Двухэтапная модель математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Морозов, Александр Юрьевич

• Морозов, Александр Юрьевич
• кандидат экономических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Морозов, Александр Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Диссертационная работа в свете публикации по теме исследования.

1.2. Преимущества предлагаемого подхода.

1.3. Проблема оптимальности и се решение в литературе.

1.4. Основные особенности и характеристики решения оптимизационной задачи

1.5. Пример модели, являющейся «устойчиво оптимальной» по отношению к временному интервалу.

1.6. Двухступенчатый подход к моделированию банковской деятельности.

ГЛАВА 2. ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ БАНКОМ.

2.1. Вопросы целеполагания в управлении банком.

2.2. Постановка проблемы.

2.3. Модель первого уровня.

2.4. Двойственная задача линейного программирования

2.5. Получение экзогенных данных.

2.6. Практическое применение предложенной модели.

2.7. Подведение итогов применения модели первого уровня.

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ ВТОРОГО УРОВНЯ.

3.1. Получение исходных данных.

3.2. Постановка задачи.

3.3. Подведение итогов моделирования, проблемы практического применения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухэтапная модель математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка»

Актуальность исследования. Банки являются структурной частью современного денежного хозяйства. Находясь в центре экономической жизни, банки являются посредниками между промышленностью и торговлей, сельским хозяйством и населением. Сфера деятельности банков не имеет ни географических, ни национальных границ - это планетарное явление. В современном обществе банки не только организуют денежный оборот и кредитные отношения, через них осуществляются финансирование народного хозяйства, страховые операции, купля-продажа ценных бумаг, а также посреднические сделки и управление имуществом. Кредитные учреждения выступают в качестве консультантов, участвуют в обсуждении народнохозяйственных программ, ведут статистику, имеют свои подсобные предприятия. Устойчивость функционирования банков существенным образом влияет на эффективность экономики страны в целом.

В настоящее время математическое моделирование иаходит все более широкое применение в решении^ прикладных экономических задач. Это обусловлено, с одной стороны, усложнением экономических отношений, с другой стороны, развитием математического моделирования: разработкой новых классов моделей, методов и инструментальных средств. Одной из перспективных областей применения математического моделирования становится управление в банковской сфере в направлении его оптимизации. Актуальность данных задач определяется тем, что наблюдается тенденция к уменьшению банковской маржи и прибыльности банковских операций. В этих условиях возможно достижение эффективности управленческих решений только на основе строгих подходов, учитывающих сложные экономические взаимосвязи, внутренние и внешние факторы, влияющие на деятельность банка.

Существующие модели оптимального управления банковским портфелем имеют серьезный недостаток: достижение оптимального состояния обеспечивается ими лишь на некотором ограниченном и изначально определенном временном отрезке, поэтому сегодня эти модели ограниченно используются на практике. Требование времени - качественная оптимизационная модель, когда можно одновременно учитывать как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка.

В связи с этим необходимо разрабатывать подходы, позволяющие учитывать цели банка на разные периоды времени в будущем, потому что соблюдение долгосрочных ориентиров и достижение организацией стратегических планов - обязательное условие продуктивности модели в практике управления. С другой стороны, чисто «стратегические» модели оптимального управления, дающие рекомендации по структуре банковского портфеля в долгосрочной перспективе, не позволяют ее пользователям получить ответы на вопросы текущего, тактического, оптимального управления.

Вместе с тем сочетать применение двух типов моделей (условно их можно назвать «краткосрочные» и «долгосрочные») проблематично в силу их несогласованности. Это означает, что оптимальная система управления, выработанная краткосрочной оптимизационной моделью, вероятнее всего, не сможет соответствовать той оптимальной структуре банковского портфеля, которая будет сформирована с помощью применения долгосрочной оптимизационной модели.

На сегодняшний день наиболее распространенным подходом, позволяющим хоть как-то согласовать краткосрочную модель с длинным жизненным циклом банка, является т.н. скользящее планирование, когда модель оптимального управления периодически пересчитывается и, соответственно, меняются решение задачи оптимального управления и выработанные управленческие воздействия, т.е. корректируются ранее сделанные предположения относительно исходных параметров модели. Однако такой подход позволяет лишь вносить коррективы в исходные данные и параметры. Действительно, с течением времени представления и прогнозы относительно параметров банковской сферы (таких как кривые доходности финансовых инструментов, объемы спроса и предложения финансовых услуг) изменяются, и пересчитывать модель оптимального управления с новыми экзогенными данными необходимо. При этом указанный подход нельзя назвать полностью сочетающим долгосрочные и краткосрочные цели - ведь модель по-прежнему ищет оптимальное решение только для какого-то определенного промежутка времени. Однозначно оценить рассматриваемый подход в части соответствия долгосрочным целям банка невозможно, решение же задачи сочетания краткосрочных и долгосрочных целей вообще не является его назначением.

Таким образом, назрела необходимость в разработке универсальной модели, которая, с одной стороны, вырабатывала бы текущие управленческие воздействия, а с другой стороны, на основе этих управленческих воздействий позволяла бы формировать оптимальную структуру банковского портфеля, т.е. позволяла бы достигнуть долгосрочные и стратегические цели.

Экономическое значение обозначенной проблемы и отсутствие пригодных для практического использования теоретических и методологических подходов к решению задачи построения универсальной модели оптимального управления банковским портфелем обусловили актуальность диссертационного исследования, определили его цель и логику.

Степень разработанности проблемы. Сохраняющийся в научной литературе и практике на протяжении длительного времени устойчивый интерес к проблеме оптимального управления банковским портфелем подчеркивает важность решаемой задачиг Рассмотрим5 основные подходы, разработанные отечественными и зарубежными авторами И" являющиеся научно-методологической основой данной работы.

Первая публикация, относящаяся к математической теории банковской фирмы, увидела свет в 1888 г., ее автором был F.Y. Edgeworth. Первая же серьезная научная работа, посвященная моделям формирования банковского портфеля, принадлежит R.C.Porter (1961 г.).

Исследования в области управления финансовыми ресурсами банка ведутся за рубежом с 60-70-х гг. прошлого века. Однако, несмотря на значительный объем исследований, единого' подхода к решению данной проблемы пока не выработано.

На основе анализа существующих материалов и работ в области управления финансовыми ресурсами можно условно обозначить два крупных класса моделей:

- оптимизационные модели,

- имитационные модели.

Существующие оптимизационные банковские модели можно классифицировать по следующим признакам:

• степень общности модели,

• состав управляемых переменных,

• наличие случайных характеристик,

• вид целевой функции,

• учет времени (динамичности).

Оптимизационные модели по степени общности можно условно разделить на два типа: частные и полные. Полные модели отображают функционирование банка в целом (учитываются оба аспекта деятельности банка: привлечение и размещение), при этом они сильнее обобщены. Частные модели ориентированы на конкретную сферу деятельности банка (либо привлечение, либо размещение).

Наиболее известными работами, содержащими методики построения и описание полных моделей, являются публикации таких авторов, как И.Ф. Цисарь (см. [49]), И.Л. Меркурьев (см. [30]), М.А. Klein (см. [59]), C.W. Sealy (см. [64]). Из новейших работ молодых ученых следует назвать > диссертации Т.В. Карабановой и Н.Ю. Монаховой. Наиболее наглядно полная модель представлена в работе [18]:

А,Рл)-(П,Рп)->тгх,

LM \П) b ,q = \,2,.,NH]

Mq{A|Я)|1) А>0,П>0, где А - переменные, характеризующие остатки активов; П - остатки пассивов, РА и Рп - процентные ставки активов и пассивов; Lq и Mq - линейные функции для вычисления q-го норматива (предполагается, что аргументами являются либо активы, либо пассивы, а для некоторых нормативов знаменатель обращается в единицу); bq — значение q-ro норматива; Nи — число нормативных ограничений; Е - единичный вектор; (.,.)- скалярное произведение.

Полная модель должна дать решение проблемы об оптимальных размерах как активов, так и обязательств. Например, в полной модели И.Ф. Цисаря определяется такое соотношение активов и обязательств, которое обеспечивает максимум прибыли банка за определенный период.

Большинство полных моделей значительно агрегированы и тем или иным образом упрощены. Причиной упрощения является значительное число переменных и ограничений в случае реализации полной прикладной задачи. Таким образом, полные модели представляют скорее теоретический интерес, чем для выработки практических рекомендаций. Например, в вышеприведенной модели А.С. Козлова не учитывается динамика.

Частные модели лишены недостатка, заключающегося в упрощении моделей. Рассмотрение какого-то одного аспекта деятельности или одного вида активов и пассивов позволяет создавать высокоточную модель - вплоть до уровня конкретных сделок, однако не позволяет учесть взаимосвязь активов и пассивов друг с другом и некоторые их общие характеристики (прибыль, нормативы деятельности и прочие).

Среди частных моделей можно выделить следующие:

• модель управления кредитным портфелем (см. [2]),

• модель управления портфелем облигаций (см. [56]),

• модель управления резервами денежной наличности (см. [57]),

• модель управления портфелем активов (см. [3]),

• модель управления пассивами (см. [64]).

Так, например, в работе [2] предлагается модель распределения кредитных ресурсов между конкретными проектами следующего вида: п п

0- + r)YjxkPkbk -» max, (1 + г)^хкст2к -» min, i=i k=i **

M *bk(l + r), (1 + * (1 + OB, k=1 где r - процентная ставка по кредитам; к - номер кредитуемого проекта; хк-управление, заключающееся в решении о кредитовании проекта (хк =1) или отказе от выдачи кредита (хк =0); Ьк - объем кредита, необходимый для реализации А>го проекта; рки <тА2 - вероятность и дисперсия успешной реализации проекта, соответственно; Rk — величина отдачи от проекта; i -процентная ставка по депозитам; В - совокупный объем депозитов.

Существующие модели управления портфелем активов построены исходя из предположения о малой управляемости рынка депозитов. В таких моделях (см., например, [3]) депозитные составляющие являются экзогенными. Внимание концентрируется на оптимизации структуры активов.

В моделях управления пассивами, наоборот, экзогенными являются величины, характеризующие активную сферу банка. Исследования концентрируются на рынке депозитов. В результате в таких моделях исследования тяготеют к теории издержек как части наиболее общей теории фирмы (такие подходы представлены, однако, лишь в иностранной литературе). Очевидно, что большой проблемой в указанных моделях является необходимость исследования функции спроса на банковские депозиты со стороны населения и фирм. И оптимальной стратегией привлечения будет та, которая доставит максимум производственной функции, отражающей эффект от использования депозитов.

Говоря о возможности построения функций спроса, нельзя не отметить работу [10]. В указанной публикации приведен пример реальных действий, которые могут способствовать выявлению объемов спроса на различные кредиты.

По составу управляемых переменных можно выделить модели, в которых в качестве управляемых переменных рассматриваются объемные показатели (величины активов или пассивов), и модели, в которых управляемыми переменными являются процентные ставки. Примечательно, что модели с управляемыми процентными ставками разрабатываются лишь зарубежными авторами.

Ситуация с экзогенными процентными ставками соответствует совершенной конкуренции и является некоторой идеализацией, но в условиях усиливающейся банковской конкуренции все в большей мере соответствует действительности. Данный подход применяется в большинстве моделей, например в моделях, описанных в [49; 13; 57].

Во втором случае предполагается, что банк имеет возможность оказывать влияние наставки привлечения/размещения. Такая ситуация возможна в условиях несовершенной конкуренции, когда банк в той или иной мере обладает монопольным контролем над рынком. В этом случае объемы моделируются как функции спроса и предложения в зависимости от процентных ставок. Данный подход значительно усложняет модель, привносит нелинейность и требует применения более сложных методов, поэтому используется в основном в моделях теоретического характера, позволяющих записать решение в явном виде.

Например, с помощью модели, разработанной в [62], исследуется поведение банка-монополиста, максимизирующего прибыль: tt(D,L) = (rL (L)-r)'L + (r-(l-a)-rD (.D)) • D - C(D,L) max, где L{r, ), D(rD) - функции объемов кредитов и депозитов в зависимости от процентных ставок; r,{L), rD(D) - обратные им функции; г - ставка кредитования на межбанковском рынке; а - доля отчислений средств в обязательные резервы; С (D,L) - издержки банка на управление депозитами в сумме D и кредитами в сумме L. Предполагается, что разница между объемом кредитов и депозитов покрывается за счет межбанковского- рынка или распределяется на нем, что влияет на прибыль в размере г • [(1 - а) • D - L].

Bi некоторых моделях присутствует комбинированное у правление:, ставки по одним видам финансовых инструментов, объемы - по другим. Так, например, в модели, описанной в [65], управляемыми величинами являются ставка по депозитам и объем кредитов, при этом ставка по кредитам считается заданной, а объем депозитов рассматривается как функция ставки.

Важным классифицирующим признаком моделей является наличие или отсутствие в них случайных характеристик. Стохастичность является одной из тех характеристик, которые затрудняют управление финансовыми ресурсами банка, однако для решения данной проблемы выработаны определенные подходы. В* частности, возможно построение стохастической оптимизационной модели, в которой учитываются вероятностные характеристики ситуации риска, либо построение оптимизационной модели с детерминированными аналогами вероятностных характеристик, образованными на основе моментов.

Большинство известных моделей относятся ко второму случаю, так как детерминированные аналоги позволяют избежать усложнения математического аппарата. В качестве детерминированных аналогов используется математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение. Например, если процентные ставки рассматриваются в качестве случайных величин, то для записи детерминированной величины прибыли используется их математическое ожидание, а для характеристики риска изменения прибыли - дисперсия или стандартное отклонение.

В ряде исследований рассматриваются стохастические модели. Как правило, это частные модели, описывающие отдельные аспекты деятельности, например кредитование, управление резервами наличности, портфелем ценных бумаг и др., но существуют и отдельные разработки в области полных моделей. Например, в работе [13] рассматривается полная модель банка, где случайной величиной X, считается чистый приход средств по выдаче и возврату кредитов с процентами: где М,, Kt, S, означают сумму наличных денег, заимствований, на межбанковском рынке, вложений в ценные бумаги в момент времени t; Rk, Rs — процентные ставки заимствований и вложений; Xt — совокупный чистый приход или расход средств по выдаче и возврату кредитов с процентами в момент времени t, являющийся случайной величиной с функцией распределения F(X) и конечным математическим ожиданием; Z, = {М,, Kt, St} - состояние банка; x¥l = ^(^Z,) - величина потребления (распределяемой прибыли); А -коэффициент дисконтирования; Е{) - математическое ожидание.

В силу сложности математического аппарата данная модель и другие подобные модели используются в основном для описания общих закономерностей управления финансовыми ресурсами банка.

Среди стохастических оптимизационных моделей следует также выделить класс моделей стохастического программирования, описанных в иностранной литературе (см. [61]). В указанном подходе предлагается проблему неопределенности параметров модели решать посредством построения дерева мм =м,-якк, + ад + к,+х -s,+x

I' решений или разбиения последовательности принятия решения на отдельные шаги (создания рекурсивных конструкций). Простейшая двухшаговая модель стохастического программирования выглядит следующим образом: minC/Xx) + E[mm{q{y,со) \ Т{со)х + Щсо)у = h(co)}], yeR"x

Ax = b, xgr:\ где x - управление, задаваемое на первом шаге моделирования; у - управление, второго шага; q(y,co) - некая функция издержек, в соответствии с которой принимается решение на втором шаге моделирования. {T(co),W(co),h(co) \ со е Q}-функции параметров модели, при этом со является случайным вектором, задающим многовариантность экзогенных параметров модели. Многошаговая модель стохастического программирования может быть записана в следующем виде: min {f (j0) + £[min q{yl, cox) + .Дтт q(yT, coT )]], yell" У^К

Tx (Px )Уо + Wi ) УI = К )» TT (coT )yTx + WT (coT )yT = hT (coT),

Уо z •

В представленной модели на каждом шаге моделирования неопределенность порождается посредством вектора со,, который можно интерпретировать также как возможные сценарии экзогенных параметров для модели на шаге t.

С одной стороны, рассмотренный подход к оптимальному управлению позволяет реализовать многовариантность развития событий в будущем посредством учета различных сценариев cot. С другой стороны, рассмотренная модель является моделью математического программирования, в которой размерность увеличивается по сравнению с детерминированной моделью пропорционально показателю sT , где s - количество сценариев на каждом шаге моделирования, Т- количество шагов. Таким образом, как было указано выше, в силу сложности математического аппарата используются лишь простейшие, как правило, двухшаговые модели стохастического программирования.

Одной из моделей стохастического программирования является ALM-модель (см., например, [58]). Вообще, модель ALM предполагает управление портфелем активов таким образом, чтобы при различных сценариях востребования обязательств в будущем иметь возможность отвечать по ним (поддерживать платежеспособную структуру баланса). В стохастической модели ALM в качестве целевой функции выступает конструкция, учитывающая как издержки по формированию определенной структуры активов в начальный момент времени, так и стоимость портфеля к концу периода моделирования. При этом стоимость портфеля к концу моделирования учитывается не непосредственно, а через некую функцию полезности. Множество ограничений указанной модели состоит из трех основных групп:

• ограничений, связывающих портфели активов в соседние промежутки времени;

• ограничений, требующих наличия определенного объема наличности в каждый момент времени для погашения обязательств;

• ограничений, касающихся- границ возможного привлечения ликвидных средств с внешнего рынка.

Важно отметить, что, несмотря на поиск оптимального управления для каждого интервала времени на некотором промежутке, с точки зрения построения модели стохастического программирования задача поиска оптимума является двухшаговой, где первый шаг - управление с первого до Г-1-го интервала, а второй - управление на Т-м промежутке.

Схематично дискретные двухшаговые модели стохастического моделирования можно представить следующим образом:

L /=i

Ах-Ь,

Г(а>')х + Ща')у' =/i(a)'),Va>' еП, y^R?.

В представленной модели каждой возможной реализации факторов неопределенности со' соответствует решение у', р1- вероятность реализации сценария со'.

Многокритериальное^, как одна из системных характеристик банка, обусловливает наличие вариантов целевых функций. Как правило, используется два вида целевых функций, соответствующих основным целям деятельности банка - увеличению прибыли и уменьшению рисков.

Практически в любой работе присутствует целевая функция, характеризующая величину прибыли - абсолютной, относительной, ожидаемой, детерминированной, дисконтированной и т. д. или дохода. Например, в [19] целевой функцией является величина чистых процентных доходов. В модели [13] в целевой функции записана величина дисконтированного потребления, рассчитываемая как функция прибыли. Иногда в качестве целевой функции рассматривается величина собственных средств (капитала), рассчитываемая от величины, нераспределенной прибыли, т.е. с учетом операционных доходов и расходов, и выплаты дивидендов, которые входят в состав моделируемых величин. Например, в [30] присутствует как целевая функция, характеризующая прибыль, так и целевая функция, характеризующая капитал.

Вторая группа целевых функций характеризует величины рисков. В большинстве моделей на величины тех или иных рисков накладываются ограничения, однако в некоторых случаях они учитываются в виде целевых функций. Например, в [2] присутствует целевая функция, характеризующая величину кредитного риска в виде дисперсии отдачи на единицу кредита: п

->min, где <?l = рк (1 - рк) - дисперсия отдачи на единицу кредита, рк - вероятность успешной реализации кредитуемого проекта. В модели, описанной в [30], присутствует целевая функция в виде дисперсии прибыли.

Если говорить о многокритериальности, то несколько целевых функций учитываются, как правило, путем их свертки в общую скалярную функцию. Например, в [30] данная функция записывается в следующем виде:

Ф(х) = (Лх(р.(х) + Л2(р2(х) + Л.3^3(х)) —» шах, хсХ где Я, 2 з > 0 - весовые коэффициенты, задаваемые экспертно.

По учету времени банковские модели делятся на статические и динамические. Динамичность является одной из наиболее существенных системных характеристик управления финансовыми ресурсами банка. В силу сложности динамических моделей и методов их исследования в некоторых случаях используются статические модели.

Статические модели описывают состояние банка в фиксированный момент времени. Эти модели нередко используются для микроэкономического моделирования - определения условий равновесия в банковском секторе, анализа воздействия инструментов денежно-кредитной политики на структуру активов и обязательств и т.д. Примеры таких моделей можно найти в [21].

Динамические модели описывают состояния банка в разные моменты времени. Динамические оптимизационные банковские модели можно дополнительно классифицировать по следующим признакам:

• по способу исчисления времени,

• по моделированию сроков операций.

По способу исчисления времени динамические модели делятся на модели с дискретным временем и модели с непрерывным временем.

Модели с дискретным временем (см., например, модели, описанные в [13; 30; 20]) имеют более широкое распространение, что обусловлено наличием естественных с точки зрения постановки дискретных интервалов (шагов) моделирования и использованием более простого и доступного для реализации математического аппарата, чем для моделей с непрерывным временем.

Одной из наиболее полных и подробных динамических оптимизационных моделей является упомянутая ранее модель И.Л. Меркурьева. В ней динамика активов и пассивов описывается разностными уравнениями следующего вида: h М h ~h л=/п где xhmt - величина (объем) ресурса /-го вида т-то класса срочности в /z-ом отделении банка в конце интервала времени t; со^^ - относительная доля ресурса xhmt\, переходящая в течение интервала времени t в состав ресурса х''т1, т<п, т.е из более поздних классов срочности п в рассматриваемый класс т;

Хш - увеличение ресурса х''т1 в течение интервала времени t за счет поступлений из внешней среды; qHM - величина чистого поступления ресурса хнш из центрального отделения банка. Предполагается, что

1, 0< < 1, А = 1 ,.#, / е /, т = l,.,M, t = 1 ,.,Г. т=О Л

Искомыми являются Хтt и q'lnt, а доли со''пт1 считаются заданными. Начальные условия задаются равенствами:

-<,0=41, <7io = 0, h = 1,.Я,/ € 1,т = \,.,м.

Вводятся ограничения на нормативы достаточности капитала и ликвидности, на минимальный размер обязательных резервов, границы величин ресурсов, темпы их изменения, пропорции между отдельными активами и пассивами, долю чистой прибыли, направляемой на потребление, желаемый темп роста дивидендов, спрос и предложение финансовых ресурсов, балансовое ограничение, а также ряд технических ограничений.

Данная модель достаточно подробно и адекватно описывает предметную область, однако обладает одним существенным недостатком — значительной размерностью. В моделях с дискретным временем величина каждого ресурса в отдельный момент времени описывается отдельной переменной, а каждое поточечное ограничение - отдельным ограничением. Поскольку количество ограничений находится примерно в линейной зависимости от числа переменных, размерность таких моделей увеличивается пропорционально квадрату числа дискретных шагов.

Модели с непрерывным временем (см., например, [25]) обладают большей наглядностью, так как имеют более естественную и лаконичную математическую запись, а также более удобную для анализа функциональную форму результатов. В то же время для этих моделей ограничены возможности математического аппарата: стандартные методы применимы, как правило, к моделям со скалярными величинами и возможностью записи решения в явном виде. В связи с эти известные модели используются в основном для описания общих закономерностей поведения банка.

Важной характеристикой динамических банковских моделей является моделирование сроков привлечения и размещения средств. Их моделирование в значительной мере определяет адекватность модели, но усложняет модель и затрудняет ее исследование. В связи с этим с некоторых моделях сроки операций не учитываются. Игнорирование сроков активов и пассивов упрощает модель, но снижает ее адекватность, из-за чего возможно получение неоптимального решения. В частности, если сроки не моделируются, то не учитывается разница в процентных ставках ресурсов на разные сроки, которая может быть весьма ощутимой. Кроме того, указанный подход не учитывает возможных ограничений спроса и предложения ресурсов с разными сроками и при его реализации необходимый объем ресурсов может оказаться недоступным.

Как известно, альтернативным подходом к решению задач управления финансовыми ресурсами банка является применение имитационных моделей. Среди* отечественных разработок в области-банковских имитационных моделей модно отметить работы [51; 31; 14].

Имитационные модели являются представителями класса дескриптивных моделей, предназначенных для описания и объяснения свойств объекта и моделирования его поведения. Поэтому управляющие воздействия не являются непосредственным результатом их применения. В то же время данные модели позволяют оценить воздействие на моделируемый объект заданного управления, и при наличии нескольких его вариантов «вручную» выбрать наилучшее. Применение имитационных моделей оправдано, когда моделируемый объект описывается сложной математической структурой и построение адекватных оптимизационных моделей затруднено или имеются сложности в их решении, что характерно для банковских моделей. Сложность математической структуры банковских моделей обусловлена сложностью происходящих в банке процессов, для адекватного описания которых целесообразно использование разнородных математических конструкций, моделирующих взаимосвязь активных и пассивных операций, статистических методов для прогноза стохастических величин и др. Кроме того, полная модель финансовых ресурсов банка имеет большую размерность ввиду многообразия банковских активов и пассивов. В данных обстоятельствах для оптимизационных моделей возникает дилемма между адекватным описанием системы и возможностями исследования таких моделей. Для имитационных моделей такой дилеммы не возникает: они не имеют жесткой математической структуры, и для них можно использовать разнообразный математический аппарат. Проблема размерности здесь также не очень остра: возможно поэтапное моделирование - как по элементам, так и по временному измерению. За счет этого размерность моделирования ограничена только ее обозримостью для пользователя.

Объектом моделирования в имитационных моделях являются конкретные сделки, или их агрегаты - активы/пассивы определенной структуры. В качестве моделируемых характеристик выступают, как правило, остатки активов и пассивов, но могут быть и процентные ставки, если моделируется спрос и предложение на финансовые ресурсы. Остатки в разные моменты времени связаны между собой с помощью разностных уравнений, где изменение остатка - привлечение/размещение средств и их погашение моделируется статистическими, алгоритмическими, и экспертными методами. Проблема распределения свободных ресурсов в имитационных моделях решается «включением» на каждом шаге имитационного моделирования балансирующего механизма, распределяющего свободные ресурсы или покрывающего их дефицит. В качестве данного механизма может использоваться, в частности, оптимизационная модель.

Тем не менее имитационные модели не снимают полностью проблему поиска управляющих воздействий, хотя и облегчают ее решение. В частности, пошаговый балансирующий механизм не учитывает будущих состояний системы, изменяющихся в том числе из-за балансировки активов и пассивов в текущий момент времени за счет сроков операций привлечения/размещения. В связи- с этим использование имитационных моделей для поиска управляющих воздействий, «с нуля», на наш взгляд, нецелесообразно.

Подводя итог обзору исследований можно сделать следующие выводы. Проблема управления финансовыми ресурсами банка с помощью методов математического моделирования до настоящего времени не получила однозначного решения, что связано со сложностью моделируемого объекта и проблемами, возникающими при попытках построения адекватных математических моделей и их исследования посредством доступных методов.

Как отмечалось ранее, сложность банковских операций требует для адекватного их описания использования разнородных математических конструкций, моделирующих взаимосвязь активных и пассивных операций, статистических методов для прогноза стохастических величин. Таким образом, решение данной проблемы может стоять на пути двухэтапного подхода к построению оптимизационной банковской модели. Такой подход должен обеспечить в рамках каждого этапа моделирования использование лишь однородных математических конструкций, что поможет облегчить исследования указанных моделей. Кроме того, наличие первого этапа моделирования позволит, во-первых, сформулировать полную оптимизационную модель банка, в качестве критерия оптимальности которой будет выступать стратегия банка. Второй этап моделирования откроет возможности создания частных динамических оптимизационных моделей, по отдельным аспектам деятельности банка; критериями! оптимальности которых будут выступать частные краткосрочные цели, банка, согласующиеся со* стратегией, развития финансового учреждения, выработанной моделью, полученной в ходе реализации первого этапа.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является построение прикладной модели оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческого банка, позволяющей принимать управленческие решения вне зависимости от перида моделирования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- изучить существующие подходы к построению оптимизационных моделей управления финансовыми ресурсами коммерческих банков с целью использования имеющегося опыта для разработки универсальной модели;

- разработать подход к оптимальному управлению банковским портфелем, учитывающий краткосрочные и долгосрочные цели;

- построить двухуровневую модель оптимального управления активами коммерческого банка с учетом целей краткосрочного и долгосрочного планирования.

Объектом исследования является крупный коммерческий банк, рассматриваемый как система управления финансовыми ресурсами.

Предметом исследования является разработка подходов и алгоритмов, необходимых для построения универсальной двухэтапной модели оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка.

Методы исследования. Методологическими и теоретическими основами диссертационного исследования являются научные труды отечественных и зарубежных ученых по проблемам оптимального управления банковским портфелем. Использовались системный анализ, математическая статистика и аппарат теории исследования операций. Построение и разработка моделей оптимального управления банковским активами осуществлялись с использованием средств Microsoft Office, а также программного продукта Maple.

Данная работа основана на информационной' базе Западно-Уральского банка Сбербанка-России* ОАО. Реальные данные этого* филиала крупнейшего* в нашей стране коммерческого банка явились информационном полем, на котором были построены модели, проверены гипотезы, апробированы результаты. При построении модели функционирования крупного коммерческого банка были также использованы некоторые макроэкономические показатели, например величины процентных ставок. Источником внешних данных стал Центральный банк Российской Федерации.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке двухэтапного подхода к построению модели оптимального управления банковским портфелем.

Наиболее существенные результаты, имеющие научную новизну и полученные лично автором:

1. Показано, что решения, получаемые с помощью однотипных моделей оптимального управления, могут существенно различаться при различии периодов оптимизации моделей, что обусловливает невозможность одновременно, в рамках одной модели, достигнуть целей, относящихся к разным отрезкам времени в будущем. Это позволило сформулировать свойство неустойчивости оптимального решения к изменению периода оптимизации.

2. Сформулировано правило проверки модели оптимального управления финансовым портфелем банка на устойчивость относительно периода оптимизации. Определены условия ограниченного практического применения модели оптимального управления банковским портфелем.

3. Предложен двухэтапный подход к построению модели оптимального управления банковским портфелем. Подход позволяет сочетать как тактическое, так и стратегическое оптимальное управление активами и пассивами коммерческого банка, чего в известных моделях ранее не удавалось достигнуть. Он является универсальным с точки зрения банковских целей, применим для поиска оптимального банковского портфеля в любой ситуации.

4. Предложена двухэтапная модель оптимального управления финансовыми ресурсами- банка, построенная на основе двух моделей математического' программирования. Данная модель репродуктивна в части эффективных управленческих воздействий для достижения поставленных перед финансовой организацией целей.

Теоретическая и практическая значимость диссертации.

Теоретическая значимость диссертации состоит в разработке подхода к построению моделей управления финансовыми ресурсами коммерческого банка на основе синтеза стратегического и тактического управления.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что полученные теоретические положения и выводы позволяют разрабатывать методические материалы, а также строить и использовать прикладные модели для решения задач оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческих банков, в т.ч. для принятия управленческих решений по формированию структуры активов и пассивов банка.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

- региональных конференциях молодых ученых и студентов «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения», г. Пермь, 2001 г., 2004 г.;

- всероссийской научно-практической конференции «Управление организационным развитием социально-экономических систем», г. Челябинск, 2002 г.;

- международной молодежной конференции «Политика и бизнес в меняющемся мире», г. Обнинск, 2002 г.;

- еженедельном научном семинаре для аспирантов, студентов и преподавателей кафедры информационных систем и математических методов в экономике (бывшая кафедра экономической кибернетики) по проблемам применения конструктивных методов исследования динамических моделей в экономике, анализа и прогнозирования процессов социально-экономического развития, г. Пермь, 2005-2009 гг.;

- VII Международной научно-практической конференции «Современный финансовый рынок Российской Федерации», г. Пермь, 2009 г.;

- IV Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии», г. Киров, 2009 г.

Результаты диссертационного исследования использованы в работе Западно-Уральского банка Сбербанка России ОАО.

Положения диссертации используются в учебном процессе Пермского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах (в соавторстве - 4), в т.ч. 2 работы - в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (общий объем указанных публикаций составил более 2 п.л.).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Морозов, Александр Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Темой настоящего диссертационного исследования стало оптимальное управление финансовым портфелем коммерческого банка. Автором предложен двухступенчатый подход к оптимальному управлению этим портфелем. Указанный подход обнаружил, с одной стороны, возможность оптимального распределения активов и пассивов в долгосрочной перспективе (заработанная прибыль на длинном промежутке времени будет максимальной). С другой стороны, из всего спектра существующих путей достижения оптимальной и гармоничной структуры банковского портфеля определен тот, который позволяет и в ближайшее время получить максимум процентной прибыли.

Как правило, основными проблемами эконометрических моделей являются:

• недостаточно адекватное отражение действительности,

• сильная чувствительность модели к экзогенным данным.

Представленная двухэтапная модель оптимального управления, позволяет избежать указанных недостатков. Во-первых, теперь модель обладает качеством целеполагания - учитывает как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка. Во-вторых, стало реальным разграничить чувствительность модели на двух уровнях: в модели первого уровня - чувствительность к сценарию расчета; в модели второго уровня - чувствительность к качеству разбиения общих экзогенных данных на части.

Основной проблемой данной научной разработки является проблема поиска некоего алгоритма или модели, позволяющей найти оптимальное решение в сфере управления банковским портфелем. Анализ литературы показал, что на данный момент остро не поднималась и не решалась проблема устойчивости оптимизационных моделей к изменению временных параметров критериев: все модели, разработанные и предложенные авторами, будут «работать» и получать оптимальное решение при строго заданном критерии. Однако поскольку банк существует в формате нескольких целей,* отличающихся, по крайней мере, временем их достижения, то использование только одного ^ критерия не отвечает задаче.

Нами было установлено, что модели с точки зрения влияния фактора времени делятся на два типа: подверженные этому влиянию и нечувствительные к нему; значительное количество разработанных моделей оказываются неспособными получить устойчиво оптимальное решение.

В данной работе автором предложен двухэтапный подход к построению оптимальной модели управления банковским портфелем, а в рамках указанного подхода разработана принципиальная модель - двухэтапная модель оптимального управления активами, которая в отличие от всех существующих подходов, позволяет осуществить конструктивный подход к моделированию в смысле учета как общих, долгосрочных, так и частных, краткосрочных, целей банка. Более того, модель позволяет определить оптимальную в долгосрочной перспективе структуру баланса коммерческого банка.

В работах других авторов рассмотрен лишь один из двух этапов (первый -в [12; 54; 60; 63]; второй - в [20; 30; 49; 58]). Т.е. отсутствует решение (либо слабо решена ввиду сложности получения и исследования решения задачи оптимизации) либо проблемы практической реализации модели, либо проблемы полной оптимизации.

Кроме того, представленная нами модель первого уровня является полной моделью банковской деятельности, моделирующей оптимальное распределение средств как актива, так и пассива. И хотя модель второго уровня является частной, однако такая постановка продиктована практической стороной вопроса и реалиями банковской деятельности, когда невозможно стопроцентно управлять пассивами и неуправляемыми (или условно управляемыми) активами.

Важно отметить, что двухэтапный подход к построению оптимизационной модели банковского портфеля может предполагать не одну модель второго уровня, а несколько. И если для автора данной работы наиболее адекватной и практически полезной является именно представленная двухэтапная модель, то в других экономических условиях или при других устремлениях руководства банка двухэтапная модель может выглядеть совершенно!' по-другому и состоять не из, одной, а из большего количества, частных моделей. При этом подход, основанный на,построении на первом этапе полной оптимизационной модели, а на втором этапе частных оптимизационных моделей, согласующихся с решением модели первого уровня, останется неизменным.

Возникшая в процессе исследования проблема устойчивости определения оптимального решения с помощью оптимизационных моделей получила решение в виде формулирования условия устойчивости решения. Сформулированы условия, при которых модель не чувствительна к периоду оптимизации. Представлен иллюстрирующий пример подобной модели. К сожалению, вероятнее всего, модель, коммерческого банка не сможет соответсвовать этим условиям в силу своей сложности.

Что особенно важно, теоретические заключения и выводы носят предельно общий характер и не зависят от конкретного вида оптимизационной модели. Таким образом, предложенные разработки можно применять к моделям, имеющим самый различный вид: целевых функций, ограничений, линейных и нелинейных.

Важно обратить внимание на то, что модели первого типа (не имеющие составляющей времени) позволяют получить оптимальную структуру баланса банка, но не ответ на вопрос, как достичь той оптимальной структуры активов и пассивов и что нужно для этого сделать. Изолированные (самостоятельные) модели второго типа (где присутствует фактор времени и моделируемый отрезок разбит на промежутки) позволяют узнать путь к достижению нужной структуры, но не ответ на вопрос, насколько полученная структура будет оптимальной и насколько эта структура будет соответствовать той, что получена в модели первого уровня. Именно двухэтапная модель позволяет одновременно достигнуть обеих представленных целей: модель первого уровня находит долгосрочную оптимальную структуру банковского портфеля, модель второго уровня позволяет выработать такие управленческие воздействия и такие конкретные директивы к действию, которые обеспечивают в рамках полученной на первом этапе стратегии достижение краткосрочных целей банка.

В диссертационном исследовании получены следующие результаты.

1. Показано, что решения, получаемые с помощью однотипных моделей оптимального управления, могут существенно отличаться ? при различии периодов оптимизации моделей, что обусловливает невозможность одновременно, в рамках одной модели, достигнуть целей, относящихся к разным отрезкам времени в будущем. Это позволило сформулировать свойство неустойчивости оптимального решения к изменению периода оптимизации (п. 1.1. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. - Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).

2. Сформулировано правило проверки модели оптимального управления финансовым портфелем банка на устойчивость относительно периода оптимизации. Сформулированы условия ограниченного практического применения модели оптимального управления банковским портфелем (п. 1.6. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. -Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).

3. Предложен двухэтапный подход к построению модели оптимального управления банковским портфелем. Подход позволяет сочетать тактическое и стратегическое оптималыюе управление активами и пассивами коммерческого банка, чего в известных моделях ранее не удавалось достигнуть. Он является универсальным с точки зрения банковских целей, применим для поиска оптимального банковского портфеля в любой ситуации (п. 1.6. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. - Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).

4. Предложена двухэтапная модель оптимального управления финансовыми ресурсами банка, построенная на основе двух моделей математического программирования. Данная модель является прикладным инструментарием для решения задачи оптимального управления банковским портфелем, способного выработать эффективные управленческие воздействия и достигнуть поставленных перед финансовой организацией целей (п. 1.6. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. - Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Морозов, Александр Юрьевич, 2009 год

1. Акофф P.JI. Планирование в больших экономических системах текст.: пер. с англ. / P.JI. Акофф; под ред. И.А. Ушакова. М., 1972.

2. Антонов М.В. Банковские риски и распределение кредитного ресурса текст.: дис. . канд. экон. наук: 08.00.13 /М.В. Антонов. -М.: Наука, 1991.

3. Антонов А.В. Рационирование кредитов и алгоритм эффективности распределения заемных средств текст. / А.В. Антонов, А.Б. Поманский // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30, вып. 1. С. 29-42.

4. Банковское дело: учебник текст. / под ред. В.И.Колесиикова, Л.П.Кроливецкой. М.: Финансы и статистика, 1998. 464 с.

5. Банковское дело текст. / под ред. О. И.Лаврушина. М.: Финансы и статистика, 2000. 672 с.

6. Банковское дело текст. / под ред. О. И. Лаврушина. М.: Изд-во «Банковский и биржевой науч.-консульт. центр», 1992. 428 с.

7. Банковский портфель текст. / отв. ред. Ю.И.Коробов. М.: Соминтэк, 1994. Т. 1-2.

8. Баталов А.Г. Банковская конкуренция текст. / А.Г. Баталов, Г.О. Самойлов. -М., 2002.

9. Берталанфи Фон Л. Общая теория систем критический обзор. Исследование по общей теории систем текст.: пер. с англ./ Л. Фон Берталанфи. -М,, 1969.

10. Бирюкова Е.А. Организация работы по сбору и анализу информации о спросе на банковские услуги в Саратовской области текст. / Е.А. Бирюкова, И.В. Бердников //Деньги и кредит. 2003. № 9. С. 14-20.

11. Бюллетень банковской статистики текст. / Центр, банк РФ. Режим доступа: http://ww\v.cbr.ru.

12. Вишняков И.В. Экономико-математические модели оценки деятельности банка текст. / И.В.Вишняков. СПб., 1999.

13. Гуриев С.М. Модель деятельности банка при отсутствии инфляции и экономического роста / С.М. Гуриев, И.Г. Поспелов // Экономика и математические методы. 1997. Т. 33, вып. З.С. 141-153.

14. Егорова Н.Е. Предприятия и банки: Взаимодействие, экономический анализ, моделирование текст. / Н.Е. Егорова, A.M. Смулов. М.: Дело, 2002. 456 с.

15. Об установлении лимитов открытой валютной позиции и контроле за их соблюдением уполномоченными банками Российской Федерации текст.: инструкция Центрального банка Российской Федерации № 41 от 22.05.1996.

16. Об обязательных нормативах банков текст.: инструкция Центрального банка Российской Федерации № 110-И от 16.01.2004 г.

17. Иоффе Л.Ш. Системный анализ и структурное моделирование целенаправленных систем текст. / Л.Ш. Иоффе, Г.Б. Клейнер. М., 1978.

18. Карабанова Т.В. Построение двухступенчатой оптимизационной модели управления ресурсами банка текст.: дис. . канд. экон. наук: 08.00.13 / Т.В. Карабанова. -М., 1999.

19. Козлов А.С. Модель нормативного регулирования банковской деятельности текст. / А.С. Козлов // Банковские технологии. 2000. № 1. С. 48-51.

20. Колчанов А.П. Модель оптимального управления банковским портфелем текст. / А.П. Колчанов // Вестн. ПГТУ. Сер. Математика и прикладная математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. С. 52-56.

21. Конюховский П.В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности текст. / П.В. Конюховский. СПб.: Питер, 2001. 224 с.

22. Конюховский П.В. Моделирование стохастической динамики финансовых ресурсов текст. / П.В. Конюховский. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 288 с.

23. Купчинский В.А. Система управления ресурсами банков текст. / В.А. Купчинский, А.С. Улинич. М.: Экзамен, 2000. 224 с.

24. Лаврушин О.И. От теории банка к современным проблемам его развития в экономике текст. / О.И. Лаврушин // Банковское дело. 2003. № 7. С. 15-32.

25. Лаптырев Д.А. Планирование финансовой деятельности банка: необходимость, возможность, эффективность текст. / Д.А. Лаптырев, И.Г. Батенко, А.В. Буковский, В.И. Митрофанов. М.: АСА. 1995.

26. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования текст. /Ю.П. Лукашин. М.: Статистика, 1979. 254 с.

27. Лукаишн Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие текст. / Ю.П. Лукашин. М.: Финансы и статистика, 2003. 416 с.

28. МасленченковЮ.С. Финансовый менеджмент в коммерческом банке текст. / Ю.С. Масленченков. -М., 1997.

29. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг текст. / А.В. Мельников. М.: ТВП, 1997. 217 с.

30. Меркурьев И.Л. Моделирование финансово-экономической деятельности коммерческого банка текст. / И.Л. Меркурьев, Г.В. Виноградов, И.Ф. Алешина, М.А. Сидоров. М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2000. 160 с.

31. Монахова Н.Ю. Разработка системы управления ресурсами и структурой баланса коммерческого банка текст.: дис. . канд. экон. наук: 08.00.13 / Н.Ю. Монахова. М., 1998.

32. Морозов А.Ю. Оптимальное управление активами банка текст. / А.Ю. Морозов // Актуальные проблемы современной науки. 2003. № 1 (10). С. 168178.

33. Морозов А.Ю. Оптимальное управление активами банка. Проблемы оптимальности текст. / А.Ю. Морозов // Актуальные проблемы современной науки. 2004. № 1(16). С. 76-84.

34. Морозов А.Ю. Целесообразность двухступенчатого подхода к оптимальному управлению активами банка текст. / А.Ю. Морозов // Экономика и производство. МТЕ. 2007. № 1. С. 38-41.

35. Морозов А.Ю. Двухступенчатый подход к оптимальному управлению банком текст. / А.Ю. Морозов // Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения: сб. тез. докл. регион, конф. молодых ученых и студентов. Пермь, 2004. С. 77-79.

36. Петунии ИМ. Методы оценки и управления процентным риском текст./ И.М. Петунин, М.А. Поморина // Банковское дело. 1999. № 1. С. 12-16.

37. Рассказов Е.А. Управление свободными ресурсами банка текст. / Е.А. Рассказов. М.: Финансы и статистика, 1996. 94 с.

38. Романюк Д.В. Моделирование кредитио-депозитной политики банка текст. : дис. . канд. экон. наук: 08.00.13 / Д.В. Романюк. -М., 1997.

39. Роуз П.С. Банковский менеджмент текст. / П.С. Роуз. М.: Изд-во «Дело», 1997. 768 с.

40. Рудько-Сшивапов В.В. Оценка спроса на заемные ресурсы в отраслях региона текст. / В.В. Рудько-Силиванов, В.В. Савалей // Деньги и кредит. 2003. № 11. С. 26-34.

41. СинкиДж.Ф., мл. Управление финансами в коммерческих банках текст. / Дж.Ф. Синки, мл. М.: Catallaxy, 1994. 820 с.

42. Смирнов С. Достаточность банковского капитала в отношении рыночных рисков: как улучшить регулирование в России текст. / С. Смирнов, А. Скворцов, Е. Дзигоева // Аналитический банковский журнал. 2003. № 7(98). Июль. С. 19-27.

43. Уемов А.И. Системы и системные исследования: Проблемы методологии и системного исследования текст. / А.И. Уемов. М., 1970.

44. Цисаръ И.Ф. Оптимизация финансовых портфелей банков, страховых компаний, пенсионных фондов текст. / И.Ф. Цисарь, В.П. Чистов, А.И. Лукьянов. М.: Изд-во «Дело», 1998. 128 с.

45. Черемных О.И. Процессно-стоимостной подход к управлению коммерческим банком текст. / О.И. Черемных // Банковское дело. 2003. №7. С 21-28; 2003. №8. С 18-25.

46. Чернов М.И. Имитационная модель банка основа аналитической системы текст. / М.И. Чернов // Банковские технологии. 1997. №6. С. 54-58.

47. Черчмен У. Введение в исследование операций текст.7 У. Черчмен, Р. Акоф, Л. Арноф. М.: Наука, 1968:

48. ЭшбиР. Дж. Введение в кибернетику текст.: пер. с англ. / Р. Дж. Эшби. -М., 1959.

49. Atkinson С. Portfolio management with transaction costs: an asymptotic analysis of the Morton and Pliska model текст. / С. Atkinson, P. Wilmott // Mathematical Finance. 1995.Vol. 5, №4. P. 357-367.

50. Baltensperger E. Alternative Approaches to the Theory of Banking Firm текст. / E. Baltensperger // Journal of Monetary Economics. 1980. January. P. 1-37.

51. Bradley S.P. Management of commercial bank government security portfolios: An optimization approach under uncertainty текст./ S.P. Bradley, D.B. Crane // Journal of Bank Research. 1973. Vol. 4, № l, p. 18-30. '

52. Clouse J. A computational model of banks' optimal reserve management policy текст. / J. Clouse, J. Dow // Journal of Economic Dynamics and Control. 2002. Vol. 26, Issue 1.1. P. 1787 1814.

53. Klaassen P. Financial asset-pricing theory and stochastic programming models for assetliability management: A synthesis текст. / P. Klaassen // Management Science. 1998. № 44. P. 31-48.

54. Klein M.A. Theory of the banking firm текст. / M.A. Klein // Journal of Money, Credit and Banking. 1971. Vol. 3, №2. P. 205 218.

55. Кот R. Optimal portfolios текст. / R. Korn. Singapore: World Scientific, 1997.

56. Li-Yong YU Stochastic programming models in financial optimization: a survey текст. / YU Li-Yong, JI Xiao-Dong, W. Shou-Yang // AMO Advanced Modeling and 0ptimization.2003. Vol.5, № 1. P. 1—.

57. Merton R.C. Optimum consuption and portfolio rules in a continous-time model текст. / R.C. Merton // Journal of Economics Theory. 1971. Vol. 3. P. 373-413.

58. Pyle D.H. On the Theory of Financial Intermediation текст. / D.H. Pyle // Journal of Finance. 1971. June. P. 734 -747.

59. Sealey C. W. Depozit rate-setting, risk aversion, and the theory of depository financial institutions текст. / C.W. Sealey // Journal of Finance. 1980. Vol. 35, №5. P. 1139-1154.

60. Sealey C. W. Inputs, Outputs and Theory of Production and Cost at Depository Financial Institutions текст. / C.W. Sealey, S.T. Linndley // Journal of Finance. 1977. September. P. 1251-1266.