Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Завьялов, Максим Николаевич

• Завьялов, Максим Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Завьялов, Максим Николаевич

Введение

Глава 1. Решение обратной задачи для однородной системы ОЛДУ

§1. Прямая задача.

§ 2. Обратная задача.

Глава 2. Решение обратной задачи для неоднородной системы ОЛДУ

Глава 3. Оператор Прони и его приложения

§ 1. Локально выпуклое пространство [1, Н(0))п.

§2. Выпуклые функции.

§ 3. Оператор Прони для однородных систем ОЛДУ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения»

Актуальность темы. Одной из популярных задач комплексного анализа является проблема аналитического продолжения функций. Отчасти это связано с тем, что на практике динамика показателей многих процессов допускает математическое описание с помощью аналитических функций, причём входная информация задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов временной сетки.

Важным случаем этой проблемы является задача экстраполяции функции или системы функций, являющихся квазиполиномами, по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

Определение 1. Квазиполиномом называется конечная сумма г=1 экспонент с полиномиальными коэффициентами. Здесь показатели экспонент и коэффициенты полиномов - комплексные числа.

Определение 2. Порядком квазиполинома /(¿) назовем число п огсЦ/) := п +

1=1

Такое название объясняется тем, что квазиполином /(£) является решением обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами конечного порядка m = ord{f).

Первый способ восстановления квазиполинома по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки восходит к Прони (Gasparo Riche, baron de Prony, [1] (1795)). Прони указал сам алгоритм восстановления, но вопрос о корректности этого алгоритма остался открытым.

Вкратце опишем основную идею алгоритма Прони. Как известно, функция f(t) = eat является собственной функцией оператора дифференцирования £>= -¡h с собственным значением а. Но она же является собственной функцией и оператора сдвига [£/](£) = f(t -f 1) с собственным значением еа. Поэтому f(t) = eat есть решение некоторого разностного уравнения, которое можно восстановить, зная лишь значения функции в конечном наборе равноотстоящих друг от друга моментах времени. Решая это разностное уравнение, восстанавливаем функцию.

В настоящее время известно несколько модификаций алгоритма . Прони - их обзор приведён в [2, гл. 11], [3, гл. 2] и [4, гл. 2]. В частности, вопрос о корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) для решений ОЛДУ конечного порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами исследовал Маергойз Л.С. [3, гл. 2] (1991).

Модификацию алгоритма Прони для восстановления вектор-функции из экспоненциально-гармонических сумм с неизвестными постоянными вещественными коэффициентами по её значениям в конечном числе узлов равномерной сетки исследовали Голубков В.В., Щербов С.Я. [5] (1980).

В общем случае, проблеме аналитического продолжения посвящено много исследований, см., например, Лаврентьев М.М [6] (1962), Анико-нов Ю.Е., Узаков М.М. [7] (1985), Бухгейм А.Л. [8] (1993).

Алгоритм Прони имеет важное прикладное значение, в связи с тем, что математическое описание многих динамических процессов, встречающихся в природе, инженерной практике и т.д., часто осуществляется (хотя бы в первом приближении) с помощью системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с неизвестными постоянными коэффициентами. При этом известными являются значения решения этой системы в конечном числе узлов равномерной временной сетки. С математической точки зрения эта задача эквивалентна задаче экстраполяции системы квазиполиномов, являющихся решением одного ОЛДУ конечного порядка. Например, в биофизике и медицине это исследование релаксационных характеристик гомеостатических процессов, (см. [9], [10]). В инженерной практике он применяется в радиосвязи (см. [2]).

Диссертация посвящена пограничным вопросам комплексного анализа и теории обычных линейных дифференциальных уравнений.

Методика исследований. В диссертации применяются методы математического анализа, комплексного анализа (теория целых функций), функционального анализа, теории матриц, теории дифференциальных уравнений, и др.

Целью диссертации является:

1. Исследование условий, при которых корректно определён (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) алгоритм Прони восстановления вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной или неоднородной системы ОЛДУ первого порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по её значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

2. Построение обобщенного алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки с помощью вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной системы ОЛДУ. Исследование корректности этого алгоритма.

Основные результаты диссертации следующие:

1. Дан алгоритм экстраполяции с конечного множества вектор-функции из квазиполиномов, являющейся решением однородной системы ОЛДУ с неизвестными постоянными коэффициентами, и удовлетворяющей определённым ограничениям. Исследованы условия при которых этот алгоритм корректно поставлен (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных).

2. Приведено решение (с указанием условий существования и единственности) подобной задачи для неоднородной системы ОЛДУ первого порядка, правая часть которой - вектор-функция из квазиполиномов.

3. Предложена модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки с помощью вектор-функций, упомянутых в первом пункте.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]-[26].

По материалам диссертации делались доклады:

- на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений " (Минск, 2001);

- на международной молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001);

- на международной конференции "Некорректные и обратные задачи" (Новосибирск, 2002),

- на научном семинаре "Обратные задачи" в ИМ СО РАН (Новосибирск, 2003),

- на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2000-2003).

Краткое содержание диссертации.

В первой главе исследуется вопрос о возможности экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по её значениям на конечном множестве, являющегося равномерной сеткой. Здесь под кратностью экспоненты понимается степень полиномиального коэффициента при ней, увеличенная на единицу, т.е. 1 + йед^Р^)) (см. определение 1).

В случае, когда мощность набора экспонент равна размерности вектор-функции, эта задача эквивалентна нахождению решения однородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными неизвестными комплексными коэффициентами по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

Сформулируем точную постановку задачи в эквивалентном варианте. Пусть дана однородная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными комплексными коэффициентами: -4У(0, г е к,

1) где глМ ^

У(<) =

- неизвестная вектор-функция, Уп(Ь)

А = (а¿7) - неизвестная матрица размерности п х тг с постоянными комплексными коэффициентами.

Рассмотрим равномерную сетку на вещественной оси с заданным шагом времени й > 0. Значения решения системы (1) в узлах этой сетки назовём моментами:

Ук = У(Ь)=Ск, ^ = ¿0 + ^, к = 0,1,2,. где N ^ п. (2)

Начальное значение ¿о далее считаем равным 0, что не мешает общности рассуждений.

Ставится задача нахождения решения системы (1) с неизвестной матрицей А при условиях (2).

В §1 исследуется прямая задача для системы (1). В §2 приводится решение обратной задачи для этой системы. В итоге получены следующие условия существования и единственности для решения обратной задачи:

Теорема 1.9. Пусть дана система вида (1) с неизвестной матрицей А, собственные числа которой принадлежат полосе

Пусть также известны невырожденные краевые условия вида (2), где невырожденность означает, что у матрицы моментов Ум '= (Со, Си. , Сх) ранг равен п.

П(сО = {г в С : |1ш г\ < тг/^}.

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) существует единственная вектор-функция являющаяся решением системы (1) и удовлетворяющая краевым условиям (2),

2) для моментов Со, С\,. , Сдг существует единственный вектор р = (РъР2»••• ,Рп) такой, что

Ск+п +Р1Ск+п-1 + • • • +рпСк = 0, У к = 0,1,. , N - п, причём корни ассоциированного с вектором р многочлена

Tn(z) = zn+p1zn~i + .+p лежат в С \ (—оо, 0].

В этом случае решение имеет вид

Y(t) = G шN Ш

М) где ait

3)

Ф,СО = eaii, Mt) = Y\eaii, • • •,iM*) = (^-=1)!^ ' i{;ri+1(t) = ea2i, . , VnW = ^Vi)!^ai,. , a/ - различные собственные значения матрицы А. • , г/ - кратности соответствующих собственных значений матрицы А, при этом 7*1 + . • + ri = п, причём

In qi ai = —

Здесь берётся главное значение логарифма, {qi}[ - корни многочлена Tn(z) (см. (3)), и кратность аг- равна кратности qi.

Матрица С? определяется по формуле в = £>Р"\ где

1(0) . ф^пп(0) . фп((п-щ)

В = (Со, Сх,. , Спх)

- п х п-матрица, столбцами которой являются первые п моментов. Матрица А системы (1) равна

А = вЬв-1, где

Ь = и

- матрица пх п, составленная из блоков ; вида

Ьц= а» 1

1 а* ^ / причём размер Ь{ равен гг- х гг- (на незаполненных местах стоят нули).

Во второй главе дано решение обратной задачи для неоднородной системы ОЛДУ, правая часть которой - вектор-функция из квазиполиномов, и приводятся условия существования и единственности этого решения. Эта задача эквивалентна задаче экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по её значениям на конечном множестве, являющегося равномерной сеткой, в том случае, когда мощность набора экспонент больше размерности вектор-функции.

Сформулируем точную постановку задачи:

Пусть дана неоднородная система ОЛДУ п-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами: а dt

Y(t) = AY(t) + AF(t), teR,

4) где

2/1W

Y(t) =

Vn(t)

- неизвестная вектор-функция,

F(t) = fi(t) ^ nW вектор-функция из квазиполиномов /г-(£),

А - диагональная матрица размерности пхп, причём стоящие на главной диагонали коэффиценты {Aj}™ считаются неизвестными.

Рассмотрим значения решения системы (4) в узлах равномерной временной сетки (моменты):

Ck = Y(tk), tk = t0 + kd, к = 0,l,.,iV, N ^ п(т + 1), (5) где т - максимальный порядок квазиполиномов fi(t), являющихся координатными функциями в F(t).

Ставится задача нахождения решения Y(t) системы (4) с неизвестными матрицами А и А, для которого выполняются заданные краевые условия (5). Считаем, что to = 0.

Идея решения здесь заключается в следующем - преобразовать неоднородную систему так, чтобы получилась однородная система ОЛДУ. Для этого используются дифференциальные операторы специального вида, которые и преобразуют систему (4) однородному виду. Далее для новой системы применяются результаты из главы 1. Пусть щ

Mt) = Ylpv№ßijt, ¿ = i,.,n, j=1 где Pij(t) ~ полиномы с комплексными коэффициентами, а через щ обозначено количество экспонент в квазиполиноме fi(t). Приведём некоторые обозначения: hj := 1 + deg(Pij(t)), гщ := ord(/i(i)), m := max{m;}. l^n

Здесь 1 ^ i ^ n, 1 ^ j ^ щ.

Теорема 2.4. Пусть дана система вида (4) с неизвестными матрицами А и к, и известной вектор-функцией F(t), состоящей из квазиполиномов. Пусть при этом известно, что все собственные числа матрицы А принадлежат полосе

11(d) = {z G С : |Im z\ < тг/d}, и не равны показателям экспонент координатных функций вектор-функции F{t). Также пусть даны невырожденные краевые условия вида (5).

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) существует единственная вектор-функция являющаяся решением системы (4), и удовлетворяющая краевым условиям (5),

2) существует единственный вектор р = (рь. ,рп(т+1)) такой, что выполняется соотношение

Сп(т+1)+к + Р\Сп(т+1)+к-1 + • • • +Рп(т+1)Ск = О, к = 0,1,. ,N — п(т + 1), причём уравнение

Тп{т+ф) = +р1*»<'п+1>-1 + . +рп{т+1) = О имеет своими корнями числа кратностей к^, г = 1,. , п, у = 1,. , щ, и число 1 кратности пт — т\ —. — тп, а оставшиеся корни лежат в С\(—оо,0].

В этом случае матрицы А и А определяются единственным образом.

Доказаная в § 2 первой главы теорема 1.9 о существовании и единственности решения обратной задачи для системы ОЛДУ вида (1) с краевыми условиями (2), позволяет говорить об операторе экстраполяции вектор-функций из квазиполиномов, заданных на конечном множестве, так называемом операторе Прони.

Этот оператор определяется не для всех вектор-функций из квазиполиномов, а лишь для тех, которые являются решением системы ОЛДУ с постоянными комплексными коэффициентами, и удовлетворяющих определённым ограничениям на показатели экспонент квазиполиномов.

Третья глава посвящена описанию зоны устойчивости оператора Прони к малым колебаниям входных данных.

В §§1,2 приводятся необходимые сведения из топологии и теории выпуклых функций.

В §3, на основе теоремы 1.9 из главы 1, описывается алгоритм Про-ни восстановления вектор-функции, являющейся решением однородной системы ОЛДУ вида (1) с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по известным невырожденным значениям вида (2) этой вектор-функции в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

Класс однородных систем ОЛДУ предполагается таким, что собственные числа матрицы А принадлежат полосе

П(сО = {х е С : |1ш г\ < тг/с*} .

Алгоритм выглядит так:

1) Строим систему линейных уравнений

71,„ + Р1С11„1 + .+р„С1,о = 0 < . (6)

Сп,п + Р\Сп,п-\ + . . . + РпСп,0 = О где Су - г-ая координата момента

С её помощью определяем непрерывный оператор:

В : Мп —> С", В(С)=р где р = (рь. ,рп) - решение (6).

2) Далее, многочлен

ВД = гп + р!*?-.1 + . + Рп, определяет непрерывно зависящие от его коэффициентов корни {д{}[ и их кратности {п}^.

3) Числа {а{ = й~1 расположены в П(с?) и являются показателями экспонент искомой функции из Еп{6). Кратность щ полагаем равной гг- - кратности корня дг- многочлена Тп(г).

4) По известным {огг'}1 строим следующие функции

Л(<) = Фг® = • • • Ж« = (¿^

Фп+1({) = е°2', фг^У"', ■ ■ ■ , ФпМ = е

5) Дополнительно строим ещё 2 матрицы

Р =

1(0) . Ф1((п-1)с1^ п(О) . фп{(п-!)(!)) и

В — (Со, Сь • •. , Сп-{).

6) Матрицу С? определяем по формуле в =

7) Искомая вектор-функция будет иметь вид у И = с? Ш ^ Ш М*) у

На основе вышеприведённого алгоритма строится оператор Прони

Л : М„£„(<*), А(Мп) = Ёп{(1), Л(С) = У(0, СбМп, и даётся описание его области определения Мп и области значения Еп((Г). Затем доказывается непрерывность оператора Прони, что, с учётом теоремы 1.9, эквивалентно корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных).

Теорема 3.6. Оператор Прони Л восстановления вектор-функции, являющейся решением системы вида (1) (собственные числа которой принадлежат полосе П(с?)и удовлетворяющей краевым условиям вида (2), непрерывен в относительной топологии класса Еп{й).

В §4 приводится модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик с помощью вектор-функций, являющихся решением некоторой однородной системы ОЛДУ первого порядка, и выделяется зона устойчивости этой модификации алгоритма к малым колебаниям входных данных. Это также эквивалентно корректности данной модификации алгоритма Прони. Там же приводится пример вычислений по алгоритму Прони для однородной системы ОЛДУ специального вида.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1212.2003.1 и гранта РФФИ № 03-01-00460.

Автор благодарен своему научному руководителю Маергойзу Л.С. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Завьялов, Максим Николаевич, 2003 год

1. Марпл-мл. С. JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

2. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

3. Maergoiz L.S. Asymptotic Characteristics of Entire Functions and Their Applications in Mathematics and Biophysics. Kluwer academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2003.

4. Голубков В. В., Щербов С. Я. Экспоненциальная аппроксимация. Препринт. М.: ВНИИСИ, 1980.

5. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

6. Аниконов Ю.Е., Узаков М.М. Оценки устойчивости в многомерных задачах аналитического продолжения // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1985. С. 3-7.

7. Bukhgeim A.L. Extension of solutions of elliptic équations from discrète sets // J. Ill-posed and Inverse Problems, 1993, V.l, N 1, P. 17-32.

8. Маергойз JI. С., Захарова Л. Б., Егорушкин И. О., Кондратьева В. П. О математическом прогнозировании динамики ферментной активности в онтогенезе // Бюл. Сиб. отд-ния АМН СССР, 1984, № 1, С. 92-95.

9. Маергойз Л.С. Многомерный вариант алгоритма Прони. Препринт. Красноярск, 1990.

10. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., 1998.

11. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

12. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., 1967.

13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.

14. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1 Основы алгебры. М.: Физико-математическая литература, 2000.

15. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высш. шк., 1999.

16. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Едиториал УРСС, 2003.

17. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

18. Себаштьян-и-Сильва, Жозе. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // в сб. "Математика", 1957, № 1, С. 60-77.

19. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, Ч. 1, М.: Наука, 1985.Работы автора по теме диссертации

20. Завьялов М.Н. Модификация алгоритма Прони для системы ОЛДУ с постоянными неизвестными коэффициентами // в сб. Многомерный комплексный анализ. Красноярск, 2002, С. 37-47.

21. Завьялов М.Н. Модификация алгоритма Прони для неоднородных систем ОЛДУ // Вестник КГУ. Физ.-мат. науки, 2003, Вып.1, Красноярск, С. 73-79.

22. Завьялов М.Н., Маергойз Л.С. Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения // J. Ill-Posed and Inverse Problems, (принято в печать).

23. Завьялов M.H. Восстановление вектор-функции из квазиполиномов по значениям на равномерной сетке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, Т.12, Казань, 2001, С. 35-36.

24. Zavyalov M.N. Modification of Prony algorithm for systems of ordinary differential equations of the first order // В сб. Межд. конф. Некорректные и обратные задачи: тезисы докладов, Новосибирск, 2002, С. 178.