Методические основы учета нелинейных эффектов при решении контактных задач механики твердого деформируемого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Бабин, Александр Павлович

• Бабин, Александр Павлович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бабин, Александр Павлович

Аббревиатуры и основные условные обозначения.

Введение.

1. Анализ состояния проблемы, цель и задачи исследования.

1.1. О специфике контактных задач и выборе методов их решения.

1.2. Методология механики контактной псевдосреды.

1.3. Выбор рациональных алгоритмов, снижающих трудоемкость решения задач по МКЭ.

1.4. Результаты анализа публикаций, постановка цели и задач исследования.

2. Построение контактных конечных элементов.

2.1 Двухузловой контактный элемент (двумерный и трехмерный варианты).

2.2 Четырехузловой контактный конечный элемент (двумерный).

2.3. Шестиузловой контактный конечный элемент (двумерный).

2.4. Объемные контактные конечные элементы.

2.5. Результаты и выводы главы 2.

3. Разработка метода решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов различного вида.

3.1. Оценка эффективности известных алгоритмов решения контактной задачи по МКЭ.

3.1.1. Метод минимизации нелинейного функционала.

3.1.2 Оценка эффективности известных методов решения нелинейных задач теории пластичности применительно к решению контактной задачи по МКЭ.

3.2. Разработка метода решения контактных задач с учетом различных нелинейных свойств контактных конечных элементов.

3.3 Применение разрабатываемого метода для решения задач с известной площадкой контакта.

3.4 Пример применения разрабатываемого метода для решения задач с поиском локальных площадок контакта, в пределах номинальной площадки контакта.

3.5 Алгоритм применения разрабатываемого метода для решения задач с поиском площадки контакта, обусловленной макрогеометрией контактирующих тел.

3.6 Особенности алгоритма учета нелинейных свойств материала контактирующих тел.

3.7 Алгоритм учета специфики объемной задачи. Учет различных касательных свойств контактного слоя в разных направлениях.

3.8 Общий алгоритм решения контактных задач на основе механики контактной псевдосреды.

3.9. Результаты и выводы главы 3.

4. Методика идентификации свойств контактных конечных элементов на основе анализа экспериментальных исследований контактной жесткости.

4.1 Описание экспериментальных установок для исследования контактной жесткости.

4.2 Влияние параметров экспериментальных образцов и вариантов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методические основы учета нелинейных эффектов при решении контактных задач механики твердого деформируемого тела»

Актуальность темы. Огромные резервы роста производительности общественного труда и дальнейшего повышения жизненного уровня населения скрываются в проблеме повышения качества выпускаемых машин и приборов. Надежность, долговечность, эффективная работоспособность машин, механизмов и приборов в значительной степени определяется процессами, происходящими в зоне контакта. Именно в зоне контакта часто условия нагружения материала наиболее жесткие, а процессы повреждения конструкций начинаются с поверхности. В ряде случаев, при решении контактных задач, наряду с поиском площадки контакта важен учет тонких нелинейных эффектов, обусловленных шероховатостью, окисными пленками, наличием продуктов изнашивания и т.д. В решении контактных задач существует значительный разрыв между направлением, решающим прикладные контактные задачи тел без учета их шероховатости, и направлением, изучающим контакт шероховатых поверхностей.

В связи с указанным разработка эффективных методов и алгоритмов, позволяющих учесть многие типы нелинейностей при решении контактных задач, является актуальным направлением.

Известны многочисленные попытки решать нелинейные контактные задачи, применяя методы и алгоритмы, разработанные ранее в теории пластичности. В отечественной и зарубежной научно-технической литературе эти подходы получили названия такие, как: методы переменных параметров упругости (переменной жесткости); методы дополнительных (начальных) деформаций; методы дополнительных (начальных) напряжений и т.п. Для сохранения общепринятой терминологии будем далее подразумевать, что разработка "методических основ учета нелинейных эффектов при решении контактных задач", вынесенная в название работы, предполагает разработку метода и алгоритмов.

Целью настоящей работы является разработка метода и алгоритмов решения контактных задач с учетом нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел.

Научная новизна исследований, проводимых лично соискателем и выносимых на защиту, состоит в том, что разработан метод и алгоритмы решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов с учетом шероховатости поверхности, геометрии контактирующих тел, истории нагружения и других нелинейных эффектов.

Разработанный метод основан на методах дополнительных напряжений и дополнительных деформаций и отличается от них тем, что менее требователен к виду нелинейных зависимостей напряжений от деформаций, и практически для всех видов нелинейных зависимостей обеспечивает устойчивость итерационного процесса. В рамках метода разработаны алгоритмы, позволяющие учитывать: . геометрию контактирующих тел (поиск площадки контакта) за счет специальных свойств контактных конечных элементов; влияние величины нормальных напряжений (контактных давлений) на зависимость напряжений от деформаций в касательном направлении; различные свойства контактного слоя в двух взаимоперпендикулярных касательных направлениях; упругопластическое деформирование материала и другие явления.

Достоверность результатов и выводов настоящей работы подтверждена удовлетворительным соответствием результатов решения тестовых задач с аналитическими решениями или решениями, полученными другими численными методами.

Практическая ценность заключена в разработке достаточно универсального метода решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов. Разработанный метод позволяет свести нелинейную систему разрешающих уравнений к сходящейся последовательности решений систем линейных уравнений, без изменения в процессе решения матрицы жесткости системы. Последнее обстоятельство позволяет выполнять факторизацию матрицы жесткости системы один раз в начале решения задачи, что заметно сокращает время расчета.

Имея профилограмму шероховатости поверхности можно: методом конечных элементов [50, 51], статистическими или теоретическими методами [20, 34, 38, 67] или с помощью экспериментов [20, 21, 38, 42, 60, 67] получить зависимости напряжений от деформаций для поверхностного слоя (слоя шероховатости). Эти зависимости затем можно использовать в качестве свойств контактных конечных элементов для решения с помощью разработанного метода практических контактных задач с учетом требуемой шероховатости поверхности.

Реализация результатов исследования. Разработанный метод решения контактных задач использован для обоснования замены штатного двухслойного вкладыша , подшипника (баббит и бронза) модифицированным трехслойным вкладышем (баббит, бронза, сталь). Экономический эффект при этом достигается благодаря снижению стоимости вкладыша подшипника и.увеличению срока его службы (показано уменьшение факторов, влияющих на;развитие фрет-тинг-усталости, а также на появление и развитие усталостных трещин).

По заказу Института механики металлополимерных систем Национальной академии наук Беларуси (ИММС НАНБ) решена задача о контакте индентора с двухслойным упруго пластическим: основанием, показано: влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания. Результаты переданы на внедрение.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на: Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 1999г); Молодежной научно-технической конференции технических вузов центральной России (Брянск, 2000г); Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 2002г); Международной научно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 2002г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах [3-9, 28, 29, 76, 78, 79] общим объемом 48 страниц, 10 работ написаны совместно с другими авторами.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы, включающего 93 наименования. Работа содержит 194 страницы в том числе: 112 рисунков, 2 таблицы, 3 приложения.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Бабин, Александр Павлович

Заключение

1. Выполнена оценка эффективности следующих известных методов решения нелинейных задач: метода дополнительных напряжений; метода дополнительных деформаций! На ряде примеров показано, что ни один из этих методов не обеспечивает сходимости итерационного процесса в общем случае.

2. Опираясь на полученные результаты, разработаны модификации методов дополнительных напряжений и дополнительных деформаций. При этом сходимость была улучшена, но потребовалось применения некоторых плохо формализуемых приемов, возросло время выполнения расчета. Поэтому эти подходы признаны не перспективными.

3. Предложен подход, сочетающий преимущества метода дополнительных напряжений и метода дополнительных деформаций с автоматическим; выбором одного из них для каждого конечного элемента при решении задачи. Для сохранения: общепринятой терминологии, предложенный подход в рамках данной работы называется методом (по аналогии с методами дополнительных напряжений и дополнительных деформаций, на которые он опирается). При этом один из двух методов применяется лишь в случае, когда гарантируется сходимость. То есть в процессе решения в одних конечных элементах реализуется итерационная схема метода дополнительных деформаций, в других - метода дополнительных напряжений. Кроме того, на различных этапах итерационного процесса в каждом конечном элементе возможно изменение метода отыскания решения. При решении задач применяется пошаговое приложение нагрузки, что позволяет моделировать реальный процесс нагружения. Метод позволяет все нелинейные зависимости вынести в правую часть системы уравнений, что дает возможность выполнить факторизацию матрицы жесткости системы. Поиск площадки контакта в рамках метода, осуществляется за счет особых свойств контактных КЭ (моделирующих наличие начального зазора).

4. На основе предложенного метода, разработаны алгоритмы решения контактных задач с учетом ряда нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел. Алгоритмы позволяют учитывать: нелинейную зависимость напряжений от деформаций контактного слоя; историю нагружения зависимость кривой i т(у) контактного слоя в касательном направлении от уровня нормальных напряжений i сг; различные зависимости напряжений от деформаций во взаимоперпендикулярных касательных направлениях; геометрию тел (поиск площадки контакта); упругопла-стическую деформацию контактирующих тел и другие явления.

5. Разработанные алгоритмы реализованы на ЭВМ в виде программы и на ее основе выполнена серия расчетов, демонстрирующих работоспособность разработанного метода. Результаты расчетов сопоставлялись с аналитическим решением или решением, полученным методом минимизации функционала потенциальной энергии системы. Получена согласованность результатов.

6. Проанализированы экспериментальные данные исследований контактной жесткости Н.Б. Демкина и В.И. Максака. На примере экспериментальной установки ПКД, описанной в работе Н.Б. Демкина, расчетным путем; оценена величина, погрешности эксперимента. Установлено, что при первом нагружении погрешность эксперимента не превышает 10%, при повторном приложении нагрузки может достигать 15-20%. Выполнена аппроксимация имеющихся экспериментальных данных и построены зависимости напряжений от деформаций контактного слоя с учетом истории нагружения. Полученные нелинейные зависимости напряжений от деформаций использовались в ряде случаев при решении задач в качестве базовых свойств контактных КЭ.

7. Решена задача о контакте индентора с двухслойным упругопластиче-ским основанием, показано влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания. Результаты переданы на внедрение в ИММС НАНБ.

8. Разработанный метод был применен для вычисления НДС штатного и модифицированного вкладышей подшипников компрессора. По результатам расчета сделаны выводы о преимуществах модифицированного трехслойного (баббит, бронза, стальное основание) вкладыша перед штатным (баббит, бронзовое основание) вкладышем. В частности, растягивающие осевые напряжения в бронзовом и баббитовом слоях модифицированного вкладыша более чем в два раза ниже аналогичных напряжений в штатном вкладыше. Таким образом, замена штатного вкладыша подшипника модифицированным обеспечивает экономический эффект за счет снижения себестоимости и за счет увеличения срока службы вкладыша. Результаты переданы в ОАО "ГазЭнергоСервис" на внедрение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бабин, Александр Павлович, 2004 год

1. Атопов В.И., Сердобинцев Ю.П., Славин O.K. Моделирование контактных напряжений. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

2. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин B.C. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 440с.

3. Бабин А.П. Конечноэлементный алгоритм решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин. Сборник научных трудов. Под ред. Б.Г. Кеглина. -Брянск: БГТУ 2002. с. 138-148

4. Бабин А.П. Решение контактных задач с применением нелинейных контактных конечных элементов // Тезисы докладов 54-й студенческой научной конференции. Брянск: БГТУ, 1999. - С. 44.

5. Бабин А.П., Бурак И.И. Конечноэлементное моделирование контактного взаимодействия с учетом нелинейных эффектов // Молодежная научно-техническая конференция технических вузов центральной России. Тезисы докладов. Брянск: БГТУ, 2000г. С. 72-74

6. Бате К.Ю., Вильсон Э.А. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы т.1 М.: Наука, 1975 - 631с.

8. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542с.

9. Вовкушевский А.В. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхности // МТТ,. 1991. №3. С. 56-62.

10. Галанов Б.А. О приближенном решении некоторых задач упругого контакта двух тел. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981, № 5 С. 61-67

11. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980.-304с.

12. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

13. Гаркунов Д.Н. Триботехника. М.: Машиностроение, 1985. - 424 с.

14. Горячева И.Г. Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. -256 с.

15. Гудман JI.E. Исследование контактных напряжений в нормально нагруженных шероховатых сферических телах // Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикладная механика. М.: Мир, 1962. Т. 29. № 3. - С. 74-82

16. Демкин Н. Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей. М.: Издательство академии наук СССР, 1962. - 109 с.

17. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970.-227 с.

18. Джонсон К.Л. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510с.

19. Дрозд М.С., Матлин М.М., Осипенко А.П. Инженерные расчеты упруго-пластической контактной деформации. М.: Машиностроение, 1986. -224с.

20. Дьяченко П.Е., Толкачева Н.Н., Андреев Г.А:, Карпова Т.М. Площадь фактического контакта сопряженных поверхностей. Изд. АН СССР, -М.:1963. 95 с.

21. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Основа, 1991. - 271с.

22. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др. / Отв. ред. Рвачев В.Л.; АН УССР. Инст-т проблем машиностроения. Киев: Наукова думка, 1989. -232 с.

23. Зенкевич 0., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 318 е., ил.

24. Зернин М.В., Бабин А.П. К исследованию контактной жесткости с использованием модели механики "контактной псевдосреды". // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. № 6, 2001, том 67. С. 51-54.

25. Крагельский И.В. Триботехника: современное состояние и перспективы. Надежность и контроль качества, 1975, № 8. - С. 3—9

26. Крагельский И.В., Харач Г.М. О расчете износа поверхностей трения. // Расчетные методы оценки трения и; износа. Брянск: приок. кн. изд-во, 1975.-с. 5—47

27. Кузьменко А.Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента: Тула: Тульский политехи, ин-т, 1980. - 100 с.

28. Кузьменко А.Г. Решение МКЭ контактных задач теории упругости с учетом износа: Смешанные задачи механики деформируемого тела // Тез. докл. 3-й Всесоюзной конф. Харьков: 1985. - С. 108-109.

29. Кузьменко А.Г., Довидович Э.Б., Новисов В.И. Алгоритм и комплекс программ решения пространственных контактных упруго-пластических задач для шероховатых тел // Тез. докл. 8-й Всесоюзной конф. по прочности и пластичности. Пермь, 1983. - С. 108-109

30. Кузьменко А.Г., Зернин М.В., Овсий В.И. Разработка алгоритма и программы решения МКЭ плоских упруго пластических задач для соединений с натягом. Брянск: БИТМ, 1982. - 21с.

31. Кузьменко А.Г., Овсий В.И. Метод конечного элемента в расчетах деталей машин и конструкций. Брянск: Брянский ин-т транспорт, машиностроения, 1982. - 91с.

32. Левина З.М., Решетов Д.Н; Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение , 1971. - 264с.

33. Максак В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта. М.: Наука, 1975. - 57 с.

34. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400с.

35. Мелещенко Н.Г. К вопросу расчетной оценки условий работы стыковых соединений двигателей. // Тр. / ЦНИДИ. 1978. Вып. 73. С. 31-36.

36. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под. ред. А.С. Сахарова, И.А. Альтенбаха. Киев: Высшая школа, 1982. - 480с.

37. Метод определения нормальной контактной жесткости неподвижных стыков. Методические рекомендации МР42-82. М., ВНИИНМАШ, 1982.- 18 с.

38. Мишин А.В. Расчет динамически нагруженных опор скольжения методом конечных элементов. //Динамика, прочность и надежность транспортных машин. Сборник научных трудов. Под ред. Б.Г. Кеглина. Брянск: БГТУ, 2002.-С. 174-182

39. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. -Киев: Наук. Думка, 1989. 269с.

40. Морозов Е.М;, Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. -М.: Машиностроение, 1999. 544 с.

41. Нагарадж Х.С. Упругопластический контакт тел под действием нормальной и касательной нагрузок при трении // Тр. Амер. об-ва инж.-механиков. Проблемы трения. 1984. Т. 106. № 4. С. 93-102

42. Никишков Г.П. Программный комплекс для решения задач механики деформируемого твердого тела. М.: МИФИ, 1988. - 84 с.

43. Образцов И.Ф., Савельев Л;М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985-390 с.

44. Ольшевский А.А., Винник, JI.B., Фридберг A.M. Решение нормальной контактной задачи для шероховатых номинально плоских поверхностей // Динамика и прочность транспортных машин: Сб. науч. тр. Брянск, 2000. -С 102-108.

45. Орлов А.В., Пинегин С.В. Остаточные деформации при контактном нагружении. М.: Наука, 1971. - 62 с.

46. Основы трибологии (трение, износ, смазка) / Под ред. А.В. Чичинадзе. -М.: наука и техника, 1995. 778 с.

47. Пашнин В.Г., Сапунов В.Т. Контактное взаимодействие топливного сердечника с оболочкой ТВЭЛА // Деформация и разрушение материалов и элементов конструкций ЯЭУ. М: МИФИ, 1993. - С. 38-47

48. Пономарев B.C. Внедрение жесткого штампа в эластичный материал. Механика деформированного твердого тела. Томск: 1987. - С. 147-152.

49. Рвачев B.JL, Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. - 567с.

50. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике. Том 1. -М.: Мир, 1986.-349 с.

51. Розин JI.A., Смирнов М.С. Решение контактных задач теории упругости с податливостью в односторонних связях // Известия вузов. Строительство. 2000. №5. С.27-32.

52. Рыжов Э.В., Колесников Ю.В., Суслов А.Г. Контактирование твердых тел при статических и динамических нагрузках. Киев: Наук, думка, 1982. -172с.

53. Сакало В.И. An iterative method for solving contact problems. Доклад на международном конгрессе ICIAM-95. Гамбург, 1995

54. Сакало В.И., Ольшевский А.А., Шевченко К.В., Винник JI.B. A direct finite element method for solving the rolling contact problems // Extended abstracts of the 5-th Int. Conf. on Railway Bodies and Running Gears. Budapest, 2001. - C.47-49

55. Сакало В.И., Тищенко П.А. Алгоритмы трехмерных контактных задач. // Динамика и прочности транспортных машин. Сб. науч. тр./БГТУ: Под ред. В.И. Сакало. Брянск: Изд. БГТУ, 1998. - с. 156

56. Самуль. В.И. Основы теории упругости и пластичности. Учеб. пособие для инж.-строит. специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1970. -288с.

57. Свечков И.Н., Ярославский A.M. Технология компрессоростроения. М.: Машиностроение, 1978.- 199с.

58. Секулович М. Метод конечных элементов: Пер. с серб. М. Стройиздат, 1993.-664с.

59. Суслов А.Г. Техническое обеспечение контактной жесткости соединений. М.: Наука, 1977. - 100 с.

60. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с. англ. / Под ред. Г.С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука, 1979. - 560 с.

61. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987.-320 с.

62. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд. Наука, 1970. -544с.

63. Фурунжиев Р.И. Дискретный; контактный конечный элемент в механике твердых деформированных тел // Вопросы строительства и архитектуры. 1979: №9.-С; 66-72

64. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей машин тепловых двигателей. JL: Машиностроение, 1983. - 212 с.

65. Шилько С.В., Можаровский ВВ. Численное исследование микропроскальзывания в контакте индентор-упругое основание // Трение и износ, том VI, № 2, 1985. С. 283-288.

66. Шилько С.В;, Старжинский В.Е;, Бабин А.П., Зернин М.В. Моделирование контактного взаимодействия в сопряжениях микроэлектромеханических систем. // Вестник Гомельского Государственного Технического университета имени П.О. Сухого, 3-4' 2002. С. 31-38

67. Шилько С.В., Старжинский В.Е., Бабин А.П., Зернин M.Bi, Шалобаев Е.В. Особенности расчета сопряжений компонентов МЭМС. // Микросистемная техника, №6, 2003. С. 16-20

68. Экспериментальная механика // Под ред. А. Кабаяси. М:: Мир, 1990. Т. 2.-551 с.

69. Эюоз Ф.А., Мервин Дж. Е. Решение нелинейных задач упругопластично-сти методом дискретных элементов // "Ракетная техника и космонавтика" том. 6, № 10, октябрь 1968. С. 3-10

70. Яковлев А.В. Остаточные напряжения в анитифрикционном слое баббитового подшипника // Вопросы исследования прочности и динамики элементов машин и подвижного состава железных дорог. Тула: Тульск. политехи. ин-т, 1978. G. 119 123.

71. Cattoneo С. Sul Contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi. Roma: Reale Academia nazionale dei lincei, serie 6, vol. 27., 1938 pp. 342348

72. Dumas G., Baronet C.N. Elastoplastic indentation of a half-space by an infinitely long rigid circular cylinder. // International journal of mechanical sciences, 1971, v.13. P. 519-530.

73. Fridriksson B. Finite elements solutions of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems // Сотр. and Struct. 1976. V. 6. P. 281-290.

74. Herrman L.R. Finite element analysis of contact problems // Int. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE. 1978. Vol. 104, N 5. P. 1043-1057.

75. Hughes T. J. R., Taylor R. L., Sackman J. L., Curnier A., Kanoknukulchai W. A finite element method for class of contact-impact problems // Сотр. met. in applied mechanics and engineering. 1976. Vol.8. N 4. P. 249-276

76. Mazurkewicz M., Ostachowicz W. Theory of finite element method for elastic contact problems of solid bodies // Сотр. Struct. 1983. Vol. 17. N 1. P. 5159

77. Michalowski R., Mros Z. Associated and nonassociated studing rules in contact friction problems // Arch. mech. stosow. 1976. № 3. P. 259-276.

78. Sachdeva T.D., Ramakrishan C.V. A finite element solution for the two-dimensionnal contact problems with friction // Int. J. Number. Meth. Eng. 1981/Vol. 17. P. 185-192.

79. Satoshi O. Finite element analysis of elastic contact problems // Bull. JSME. 1973. Vol. 16. N95.-P. 12-25

80. Yamada Y., Yoshimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method. // International journal of mechanical sciences, 1968, v. 10, N5 P. 343-354.

81. Zahavi E. Concerning the solution of elastic-plastic problems by the finite-element method. Journal of applied mechanics. June 1980, v. 47. P. 435-436.