Некоторые задачи сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Холикова, Мастона Бобоназаровна

• Холикова, Мастона Бобоназаровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Холикова, Мастона Бобоназаровна

Введение.

§1. Граничная задача сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического вида коэффициентов на контуре.

§2. Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре.

§3. Об одной краевой задаче тории аналитических функций с производной в краевом условий в сингулярном случае.

§4. Задача сопряжения аналитических функций с рациональными коэффициентами в сингулярном случае.

§5. Краевая задача Гильберта для круга в сингулярном случае.

§6. Краевая задача сопряжения с непрерывными коэффициентами в сингулярном случае.

§7. Об одной смешанной краевой задачи для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае.

Цитированная литература.

ВВЕДЕНИЕ

0.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Будет рассматриваться комплексное значение функции точек плоскости (я, у) или г = х + 1у, обозначаемые не только как /(ж,у), но и как /(г).

1. - односвязная ограниченная область (в частности это круг) с границей Ляпунова Ь, В~ - внешняя по отношению к области, то есть дополнение до всей плоскости.

2. - предельные значения на Ь аналитических в функций, причем для требуется, чтобы ф~~(оо) = 0.

3. / - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи.

4. Н\(Ь) - класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера: для всех ¿1,^2 £ причем 0 < А < 1. 5. 5р(5я) - норма в Ц>{Н\{Ь)) сингулярного оператора:

Отметим, что для окружности = 1.

0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени и особенно за последние годы вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. В настоящее время, этой проблеме посвящено довольно большое количество научных работ (Ф.Д. Гахов, Н.И. Мусхелишвили, Л.Г. Михайлов, B.C. Рогожин, И.Б. Симоненко, Ю.И. Черский, Г.С. Литвинчук, И.Х. Сабитов, H.H. Юханонов, Н. Усманов). Большую роль здесь сыграли работы Н.И. Мусхелишвили по теории упругости. В его работах задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.

От вышеуказанных краевых задач, естественно, надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф.Д. Гахова [5].

Наряду с работами по теории упругости большую роль сыграли также работы по гидродинамике М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, Л.И. Седова и других. При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частными методами некоторые краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.

Трудно перечислить все опубликованные за последние годы работы, связанные, так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И. Мусхелишвили [11], Ф.Д. Гахова [5] и Л.Г. Михайлова [13].

Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений.

Как известно, основная краевая задача теории функций комплексного переменного $+(t)=G(t)$-(t) + ff(t), teL изучена впервые Ф.Д. Гаховым, обобщалась и развивалась затем во многих и различных направлениях. Общее решение (0.1), и притом в явном виде (в интегралах типа Коши), впервые было найдено в 1936 г. Ф.Д. Гаховым. В школе Ф.Д. Гахова (0.1) стали называть задачей Римана, а в школе Н.И. Мусхелишвили задачей Гильберта. Мы будем называть все подобные (0.1) соотношения задачами сопряжения. При g(t) = 0 задача (0.1) называлась еще также проблемой о факторизации, а в более общем случае такие системы типа (0.1) составили двадцать первую проблему Д. Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодро-мии). Отметим, что Ф.Д. Гаховым были изучены случаи, когда G(t) имеет нули и полюсы аналитической структуры, которые были названы исключительными случаями.

Но действительной общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является

После постановки задачи (А) в статье А.Н. Маркушевича за 1946 г. Н.П. Векуа [4] в 1952 г. привел ее к сингулярному интегральному уравнению (СИУ) и доказал теоремы Нетера (при условии нормальности а{Ь) ф 0). При выполнении неравенства |а(£)| > (эллиптический случай)

Б.В. Боярским впервые были найдены точные результаты в 1959 г. Он ограничивался односвязной областью и требовал для а(£) условие Гельде-ра с показателем, сколь угодно близким к единице.

Гораздо более полное исследование задачи (А), а также получение точных результатов для случаев |а(£)| > |Ь(£)| (эллиптический случай), |а(£)| = |6(£)| (параболический случай) осуществлено Л.Г. Михайловым в 1958-1962 гг. - при самых общих условиях: а{Ь) ф 0 и непрерывна, &(;£) ф+{€) = а(1)ф~{1) + Ь(1)ф~{1) + c(t). ограничена и измерима, c(t) £ LP(L), ^ > 1, были разработаны два метода как общего исследования задачи (А), так и ее эффективного решения.

В монографии Л.Г. Михайлова дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.

Затем И.Х. Сабитов исследовал задачу (А) на единичной окружности, без всяких условий типа эллиптичности или параболичности [19,20].

Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах H.H. Юханонова [52] и Н. Усманова [22,23,24]. А также Н. Усмановым изучены сингулярные граничные случаи для основных задач сопряжения, то есть для задачи типа (0.1) и типа (А), для аналитических, обобщенно-аналитических, а также гармонических функций [26-33]. Кроме общего исследования, найдены точные значения чисел I и р ( I - число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре»

Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение теории разрешимости указанных задач сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического и неаналитического вида коэффициентов на контуре. Кроме общего исследования нашей целью является нахождение точных значений чисел I и р (I - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи).

Практическая и теоретическая значимость. Применение задач сопряжения в физике, геофизике и других науках уже приобрело достаточно большую известность. Полученные нами результаты также могут найти применение в указанных областях.

Методика исследования. В диссертации используются многие современные методы теории функций, изложенные в монографии Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили и Л.Г. Михайлова.

Научная новизна работы. Впервые разработана теория граничных задач сопряжения для тех случаев, когда коэффициент обращается в нуль или имеет особенности не голоморфной структуры.

В большинстве случаев решение задачи найдено в явном виде.

В некоторых случаев найдено I - число решений однородной задачи, р -число условий разрешимости неоднородной задачи.

Все результаты предлагаемой диссертации являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались: на научных семинарах академика Л.Г. Михайлова, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском государственном педагогическом университете (ТГПУ); на Республиканской научной конференции, посвященной 70-летию математического факультета ТГПУ, Душанбе, 2003 г.; на научных семинарах кафедры математического анализа ТГПУ (руководителем научного семинара профессор М.М. Каримова и доцент Р.Н. Пиров); на Международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 2006 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации. Работы написаны в соавторстве с Н. Усмановым, которому принадлежит постановка рассмотренных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи параграфов и списка литературы, содержащего 52 названия. Объем диссертации составляет 77 страниц компьютерного набора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Холикова, Мастона Бобоназаровна, 2008 год

1. Боярский Б.В. - Об обобщенной граничной задаче Гильберта. - Собщ. АН Груз. ССР, i960, т.25, Ж. с. 385-390.

2. Башкарев П.Г., Нечаев А.П., Чернецкий В.А. Об одной смешанной краевой задаче для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области. Зб1рник науковых праць, випуск 6, Чершвщ, выдав-ницство. "Прут", 2001, с. 3-13.

3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М., Наука, 1998, 510 с.

4. Векуа Н.П. Об одной задаче теории функций комплексного переменного. - ДАН СССР, 1952, т.88, №3, с. 457-460.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М., Физматгиз, 1977, 640 с.

6. Гахов Ф.Д. О линейной краевой задаче с допустимыми нулями на контуре. - ДАН СССР,1973, т.210, №6, с. 1269-1272.

7. Журавлева М.И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода ее коэффициента. - ДАН СССР,1973, т.210, №1, с. 15-17.

8. Журавлева М.И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода ее коэффициента. - ДАН СССР, 1974, т.214, №4, с. 755-757.

9. Квеселава Д. А. Некоторые граничные задачи теории функции. Труды Тбил. мат. ин-та - 1948, т. 16, с. 39-80.

10. Литвинчук Г.С., Нечаев А.П. К теории обобщенной краевой задачи Карлемана. - ДАН СССР, 1969, т.189, №1, с. 38-41.

11. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М., Наука, 1968, 511 с.

12. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. - Ученые записки Тадж. госуниверситета, Сталинабад, 1957, с.32-78.

13. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Изд-во АН Тадж. ССР, Душанбе, 1963, 184 с.

14. Михайлов Л.Г., Усманов Н. Сингулярные краевые задачи сопряжения. - Доклады РАН, 2002, т.387, №3, с. 309-313.

15. Муминов А. Отдельные краевые задачи сопряжения для аналитических, обобщенных аналитических, гармонических функций некоторые приближенные способы их решения. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1994, 15 с.

16. Норов К. О случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций. - Вестник педунивер-ситета, серия естеств. наук, Душанбе, 1999, №1, с. 43-46.

17. Норов К. Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1999, 16 с.

18. Сабитов И.Х. Об одной краевой задачи сопряжения на окружности. - Сиб. матем.журн., 1964, т.5, №1, с. 124-129.

19. Сабитов И.Х. Об одной краевой задачи линейного сопряжения на окружности. - Матем. сборник, 1964, т.64, №2, с. 262-274.

20. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом. ДАН СССР, 1959, т. 124, №2, с.278-284.

21. Усманов Н. Об одной краевой задачи теории аналитических функций с производной в краевом условии. Доклады АН Тадж. ССР, 1968, т. И, №9, с. 7-10.

22. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи с производной на окружности. - Доклады АН Тадж. ССР, 1974, т. 17, №5, с. 12-16.

23. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными. Доклады АН Тадж. ССР, 1974, т.17, №7, с. 7-11.

24. Усманов Н. Особые случаи некоторых задачи сопряжения аналитических функций. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1975, 15 с.

25. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций. Доклады АН Тадж. ССР, 1991, т.34, №4, с. 216-220.

26. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с производным второго порядка, а также сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости. - Доклады АН Тадж. ССР, 1992, т. 35, №5-6, с. 237-240.

27. Усманов Н. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций для круга. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения "Сборник научных трудов. Выпуск 2, Душанбе, 1994, с. 66-69.

28. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. - Доклады АН Республики Таджикистан 1996, т. 39, №9-10, с. 61-68.

29. Усманов Н. Краевая задача Римана для кусочно-аналитического вектора в сингулярном случае. - Тезисы международной конференции. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Душанбе, 1998, с. 91-92.

30. Усманов Н. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. Вестник педагогического университета. №5, 1999, с. 89-94.

31. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения. Тезисы III международной конференции по матемаиче-скому моделированию. - Якутск, 2001, с. 52-53.

32. Усманов Н. Сингулярные граничные задачи сопряжения. - Автореф. дисс.на соискание уч. степ, доктора физ.-мат. наук, Душанбе, 2004, 32 с.

33. Усманов Н., Норов К. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярными граничными условиями. - Вестник педуни-верситета, серия естест. наук. Душанбе, 1997, №10, с. 2-6.

34. Усманов Н., Муминов А. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций и ее особый случай. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Выпуск 7. Душанбе, 1998, с. 85-89.

35. Усманов Н., Холикова М.Б. Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре. - Доклады АН Республики Таджикистан 2004, т. ХЬУП, №4, с. 31-36.

36. Усманов Н., Холикова М.Б. Граничная задача сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряженного аналитического вида коэффициентов на контуре. - Вестник педуни-верситета, серия естественных наук, Душанбе, 2005, .№4, с. 23-29.

37. Усманов Н., Холикова М.Б. Об одной смешанной краевой задаче для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае. - Известия АН Республики Таджикистан, 2007, №2(127), с. 17-25.

38. Хведилидзе В.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций с сингулярными интегральными уравнениями и некоторые