Моделирование переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Музафаров, Салих Мухаррамович

• Музафаров, Салих Мухаррамович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Музафаров, Салих Мухаррамович

Введение.

Глава 1. Математические модели линейных звеньев со сложными запаздываниями

§ 1 Линейное звено с дробно—рациональной передаточной функцией.

§ 2 Линейные звенья, содержащие запаздывания.

§ 3 Функционирование звена со сложными запаздываниями в различных пространсвах допустимых входов.

Глава 2. Моделирование переходных процессов.

§ 4 Переходные процессы в динамических системах.

§ 5 Метод простых дробей

§ 6 Моделирование импульсных характеристик.

§ 7 Асимптотика нулей квазиполиномов.

Глава 3. Моделирование колебательных процессов.

§ 8 Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями.

§ 9 Моделирование импульсно — частотных характеристик и колебательных процессов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями»

Актуальность работы. Динамические системы используют для моделирования различных объектов во многих областях знаний. Одним из основных при изучении динамической системы является вопрос о переходных и колебательных процессах системы. Знание переходных процессов позволяет изучить поведение системы при переходе от одних устойчивых режимов к другим, описать характеристики устойчивости системы. Колебательные процессы являются важнейшим видом функционирования динамической системы, широко распространенным в физике, технике, биологии и др. Моделированию и изучению переходных и колебательных процессов посвящены работы Я.З.Цыпкина [51], Л.Заде, Ч.Дезоера [18], Е.Н. Розенвассера [41], Я.Н.Ройтенберга [43], А. А. Первозванского [34] и др.

Реальные явления часто содержат различные запаздывания и поэтому их моделирование приводит к уравнениям с последействием, содержащим несколько дискретных запаздываний, распределенные запаздывания, случайные запаздывания или их комбинации. Теория дифференциальных уравнений запаздывающего типа, созданная и развитая благодаря работам А.Д. Мышкиса [31], Р. Беллмана [7], Дж. Хейла [49], Л.Э. Эльсгольца [55], Н.В. Азбелева [1] и др., стала важной составной частью современного естествознания.

Переходные и колебательные процессы в системах, содержащих запаздывания, имеют ряд особенностей. Поведение таких систем обладает сложной динамикой, здесь возможны появление незатухающих, в том числе хаотических колебаний, слипание решений и т.д. Вопросы моделирования переходных и колебательных процессов в системах с запаздываниями изучались в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [4], Е.Н. Розенвассера [41] и др.

Многие вопросы моделирования переходных процессов и колебательных процессов в системах, содержащих запаздывания, еще далеки от своего окончательного решения. Точные решения модельных уравнений удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому существенную роль при моделировании объекта играют способы приближенного или численного построения решений. Особенно актуальны разработки методов математического моделирования переходных и колебательных процессов, обладающих той или иной общностью, позволяющие изучать динамику широкого класса систем.

Исследование режимов функционирования динамических систем, содержащих те или иные запаздывания во всей полноте, с учетом всех факторов и параметров, существующих для модели, возможен лишь в исключительных случаях. Поэтому здесь естественным представляется подход "упрощенных" моделей. При этом возникает цепочка (иерархия) всё более полных моделей, учитывающих всё большее число факторов и таковых, что изучаемая модель будет предельным случаем упрощенных моделей.

Одним из основных преимуществ иерархии упрощенных моделей является возможность простого описания сложного объекта с помощью нескольких основных параметров. Естественно, возникает вопрос о том, какие уровни моделей разумно использовать в тех или иных случаях. Другими словами, необходимо определить оптимальное число параметров, знание которых позволяет с достаточной полнотой описать поведение изучаемого объекта.

Диссертационая работа посвящена обоснованию подхода основанного на иерархии упрощенных моделей, в задачах моделирования переходных и колебательных процессов динамических систем, содержащих запаздывания сложной природы.

Цель работы. Изучение вопросов математического моделирования переходных и колебательных процессов в линейных и нелинейных системах со сложными запаздываниями на основе аппроксимации процессов импульсными и переходными функциями, импульсно-частотными характеристиками элементарных звеньев, содержащих простейшие запаздывания, а также на основе экспоненциальных решений модельных уравнений.

Методы исследования. Используются методы математического моделирования, методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций, теории управления, теории систем, методы приближенного исследования операторных уравнений.

Научная новизна. В работе для широкого класса динамических систем со сложными запаздываниями:

1. предложен метод математического моделирования импульсных и переходных характеристик, основанный на иерархии упрощенных моделей;

2. предложен метод математического моделирования импульсно-час-тотных характеристик и колебательных процессов;

3. разработаны алгоритмы построения переходных и колебательных процессов, программно реализованные в среде MATLAB;

4. дано теоретическое обоснование функционирования линейных звеньев в различных пространствах входных сигналах;

5. получены оценки скорости сходимости аппроксимирующих рядов к решениям основных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. В работе предлагается теоретическое обоснование метода математического моделирования переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями. Предлагаемый метод может быть использован в задачах приближенного построения переходных и колебательных процессов широкого класса динамических систем, содержащих запаздывания различной природы. Полученные результаты доведены до расчётных формул, позволяющих эффективно изучать динамику переходных и колебательных процессов. Предложены алгоритмы и программы численного исследования эволюции динамической системы при различных входных сигналах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 9 параграфов, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 114 страниц, включая 30 рисунков. Библиография содержит 73 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Музафаров, Салих Мухаррамович

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. предложен метод математического моделирования импульсных и переходных характеристик систем со сложными запаздываниями, основанный на иерархии упрощенных моделей;

2. предложен метод математического моделирования импульсно-час-тотных характеристик и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями;

3. разработаны алгоритмы построения переходных и колебательных процессов, программно реализованные в среде MATLAB;

4. дано теоретическое обоснование функционирования линейных звеньев со сложными запаздываниями в различных пространствах входных сигналах;

5. получены оценки скорости сходимости аппроксимирующих рядов к решениям основных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Музафаров, Салих Мухаррамович, 2004 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 384 с.

2. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 123 с.

3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971. 240 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов 2-е изд., доп. - М.: Высшая школа, 1998. - 574 с.

5. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с последействием.- В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. С. 383-394. Наука, 1982. - 331 с.

6. Балинский А.И., Подлевский Б.М. Связь между многочленами Эрмита и теории устойчивости многочленов. // ЖВМ. 2002. -т.42. - № 9, С. 1283 - 1289.

7. Белман Р., Кук К. Дифференциально разностные уравнения. -М.: Мир, 1967. - 548 с.

8. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.: Наука, 1983. - 328 с.

9. Владимиров А.А., Измайлов Р.Н. Переходные процессы при адаптивном управлении детерминированным авторегрессионным процессом. // АиТ. 1992. - № 6. - С. 14-20.

10. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2000. - 400 с.

11. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1980. - 309 с.

12. Гелъфанд^И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

13. Гребенъков Д.С.,Гринин А.П. Численное моделирование переходных процессов мицеллообразования //Вестник Санкт-Петербургского университета. 2001. - Сер.4. - Вып.4(П28).

14. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. Пер. с англ. Б.И. Копылова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832с.

15. Дралюк Б.Н., Синайский Г. В. Системы автоматического регулирования объектов с транспортным запаздыванием. М.: Энергия, 1969. - 70 с.

16. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. - 320 с.

17. Завалишин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. - 255 с.

18. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970. - 703 с.

19. Зверкин A.M. Разложение в ряд решений линейных дифференциально-разностных уравнений. I. Квазиполиномы.- Труды семинара по теории дифф. ур-й с отклон. аргум., 1965.- 3. С. 3-38; II. Разложение решений в ряд. - Там же, 1967. - 4.- С. 3-50.

20. Земское А. В. Анализ колебательных переходных процессов в возмущенном движении многомерных систем автоматического управления . // АиТ. 1994. - № 9. - С. 59-62.

21. Калман Р., Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

22. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование. // Соросовский образовательный журнал. -1996. № 4. - С. 122-127.

23. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М.: Наука, 1985. - 256 с.

24. Круглое В. В. Усредненные переходные процессы в цифровой системе регулирования при асинхронном режиме работы ЦВМ. // АиТ. 1992. - № 3. С. 101-107.

25. Кувшинов Г. Е., Новик Ю.Д. Математическое моделирование процесса качки в системе судно-трос-буксируемый подводный объект // Материалы междунар. конф. Кораблестроение и океанотехни-ка. Проблемы и перспективы. Владивосток: ДВГТУ, - 1998. - С. 103-107.

26. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с.

27. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: Гостехиздат, 1951. - 432 с.

28. Мартынов Н.Н. Введение в MATLAB 6. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. - 352с.

29. Мухамадиев Э.М., Ю магу лов М.Г. Соотношения "вход-состояние-выход" для звеньев запаздывающего типа. // АиТ. 1995. - № 6. - С. 16-23.

30. Мухамадиев Э.М., Юмагулов М.Г. Операторы типа свертки в пространствах суммируемых функций, порожденных различными мерами. // Доклады Академии Наук. 1997. - том 353. - № 1. - С. 23-25.

31. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

32. Ним Ю.А. Основы приближенной теории электрозондирования методом переходных процессов. // Геология и геофизика. 1989.

33. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высш. шк., 2003. - 583 с.

34. ПервозванскийА.А. Курс теории автоматического управления. -М.: Наука, 1986. 616 с.

35. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с.

36. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых трансцедентных функций. // ИАН СССР (матем.). 1942. - 6:3. - С. 115 - 134.

37. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1982. 331 с.

38. Постников М.М. Устойчивые многочлены М.: Наука, 1981. 176 с.

39. Ричард М., Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах.- М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

40. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.- М.: Наука, 1969. 287 с.

41. Розенвассер Е.Н. Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973. - 512 с.

42. Розенвассер Е.Н., Воловодов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 312 с.

43. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.- 576 с.

44. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

45. Сивокобыленко В. Ф. Математическое моделирование электродвигателей собственных нужд электрических станций (учебное пособие). -Д.: Межвузовское полиграфпредприятие при ДПИ, 1979. -112 с.

46. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

47. Тихонов А.Н., Васильева А. В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с.

48. Харитонов В. Л. Семейства устойчивых квазиполиномов // АиТ.- 1991. № 7. - С. 75 - 88.

49. Хэйл Дж. Теория функционально дифференциальных уравне-ний.Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 421 с.

50. Хэссарт Б., Казаринов Н.,Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла : Пер. с англ. М.: 1985. - 280 с.

51. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем М.: Наука, 1977. - 560 с.

52. Чен К., Джиблин П., Ирвинг A. MATLAB в математических исследованиях: Пер. с англ. -М.: Мир, 2001. 346 с.

53. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. I. М.: Наука, 1985336 с.

54. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. - 412 с.

55. Эльсгольц Л.Э, Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. -296 с.

56. Юмагулов М.Г. Импульсная характеристика линейного звена со сложными запаздываниями. // АиТ. 1993. - № 6. - С. 106-112.

57. Юмагулов М.Г. О разложении периодической функции Грина уравнений с последействием в ряд по экспоненциальным решениям. // -ДАН Респ. Тадж. 1992. - Т. 35. - № 8.

58. Volterra V. Theorie mathematique de la lutte pour la vie. Paris: Gauthier-Villars, 1931.

59. Wright E.M. Solution of the equation zez = a.

60. Bull. Amer. Math. Soc., 65(1959), 89 93; Proc. Roy. Soc. Edinburg, sect. A, 65(1959), 192 - 203.

61. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology. // Ann. New York Acad. Shi. 1948. V. 50. p. 221 246.

62. Gopalsamy K. Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

63. Minorsky N. Self-excited oscillations in dinamical systems processing retarted action. J. Appl. Mech. 9 (1942), 65-71.

64. Parhi N.,Pardhi Seshadev Asymptotic behavior of solutions of delay differential equations of n th order. // Arch, math., 2001, V. 37, №2, p. 81-101.

65. Ruan Shigui, Wei Junjie Periodic solutions of planar systems with two delays. 11 Proc. Roy. Soc. Edinburgh. A. 1999, V. 129, №5, p. 1917-1032.

66. Музафаров C.M. Линейное звено со сложными запаздываниями при обобщенных входных сигналах. // Автоматика и телемеханика. 2002. - т. С. 181-183.

67. Юмагулов М.Г., Музафаров С.М. Метод элементарных звеньев в задаче приближенного исследования систем со сложными запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 2003. - №12. - С. 10-16.

68. Музафаров С.М. Моделирование переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал. Вып.5. Естественные науки. Магнитогорск: МаГУ, 2004. - С. 152- 154.

69. Музафаров С.М. Фундаментальные решения линейных звеньев со сложными запаздываниями. // Региональная школа- конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Т.1. Математика. Уфа: ВГУ, 2001. -С. 147-150.

70. Музафаров С.М. Линейное звено со сложными запаздываниями при обобщенных входных сигналах. // Региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. - Уфа: ВГУ, 2001. - 4.1. Математика. - С. 28.