. A. Firth // J. of Colloid and Interface Science. 1976. - Vol. 57, № 2. - P. 266- 275.

99. Бибик, E. E. Реология дисперсных систем / E. E Бибик // Вестник ЛГУ. -1981,- С. 172.

100. Fedars, R. F. Rheology of agglomeration in colloidal systems / R. F. Fedars // J. of Cooloid and interface Science. 1974. - Vol. 46, №3. - P. 545- 547.