О числах с заданными диофантовыми свойствами и выигрышных множествах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ахунжанов, Ренат Камилевич

• Ахунжанов, Ренат Камилевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахунжанов, Ренат Камилевич

Перечень условных обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

Содержание работы.

ГЛАВА 1. ОБ АНОРМАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И СУБЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ.

1.1. О лакунарных и сублакунарных последовательностях.

1.2. О метрических результатах.

1.3. Новые результаты об анормальных числах и лакунарных последовательностях.

1.4. Общие результаты о субэкспоненциальных последовательностях.

1.5. Частные результаты о субэкспоненциальных последовательностях.

1.6. О хаусдорфовой размерности.

1.7. О выигрышных множествах.

1.8. О вложении непересекающихся арифметических прогрессий в натуральный ряд.

1.9. Доказательство теорем 1.1 и 1.2.

1.10. Доказательство теорем 1.3 и 1.4.

1.11. Доказательство утверждений из параграфа 1.5.

ГЛАВА 2. О ПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫХ ЧИСЛАХ.

2.1. О результатах Дж. Касселса, Г. Давенпорта и В. Шмидта.

2.2. Формулировки новых результатов.

2.3. Вспомогательные результаты.

2.4. Доказательство теоремы 2.1.

ГЛАВА 3. О ВЕКТОРАХ ЗАДАННОГО ДИОФАНТОВА ТИПА.

3.1. О векторах с заданным порядком аппроксимации.

3.2. Формулировки и результаты.

3.3. Лучи и цилиндры.

3.4. Вспомогательные утверждения.

3.5. Специальная последовательность цилиндров.

3.6. Доказательство теоремы 3.1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О числах с заданными диофантовыми свойствами и выигрышных множествах»

Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории диофантовых приближений.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию классических объектов, возникающих в теории диофантовых приближений: множеств плохо приближаемых чисел и векторов, векторов заданного диофантового типа и множеств связанных с нормальными числами.

Постановки задач связанных с этими объектами восходят к J1. Дирихле, JL Кронекеру, Э. Борелю, Г. Минковскому и другим классикам. Ими занимались такие известные математики как А.Я. Хинчин, В. Яр-ник, Дж. Касселс, Г. Давенпорт, П. Эрдеш, В. Шмидт, Н.М. Коробов.

Исследованию свойств плохо приближаемых чисел, нормальных чисел, а также чисел, не являющихся нормальными, посвящено много работ как в России так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также с приложениями уделено внимание в монографиях Дж. Касселса [6], В. Шмидта [14], JI. Кейперса и Д. Нидеррейтера [7], Р. Тихого и М. Дрмоты [21] и других.

С одной стороны, для исследования многомерных задач, связанных с линейными диофантовыми приближениями, в подобного рода вопросах естественно использовать восходящие к Г. Минковскому и Г.Ф. Вороному методы геометрии чисел (см. монографию [28]). С другой стороны, в 1966 году В. Шмидтом [36], [37] был разработан новый метод исследования плохо приближаемых и анормальных чисел связанный с использованием метрической модификации игры Банаха-Мазура, который позволил получить ряд фундаментальных результатов.

В настоящей диссертации мы продолжаем исследование плохо приближаемых чисел и множеств анормальных чисел с использованием указанных выше геометрического метода и метода выигрышных множеств В. Шмидта. Отметим, что результаты В. Шмидта, связанные с выигрышностью множеств анормальных и плохо приближаемых чисел, носили, в основном, качественный характер. В настоящей диссертации мы разрабатываем количественный вариант метода В. Шмидта, а также получаем оценки для хаусдорфовой размерности возникающих у нас множеств. Помимо этого, мы устанавливаем ряд новых результатов, связанных с существованием наборов вещественных чисел, обладающих совместными диофантовыми приближениями специального вида. Отметим, что вопросам метрической теории диофантовых приближений, связанных с рассматриваемыми нами задачами, посвящена книга В.Г. Спринджука [10], а вопросам, связанным с размерностью Хаусдор-фа — книга В.И. Берника и В.Ю. Мельничука [5]. Также отметим, что в последнее время к подобного рода вопросам вновь проявился интерес в связи с теорией динамических систем (см. монографию А.Н. Старкова [11] и серию работ Д. Клейнбока [30], [31], [32]).

Результаты настоящей диссертации также связаны с исследованиями распределения лакунарных и сублакунарных последовательностей, проводившимися в работах П. Эрдеша [24], А.Д. Поллингтона [34] и Д. де Матана [33], и с некоторыми эргодическими теоремами Г. Фюрсте-берга [27] и М. Бошерницана [15], [16]. Особо отметим, что совсем недавно задачи, связанные с исследованием лакунарных последовательностей, изучающиеся в диссертации, оказались полезными при исследовании хроматических чисел некоторых множеств. В связи с этим мы упомянем И. Ружи и др. [35].

Цель работы.

1. Построение чисел, не являющихся нормальными ни по какому основанию, и получение количественных оценок, построение множеств действительных чисел полной хаусдорфовой размерности, плохо приближаемых рациональными числами со знаменателями вида 2n3m, и получение общих количественных результатов методом выигрышных множеств В. Шмидта.

2. Получение результатов о наборах действительных чисел, которые являются плохо приближаемыми одновременно со всеми своими подна-борами (теоремы существования и оценки хаусдорфовой размерности).

3. Доказательство теорем существования векторов заданного дио-фантового типа.

Методика исследования. Основными инструментами при исследовании рассматриваемых задач являются метод выигрышных множеств В. Шмидта, конструкции де Матана-Поллингтона и их обобщения. В многомерных задачах активно используется соображения геометрии чисел, точнее, геометрической теории диофантовых приближений, некоторые из которых развивались Н.Г. Мощевитиным.

Научная новизна. Основные результаты полученные в диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Количественная теорема о числах, не являющихся нормальными ни по какому основанию.

2. Результат о существовании множества действительных чисел а таких, что ||2n3mai|| отделено от нуля медленно убывающей функцией.

3. Теорема о существовании и хаусдорфовой размерности множества плохо приближаемых векторов, все проекции которых также плохо приближаемы.

4. Доказательство существования 5-мерных векторов, допускающих бесконечно много <p(q)(l + е)-приближений, но не допускающих ни одного </?(д)-приближения для функции ip(q) = o{q~l!s).

Достоверность результатов. Решения всех задач получены с помощью строго обоснованных математических методов и снабжены доказательствами и необходимыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность полученных результатов с результатами других авторов. Достоверность результатов также основывается на строгости и подробности приведенных в диссертации доказательств.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании кан-торовых множеств, возникающих в теории диофантовых приближений и оценках хаусдорфовой размерности. Они могут быть полезными при исследовании распределения по модулю 1 дробных долей быстро растущих последовательностей. Также результаты могут иметь приложения в некоторых вопросах приближенного анализа, теории динамических систем, теории функций, и в вопросах, связанных с хроматическими числами дистанционных графов.

Апробация работы. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина, А.Б. Шидловского,

2. "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова,

3. "Арифметика и геометрия" под руководством Н.Г. Мощевитина, A.M. Райгородского,

4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С.С. Рышкова.

Также автор выступал с докладом на международном семинаре по дискретной математике, проводившемся в январе 2004 года на механико-математическом факультете МГУ, и участвовал в работе VIII Международной конференции, "Образование, экология, экономика, информатика", проводившейся в городе Астрахань в сентябре 2003 года.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы включающего 37 наименований. Общий объем диссертации 70 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахунжанов, Ренат Камилевич, 2004 год

1. Р.К. Ахунжанов, Об анормальных числах // Математические Заметки, том 72, номер 1, 2002, стр. 150 — 152.

2. Р.К. Ахунжанов, Об (а,/?)-выигрышных множествах и анормальных числах // Тезисы докладов VIII Международной конференции "Образование, экология, экономика, информатика", Астрахань, сентябрь 2003.

3. Р.К. Ахунжанов, О некоторых диофантовых задачах, связанных с выигрышными множествами В.Шмидта// Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004. № 417-В2004.

4. Р.К. Ахунжанов, О векторах заданного диофанового типа// Дискретная математика и ее приложения: Материалы VIII Международного семинара. — Москва: МГУ. 2004. С.337-339.

5. В. И. Б ерник, Ю.В. Мелъничук, Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа, Минск, 1988.

6. Дж.В.С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений, М., 1961.

7. Л. Кейперс, Г. Нидеррейтпер, Равномерное распределение последовательностей, М., 1985.

8. Н.М. Коробов, Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки, том 55, выпуск 2, февраль 1994, с. 83 90.

9. Н.Г. Мощевитин, О совместных диофантовых приближениях. Векторы заданного диофантова вида // Математические Заметки, том 61, выпуск 5, май 1997, стр. 706 — 719.

10. В. Г. Спринджук, Метрическая теория диофантовых приближений, М.: Наука, 1977. 143 с.

11. А.Н. Старков, Динамические системы на однородных пространствах, М. 1999, 353 с.

12. Н.И. Фельдман, Седьмая проблема Гильберта., М., МГУ, 1987.

13. М. Холл, Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

14. В. Шмидт, Диофантовы приближения. М.,Мир.,1983.

15. M.D. Boshernithan, Elementary proof of Furstenberg's Diophantine result // Proc. Amer. Math. Soc. 1 Vol 122 (1994), 67 70.

16. M. Boshernitzan, Density modulo 1 of dilations of sublacunary sequences // Adv. in Math. 108 (1994), 104 117.

17. J. W.S. Cassels, Some metrical theorems in Diophantine approximaion. 1// Proc. Cambridge Phil. Soc. V. 46 (2), 1950, 209 218.

18. J. W.S. Cassels, Simultaneous Diophantine Approximation (II) // Proc. London Math. Soc. (3), 5 (1955) pp. 435 448.

19. T.W. Cusick, M.E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra // Mathematical surveys and monographs, Number 30, 1989.

20. H. Davenport, A Note on Diophantine Approximation // Studies in Math. Analysis and Related Topics, Stanford Univ, pp. 77 — 81. 1962.

21. M. Drmota, R.F. Tichy, Sequences, Discrepancies and Applications // Lecture Notes in Mathematics 1651, Springer, 1997.

22. R.J. Duffin, A.C. Schaeffer, Khintchine's problem in metric Diophantine approximation // Duke Math. J. 8 (1941), 243 — 255.

23. H.G. Eggleston, Sets of fractional dimension which occur in some problems of number theory // Proc.London Math. Soc., vol. 54 (1951 52). pp. 42 - 93.

24. P. Erdos, Repartition modulo 1 // Lecture Notes in Mathematics Vol. 475. Springer Verlag. New York, 1975.

25. V. Jarnik, Uber die simultanen diophantischen Approximationen // Math. Zeitschr.,33 (1933), p. 505 543.

26. V. Jarnik, Un Theoreme d'existence pour Les Approximations Diophantiennes // L'Enseignement mathematiqe, T. 25 (1969), p. 171 175.

27. H. Furstenberg, Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation // Math. Systems Theory 1 (1967), 1 -49.

28. P.M. Gruber, C.G. Lekkerkerker, Geometry of numbers, 1987.

29. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, The lattice points of a right angled triangle. II // Abh. Mat. Semin. Hamburg Univ., Bd. 1, (1922), s. 212 249.

30. D.Y. Kleinbock, Flows on homogeneous spaces and diophantine properties of matrices // Duke Mathematical Journal, Vol. 95, No. 1, p. 107 124 (1998).

31. D. Y. Kleinbock, Badly approximable systems of affine forms // Rutgers University, Preprint (1998).

32. D. Y. Kleinbock, E. Lindenstrauss, B. Weiss, On fractal measures and diophantine approximation // Brandeis University, Preprint (2003).

33. D. de Mathan, Numbers contravening a condition in density modulo 1 11 Acta Math. Hungar. 36 (1980), 237 241.

34. A.D. Pollington, On the density of sequence {rik9} // Illinois J. Math. 23 (1979), 511 702.

35. I.Z. Ruzsa, Zs. Tuza, M. Voigt, Distance Graphs wish Finite Chromatic Number // Journalof Combinatorial Theory, series В 85 p. 181 187 (2002).

36. W.M. Schmidt, On badly approximable numbers and certain games // Trans. Amer. Math. Soc., 623 (1966), p. 178 199.

37. W.M. Schmidt, Badly approximable systems of linear forms // J. Number Th. 1, p. 139 154 (1969).