Нелинейные многоэкстремальные модели функционирования банков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Орозбеков, Нурлан Аскарович

• Орозбеков, Нурлан Аскарович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Орозбеков, Нурлан Аскарович

Введение

1 Базовая модель для оптимизации банковской деятельности

1.1 Постановка задачи оптимизации активов.

1.2 Итерационный метод решения задачи.

1.3 Конечный метод решения задачи.

1.3.1 Рентабельности клиентов малы.

1.3.2 Рентабельности предприятий-клиентов велики: с0 < а!.

1.3.3 Третий случай соотношения величин с0 и щ (г = 1,-,Л0.

1.3.4 Экспериментальные расчеты.

1.4 Устойчивость решения задачи оптимизации активов банка.

1.4.1 Описание алгоритма.

1.4.2 Экспериментальные расчеты.

2 Итерационный процесс, моделирующий банковскую деятельность

2.1 К вопросу об определении объема начального капитала банка.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Алгоритмы решения задачи.

2.2 Модели оптимизации пассивов.

2.2.1 Модель для банка - монополиста.

2.2.2 Учет конкуренции в модели оптимизации пассивов. 51 2.3 Модель оптимизации активов нового для рынка кредиторов банка.

3 Зависимость ставки процента от объема кредита и другие примеры модификации базовой модели

3.1 Задача с двумя ставками.

3.1.1 Экспериментальные расчеты.

3.2 Влияние изменения 5 на величины ж* (г 6 Л), Р(у) и у.

3.3 Задача с двумя ставками. Поиск наилучшего разбиения множества /ц.

3.4 Адаптация базовой модели к некоторым дополнительным требованиям реальной экономики.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные многоэкстремальные модели функционирования банков»

Жесткая конкуренция на рынке банковских услуг заставляет менеджеров искать новые источники роста и разрабатывать эффективные инструменты управления. Одним из таких решений является использование математического инструментария для получения информации, на основе которой будут приниматься управленческие решения.

Одна из первых математических работ, посвященных моделированию банковской деятельности, статья Эджворта, была опубликована еще в конце XIX века [67]. С каждым годом работ в этой области становится больше, а используемый математический аппарат все разнообразнее и шире. Эти работы можно структурировать по следующим двум критериям.

I. По математическому аппарату, используемому при исследовании.

Математический арсенал используемый для моделирования банковской деятельности весьма обширен и разнообразен. К наиболее часто используемым инструментам относится аппарат теории вероятности и математической статистики. Использование этого инструментария обусловлено случайной природой большинства параметров и операций банковской деятельности. Так, в [9] рассмотрены вопросы оптимизации инвестиционной деятельности банка на (В, 5) - рынке [48], [59] с привлечением и без привлечения пассивов. В [20] предложен новый вариант вычисления оценки вероятности разорения страховой компании, сочетающей в себе функции банка.

В [10] рассматриваются различные формы расчета ставки процента для срочных вкладов и вкладов в высоколиквидные облигации. Различные подходы к моделированию банковской деятельности аппаратом теории вероятности и математической статистики также представлены в [1], [3], [4], [13], [15], [33].

По существу функционирование коммерческого банка непрерывно. Но в тоже время интервалы отчетности дискретны (операционный день, месяц, год, и т.д.). Это обстоятельство дает возможность описывать как отдельные процессы банковской деятельности так и функционирование банка в целом аппаратом математического программирования. Наиболее часто используемым разделом математического программирования является линейное программирование. В большинстве моделей линейного программирования критерием оптимальности является доходность, которая, обычно, выражается в виде целевой функции сх —»гпах!, где с - вектор доходности проектов, аж- вектор объемов вложений в различные проекты. При этом в системе ограничений вида:

Ах <Ъ] х > 0 указываются желаемые пропорции в структуре активов и требование на знак переменных. Так, в [18] достаточно подробно описан финансовый анализ банковской деятельности; построены оптимизационные модели описывающие широкий спектр банковских услуг. Также представлены динамические варианты предложенных моделей, которые более точно описывают банковскую деятельность. И наконец проделана адаптация предложенных моделей к реальным условиям и требованиям, предъявляемых Центральным Банком РФ и невидимыми законами рынка. Далее эти вопросы получили развитие в работах [12], [17], [19], [52], [53], [54], [55].

В зарубежной литературе этой области посвящено достаточно много работ. При этом, в работах используются все разделы математического программирования: от линейного до многокритериального и стохастического. Так в [81] рассмотрена стохастическая модель хеджирования банковской деятельности в условиях, когда параметры депозитов, вкладов, фьючерсных контрактов, ставки процента являются случайными величинами. В [73] предложена многокритериальная задача математического программирования учитывающая несколько конкурирующих между собой целей. Этой области также посвящены [64], [65], [66], [71], [79].

Кроме этих инструментов для моделирования банковской деятельности активно используется аппарат теории оптимального управления [28], [29], [30], [31], теории игр и т.д.

Также нужно заметить, что с развитием вычислительной техники, которая все больше и больше используется в научных исследованиях, появляются математические модели с программными реализациями, что существенно облегчает использование моделей для широкого круга пользователей. В [82] описана система ВА1МКАВУ18Е11, построенная по методологии РЫОМЕТНЕЕ. В российской литературе представлены следующие работы [8], [22], [23]. Небольшое число работ в этой области объясняется сложностью банка как системы [85], зависящей, в частности, от динамичности, значительного числа активов и пассивов и наличия достаточно большого количества экономических ограничений в виде правовых нормативов и неписанных рыночных законов [21], [32], [51].

II. По видам банковских операций, описанных в работах.

1. Получение максимальных процентных доходов по всем видам выданных кредитов. Важность сотрудничества предприятий и банков уже давно осознана и не требует дополнительного обоснования. На сегодняшний день практически любой проект по созданию нового предприятия не обходится без частичного или полного кредитования банками. Более того, банки активно предоставляют средства действующим предприятиям для модернизации производства и замены старого оборудования. При этом важной задачей для банковского менеджмента является грамотное управление активами. Другими словами, менеджерам банков нужно постоянно оптимизировать структуру кредитного портфеля для получения максимальной прибыли, а также оценивать экономическую целесообразность и рискованность отдельных активных операций.

Так, в [24] рассматривались случаи взаимного кредитования предприятий между собой и сравнивались результаты со случаем, когда предприятия кредитуются банком. Показано, что кредит банка является более предпочтительным для предприятия.

В монографии [16] поставлена задача оптимизации банковских активов. Предлагается имеющийся капитал банка распределить между несколькими видами активов (таких как : акции, кредиты физическим и юридическим лицам и т.д.).

В [31] предлагается динамическая модель взаимодействия предприятий в составе корпоративной финансово-промышленной структуры с вертикальной интеграцией, где банк занимает доминирующее положение. В результате получено, что при выполнении определенных условий каждое предприятие получает максимальный гарантированный выигрыш, превышающий аналогичный выигрыш при независимой деятельности. Подробное рассмотрение взаимодействия предприятий и банков отражено в [17], [18], [19], [52] - [54].

В зарубежной литературе эта область получила развитие в [64], [67], [69], [70], [76], [77].

2. Изменение рыночных стоимостей портфелей ценных бумаг. Сегодня цены на ценные бумаги меняются каждый день. В связи с чем владельцам финансовых портфелей, в том числе и банкам, постоянно приходится корректировать структуру своих портфелей в зависимости от тенденций происходящих на финансовых рынках. Проблеме оптимизации именно банковских портфелей посвящены следующие работы [9], [12], [20], [25], [28], [29], [30], [33], [78], [80].

3. Выплата процентов по привлеченным средствам всех видов.

Прежде чем вложить средства в какие-либо активы, нужно эти средства привлечь. При этом нужно учитывать соотношение между расходами на привлечение средств и доходами, которые можно получить от вложения этих средств в ссуды, ценные бумаги и другие активы. Некоторые аспекты процесса привлечения вкладов "до востребования "рассмотрены в [13]. Здесь поведение вкладчика, т.е. будут ли востребованы средства владельцем вклада или нет, рассматривается как случайная величина с Пуассоновской функцией распределения.

4. Рационирование кредита. В условиях нестабильности на рынке кредитных услуг возникает очень большая вероятность неполноты, асимметрии и неоднородности информации, которой обладают действующие на рынке агенты. Следствием чего может стать большая доля невозвратов по кредитам. Одним из способов уменьшения риска подобного рода является рационирование кредита. Оно заключается в том, что банки устанавливают ставку процента на таком уровне, что почти всегда существует избыточный спрос на кредит. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Д. Ходгманом [74]. Он же ввел понятие надежности кредита как отношение ожидаемого возврата по кредитам к ожидаемым потерям от неплатежей. Дальнейшее развитие эта тема получила в работах [4], [50], [61], [62], [63], [72], [75], [83], [86], [87].

Также, заметим, что одним из важных направлений является моделирование функционирования центральных банков. После 1990 года в российской экономической литературе появилось очень большое количество работ с описанием поведения Центрального Банка РФ, да и всей банковской системы в целом, в посткризисный период и предложениями по улучшению их деятельности [2], [34], [49], [56], [57], [58]. К сожалению среди них очень мало работ основанных на использовании математического аппарата для изучения различных стратегий Центрального Банка [11].

В зарубежной литературе математические модели центральных банков появились значительно раньше [68], [84]. Эти модели ориентированы на опыт западных стран и, прежде всего, США.

Основные принципы построения модели функционирования банка в данной работе.

При разработке математических моделей описывающих поведение некоторых экономических объектов, по нашему мнению, необходимо учитывать следующий минимальный набор требований:

1. Существование эффективных методов решения возникающих задач. При построении математических моделей разработчики стараются как можно точнее описать реальную экономическую картину. При этом, как правило, чем точнее модель описывает реальный процесс, тем сложнее решать возникающую математическую задачу. Можно построить модели которые максимально точно имитируют моделируемый объект, но на сегодняшний день нет эффективных методов решения таких задач. Поэтому, мы считаем, модели должны строиться с учетом существующего математического инструментария.

2. Устойчивость полученных результатов к изменениям внешних параметров. Введя в модель исходные данные мы получаем некоторое оптимальное решение. Но динамичность экономических процессов и изменчивость их параметров, а следовательно, неточность исходных данных, могут привести к тому, что модель выдаст неоптимальное решение. Поэтому в моделях должны быть некоторые рычаги управления и страхования возможными рисками.

3. Доступность данных, используемых в моделях. В экономико-математической литературе часто пользуются обобщенными и абстрактными величинами. Такими как гудвил, полезность и т.д. С такими величинами удобно строить модели, но при проведении экспериментов трудно выразить точное численное значение этих величин. Поэтому при построении моделей рекомендуется использовать доступные данные.

4. Адекватность моделей к реальным условиям. В моделях должны быть максимально учтены реальные экономические условия. Одним из таких условий является учет конкуренции: любой субъект экономики характеризуется своими внутренними и внешними связями с другими субъектами и очень часто интересы отдельных субъектов тесно переплетаются с интересами других субъектов.

5. Модели должны обладать адаптивными свойствами [5], т.е. обладать способностью к оперативному учету новых факторов. Это свойство моделей чрезвычайно важно, так как ни какая модель, как правило, не может быть применена к решению конкретных задач в стандартной форме.

Формирование наиболее прибыльного кредитного портфеля является одним из важнейших задач для различных банков. Эффективным инструментом для решения этой задачи является ссудная ставка процента. Определение оптимальной ссудной ставки процента тоже является не менее сложной и важной задачей. В научной литературе эти две задачи решаются отдельно друг от друга. Настоящая работа посвящена актуальной проблеме разработки нелинейных математических моделей, позволяющих определять оптимальные ставки процента и компоненты портфеля банковских операций одновременно, и построению эффективных численных методов решения возникающих в этих моделях многоэкстремальных задач.

Апробации результатов.

Результаты диссертации были изложены на следующих конференциях: Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003 г.); Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003г., Новосибирск, 2004 г.); Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2004-2005 гг.); Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004 г.); XIII Байкальская международная школасеминар "Методы оптимизации и их приложения" и Всероссийская конференция "Равновесные модели в экономике и энергетике" (Иркутск-Северобайкальск, 2005 г.), Российская конференция "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007 г.).

Результаты работы обсуждались на семинарах математико-экономического отдела ИМ СО РАН, на семинаре отдела теоретической кибернетики ИМ СО РАН, на семинаре лаборатории вычислительной физики ИВМиМГ СО РАН, а также на общеинститутском математическом семинаре ИМ СО РАН.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения общим объемом 97 страниц. Список литературы содержит 87 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Орозбеков, Нурлан Аскарович

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в работе.

1. В работе построены различные варианты модели функционирования банков, позволяющей одновременно находить оптимальные значения ставки процента и объемов вложений в различные активы. Разработаны эффективные алгоритмы решения нелинейных задач математического программирования, возникающих в этих моделях. Алгоритмы основаны на редукции исходной нелинейной задачи в последовательность линейных задач малой размерности.

2. Предложен алгоритм нахождения устойчивого к изменениям внешних параметров решения.

3. Разработан эффективный метод решения задачи оптимизации активов нового банка на действующем финансовом рынке.

4. Изучен частный случай задачи оптимизации активов с дифференцированной ставкой процента.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности использования полученных результатов для разработки рациональных стратегий функционирования некоторых субъектов финансового рынка при различных требованиях, предъявляемых Центральным Банком.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Орозбеков, Нурлан Аскарович, 2008 год

1. Автухович Э.В., Гуриев С.М., Оленев H.H., Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель экономики переходного периода. Вычислительный Центр РАН, Москва, 1999.

2. Аглицкий И. С., Лившиц В.Н. Отрицательная ставка процента и сбережения населения. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, в.З. - С. 98-101.

3. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г. Управление ликвидностью банка при случайно колеблющихся ставках процентов. М.-.Математическое моделирование, 2004, т.16, №9. - С. 3-22.

4. Антонов М.В., Поманский А.Б. Рационирование кредита и алгоритм эффективного распределения заемных средств. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, в.1. - С.124-136.

5. Анцыз С.М., Дятлова Л.Г., Фефелов В.Ф. Инструментальный комплекс разработки ОАСУ. Новосибирск: Наука, 1984.

6. Анцыз С.М., Орозбеков H.A. Об одном подходе к построению математических моделей для оптимизации банковской деятельности. -Новосибирск: Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 147, 2004, 26 с.

7. Анцыз С.М., Орозбеков H.A. О некоторых моделях оптимизации деятельности банка. Всероссийская конференция "Проблемыоптимизации и экономические приложения". Омск: Изд-во Наследие. Диалог Сибирь, 2003. - С. 143. Тезисы докладов.

8. Асанов A.A., Ворисенков П.В., Ларичев О.И., Нарыжный Е.В., Ройзензон Г.В . Метод многокритериальной классификации ЦИКЛ и его применение для анализа кредитного риска. М.: Наука, Экономика и математические методы, 2001, том 37, вып.2. - С. 14-21.

9. Баев A.B., Бондарев Б.В. Количественный и качественный анализ рекуррентных процедур в применении к моделированию финансовых потоков в банке. Донецк: Прикладная статистика. Актуарная и финансовая математика, 2002, №2. - С. 3-30.

10. Буклемишев О.В., Поманский A.B. Премия за риск и временная структура процентных ставок. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1992, т.28, в.2. - С.252-260.

11. Бусыгин В.П., Дементьев Н.П. Инфляционный налог и его перераспределение в центральном банке. // Сб.ст. ИЭиОПП СО РАН. Новосибирск.

12. Васильева В.А. Формирование оптимальной модели стратегии развития коммерческих банков. М.: Изд-во "Финансы и статистика". Деньги и кредит, 1999, №11. - С. 34-37.

13. Вишняков И. В. Стохастическая модель динамики объемов банковских депозитов "до востребования". М.: Наука, Экономика и математические методы, 2002, том 38, вып.1. - С.94-104.

14. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Экстремальные задачи принятия решений. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1982.

15. Гуриев С.М., Поспелов И. Г. Модель деятельности банка при отсутствии инфляции и экономического роста. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1997, том 33, вып.З. - С.141-153.

16. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю., Барановская Т.П. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: Изд-во "Финансы и статистика". 2001.

17. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Предприятия и банки: взаимодействие, экономический анализ, моделирование. М.: Дело. 2002.

18. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Математические методы финансового анализа банковской деятельности. М.: Аудит и финансовый анализ, 1998, №2.

19. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Банковская фирма: стратегическое планирование и взаимодействие с реальным сектором. ч.1,2. М.: ЦЭМИ РАН. 2000.

20. Жилина Л.С. Вероятность разорения страховой компании, сочетающей в себе функции банка. Донецк: Прикладная статистика. Актуарная и финансовая математика, 2000, №2. -С. 12-19.

21. Жуков Е.Ф. Деньги. Кредит. Банки. Учебник для вузов. -М.:ЮНИТИ, 2000.

22. Завриев Н.К., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я., Чуканов С.В. Развитие системы поддержки математического моделирования экономики ЭКОМОД ВЦ РАН. 1999, 47 с.

23. Завриев Н.К., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я. Исследование математических моделей экономики средствами системы ЭКОМОД. М.: Математическое моделирование, 2003, том 15, №8. - С. 57-74.

24. Иванов Ю.Н., Симунек В., Сотникова P.A. Оптимальная кредитная политика предприятия и банка. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1999, том 35, вып.4. - С. 19-38.

25. Ильясов С.М. Управление активами и пассивами банков. М.: Изд-во "Финансы и статистика". Деньги и кредит, 2000, №5. - С. 20-26.

26. Инструкция "О порядке регулирования деятельности банков". Центральный Банк Российской Федерации, от 1 октября 1997 г.

27. Карманов В.Г. Математическое программирование.-М.:Физматлит, 2001.

28. Колчанов А.П. Модель оптимального управления банковским портфелем. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь, ПГТУ, 1999. С. 52-56.

29. Колчанов А.П. Математическое моделирование в системе финансового планирования коммерческого банка.// Экономическая кибернетика: методы и средства эффективного управления. Пермь, ПГУ, 2000. С. 206-208.

30. Колчанов А.П. Об одном классе банковских моделей.// Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: Сб.ст./Перм. ун-т., Пермь, 2002. С. 103-105.

31. Косаче в Ю.В. Исследование устойчивости динамической модели финансово-промышленной корпоративной структуры. М.: Наука, Экономика и математические методы, 2000, т.36, в.1. - С. 126-142.

32. Лаврушин О.И. Банковское дело.-М.:Финансы и статистика, 2002.

33. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг. -М.: Наука, Экономика и математические методы, 1995, т.31, в.1. С. 138-150.

34. Овсиенко Ю.В. Кризис и денежно-кредитная политика Российского Государства. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.30, в.1. - С. 19-30.

35. Орозбеков H.A. Об алгоритме определения объема начального капитала для банка-монополиста. IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2003. - С. 74. Программа и тезисы докладов.

36. Орозбеков H.A. Об одной модели оптимизации активов коммерческого банка. V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2004. - С. 62-63. Программа и тезисы докладов.

37. Орозбеков H.A. Модель оптимизации пассивов банка на конкурентном рынке. Материалы XLII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, НГУ, 2004. - С. 114-115.

38. Орозбеков H.A. Модель оптимизации пассивов коммерческого банка. Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". -Кисловодск, 2004. С. 20-22.

39. Орозбеков H.A. Об одном итерационном процессе, моделирующем банковскую деятельность. Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. - С. 211. Тезисы докладов.

40. Орозбеков H.A. Влияние различных параметров на значение ссудной ставки процента. Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, НГУ, 2005. - С. 114-115.

41. Орозбеков H.A. Нелинейные модели оптимизации банковских активов. Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Том VIII, №4(24). С. 73-90.

42. Орозбеков H.A. Модификация одной задачи оптимизации банковских активов. III Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. - С. 169. Тезисы докладов.

43. Орозбеков H.A. Задача оптимизации активов с дифференцированной ставкой процентов. -Новосибирск: Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 196, 2007, 13 С.

44. Орозбеков H.A. Учет срока кредитования в задаче оптимизации активов // Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций": Материалы конф. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. - С. 166.

45. Орозбеков H.A. Задача оптимизации активов с дифференцированной ставкой для нового банка // Российская конференция "Математика в современном мире": Материалы конф.- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. С. 314-315.

46. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.:Инфра~М, 1994.

47. Перламутров B.JI. О переходе к рынку в условиях экономического кризиса. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.30, в.2. - С. 53-56.

48. Полтерович В.М. Рационирование кредита, инфляция и трансформационный спад. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1995, т.31, в.З. - С. 50-60.

49. Синки Дж. Ф. Управление финансами в коммерческих банках. Пер. с английского под ред. Р.Я.Левиты, Б.С.Пинскера. М., Catallaxy. 1994.

50. Смулов A.M. Проблемы взаимодействия промышленных предприятий и банков. М.: Изд-во "Финансы и статистика". 2002.

51. Смулов A.M. О стратегиях банков в кредитно-инвестиционным секторе финансового рынка // В сб. научных трудов: Экономика и технология, вып.10. -М.: Российская Экономическая Академия, 2000.

52. Смулов A.M. Управление структурой пассивов и активов (гэпом) кредитного учреждения // В сб. научных трудов: Экономика и технология, -М.: Российская Экономическая Академия, 1998.

53. Тайменцева К. С. Об одной модели оптимизации активов банка. Материалы XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, НГУ, 2002. С. 185-186.

54. Тихомиров Е. Ф. Отрицательная реальная ставка процента: причины возникновения и способы устранения. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, в.2. - С. 50-53.

55. Тропаревская JI.E. Экономическая реформа и банки. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1991, т.27, в.5. - С. 846-852.

56. Ухо К. Приватизация и создание системы коммерческих банков. -М.: Наука, Экономика и математические методы, 1992, т.28, в.1. С. 73-88.

57. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1,2. М.: ФАЗИС, 1998.

58. Шмырев В. И. Лекции по математическому программированию. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2000.

59. Barro R.J. The Loan Market, Collateral and Rate of Interest / / Journal of Money. Credit and Banking, 1978, Nov, V.8. №3.

60. Berger A.N., Udel G.F. Some Evidence on the Empirical and Significance of Credit Rationing // Journal of Polit Econ, 1992, V.100. №2.

61. Besanco D.f Thakor A. V. Collateral and Rationing: Sorting Equilibria in Monopolistic and Competitive Credit Markets // Internation Economic Review, 1987, Oct, V.28. №3.

62. Broaddus A. Linear programming: A new approach to bank portfolio management // Monthly review, Federal Reserve Bank of Richmond, 1972, November. P. 3-11.

63. Cohen K.J., Hammer F.S. Linear programming and optimal bank asset management decisions // Journal of Finance, 1967, May. P. 147-168.

64. Eatman J.L., Sealey C.W. Jr. A multiobjective linear programming model for commercial bank balance sheet management // Journal of Bank Research 9 (4) (1979). P. 227-236.

65. Edgeworth F. Y. The mathematical theory of banking // Journal of Royal Statistical Society, 1888, March, Vol.LI. P. 113-127.

66. Feldstein M. Inflation, Tax Rules, and Capital Formation. The University of Chicago press. 1983.69 70 [7172