Математическое моделирование волноводных переходов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Буткарев, Иван Андреевич

• Буткарев, Иван Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Буткарев, Иван Андреевич

Введение

I Математическое моделирование волноведущих систем

1 Решение прямой задачи расчета волноведущих систем

1.1 Основные подходы к моделированию волноведущих систем.

1.2 Метод конечных разностей в волноводных задачах.

1.3 Схема метода конечных элементов

2 Метод регуляризации А.Н. Тихонова применительно к задачам синтеза

3 Решение задачи синтеза

3.1 Метод Нелдера и Мида.

3.2 Метод скользящего допуска

3.3 Распараллеливание метода Нелдера и Мида.

II Синтез волноводного перехода между двумя соосными цилиндрическими волноводами

1 Постановка прямой задачи расчета волноводного перехода между двумя соосными цилиндрическими волноводами

1.1 Постановка задачи.

1.2 Параболическое приближение.

2 Разностная схема

3 Постановка задачи синтеза волноводного перехода

4 Результаты решения прямой и обратной задач

4.1 Решение прямой задачи расчета волноводного перехода.

4.2 Решение задачи синтеза волноводного перехода.

III Синтез волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами

1 Постановка задачи

2 Алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода

2.1 Расстановка узлов сетки

2.2 Разбиение области на тетраэдры.

2.3 Построение конечных элементов.

2.4 Метод конечных элементов.

2.5 Моды прямоугольного волновода.

2.6 Моды копланарного волновода.

2.7 Исследование построенного алгоритма.

3 Исследование волноводного перехода

4 Постановка задачи синтеза

5 Результаты решения задачи синтеза

6 Исследование точности метода конечных элементов в областях с входящими ребрами

6.1 Явное выделение особенности.

6.2 Численные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование волноводных переходов»

Интенсивное развитие электродинамики и ряда других областей физики повлекло за собой быстрое развитие средств связи, появление электроники, радио- и теле-вещания, радиолокации, и т.п., что вызвало в свою очередь развитие теории волноведущих систем. Особое влияние на развитие теории волноводов оказало появление и бурное развитие вычислительной техники. Быстрый рост степени интеграции различных электронных устройств во второй половине прошлого века привел к появлению интегральных схем, что потребовало развития теории планарных волноведущих систем.

Появление полупроводниковых лазеров обеспечило возможность высокоскоростной связи на большие расстояния с помощью оптических волоконных линий связи. Их применение начинается в 70-е годы прошлого века. При этом возникла потребность в соединении различных оптических устройств с применением волноводных переходов.

В современной СВЧ технике широко используются волноводы различных типов. Так, для соединения самых разных устройств используются коаксиальные и прямоугольные волноводы, в интегральных схемах используются планарные линии: полосковые, копланарные, щелевые волноводы. Кроме того существуют разнообразные модификации этих волноводов. Для соединения волноводов различных типов между собой также широко применяются волноводные переходы [18], [19], [78].

В зависимости от области использования к волноводным переходам помимо обеспечения согласования предъявляются различные требования. Например, для массового производства требуются легкие в изготовлении дешевые переходы, а при необходимости передавать большую мощность, волноводный переход должен быть устойчив к высоким температурам и не менять своих свойств при нагревании. Часто важным требованием является компактность перехода (особенно в авиационной и космической технике).

Синтез волноводных переходов с заданными характеристиками является важной задачей математической физики. Данная задача является некорректно поставленной, т.к. одни и те же характеристики могут иметь переходы с отличными параметрами. Кроме того, обычно вычисление характеристик волноводного перехода осуществляется с определенной погрешностью, а также на них задается допуск. Т.е. задача имеет неединственное решение, и можно определить множество практической эквивалентности. Выбор конкретного варианта перехода произволен или осуществляется на основе других соображений. Т.к. обратная задача не является корректной, диаметр множества практической эквивалентности может быть сколь угодно большим в заданном классе решений. Для решения некорректно поставленных задач можно использовать метод регуляризации А.Н. Тихонова [67], который определяет алгоритм выбора элемента из множества практической эквивалентности. Применение данного метода подразумевает введение сглаживающего функционала. Элемент, на котором достигается минимум сглаживающего функционала считается решением задачи синтеза.

В процессе минимизации сглаживающего функционала возникает потребность в многократном вычислении харктеристик волноводных переходов с различными параметрами, что подразумевает наличие эффективного алгоритма решения прямой задачи расчета волноводного перехода. С ростом производительности вычислительной техники и расширением доступности суперкомпьютеров расширяется применение достаточно медленных методов решения прямых задач: метода конечных элементов, метода конечных разностей и др. Эти методы обладают большой гибкостью и позволяют рассчитывать волноведущие системы любой сложности с большей точностью [20], [25], [69], [70], [79].

Основной целью данной работы является разработка алгоритмов решения задач синтеза волноводных переходов как некорректных задач с использованием метода регуляризации, метода конечных разностей и с применением процедуры распараллеливания. В данной работе рассматривается два класса волноводных переходов: всшноводные переходы, соединяющие соосные регулярные металлодиэлектрические волноводы имеющие достаточно гладкую границу; волноводные переходы, соединяющие прямоугольный и копланарный волноводы.

Наиболее перспективным направлением развития вычислительных машин является построение параллельных вычислительных систем и, в частности, кластерных компьютеров. Большинство наиболее производительных суперкомпьютеров в данный момент являются вычислительными кластерами. Для эффективного использования таких компьютеров требуется распараллеливание алгоритма решения задачи. Распараллеливание алгоритма решения прямой задачи является достаточно сложной процедурой. В данной работе проведено распараллеливание алгоритма метода скользящего допуска, который используется при решении задачи синтеза волноводного перехода [4]. Построенный алгоритм может применяться при решении любых задач минимизации функционалов. Он не требует интенсивного межпроцессорного обмена информацией и не накладывает практически никаких требований на скорость обмена информацией между узлами кластера.

Практика показала, что применение кластерных компьютеров очень эффективно при решении численных задач. Распараллеливание алгоритма решения задачи позволяет существенно увеличить скорость расчетов, кроме того появляется возможность решать сразу несколько задач с различными значениями параметров. Для реализации параллельных алгоритмов существуют различные технологии [1]. В данной работе использовалась технология MPI (Message Passing Interface).

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе рассмотрены общие подходы к решению задач синтеза волноведущих систем и представлены основные методы, которые использовались в данной работе. Во второй главе поставлена и решена задача синтеза всшноводного перехода между двумя металлодиэлектрическими волноводами. В третьей главе поставлена и решена задача синтеза волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами. Приложение содержит текст программы реализующей параллельную процедуру поиска минимума функции.

Часть I

Математическое моделирование волноведущих систем

При математическом моделировании волноведущих систем обычно рассматриваются два типа задач: прямые задачи анализа волноведущих систем и обратные задачи синтеза волноведущих систем. В задачах анализа по заданным параметрам волноведущей системы нужно определить характеристики ее функционирования. Задачи синтеза заключаются в построении такой волноведущей системы, которая обладала бы заданными характеристиками. Такие задачи называются также задачами математического проектирования. В случае волноводных переходов основной интерес представляют задачи синтеза.

Общий подход к решению задачи синтеза волноведущих систем был предложен А.С. Ильинским и А.Г. Свешниковым в работах [2, 3]. При таком подходе задача синтеза рассматривается как типичная некорректная задача и для ее решения применяется метод регуляризации А.Н. Тихонова. При этом в процессе минимизации оценивающего функционала необходимо многократно решать прямую задачу расчета волноведущей системы.

Общую схему решения задач математического моделирования волноведущих систем рассмотрим применительно к моделированию волноводных переходов. Для решения задач синтеза волноводных переходов целесообразно использовать следующую схему:

1. Выбор предварительной конструкции волноводного перехода.

2. Постановка прямой задачи расчета характеристик волноводного перехода.

3. Разработка алгоритма решения поставленной прямой задачи.

4. Исследование влияния различных параметров волноводной структуры на ее характеристики.

5. Постановка задачи синтеза волноводного перехода с учетом требований предъявляемых к нему.

6. Разработка алгоритма решения поставленной задачи синтеза.

7. Анализ полученных результатов.

На этапе 1 производится выбор предварительной конструкции перехода, при этом учитываются типы соединяемых волноводов и требования предъявляемые к переходу.

Фактически на первом этапе производится физическая постановка проблемы. На этапе 2 производится постановка математической задачи расчета волноводного перехода, при этом могут вводиться различные упрощения как в конструкцию перехода, так и в физическую модель (например, отказ от учета второстепенных факторов, которые предположительно не влияют существенным образом на результат). Кроме того, существуют различные подходы к постановке прямой задачи. Наиболее точным подходом является непосредственное вычисление поля в переходе. При этом задача может ставиться как в вектороной, так и в скалярной постнановке (в том случае, если заполнение волноводного перехода является однородным). На этапе 3 разрабатывается численный алгоритм решения поставленной задачи. Фактически этот этап представляет наибольшую трудность. Обычно требуется, чтобы алгоритм был как можно более эффективным, т.к. при решении задачи синтеза требуется многократно решать прямую задачу расчета характеристик волноводного перехода. В настоящее время существенным требованием к алгоритму решения прямой задачи является возможность его распараллеливания с последующим использованием кластерных вычислительных систем. На этом этапе могут использоваться самые разнообразные методы в зависимости от постановки задачи. При непосредственном вычислении поля обычно используются либо метод конечных разностей, либо вариационные методы. В некоторых случаях удается построить аналитическое решение, но при расчете волноводных переходов со сложным заполнением или геометрией построить аналитическое решение обычно не удается. На этапе 4 производится исследование влияния различных параметров перехода на его характеристики. Это позволяет выделить основные параметры, которые и будут синтезироваться. Пятый этап включает в себя выбор целевого функционала (т.е. выбор синтезируемых характеристик перехода), выбор параметров оптимизации (с учетом результатов предыдущего этапа), задание ограничений на выбранные параметры, и, в соответствии с методом регуляризации А.Н. Тихонова, построение сглаживающего функционала. Задача синтеза является некорректно поставленной и для ее решения используется комбинация метода регуляризации и одного из методов минимизации функций. Дополнительную сложность вызывает определение параметра регуляризации, т.к. точное определение погрешности вычисления характеристик волноводного перехода затруднено. На этапе б производится разработка алгоритма минимизации сглаживающего функционала и выбор параметра регуляризации. В зависимости от вида сглаживающего функционала и размерности пространства решений применяются различные методы. В конечном счете все сводится к минимизации функции в ограниченной области п-мерного пространства. Существует много методов для поиска минимума функции: метод секущих, Ньютона, сопряженных градиентов, симплекс-метод и др.

В данной работе на третьем этапе для решения прямой задачи расчета волноводного перехода использовались метод конечных разностей и метод конечных элементов. На шестом этапе для решения задачи минимизации использовался метод скользящего допуска.

В данной главе приведено описание основных методов, используемых для решения задач математического моделирования волноведущих систем. Кроме того, в параграфе 3 описана процедура распараллеливания метода Нелдера и Мида разработанная автором [4].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Буткарев, Иван Андреевич

Основные результаты работы содержатся в следующих публикациях автора: [4, 72, 73, 79, 83] и получены самостоятельно при участии научного руководителя, поставившего основную задачу и участвовавшего в обсуждении результатов.

Заключение

Среди результатов данной работы следует отметить следующие:

1. Разработана общая схема решения задачи математического проектирования волноводных переходов с использованием метода конечных разностей в прямой и вариационной (метод конечных элементов) постановках, метода регуляризации А.Н. Тихонова и процедуры распараллеливания.

2. Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода между двумя соосными металлодиэлектрическими волноводами.

3. Поставлена и решена обратная задача синтеза волноводного перехода между соосными металлодиэлектрическими волноводами.

4. Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами.

5. Поставлена и решена обратная задача синтеза волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами.

6. Исследована точность метода конечных элементов при расчете волноведущих систем имеющих входящие ребра.

7. Проведено распараллеливание алгоритма минимизации по методу скользящего допуска.

Все основные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на языке С++. Часть вспомогательных алгоритмов, которые не используются непосредственно при решении задачи синтеза, реализована в виде процедур MATLAB, в частности, в виде таких процедур реализован алгоритм вычисления мод копланарного волновода и алгоритмы обработки результатов. Модульная организация программ позволяет путем замены отдельных модулей получить программы для решения задач синтеза различных типов волноведущих систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Буткарев, Иван Андреевич, 2004 год

1. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург. 2002.

2. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1979. С.287-297.

3. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Задачи проектирования в электродинамике // ДАН СССР. 1972. Т.204. ф 5. С.1077-1080.

4. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Математическое проектирование трехмерных волноводных переходов // Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2003. ф 12.

5. Schmidt R., Russer P. Modeling of Cascaded Coplanar Waveguide Discontinuities by the Mode-Matching Approach // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1995. Vol.43. No.12. P.2910-2917.

6. Lindenmeier S., Russer P. Design of Planar Circuit Structures with an Efficient Magnetostatic-Field Solver // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1997. Vol.45. No.12. P.2468-2473.

7. Suh Y., Chang K. Coplanar stripline resonators modeling and applications to filters // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2002. Vol.50. No.5. P.1289-1296.

8. Tentzeris E., Krumpholz M., Dib N., Yook J., Katehi L. FDTD characterization of waveguide-probe structures // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1998. Vol.46. No.10. P.1452-1460.

9. Боголюбов A.H., Делицын A.JI., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Проблема вычисления волноводных мод при наличии входящих ребер / / Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2001. ф8.

10. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Асимптотическое представление электромагнитного поля волновода в окрестности ребра границы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. ф 1. С.3-6.

11. Cai Z., Kim S. A finite element method using singular functions for the Poisson equation: corner singularities // SIAM J. Numer. Anal. 2001. Vol.39. No.l. P.286-299.

12. Cai Z., Kim S., Woo G. A finite element method using singular functions for the Poisson equation: crack singularities // Numer. Linear Algebra Appl. 2002. No.9. P.445-455.

13. Cai Z., Kim S., Shin B. Solution method for the Poisson equation with corner singularities: numerical results // SIAM J. Sci. Comput. 2001. Vol.23. No.2. P.672-682.

14. Juntunen J.S., Tsiboukis T.D. On the FEM Treatment of Wedge Singularities in Waveguide Problems // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2000. Vol.48. No.6. P.1030-1037.

15. El Sabbagh M.A., Hsu H.-T., Zaki K.A., Pramanick P., Dolan T. Stripline Transition to Ridge Waveguide Bandpass Filters // Progress In Electromagnetics Research. 2003. PIER 40. P.29-53.

16. Панин Д.Н., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Метод синтеза плавных согласующих переходов // Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2001. ф 12.

17. Туо J.S. Optimization of the ТЕМ feed structure for four-arm reflector impulse radiating antennas // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. Vol.49. No.4. P.607-614.

18. Боголюбов A.H., Минаев Д.В. Синтез плоского волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1993. Т.34. ф 2. С.67-69.

19. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Расчет согласующего волноводного перехода между двумя коаксиальными волноводами овальной формы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1997. ф 4. С.50-52.

20. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведущих систем // Математическое моделирование. 2000. Т.12. ф 1. С.13-24.

21. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Красильникова А.В. Задачи синтеза круглых диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1996. ф 5. С.12-17.

22. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989.

23. Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Mogilevskii I.E. Variational finite-difference method of waveguide-system modeling and spectral problems of waveguide theory // Journal of Communication Technology and Electronics. 2000. Vol.45. Suppl.2. P.S126-S130.

24. Боголюбов A.H., Едакина T.B. Применение вариационно-разностных методов для расчета диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1991. Т.32. ф 2. С.6-14.

25. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечныхразностей // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.1998. ф 5. С.39-54.

26. Свешников А.Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. Т.З. ф5. С.517-520.

27. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978.

28. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение итерационного метода к исследованию волноводов с неоднородным заполнением // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1974. Т.14. ф 4. С.947-954.

29. Боголюбов А.Н., Телегин В.И. Об одном численном методе решения линейных систем уравнений с трехдиагональной матрицей // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1974. Т.14. фЗ. С.768-771.

30. Завадский В.Ю. Метод сеток для волноводов. М.: Наука. 1986.

31. Уфимцев П.Я., Яковлев Г.Д. Параксиальные пучки волн в регулярных и нерегулярных волноводах // Радиотехника и электроника. 1977. Т.22. фЗ. С.451-465.

32. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука. 1967.

33. Боголюбов А.Н., Делицын A.J1. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических ф волноводов методом конечных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон.1995. Т.36. ф 2. С.95-98.

34. Норри Д., де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981.

35. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975.

36. Сегерлинд Л.Д. Метод конечных элементов. М.: Мир. 1979.

37. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980.

38. Oden J.T., Reddy J.N. An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements. Wiley. New York. 1976.

39. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. 1981.

40. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1973.

41. Babuska I., Guo B.Q. The h — p Version of Finite Element Method for Domains with Curved Boundaries // SIAM J. Numer. Anal. 1988. Vol.25. No.4. P.837-861.

42. Babuska I. The p and h — p Versions of the Finite Element Method, the State of the Art. Proc. Finite Element Workshop, Voigt R. ed., Springer, New York, 1987.

43. Oden J.T. Finite Elements: An Introduction, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.3-15.

44. Ciarlet P.G. Basic Error Estimates for Elliptic Problems, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.17-351.

45. Боголюбов A.H., Делицын A.JI. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1996. ф 1. С.9-13.

46. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Свешников А.Г. О расчете открытого согласующего волноводного перехода с использованием эффективных нелокальных граничных условий // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2002. Т.42. ф4. С.514-521.

47. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Разностные методы расчета диэлектрических волноведущих систем // Электродинамика открытых структур миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов. Сб. науч. Тр./АН УССР. Харьков. 1990. С.42-52.

48. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет дисперсионных характеристик градиентных оптических волокон методом конечных разностей // Радиотехника и электроника. 1988. Т.ЗЗ. ф 11. С.2296-2300.

49. Bermudes A., Pedreira D.G. A finite element method for computation of waveguide // Numer. Math. 1992. Vol.61. No.2. P.39-57.

50. Свешников А.Г., Боголюбов A.H., Минаев Д.В., Сычкова А.В. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. ф 5, С.804-809.

51. Noor А.К. Books and monographs on finite element technology // Finite Elements in Analysis and Design. 1985. Vol.1. No.l. P.101-111.

52. Babuska I., Suri M. The Optimal Convergence rate of the p-Version of the Finite Element Method // SIAM J. Numer. Anal. 1987. Vol.24. No.4. P.750-776.

53. Mercier В., Osborn J., Rappaz J., Raviart P. Eigenvalue Approximation by Mixed and Hybrid Methods // Mathematics of Computation. 1981. Vol.36. No.154. P.427-453.

54. Chatelin F. The spectral approximation of linear operators with applications to the computation of eigenelements of differential and integral operators // SIAM Review. 1981. Vol.23. No.4. P.495-522.

55. Chatelin F. Spectral Approximation of Linear Operators. Academic Press. New York. 1983.

56. Babuska I., Osborn J. Eigenvalue Problems, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.641-787.

57. Wahlbin L.B. Local Behavior in Finite Element Methods, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.353-521.

58. Fix G.J. Eigenvalue Approximation by the Finite Element Method // Advanced in Mathematics. 1973. Vol.10. No.2. P.300-316.

59. Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in R3 // Numersche Mathematik. 1980. Vol.35. No.3. P.315-341.

60. Raviart P.A., Thomas J.-M. Primal Hybrid Finite Element Methods for 2nd Order Elliptic Equations // Mathematics of Computation. 1977. Vol.31. No.138. P.391-413.

61. Roberts J.E., Thomas J.-M. Mixed and Hybrid Methods, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.523-639.

62. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977.

63. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир. 1976.

64. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь. 1987.

65. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир. 1984.

66. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир. 1974.

67. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

68. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир. 1975.

69. Bogolyubov A.N., Krasilnikova А. V., Minaev D. V. Mathematical modeling of guiding structures by finite-difference method // Journal of Communication Technology and Electronics. 2000. Vol.45. Suppl.2. P.S131-S.139.

70. Ильинский А.С. Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах с переменным сечением. Кандидатская диссертация. М. 1966.

71. Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2001". Секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ. 2001. С.70-71.

72. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. ф 2. С.3-5.

73. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Митина И.В. Расчет двухслойного световода методом конечных разностей / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т.22. ф5. С.1187-1194.

74. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В. Расчет круглого диэлектрического волновода с произвольной формой профиля показателя преломления вариационно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39. ф 2. С.233-240.

75. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976.

76. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Синтез волноведущих систем волоконной оптики и высокочастотной электродинамики // Радиотехника. 1997. ф 1. С.81-88.

77. Dalman G.C. A simple mm-wave transition from waveguide to coplanar waveguide // Microwave J. 1992. Vol.35. No.10. P.109.

78. Боголюбов A.H., Буткарев И.А. Применение метода конечных элементов к исследованию волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2003. ф4. С.6-9.

79. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа. 1991.

80. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988.

81. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М: Мир. 1974.