Об основных свойствах некоммутативных операторных графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Мокеев Александр Сергеевич

• Мокеев Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Мокеев Александр Сергеевич

1.1. Предварительные сведения

1.1.1. Операторные системы

1.1.2. Квантовые шумы

1.1.3. Операторы Крауса

1.2. Графы и шумы

1.2.1. Классические шумы и классические графы

1.2.2. Условия Нилла-Лафламма

1.2.3. Некоммутативные операторные графы

1.2.4. Проблема обратного соответствия ошибок графу

1.2.5. Ковариантные ПОЗМ

2. Оценки на размерность некоммутативных операторных графов

2.1. Возможность исправления ошибок в зависимости от размерности

2.2. Графы в пространстве размерности п2

2.2.1. Обобщенные матрицы Паули

2.2.2. Построение операторного графа

2.2.3. Использование сцепленных состояний для построения антиклики

3. Конечномерные некоммутативные операторные графы, порожденные ковариантными ПОЗМ

3.1. Достаточные условия существования антиклики

3.1.1. Графы для унитарного представления окружности

3.1.1.1. Тензорная структура примера

3.1.1.2. Обобщение на случай больших размерностей

3.1.1.3. Тензорная структура примера произвольной размерности

3.2. Пример для дискретной группы Гейзенберга-Вейля

3.2.0.1. Представление группы Гейзенберга-Вейля

3.2.0.2. ПОЗМ, порожденная группой Гейзенберга-Вейля

3.2.0.3. Структура полученных графов

4. Некоммутативные операторные графы в пространстве бесконечной размерности

4.1. Некоммутативные операторные графы, порождаемые динамикой квантового двухмодового осциллятора

4.1.1. Квантовый двухмодовый осциллятор и его динамика

4.1.2. Когерентные состояния

4.1.3. Графы с антикликами для осциллятора

4.2. Некоммутативные операторные графы в симметричном пространстве Фока

4.2.1. Структура одночастичного пространства Фока

4.2.2. Построение графа в пространстве Фока

4.3. Некоммутативные операторные графы для модели Джейнса-Каммингса

4.3.1. Модель Джейнса-Каммингса

4.3.2. Когерентные состояния Газо-Клауера

4.3.3. Графы для модели Джейнса-Каммингса

4.3.4. Размерность квантового кода

4.4. Ошибки соответсвующие операторным графам

Заключение

Библиография

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об основных свойствах некоммутативных операторных графов»

Актуальность работы

С середины двадцатого века множество значимых математических теорий были построены как "квантованные" аналоги классических теорий. Такой подход можно скорее назвать философией, нежели четко сформулированной методологией. В 1986 году данный подход о построении "квантованной математики" был озвучен на международном математическом конгрессе в докладе [1] американского математика Эдварда Эффроса. В этом докладе Э. Эффрос неформально описывает данный подход для случая "квантованного" функционального анализа так: мы правильным образом заменяем классические объекты - функции "квантовыми" объектами - линейными операторами. Надо отметить, что такой подход аналогичен замене алгебры дифференцируемых функций на фазовом пространстве, то есть классических механических наблюдаемых, на самосопряженные операторы в квантовой механике. Но все-таки в случае квантования математических теорий мы находимся в более общей ситуации за счет заведомого большего числа объектов, которые мы сможем квантовать, например, мы можем рассматривать квантовые аналоги абстрактных нормированных пространств. В силу того, что важнейшее алгебраическое отличие линейных операторов от функций и скаляров состоит в том, что операторы могут не коммутировать друг с другом, то синонимом слова "квантовый" в данном математическом контексте выступает термин "некоммутативный".

В работе [2] Ман-Дуэн Чой и Эдвард Эффрос ввели новый класс операторных пространств, названных операторными системами. По определению подпространство в операторной алгебре называется операторной системой, если оно замкнуто относительно сопряжения и содержит единичный оператор. Ясно, что в данный класс, из-за определенной лаконичности требований, попадает большое число объектов. К данной категории объектов был проявлен

определенный интерес исследователей, занимающихся теорией операторных алгебр [3-5].

Также позже было отмечено, что операторные системы играют важную роль в теории квантовых кодов, исправляющих ошибки [6,7]. Данная теория была разработана в конце двадцатого века, центральные результаты этой теории были получены Эмануэлем Ниллом и Реймондом Лафламмом [8]. Квантовый шум необходимо интерпретировать как некоторое множество отображений, переводящих квантовые состояния одной системы в квантовые состояния той же, в случае ошибок, возникающих в квантовой информации хранимой в системе, или другой системы, в случае передачи информации по каналу с шумом. Таким образом квантовый шум это множество вполне положительных, сохраняющих след отображений, на пространстве линейных ограниченных операторов, которые мы в дальнейшем будем называть квантовыми ошибками или просто ошибками. Известно, что такие отображения, также называемые квантовыми каналами, можно представить особого вида разложением [9], названным именем немецкого физика Карла Крауса. В терминах операторов Крауса для ошибок Нилл и Лафламм сформулировали необходимое и достаточное условие существования метода кодирования информации, которой мы хотим оперировать, такого, что он полностью защитит данную информацию от ошибок. Позже было показано, что данные условия несколько естественнее формулировать для операторной системы, в определенном смысле порождаемой операторами Крауса ошибок [6,7]. Тем самым по набору квантовых ошибок, от которых мы хотим защитить информацию, однозначно определяется операторная система, по которой можно определить возможность защиты информации от данных ошибок. В теории информации Клода Шеннона для классического канала связи с шумом определяется граф, который также полностью определяет возможность защиты информации, но от классических ошибок. Исходя из условия Нилла-Лафламма даже определение квантового кода, исправляющего ошибки, можно дать для абстрактной операторной системы отдельно от изначального формализма вполне-положительных отображений. Тем самым, операторные системы можно интерпретировать как некоммутативные объекты аналогичные классическим графам, поэтому, сообразно остальным "квантованным" объектам, для наименования операторных систем в контексте данной теории многие авторы используют термин некоммутативный операторный граф, мы также будем сле-

довать данному названию.

Данная аналогия была развита рядом исследователей, были найдены аналоги некоторых параметров классических графов для некоммутативных операторных графов, доказаны некоммутативные аналоги различных теорем [10-13]. В известном списке открытых проблем квантовой теории информации Эмануэлем Ниллом [14] поставлена задача определения оценок на размерность квантового кода, исправляющего ошибки, гарантированно существующего для заданного квантового шума, при том оценка должна быть дана через размерность пространства, порожденного всеми операторами Крауса ошибок, задающих этот шум. Данная задача может быть осмысленно продолжена вопросом о том, какими свойствами должны обладать порождающие множества, задающие как линейное пространство некоммутативный операторный граф, имеющий нетривиальный квантовый код, исправляющий ошибки. Данный подход ставит задачу квантового исправления ошибок, как задачу теории операторов.

Цель работы

• Описать подход к квантовой теории исправления ошибок через некоммутативные операторные графы.

• Предъявить конструкцию графа и антиклики для него, размерность которых значительно превышает достаточные условия существования исправляющего кодирования.

• Разобрать метод задания графов в виде линейной оболочки ковариантной положительной операторно-значной меры.

• Построить содержательные конечномерные примеры таких графов, соответствующие некоторым унитарно-представленным группам.

• Построить содержательные бесконечномерные примеры таких графов, соответствующие некоторым квантовым системам.

Основные результаты, выносимые на защиту

• Построены примеры некоммутативных операторных графов и соответствующих им квантовых кодов, исправляющих ошибки, таких, что размерности графов и кодов значительно превышают размерности, которые можно получить из существующих достаточных условий существования квантового кода, для заданного графа.

• Развита теория некоммутативных операторных графов, порожденных положительными операторно-значными мерами, ковариантными по отношению к действию унитарно-представленной группы. В конечномерном случае найдены достаточные условия существования квантового кода, исправляющего ошибки для графов такого типа. Для представления окружности и группы Гейзенберга-Вейля построены примеры таких графов, квантовые коды, исправляющие ошибки, для них найдены в явном виде.

• Такая методика развита на бесконечномерный случай. Построены примеры некоммутативных операторных графов, порожденных положительными операторно-значными мерами, заданными унитарной динамикой различных квантовых систем. Данная задача решена для двухмодового квантового осциллятора, бозонного поля и модели Джейнса-Каммингса. На данных примерах показана возможность использования теории когерентных состояний, для решения задачи квантового исправления ошибок. Показано, что с помощью дилатации Наймарка можно задать квантовый шум, соответствующий заданному некоммутативному операторному графу, порожденному положительной операторно-значной мерой.

Научная новизна работы

Развита теория исправления ошибок для некоммутативных операторных графов, порожденных положительными операторно-значными мерами, такой метод подхода к квантовой теории исправления ошибок является новым. Работа содержит большое количество примеров операторных графов, для которых показано существование квантовой антиклики, описание структуры таких примеров также является новым результатом.

Практическая ценность

Данная работа носит теоретический характер. Все результаты получены методами теории операторов, функционального анализа, линейной алгебры и являются точными. Основная задача имеет прикладную мотивировку, некоторые результаты имеют физическую интерпретацию и могут быть полезны в изучении возможностей создания квантовых информационных технологий.

Апробация работы

Основные результаты работы прошли апробацию на:

• Международной научной конференции "The fourteenth Biennial IQSA Соп£егепее"под эгидой International Quantum Structures Association, Россия, Казань, 14-20 июля 2018 г.

https://www.vub.be/clea/IQSA/conferences.html

• Международной научной конференции "XXVII St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" Россия, Санкт-Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 6-11 августа 2018 г.

http://gauss40.pdmi.ras.ru/ma27/img/book2018.pdf

• Международной научной конференции "Quantum Information Revolution: Impact to Foundations" Швеция, Векшё, Linnaeus University, 10-13 июня 2019 г.

https://lnu.se/contentassets/eb7c1fdd316e437ba7df1840db5e6d1c/ qirif-abstracts_0602.pdf

• Международной научной конференции "XXVIII St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" Россия, Санкт-Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 25-30 июня 2019 г.

http://gauss40.pdmi.ras.ru/ma28/img/book2019.pdf

• Третьем молодежном рабочем семинаре "Математические методы в проблемах квантовых технологий" Россия, Москва, МИАН им. В. А. Стекло-ва, 25 ноября 2019 г.

http://www.mathnet.ru/ConfLogos/1688/3rd_Workshop_Program_Rus. pdf

• Международной научной конференции "MIPT (PhysTech) — QUANT" Россия, Москва, МФТИ, 7-11 сентября 2019 г.

https://mipt-quant.ru/programme.html

• Научной конференции "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации" Россия, Уфа, БашГУ, 28 сентября-1 октября 2020 г.

https://matem.anrb.ru/ru/ufa2020pr1

• Научной конференции "Математические методы в проблемах квантовых технологий" Россия, Москва, МИАН им. В. А. Стеклова, 2-5 ноября 2020 г.

http://www.mathnet.ru/php/conference.phtml?option_lang=rus& eventID=1&confid=1675

• Международной научной конференции "One-Parameter Semigroups of Operators" Россия, Нижний Новгород, ВШЭ, 5-9 апреля 2021 г.

https://nnov.hse.ru/data/2021/04/10/1392438863/0PS0_2021_book_ of_abstracts_v10.pdf

Структура диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 92 страницы, из них 86 страниц текста. В работе содержатся 2 рисунка. Библиография включает в себя 61 наименование.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 8 статьях [15-22] в журналах, входящих в международную базу цитирования Scopus, из них 7 [16-22] в журналах, также входящих в международную базу цитирований Web of Science.

Личный вклад

Результаты работы изложены в совместных с научным руководителем Г. Г. Амосовым и А. Н. Печенем работах. Определяющий вклад в этих публикациях принадлежит автору диссертации, доказательства большинства утверждений проделаны автором, идеи и построения изложенных примеров также были получены автором лично. Научному руководителю принадлежат постановки задач и общий план исследования, А. Н. Печеню также принадлежит постановка некоторых задач и идеи ряда физических обоснований, присутствующих в работе.

Благодарности

Я хочу выразить искреннюю и глубочайшую благодарность своему научному руководителю Григорию Геннадьевичу Амосову за то, чему он меня обучил, за всегда заинтересованное отношение к нашей работе, внимание, доброту, поддержку. Особо хочу поблагодарить своего непосредственного начальника и соавтора Александра Николаевича Печеня за неоценимое участие в написании нескольких совместных научных работ. Выражаю большую благодарность Александру Семеновичу Холево и Антону Дмитриевичу Баранову за возможность работать в их проектах и организациях. Хочу поблагодарить преподавателей Кафедры Математического анализа, Математико-Механического факультета и Академической Гимназии СПбГУ за фундаментальные математические курсы, а также отдельно хочу поблагодарить Инну Леонидовну Кабашную и Александра Алексеевича Флоринского за особенно заметную помощь на раннем этапе моего пути в науку.

Работа выполнена при поддержке грантов РНФ: проект 17-11-01388, 20172019 г.г., проект 17-11-01388-П, 2020-2021 г.г., проект 19-11-00086, 2019-2021 г.г.; при поддержке Минобрнауки России Соглашение № 075-15-2020-788; при поддержке программы социальных инвестиций "Родные города" ПАО "Газпром нефть".

Глава 1.

Операторные системы в квантовом исправлении ошибок

1.1. Предварительные сведения 1.1.1. Операторные системы

В этой главе мы опишем математическую структуру теории квантового исправления ошибок, роль операторных систем в этой теории и изложим известные факты, необходимые для дальнейшего повествования. Операторные системы аксиоматически описаны в статье Ман-Дуэна Чоя и Эдварда Эффроса [2]. Пусть мы имеем гильбертово пространство Н и алгебру ограниченных линейных операторов на нем, обозначим ее В(Н).

Определение 1.1. Подпространство V алгебры В(Н) называется операторной системой или некоммутативным операторным графом, если выполнены следующие условия:

А А* е V; 1Н е V,

где 1н - тождественное отображение на пространстве Н.

Чой и Эффрос ввели категорию операторных систем, морфизмами в которой являются вполне-положительные отображения. Они вводят понятие инъектив-ности в данной категории и получают теоремы, характеризующие инъективные

операторные системы, их результаты абстрактны и в должной мере мотивированы продолжением результатов теории вещественных банаховых пространств. Мы не будем концентрироваться на данной ветке теории, изучающей операторные системы как абстрактные операторные пространства, а сразу охарактеризуем их как объекты, играющие свою роль в теории квантовой коррекции ошибок.

1.1.2. Квантовые шумы

Квантовая теория информации - разрабатываемая с последней трети двадцатого века наука, изучающая возможность использования квантовых систем для задач обработки и передачи информации. Данная область развивались многими великими физикам и математиками, помимо огромного практического интереса данная область играет ключевую роль в дискуссии о важнейших фундаментальных вопросах. Центральным понятием этой теории стоит считать понятие квантовой информации, единицей которой является состояние квантовой системы. Простейшей такой системой является двухуровневая система, состояние которой по аналогии с классическим битом назвали кубитом. В более общей интерпретации с квантовой системой, обозначим ее А, связано сепарабельное гильбертово пространство На, конечномерное или бесконечномерное. Для записи элементов этого пространства и операций над ними мы используем бра-кет обозначения. Дадим наиболее общее определение состояния квантовой системы.

Определение 1.2. Состояние квантовой системы это линейный ограниченный оператор р на На такой, что а(р) С К+, р = 1, то есть оператор положителен, а его след равен единице. Множество квантовых состояний обозначим Б (На).

Операторы, определяющие квантовые состояния, также называют матрицами плотности, состояния, являющиеся одномерными ортогональными проекторами р = \ф) (ф\, называют чистыми. Есть естественная биекция между множеством чистых состояний и множеством лучей {С \ф) , \ф) € На} , поэтому векторы из единичной сферы На мы также будем называть чистыми состояниями. Состояние, описываемое такой матрицей плотности, что р2 = р, называют смешанным. Выберем в пространстве На некоторый базис \п), где индекс п пробегает конечное или счетное множество. Тогда состояния можно раскладывать

по соответствующему базису из матричных единиц в пространстве ограниченных линейных операторов

р = ^ Яп,т \п) Н , дп,т е С. (1.1)

п,т

Смешанные состояния это выпуклые комбинации чистых, а чистые состояния это множество крайних точек для множества всех состояний. Пусть есть набор чистых состояний рь = \фк) {Фк\ , к е К и распределение вероятностей Рк на К, тогда оператор

и = ^2 Рк Рк кеК

будет смешанным состоянием.

Необходимость рассматривать смешанные состояния определяется двумя причинами, в любом эксперименте мы чаще всего получаем статистический ансамбль одинаково приготовленных частиц, а не отдельные частицы, таким образом смешанное состояние сразу описывает весь эксперимент. Но и для отдельной квантовой системы смешанные состояния имеют смысл. Состояние квантовой системы из двух подсистем А, В полностью не описывается состояниями этих подсистем, необходимо рассматривать в качестве пространства чистых состояний составной системы - пространство На 0 Нв, а состояние подсистемы описывается частичным следом, взятым вдоль пространства дополняющей ее системы, например, для состояния \ф) е На 0 Нв состояние подсистемы А это

фА = ИВ (\Ф) {Ф\),

в общем случае оно не является чистым.

Определение 1.3. Для ограниченных линейных операторов В(Н 0 С), действующих на тензорном произведении двух гильбертовых пространств, частичным следом называется линейное отображение Хтс : В(Н 0 С) ^ В(Н), полученное продолжением по линейности правила

Ьтс(я 0 р ) = ь(Р уд е В (Н), р е В (С).

Чистые состояния, являющиеся тензорными произведениями подсистем \Ф) = \Фа) 0 \фв), мы будем называть несцепленными или сепарабельными, а

не являющиеся таковыми сцепленными. Возможность квантовых систем быть в сцепленном состоянии является одним из наиболее существенных квантовых свойств, все квантовые алгоритмы основаны на использовании информационного ресурса, обуславливаемого сцепленностью. Но с другой стороны сцеп-ленность создает паразитные эффекты, не идеально изолированная система А склонна прийти в сцепленное состояние с неконтролируемым нами окружением, а значит, мы получим неопределенность в состоянии нашей системы. Более того, если система А сама является составной, то такие неконтролируемые изменения ее состояния приводят к потере коррелированности между состояниями подсистем, такой процесс называется декогеренцией.

Тут мы вынуждены дать серию определений. Допустим, мы имеем две С*-алгебры М и V, естественным образом определим конус положительных операторов в этих алгебрах, как операторы со спектром на положительной полуоси.

Определение 1.4. Линейное отображение Ф : М ^ V называется положительным. если выполнено А > 0 ^ Ф(^) > 0, У А.

Обозначим через Ып тождественное отображение на множестве п х п квадратных комплексных матриц Мп = В(Сп). Тогда можно рассмотреть отображения Ф 0 Ып на алгебре М 0 Мп, её можно воспринимать, как алгебру п х п матриц с компонентами из М.

Определение 1.5. Линейное отображение Ф : М ^ V называется вполне-положительным, если положительны все отображения вида

Ф 0 Ып : М0 Мп ^Т 0 Мп.

Мы будем использовать С*-алгебры всех ограниченных линейных операторов В (Н) на сепарабельном гильбертовом пространстве и предсопряженную к В(Н) алгебру ядерных операторов Т(Н).

Определение 1.6. Вполне-положительные, сохраняющие след отображения, отображающие Т(На) в Т(Нв), называют квантовыми каналами.

Данный вид отображений описывает максимально общий вид квантовой операции, все отображения вида Ф 0 Ып переводят квантовые состояния в квантовые состояния на соответствующих пространствах, то есть корректно описывают трансформации состояний системы А сцепленной с любой п-уровневой

системой. Квантовые каналы можно воспринимать как объекты, искажающие квантовые состояния, канал берет состояние, то есть квантовую информацию, на вход и искажает ее до другого состояния на выходе. Тем самым квантовые каналы можно интерпретировать как ошибки.

Определение 1.7. Возьмем две квантовых системы А, В, под квантовым шумом будем понимать произвольное множество квантовых каналов N = {Ф& : Т(На) ^ Т(Нв), к е К}. Операторы Фк при этом будем называть квантовыми ошибками.

Квантовый шум, от которого мы хотим защититься, определяется конкретными условиями физической задачи. Для регистра квантового компьютера шум может определяться тем, как мы физически реализуем элементарные логические вентили, или некоторой нашей эвристикой относительно воздействия случайных помех, например, что они всегда действуют на каждый кубит регистра независимо от других кубитов. А для квантового канала связи, моделируемого одним вполне-положительным, сохраняющим след, отображением Ф шум и будет состоять из одного этого отображения.

1.1.3. Операторы Крауса

Известно, что ядерные операторы Т(Н) в алгебре В(Н) образуют идеал, а общий вид линейного ограниченного функционала на Т(Н) это р(д) = 1т (дБ) е В(Н). Тем самым к каналу Ф : Т(На) ^ Т(Нв) можно определить двойственный канал.

Определение 1.8. Двойственным каналом называется отображение Ф* : В (Нв) ^ В (На), определенное по правилу,

^ (Ф(я)П) = ^ №*№)), д е Г (На), В е В (Нв )■

Сохранение следа каналом Ф эквивалентно тому, что Ф* унитален, то есть отображает единицу в единицу. Физически переход к двойственному каналу означает переход от картины Шрёдингера к картине Гейзенберга, где вместо изменения состояния мы отслеживаем изменение наблюдаемой. Вполне-положительные отображения имеют относительно простой общий вид. Структуру рассуждений, приводящих к характеризации вполне-положительных отоб-

ражений, мы опишем в терминах сопряженного канала Ф*, но так как вполне-положительность Ф и Ф* эквивалентны, такое описание оказывается общим. Чтобы представить ее, сначала нам понадобится следующая теорема, доказанная Форрестом Стайнспрингом [23] для операторных алгебр.

Теорема 1.1. Для С *-алгебры с единицей А и гильбертова пространства Н, Ф : А ^ В (Н) вполне-положительно тогда и только тогда, когда существует другое гильбертово пространство С, унитальное *-представление п : А ^ В (С), то есть гомоморфизм С*-алгебр такой, что к (1а) = 1н, и ограниченный оператор V : Н ^ W такие, что Ф(ж) = V*п(х)У.

Отойдя от формализма операторных алгебр, такое представление и оператор V могут быть описаны в терминах расширения исходного пространства [24].

Теорема 1.2. С,Н - сепарабельные гильбертовы пространства. Для вполне-положительного Ф* : В (С) ^ В (Н) существуют гильбертово пространство Н0 и ограниченный оператор V : Н ^ С 0 Н0 такие, что

Ф*(ж) = V *(х 0 1н0 )У, Ух € В (С),

и двойственноЬ к данному отображению задается как

Ф(5) = 1гн0 УБУ *, У Б € Т(Н),

причем Ф*(1с) = 1н ^ У - изометрия.

В условиях данной теоремы можно определить комплементарный канал

Определение 1.9. Комплементарным к Ф называется вполне-положительное отображение Ф(Б) = Хгс УБУ*, где Б € Т(Н).

Из теоремы (1.2) можно вывести следующий результат [25,26].

Теорема 1.3. С,Н - сепарабельные гильбертовы пространства. Ф* : В (С) ^ В (Н) вполне положительно тогда и только тогда, когда существует разложение вида

N

Ф*(р) = ^ ук*рук, р € В(С),Ук : Н ^ С, N (1.2)

к=1

Двойственное к нему задается как

N

Ф(Я ) = £ n svk*.

k=1

N

Отображение Ф сохраняет след тогда и только тогда, когда ^ VkVk* = I.

k=i

Разложение вида (1.2) называется разложением Крауса, в общем случае такое разложение не единственно. Операторы Vk операторами Крауса, для двух разложений с операторами Vk И Wk одного и того же вполне-положительного отображения, операторы Крауса порождают одно и тоже линейное пространство span {Vk} = span {Wk}. Наименьшее среди всех разложений число N операторов Крауса называется рангом Чоя квантового канала. Операторы Крауса помогают определить важный объект, определяющий возможность и метод исправления квантовых ошибок.

1.2. Графы и шумы

1.2.1. Классические шумы и классические графы

Задача исправления ошибок, возникающих в при передаче информации по каналу связи, была поставлена еще Клодом Шенноном в фундаментальной работе "Математическая теория связи" [27]. Схема передачи информации по классическому каналу связи выглядит следующим образом:

1) Кодируем сообщение в виде строки из символов входного конечного алфавита X.

2) Передаем сообщение по каналу связи, получая на выходе строку из символов конечного алфавита Y.

3) Декодируем сообщение.

При идеальной передаче каждый символ алфавита х передается точно в символ алфавита у, но в реальной ситуации мы вынуждены предполагать, что появляются случайные ошибки передачи, то есть для каждого х мы получим

на выходе у с какой-то вероятностью p(ylx), тем самым мы получаем семейство распределений вероятностей {р(уlx), х Е X} на выходном алфавите Y.

Но можно надеяться, что шум не оказывает на передаваемый сигнал настолько сильного влияния, что любые два символа входного алфавита могут быть перепутаны на выходе, в таком случае можно построить такой метод кодирования информации, что мы будем передавать сообщения без какой-либо вероятности ошибки. В нашей интерпретации ошибок два символа х1 и х2 из X могут быть перепутаны на приеме, если существует у Е Y такой, что p(ylx1) = 0 и р(у 1х2) = 0. Ясно, что если мы будем кодировать различные символы сообщения буквами алфавита X, которые нельзя перепутать на приеме, то вероятность ошибки при таком методе передачи информации будет нулевой.

На основе данной интерпретации составим такой граф, вершинами объявим символы алфавита X, а ребро между двумя вершинами х1 и х2 будем ставить когда их можно спутать на приеме, в иностранной литературе такой граф называется confusability graph, видимо, хорошего русского перевода данного термина в литературе не представлено. Исходя из определения ясно, что если у такого графа есть независимое множество, то есть множество вершин ни одна из которых не соединена с другой ребром, более чем из одного элемента, то можно по данному множеству построить правило кодирования информации, обеспечивающее безошибочную передачу. Если же все множества независимости такого графа тривиальны, то безошибочная передача информации по каналу невозможна. Таким образом данный граф является характеристическим объектом для канала с шумом, отвечающим на вопрос о возможности безошибочной передачи и определяющим правило кодирования, если оно есть. Оказывается, что аналогичным объектом для квантового канала будет операторная система, которые, исходя из этого, было предложено называть некоммутативными операторными графами [6-8].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мокеев Александр Сергеевич, 2021 год

Библиография

[1] Effros E. G. Advances in quantized functional analysis // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, 1986 / American Mathematical Society. — 1986. — P. 906-916.

[2] Choi M. D., Effros E. G. Injectivity and operator spaces // Journal of functional analysis. —1977. —Vol. 24, no. 2. —P. 156-209.

[3] Tensor products of operator systems / A. Kavruk, V. I. Paulsen, I. G. Todorov, M. Tomforde // Journal of Functional Analysis. — 2011. — Vol. 261, no. 2.— P. 267-299.

[4] Hamana M. Injective envelopes of operator systems // Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. — 1979. — Vol. 15, no. 3. — P. 773-785.

[5] Davidson K., Kennedy M. The choquet boundary of an operator system // Duke Mathematical Journal.— 2015.— Vol. 164, no. 15. —P. 2989-3004.

[6] Duan R., Severini S., Winter A. Zero-error communication via quantum channels and a quantum lovasz ^-function // 2011 IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings. — 2011. — P. 64-68.

[7] Duan R., Severini S., Winter A. Zero-error communication via quantum channels, noncommutative graphs, and a quantum lovasz number // IEEE Transactions on Information Theory. — 2013.— Vol. 59, no. 2.— P. 1164-1174.

[8] Knill E., Laflamme R. Theory of quantum error-correcting codes // Physical Review A. — 1997. — Vol. 55, no. 2. — P. 900.

[9] Kraus K. General state changes in quantum theory // Annals of Physics.— 1971. —Vol. 64, no. 2. —P. 311-335.

[10] Weaver N. A "quantum" ramsey theorem for operator systems // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2017.—Vol. 145, no. 11. —P. 45954605.

[11] Weaver N. The "quantum" turan problem for operator systems // Pacific Journal of Mathematics. —2019.—Vol. 301, no. 1. —P. 335-349.

[12] Boreland G., Todorov I. G., Winter A. Sandwich theorems and capacity bounds for non-commutative graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2021. —Vol. 177.

[13] Gribling S., Li Y. The haemers bound of noncommutative graphs // IEEE Journal on Selected Areas in Information Theory. — 2020. — Vol. 1, no. 2.— P. 424-431.

[14] Список открытых проблем квантовой теории информации на сайте Технического Университета Ганновера. — Access mode: https://qig.itp. uni-hannover.de/qiproblems.

[15] Amosov G. G., Mokeev A. S. On construction of anticliques for noncommutative operator graphs // Journal of Mathematical Sciences. — 2018. — Vol. 234, no. 3. —P. 269-275.

[16] Amosov G. G., Mokeev A. S. On non-commutative operator graphs generated by covariant resolutions of identity // Quantum Information Processing. — 2018. —Vol. 17, no. 12. —P. 325.

[17] Amosov G. G., Mokeev A. S. On non-commutative operator graphs generated by reducible unitary representation of the heisenberg-weyl group // International Journal of Theoretical Physics. — 2021. — Vol. 60, no. 2. — P. 457463.

[18] Amosov G. G., Mokeev A. S. On linear structure of non-commutative operator graphs // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2019. — Vol. 40, no. 10.— P. 1440-1443.

[19] Amosov G. G., Mokeev A. S., Pechen A. N. Non-commutative graphs and quantum error correction for a two-mode quantum oscillator // Quantum Information Processing. — 2020. — Vol. 19, no. 3. — P. 95.

[20] Amosov G. G., Mokeev A. S. Non-commutative graphs in the fock space over one-particle hilbert space // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. — Vol. 41, no. 4. —P. 592-596.

[21] Amosov G. G., Mokeev A. S. On errors generated by unitary dynamics of bipartite quantum systems // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. — Vol. 41, no. 12. —P. 2310-2315.

[22] Amosov G. G., Mokeev A. S., Pechen A. N. Noncommutative graphs based on finite-infinite system couplings: Quantum error correction for a qubit coupled to a coherent field // Physical Review A. — 2021. — Vol. 103, no. 4. — P. 042407.

[23] Stinespring W. F. Positive functions on c*-algebras // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1955.— Vol. 6, no. 2.— P. 211-216.

[24] Холево А. С. Квантовые системы, каналы, информация. — МЦНМО, 2014.

[25] Choi M. D. Completely positive linear maps on complex matrices // Linear algebra and its applications. — 1975.— Vol. 10, no. 3. —P. 285-290.

[26] Kraus K. States, effects, and operations: fundamental notions of quantum theory. lectures in mathematical physics at the university of texas at austin // Lecture notes in physics. — 1983.— Vol. 190.

[27] Shannon C. E. A mathematical theory of communication // The Bell System Technical Journal. — 1948.— Vol. 27, no. 3. —P. 379-423.

[28] Arvind V., Kurur P. P., Parthasarathy K. R. Non-stabilizer quantum codes from abelian subgroups of the error group // Quantum Information and Computation. —2004. —Vol. 4, no. 6. —P. 411-436.

[29] Weaver N. Quantum graphs as quantum relations // The Journal of Geometric Analysis. —2021.

[30] Estimating quantum chromatic numbers / V. I. Paulsen, S. Severini, D. Stahlke et al. // Journal of Functional Analysis. — 2016.—Vol. 270, no. 6.— P. 21882222.

[31] Shirokov M. E., Shulman T. V. On superactivation of zero-error capacities and reversibility of a quantum channel // Communications in Mathematical Physics. —2015. —Vol. 335, no. 3. —P. 1159-1179.

[32] Yashin V. I. Properties of operator systems, corresponding to channels // Quantum Information Processing. — 2020.— Vol. 19.— P. 1-8.

[33] Beny C., Kempf A., Kribs D. W. Quantum error correction on infinite-dimensional hilbert spaces // Journal of mathematical physics. — 2009. — Vol. 50, no. 6. —P. 062108.

[34] Horodecki M., Shor P. W., Ruskai M. B. Entanglement breaking channels // Reviews in Mathematical Physics. — 2003.— Vol. 15, no. 06. —P. 629-641.

[35] Cubitt T. S., Ruskai M. B., Smith G. The structure of degradable quantum channels // Journal of Mathematical Physics. — 2008. — Vol. 49, no. 10. — P. 102104.

[36] Gurvits L. Classical deterministic complexity of edmonds' problem and quantum entanglement // Proceedings of the Thirty-Fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — STOC '03. — New York, NY, USA : Association for Computing Machinery, 2003. —P. 10-19.

[37] Haagerup U. Orthogonal maximal abelian-subalgebras of the nxn matrices and cyclic n-roots. — Citeseer, 1996.

[38] Knill E., Laflamme R., Viola L. Theory of quantum error correction for general noise // Physical Review Letters. — 2000.—Vol. 84, no. 11. —P. 2525.

[39] Teleporting an unknown quantum state via dual classical and einstein-podolsky-rosen channels / C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau et al. // Physical review letters. —1993. —Vol. 70, no. 13. —P. 1895.

[40] Gottesman D., Kitaev A., Preskill J. Encoding a qubit in an oscillator // Physical Review A. — 2001.— Vol. 64. —P. 012310.

[41] Chuang I. L., Leung D. W., Yamamoto Y. Bosonic quantum codes for amplitude damping // Physical Review A. — 1997.— Vol. 56. —P. 1114-1125.

[42] Cochrane P. T., Milburn G. J., Munro W. J. Macroscopically distinct quantumsuperposition states as a bosonic code for amplitude damping // Physical Review A. — 1999. — Vol. 59. — P. 2631-2634.

[43] Glauber R. J. Coherent and incoherent states of the radiation field // Physical Review. —1963. —Vol. 131, no. 6. —P. 2766.

[44] Sudarshan E. C. G. Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams // Physical Review Letters. — 1963. — Vol. 10, no. 7. —P. 277.

[45] Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения // Успехи физических наук. — 1977. — Vol. 123, no. 9. —P. 23-55.

[46] Gazeau J. P. Coherent states in quantum physics.—Wiley, 2009.

[47] Jaynes E. T., Cummings F. W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proceedings of the IEEE. —1963. —Vol. 51, no. 1. —P. 89-109.

[48] Braak D. Integrability of the rabi model // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 107. —P. 100401.

[49] Deep strong coupling regime of the jaynes-cummings model / J. Casanova, G. Romero, I. Lizuain et al. // Physical Review Letters. — 2010.—Vol. 105.— P. 263603.

[50] Huang J.-F., Liao J.-Q., Kuang L.-M. Ultrastrong jaynes-cummings model // Physical Review A. — 2020.— Vol. 101, no. 4. —P. 043835.

[51] Daoud M., Hussin V. General sets of coherent states and the jaynes-cummings model // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002.— Vol. 35, no. 34. —P. 7381.

[52] Gazeau J. P., Klauder J. R. Coherent states for systems with discrete and continuous spectrum // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1999. —Vol. 32, no. 1. —P. 123.

[53] Rempe G., Walther H., Klein N. Observation of quantum collapse and revival in a one-atom maser // Physical Review Letters. — 1987. — Vol. 58, no. 4. — P. 353.

[54] Ultrastrong coupling regimes of light-matter interaction / P. Forn-Diaz, L. Lamata, E. Rico et al. // Reviews of Modern Physics. — 2019. — Vol. 91, no. 2. —P. 025005.

[55] Ultrastrong coupling between light and matter / A. F. Kockum, A. Miranowicz, S. De Liberato et al. // Nature Reviews Physics. — 2019. — Vol. 1, no. 1. — P. 19-40.

[56] Irish E. K. Generalized rotating-wave approximation for arbitrarily large coupling // Physical Review Letters. — 2007.—Vol. 99, no. 17. —P. 173601.

[57] Superconducting qubit-oscillator circuit beyond the ultrastrong-coupling regime / F. Yoshihara, T. Fuse, S. Ashhab et al. // Nature Physics. — 2017. — Vol. 13, no. 1. —P. 44-47.

[58] Experimentally simulating the dynamics of quantum light and matter at deep-strong coupling / N.K. Langford, R. Sagastizabal, M. Kounalakis et al. // Nature Communications. — 2017.—Vol. 8, no. 1. —P. 1-10.

[59] Preparation of fock states by observation of quantum jumps in an ion trap / J. I. Cirac, R. Blatt, A. S. Parkins, P. Zoller // Physical Review Letters.— 1993. —Vol. 70, no. 6. —P. 762.

[60] Quantum rabi oscillation: A direct test of field quantization in a cavity / M. Brune, F. Schmidt-Kaler, A. Maali et al. // Physical Review Letters. — 1996. —Vol. 76, no. 11. —P. 1800.

[61] Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 1940. — Vol. 4, no. 3. —P. 277-318.