Обобщенные процессы Леви и связанные с ними операторы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Николаев Артем Константинович

• Николаев Артем Константинович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Николаев Артем Константинович

3.1 Случай V(х) =

3.1.1 Определение оператора Случай Ие Л ^

3.1.2 Определение оператора Случай Ие Л >

3.1.3 Вероятностное представление резольвенты оператора Н0 = — 2 А

3.2 Случай V(х) ^

3.2.1 Определение оператора Случай Ие Л ^

3.2.2 Вероятностное представление резольвенты оператора Н = — 2 А + V

4 Приложение. Основные сведения об обобщённых собственных функциях оператора Шрёдингера

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные процессы Леви и связанные с ними операторы»

Введение

В настоящей работе рассматриваются так называемые обобщённые процессы Леви. Напомним, что случайный процесс (X(t))t^0 называется процессом Леви в том случае, если выполнены условия:

1. X(0) = 0 почти наверное;

2. Независимость приращений: Для любых 0 ^ ti < t2 < ... < tn < го приращения X(t2) - X(ti),X(t3) - X(t2),...,X(tn) - X(tn-i) являются взаимно независимыми случайными величинами;

3. Стационарность приращений: Для любых t > s ^ 0 приращение X(t) - X(s) равно по распределению случайной величине X(t - s);

4. Непрерывность по вероятности: Для любых £ > 0 и t ^ 0 справедливо lim P (|X(t + h) - X(t)| > s) = 0.

k^o

Одномерные распределения процесса Леви (X (t))t^0 при всex t ^ 0 являются безгранично делимым и, соответственно, для характеристической функции случайной величины X (t) при вс ex t ^ 0 имеет место представление Леви-Хинчина

E eipX(t) = exp ^t ^iap- 1 а2р2 + / (eipy - 1 - ipyt |y|<1(y)) A(dy)

1

—i 2

R\{0}

где p E R; a E R, а ^ 0 - некоторые константы; A(dy) - мера Леви, удовлетворяющая условию

J min(y2,1) A(dy) < го. R\{o}

Обобщённые процессы Левн, которые рассматриваются нами далее, представляют из себя некоторые, вообще говоря, невероятностные обобщения стандартных процессов Леви. Они наследуют основные свойства процессов Леви, в частности, независимость и стационарность приращений, но отличаются тем, что их одномерные распределения не обязаны быть вероятностными мерами.

Ранее в литературе были рассмотрены различные подходы, позволяющие строить невероятностные аналоги процессов Леви. В частности, в [1],[2],[3] рассмотрены так называемые псевдопроцессы. В рамках соответствующей теории каждый псевдопроцесс определяется некоторым псевдодифференциальным оператором Л. Для этого для каждого натурального п и каждых фпкснрованных 0 < ¿1 < ¿2 < ... < ¿п строится мера (вообще говоря, знакопеременная или даже комплексная) которая для каждого борелевского множества I С Ип определяется как

(I) = J dxldx2...dxn К0 (0,х1) (х1, Х2)...К?п_¿п-1( хп—1, хп) ,

1 (0.1)

где через (х,х') в (0.1) обозначено фундаментальное решение эволюционного уравнения

-и

= Ли. (0.2)

По семейству мер на алгебре цилиндрических множеств ви-

да

иМ2>...,*п>/ = М^) е Со[0,то) : (^(¿1 ),ы(^2),...,^(¿п)) е I}

(здесь С0[0, то) - пространство непрерывных на отрезке [0, то) функций, для которых ¡х>(0) = 0) определяется мера Т соотношением

I) п (I).

5

Мера Т, вообще говоря, те продолжается на а-алгебру, порождённую цилиндрическими множествами, и является только конечно-аддитивной. Наиболее известным примером такой конечно-аддитивной меры является так называемая мера Фейнмана, ей соответствует ядро

ггО, /\ е *4 '{х'-х)2 /С;(х, х ) = ._е 24

В терминах теории псевдопроцессов полугруппа Pt, переводящая начальную функцию ф Е Ь2(И) в решение задачи Коши для уравнения (0.2) может быть записана как

Р^ф(х) = ф(х — ^(¿)) д(^).

Jco[0,<x>)

Отметим, что теорию псевдопроцессов следует рассматривать как некоторое формальное обобщение теории случайных процессов. Соответствующее обобщение является принципиально невероятностным, в нём отсутствует понятие вероятностного пространства, а интегрирование по этой конечно-аддитивной мере не может рассматриваться как вычисление математического ожидания. В частности, этот подход не позволяет использовать метод Монте-Карло.

Далее, в работах [4], [5], [6], [7], [8], [10] был предложен вероятностный подход, который позволяет строить невероятностные аналоги процессов Леви. Основная идея этих работ состояла в том, что в них распределение случайной величины определялось не как образ вероятностной меры, а как образ некоторой обобщённой функции. Опишем эту конструкцию подробнее. Пусть сначала £ — веще-ственнозначная случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (П, Т, Р). Отождествим вероятностную меру Р с обобщённой функцией Р, которая определена на некотором классе пробных

функций ф по формуле

(Р,ф) = /

фdP.

(0.3)

Далее, пусть £Р - образ обобщённой функции Р под действием отображения £. По определению £Р является обобщённой функцией, которая действует на пробную функцию ф по правилу

Будем называть обобщённую функцию £Р распределением случайной величины £.

Отметим, что в случае вещественнозначной случайной величины

£

меры Р под действием отображения £) и новое определение совпадают.

ф

где р = Р £—1 - распределение случайной величины £.

Теперь рассмотрим более общую ситуацию. Пусть случайная величина £ уже принимает значения не в И, а в области определения

функции Вф (для всех ф), где В - некоторый линейный оператор, за-

ф

£

как на обобщённую функцию. По определению обобщённая функция £Р действует на пробную функцию ф по правилу

Если В - тождественный оператор, то £Р есть обычное вероятност-

В

(6)

и

(£Р,ф) = Е (Вф)(£).

(7)

то £Р, вообще говоря, уже не является вероятностной мерой. Важно отметить, что определённый таким образом объект £Р - распределение случайной величины и в смысле обобщённых функций определяется

£ Р,

оператором В. В литературе в качестве оператора В использовались операторы типа свёртки, операторы чётного и нечётного продолжения, а также операторы аналитического продолжения (подробнее см. [4], [5], [6], [7], [8], [10]).

Впервые данный подход, основанный на методологии теории обобщённых функций, был использован в [4] для определения симметричного устойчивого распределения с показателем устойчивости а > 2. Именно, симметричное устойчивое распределение определялось как обобщённая функция которая действует на пробную функцию ф по правилу

(еа,ф) = Иш Е [ЛафШ, (0-4)

где Аа - оператор свёртки со специально подобранной быстро осциллирующей функцией

.а

л а, „ , а . , „

Аеф = ш£ * ф,

а £е _ случайная величина, заданная стохастическим интегралом

£е = J XV(¿х) (0.5)

|х|>е

по пуассоновской случайной мере V(¿х) с интенсивностью

/7 \ сса ¿х Е V (^х)= |Х|1+а,

где Са - некоторая константа. Если а Е (0, 2) то тогда при £ ^ 0 правая часть (0.5) имеет предел £а который является симметричной

^-устойчивой случайной величиной. При этом функция совпадает с дельта-функцией Дирака, а Qa является регулярной обобщённой функцией вида

с»

(Qa,^)=y ф(х) Pa(x) dx,

где pa(x) - плотность распределения соответствующей симметричной ^-устойчивой случайной величины. Для а > 2 обобщённая функция

Qa

ветственно, невероятностной плотностью.

В случае а е (J»= (4k, 4k+2) преобразование Фурье а-устойчивого распределения, определённого формулой (0.4), имеет такой же вид, как и в случае а е (0, 2), имени о Qa(p) = exp(-C |p|a), где C - положительная константа. В случае а е (J»= (4k — 2,4k) преобразование Фурье имеет вид Qa(p) = exp(C1 |p|a — C2p4kCi и C2 положительные константы.

Идея, предложенная в [4], получила дальнейшее развитие в [8] и

а

а>2

с

а е У (4k, 4k + 2) k=i

соответствующий аналог определялся как обобщённая функция Lt;X, которая действует па пробную функцию ф по правилу

(Lt7X, ф) = lim E (Ш * Ф)(х — Ш), (0-6)

где шг£ - специально подобранное семейство быстро осциллирующих функций, а (t) - сложный пуассоновский процесс, определённый в

виде стохастического интеграла

£

£е(£) = ^ J XV

О |х|>е

по пуассоновской случайной мере V(¿й, ¿х). Интенсивность меры V(¿й, ¿х) равна Е V(¿й, ¿х) = Схр+аК гДе Са - некоторая константа. Семейство операторов

Р£ф(х) = (£*,*, ф)

образует полугруппу, переводящую функцию ф(х) Е Ь2(И) в точное решение задачи Коши

ди

— = са Г(—а) V"и, и(0,х) = ф(х), (0.7)

где са = (—1)[а а оператор Va определён формулой

1 1 (и,., .., ^ /(2^*(х), 2,-^ ¿у

2

(Vй/ )(х) = Г7—а)У / (х — У) — Е^Т" У

Г(—а) У ^ У' ^ (2;)! у У |у|^ —1 0

Таким образом, выражение (0.6) можно интерпретировать как вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши (0.7) семейством функций

«е(*,х) = Е (^ * ф)(х — £е(*)). (0.8)

В работах [8] и [9] также была получена оценка скорости сходимости (в метрике класса Соболева ^2(И), I Е Z+) семейства функций (0.8) к соответствующему решению и(£, х).

а

Леви с параметром устойчивости а Е и 1=1 (4к — 2,4к) в [8], [9] предложена другая конструкция, отличная от (0.6). Для этого были привлечены некоторые идеи комплексного анализа, в частности, использовались комплекснозначные процессы и аппарат пространств Хар-ди. В рамках данной конструкции выражение для преобразования

Фурье соответствующего обобщённого симметричного а-устойчивого распределения имело такой же вид, как и в случае а € (0, 2), именно, (р) = exp(—С£|р|а), где С - положительная константа. В диссертации получены результаты, аналогичные результатам [8], [9], но для значений а = 2т + 1, т € N. С луча й т = 0 соответствует процессу Коши, при остальных значениях индекса т процесс Коши понимается только в обобщённом смысле.

Напомним, что процессом Коши (£(£))^о называется симметричный а-устойчивый процесс Леви (с параметром устойчивости а = 1) такой, что при всех £> й приращение £(£) — £(й) имеет распределение Коши С(0,£ — й). Траектории процесса Коши являются чисто скачкообразными, а соответствующие ему моменты ^(£) = Е (£(£))•? бесконечны при всех £ > 0 и ] € N. Известно, что решение задачи Коши

ди

— = А0и, и(0,х) = ф(х), (0.9)

где оператор А0 определён формулой

/ л гч / ч [ /(х + у) — /(х) 7 (Ао/)(х) = у.р. / ^-% м ; ¿у,

«/ У

к

а начальная функция ф(х) принадлежит классу Ь2(К), допускает вероятностное представление в виде

и(£,ж) = Е ф(х + £(£)). (0.10)

В настоящей работе мы получим аналогичное вероятностное представление для решения задачи Коши

ди

— = (—1)тАти, и(0,х) = ф(х), (0.11)

где т Е N а оператор Ат определён выражением

/(2,) (х)у2^ \ ¿у

(Ат/)(х) = у.р. | /(х + у) — /(х) — £ / ^

у2т+2 '

Отметим, что получить в точности вероятностное представление вида (0.10) для решения данной задачи Коши невозможно, так как фундаментальное решение соответствующего уравнения не будет вероятностной плотностью.

В первой главе диссертации строится вероятностная аппроксимация решения задачи Коши (0.11) семейством функций ие(£, •) = Р^ ф, где для всех £ > 0 оператор Р^ определяется в виде математического ожидания некоторого функционала от пуассоновского случайного поля, он действует в Ь2(И) и по перемен ной £ задаёт операторную полугруппу. Случаи чётных т = 2к и нечётных т = 2к — 1 рассматриваются отдельно. Случай нечётных т = 2к — 1 является более сложным, при построении полугруппы Ре используются комплексно-значные процессы, а также аппарат пространств Харди.

Отметим, что для обобщённого процесса Коши ядро задается

как

К°(х, х') = ф(|х' — х|),

где функция д определяется как обратное преобразование Фурье функции = е—'Ст1\р\'2т+\ В случае т = 0 фупкция д есть плотность одномерного распределения стандартного процесса Коши.

Также в главе 1 нами доказываются предельные теоремы о сходимости математических ожиданий функционалов от сумм независимых случайных величин к обобщённым распределениям Коши.

Другой целью диссертации является построение аналога локального времени для процесса комплексного броуновского движения а •

w(t),t ^ 0, где а - комплексное число, удовлетворяющее условиям

п

0 < arg а ^ — и |а| = 1.

Локальным временем винеровского процесса w(t), т ^ 0 в точке x G R к моменту времени t ^ 0 называется производная Радона-Никодима

1(t,x) = ^ (t,x), (0.12)

dm

где m - мера Лебега, заданная на борелевских подмножествах вещественной прямой R, а ß - случайная мера, которая при всех t ^ 0 определена на борелевских подмножествах A G B(R) формулой

ß(t, A) = m {т : w(t) G A, 0 < т < t}.

Мера ß(t, A) отвечает времени пребывания процесса w(t) в множестве At

стью 1 существует при всех t > 0 и x G R (подробнее см. [13], с. 21). Локальное время характеризует долю времени, которое процесс w(t)

xt Следующим шагом получим формальное выражение для локального времени 1(t,x). Согласно теореме о замене меры, для любой измеримой интегрируемой функции f справедливо соотношение

t

I f (w(t)) dT = J f (y) ß(t,dy). (0.13)

0 R

С учётом (0.12), соотношение (0.13) может быть переписано в виде

t

I f (w(t)) dT = J f (y) 1(t,y) dy. (0.14)

0R

Далее, положим в (0.14) f = ö (x — •), где ö - дельта-функция Дирака. Тогда, окончательно, получим выражение для локального времени

t

/(¿,ж) = У ö(x — w(т)) dT. (0.15)

о

Используя анализ Фурье, формуле (0.15) можно придать строгий математический смысл (используемый подход изложен в статье С.М. Бермана [12]). Именно, в классе обобщённых функций справедливо тождество

с» м

ö(x — y) = — i eip (y—x) dp =— lim i eip (y—x) dp. (0.16) 2n j 2п мj

—» —м

С учетом (0.16), выражение (0.15) может быть переписано в виде

t с»

^/(¿/e,pWTdp)dT

о —с

M t

= (L2) lim -1 i e-1ipx i eipw(T} dTdp. (0.17) м2n J j

—м о

Предел в правой части (0.17) берётся в метрике пространства L2(^ х R, P х m) (здесь (П, F, P) - вероятностное пространство, на котором задан винеровский процесс w(t), m - мера Лебега).

С помощью броуновского локального времени может быть построено вероятностное представление решения уравнения теплопроводности

dt u(t,x) — 1 u(t,x) = f (x), u(0, x) = 0, f (x) G L2(R), (0.18)

именно,

u(t, x) = E (f * l)(t, x), (0.19)

где (I*/)(£, х) - стандартная свёртка функций / и /(£, •), определённая формулой

(/ * 0(£,х) = / /(х - у) /(¿,у) ¿у. и

Действительно,

Е (I * /)(£,х) = Е I I(х - у)/(¿,у) ¿у

и

г

= Е I I(х - у) ММу) = Е I I(х - Цт)) ¿т и 0

г

= J "и(т, х) ¿т, (0.20) 0

где -и(т, х) = Е /(х - и>(т)) - решение уравнения

дт^(т,х) = ^^(т,х), ^(0,х) = /(х). (0.21)

Окончательно, если подставить нижнюю строку (0.20) в (0.18), то, учитывая (0.21), получим справедливость данного утверждения.

Из (0.19), в частности, вытекает, что для решения и(х) дифференциального уравнения

-2и''(х) = I(х), I е ¿2(Н)

f

жит области значений оператора — 2 d^), справедливо вероятностное представление

u(x) = (L2) lim E (f * l) (t, x). (0.22)

t—

В главе 2 диссертации нами определён аналог локального времени m = m(t,x), (t,x) G [0, то) x R для процесса комплексного броунов-

ского движения а • w(t), т ^ 0, где а - комплексное число, удовлетворяющее условиям

0 < Arg а < п/4, |а| = 1.

Данный аналог определён в виде специальной регуляризации интеграла (0.17) (с комплексным процессом а• w(t), Im а = 0 в правой части). Соответствующая регуляризация подобрана таким образом, что при t > 0

t

E m(t, x) = (L2) lim E ÖM(x — аш(т)) dT, (0.23)

M-^oo /

где Öm(x) = 1 sin(XMx) - ядро Дирихле. Такой выбор регуляризации

позволил обобщить представление (0.19) на случай уравнения 2

dt u(t,x) — u(t,x) = f (x), u(0, x) = 0, f G L2(R). (0.24)

Именно, показано, что для решения уравнения (0.24) справедливо вероятностное представление

u(t,x) = E (f * m)(t,x). (0.25)

Как следствие, из соотношения (0.25) вытекает вероятностное представление для решения u(x) дифференциального уравнения (для f принадлежащих области значений оператора — у ^д)

а2

— у u''(x) = f (x), f (x) G L2(R),

вида

u(x) = (L2) lim E (f * m) (t, x).

Также в главе 2 показывается, что случайная функция m(t, x) наследует некоторые другие свойства броуновского локального времени.

Ещё одной целью диссертации является построение и исследование свойств семейства случайных линейных операторов RA : L2(R2) ^ L2(R2), дающих вероятностное представление резольвенты двумерного оператора Шрёдингера

(Hf)(x) = — 2 (А f )(x) + V(x) f (x),

потенциал V(x) которого является неотрицательной и ограниченной непрерывной функцией, степенным образом убывающей на бесконечности

V(x) = O (||x||—'а), а > 2. (0.26)

Мы предполагаем, что оператор H определён на классе Соболева Dom (H) = W|(R2). На своей области определения оператор Шрёдингера является самосопряжённым и положительно определённым оператором, а его спектр является абсолютно непрерывным и заполняет положительную полуось [0, с).

Известно, что резольвента ЯА = (H — Л/) —1 оператора H допускает представление в виде преобразования Лапласа по т полугруппы операторов Pт = e—тН, т ^ 0. Именно, в случае Re Л < 0 справедливо соотношение

с»

(H — Л /)—1 f (x) = у eAT [e—тH f (x)] dT. (0.27)

о

С другой стороны, для операторной полугруппы Pт = e—тH, т ^ 0 имеет место вероятностное представление (формула Фейнмана-Каца)

(ртf)(x) = E f (wx(т)) e— V(w*(s))(0.28)

где через Wx^) обозначен случайный процесс w^) = x — w^), а w(т) = (w^)•W2(т)), т ^ 0 — стандартный двумерный винеровский процесс.

С учётом (0.28) и (0.27), окончательно, для всех / Е Ь2(И2) П Сь(К2) получим

с»

»-1

(Н- Л/)-1 /(х) = Е

еЛт /(™*(т)) е-/0 ^К(в))^ ¿г

(0.29)

Таким образом, на функциях класса Ь2(И2) П СЬ(И2) резольвента оператора Н допускает представление в виде потраекторного усреднения случайного оператора

00

ал : / у еЛт /(шДт)) е- ^ ^ ¿т. (0.30)

о

Заметим, что траектория двумерного винеровского процесса заметает на плоскости множество нулевой лебеговой меры и, значит, оператор ал не может быть продолжен до непрерывного оператора в Ь2 (И2).

В главе 3 диссертации построено другое семейство случайных операторов П{, усреднение которого также даёт вероятностное представление резольвенты оператора Н, но, в отличие от (0.30), операторы этого семейства с вероятностью единица допускают продолжение до ограниченных интегральных операторов в Ь2(И2). В параграфе 3.1 рассматривается случай V(х) = 0. В параграфе 3.2 рассматривается общий случай. В главе 4 (приложение) приводятся необходимые сведения из математической теории рассеяния.

Цели и задачи диссертационной работы:

1. Построение обобщённых процессов Коши, соответствующих показателю устойчивости 2т + 1, т Е N а также построение на их основе вероятностной аппроксимации решения задачи Коши для эволюционного уравнения, в правой части которого стоит оператор свёртки

с обобщённой функцией |ж|-2т-2. Получение оценки скорости сходимости построенной аппроксимации к точному решению задачи Коши.

2. Доказательство предельных теорем о сходимости распределений функционалов от сумм независимых одинаково распределённых случайных величин к обобщённому распределению Коши.

3. Построение аналога локального времени для процесса комплексного броуновского движения.

4. Построение и исследование свойств семейства случайных линейных операторов, дающих вероятностное представление резольвенты двумерного оператора Шрёдингера.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построены невероятностные аналоги процесса Коши. На их основе получена вероятностная аппроксимация решения задачи Коши для эволюционного уравнения

= (—1)mAmu, u(0,x) = p(x), m e N, (0.31)

dt

du

Ж

где оператор Am определён формулой

m(

(2j)! )y

(Amf)(x) = v.p. J (V(x + y) — фИ — jj Ф ) ^^mr^.

R j=1

2. Доказаны предельные теоремы о сходимости функционалов от сумм независимых одинаково распределённых случайных величин к невероятностным аналогам распределения Коши.

3. Построен аналог локального времени для процесса комплексного броуновского движения aw^),т ^ 0, где w^) - стандартный винеровский процесс, aa - комплексное число, удовлетворяющее условиям

п

0 < arg a ^ — и |a| = 1. 19

4. Построено семейство случайных линейных операторов ЯЛ : ^2(И2) ^

Ь2(И2), дающих вероятностное представление резольвенты двумерного оператора Шрёдингера

(Н/)(х) = -2 (А /)(х) + V(х) /(х),

потенциал V(х) которого является неотрицательной и ограниченной непрерывной функцией, степенным образом убывающей на бесконечности

V(х) = О (||х||-а), а > 2. (0.32)

Показано, что с вероятностью единица операторы этого семейства являются ограниченными интегральными операторами в Ь2(И2), а также исследованы свойства их ядер.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях теории вероятностей, в частности, в исследовании случайных процессов.

Методы исследования.

В диссертации используются различные методы современной теории вероятностей, в частности, метод представления процессов Леви в виде стохастических интегралов по пуассоновской случайной мере. Также используются методы Фурье-анализа и математической теории рассеяния.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Санкт-Петербургской зимней молодежной конференции по теории вероятностей и математической физике (Санкт-Петербург, 2019, 2021, 2022 г.);

• Международной конференции International Conference on Stochastic Methods (ICSM) (Дивноморское, 2021, 2022, 2023 г.);

• Первой конференции международных математических центров мирового уровня (Сочи, 9-13 августа, 2021 г.);

• Конференции "New Trends in Mathematical Stochastics"(Санкт-Петербург, 30 августа-3 сентября, 2021 г.);

• Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Крым, 17-29 сентября 2021 г.);

• Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ПОМП (Санкт-Петербург, май 2022 г.);

• Международной конференции "Branching Processes, Random Walks and Probability on Discrete Structures"(Москва, 21-24 июня, 2022 г.).

Личный вклад.

Результаты второй и третьей глав диссертации получены автором самостоятельно (опубликованы в [20], [21], [22]). Результаты первой главы диссертации получены совместно с М.В. Платоновой (опубликованы в [18], [19]), в этих работах основной вклад принадлежит соискателю, его соавтору М.В.Платоновой принадлежит постановка задачи и ряд идей по упрощению доказательства.

Публикации.

Основные результаты диссертации содержатся в пяти статьях [18, 19, 20, 21, 22], опубликованных в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Содержание диссертации.

В первой главе диссертации строится вероятностная аппроксимация решения задачи Коши

— = (-1)тАтм, и(0,х) = ф(х), т е N, (0.33)

где ф(х) е Ь2(И), а оператор Ат на функциях класса определён формулой

(А» I)(х) = ^р. / (/(х + у) - /(х) - ± ^Р) .

И 3=

Сначала в параграфе 1.1 рассматривается случай чётных т (т = 2к). При всех £ > 0 на функциях класса Ь2(И) определяется операторная полугруппа

[р ф](х) = Е[(ф * Ь£)(х + &(*))], (0.34)

где функция ^(х) определена своим преобразованием Фурье

"е'

^ /Г 2к

Й£(Й = ехр^г J ^

(-1)3 + 1р23у23 ¿у

(2;)! '

а (г) - сложный пуассоновский процесс, заданный в виде стохастического интеграла

г

(г) = ^ J х^

0 |ж|>£

по пуассоповской случайной мере Vс интенсивностю

Ev (ай, ах) =

|х|2т+2' 22

Показывается, что операторы этого семейства являются псевдодифференциальными операторами в Р2(К).

Далее, показывается, что при всех Ь ^ 0 и ф е ^2+4к+2(К) семейство функций ме (Ь, •) = Р^ ф при £ ^ 0 сходится в метрике пространства Соболева ^2(И), I е Z+ к точному решению задачи Коши и(Ь, •) = егА2к ф и оценивается скорость сходимости. Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 0.1. Пусть I е Z+; к е N. Тогда существует, константа С > 0 такая, что для любой функции ф е Ж21+4к+2(К) и всех Ь ^ 0 выполнено неравенство

||п£(Ь, •) - и(Ь, ^Ц^ ^ СЬеУфУ^«+4к+2.

Далее, во второй части параграфа 1.1 строится аналогичное вероятностное представление исходной задачи Коши, но уже в виде аппроксимации решения математическими ожиданиями функционалов от случайных блужданий. Именно, при всех п е N определяется случайный процесс

Ш= п-^ £ 0, (0-35)

¿=1

где }°=1 - последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих общее симметричное распределение. Предполагается, что соответствующее распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, а его плотность д(ж) при | х| ^ то имеет асимптотику специального вида. Процесс п(Ь) _ стандартный (Е^(Ь) = Ь) пуассоновский процесс, не зависящий от последовательности {^ }^=1-

Далее, по процессу (П(Ь) определяется операторная полугруппа Рп

г

и1

действие которой на функции ф(х) е Р2(И) определено формулой

р ф](х) = Е[(ф * гП )(х + Сп(г))], (0.36)

где функция гП (х) определяется своим преобразованием Фурье

?n(p) = exp( - nt £ (-1)j ^П-)2J) (0.37)

j=1

здесь = E ^ - момент порядка 2j случайной величины £1).

Далее, вводится обозначение un(t,x) = [РП ф](х)-

Основной результат второй половины параграфа 1.1 сформулирован в виде следующего утверждения.

Теорема 0.2. Пусть l £ Z+ k £ N. Тогда существует, константа C > 0 такая, что для любой функции ф £ W21+4k+2(R) и всех t ^ 0 выполнено неравенство

||un(t •) - u(t, •) ||W2(R) < Ctn-3k+T УфУ^2+4к+2(К)-

Далее, в параграфе 1.2 рассматривается случай m = 2k — 1, k £ N, который является более сложным. Здесь мы уже не можем определить полугруппу P^ так, как это было сделано ранее, потому что символ соответствующего ей псевдодифференциального оператора будет иметь экспоненциальный рост. Чтобы справиться с этой проблемой привлечены некоторые идеи комплексного анализа, в частности, комплексно-значные процессы и аппарат пространств Харди. Основной результат параграфа 1.2 сформулирован в виде теорем 1.9 и 1.12.

Во второй главе диссертации определяется аналог локального времени для процесса комплексного броуновского движениям w(t), т ^ 0, где а - комплексное число, удовлетворяющее условиям

п

0 < arg а ^ — и |а| = 1. 24

Сначала в параграфе 2.1 даётся определение соответствующего аналога т = т(£,х), (£,х) € [0,Т] х Ив виде интеграла

ь

т(£,х) = / Л(£,т, х — аи>(т)) ¿т

^ [ Н(£,р) е—гр(х—)) (0.38)

0

Показывается, что интеграл (0.38) с вероятностью 1 сходится при всех £ ^ 0 и х € И.

В этом же параграфе показывается, что случайная функцият(£, х) наследует некоторые свойства броуновского локального времени такие, как:

1. Функция т(£, х) то перемен ной х с вероятное тью 1 является гёльдеровской функцией с показателем а € (0,1) (здесь следует отметить, что для броуновского локального времени соответствующий показатель лежит в интервале а € (0, 2)).

2. При всех £ > 0и а € [0, |) функц ия т(£, •) принадлежит классу Соболева Ж2а(К).

3. При всех / € Ь2(И) справедливо соотношение

ь

I (Л * /)(£,т,аЦт)) ¿т = 1 /(у)т(£,у) ¿у (0.39)

о и

(здесь (Л * /)(£, т, •) - стандартная свёртка функций Л(£, т, •) и / соответственно).

Соответствующий результат сформулирован в виде теоремы 2.2.

Далее, в параграфе 2.2 обобщается другой результат, известный для броуновского локального времени, именно, показывается, что для

ь

решения u(x) дифференциального уравнения

2

- у u''(x) = f (x), f (x) G L2(R),

в случае, когда f принадлежит области значений оператора — ^тdxb справедливо вероятностное представление u(x) = lim E f * m (t,x). Этот результат сформулирован в виде теоремы 2.5.

В третьей главе диссертации определяется и исследуются свойства семейства случайных линейных операторовR : L2(R2) ^ L2(R2). дающих вероятностное представление резольвенты Яд двумерного оператора Шрёдингера H = — | А + V(x).

Сначала в параграфе 3.1 рассматривается случай V(x) = 0. В первой половине данного параграфа исследуется случай Re Л ^ 0, приводится явное выражение для соответствующего семейства операторов

t

-Ar

(RA f)(x) = J e

0 S1

-П / f (x — Мт)У • 0) dS(0)

dT, (0.40)

где || • || - стандартная евклидова норма в пространстве И2, а ¿Б(0) _ длина элемента дуги единичной окружности Б1. Показывается, что операторы этого семейства допускают продолжение до ограниченных интегральных операторов в Ь2(И2) (теорема 3.1).

Далее, во второй половине параграфа 3.1 вводится определение семейства операторов : Ь2(И2) ^ Ь2(И2) для случая Re Л > 0, показывается, что операторы этого семейства также допускают продолжение до ограниченных интегральных операторов вЬ2(И2) (теорема 3.3). В конце параграфа 3.1 доказывается теорема о вероятностном представлении резольвенты двумерного оператора Шрёдингера с нулевым потенциалом (теорема 3.5).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Николаев Артем Константинович, 2025 год

Литература

[1] Lachal A., First hitting time and place, monopoles and multipoles for pseudo-processes driven by the equation Jt = ±д^ж- _ Electronic Journal of Probability, 2007, vol. 12, p. 300-353.

[2] Lachal A., First hitting time and place for the pseudo-processes driven by the equation Jt = ±^Щт subject to a linear drift. — Stochastic Processes and their Application, 2008, vol. 118, p. 1-27.

[3] Lachal A., A survey on the pseudo-process driven by the high order heat-type equation Jt = ±д^ж concerning the first hitting times and sojourn times. — Methodology and Computing in Applied Probability, 2014, vol. 14, p. 549-566.

[4] H. В. Смородина, M. M. Фаддеев, Представление Леей-Хинчина одного класса знакопеременных устойчивых мер. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2008, том 361, с. 145-166.

[5] Н. В. Смородина, М. М. Фаддеев, Теоремы о сходимости распределений стохастических интегралов к знакопеременным мерам и локальные предельные теоремы для больших уклонений. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2009, том 368, с. 201-228.

[6] И. А. Ибрагимов, Н. В. Смородина, М. М. Фаддеев, Вероятностная аппроксимация решений задачи Коши для некоторых эволю-

ционных уравнений. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2011, том 396, с. 111-143.

[7] И. А. Ибрагимов, И. В. Смородина, M. М. Фаддеев, Вероятностный подход к построению решений одномерных начально-краевых задач. — Теория вероятн. и ее примен., 2013, том 58, с. 255-281.

[8] М. В. Платонова, Симметричные а-устойчивые распределения, с нецелым а > 2 и связанные с ними стохастические процессы. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2015, том 442, с. 101-117.

[9] М. В. Платонова, Аппрокси,м,а,ци,я, решения, задачи Коти для эволюционных уравнений с оператором Римана-Лиувилля математическими ожиданиями функционалов от стохастических процессов. — Диссертация, 2017, с. 1-132.

[10] П. Н. Иевлев, Вероятностное представление решения, задачи Ко-ши для многомерного уравнения Шрёдингера. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2017, том 466, с. 145-158.

[11] P. Levy, Sur certains processus stochastiques homogenes. — Compositio Math., 1939, vol.7, p. 283-339.

[12] S. M. Berman, Local times and sample function properties of stationary Gaussian process. — Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 137, p. 277-299.

[13] A. H. Бородин, И. А. Ибрагимов, Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий. — Тр. МИАН СССР, 1994, том 195, с. 3-285.

[14] И. А. Ибрагимов, И. В. Смородина, M. М. Фаддеев, Об одном семействе комплексных стохастических процессов. — Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 2021, том 501, с. 38-41.

[15] И. А. Ибрагимов, Н. В. Смородина, M. М. Фаддеев, Резольвентные стохастические процессы. — Алгебра и анализ, 2023, том 35, с. 192-203.

[16] И. А. Ибрагимов, Н. В. Смородина, M. М. Фаддеев, О свойствах одного класса случайных операторов. — Зап. научи, сем. ПОМИ,

2022, том 510, с. 143-164.

[17] И. А. Ибрагимов, Н. В. Смородина, M. М. Фаддеев, Об одном семействе случайных операторов. — Теория вероятн. и ее примен.,

2023, том 68, с. 544-564.

[18] А. К. Николаев, М. В. Платонова, Невероятностные аналоги процесса Коши. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2018, том 474, с. 183-194.

[19] А. К. Николаев, М. В. Платонова, Предельные теоремы о сходимости к обобщённым процессам, типа Коши. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2019, том 486, с. 214-228.

[20] А. К. Николаев, Аналог локального времени для комплекснознач-ного винеровского процесса. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2021, том 505, с. 172-184.

[21] А. К. Николаев, О вероятностном представлении резольвенты двумерного оператора Лапласа. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2022, том 510, с. 189-200.

[22] А. К. Николаев, О вероятностном представлении резольвенты двумерного оператора Шрёдингера. — Зап. научн. сем. ПОМИ, 2023, том 526, с. 140-158.

[23] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщённые функции и действия над ними. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

[24] Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы,. Общая, теория.

— М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

[25] Т. Като, Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

[26] Дж. Кингман, Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007.

[27] Д. К. Фаддеев, Б. 3. Вулих, Н. Н. Уральцева, Избранные главы, анализа и высшей алгебры. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.

[28] Бейтмен Г., Эрдейи А., Функции Бесселя, функции, параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд. — М.: Наука, 1974.

[29] J. Ponce de Leon, Revisiting the ortogonality of Bessel functions of the first kind on an infinite interval. — European Journal of Physics, 2014, vol. 36, p. 1-12.

[30] D. R. Yafaev, Mathematical Scattering Theory. Analytic Theory.

— American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs, 2010, vol. 158, p. 1-444.

[31] Г. Ватсон, Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.

[32] M. С. Агранович, Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. - М.: МЦНМО, 2013.

[33] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Издательство Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976.

[34] Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

[35] А. Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004.

[36] Т. Ikebe, Eigenfunction expansions associated with the Schroedinger operators and their applications to scattering theory. — Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1960, vol. 5, p. 1-34.

[37] M. Ш. Бирман, M. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.^ Л.: Изд по Ленингр. ун-та, 1980.

[38] А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. — М.: Изд-во Физико-математической литературы, 1977.