Моделирование и оптимизация динамики частиц в протонных и мюонных коллайдерах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Снопок, Павел Вячеславович

• Снопок, Павел Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Снопок, Павел Вячеславович

Введение

Глава 1. Постановки задач

1.1 Постановка задачи оптимизации динамики частиц в Тева-троне.

1.1.1 Линейная задача.

1.1.2 Нелинейная задача.

1.1.3 Сохранение характеристической частоты.

1.2 Постановка задачи оптимизации накопительного кольца мю-онного коллайдера.

1.2.1 Динамическая апертура.

1.2.2 Минимизация нелинейностей.

1.2.3 Минимизация резонансов.

1.2.4 Динамическая апертура как целевая функция

1.3 Постановка задачи оценки нелинейного изменения характеристической частоты в зависимости от положения частицы в пучке по результатам измерений.

Глава 2. Оптимизация динамики частиц в Теватроне

2.1 Причины возникновения косоквадрупольных ошибок

2.2 Преобразование исходных данных.

2.3 Детали моделирования, результаты трекинга частиц

2.4 Схемы коррекции косоквадрупольных ошибок в диполях

2.5 Результаты оптимизации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и оптимизация динамики частиц в протонных и мюонных коллайдерах»

Задачи моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц представляют актуальные проблемы современной прикладной математики и связаны с физикой ускорителей или, на более общем уровне, физикой пучков [11,19,40,41,67]. Физика пучков занимается не только вопросами динамики частиц в ускорителях, но и динамикой пучков в целом в различных электрофизических устройствах, таких как электронные микроскопы, лазеры, рентгеновские установки, оборудование для компьютерной томографии, а также динамикой множеств близких траекторий, занимающих малые объемы по сравнению с объемом фазового пространства, что, в частности, в астрофизике при расчете траекторий летательных аппаратов.

Данная работа посвящена построению математических моделей и численному анализу проблем физики пучков.

Несмотря на молодость — с момента выхода в свет статьи Куранта и Снайдера [33], где подробно рассматривается линейная динамика частиц в синхротронах, прошло меньше полувека, — теория расчета и оптимизации динамики частиц в ускорительных установках имеет прочные основы, ряд классических положений и трудов.

И это не удивительно, если принять во внимание темпы роста требований к разрабатываемым устройствам по энергии частиц на выходе, точности изготовления оборудования, силе управляющих и ускоряющих полей. Так, Теватрон — ускоритель, название которого еще не раз встретится в данной работе, — работает в настоящее время на энергии центра масс при столкновении частиц 2 ТэВ, частицы находятся в ускорительном канале на протяжении миллионов оборотов, и вместе с тем, пучок должен иметь диаметр порядка миллиметров, что означает, как минимум, разницу в масштабе порядка 1013. Налицо необходимость точных расчетов, оценки устойчивости динамики и допусков при изготовлении и установке деталей ускорителя.

Математические модели сопровождают любую ускорительную структуру на протяжении всего жизненного цикла: от момента, когда ускоритель — всего лишь идея, и до последнего цикла ускорения частиц, а зачастую и после. Так, в настоящее время остро стоит вопрос дальнейшей судьбы Теватрона, который в ближайшее время должен быть деко-миссован. Но после того, как ускоритель, который многие годы являлся эталоном достижений научной и инженерной мысли, остановится, что придет ему на смену? Есть готовый туннель длиной 6 километров, который может с успехом стать домом для ускорителя нового поколения. И исследования в этом направлении ведутся. В диссертации представлена модель небольшого накопительного кольца мюонного коллайдера, рассчитанного на накопление частиц с энергией около 50 ГэВ, поэтому длина кольца измеряется всего лишь сотнями метров. В то же время, аналогичное кольцо, рассчитанное на энергию центра масс порядка 1.5 ТэВ, может быть размещено в туннеле Теватрона. До последнего времени большого интереса к этому проекту со стороны научного сообщества не было, но сейчас ситуация меняется. В национальной ускорительной лаборатории им. Ферми активно ведется разработка различных моделей мюонных коллайдеров, в том числе, есть заинтересованность и в варианте оптики, вписывающемся в геометрию туннеля Теватрона. Вариант дизайна такого кольца был предложен автором на совещании по мюон-ным коллайдерам в университете Калифорнии в Лос-Анжелесе в январе 2007 года [73].

Для сопровождения процесса моделирования и внедрения ускорительной структуры адекватно и как можно более точно описывающими ее математическими моделями, постоянно разрабатываются соответствующие программные пакеты [10,30,31,42,43,61]. Все они могут быть подразделены иа несколько классов, различающихся по быстродействию и потенциалу. Часть программных средств позволяет производить расчет динамики отдельных частиц пучка, и требует пересчета динамики всего ускорителя в виде решения систем дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений [12,37]. Такой подход оправдан, если важно иметь как можно больше информации о каждой частице пучка, например, для учета взаимодействия частиц [8,13,16]. С другой стороны, очевидным недостатком такого метода является необходимость пересчитывать полностью траекторию каждой частицы или всего пучка в целом. Особенно заметными становятся затраты на вычисления для циклических ускорителей, где необходимо отслеживать динамику частиц на протяжении многих миллионов оборотов.

Другая группа программных пакетов позволяет заранее рассчитать влияние оптики ускорителя на пучок частиц, а затем использовать полученное преобразование и при необходимости применять повторно, чтобы отслеживать поведение частиц для большого числа оборотов [31,55,61]. К этой группе программ относится COSY Infinity [29,55], разрабатываемая в Мичиганском университете, и являющаяся основным инструментом, используемым для расчетов, приводимых в данной работе.

Конечно, ни один программный пакет в настоящее время не является представителем конкретного класса, как правило, программы совмещают возможности использования различных подходов к расчету и оптимизации динамики пучков частиц.

Чтобы быть уверенным в правильности производимых расчетов, необходимо сравнивать результаты с расчетами, произведенными в других программах. Результаты части расчетов, представленных в диссертации проверялись другими кодами, такими как MAD [42,43,61] и OptiM [10].

При разработке программ одним из основных критериев является быстродействие: насколько эффективно можно получать результаты расчетов, чем приходится жертвовать для ускорения их получения, или, напротив, как можно точнее рассчитать динамику, если время не является критическим фактором.

В целях повышения быстродействия в COSY Infinity используются высокоэффективные алгоритмы работы с дифференциальной алгеброй и моделями Тейлора [26-28,53].

Кроме всего прочего, данная программа позволяет рассматривать динамику в так называемых нормальных координатах (normal form coordinates), которые могут быть получены сложным нелинейным преобразованием из обычных оптических координат. Нормальные координаты обладают важным достоинством: если алгоритм приведения функции перехода к нормальной форме работает (а ограничения на него не намного строже, чем типичные ограничения на желаемое поведение частиц в ускорителе вообще), то движение в новых координатах представляется наиболее интуитивным образом: как вращение с частотой, зависящей от положения частицы в пучке и параметров системы. Работа с нормальными формами является основой данной диссертации. Метод приведения функции перехода к нормальной форме описывается в подробностях в Приложении В и применяется к решению различных важных задач моделирования ускорителей.

Первая глава диссертационной работы посвящена постановке трех задач, решения которых рассматриваются далее в работе:

• Задача косоквадруполыюй коррекции динамики частиц в Теватро-не при наличии косоквадрупольных ошибок в полях, создаваемых сверхпроводящими диполями кольца;

• Задача расчета и оптимизации динамической апертуры канала накопительного кольца мюонного коллайдера 50 х 50 ГэВ;

• Задача расчета значения нелинейного отклонения характеристической частоты по результатам нескольких измерений.

Все постановки задач включают в себя введение целевых функций, которые в дальнейшем используются для проведения оптимизации различными методами.

Во второй главе описываются алгоритмы и программные средства, используемые для решения задач, сформулированных в Главе 1. Приведенные алгоритмы могут с успехом использоваться для решения подобных задач, возникающих для других ускорителей, для расчета и оптимизации динамики частиц, специфичных для циклических ускорителей в целом.

В линейной структуре частицы проходят канал ускорителя один раз, поэтому очень важно иметь как можно больше информации о полях, взаимодействии частиц, возможных отклонениях различных параметров системы. Иными словами, знать все, что возможно о нелинейностях в системе. Таким образом, оптимизация направлена на то, чтобы сделать движение настолько простым и понятным (линейным), насколько это возможно, и иметь достаточно контроля над нелинейностями.

В значительной мере все вышесказанное верно и для циклических ускорителей, но есть одно существенное отличие: частицы проходят одни и те же элементы структуры многократно. Поэтому здесь важнее знать как можно больше о долгосрочной устойчивости системы и тех факторах, которые могут нарушать эту устойчивость [50]. Алгоритм перехода к описанию динамики в нормальных координатах дает массу информации о таких факторах. Кроме того, что динамика может быть представлена в максимально простой для восприятия и понимания форме, параллельно рассчитываются такие характеристики как сила резонансов и отклонение частоты бетатронных колебаний в зависимости от положения частицы в пучке (амплитуды), а также различных параметров системы.

Алгоритмы, описываемые в Главах 2-4, позволяют рассчитывать динамику и оптимизировать параметры ускоряющих структур с использованием различных методов оптимизации [2-4,47,49,56,64].

Для оптимизации используются следующие методы: симплекс-метод Нелдера-Мида [64], модифицированный метод Ньютона (метод Левен-берга-Марквардта [49,56]) и метод имитации отжига (simulated annealing) [47]. Симплекс-метод хорошо подходит для поиска локального (а нередко и глобального) минимума гладких и негладких функций. В случае относительно простых гладких целевых функций он, как правило, менее эффективен, чем модифицированный метод Ныотона. Метод имитации отжига — один из широкого класса стохастических методов, способный во многих случаях отыскать локальный минимум функции, для которой другие методы оказываются неэффективными. К сожалению, одним из важных недостатков этого метода является очень большое число итераций. Метод имитации отжига может быть успешно использован для поиска начальных значений управляющих параметров. Модифицированный метод Ньютона наиболее эффективен при минимизации гладких функций с начальными значениями параметров вблизи точки минимума. В целом, этот метод менее стабилен, чем два описанных выше.

Все задачи, рассматриваемые в данной диссертационной работе, объединены общей темой — все они посвящены оптимизации динамики частиц в циклических ускорителях в общем, и конкретнее — в высокоэнергетических коллайдерах. Общими свойствами всех задач являются рассмотрение нелинейной динамики в циклических ускорителях и применение методов дифференциальной алгебры и преобразования функции перехода к нормальной форме.

В Главах 2-4 представлены решения следующих задач:

Косоквадрупольная коррекция в Теватроне. Теватрон — машина со множеством технических особенностей, затрудняющих ее описание в виде математической модели. Вместе с тем, можно выделить различные, независимые друг от друга семейства элементов управляющей оптики и использовать в качестве целевой функции некоторую характеристику, контролируемую данным семейством (или несколькими семействами). Так, в Теватроне, даже в фазе инжекции пучка, актуальна проблема ко-соквадрупольной ошибки, возникающей за счет смещения сверхпроводящих обмоток главных поворотных магнитов, в результате чего появляется существенная по величине косоквадрупольная составляющая магнитного поля. Два семейства косоквадрупольных корректоров используются в Теватроне в настоящее время для минимизации связи, возникающей между динамикой в горизонтальной и вертикальной плоскостях, вызванной ошибкой в диполях. Решается задача нахождения оптимальных значений силы корректоров, в роли объектной функции выступает композиция компонент функции перехода, отвечающих за связь плоскостей. Рассматриваются различные модели коррекции, предлагаются алгоритмы для проведения многоступенчатой оптимизации.

Данная задача рассматривалась различным сотрудниками национальной ускорительной лаборатории им. Ферми, соответствующие результаты могут быть найдены в работах [38,76,77]. Вместе с тем, задача в форме минимизации целевых функций (1.1.4) или (1.1.5) и (1.1.6) ранее не ставилась, а методы дифференциальной алгебры — не применялись. Автором были предложены несколько моделей коррекции, из них выбрана наилучшая, которая и была реализована при очередном плановом отключении Теватрона в августе 2004 года с минимальными изменениями, вызванными дополнительными возможностями персонала лаборатории. Описание отличий приводится в соответствующем параграфе Главы 2. Представлены как аналитические результаты, так и результаты численного анализа.

Для решения поставленной задачи был разработан комплекс программ, включающий в себя

• Программу-конвертер описания оптики ускорителя из формата программы OptiM [10] в формат программы COSY INFINITY. Описание интерфейса программы приводится в п. 2.2, а детали реализации — в Приложении С. Программа написана в среде РНР [68] и находится в общем доступе по адресу http://cosy.pa.msu.edu/ converters/optiM2cosy/;

• Программу, обеспечивающую графический интерфейс пользователя для расчета и визуализации динамики частиц в Теватроне, написанная в среде разработки Mathworks Matlab. Подробное описание программы приводится в Приложении D;

• Несколько версий программ для расчета и оптимизации динамики, реализованных в среде COSY INFINITY. Необходимость нескольких версий вызвана рассмотрением и анализом различных моделей коррекции косоквадрупольных ошибок в диполях, выбором различных целевых функций.

Оптимизация динамической апертуры накопительного кольца мюонного коллайдера. Исследования, связанные с моделированием и оптимизацией ускоряющих структур на мюонах ведутся с конца 60-х годов, когда Тихониным и Будкером [5,20], а позднее, Нойфером [65] были предложены идеи ускорения пучков fi+ и Ускорители на мюонах — совершенно особый класс ускорителей, имеющий ряд существенных отличий как от протонных, так и от электронных ускорителей. Из очевидных достоинств мюонного ускорителя в первую очередь стоит отметить легкость частиц по сравнению с протонами, с другой стороны, достаточную массу, чтобы избежать неприятностей с синхротронным излучением, которое является очень серьезным лимитирующим фактором при разработке электронных ускорителей. Но нельзя упускать из виду и очевидный недостаток: нестабильность мюонов, распадающихся достаточно быстро (т = 2,2 мкс). Как результат: требование ограничения на длину структуры сверху и интенсивность ускорения — снизу. Так, для накопительного кольца 50 х 50 ГэВ расчетное число оборотов — 1000, после чего частицы должны быть приведены к столкновению, во избежание падения светимости за счет распада мюонов. С другой стороны, за счет релятивистских эффектов, число оборотов при увеличении энергии пучка остается примерно постоянным, то есть, для накопительного кольца 750 х 750 ГэВ расчетным параметром снова будет величина порядка 1000 оборотов. Задача заключается в увеличении фазового объема пучка и, как следствие, увеличении числа частиц, захваченных в режим ускорение для увеличения светимости при столкновении.

Основные принципы и базовые элементы структуры такого рода машин описаны в работах [22,23,44,45,48,63,78]. После того, как схема расположения линейной оптики и секции коррекции хроматичностей определена с таким расчетом, чтобы минимизировать хроматические и геометрические аберрации, решается задача минимизации аберраций высшего порядка в области взаимодействия частиц. В данной работе рассматриваются различные подходы к решению такого рода задачи для накопительного кольца мюонного коллайдера 50 х 50 ГэВ. Базовая схема расположения элементов оптики описана в [45,78]. Отталкиваясь от имеющейся модели, добавлением мультипольных моментов в сверхпроводящие магниты секции финальной фокусировки добиваемся максимизации динамической апертуры и, как следствие, улучшения показателей устойчивости накопительного кольца.

Основная проблема, делающая эту задачу сложной — большое количество нелинейностей, которые необходимо контролировать, при том, что число корректоров, вообще говоря, ограниченно, и чем их меньше, тем лучше. Эффективным подходом к решению этой проблемы, как показано в Главе 3 является использование собственно динамической апертуры в качестве критерия оптимизации. Соответствующая целевая функция введена в параграфе 1.2.3 Главы 1 и задается соотношением (1.2.3). Другие подходы к оптимизации, такие как минимизация наиболее значительных аберраций высших порядков или минимизация сил резонаисов, также рассмотрены и оказываются менее эффективными [39,62]. Для каждой из предложенных схем вводятся целевые функции вида (1.2.1),

1.2.2), соответственно. Сравнение эффективности различных подходов и результатов оптимизации приводится в Табл. 3.2. Для каждого из рассмотренных вариантов приводится число используемых корректоров и значение динамической апертуры после оптимизации. При работе с динамической апертурой и силой резонансов большую роль играет алгоритм перехода к нормальной форме (см. приложение В и [28]), необходимый для расчета величин, входящих в правые части целевых функций, и для сравнения результатов расчетов в единой системе координат.

Оценка нелинейного изменения характеристической частоты в зависимости от положения частицы в пучке по результатам измерений.

Найти нелинейное изменение характеристической частоты при изменении положения частицы в пучке не всегда просто по той причине, что нелинейная составляющая динамики может не быть известна с достаточной точностью. В то же время, есть способ найти отклонение характеристической частоты, если в наличии имеется ряд специфических измерений и некоторая дополнительная информация, которая практически всегда доступна: размеры пучка, тип распределения частиц в пучке, достаточный объем информации о линейной оптике (известная матрица перехода полного оборота).

Данная задача в полной мере использует потенциал алгоритма перехода к нормальной форме и тех достоинств, которые предлагает рассмотрение динамики пучка частиц в нормальных координатах. В частности, известно, что в отсутствие резонансов, динамика частиц в нормальных координатах полностью описывается вращением с характеристической частотой, зависящей от положения частиц. При этом усредненная характеристическая частота после значительного числа оборотов в нормальных координатах равна характеристической частоте в оптических координатах, так как вклад от первичного преобразования координат и преобразования обратно к лабораторным координатам перестает играть роль. Справедливость этого утверждения продемонстрирована в п. В.4 Приложения В.

В Главах 2-4 приводятся методы решения всех задач, сформулированных в Главе 1, и соответствующие алгоритмы, которые были реализованы в процессе работы над диссертационным проектом в период с 2003 по 2006 годы. Компьютерная реализация описанных алгоритмов осуществлена с применением программных средств разработки Matlab R13 (Mathworks) и COSY Infinity ver.8.0-9.0 (Мартин Берц, Киоко Макино и другие, Michigan State University). Вспомогательные утилиты для преобразования форматов файлов с описаниями оптики ускорителей написаны в среде PHP ver.4.4.4 (PHP: Hypertext Preprocessor) [68].

В конце каждой главы приводится изложение численных результатов применения различных методов оптимизации к задачам, сформулированным в Главе 1. Акцент делается на эффективности тех или иных схем и методов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Снопок, Павел Вячеславович

Заключение

В представленной диссертационной работе рассмотрены различные задачи оптимизации параметров ускоряющих структур. При оптимизации использовались стохастические и направленные методы оптимизации, такие как симплекс-метод, известный также под названием алгоритма Нел-дера-Мида, модифицированный метод Ньютона (метод Левенберга-Мар-квардта), метод отжига (simulated annealing). Кроме того, для расчетов активно применялись методы многомерной дифференциальной алгебры и теория нелинейных нормальных форм.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Сформулированы новые задачи оптимизации параметров протонных и мюонных коллайдеров.

• Разработаны алгоритмы и программные комплексы для моделирования и оптимизации динамики частиц в ускорительных структурах, в том числе, комплекс для расчета, оптимизации и визуализации динамики частиц в Теватроне, состоящий из программы-конвертера описаний управляющей оптики, набора утилит для расчета и оптимизации, а также программы, реализующей графический интерфейс пользователя и визуализацию результатов расчетов.

• Предложены две эффективные схемы косоквадрупольиой коррекции в условиях неполного удаления косоквадрупольиой составляющей поля главных диполей (50%) для Теватрона; одна из схем с минимальными изменениями, продиктованными техническими особенностями, реализована в августе 2004 года.

• Разработаны и проверены три различных подхода к оптимизации дииамической апертуры мюонного коллайдера 50x50 ГэВ; найдены схемы коррекции, гарантирующие увеличение динамической апертуры в 1.85 раза с применением минимального числа корректоров (два октуполя).

• Предложен алгоритм оценки отклонения характеристической частоты колебаний частиц в Теватроне по результатам измерений; эффективность реализованного программно алгоритма проверена на результатах измерений и независимых исследований. Результат носит общий характер, может быть применен для оценки частоты колебаний частиц в любой устойчивой симплектической дииамической системе, которая может быть приведена к нормальной форме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Снопок, Павел Вячеславович, 2007 год

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М., "Наука", 1974.

2. Бахвалов И. В., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. СПб., 2000.

3. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: "Наука", 1977. — Vol. Т. 1. — 632 с.

4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений,— М.: "Физматгиз", 1962.-Vol. Т. 1,2.

5. Будкер Г. И. Ускорители и встречные пучки // Труды VII Международной конференции по высокоэнергетическим ускорителям заряженных частиц (Ереван, 1969). — Т. 1. — Ереван: 1970. — С. 33.

6. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М., 1961.

7. Голдстейн Г. Классическая механика. — М., "Наука", 1975.

8. Едаменко Н. С. О моделировании динамики заряженных частиц с учетом их взаимодействия // В кн. Математические методы анализа управляемых процессов. — JL, 1986.

9. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М., 1967.

10. Лебедев В. OptiM компьютерный код для расчета линейной и нелинейной оптики.— 2004.— http://www-bdnew.fnal.gov/pbar/ organizat i onalchart/1ebedev/Opt iM/opt im.htm.

11. Лоусон Д. Физика пучков заряженных частиц. — М., 1980.

12. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — Минск, 1974.

13. Овсянников А. Д., Рубцова И. Д. Моделирование динамики интенсивных пучков в структурах с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой. Учебное пособие. — СПб., 2002.

14. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

15. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация пучков заряженных частиц.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

16. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. — Изд-во СПбГУ, 2003.

17. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. — Издательство Санкт-Петербургского университета, 1998.

18. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., "Наука", 1970.

19. Рошаль А. С. Моделирование пучков заряженных частиц.— М.: "Атомиздат", 1979.

20. Тихонин Ф. Ф. К эффектам на встречных д мезонных пучках / ОИ-ЯИ Р2-4120. Дубна, 1968.

21. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972.-Pp. 300-302.

22. Ahn S., et al. Muon colliders: A scenario for the evolution of the Fermilab accelerator complex: Tech. Rep. Fermilab-FN-677: Fermilab, 1999.

23. Alsharoa M. M., et al. Recent progress in Neutrino Factory and Muon Collider research within the Muon Collaboration // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2003. - Vol. 6. - P. 081001.

24. Berz M. Introduction to beam physics. — Lecture Notes. — Virtual University Beam Physics Course, http://bt.pa.msu.edu/pub/papers/ bphy861/bphy861.pdf.

25. Berz M. Differential algebraic formulation of normal form theory // Proc. Nonlinear Effects in Accelerators / Ed. by M. Berz, S. Martin, K. Ziegler. IOP Publishing, 1992. - Pp. 77-86.

26. Berz M. From Taylor Series to Taylor Models. — American Institute of Physics CP405, 1997,— Pp. 1-27.— Глава в Nonlinear Problems in Accelerator Physics.

27. Berz M. Differential Algebraic Techniques. — World Scientific, 1999. — Глава в Handbook of Accelerator Physics and Engineering.

28. Berz M. Modern Map Methods in Particle Beam Physics. — San Diego: Academic Press, 1999.—http://bt.pa.msu.edu/pub.

29. Berz M. COSY INFINITY version 8.1 user's guide and reference manual: Department of Physics and Astronomy MSUHEP-20704: Michigan State University, 2002. — http: //cosy.pa.msu. edu/cosymanu/index. html.

30. Berz M., et al. Веб-страница программы COSY INFINITY. — http: //cosy.pa.msu.edu.

31. CERN Accelerator school, Fifth General Accelerator Physics Course / Ed. by S. Turner; CERN, Geneva.-Vol. I, 1994. January.

32. Courant E. D., Snyder H. S. Theory of the alternating-gradient synchrotron // Annals of Physics. — 1958. —Vol. 3. — Pp. 1-48.

33. Erdelyi B. Symplectic Approximation of Hamiltonian Flows and Accurate Simulation of Fringe Field Effects: Ph.D. thesis / Michigan State University. — East Lansing, Michigan, USA, 2001.

34. Erd6lyi В., Berz M. Optimal symplectic approximation of Hamiltonian flows // Physical Review Letters.- 2001.- Vol. 87,11.- P. 114302.

35. Erdelyi В., Berz M. Local theory and applications of extended generating functions // International Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2004.-Vol. 11,3.-Pp. 241-282.-http://bt.pa.msu.edu/pub.

36. Fernow R. C. ICOOL: A simulation code for ionization cooling of muon beams // Proceedings of the 1999 Particle Accelerator Conference, New York. 1999. - Pp. 3020-3022.

37. Gelfand N. Reshimming the Tevatron dipoles: Tech. Rep. Beams-doc-1290-vl: FNAL, 2004.-August.

38. High-order simulation of Muon Collider interaction region / P. V. Snopok, D. A. Ovsyannikov, A. D. Ovsyannikov et al. // Вестник Санкт-Петербургского университета. — СПбГУ, 2006. — 10.

39. Humphries S. Principles of Charged Particle Acceleration. — John Wiley and Sons, 1986.- ISBN 0-471-87878-2.

40. Humphries S. Charged Particle Beams. — John Wiley and Sons, 1990. — ISBN 0-471-60014-8.

41. Iselin C. MAD a reference manual: Tech. Rep. LEP-TH/85-15: CERN, 1985.

42. Iselin C., Niederer J. The MAD program, version 7.2, user's reference manual: Tech. Rep. CERN/LEP-TH/88-38: CERN, 1988.

43. Johnstone C., Garren A. An IR and chromatic correction design for a 2 TeV Muon Collider // Proceedings of the Workshop on New Directions for High-Energy Physics. 1996. - P. 222.

44. Johnstone C., Garren A. 50-on-50 GeV Muon Collider storage ring // Higgs Factory 2001 Snowmass Report. — 2001.

45. Johnstone C., Wan W., Garren A. Lattice design for a 50-on-50 GeV Muon Collider // Proceedings of the 1999 Particle Accelerator Conference. New York: 1999. - Pp. 3065-3067.

46. Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by simulated annealing // Science, Number 4598, 13 May 1983.— 1983.- Vol. 220, 4598.- Pp. 671-680.- citeseer.ist.psu.edu/ kirkpatrick83opt imizat ion. html.

47. A lattice for the Muon Collider demonstration ring in the RHIC tunnel / D. Trbojevic, R. Palmer, E. Courant et al. // Proceedings of the 1997 Particle Accelerator Conference. — 1997.

48. Levenberg K. A method for the solution of certain problems in least squares // Quart. Appl. Math. 1944. - Vol. 2.-Pp. 164-168.

49. Long-term stability of large particle accelerators / M. Berz, K. Makino, Y.-K. Kim, P. Snopok // ECMI Newsletter. 2006. - Vol. 39.

50. The MAD to COSY converter.— URL: http://cosy.pa.msu.edu/ converters/mad2cosy.

51. Makino K. Rigorous Analysis of Nonlinear Motion in Particle Accelerators: Ph.D. thesis / Michigan State University. — East Lansing, Michigan, USA, 1998,-Also MSUCL-1093.

52. Makino K., Berz M. Remainder differential algebras and their applications // Computational Differentiation: Techniques, Applications, and Tools / Ed. by M. Berz, C. Bischof, G. Corliss, A. Griewank. SIAM, 1996. - Pp. 63-75.

53. Makino K., Berz M. Solenoid elements in COSY Infinity // Institute of Physics CS. 2004. - Vol. 175. - Pp. 219-228.

54. Makino K., Berz M. COSY INFINITY version 9 // Nuclear Instruments and Methods. 2005. - Vol. A558. - Pp. 346-350.

55. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters 11 SIAM J. Appl. Math. — 1963. — Vol. 11.-Pp. 431-441.

56. Martens M. A. Tevatron lattice page.— http://www-ap.fnal.gov/ ~martens/tevlattice/tevlattice.html.

57. Mathworks Matlab 2007b.— http://www.mathworks.com/products/ mat lab/.

58. McKeeman W. M. Algorithm 145: Adaptive numerical integration by Simpson's rule // Communications of the ACM. — 1962. — Vol. 5(12). — P. 604.

59. Meller R. E., Chao A. W., et al. Decoherence of kicked beams: Tech. Rep. SSC-N-360: SSCL, 1987.

60. Methodical Accelerator Design. — http: //mad. home. cern. ch/mad/.

61. Muon colliders / R. B. Palmer, A. Sessler, A. Skrinsky, et al. // Proceedings of 9th Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop. — 1995.

62. Nelder J. A., Mead R. A simplex method for function minimization // The Computer Journal. 1964. - Vol. 7. - Pp. 308-313.

63. Neuffer D. Colliding muon beams at 90 GeV: Tech. Rep. FN-319: Fermi National Accelerator Laboratory, 1979.

64. Ovsyannikov D. A. Mathematical methods of optimization of charged particle beams dynamics // Proc. of European Particle Accelerator Conf. Barselona.- 1996.- Pp. 1382-1384.

65. Ovsyannikov D. A. Modeling and optimization problems of charged particle beams dynamics // Proceedings of the 4th European Control Conference, Brussels. 1997. - Pp. 390-394.

66. PHP: Hypertext Preprocessor. — URL: http://www.php.net.

67. Shashikant M. L., Berz M., Erdelyi B. COSY INFINITY'S EXPO sym-plectic tracking for LHC // IOP CP. 2004. - Vol. 175. - Pp. 299-306.

68. Snopok P. A converter program for Tevatron lattices from OptiM to COSY INFINITY: Tech. Rep. MSUHEP-40909. Michigan State University, East Lansing, MI 48824: Department of Physics and Astronomy,2004.

69. Snopok P., Berz M., Johnstone C. Calculation of nonlinear tune shift using beam position measurement results: Tech. Rep. MSUHEP-070421.— Michigan State University, East Lansing, MI 48824: Department of Physics and Astronomy, 2007.

70. Snopok P., Johnstone C., Garren A. Recent progress in Muon Collider lattice design: Tech. Rep. MSUHEP-070420. Michigan State University, East Lansing, MI 48824: Department of Physics and Astronomy, 2007.

71. Study and optimal correction of a systematic skew quadrupole field in the Tevatron / P. Snopok, C. Johnstone, M. Berz et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.— Vol. 558.— 2006.— Pp. 142-146.

72. Summers D. J. Muon acceleration to 750 GeV in the Tevatron. — 2007. — Neutrino Factory and Muon Collider Collaboration, UCLA, http:// www. cap. bnl. gov/mumu/conf/МС-070129/DSunmers 1-070129. pdf.

73. Syphers M. Strong transverse coupling in the Tevatron: Tech. Rep. Beams-doc-1159-vl: FNAL, 2004.

74. Syphers M. Tevatron accelerator physics: Tech. Rep. Beams-doc-1046-vl: FNAL, 2004.

75. Trbojevic D., Ng K. Y., Weishi W. A lattice for the 50 GeV Muon Collider ring // EPAC'98 Proceedings / Ed. by S. Myers, et al. 1998.-Pp. 362-364.