Модели осцилляторов в вычислительных системах с контролем и коррекцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Катермина, Татьяна Сергеевна

• Катермина, Татьяна Сергеевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Катермина, Татьяна Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Математические модели осцилляторов

1.1. Модели осцилляторов на основе уравнений Пфаффа

1.2. О системах уравнений с неопределенными коэффициентами

1.3. Адаптивные модели осцилляторов

Выводы по главе 1

Глава 2. Математические модели осцилляторов на основе метода избыточных переменных для контроля и коррекции вычислительных процессов в условиях помех

2.1. О влиянии помех различного вида на вычислительные процессы и необходимости в контроле и коррекции

2.2. Общее описание метода избыточных переменных

2.2.1. Жесткие избыточные модели осцилляторов

с алгебраической коррекцией

2.2.2. Коррекция в моделях осцилляторов с избыточностью

2.2.3. Контроль и коррекция моделей осцилляторов с избыточностью с непрерывной обратной связью

2.2.4. Гибкие модели осцилляторов с избыточностью

2.3. Анализ эффективности метода избыточных переменных

2.4. Выводы по главе 2

Глава 3. Вычислительные эксперименты для исследования осцилляторов в различных режимах и практические применения

3.1. Численные методы и эксперименты с воспроизведением плоских кривых

3.1.1. Осцилляторы на окружности, на эллипсе,

на сложных кривых

3.2. Эксперименты с поворачивающейся контрольной плоскостью

3.3. Эксперименты с пространственными кривыми

и поверхностями

3.4. Эксперименты с жесткими структурами

3.5. Эксперименты с гибкими структурами

3.6. Практические применения

3.6.1 Моделирование движения континентальных плит по поверхности земного шара

3.6.2 Применение метода избыточных переменных

в промышленности

3.4. Выводы по главе 3

Заключение

Список использованных источников

Приложение Программный комплекс для автоматической генерации структуры расширенных систем уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели осцилляторов в вычислительных системах с контролем и коррекцией»

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование осцилляторов играет важную роль во многих отраслях современной науки и техники. Осциллятором можно назвать любую систему, если величины, ее описывающие, периодически или апериодически меняются со временем. Таким образом, моделирование осцилляторов может быть использовано в таких отраслях как программное управление оборудованием, навигационные системы, теория электромагнитного излучения, акустика, теория тяготения, теория твердого тела, теория колебательных спектров молекул и т.п. [2,48,49].

Одним из важнейших применений моделей пространственных кривых является линейный гармонический осциллятор, колебания которого являются основной моделью движения частиц в атомах, атомных ядрах, молекулах, твёрдых телах. Другим — исследование тороидальной поверхности и кривых на этой поверхности как моделей движения токов и соответствующих магнитных полей внутри устройства для осуществления управляемого термоядерного синтеза — токамака.

В классических работах по осцилляторам в различных областях не рассматривались вопросы их моделирования на вычислительных машинах, тогда еще не было развитой вычислительной техники. Моделирование осцилляторов открывает новые возможности их исследования с помощью вычислительного эксперимента, но при этом возникают и дополнительные проблемы, которые и исследуются в диссертации.

При моделировании осциллятора важно выбрать не только численный метод, но и шаг дискретизации, что обусловлено неустойчивостью системы, когда любое сколь угодно малое возмущение, например сбой, помеха, неточность численного метода, может привести к самопроизвольному нарастанию возмущений и качественному изменению поведения системы [12, 17].

При решении любых задач на ЭВМ неизбежно возникновение ошибок, являющихся результатом помех, сбоев, применением численных методов

решения со слишком большим шагом дискретизации. Большинство методов обнаружения и исправления этих ошибок базируются на использовании аппаратной или временной избыточности [27, 76].

Точность решения задачи моделирования поверхностей различного рода, моделирования состояния атома, прогнозирования движения континентальных плит и т.д. напрямую зависит от величины шага дискретизации. Определение, в каком именно блоке вычислителя произошел сбой, в какой переменной необходимо исправить ошибку, является причиной ввода дополнительных резервных блоков, введения методов двойного счета, коррекции вперед, основанной на методах тестового контроля [16, 17, 27, 76].

Кроме контроля (обнаружение ошибки) и коррекции (исправление ошибки) часто необходима еще и диагностика (определение места сбоя). Эго существенно увеличивает затраты на разработку и поддержку информационной системы.

Изучение вопроса контроля динамических систем получило широкое распространение в начале 20-го века. В нашей стране A.M. Ляпунов и II.Г. Четаев вплотную подошли к данной проблеме. В связи с развитием вычислительной техники вопросы контроля вычислительных процессов приобрели особую остроту, так как для многих задач требовалось получать решение на длительных интервалах времени и при исследовании очень сложных систем уравнений, и так как вычислительные машины стали использоваться для целей управления.

Также задача обеспечения надежности динамических систем в последствие развивалась в работах таких ученых, как Л.Г. Евланов, C.B. Яблонский, Ф.Е. Темников, H.H. Пономарев, К.Б. Карандеев, Г. Найквист, Р. Калман и др.[23]

Возможности использования избыточности для борьбы с помехами были впервые осознаны в технике связи еще в 30-е годы, с появлением и развитием теории информации получило дальнейшее развитие понятие избыточности. Термин "избыточность" был введен в русскую техническую литературу при переводе классической работы К.Шеннона в 1953 году H.A. Железновым, с именем которого тесно связана разработка проблемы избыточности в информационных системах.

В диссертации развивается метод избыточных переменных, в свое время предложенный М.Б. Игнатьевым и В.В. Михайловым, при помощи которого в данной работе решаются задачи диагностики, контроля и коррекции при моделировании сложных систем. Этот метод может быть отнесен к методам аналитической избыточности, хотя был предложен и описан задолго до того, как термин "аналитическая избыточность" получил в нашей стране широкую известность [55]. М.Б. Игнатьевым рассматривались в основном аналоговые вычислительные структуры [31, 96], в данной работе исследуются дискретные системы методом вычислительного эксперимента. А также в данной работе рассматриваются математические компьютерные модели сложных систем, такие как движение континентальных плит на поверхности земного шара, что важно для исследования землетрясений [13].

Метод избыточных переменных [27] позволяет вводить избыточность па уровне исходной задачи, что открывает возможность наложить дополнительные ограничения на переменные расширенной системы, которые можно использовать в качестве контрольных условий. Например, если требуется решить дифференциальные уравнения:

§ = = Ъ(х>г),

то можно ввести новую, третью переменную в эту задачу Х = Г = 6■ *х1, / = 1,2,3,

и на расширенную систему наложить дополнительное ограничение, например такое:

Е3(х],х2,х3) = 0,

которое можно использовать в качестве контрольного условия — если оно нарушается, то сигнал ошибки можно использовать для коррекции системы. Аналогичным образом можно вводить избыточность в различные системы, накладывать контрольные условия и строить цепи коррекции [8, 27, 31]. Актуальность темы подтверждается необходимостью реализовывать встроенные

вычислительные устройства в различные блоки для программного управления оборудованием высокой ответственности.

Целью работы является исследование возможности построения моделей осцилляторов, заданных уравнениями Пфаффа или конечными уравнениями, в вычислительных системах с контролем и коррекцией на основе метода избыточных переменных. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать аналитические методы контроля и коррекции как на основе использования естественной избыточности, так и на основе искусственной избыточности с обратной связью с проверкой результатов в вычислительных экспериментах.

2. Разработать метод коррекции "вперед" с использованием избыточных переменных с проверкой результатов в вычислительных экспериментах.

3. Разработать пакеты прикладных программ устойчивых моделей осцилляторов. Создать программный комплекс для автоматического генерирования структуры расширенных систем.

Научная новизна. Разработан метод математического моделирования с помощью избыточных переменных, позволяющий моделировать различные кривые, в том числе и на сложных поверхностях, а также контролировать, корректировать и диагностировать ошибки при моделировании дискретных систем с использованием численных методов. Разработан метод коррекции "вперед" с использованием метода избыточных переменных.

Методы исследования. Для решения поставленных задач и подтверждения исследований было использовано математическое моделирование с применением ЭВМ, теория устойчивости динамических систем, вычислительный эксперимент. При исследовании математических моделей использовались численные методы Эйлера [1], Рунге-Кутты 4-го порядка [1], Вогтапс1-Рппсе 5-го и 8-го порядков [89], Во£аскл-8Ьатрше 3-го порядка [86], Неип [87], Адамса [57], Розенброка [97], метод трапеций с переменным шагом дискретизации [1].

Теоретическая и практическая значимость. Моделирование осцилляторов, заданных уравнениями Пфаффа, играет огромную роль в современной науке, и модели должны отвечать критериям точности, надежности, адекватности и пр. Метод избыточных переменных позволяет применять к сложным информационным системам контроль, коррекцию и диагностику ошибок путем использования собственной внутренней избыточности системы или добавлением избыточности с незначительными затратами ресурсов, что особенно важно при моделировании осцилляторов, как неустойчивых систем. Метод математического моделирования с использованием избыточных переменных позволяет моделировать кривые на сложных поверхностях. Результаты, полученные в работе, позволяют моделировать и строить вычислительные устройства для систем программного управления оборудованием, навигационных систем, движения материковых плит, электронов в атомах, атомов в молекулах и т.д.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан метод аналитического конструирования устойчивых вычислительных систем с контролем и коррекцией, в рамках которого синтезированы устойчивые модели осцилляторов.

2. Разработаны методы контроля и коррекции жестких и гибких структур с избыточностью.

3. Разработан метод коррекции "вперед" с использованием избыточных переменных и поворачивающейся контрольной плоскости.

4. Методом вычислительного эксперимента подтверждена работоспособность предложенных алгоритмов. Предложены следующие рекомендации:

а. для создания устойчивых моделей плоских кривых возможно использование одного контрольного условия. Наиболее удобным является вариант контроля и коррекции по воспроизводимой функции, если таковая известна;

б. для создания устойчивых моделей генерации пространственных кривых необходимо рассматривать уравнения пересекающихся поверхностей в качестве контрольных условий.

5. Разработаны четыре пакета прикладных программ:

а. программный комплекс, позволяющий автоматически генерировать структуры расширенных систем уравнений; №2015611946, зарег. 10.02.2014;

6. программный комплекс, реализующий алгоритм воспроизведения плоских кривых с контролем и коррекцией; на регистрации;

в. программный комплекс, реализующий алгоритм воспроизведения пространственных кривых с контролем и коррекцией; №2015614142, зарег. 07.04.2015;

г. программный комплекс, реализующий модель движения материковых плит; №2015614143, зарег. 07.04.2015.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Информационные ресурсы в образовании (всероссийская научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 14-16 апреля 2011г.), Культура, наука, образование: проблемы и перспективы (всероссийская научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 7-8 февраля 2012 г.), Информационные ресурсы в образовании (международная научно-практическая конференция, г.Нижпевартовск, 27-29 марта 2012 г.), Региональная информатика «РИ-2012» (юбилейная XIII санкт-петербургская международная конференция, г.Санкт-Петербург, 23-24 октября 2012 г.), Информационные ресурсы в образовании (международная научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 17-19 апреля 2013 г.), Международный латиноамериканский форум и выставка инновационных разработок молодых ученых PeRuSat-2013 (г.Лима, Республика Перу, 17-22 сентября 2013 г.), Информационная безопасность регионов России (VIII Санкт-Петербургская межрегиональная конференция, г.Санкт-Петербург, 2325 октября 2013 г.); а также доклад по теме диссертации был представлен на семинаре Дома ученых им. М. Горького РАН в секции кибернетики (г. Санкт-Петербург, 23 марта 2015 г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в их числе 4 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК. В совместных с научным руководителем работах научному руководителю принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 160 страниц, работа содержит 52 рисунка и 17 таблиц. Список литературы состоит из 98 наименований.

В первой главе рассматриваются общие вопросы моделирования систем, заданных уравнениями Пфаффа. Показан метод генерации систем с неопределенными коэффициентами, возможность манипулирования которыми позволяет повысить адаптационные возможности систем.

Во второй главе рассматриваются вопросы влияния помех различного вида на вычислительные процессы и необходимости в контроле и коррекции, приводится общее описание метода избыточных переменных, рассматривается подробно вопрос о введении избыточных переменных в исходную задачу и наложении дополнительных условий, описывается метод аналитического конструирования систем с коррекцией, производится сравнение метода избыточных переменных с другими способами контроля и управления вычислительными процессами.

В третьей главе приводятся вычислительные эксперименты и практические применения описываемых методов, приводятся эксперименты с воспроизведением плоских и пространственных кривых и движения по поверхностям.

В заключении обобщены итоги и результаты исследований, приведенных в работе.

ГЛАВА I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ 1.1. Модели осцилляторов на основе уравнений Пфаффа

Существует целый класс оборудования, для которого важен вопрос экономии времени и памяти при заданной точности и помехоустойчивости. Сюда можно отнести станки с числовым программным управлением (ЧПУ), роботов, навигационные системы и т.д.

В настоящее время повсеместно при управлении таким оборудованием применяются компьютеризированные системы управления. Однако компьютеризация и автоматизация производства этим не ограничивается. Подготовить программу для станка с ЧПУ помогают всевозможные системы автоматизированного производства (SprutCAM, NX САМ), которые могут включать в себя модули управления станками, подготовки программ на языках управления (например, G-code, параметрическое программирование), а также системы предварительной разработки изделия. Для предварительной разработки изделия или его части применяются различные технологии, различные системы автоматизированного проектирования (Mathcad, SolidWorks, NX, ADEM). Большинство из этих систем позволяют задать изменение параметров детали в виде алгебраических, дифференциальных уравнений. Например, система автоматизированного проектирования Mathcad включает в себя программный пакет, систему компьютерной алгебры Maple с возможностью использования в качестве исходных материалов зависимостей параметров, заданных в виде дифференциальных уравнений, с использованием символьных или численных методов вычислений.

Уравнения Пфаффа, кроме рассмотренных выше примеров организации работы станков с ЧПУ, могут применяться в различных областях науки и техники: в навигационных задачах на поверхности земного шара — при прокладке маршрутов самолетов и спутников, при моделировании движения

континентальных плит и т.д., спектр очень широк.

Другим примером необходимости применения высокоточного моделирования плоских и пространственных кривых являются исследования тороидальной поверхности и кривых на этой поверхности как моделей движения токов и соответствующих магнитных полей внутри устройства для осуществления управляемого термоядерного синтеза — токамака. Модель тора с контролем и коррекцией результатов представлена в третьей главе данной работы.

В данной работе представлены методы, позволяющие контролировать, корректировать и диагностировать ошибки в работе различного оборудования, траектория движения частей которого может быть задана алгебраическими или дифференциальными уравнениями, в том числе и уравнениями Пфаффа. Например, в промышленности часто используются станки по обработке поверхностей и кривых второго порядка, которые могут быть заданы уравнениями Пфаффа. Кроме того, определенные таким образом закономерности изменения параметров позволяют наиболее точно построить и исследовать модели поведения оборудования при помощи САЕ-систем (компьютерных систем, позволяющих производить решение задачи анализа и симуляции процессов) для предстартового анализа возникновения ошибок.

Уравнением Пфаффа в пространстве, т.е. в случае трех независимых переменных, называется уравнение вида [60]:

где Р, Q, Я — функции от х, у, г, зависящие от времени /.

Данное уравнение можно получить из соотношения между х, у н г такого,

что:

Рс1х + 0,с1у+Яс12 = 0,

(1.1)

Ф{х,у,г)= 0.

(1.2)

Дифференцируя (1.2) по / получим

ах оу бг В общем случае пфаффово уравнение имеет вид:

ох

02

(1.3)

а, (х)йбс, + а2 (х)сЬс2 Н-----1-ап (.х)с1хп = 0, (1.4)

где хеОаЯ", функции а;(х), 1 = \,...,п, удовлетворяют условиям непрерывности и дифференцируемости [71].

В данной работе описывается возможность исследования систем, описанных с помощью уравнений Пфаффа, моделирования таких систем, а также контроля, коррекции и диагностики построенных моделей. Описанные методы могут быть полезны там, где имеются повышенные требования к точности и быстродействию расчетов.

1.2. О системах уравнений с неопределенными коэффициентами

Для того чтобы воспроизводить кривые и поверхности, заданные с помощью системы уравнений Пфаффа, т.е. системы уравнений вида (1.4), в данной работе предлагается построить расширенную систему эквивалентных уравнений. Определим алгоритм построения расширенной системы эквивалентных уравнений из данных.

Построение любого вычислительного процесса связано с выделением выходных переменных среди исследуемых основных соотношений и с организацией такого процесса, чтобы эти переменные вычислялись в функции от входных параметров. Назначение выходных переменных и входных параметров в основных соотношениях осуществляется в процессе постановки задачи. В данном случае рассматриваются системы, описывающиеся конечными уравнениями или уравнением Пфаффа [20, 60, 71], причем число переменных в них равно или больше числа уравнений связи. Уравнения Пфаффа являются квазилинейными уравнениями относительно дифференциалов переменных, а конечные уравнения могут быть приведены к квазилинейному виду либо путем дифференцирования, либо путем выделения выходных переменных среди групп слагаемых в уравнениях. Таким образом, для определения структуры уравнений систем с

избыточностью необходимо исследование квазилинейных систем неопределенностью.

Пусть поведение системы задано в виде

£ * X = 0 , п>т,

(тхп) ("1x1)

где 0> = д.. — матрица коэффициентов,

(1.5)

( тхп )

т,п

X =

(,Ы)

Х7

! / — матрица-столбец выходных переменных или их дифференциалов.

При исследовании таких систем в алгебре [18, 34] принято избавляться от неопределенности путем разделения переменных системы на две группы: на группу главных и группу свободных переменных, при этом число главных переменных меньше или равно числу уравнений связи. Главные переменные определяются в функции от свободных переменных и матрицы коэффициентов. В этом случае исследуется частная система, полученная из общей системы (1.5), что при изучении ее поведения в целом является неудобным и при отсутствии априорной информации о коэффициентах приводит к плохой обусловленности

решения или некорректности. Метод избыточных переменных предполагает другой путь. Общее решение системы — вектор X строится в функции от коэффициентов qij и группы новых переменных — произвольных коэффициентов

и [25]. Задаются конкретные значения этим коэффициентам, получаются частные решения системы, осуществляется задание различных поведений на заданных многообразиях (1.5).

С любым числом переменных п > т определяется структура уравнений для = [25]. Число произвольных коэффициентов в этом случае будет

равно

5=с;+1. (1.6)

На основании изложенного выше был предложен следующий алгоритм определения структур уравнений с неопределенными коэффициентами [25].

Пусть требуется найти дифференциальные уравнения, решения которых располагаются на поверхностях

Fj=(x{,x2,xъ,xA) = 0, у = 1,2. (1.7)

Вначале задаются произвольные коэффициенты, число которых в данном случае С\ =4,

щ =|123|, м2= |124|, и3=|134|, м4=|234|.

Эта запись означает, что коэффициент их соответствует сочетанию 123, коэффициент и2 соответствует другому сочетанию 124 и т.д.

Коэффициенты, которые соответствуют сочетаниям, содержащим 1, располагаются в первой строке; коэффициенты, которые соответствуют сочетаниям, содержащим 2, располагаются во второй строке и т.д., то есть

Щ: = «1^3 + М2^24 + "3^34 '

ш

сЬс,

—Г = -И А - "2^14 +

1 (1-8)

~Г = Щ А32 - МЗА34 "

Ш

с!Хд 4 4 4

= и2Ип + и3£>13 + г/4£>23,

ш

где буквой И обозначена сумма из произведений частных производных от функции (1.7) по переменным, индексы которых входят в нижний индекс у буквы

дП ЭК2 дК ЭК £)р -—!-—---1—- и т.д.

Эх1 дх2 дх2 дхх

Верхний индекс у буквы И означает строку.

Знаки перед членами уравнений (1.8) определяются по следующему закону: рассматривается порядок верхних и нижних индексов у буквы £>, например, против часовой стрелки, и если имеется нечетное число нарушений порядка, то перед этим членом ставится минус, в других случаях ставится плюс. То есть для членов верхней строки имеем порядки: 123, 124, 134 — в них нет нарушений, и

они идут с плюсом; во второй строке имеем 213 — одно нарушение (2 больше 1) — знак минус, 214 — знак минус, 234 — нарушений нет — знак плюс, и т.д.

Заметим, что решения уравнений (1.8) располагаются на поверхностях (1.7) лишь в том случае, если начальные условия системы (1.8) удовлетворяют уравнению (1.7).

Наличие неопределенных коэффициентов в структуре уравнений позволяет управлять поведением такой системы, оставаясь на заданных многообразиях. Например, для задания движения координаты х4 к максимуму можно положить

Ы2 — 2 ^ = 3 ' = '

после чего система (1.8) преобразуется к виду:

¿/х,

Л

с}х

1 = -"1Аз-А2А4+АЗА4'

ш

с1х->

= ЩЭП - Д3Д 4 - ^23^24'

ш

ш

Где правая часть последнего уравнения является знакопостоянной положительной функцией, что и обеспечивает устойчивое движение к максимуму координаты х4 по Ляпунову. В [25] приведены разнообразные примеры задания произвольных коэффициентов для осуществления различных движений на заданных многообразиях.

Рассмотрим еще один пример. Если требуется найти общее решение уравнения

то можно получить исходную квазилинейную форму с помощью описанного выше метода.

Путем дифференцирования мы получим 2ххс1хх + 2 х2й?х2 — 2 рсЫъ — 0,

откуда в соответствии с вышеописанной методикой

= их 2х2 + и2 (- 2р),

от

%- = -м,2х, +иъ(-2р), дt

~ ~и2 — иЪ (— )'

ОТ

2 2

интегрируя которые для начальных условий х10 +х20 = 2р, и получим траектории на поверхности заданного параболоида вращения.

Задавая различные значения коэффициентам и5, будем получать различные ' точки на параболоиде вращения.

Неопределенные коэффициенты в структуре этих уравнений можно использовать для удовлетворения начальных и краевых условий и для определения значений искомой функции в интересующих точках.

Следует заметить, что при построении общего решения уравнений нами использованы все линейные комбинации частных решений этих уравнений. Структура полученного общего решения является равноправной относительно миноров коэффициентов исходных уравнений, что позволяет, в частности, задавать любые движения на исходных многообразиях.

Возьмем пример, когда число многообразий т- 2, а число переменных п~ 5. Построим для этого случая систему уравнений с неопределенными коэффициентами.

Число произвольных коэффициентов в этом случае будет равно

5 = Сии+1=10

щ =|123|, и2 =|124|, иъ =|125|, щ =|134|, и5 =|135|, и6 =|145|, щ = |234|, щ = |235|, щ -1245|, м10 = |345|.

где

¿/х

1 = + М2^24 + М3^25 + ^4^34 + М5 Дз5 + М6^45

Л

—- = -м,Д3 - и2Д4 - м3Д5 + щД4 + Д5 + м9Д5 Л

—Г = "1Д32 - "4Д34 - "5Д35 - - щ0325 + «10^45

Ш

—Г = "2Д42 + «4Д43 ~ ЩВ*5 + Щ Д43 - «90245 - М10Д45

ш

с!х. Л

- = "ЗД52 + "5Д53 + «6 А 4 + «8^23 + Щ°254 + «10^34

д2 _ЭК, эк2 Аз _эк, эк2 эк, ЭК2

Эх, дх2 дх2 дхх ах. ах3 ах3 дхх

д4 _ЭК, ЭF2 а^ ак2 Аз ... а^2 эк, ЭК2

Эх, дх4 дх4 Эх, ах! ах5 ах5 ах.

Аз _эк, дх2 ЭК2 Эх3 дх2 эк, Эх3 ' А4 эк: дх2 ЭF2 ах4 эк2 ах2 ЭК, Эх4 '

а5 дх2 ЭК2 дх5 ЭК2 дх2 дх5 а4 _эк, ах3 эк2 ах4 эк2 ах3 эк, Эх4 '

аз _ЭК, ак2 эк, Аз эк, ак2 эк2 ЭК,

дх3 дх5 Эх3 дх5 ах4 дх5 Эх4 Эх5

1.3. Адаптивные модели осцилляторов

Выше были рассмотрены системы, в которых важную роль играют неопределенные коэффициенты, т.к. их использование позволяет адаптировать систему к проявлениям негативных факторов внешней среды, снизить влияние сигналов помех, повысить точность работы системы. Число произвольных коэффициентов является мерой неопределенности и адаптивности системы [27].

На Рисунке 1.1 представлена схема функционирования системы и ее взаимодействия с внешней средой.

Рис. 1.1 Модель "среда-система" [27, с. 31]

На этом рисунке переменные системы Хр.^. взаимодействуют с переменными среды у\..ук, а сигналы рассогласования подаются в блок управления. У системы есть две возможности приспособиться к изменениям в среде: с помощью манипуляции произвольными коэффициентами или при помощи наложения или снятия дополнительных ограничений, т.е. обучения системы.

Рассмотрим изменение адаптационных возможностей системы с неопределенными коэффициентами в зависимости от количества переменных в исходных соотношениях и самих этих соотношений. Как показано в [27] адаптационные возможности системы тем выше, чем больше в ней неопределенных коэффициентов, которые могут служить как для обеспечения роста или уменьшения какой-либо переменной, так и для изменения траектории движения по заданным многообразиям. Более подробно это будет показано в главе 2. В данном пункте приведем условия, при которых достигается максимальное количество неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим пример системы с п = 9 переменных и т = 1 контрольных соотношений:

+ + + = (1.9)

ш ш ш

Эквивалентная система уравнений, построенная по методу избыточных переменных, будет содержать 36 неопределенных коэффициентов:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Катермина, Татьяна Сергеевна, 2015 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Амосов A.A. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие /

A. А. Амосов, Ю. А. Дубянский, Н. В. Копченов. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.

2. Андронов A.A. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. — 2-е изд., перераб. и испр. — М.: Наука, 1981. — 918 с.

3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. — Изд. 2-е. — М.: Книжный дом "Либроком", 2013. — 224 с.

4. Бартон В. Справочник по радиолокационным измерениям: пер. с англ. /

B. Бартон, Г. Вард; под ред. М.М. Вейсбейна. — М.: Советское радио, 1976. — 392 с.

5. Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1. / И. С. Березин, II. П. Жидков. — М.: ГИФМЛ, 1962. — 464 с.

6. Босинзон М. Современные системы ЧПУ и их эксплуатация / М. Босинзон. — М.: ИЦ «Академия»,2010. — 192 с.

7. Бритов Г.С., Мироновский Л.А. Автоматизированное проектирование устройств функционального диагностирования // Информационно-управляющие системы. 2010. № 2. С.55 - 60.

8. Бритов Г.С., Мироновский Л.А. Динамическая избыточность систем автоматического управления // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. 2011. № 4. С.18 -23.

9. Бритов Г.С., Мироновский Л.А. Моделирование системы функционального диагностирования // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. 2009. С.29 - 34.

10. Бритов Г.С., Мироновский Л.А. Проблемы технического диагностирования систем управления // Известия МАИ ВШ. 2011. №11. С.41 - 48.

И. Бритов Г.С., Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование систем с модальным управлением // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. 2010. №4. С.З -9.

г i I

!

142

12. Бутенин H. В. Введение в теорию нелинейных колебаний: учеб. пособие / Бутенин Н. В., Ю. И. Неймарк, II. А. Фуфаев. — 2 изд., М.: Наука, 1987. — 385 с.

13.Вегенер А. Происхождение континентов и океанов / А. Вегенер; пер. с нем. П.Г. Каминского; под ред. П.Н. Кропоткина. — Л.: Наука, 1984. — 285 с.

14. Винберг Э.Б. Курс алгебры / Э. Б. Винберг. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001. — 544 с.

15. Воронин A.A. Надежность информационных систем: учеб. пособие /

A. А. Воронин, Б. И. Морозов. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. — 89 с.

16. Воронов A.A. Основы теории автоматического регулирования и управления: учеб. пособие / А. А. Воронов, В. К. Титов, Б. Н. Новогранов. — М.: Высш. шк., 1977. — 519 с.

17. Воронов A.A. Теория автоматического управления. В 2 ч. Ч. 1: Теория линейных систем автоматического управления / под. ред. A.A. Воронова.— М.: Высшая школа, 1986. — 367 стр.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. / Ф. Р. Гантмахер. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 560 с.

19. Гитис Э.И. Техническая кибернетика / Э. И. Гитис, Г. А. Данилович,

B. И. Самойленко. — М.: Советское радио, 1968. — 488 с.

20.Демидов С.С. К истории теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Работы И.Ф. Пфаффа и О. Коши // Историко-математические исследования: сб. науч. ст. Вып. 24. / ред. А. П. Юшкевич. —М.: Наука, 1979, —С. 191-217.

21. Дудник П. И. Многофункциональные радиолокационные системы: учеб. пособие для вузов / П. И. Дудник, А. Р. Ильчук, Б. Г. Татарский. — М.: Дрофа, 2007. —283 с.

22.Дюфур М.С. Раннепалеозойские гранитоиды в структуре Киммерийско-Альпийского и Памиро-Гималайского пояса. Труды Санкт-Петербургского общества естествоиспытателей. — СПб: 2000. — Сер. 2. — Т. 85. — С.46-66.

23.Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. — М.: Наука, 1979. —

431 с.

24. Иванов В.П. Контроль и диагностика измерительно-вычислительных комплексов: учеб. пособие / В. П. Иванов, В. Г. Никитин, В. Ю. Чернов. — СПб.: СПбГУАП, 2004. — 98 е.: ил.

25. Игнатьев М.Б. Голономные автоматические системы / М. Б. Игнатьев. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1963.— 204 с.

26. Игнатьев М.Б. Информационные технологии в микро-, нано- и оптоэлектронике: монография / М. Б. Игнатьев. — СПб.: ГУАП, 2008. — 200 е.: ил.

27. Игнатьев М.Б. Кибернетическая картина мира: учеб. пособие / М.Б. Игнатьев. — СПб.: ГУАП, 2010. —416 е.: ил.

28. Игнатьев М.Б. Контроль и коррекция вычислительных процессов в реальном времени на основе метода избыточных переменных / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Информатизация и связь. — М., Вып. 1. С. 28-37.

29. Игнатьев М.Б. Метод избыточных переменных для контроля и диагностики вычислительных процессов в реальном времени / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Труды СПИИРАН. — СПб.,2013. — Вып. 3(26). — С. 234 - 252.

30. Игнатьев М.Б. Метод избыточных переменных для контроля и диагностики вычислительных процессов в реальном времени. Часть 2 / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Труды СПИИРАН. — СПб., 2014. — Вып. 2(33). — С. 60-78.

31. Игнатьев М.Б. Метод избыточных переменных для контроля, диагностики и коррекции вычислительных процессов в реальном времени: учеб. пособие / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина. — Нижневартовск: Изд-во Нижневарт. гос. ун-та, 2014. — 188 с.

32. Игнатьев М.Б. Моделирование движения континентальных плит для предсказания землетрясений / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина, В.А. Ненашев // "Известия Юго-Западного государственного университета". — Курск, 2013. — №6(51). 4.2. — С. 92-99.

33. Игнатьев М.Б. Семиблочная модель города для поддержки принятия решений / М. Б. Игнатьев // Компьютерные модели развития города: тр. семинара. — СПб.: Наука, 2003. — С. 40^15.

34. Ильин В.А. Линейная алгебра: учеб. для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 280 с. — (Курс высшей математики и математической физики; вып. 4).

35. Искусственный интеллект: междисциплинарный подход / под ред. Д.И. Дубровского, В.А. Лекторского. — М.: ИИнтеЛЛ, 2006. — 448 с.

36. Каган Б.М. Основы эксплуатации ЭВМ: учеб. пособие для вузов / Б. М. Каган, И. Б. Мкртумян. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1988. —432 с: ил.

37. Калиткин H.H. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — М.: Наука, 1978. —512 с.

38. Карпов Ю. Г. Model Checking. Верификация параллельных и распределенных программных систем. СПб.: БХВ-Петербург. 2009. 551 с.

39. Катермина Т.С. Методы и средства контроля цифровых измерительно-вычислительных комплексов // Культура, наука, образование: проблемы и перспективы: материалы Всерос. научи.-практ. конф., г. Нижневартовск, 7-8 февр. 2012 г. Ч. IV / отв. ред. А.В.Коричко. — Нижневартовск: Изд-во НГГУ, 2013. — С. 87-90.

40. Катермина Т.С. Методы контроля, диагностики и коррекции вычислительных процессов // Информационные ресурсы в образовании: материалы Всерос. научн.-практ. конф., г. Нижневартовск, 14-16 апр. 2011 г. / отв. ред. Т.Б. Казиахмедов. — Нижневартовск: Изд-во НГГУ, 2011. — С. 209-210.

41. Катермина Т.С. Моделирование тора при помощи метода избыточных переменных / Т. С. Катермина // Информационные ресурсы в образовании: материалы Международ, научн.-практ. конф., г. Нижневартовск, 17-19 апр. 2013 г. / отв. ред. Т.Б. Казиахмедов. — Нижневартовск: НВГУ, 2013. — С. 62-68.

ft

t

!

42. Каштальян И.А., Клевзович В.И. Обработка на станках с числовым программным управлением: справочное пособие. — Мн.: Выш. шк., 1989. — 271 е.: ил.

43. Китов А.И. Электронные цифровые машины и программирование / А. И. Китов, И. А. Криницкий. — М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. — 295 с.

44. Кокс А. Тектоника плит / А. Кокс, Р. Харт. — М.: Мир, 1989. — 427 с.

45. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / H. Н. Красовский. — М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. — 211 с.

46. Крылов В.И. Космическая геодезия: учеб. пособие / В. И. Крылов. — М.: МИИГАиК, 2002. — 168 с.

47. Кэри У. В поисках закономерностей развития Земли и Вселенной: История догм в науках о Земле: пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — 447 с.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики: Механика. Электродинамика. М.: Наука, 1969. — т.1. — 271 с.

49. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — Т. III. - 800 с.

50. Лебедев А.Н. Моделирование трансцендентных уравнений / А. Н. Лебедев. — Л.: Судпромгиз, 1963. — 188 с.

51. Литвин А. И. Использование метода избыточных переменных в параллельных вычислительных процессах цифровых систем / А. И. Литвин, Н. В. Молчунов // Автометрия. — 1992. — №2. — С. 78-82.

52. Ловыгин A.A. Современный станок с ЧПУ и CAD/CAM система. Иллюстрированное пособие / А. А. Ловыгин, А. В. Васильев, С. 10. Кривцов. — М.: «Эльф ИПР», 2006. — 286 е.: ил.

53. Лонгботтом Р. Надежность вычислительных систем / Р. Лонгботтом. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.

54. Майстренко A.B. Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования: учеб. пособие / А. В.Майстренко, Н. В. Майстренко. — Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2011. — 144 с.

55. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. —М., СПб.: Изд-во МГУ —ГРИФ, 1998. —255 с.

56. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / Р. Морелос-Сарагоса. — М.: Техносфера, 2005. — 320 с.

57. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль / А. Е. Мудров. — Томск: МП "РАСКО", 1991. — 272 с.

58. Надёжность информационных систем: учеб. пособие / Ю. Ю. Громов [и др.]. — Тамбов: Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. — 160 с.

59. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений /

B. В. Немыцкий, В. В. Степанов. — М.: Изд-во технико-теоретич. лит., 1947. — 448 с.

60. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский, под ред. А.Д. Мышкиса, O.A. Олейник. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.

61. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации/ А.Г. Зюко [ и др.]; под ред А. Г. Зюко. — М.: Радио и связь, 1985. — 272 с. ил.

62. Прикладная теория цифровых автоматов / К.Г. Самофалов [и др.]. — Киев.: Вища шк., 1987. — 375 с.

63.Радиолокационные системы землеобзора космического базирования. / В.

C. Верба [и др.]; под ред. B.C. Вербы. — М.: Радиотехника, 2010.-—680 с.

64. Радиолокационные станции обзора Земли / Кондратенков Г.И. [и др.]; под ред. Кондратенкова Г.С. — М: Радио и связь, 1983. — 272 с.

65. Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория. Справочник / под. ред. Я.Д. Ширмана. — Изд. 2-е перераб. и доп. — М.: Радиотехника, 2007. — 512 с.

66. Сидоров A.M. Методы контроля электронных цифровых машин / А. М. Сидоров. — М.: Советское радио, 1966. — 160 с.

67. Сикора Е. Оптимизация процессов обработки резанием с применением вычислительных машин. Сокр. пер. с польск. / Е. Сикора; под ред. П. Д. Беспахотного. — М.: Машиностроение, 1983. — 226 с.

68. Соломенцев Ю.М. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, 2000. — 270 с.

69. Сосонкин B.JL Программирование систем числового программного управления: учеб. пособие / В. Л. Сосонкин, Г. М. Мартинов. — М.: Логос, 2008.

— 344 с. + компакт-диск.

70. Сосонкин В.Л. Системы числового программного управления: учеб. пособие / В. Л. Сосонкин, Г. М. Мартинов. —- М.: Логос, 2005. — 296 с.

71. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. — 473 с.

72. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию / М. Ф. Субботин. — М.: Наука, 1968. — 800 с.

73. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, В. М. Волосов // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. — Киев, 1961. — T.I.

— С.456-473.

74. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Математический сборник. -— 1948. — Т. 22/64, №2. — С. 193-204.

75. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Математический сборник. -— 1952. — Т. 31/73, №3. — С. 575-586.

76. Управление вычислительными процессами / Г. С. Бритов [и др.] — Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1973. — 298с.

77. Ушаков И.А. Вероятностные модели надежности информационно-вычислительных систем / И. А. Ушаков. — М.: Радио и связь, 1991. — 132 с.

78. Ушакова Г.Н. Аппаратный контроль и надежность специализированных ЭВМ / Г. II. Ушакова. — М.: Изд-во Сов. Радио, 1968. — 312 с.

79. Формалёв В.Ф. Численные методы: учеб. пособие / В. Ф. Формалёв, Д. JI. Ревизников. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Физматлит, 2006. — 400 с.

80. Хаин В.Е. Основные проблемы современной геологии. — М.: Научный мир, 2003. — 348 с.

81. Харкевич А.А. Борьба с помехами / А. А. Харкевич. — М.: Наука, 1965, —275 с.

82. Чесноков М.Н. Микропроцессорные помехоустойчивые устройства приема цифровых сигналов / М. Н. Чесноков. — СПб.: ВАС, 1994. — 172 с.

83. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике / К. Шеннон.

— М.:ИИЛ, 1963. — 830 с.

84. Шульгин А.О. Моделирование процессов управления в слабоформализованных системах / А. О. Шульгин, Н. Г. Демурчев // Первая ежегодная научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН: материалы молодеж. конф., Ростов-на-Дону, 15-21 апр. 2005 г. — Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2005. — С.219-221.

85. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: практическое руководство: учеб. издание: пер. с англ. / Т. Шуп. — М.: Мир, 1982. — 237 е.: ил.

86. Bogacki Р. А 3(2) pair of Runge-Kutta formulas / P. Bogacki, L. F. Shampine // Applied Mathematics Letters. — 1989. — V. 2 (4). — P. 321-325.

87. Burrage K. Numerical Methods for Second-Order Stochastic Differential Equations / K. Burrage, I. Lenane, G. Lythe // SIAM Journal on Scientific Computing.

— 2007. — V. 29, no. 1. — P. 245-264.

88.Computer simulation of aerial target radar scattering recognition. Detection and tracking / Yakov D. Shirman editor. — Boston; London: Artech House, 2002. — 294 p.

89. Dormand J.R. A family of embedded Runge-Kutta formulae / J. R. Dormand, P. J. Prince // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1980.

— V. 6 (1). —P. 19-26.

90. Evans B. Practical 3D Printers: The Science and Art of 3D Printing / Evans Brian. — New York: Apress, 2012. — 332 p.

91.GPS: Theory and Practice / Hofmann-Wellenhof B. [et al.]. — Wien, Austria: Springer, 2001.

92. I-Iood-Daniel P. Printing in Plastic: Build Your Own 3D Printer / P. Hood-Daniel, J. F. Kelly. — New York: Apress, 2011. — 464 p.

93. Ignatiev M.B. Simulation of the Continental Plates Movement for the Earthquake Investigation / Ignatiev M.B., Katermina T.S., Nenashev V.A. // Journal of Geological Resource and Engineering. —2013. V. 1 (12) — P. 35-45.

94. Ignatiev M.B. Some aspects of the redundant variables method / Ignatiev M.B., Katermina T.S. // Scientific enquiry in the contemporary world: theoretical basics and innovative approach. — 2013. V. 5. Technical Sciences. USA: B&M Publishing. — P.108-112.

95. Ignatiev M.B. The checking and correction of analog and hybrid computation by the redundant variables method / M. B. Ignatiev // Annales de l'Assosiation Internationale pour le Calcule analogique. V 3. —Bruxelles, 1968. — P. 23-33.

96. Ignatyev M.B. The redundancy phenomenon in cybernetics, informatics and systemic / M. B. Ignatyev // Proceedings of the XI international symposium on problems of redundancy in information and control systems. — Saint-Petersburg, 2007.

— P. 273-278.

97. Rosenbrock II. Some general implicit processes for numerical solution of differential equations / H. Rosenbrock // Computer J. — 1963. — V.5, № 4. — P. 329330.

98. Shannon C.E. Mathematical Theory of the Differential Analyzer / C. E. Shannon //J. Math, and Phys. — 1941. — V.20, № 4. — P. 337-354.