Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Тында, Александр Николаевич

• Тында, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тында, Александр Николаевич

Глава I

1 Обзор численных методов решения уравнений Вольтерра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра и их приложения»

87

2 Постановка задачи 88

3 Система "хищник-жертва" 88

3.1 Описание модели . . . .88

3.2 Метод сплайн-кол локации .89

4 Система "ресурс-потребитель" 94

4.1 Постановка задачи.94

4.2 Метод Ньютона-Канторовича.94

Литература 101

Глава V Приложения 116

А Листинги программ на языке С + + 116

А.1 Решение одномерных ИУВ на классе функций Wr(M) . 117

А.2 Решение одномерных ИУВ на классе функций ф*(7([а, 6]) . . 123

А.З Решение одномерных ИУВ на классе функций В*7([а, &]) . . 129

А.4 Решение слабосингулярных уравнений Вольтерра.135

А.5 Вычисление слабосингулярных интегралов.143

А.6 Решение двухмерных уравнений Вольтерра с непрерывными ядрами и ядрами из Q*7 и В*7.145

А.7 Сверхсходимость приближенного решения одномерных ИУВ 153

А.8 Реализация двухпродуктовой модели.162

A.9 Вспомогательные процедуры.168

В Решение модельных задач 175

B.1 Решение одномерных ИУВ на классе функций Wr(M) . . . 175 В.2 Решение ИУВ на классах функций Q*7([a, &]) и B*7([a, Ь]) . 176

В.З Решение слабосингулярных уравнений Вольтерра.177

В.4 Решение двухмерных уравнений с ядрами из Wr'r, Q*n и £*7179

В.5 Двухпродуктовая модель.180

Введение

Актуальность темы. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности жидкостей, задачи спектроскопии, кристаллографии, акустики и т.д.), геофизику (задачи гравиметрии, сейсмики), механику (колебания конструкций), материаловедение (исследование вязкоупругости, ползучести и т.д.), теорию управления (определение импульсной функции линейной системы, задача оптимальной линейной фильтрации и т.д.), теорию надежности и массового обслуживания (задача восстановления и др.).

Кроме того развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений Вольтерра, в том числе некоторые разделы биологии (задача о распространении эпидемий, задача кинетики печени, моделирование внутри- и межклеточных взаимодействий и т.д.), иконика (восстановление искаженного изображения), томография (формирование объемных изображений объектов по наблюдаемым сечениям), экономика производства (динамические макроэкономические модели, модели развивающихся систем) [29, 30, 34, 42, 58, 67, 81, 83, 82, 84, 101, 106, 110, 118].

В связи с этим активно развиваются ставшие уже классическими метод механических квадратур, итерационные методы, проекционные методы решения ИУВ. В расчете на применение ЭВМ построен ряд методов, основанных на сочетании метода квадратур с аппроксимацией искомых решений или интегральных операторов в целом, а также методы типа Рунге-Кутта, блочные, на основе сплайнов и т.д.

Вместе с тем остаются открытыми такие вопросы как оптимальность по сложности и точности методов решения интегральных уравнений Вольтерра на различных классах дифференцируемых функций, построение эффективных при реализации на ЭВМ алгоритмов решения слабосингулярных уравнений Вольтерра. Практически не уделяется внимание многомерным уравнениям Вольтерра, численные методы решения которых имеют ряд существенных отличий от соответствующих методов для уравнений Фредгольма и допускают распараллеливание. Недостаточно разработаны численные методы для моделей развивающихся систем и экологии.

Цель работы. Работа посвящена построению оптимальных по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных интегральных уравнений Вольтерра на различных классах функций; построению численных методов решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра, описывающих двух- и п—продуктовые модели экономики; построению численных методов решения систем нелинейных уравнений математической экологии.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались теория проекционных методов, методы теории приближения функций, теория интегральных уравнений, методы оптимизации.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.