Метод фильтрации аппаратных погрешностей судовых инерциальных навигационных систем на основе прогностических правил теории хаоса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Жук Сергей Сергеевич

• Жук Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Жук Сергей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМАМ СЧИСЛЕНИЯ МЕСТА МОРСКОГО АВТОНОМНОГО НАДВОДНОГО СУДНА

1.1 Характерные особенности инерциальных навигационных систем

1.2 Математическая модель инерциальной навигационной системы, построенная на базе микроэлектромеханических систем (МЭМС)

1.3 Алгоритмы обработки данных БИНС, основанные на нейронных сетях и

фильтре Калмана

Выводы

2. МЕТОДИКА ДИАГНОСТИКИ АППАРАТНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ БИНС СУДНА НА ОСНОВЕ ФОРМИРОВАНИЯ И КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА ЕЁ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ КРИТЕРИЕВ ТЕОРИИ ХАОСА

2.1 Основы концепции динамических систем

2.2 Интерпретация теории нелинейных колебаний и динамических систем в рамках теории ошибок БИНС

2.3 Формализация рассмотренных аспектов идентификации погрешностей в определении скорости судна с использованием инерциальных навигационных

систем и механизма оценки фазовых портретов

Выводы

3. АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ АППАРАТНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ БИНС СУДНА НА ОСНОВЕ РАЗРАБОТАННЫХ ПРОГНОСТИЧЕСКИХ ПРАВИЛ В РАМКАХ ТЕОРИИ ХАОСА

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

Перечень принятых сокращений

БИН - блок инерциальный навигационный;

ДУС - датчик угловой скорости;

МАНС - морское автономное надводное судно;

ПО - программное обеспечение;

ПИ - периодические испытания;

ПСИ - приемо-сдаточные испытания;

СВПШ - система высокоточной проводки и швартовки;

СКО - среднеквадратическое отклонение;

СНС - спутниковая навигационная система;

ТПО - технологическое программное обеспечение;

ТУ - технические условия;

ДС - Динамическая система;

АЧХ - Амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ - Фазо-частотная характеристика

ЛФ - Ляпуновская функция

Список основных обозначений

Я — Широта

ф — Долгота

в — Угол рыскания

у — Угол дифферента

ф — Угол крена

ш — Вектор абсолютной угловой скорости V — Вектор линейной скорости а — Вектор кажущегося ускорения

6 — Обозначение ошибки/погрешности

ц — Кватернион ориентации

М — Матрица направляющих косинусов

% — Вектор состояния системы

Р — Ковариационная матрица ошибок

К — Коэффициент усиления фильтра

Л — Показатель Ляпунова

Та — Период удвоения

Кс — Константа перекрытия резонансов

т — Характеристическое время переходного хаоса

— Минимальное расстояние между гомоклиническими точками Р — Коэффициент демпфирования £ — Малый параметр возмущения о — Стандартное отклонение флуктуаций X — Параметр перемежаемости

— Мера хаотичности А — Параметр расходимости траекторий Г — Функция отклика системы П — Частота внешнего воздействия Лтах — Максимальный показатель Ляпунова Яе — Число Рейнольдса Ре — Критическая амплитуда возбуждения ц — Коэффициент вязкости системы Ь1)Ь2 — Устойчивые и неустойчивые многообразия Бп — Отображение Пуанкаре

, ^и — Устойчивое и неустойчивое многообразия Бц — Обобщенная размерность кК5 — Энтропия Колмогорова-Синая Т1 — Характеристическое время Ляпунова

р(х) — Плотность инвариантной меры

— Функция Мельникова 8п — Расстояние между гомоклиническими точками Л1>Л2 — Собственные значения матрицы линеаризации OXYZ — связанная система координат, жёстко закреплённая на объекте. OXgYgZg — географическая система координат.

OXgYgZg — расчётная географическая система координат. OXuYuZu — инерциальная система отсчёта. OX0Y0Z0 — земная система координат.

— неподвижная система координат, описываемая уравнением Пуассона с учётом параметров Родрига-Гамильтона.

шх, шу, — проекции абсолютной угловой скорости в связанной системе координат.

шхд, шуд, — проекции абсолютной угловой скорости в географической системе координат.

Vxg, Vyg, Vzg — проекции линейной скорости в географической системе координат.

пХ) пу, nz — проекции кажущегося ускорения в связанной системе.

пхд> пуд> nzg — проекции кажущегося ускорения в географической системе.

д — ускорение свободного падения.

R3 — радиус Земли.

а — азимутальная ошибка БИНС.

Р,Х — ошибки определения вертикали.

Аф,АХ — ошибки широты и долготы.

А'ф, Ау, Ав — ошибки углов рыскания, крена и тангажа.

£х, £у, £z — дрейфы гироскопов.

8ах, Say, 8az — погрешности акселерометров.

А — кватернион перехода от географической системы координат к связанной.

— векторы кажущегося ускорения в связанных и географических координатах.

П,Пд — векторы абсолютной угловой скорости в связанных и географических координатах.

0 — кватернион ошибок.

тх(Х), Dy.it), Кх{1,1'^) — математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.

— спектральная плотность.

д — коэффициент затухания корреляционной функции.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Актуальность темы обусловлена активным развитием морских автономных надводных судов (МАНС). Автономное управление МАНС позволит повысить уровень безопасности судоходства, навигации, интегрировать данные навигационных, технических систем, постоянно обнаруживать навигационные опасности, свести к минимуму «человеческий фактор».

Главная проблема навигации МАНС заключается в дистанционном и автономном режиме работы, в частности: при управлении движением МАНС по заранее проложенному маршруту, удержании в пределах фарватера, маневрировании при расхождении с другими судами, плавании в портовых акваториях, влиянии гидрометеорологических условий и др. Поэтому при автоматическом управлении МАНС важным аспектом безопасности плавания является требование к точности и надежности систем навигации.

В перечень основных навигационных систем МАНС, согласно Разделу 33 Правил классификации и постройки МАНС Российского морского регистра судоходства (РМРС РФ), входит инерциальная навигационная система. Отсюда возникает необходимость в проведении исследования аппаратных погрешностей и разработке методов повышения точности систем разного аппаратного и программно-вычислительного исполнения с целью повышения точности инерциальной навигации.

Степень разработанности темы

Теоретические и практические основы научных исследований в области контроля навигационных параметров и обеспечения безопасности мореплавания рассмотрены в трудах отечественных и зарубежных учёных. С целью исключения нежелательных эффектов в бесплатформенных инерциальных навигационных системах алгоритмы коррекции рассмотрены в трудах отечественных учёных

Селичева О.С., Парусникова Н.А., Голована А. А., А. Ю. Ишлинского, В. Д. Андреева, В. З. Гусинского, Л. И. Ткачёва, В.Г. Пешехонова, Г. О. Фридлендера, Г. И. Емельянцева, Г. А. Левита, В.Я. Распопова.

Существует развитая теоретическая база по анализу динамических систем, представленная в работах Арнольда В.И. и Андронова А.А. Однако применение этих методов к оценке точности инерциальных навигационных систем требует дополнительных исследований. Проблема усложняется наличием различных типов аттракторов и необходимостью учета многофакторных возмущений. Существующие методы компенсации ошибок не учитывают нелинейную природу возмущений и эффекты бифуркаций. Голован А.А. исследует классические методы коррекции погрешностей бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС). БИНС имеют ограничения при длительном автономном функционировании. Анализ литературы показывает противоречивость результатов различных авторов относительно эффективности применения фильтра Калмана в условиях нелинейных возмущений (Аль Битар Н.; Доронин Д.В.). Теория катастроф также находит ограниченное применение в задачах инерциальной навигации из-за сложности формализации скачкообразных изменений параметров.

Цели и задачи

Цель работы - разработать метод фильтрации аппаратных погрешностей судовых инерциальных навигационных систем. Исходя из поставленной цели, в рамках данного исследования, предлагается решить следующие задачи: провести анализ существующих методов устранения аппаратных погрешностей БИНС судна; разработать методику формирования фазовых портретов БИНС судна для диагностики аппаратных погрешностей с использованием анализа критериев теории хаоса; разработать метод качественного анализа фазовых траекторий БИНС судна с использованием критериев теории хаоса и корреляционного анализа конечномерности состояний; разработать алгоритм фильтрации аппаратных погрешностей БИНС судна на основе разработанных прогностических правил в рамках теории хаоса.

Объект исследования - БИНС МАНС.

Предмет исследования - аппаратные погрешности БИНС МАНС.

Научная новизна состоит в формировании новых методов компенсации аппаратных погрешностей БИНС МАНС для достижения необходимой точности и устойчивости счисления места судна в рамках требований РМРС РФ. С этой целью была предложена новая методика формирования фазовых портретов БИНС судна, качественного анализа фазовых траекторий, разработан новый алгоритм фильтрации аппаратных погрешностей БИНС судна на основе прогностических правил в рамках теории хаоса.

Теоретическая и практическая значимость заключается в том, что полученные результаты исследования расширяют устойчивость навигационных решений, а разработанные методы и алгоритм с функцией фильтрации аппаратных погрешностей систем БИНС судна позволяют существенно повысить точность счисления места судна.

Методология и методы исследования

Применяются методы теории нелинейных колебаний, теории динамических систем и теории инерциальной навигации. Используются: анализ бифуркаций и их влияния на точность навигации; расчет показателей Ляпунова для оценки устойчивости решений; построение фазовых портретов с учетом нелинейных эффектов на основе методов качественной теории дифференциальных уравнений; метод анализа гомоклинических траекторий.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика формирования фазовых портретов БИНС судна для диагностики аппаратных погрешностей с использованием анализа критериев теории хаоса.

2. Методика качественного анализа фазовых траекторий БИНС судна с использованием критериев теории хаоса.

3. Алгоритм фильтрации аппаратных погрешностей БИНС судна на основе разработанных прогностических правил в рамках теории хаоса.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность подтверждается множеством экспериментальных данных, полученных на различных классах БИНС при разных режимах движения надводных объектов. Результаты проверены в реальных условиях эксплуатации, что позволило верифицировать теоретические положения на практике. Апробация проведена в ходе натурных испытаний и лабораторных экспериментов. Полученные результаты согласуются с известными теоретическими положениями теории динамических систем и теории инерциальной навигации. Практическая эффективность предложенных методов подтверждена сравнительным анализом с существующими методами компенсации ошибок БИНС.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, в том числе в 7 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 3 публикации — тезисы и материалы конференций, получено одно свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод фильтрации аппаратных погрешностей судовых инерциальных навигационных систем на основе прогностических правил теории хаоса»

Структура работы

Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, изложена на 133 страницах, содержит 51 рисунок, 8 таблиц. Список используемых источников состоит из 132 наименований, из них 48 иностранных.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМАМ СЧИСЛЕНИЯ МЕСТА МОРСКОГО АВТОНОМНОГО НАДВОДНОГО

СУДНА

Комплекс систем автономного судовождения МАНС предназначен для повышения эффективности функционирования МАНС за счет внедрения современных технологических решений автономного судовождения Данные системы обеспечивают выполнение функций:

- обеспечения ситуационной осведомленности, которая включает в себя блок обеспечения ситуационной осведомленности (из состава автоматической навигационной системы);

- навигации и маневрирования, включающие в себя модуль обеспечения навигации и управления движением (в составе автоматизированной навигационной системы), а также системы контроля и управления техническими средствами.

- дистанционного управления.

Системы автономного судовождения позволяют автоматически решать задачи анализа навигационной обстановки, оценки навигационных опасностей, маневрирования для избегания навигационных опасностей, контроля и управления техническими средствами судна. САС обеспечивает категорию МАНС не ниже ЯСЫС-ЯС.

Навигационная безопасность представляет собой комплексный, многоступенчатый процесс, требующий реализации разноплановых мероприятий [16]. Важным аспектом является своевременное получение актуальных данных о навигационной обстановке и гидрометеорологических условиях [17]. Основная цель - минимизация рисков аварийных ситуаций как на всех этапах движения МАНС.

Высокоточная навигация должна обеспечивать определение навигационных данных МАНС в открытом море, прибрежных районах, акватории морских портов и непосредственной близости от грузовых терминалов. В общем случае, на

официальных морских электронных навигационных картах в формате S-57, S-63 и S-100 в пост дистанционного управления должны поступать навигационные параметры МАНС в следующем объеме [18]:

• координаты с признаком точности и состоянием целостности;

• курс относительно грунта;

• скорость относительно грунта;

• скорость поворота (ROT).

Высокоточное определение навигационных параметров МАНС в пространстве в реальном масштабе времени должна обеспечивать точность, регламентированную требованиями «Правил классификации и постройки морских судов НД № 2-020101-174» РМРС п.33.9.1.2.13 и Резолюции ИМО А. 1046(27) (рисунок 1.1).

Системы определения местоположения судна должны обеспечивать с вероятностью 95% абсолютную точность определения местоположения.

Рисунок 1.1 - Сегменты точность определения местоположения МАНС в

зависимости от района плавания Таким образом в части требований к позиционированию можно выделить 4 сегмента точности. В рамках концепции БЭС-СП первый сегмент точности достигается с помощью комплексирования данных системы высокоточной проводки и швартовки и системы мониторинга швартовных операций (рисунок 1.2).

1у ''Лк / "

( * ' ,' / . ' ' ' ' ' ■ '.

Течение Волна

30.р4.2Й23 63:50 / ' '''' , '

г / , / '

''«.е, , л- '

Р . '

О 857 я V

□ АК

в АСГММ ТВ: :: □

□ СМШО :: В

в свпш :• О

н нжтсвп : ■ ! •• а

Опорная точка 1 Угол: 0.0° Опорная точка 2 X

Статус Исправна Поперечное смещение кормы 0.00 м Поперечное смещение носа 0.00 и Статус Исправна

Долгота 37.809872 Поперечное смещение корпуса 0.00 м Поперечное смещение корпуса 0.00 м Долгота 37.811613

Шпрота 44.719959 Продольное смещение кормы 0.00 м Продольное смещение носа 0.00 м Шпрота 44.720704

Продольное смещение корпуса 0.00 м Продольное смешение корпуса 0.00 м

Вертикальное смещение кормы 0.00 >1 Вертикальное смещение носа 0.00 м

Вертикальное смещение корпуса 0.00 м Вертикальное смещение корпуса 0.00 м

Скорость сближения кормы 0.00 и/с Скорость сближения носа 0.00 м/с

Рисунок 1.2 - Система мониторинга швартовных операций (порт Новороссийск)

Требование к точности, которую должна обеспечивать СМШО [19] при измерении поперечного, продольного и вертикального смещения судна относительно причала приведены в таблицах (см. табл. 1.1-1.3).

Таблица 1.1 Требования к точности при измерении поперечного смещения судна относительно причала_

Характеристика Диапазон измерений Точность измерений

от до

Расстояние от причала до носа судна, м 0 100 ± 10 см

Расстояние от причала до кормы судна, м 0 100 ± 10 см

Скорость сближения носа судна с причалом, см/с 0 100 ± 0,5 см/с

Скорость сближения кормы судна с причалом, см/с 0 100 ± 0,5 см/с

Угол положения судна по отношению к линии причала, ° -90° 90° ± 1°

Таблица 1.2 Требования к точности при измерении продольного смещения судна относительно опорных точек на причале_

Характеристика Диапазон измерений Точность измерений

от до

Расстояние от опорной точки причала до корпуса судна, м 0 100 ± 10 см

Таблица 1.3 Требования к точности при мониторинге изменения осадки судна относительно опорной точки_

Диапазон Точность

Характеристика измерений измерений

от до

Осадка, м 0 10 ± 10 см

Частота обновления данных, получаемых от опорных точек, составляет не менее 10 раз в секунду [20].

Система высокоточной проводки и швартовки обеспечивает высокоточное определение навигационных параметров судна (в том числе координат) в акватории морских портов с помощью данных от спутниковых систем навигации, а также с учетом принимаемых поправок Real Time Kinematic (RTK) при использовании бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) высокого класса точности, а также инерциальных систем, основанных на микроэлектромеханических системах, что позволяет нивелировать возможные сбои в работе спутниковых систем (рисунок 1.3).

В состав СВПШ входят две опорные точки и вычислительный блок. Каждая опорная точка включает в свой состав устройство БИНС со встроенным приемником спутниковой навигационной системы, принимающей поправки RTK.

Автономная навигационная система (АНС)

Оптическая система анализа окружающей обстановки состояния судна (ОСА)

Системы детальной регистрации данных и подсистемы самодиагностики (СДРПС)

Средства мониторинга доступности и контроля (СМК)

Система высокоточной проводки и швартовки (СВПШ)

Комплекс датчиков ближней зоны («умнаяв сцепка АНС-касание)

СКУТС

Защищенная локальная вычислительная сеть МОСС

Абонентская станция МОСС

Система управления одиночным и групповым движением

Система автоматической швартовки Иные вспомогательные системы

Рисунок 1.3 - Системы автономного судовождения МАНС на примере автономного буксира, разработанного Научно-исследовательской лабораторией «Автоматизация судовождения» (ГМУ им. адм. Ф.Ф. Ушакова)

СВПШ обеспечивает:

- прием сигналов спутниковой навигации от систем GPS, ГЛОНАСС, BeiDou и Galileo;

- прием от АНС данных по скорости судна и путевому углу;

- прием поправок RTK;

- высокоточное вычисление местоположения судна (в соответствии с п. 9.1.2.13 Положения по классификации морских автономных и дистанционно управляемых надводных судов (МАНС) НД № 2-030101-037);

- передача вычисленных координат и других навигационных данных судна в

АНС.

Второй сегмент точности достигается комплексированием данных между оптической системой анализа окружающей среды и системой высокоточной проводки и швартовки. Объем данных должен обеспечивать обнаружение, распознавание и идентификацию объектов, представляющих опасность, с возможностью слежения за объектами, а также определение курсового угла на

обнаруженные объекты и оценку дистанции до них [21]. Информация от оптической системы анализа должна обеспечивать обзор по всему периметру МАНС (360°), обнаружение и идентификацию навигационных знаков (системы МАМС), а также расположенные у берега значимые сооружения и обеспечивать идентификацию транспортных судов по огням и знакам. Совместная работа СВПШ и ОСА позволяет с высоким значением точности и надежности определять местоположение МАНС.

Третий и четвертый сегмент точности позиционирования опирается только на систему высокоточной проводки и швартовки, так как включает в себя ГНСС датчики и датчики инерциального счисления.

Таким образом, инерциальная навигационная система, входящая в состав системы высокоточной проводки и швартовки, играет одну из ключевых ролей в технологической оснастке морского автономного надводного судна, обеспечивая точное и отказоустойчивое определение местоположения МАНС. Она должна обладать характеристиками, гарантирующими безопасную навигацию в океанических зонах, прибрежных акваториях, порту и вблизи грузовых терминалов на протяжении времени, необходимого для восстановления функций радионавигационных систем или принятия других мер для обеспечения безопасности движения МАНС.

1.1 Характерные особенности инерциальных навигационных систем

Решение задач инерциальной навигации основано на физических принципах динамики [22]:

- Определение движения центра масс объекта.

- Определение вращательного движения вокруг центра масс.

Инерциальные навигационные системы разделяются по следующим типам:

1. Геометрические системы — используют геометрические построения плоскости местного горизонта, а также углы широты и долготы для определения местоположения объекта.

2. Полуаналитические системы — строят плоскость местного горизонта геометрически, но вычисляют широту и долготу аналитически с помощью вычислительного блока.

3. Аналитические системы — полностью определяют вертикаль и географические координаты аналитически в вычислительном блоке.

Для обеспечения корректности данных, формируемых ИНС, необходимо учитывать следующие аспекты:

- Методы измерения навигационных параметров относительно навигационной системы отсчета

- Виды ориентации акселерометров.

- Особенности моделирования используемой системы координат.

- Способы учета гравитационного ускорения.

- Методы ввода начальных параметров движения.

Рассмотрим структуру системы высокоточной проводки и швартовки (СВПШ), где БИНС играет ключевую роль [24]. СВПШ предназначена для точного определения навигационных параметров корпуса судна в реальном времени. Её работа основана на взаимодействии двух опорных точек (ОТ), размещенных на крыльях навигационного мостика, и интегрированного блока (ИБ).

Основные функции элементов СВПШ:

1. Опорные точки (ОТ):

o Принимают сигналы ГНСС.

o Включают малогабаритную БИНС, повышающую надежность и достоверность данных.

2. Интегрированный блок (ИБ):

o Обрабатывает данные от двух ОТ.

o Использует поправки, полученные от береговой контрольно-корректирующей станции в режиме RTK (Real Time Kinematic).

o Выполняет высокоточные измерения навигационных параметров корпуса судна и передает их в береговой центр управления (БЦУ).

При полной потере спутниковых сигналов система переходит в автономный режим, основанный на БИНС. Для коррекции данных используется информация от береговой станции, а также математический аппарат.

На морской навигационной электронной карте отображаются в реальном времени [25]:

- Векторы скорости носовой и кормовой оконечностей судна.

- Положение точки Pivot Point и точки вращения судна.

- Угловая скорость поворота судна.

- Расстояния от носовой и кормовой оконечностей до ближайших навигационных опасностей.

- Текущие координаты четырех характерных точек корпуса (цилиндра) судна.

Система СВПШ включает следующие компоненты:

1. Стационарные опорные точки (ОТ) — 2 шт.:

- Инерциальный измерительный блок.

- Приемник сигналов ГНСС.

2. Стационарный вычислительный блок (ВБ) — 1 шт.:

- Инерциальный измерительный блок.

- Приемник сигналов поправок RTK.

- Система передачи данных.

Пример расположения компонентов СВПШ изображен на рисунках 1.4-1.5

Рисунок 1.4 - Схема расположения интеллектуального блока СВПШ на борту автономного буксира (вид сбоку)

Рисунок 1.5 - Схема расположения опорных точек СВПШ на борту автономного буксира (вид сверху)

Блок чувствительных элементов и цифровой обработки сигналов ОТ (БИНС-ТЭК-С2 (МЭМС))

Физические характеристики

Габариты, мм 127 x 74 x 39

Масса, кг 0,05

Электрические характеристики

Напряжение питания, В 12..30

Потребляемая мощность, Вт не более 1,5

Данные

Частота выдачи, Гц 50

Интерфейсы RS-232, RS-422

Время азимутальной выставки, мин 0,5

Окружающая среда

Рабочая температура, °С -40..+75

Температура хранения, °С -60..+80

Вибрация 2д (20...20000Гц)

Удар однократный 500д (1 мс)

Удар многократный 50д (3 мс)

Эксплуатационные характеристики

Наработка на отказ, ч 20000

Срок службы, лет 7

Рабочие диапазоны

Угловые скорости, °/с 250

Линейное ускорение ±58

Тангаж ±90°

Крен ±180°

Курс 0..360°

Приемник сигналов ГНСС с функцией приема поправок РТК

Приемник ГНСС Navis NV08-CSM

Напряжение питания, В 10 - 30

Потребляемая мощность, Вт не более 1,5

Частота приёмника (Ь1) ГЛОНАСС, СТ-код, МГц GPS/WAAS/EGNOS, C/A-код, МГц 1592-1610 1575,42

Количество каналов 24

Чувствительность приёмника, dBW 165

Горизонтальная точность (СКО), м 3

Вертикальная точность (СКО), м 5

Частота обновления координат, Гц. 1, 2 и 5

Холодный старт, в среднем не более, сек. 90

Порты вывода два RS-232Е

Скорость связи с БИНС по порту RS-232, бод не более 115200

Точностные характеристики приемника сигналов ГНСС

Горизонтальные координаты 6 м

Путевая скорость 0,3 м/с

Вертикальная скорость 0,25 м/с

Крен, тангаж - динамическая точность 0,5°

Курс - динамическая точность 0,3°

Высота 6 м

Активная антенна приемника ГНСС

Габариты, мм 38 х 34 х 13,7

Вес, кг 0,02

Рабочая температура, °С -40..+85

Исполнение корпуса 1Р67, соответствует RoHS

Способ крепления магнит

Точностные характеристики активной антенны приемника ГНСС

GPS/ГЛОНАСС L1, полоса 35 МГц & = 1590 МГц

Коэффициент усиления МШУ от 20 до 30 дБ

Коэффициент шума встроенного МШУ < 2 дБ

Выходное сопротивление 50 Ом

Обратные потери < -10 дБ

Ослабление внеполосных сигналов, не 35 Б @ fc ± 70 МГц

менее

Блок чувствительных элементов и цифровой обработки сигналов ВБ (БИНС-ТЭК-С2 (ВОГ))

Физические характеристики

Габариты, мм 224 x 176 x 135

Масса, кг не более 7

Электрические характеристики

Напряжение питания, В 9..36

Потребляемая мощность, Вт не более 30

Данные

Частота выдачи, Гц 100

Интерфейсы RS-422 (2 шт.)

Время азимутальной выставки, мин 10

Окружающая среда

Рабочая температура, °С -20..+60

Температура хранения, °С -40..+80

Вибрация 2g (20...20000Гц)

Удар однократный 120g (1 мс)

Удар многократный 50g (3 мс)

Эксплуатационные характеристики

Наработка на отказ, ч 20000

Срок службы, лет 7

Рабочие диапазоны

Угловые скорости, °/с 250

Линейное ускорение ±108

Тангаж ±90°

Крен ±180°

Курс 0..360°

Высота 20000 м

Широта ±90°

Долгота ±180°

Точностные характеристики

Горизонтальные координаты 6 м

Путевая скорость 0,08 м/с

Вертикальная скорость 0,1 м/с

Крен, тангаж - динамическая точность 0,03°

Курс - динамическая точность 0,15°

Ошибка начального значения курса 0,08 * sec(ф) °

Уход курса 0,03 °/час

Высота 4 м

СВПШ (рисунок 1.6 - 1.7) основана на взаимодействии двух опорных точек и вычислительного блока, что позволяет решать задачи высокоточного позиционирования корпуса судна в выбранной системе координат. Система также рассчитывает и отображает на электронной карте все необходимые навигационные параметры. Работа СВПШ осуществляется через две опорные точки, установленные на крыльях мостика, которые передают данные с датчиков в интеллектуальный блок для высокоточного расчета широты, долготы, курса и вектора скорости судна в реальном времени [26].

Для повышения точности используется прием поправок, формируемых береговой контрольно-корректирующей станцией в режиме реальной кинематики ^ТК). На модифицированной электронной карте S-57 берегового центра управления (БЦУ) в режиме реального времени отображается вектор движения судна, включая его истинные размеры, форму, ориентацию и динамику перемещения.

В составе СВПШ используются БИНС двух типов: БИНС-ТЭК-С2 (МЭМС) и БИНС-ТЭК-С2 (ВОГ). Их применение повышает достоверность и надежность навигационных данных. Использование корректированного сигнала ГНСС обеспечивает необходимую позиционную точность, а точность определения скоростей достигает 5 см/с (-0.1 узла).

В случае полной потери спутниковых сигналов система переходит в автономный режим, основанный на данных инерциальной системы. Для коррекции погрешностей применяется математический аппарат инвариантной фильтрации, реализованный на основе самоидентифицирующейся системы нечеткой логики. Даже при деградации точности система сохраняет приемлемые характеристики для безопасного судовождения в стесненных условиях на протяжении десятков минут [27].

Таким образом, СВПШ представляет собой комплексное решение, обеспечивающее высокоточное позиционирование и надежность работы даже в условиях временной недоступности сигналов ГНСС.

Рисунок 1.6 - Схема интеграции аппаратных компонентов системы высокоточной проводки и швартовки

Рисунок 1.7 - Структурная схема высокоточной проводки и швартовки

Рассмотрим детально инерциальную навигационную систему опорной точки СВПШ, выполненную на основе микроэлектромеханических систем (БИНС-ТЭК-С2 (МЭМС)) [28]. Система является цифровой инерциальной навигационной системой (рисунок 1.8), которая без привлечения внешних данных способна автоматически вычислять угол рыскания, угол крена и угол дифферента своего носителя, используя информацию об ускорении и угловой скорости. Данная система оснащена трёхосевым МЭМС гироскопом и акселерометром, а также шестичастным алгоритмом фильтра Калмана для обработки данных. Кроме того, эта система имеет алгоритм нелинейной и ортогональной компенсации помех, компенсацию температурного дрейфа и компенсацию дрейфа нуля.

Рисунок 1.8 - БИНС-ТЭК-С2 (МЭМС опорной точки СВПШ)

Настоящая бесплатформенная инерциальная навигационная система предназначена для высокоточного определения навигационных параметров МАНС на акваториях морских портов по данным собственных инерциальных датчиков. БИНС обеспечивает [29]:

- счисление места судна при отсутствии сигналов спутниковой навигации до 30 секунд;

- периодическую выдачу навигационных данных судна с частотой 20 Гц.

- работоспособно в следующих режимах:

■ «Интегрированный»;

■ «Автономный».

Режим «Интегрированный» является основным режимом работы, когда БИНС принимает данные от СНС, судового лага. Режим «Автономный» является резервным кратковременным режимом длительностью не более 30 секунд, когда БИНС не принимает данные от СНС, но принимает данные от судового лага.

Выводы

Система высокоточной проводки и швартовки (СВПШ) обеспечивает высокоточное определение навигационных параметров судна — включая его координаты, курс, скорость и ориентацию. Для этого она интегрирует данные от глобальных спутниковых навигационных систем (ГНСС) с поправками в режиме реального времени (Real Time Kinematic, RTK), а также информацию от инерциальных навигационных систем: как высокоточных бесплатформенных (БИНС), так и более компактных, построенных на базе микроэлектромеханических систем (МЭМС). Такая мультисенсорная архитектура позволяет сохранять точность и надёжность навигационного решения даже при кратковременных сбоях или деградации спутникового сигнала. Таким образом СВПШ играет ключевую роль в технологической оснастке морских автоматизированных навигационных систем (МАНС), обеспечивая необходимую точность и отказоустойчивость для выполнения безопасной и эффективной проводки, маневрирования и швартовки судов в стеснённых условиях портовой акватории.

1.2 Математическая модель инерциальной навигационной системы, построенная на базе микроэлектромеханических систем (МЭМС)

Рассмотрим принцип работы БИНС на борту судна [30]. Для описания движения судна используется географическая система координат ОХд0Уд02д0, связанная с его начальным положением (рисунок 1.9).

Основные допущения модели:

a. Земля рассматривается как неподвижная сфера.

b. Система координат ОХд0Уд02д0 фиксирует начальное положение судна и ориентирована в соответствии с географическими направлениями:

- Ось ОХд0 направлена на восток.

- Ось ОУд0 направлена на север.

- Ось О2д0 направлена вертикально вверх, противоположно вектору силы тяжести.

Рисунок 1.9 - (Х,У, 2-.Локальные оси трехгранника, в:Угол наклона (между глобальной и локальной вертикалями), ф.Азимутальный угол (между проекциями вертикалей на горизонтальную плоскость) , Ух: Вектор скорости вдоль оси X, Ух : Вектор скорости вдоль оси Хд, к:

Высота над уровнем моря (высота точки Ог относительно поверхности Земли),

: Радиус кривизны Земли в точке Оъ )

В начальный момент времени известны координаты судна (широта и долгота) и его скорость Ухд&о) вдоль оси Хд географической системы

координат. Система координат 0ХУ2, связанная с судном, определяется следующим образом:

- Ось ОХ направлена вдоль продольной оси судна.

- Ось О! направлена поперечно (вправо относительно движения судна).

- Ось ОУ направлена перпендикулярно корпусу судна вверх.

В начальный момент времени система координат (рисунок 1.10) ОХд0Уд02д0 (географическая система) совпадает с системой 0ХУ2 (судовая система). На борту судна установлены акселерометры (Ах и Ау) и гироскопический датчик угловой скорости. Акселерометры размещены таким образом, что их оси измерений совпадают с осями ОХ и ОУ судовой системы координат [31]. Судно перемещается из начальной точки О0(ф({0), А(*:0)) в конечную точку А^)). В процессе

движения акселерометры измеряют вектор кажущегося ускорения п, который

задается проекциями: Ух — производная скорости вдоль оси Хд географической системы координат, д — ускорение свободного падения.

N

3

Рисунок 1.10 - Взаимная ориентация двух систем координат относительно

друг друга

О — точка начала глобальной системы координат Хд,Уд,2д — оси глобальной системы координат; ^ — ось связанной с судном системы координат; в — Угол наклона (между глобальной и локальной вертикалями); Ф — Угол (между проекциями вертикалей на горизонтальную плоскость); Ух — Вектор скорости вдоль оси Хд;

Кажущееся ускорение, измеряемое акселерометрами, может быть выражено через следующие проекции на оси чувствительных элементов [32]:

пх = Ухд • ^(0) + д • 81п(0), (16)

пу = д^^(в) — УХд^т(в), (17)

где:

УХд — продольное ускорение объекта; д — ускорение свободного падения;

в — угол между глобальной вертикалью и локальной вертикалью. Эти уравнения описывают составляющие кажущегося ускорения, которые используются для расчета параметров движения объекта.

Определение географических координат и А^)) выполняется

инерциальным способом через последовательность этапов:

1. Первый этап:

Интегрирование проекции кажущегося ускорения пХд позволяет найти приращение линейной скорости в северном направлении:

¡ПХд(И^УХд. (О)

Прибавляя начальную скорость УХд&0), получаем текущую линейную скорость УХд.

2. Второй

этап:

Линейная скорость делится на радиус Земли Я, что дает угловую скорость изменения широты [33]:

Широта вычисляется с учетом начального значения и угла наклона в. Для реализации навигационной задачи в БИНС выделяются следующие ключевые блоки:

1. Блок акселерометров:

Измеряет проекции кажущегося ускорения на оси локальной системы координат.

2. Блок пересчета:

Преобразует данные из локальной системы координат в глобальную.

3. Навигационный алгоритм:

Реализует математическую модель для расчета скорости, координат и ориентации объекта.

4. Блок гироскопов:

Определяет угловые скорости вращения объекта для корректного преобразования систем координат.

5. Алгоритм ориентации: Вычисляет углы ориентации (курс, тангаж, крен).

6. Блок идентификации погрешностей:

Корректирует ошибки, вызванные инструментальными погрешностями и внешними факторами.

С учетом собственных погрешностей акселерометров уравнения проекций кажущегося ускорения принимают вид [43]:

(1.9)

3. Третий

Второе интегрирование позволяет определить текущую широту:

/ (р бХ^ ф(г1).

(1.10)

этап:

пх = Vx cos в + gsin6 + Sax, (111)

* ■ (1.12) nY = gcosO — VXgsin6 + SaY

После пересчёта сигналов акселерометров на ось ОХд вычисленной системы координат получаем:

п~ = Vx cosß + gsinß + Saxcos(0 — ß) — SaYsin(6 — ß), (113)

Xg 3

где:

ß — ошибка в определении вертикали;

в — угол между осью акселерометра и истинной вертикалью;

Vx — горизонтальное ускорение объекта;

д — ускорение свободного падения;

öax, SaY — погрешности акселерометров.

Упрощение с использованием тригонометрических приближений. Для малых

значений ß, можно использовать следующие приближения [44]:

cos(6 — ß) « cose + ßsind, (1.14)

sin(0 — ß) « sinö — ßcosd (115)

Подставляя эти выражения в формулу для п~ , после упрощений получаем:

Хд

п~ « Vx + gß + Saxcos6 — SaYsin6 (116)

Xg "в

Вводим обозначение:

SaXg = SaxcosO — SaYsinO, (117)

где:

8аХд — проекция суммарной ошибки акселерометров на ось ОХд географической системы координат.

Ошибка в определении горизонтальной скорости будет иметь следующий вид:

С бах ш , (1.18)

^0

JOUv

gßdt = —sin((ßot)

0

Ошибка в определении широты будет иметь следующий вид:

АуЮ = [

¿п

<АУХ 8ах,

& = —- (1 - ^(ш^)) к д

(119)

Ошибка в определении пройденного расстояния будет иметь следующий вид: (см. рис. 1.11):

(1.20)

АБ(г)

8ах ,

= [ АУх(И = —(1-^(^))

JП ^п

Рисунок 1.11 - Программное моделирования накопления ошибок БИНС МЭМС в определении пройденного расстояния

Для идеального случая связь между проекциями кажущегося ускорения в связанной и географической системах координат задаётся матрицей перехода С:

(1.21)

^■хд -пх-

пуд = с Пу

-пгд. Р-г.

где:

пх, пу, п2 — компоненты кажущегося ускорения в связанной системе; пхд,пуд,пгд — проекции этого же ускорения на оси географического трехгранника.

Фактически в бесплатформенной инерциальной навигационной системе реализуется следующее соотношение:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жук Сергей Сергеевич, 2026 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Правила классификации и постройки морских судов. СПб.: Российский морской регистр судоходства, 01.07.2024. (НД № 2-020101-174).

2. Арнольд В.И., Теория устойчивости автоколебаний вблизи резонансов // Нелинейные волны / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. — М.: Наука, 1979. С. 116130.

3. Andronov, A.A., and Pontryagin, L. Systèmes Grossiers. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 14, 247-251, 1937.

4. Голован А. А., Мишин В. Ю., Молчанов А. В., Чиркин М. В. Метод анализа влияния погрешностей гироскопического канала бесплатфоменной инерциальной навигационной системы на погрешности инерциального счисления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. № 4. С. 130—141. DOI:10.31857/S0002338821040041.

5. Аль Битар Н., Гаврилов А. И., Хадаф В. Методы на основе искусственного интеллекта для повышения точности интегрированной навигационной системы при отсутствии сигнала ГНСС. Аналитический обзор // Гироскопия и навигация. 2019. № 4. С. 3—28. DOI: 10.17285/0869-7035.0014.

6. Доронин Д. В., Донченко А. А., Шевцов С. Н. Функционирование математической модели ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной систем при одновременной навигации, динамическом построении и обработке данных многоструктурных систем управления в рамках разработки алгоритмов интегрированной системы навигации летательного аппарата с использованием GPS/ГЛОНАСС технологий // Изв. Самарского научного центра РАН. 2012. Т. 14, № 4(5). С. 1363—1367.

7. Арнольд В.И. Теория катастроф. — М.: Знание, 1983.

8. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН. 1971. Т. 105, вып. 1. С. 3-39.

9. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.

10. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границы устойчивости. — М.: Наука, 1964.

11. Бромберг П. В. Теория инерциальных систем навигации. М.: Наука, 1979. — 296 с.

12. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966.

13. Базыкин А.Д., Куэнсцов Ю.А., Хибник А.И. Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости. — Пущино: НЦБИ АН СССР, 1985.

14. Зиферт, Д. С. Определение состояния судна на волнении с помощью МЭМС / Д. С. Зиферт, Д. Е. Студеникин, Р. Г. Филатова // Эксплуатация морского транспорта. - 2024. - №№ 1(110). - С. 157-164. - DOI 10.34046/aumsuomtl 10/24. - EDN QZRACS.

15. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2 2024616184 Российская Федерация. Программный комплекс для системы высокоточной проводки и швартовки (ПК СВПШ): № 2024614785: заявл. 05.03.2024: опубл. 18.03.2024 / В. Г. Сенченко, Д. Е. Студеникин, С. Н. Стуконог [и др.]; заявитель Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова». - EDN BBORCH.

16. Матвеев В. В., Распопов В. Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем / Под общ. ред. В. Я. Распопова. СПб: ЦНИИ „Электроприбор", 2009. 280 с.

17. Аль Битар Н., Гаврилов А. И. Компенсация погрешностей интегрированной навигационной системы с использованием искусственных нейронных сетей // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2020. № 2. С. 4—25. DOI: 10.18698/0236-3933-2020-2-4-26.

18. de

19. Adusumilli, S., Bhatt, D., Wang, H., Bhattacharya, P., & Devabhaktuni, V., A low-cost INS/GNSS integration methodology based on random forest regression, Expert Systems with Applications, 2013, 40(11), 4653-4659.

20. Breiman, L., Random forests. Machine learning, 2001, 45(1), 5-32.

21. Symon, H., Neural networks: a comprehensive foundation, Prentice-Hall,

1999.

22. Chen, L., & Fang, J., A hybrid prediction method for bridging GNSS outages in high-precision POS application, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2014, 63(6), 1656-1665.

23. Chen, X., Shen, C., Zhang, W. B., Tomizuka, M., Xu, Y., & Chiu, K., Novel hybrid of strong tracking Kalman filter and wavelet neural network for GNSS/INS during GNSS outages, Measurement, 2013, 46(10), 3847-3854.

24. Boutayeb, M., & Aubry, D., A strong tracking extended Kalman observer for nonlinear discrete-time systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(8), 1550-1556.

25. Zhang, J., Walter, G. G., Miao, Y., & Lee, W. N. W., Wavelet neural networks for function learning, IEEE transactions on Signal Processing, 1995, 43(6), 1485-1497.

26. Wang, X., Chen, J. X., & Ni, W., A hybrid prediction method and its application in the distributed low-cost INS/GNSS integrated navigation system, IEEE 18th International Conference on Information Fusion (Fusion), 2015, pp. 1205-1212.

27. Xu, Z., Li, Y., Rizos, C., & Xu, X., Novel hybrid of LS-SVM and Kalman filter for GNSS/INS integration, The Journal of Navigation, 2010, 63(2), 289-299.

28. Vapnik, V., The support vector method of function estimation. In Nonlinear Modeling, Springer, Boston, MA, 1998, pp. 55-85.

29. Yao, Y., Xu, X., Zhu, C., & Chan, C.Y., A hybrid fusion algorithm for GNSS/INS integration during GNSS outages, Measurement, 2017, 103, 42-51.

30. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Кн. 1: Автономные системы. Кн. 2: Корректируемые системы. М.: Наука, 1966, 1967.

31. Анучин О. Н., Емельяновец Г. И. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов. Под общ. ред. чл.-кор. РАН В. Г. Пешехонова. СПб., 1999. — 357 с.

32. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. — 320 с.

33. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992. — 280 с.

34. Броксмейер Ч. Ф. Системы инерциальной навигации. Л.: Судостроение,

1967.

35. Горенштейн И. А., Шульман И. А., Сафарян А. С. Инерциальная навигация. М.: Сов. радио, 1962.

36. Гироскопические системы. Гироскопические приборы и системы: Учеб. Для вузов / Д. С. Пельпор, И. А. Михалев, В. А. Бауман и др. Под ред. Д. С. Пельпора. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. школа, 1988. — 424 с.

37. Дмитриев С. П., Пелевич А. Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2002. — 159 с.

38. Захарин М. И., Захарин Ф. М. Кинематика инерциальных систем навигации. М.: Машиностроение, 1968.

39. Инерциальные навигационные системы морских объектов. / Д. П. Лукьянов, А. В. Молчанов, А. А. Одинцов, И. Б. Вайсгант. Под ред. Д. П. Лукьянова. Л.: Судостроение, 1989. — 184 с.

40. Инерциальная навигация. Под ред. О'Доннела. М.: Наука, 1968.

41. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. — 672 с.

42. Климов Д. М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука, 1984. — 118

с.

43. Лукомский Ю. А., Пещехонов В. Г., Скороходов Д. А. Навигация и управление движением судов. СПб.: Элмор, 2002. — 360 с.

44. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Изд.-во физ.-мат. лит., 1961.

— 824 с.

45. Мак-Клур К. Л. Теория инерциальной навигации. Пер. с англ. М.: Наука, 1964. — 300 с.

46. Пещехонов В. Г. Ключевые задачи современной автономной навигации // Гироскопия и навигация. — 1996. — № 1. — С. 48-55.

47. Помякаев И. И., Селезнев В. П., Дмитренко Л. А. Навигационные приборы и системы. М.: Машиностроение, 1983.

48. Ривкин С. С., Ивановский Р. И., Костров А. В. Статистическая оптимизация навигационных систем. Л.: Судостроение, 1976. — 284 с.

49. Селезнев В. П. Навигационные устройства. Л.: Машиностроение, 1974.

— 660 с.

50. Степанов О. А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 1998. — 370 с.

51. Степанов О. А. Особенности построения и перспективы развития навигационных инерциально-спутниковых систем. / Интегрированные инерциально-спутниковые системы навигации: Сб. статей. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2001.

52. Фридлендер Г. О. Инерциальные системы навигации. М.: Физматлит,

1961.

53. Челпанов И. Б., Несенюк Л. П., Брагинский М. В. Расчет характеристик навигационных гироприборов. Л.: Судостроение, 1978. — 264 с.

54. Якушенков А. А. Основы инерциальной навигации. М.: Морской транспорт, 1963. — 146 с.

55. Воронов В. В., Перфильев В. К., Яловенко А. В. Технические средства судовождения: Конструкция и эксплуатация. Учебник для вузов. Под ред. Е. Л. Смирнова. М.: Транспорт, 1986. — 335 с.

56. Смирнов Е. Л., Яловенко А. В., Якушенков А. А. Технические средства судовождения: Теория. Учебник для вузов. Под ред. Е. Л. Смирнова. М.: Транспорт, 1988. — 376 с.

57. Afraimovich, V.S., Bykov, V.V., and Silnikov, L.P. On structurally unstable attracting limit sets of Lorenz attractor type. Trans. Moscow Math. Soc., 44 (2), 153-216, 1983.

58. Aizawa, Y., and Saito, N. On the stability of isolating integrals. J. Phys. Soc. Jap., 32, 1636-1640, 1972.

59. Allwright, D.J. Harmonic balance and the Hopf bifurcation. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 82, 453-467, 1977.

60. Andronov, A.A., Leontovich, E.A., Gordon, I.I., and Maier, A.G. Theory of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane. Israel Program of Scientific Translations, Jerusalem, 1971.

61. Andronov, A.A., Leontovich, E.A., Gordon, I.I., and Maier, A.G. Theory of Dynamic Systems on a Plane. Israel Program of Scientific Translations, Jerusalem, 1973.

62. Andronov, A.A., Vitt, E.A., and Khaiken, S.E. Theory of Oscillators. Pergamon Press: Oxford, 1966.

63. Antman, S.S. Nonlinear Problems of Elasticity (Forthcoming book).

64. Arneodo, A., Coullet, P., and Tresser, C. Possible new strange attractors with spiral structure. Comm. Math. Phys., 79, 573-579, 1981.

65. Arneodo, A., Coullet, P., and Tresser, C. Oscillations with chaotic behavior: an illustration of a theorem by Shilnikov. J. Stat. Phys., 27, 171-182, 1982.

66. Arnold, V.I. Proof of A.N. Kolmogorov's theorem on the preservation of quasiperiodic motions under small perturbations of the Hamiltonian. Russian Math. Surveys, 18 (5), 9-36, 1963.

67. Arnold, V.I. Small divisor problems in classical and celestial mechanics. Russian Math. Surveys, 18 (6), 85-192, 1963.

68. Arnold, V.I. Instability of dynamical systems with several degrees of freedom. Sov. Math. Dokl., 5, 581-585, 1964.

69. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синай и Л.П. Шильникова. — М.: Мир, 1981.

70. Sparrow S. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors // Appl. Math. Sci. V. 41. — Berlin: Springer, 1982.

71. Berge P., Pomeau Y., Vidal C.H. Order within Chaos (Towards Deterministic Approach to Turbulence). — N.Y.: John Wiley & Sons, 1984.

72. Schuster H.-G. Deterministic Chaos. — Weinheim: Physik-Verlag, 1984.

73. Guckenheimer J.M., Holmes Ph. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields. — N.Y.: Springer-Verlag, 1983.

74. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука,

1984.

75. Лихенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984.

76. Синергетика / Под ред. Б.Б. Кадомцева. — М.: Мир, 1984.

77. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. — М.: Мир, 1985.

78. Неймарк Ю.И., Ландф П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987.

79. Anishchenko V.S. Dynamical Chaos — Basic Concepts. — Leipzig: Teubner-Texte zur Physik, Bd 14, 1987.

80. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.

81. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. — М.: Изд-во АН СССР,

1955.

82. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981.

83. Мигулин В.В., Мустель Ф.Р., Медведев В.И., Парыгин В.И. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.

84. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. — М.: Наука, 1980.

85. Бутенков Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1976.

86. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН. 1978. Т. 125, вып. 1. С. 123-168.

87. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синай и Л.П. Шильникова. — М.: Мир, 1981. С. 117-151.

88. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. — М.: Наука, 1982.

89. Ляпунов А.М. Собр. соч. Т. 1,2. — М.: Изд-во АН СССР, 1954-1956.

90. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.

91. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Изд-во, 1967.

92. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972.

93. Гауссиус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. — М.: Наука, 1976.

94. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1983.

95. Андронов А.А., Леонтович Е.М., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1967.

96. Марден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.

97. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М.: Мир, 1983.

98. Хессард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир, 1985.

99. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.

100. Постон Т., Слоард И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир,

1980.

101. Баутин Н.Н., Леонтович Е.М. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1976.

102. Хибник А.И. Периодические решения системы n дифференциальных уравнений: Материалы по математическому обеспечению ЭВМ // Алгоритмы и программы на ФОРТРАНЕ. — Пущино: НЦБИ АН СССР, 1979. Вып. 5.

103. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // Марден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. С. 317-335.

104. Reynolds O. An Experimental Investigation on the Circumstances which Determine whether the Motion of Water shall be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels // Phil. Trans. Roy. Soc. 1883. V. 174. № 9. P. 935.

105. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. 1976. V. A57, № 5. P. 397, 398.

106. Rubenf eld L.A., Siegman W.L. Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection // SIAM J. Appl. Math. 1977. V. 32. P. 871.

107. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167-192.

108. Sinha S., Ditto W.L. Dynamics Based Computation // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, № 10. P. 2156-2159.

109. Shenker S.J. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results // Physica. 1982. V. D5. P. 405-411.

110. So B.C., Mori H. Asymptotic shapes of power spectra near its onset point // Physica. 1986. V. D21. P. 126-136.

111. Sprott J.C. Some simple chaotic flows // Phys. Rev. 1994. V. E50, № 2. P. 647-650.

112. Stavans J., Helsot F., Libchaber A. Fixed winding number and the quasiperiodic route to chaos in a convective fluid // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 595599.

113. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. —In: Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics / Eds D.A. Rand, L.-S. Young. —Berlin: Springer-Verlag, 1980. V. 898. P. 366-381.

114. Tavakol R.K., Tworkowski A.S. On the occurrence of quasiperiodic motion on three tori // Phys. Lett. 1984. V. A100, № 2. P. 65-67.

115. Tavakol R.K., Tworkowski A.S. An example of quasiperiodic motion on T4 // Phys. Lett. 1984. V. A100, № 6. P. 273-276.

116. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for Universal Chaotic Behavior of a Driven Nonlinear Oscillator // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 714-717.

117. Ueda Y. Steady Motions Exhibited by Duffing's Equation: A Picture Book of Regular and Chaotic Motions. —In: New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics / Ed. P.J. Holmes. —Philadelphia: SIAM, 1980. P. 311-322.

118. Ulam S.M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V. 53, № 11. P. 1120.

119. Van der Pol B., Van der Mark J. Frequency demultiplication // Nature. 1927. V. 120. P. 363, 364.

120. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica. 1985. V. D16. P. 285-317.

121. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. multi-parameter criticality in Chua's circuit at period-doubling transition to chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. V. 6, № 1. P. 119-148.

122. Li T.-Y., Yorke J.A. Period Three Implies Chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. P. 982-985.

123. Maurer M., Libchaber A. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium: frequency locking and the onset of turbulence // J. de Phys. Lett. 1979. V. 40. P. L419-L423.

124. Linsay P.S. Period Doubling and Chaotic Behavior in a Driven Anharmonic Oscillator // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 1349-1352.

125. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141. (Перевод: Лоренц Е. Детерминированное непериодическое течение. —

В сб.: Странные аттракторы / Под ред. Я.Г.Синяя и Л.П.Шильникова. — М.: Мир, 1981. С. 88-116.)

126. Malraison V., Atten P., Berge P., Dubois M. Dimension of strange attractors: An experimental determination for the chaotic regime of two convective systems // J. Phys. Lett. 1983. V. 44. P. 897-902.

127. Mane R. On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear maps // In: Dynamical systems and turbulence. Lecture Notes in Mathematics / Eds D.A. Rand, L.-S. Young. — Berlin: Springer-Verlag, 1981. V. 898. P. 230-242.

128. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics // Nature. 1976. V. 261. P. 459-467.

129. Mori H., So B.C., Kuriki S. Spectral structure of intermittent chaos // Physica. 1986. V. D21. P. 355-370.

130. Nauenberg M., Rudnik J. Universality and the power spectrum at the onset of chaos // Phys. Rev. 1981. V. B24, № 1. P. 493-495.

131. Newhouse S.E., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm (m=3 or more) // Commun. Math. Phys. 1978. V. 64. P. 35-40.

132. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from a Time Series // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 712-715.