Некоторые задачи двухконтинуумной гиперболической теории массопереноса несжимаемых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Обухова, Елена Владимировна

• Обухова, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Обухова, Елена Владимировна

Введение.

Глава 1 Общие уравнения движения несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток.

1.1. Математическая модель переноса несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток.

1.2. Исследование влияния точечного источника концентрации в стационарном потоке.

1.3. Модель Обербека-Буссинеска, как следствие общих уравнений модели.

1.4. Проблема существенно нестационарного распространения примеси по движущемуся потоку.

Глава 2 Гиперболическая теория диффузионного распространения примеси по несущему потоку жидкости.

2.1. Закономерности движения переднего фронта примеси.

2.2. Затухание волнового фронта распространяющейся примеси.

2.3. Распространение примеси от сферического источника малой концентрации в спокойном водоеме.

Глава 3 Моделирование процесса диффузии в системе жидкость - твердое тело.

3.1. Постановка задачи о «набухании» упругого тела.

3.2. Плоская одномерная задача о «набухании».

3.3. Сферическая задача о «набухании».

3.4. Сжимаемость составляющих в задаче о «набухании».

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи двухконтинуумной гиперболической теории массопереноса несжимаемых сред»

Настоящая работа посвящена исследованию процесса взаимопроникновения двух несжимаемых сред, обусловленного диффузией. Моделирование проводится на основании обобщения закона Фика, который определяет гиперболический характер уравнений задачи. Интерес к гиперболической теории диффузии в смеси двух химически не реагирующих составляющих диктуется рядом обстоятельств. Во-первых, он связан с проблемой регистрации загрязняющей примеси, распространяющейся по основному потоку. По величине концентрации примеси и моменту ее регистрации при известном характере основного потока возможно сделать выводы как об интенсивности источника загрязнения, так и о его месте. В последнее время многие авторы обращаются к проблеме антропогенного загрязнения морских и пресноводных бассейнов [4, 9, 26, 28, 34, 44, 61, 69, 91]. В основном, массоперенос в задачах распространения примесей, описывается уравнениями Навье - Стокса в приближении Обербека-Буссинеска [2-6, 23, 25, 26, 34, 44, 67, 93], сформулированного в начале прошлого века и справедливого лишь для режима установившейся тепловой конвекции. Возникает вопрос об условиях справедливости применения приближения Обербека-Буссинеска для нестационарной диффузии. Кроме того, в этих моделях диффузионный поток определяется лишь градиентом концентрации и не зависит от времени, то есть скорость массопереноса полагается бесконечной и процесс диффузии протекает мгновенно. Применение таких параболических моделей оправдано лишь для стационарных течений или при малых значениях концентрации примеси. Приближение Обербека-Буссинеска неприменимо при скоростях диффузии сравнимых со скоростями основного потока. Составленная же в данной работе модель позволяет решать подобные задачи о диффузионном распространении примеси даже для режима неустановившейся диффузии и при малых параметрах тоже допускает вышеуказанное приближение.

Во-вторых, именно существенная нестационарность процесса диффузии, которую возможно описать только в рамках гиперболической теории массопе-реноса, определяет разрушение гранул ионообменников в процессах сорбции-десорбции [16, 24, 71, 89]. Известно, что данное разрушение является основной причиной, препятствующей широкому внедрению технологий очистки органических растворов в ионообменных установках. Указание основных причин, способствующих возникновению разрушающих внутренних усилий в материалах ионитов, является необходимым условием для исключения такого нежелательного явления, как разрушение гранул.

Закон диффузии Фика утверждает, что поток вещества пропорционален градиенту его концентрации. Данное положение хорошо согласуется с линейными законами неравновесной термодинамики о пропорциональности термодинамических сил термодинамическим потокам, поэтому классическая теория массопереноса основана на принятии этого закона. Однако, как уже отмечалось, построенная на таком основании теория содержит в себе парадокс бесконечной скорости распространения вещества при диффузии. Заметим, что этот же эффект характерен и для теории теплопроводности, основанной на законе Фурье: тепло распространяется по теплопроводящему телу с бесконечно большой скоростью. Закон теплопроводности Фурье вполне аналогичен закону диффузии Фика, в нем также содержится требование о пропорциональности теплового потока градиенту температуры. Но законы Фика и Фурье основаны только на опытных данных, то есть относятся к эмпирическим. Следовательно, для исключения указанного выше парадокса необходимо провести изменения в определяющем законе модели. Исследования отечественных и зарубежных авторов, направленные на исключение бесконечной скорости распространения тепла, известны с середины прошлого века [29, 31-33, 39-41, 65, 68, 73, 78, 80, 82-84, 86, 88, 94, 97, 98, 102, 103]. Особенно стоит отметить работы Вернотте [102], А.В. Лыкова [39-41] и А.Д. Чернышова [78], в которых впервые даются возможные обобщения линейных феноменологических законов Фурье и Фика. А.С. Предводителев [65] также пытался обойтись без введения гипотезы Фурье и в 1970 году получил гиперболическое уравнение переноса тепла методом огибающих поверхностей Монжа, рассматривая в качестве таковой поверхность фазового перехода. Однако наибольший интерес представляют дифференциальные уравнения теплопроводности материалов с переменной памятью, впервые полученные и проанализированные в работах [84, 86, 97, 98, 100, 102]. J^**' настоящее время, например, достаточно развита теория термоупругости, построенная на основе гиперболической теории теплопроводности [11, 20, 63]. В теории массопереноса нестационарные модели с учетом процесса релаксации используются в основном для описания гетерогенных, дисперсных потоков [22, 27, 35, 42, 43, 47, 64, 72, 79, 85, 92, 96] или газовых смесей [18, 27, 77, 90]. Соотношения для двухкомпонентных гомогенных смесей сплошных сред в литературе известны [4, 36, 81, 87, 91], но рассмотрение их взаимодиффузии на основе обобщения закона Фика, которое приводило бы к гиперболическому уравнению массопереноса, встречается очень редко [1, 16, 20]. В то же время, как уже отмечалось, наблюдаются эффекты, объяснение которым находится только в рамках гиперболической теории массопереноса. Классическая же теория, основанная на использовании закона диффузии Фика для взаимопроникающих движений сплошных сред, также как и закон теплопроводности Фурье в процессах теплообмена, в случаях существенно нестационарных переходных процессов может приводить к недопустимому разногласию с опытами. Указанные обстоятельства предопределяют актуальность темы диссертационной работы и задают ее цели.

Основной целью диссертационной работы является составление математической модели взаимопроникающих движений двух химически не реагирующих несжимаемых сплошных сред в гомогенных смесях на основе обобщенного закона их взаимной диффузии; изучение закономерностей распространения поверхностей разрывов концентрации; постановка и решение на такой основе краевых задач о распространении жидкой примеси по потоку и о набухании полимерных материалов. Сопутствующей целью является привлечение интереса к рассмотрению процесса массопереноса в двухкомпонентных однородных смесях с применением подобных гиперболических моделей, побуждение к дальнейшим исследованиям в этом направлении.

Диссертация написана по материалам работ [13, 14, 48-60, 99] и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Обухова, Елена Владимировна

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. На основе механики многокомпонентных гомогенных смесей разработана математическая модель взаимодиффузии двух химически не реагирующих сплошных сред, учитывающая конечную скорость диффузии.

2. Изучены закономерности распространения поверхностей разрывов концентрации, вычислены скорости их распространения в общем и частных случаях. Применяя теорию поверхностей разрывов, получено дифференциальное уравнение, отражающее процесс затухания интенсивности разрыва концентрации, которое в некоторых частных случаях позволило проследить за изменением данной характеристики процесса диффузии со временем.

3. В рамках разработанной модели на основе изучения свойств возникающих поверхностей разрывов поставлены и решены некоторые краевые задачи о распространении жидкой примеси по постоянному набегающему потоку.

4. Поставлены и решены некоторые краевые задачи о переходном процессе деформирования набухающей упругой среды; исследован процесс формирования больших растягивающих усилий в матрице сферического ионооб-менника в процессах сорбции-десорбции как в случае моделирования материала ионита несжимаемой, так и сжимаемой упругой средой.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Буренину А.А. за ценные советы и постоянное внимание к данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Обухова, Елена Владимировна, 2006 год

1. Алексашенко А.А. Аналитическое исследование тепло- и массопереноса с учетом конечной скорости переноса. Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук, ИТМО, Минск, 1968.

2. Алексеев Г.В. Обратные задачи обнаружения источников примеси в вязких жидкостях. Препринт № 8 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

3. Алексеев Г.В., Адамавичус Э.А. О разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнений массопереноса // Дальневост. мат. журн. 2001. Т.2. № 2. С. 138-153.

4. Алексеев Г.В., Жидкова М.И., Кожушная Е.Р. Разрешимость краевых задач для стационарных уравнений распространения многокомпонентной примеси в вязкой жидкости // Выч. техн. 2002. Т. 7. Спец. вып. Ч. 1. С. 251-257.

5. Андреев В.К. Бекежанова В.Б. Возникновение микроконвекции в плоском слое. Препринт № 1-01. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001.

6. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. М.: Наука, 1994.

7. Бабкин А.В., Селиванов В.В. Прикладная механика сплошных сред: В Зт. Т.1. Основы механики сплошных сред. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.

8. Баренблатт Г.И., Черный Г.Г. О моментных соотношениях на поверхностях разрыва в диссипативных средах // Прикл. мат. механ. 1963. Т. 27. № 6. С. 784-787.

9. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс, 1997.

10. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972.

11. Бурак Я.И., Подстригач Я.С. Об оптимизации напряженного состояния в нелинейных задачах термоупругости // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. М., 1986. С.20-30.

12. Буренин А.А. Динамика упругих сред при ударных воздействиях. Докторская диссертация, ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 1990. С. 19-26.

13. Буренин А.А., Обухова Е.В. Перенос несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток // Дальневост. мат. журн. 2003. Т.4. № 1.С. 101-107.

14. Буренин А.А., Россихин Ю.А. Лучевой метод решения одномерных задач нелинейной динамической теории упругости с плоскими поверхностями сильных разрывов // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 129-137.

15. Буренин А.А., Селеменев В.Ф., Шаруда В.А. Разрушение сферических гранул ионообменников при набухании. В кн.: Теория и практика сорбцион-ных процессов. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1982. Вып. 15. С. 1-12.

16. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // Прикл. матем. и механика. 1978. № 43. С. 711-717.

17. Буряков О.В., Куропатенко В.Ф. Структура фронта ударной волны в смеси двух газов // Пробл. динам, вяз. жидкости. Материалы 10 Всес. шк. Новосибирск, 1986. С. 47-49.

18. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.

19. Ганжа В.Л., Журавский Г.И., Симкин Э.М. Тепломассоперенос в многофазных системах. Минск: Наука и техника, 1990.

20. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневост. мат. журн. 2004. Т.5. № 1. С. 100-109.

21. Гидродинамика и акустика одно- и двухфазных потоков: Сборник научных трудов / Под ред. И.Р. Шрейбера. Новосибирск: Наука, 1983.

22. Гневанов Н.В., Смородин Б.Л. Конвективная неустойчивость течения бинарной смеси в условиях вибрации и термодиффузии // Прикладная матем. и техн. физ. 2006 № 02. С. 77-84.

23. Денисюк Е.Я., Керешатов В.В. Автомодельные режимы набухания эластомеров в низкомолекулярных жидкостях // Физич. мезомеханика. 1999. Т. 2. №4. С. 31-40.

24. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир, 1981.

25. Калинина Е.А. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвекции диффузии // Дальневост. матем. школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 4546.

26. Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П. Ударно-волновые процессы в двух-компонентных и двухфазных средах. Новосибирск: Наука, 1992.

27. Корнеев С.А. Анализ возможных подходов к тепловому парадоксу // Омский научный вестник. 2000. Вып. 12. G. 65-67.

28. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. Пер. под ред. Рыжова О.С.М.: Мир, 1972.

29. Краснюк И.Б. Теория особенностей в задачах теплопереноса: решения релаксационного типа // Инж.-физ. журн. 1994. Т. 67. № 1-2. С. 162.

30. Краснюк И.Б., Каражанов С.Ж. О некоторых свойствах решений гиперболического уравнения теплопроводности. Минск: Ред. Инж.-физ. ж. АН Бе-лоруси, 1997.

31. Краснюк И.Б., Ревизии Б.Л. Об одной модификации гипотезы Фурье // Инж.-физ. журн. 1994. Т. 67. № 5-6. С. 500.

32. Криксин Ю.А., Плющев С.Н., Самарская Е.Е., Тишкин В.Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии // Ма-тем. моделирование. 1995. Т.7. № 11. С. 95-108.

33. Куксенко Б.В., Никитин В.Ф., Трофимова А.В. Движение несжимаемой двухфазной среды в приближении Стокса под действием силы тяжести // Вестн. МГУ. Сер. 1. 1999. N 3. С. 52-55.

34. Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. VI). М.: Наука, 1988.

35. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

36. Луговский В.В. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1990. С.65-69, 74-79.

37. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованиям тепломассопереноса // Инж.-физ. журн. 1965. Т. 9. № 3. С. 624-631.

38. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы тепломассопереноса // Инж.-физ. журн. 1974. Т. XXVI. № 5. С. 781-793.

39. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1978.

40. Ляпидевский В.Ю. Гиперболическая модель двухфазного потока, основанная на законах сохранения // XI Международный симпозиум по нелинейной акустики. Ч. 1. Новосибирск, 1987.

41. Ляпидевский В.Ю. Уравнения мелкой воды с дисперсией. Гиперболическая модель // Прикл. мех. и техн. физ. 1998. Т.39. N 2. С. 40-46.

42. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

43. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

44. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

45. Нигматулин Р.И. Затухание и усиление ударных волн в жидкости с пузырьками газа и пара // 7 Всес. съезд по теор. и прикл. мех.: аннот. докл. М., 1991. С. 264.

46. Обухова Е.В. О переносе несжимаемой жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2001. С. 78-79.

47. Обухова Е.В. К моделированию процесса распространения несжимаемой жидкой примеси по потоку жидкости // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 86.

48. Обухова Е.В. Вычисление скорости распространения фронта примеси потоком несжимаемой жидкости // Молодежь и научно-технический прогресс: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2002. С. 81-83.

49. Обухова Е.В. К моделированию процесса распространения примеси по потоку // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2003. С. 62-63.

50. Обухова Е.В. Перенос жидкой примеси потоком несжимаемой жидкости при учете диффузии // Вологдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2004. С. 82-83.

51. Обухова Е.В. К задаче о диффузионном распространении жидкой примеси // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2005. С. 92-93.

52. Обухова Е.В. О диффузионном распространении жидкой примеси // Воло-гдинские чтения: материалы конференции. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2005. С. 21-22.

53. Обухова Е.В. О затухании фронта концентрации примеси в потоке несжимаемой жидкости // Дальневост. мат. журн. 2005. Т.6, № 1-2. С. 112-116.

54. Обухова Е.В., Рагозина В.Е. О гиперболической теории массопереноса в двухкомпонентных несжимаемых смесях // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 103-105.

55. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985.

56. Пермяков В.В. Гидромеханика и газодинамика. Учеб. пособие. 4.1. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1990. С.104-112.

57. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984.

58. Поникаровский А.И., Сиренек В.А. Решение волновой модели диффузии вероятностным методом // 15 Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях»: сборник трудов. Т. 1. Секц. 1. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2002. С. 63-65.

59. Предводителев А.С. Учение о теплоте и римановы многообразия. В кн.: Проблема тепло- и массопереноса. М.: Энергия, 1970. С. 151-192.

60. Рауз X. Механика жидкости. М.: Стройиздат, 1967. С.66-100.

61. Рыжков И.И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения // Прикладная матем. и техн. физ. 2006. № 01. С. 95.

62. Сауди М.О. О расчете концентрации веществ загрязнения в водотоках при нестационарных выпусках сточных вод // Матеем. моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сборник трудов СПб.: СПбГАСУ, 2000. С. 134-138.

63. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. Т.1.

64. Селеменев В.Ф., Завьялова Г.А., Чикин Г.А., Шамрицкая И.П., Мелешко В.П. Об изменении физико-химических свойств анионита при очистке сахарных сиропов в рафинадном производстве. В кн.: Теория и практика сорбционных процессов. Изд. ВГУ, 1972. вып.4.

65. Тешуков В.М. Характеристики, законы сохранения и симметрии кинетических уравнений движения пузырьков в жидкости // Прикл. мех. и техн. физ. 1999. 40. N2. С. 86-100.

66. Толубинский Е.В. Исследования по теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1967.

67. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.

68. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. Пер. с итал. Д.А. Райкова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1957.

69. Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фадеев Ю.И. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1968. С.78-90.

70. Хонькин А.Д. Уравнения гидродинамики смеси газов с конечными скоростями распространения возмущений// Моделир. в мех. (Новосибирск). 1988. 2. №5. С. 142-147.

71. Чернышов А.Д. О теории теплопроводности при конечной скорости распространения тепла//Инж.-физ. журн. 1975. Т. XXVIII. № 3. С. 523-527.

72. Bangad Madusudan, Bhasker C. Structure of shock wave in two phase flows // Numer. Meth. Laminar and Turbulent Flow: Proc. 6th Int. Conf. Vol. 6. Pt 2. Swansea, 1989. P. 1777-1787.

73. Barletta A., Zanchini E. A thermal potential formulation of hyperbolic heat conduction // Trans. ASME. J. Heat Transfer. 1999. Vol. 121. N 1. P. 166-169.

74. Boyer F. A theoretical and numerical model for the study of incompressible mixture flows // Computers & Fluids. 2002. Vol. 31. P. 41-68.

75. Chen Han-Taw, Lin Jae-Yuh Analysis of two-dimensional hyperbolic heat conduction problems//Int. J. Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. № l.P. 153164.

76. Coleman B. Some recent results in the theory of fading memory // Pure and Applied Chemistry. 1970. Vol. 22. № 3-4. P. 321.

77. Curtin M.E., Pipkin A.C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113-126.

78. Dalai D.C., Mazumder B.S. Unsteady convective diffusion in viscoelastic fluid flowing through a tube// Int. J. Non-Linear Mech. 1998. Vol. 33. № 1. P. 135150.

79. Day W.A. The thermodynamics of simple Materials with Fading Memory. Springer-Verlag, Berlin, 1972.

80. Gavrilyuk S.L., Gouin H., Perepechko Yu.V. Hyperbolic models of homogeneous two-fluid mixtures // Meccanica. 1998. V.33. № 2. P. 161-175.

81. Gembarovic J., Majernic V. Non-Fourier propagation of heat pulses in finite medium//Int. J. Heat and Transfer. 1988. Vol. 31. N 5. P. 1073-1080.

82. Harries, Rice S.A. // Chem., Phys. 1958. Vol. 24. P. 1258.

83. Herczynski R., Tarczynski M., Walenta Z. Shock waves in binary gas mixtures // Shock Waves and Shock Tubes: Proc. 15th Int. Symp, Stanford (Calif.). 1986. P. 713-719.

84. Joseph D.D. Fluid dynamics of two miscible liquids with diffusion and gradient stresses // Eur. J. Mech. B. 1990. V. 9. № 6. P. 565-596.

85. Malankin P.V. Hyprbolic sey of equations for transient one-demensional two-phase flow // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1996. Vol. 75. P. 383-384.

86. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid // Astrophys. Journ. 1962. Vol. 136. P. 1126-1133.

87. Mikic B. A model rate equation for transient thermal conduction // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1967. Vol. 10. P. 1899-1904.

88. Murnagan F.D. Finite deformations of an elastic solids // Phys. rev. 1953. Vol. 59.

89. Norwood F.R. Transient thermal waves in the general theory of heat conduction with finite wave speeds // Trans. ASME, ser. E, 1972. № 3. P. 35.

90. Nunzioto J.W. On heat conduction in materials with memory // Quarterly of Appl. Math. 1971. №7. P. 187.

91. Spalding D.B., Launder B.E. Mathematical models of turbulence, lectures. Imperial College of Science and Technology, 1971.

92. Suwan K., Anderson A. Method of lines applied to hyperbolic fluid transient equations //Int. J. Numer. Meth. Eng. 1992. Vol. 33. № 7. P. 1501-1511.

93. Vernotte P. La nouvella equation de la chaleur // Journ: De la Trams de la chaleur. 1961. №1. P. 76-82.

94. Wu Chih-Yang. Hyperbolic heat conduction with surface radiation and reflection // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1989. Vol. 32. N 8. P. 1585-1587.