Переходное излучение ультрарелятивистских заряженных частиц в периодических структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Савченко Александр Алексеевич

• Савченко Александр Алексеевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Савченко Александр Алексеевич

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Теоретическое описание углового распределения рентгеновского переходного излучения

1.1 Уточнение моделей теоретических расчетов характеристик переходного излучения

1.1.1 Теория Пафомова

1.1.3 Теория Гарибяна

1.2 Угловое распределение РПИ от стопки пластин - точное решение

1.3 Обсуждение угловых распределений

1.4 Влияние воздушных промежутков между пленками

1.5 Сравнение положения максимумов излучения с экспериментальными данными

Выводы по Главе

Глава 2 Компьютерная модель детектора переходного излучения в программном комплексе Geant4

2.1 Описание модели детектора рентгеновского переходного излучения в Geant4

2.2 Сравнение с теорией

2.3 Сравнение результатов моделирования в Geant4 с экспериментальными данными для газонаполненного детектирующего объема и программой моделирования РПИ RADIATOR

2.4 Сравнение Geant4 с результатами для кремниевого пиксельного детектора

2.5 Корректировка модуля переходного излучения программного комплекса Geant4

Выводы по Главе

Глава 3 моделирование в Geant4 процессов, сопровождающих прохождение частиц и фотонов через многослойные структуры

3.1. Влияние многократного рассеяния первичных частиц в радиаторе

3.2 Моделирование прохождения электронов через слоистую структуру калориметрического модуля

Выводы по Главе

Заключение

Список литературы

88

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ПИ - переходное излучение

РПИ - рентгеновское переходное излучение

TRT - transition radiation tracker

TRD - transition radiation detector

ТИ - тормозное излучение

ЧИ - черенковское излучение

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследований.

В современных экспериментах в области физики высоких энергий -исследования космических лучей и эксперименты на существующих и разрабатываемых ускорителях, исследователи сталкиваются с трудностями при идентификации заряженных частиц с лоренц-факторами 1000 и больше. На текущий момент данная проблема еще не решена. Решением может стать разработка новых или модернизация существующих детекторов частиц. Многообещающими в этом плане являются детекторы на рентгеновском переходном излучении (РПИ) [1, 2, 3]. По сравнению с другими типами детекторов, например, калориметрами, они обладают меньшими размерами, не уничтожают частицу, имеют большую чувствительность к лоренц-фактору и могут измерять не только энергию, а также отслеживать траекторию движения частиц.

Переходное излучение (ПИ) генерируется заряженными частицами, пересекающими границу раздела между двумя средами. Данный тип излучения в 1945 году был теоретически предсказан В.Л. Гинзбургом и И.М. Франком [4]. Однако же, как отметил Франк в своей Нобелевской лекции [5], ПИ должно иметь место только в оптической области спектра, а его интенсивность для нерелятивистских частиц пропорциональна их энергии, а в релятивистском случае увеличивается пропорционально логарифму полной энергии и приобретает направленный характер (имеет выделенное направление испускания). Данный факт позволяет сказать, что, например, по сравнению с черенковским излучением, которое рождается под большими углами и достаточно быстро выходит на насыщение, переходное излучение имеет преимущество для определения энергии ультрарелятивистских заряженных частиц. Тем не менее, Франк замечает, что интенсивность излучения мала, ведь вероятность испускания фотона порядка постоянной тонкой структуры, а это уменьшает эффективность регистрации энергии частиц посредством переходного излучения от одной пластины.

Важным фактом в развитии теории излучения в целом, а в частности и теории переходного излучения является введение Тер-Микаеляном в 1952 году понятия длины формирования излучения или длины когерентности [6]. Тем самым он показал, что излучение не формируется в «точке», а ему требуется большая пространственная область вдоль импульсов частиц, которая растет с увеличением их энергии и значительно превышает длину волны формируемого излучения. Данная идея не сразу, но была оценена - на ее основе Ландау и Померанчук показали [7, 8], что с увеличением данной длины в аморфных телах наблюдается уменьшение тормозного излучения. Длина формирования излучения играет важную роль в явлении переходного излучения, что также было отмечено Франком в Нобелевской лекции [5]. Так как интенсивность переходного излучения от одной пластины мала, то встает вопрос об использовании нескольких пластин подряд, что, как заявляет Франк [5], не так просто - ведь для того, чтобы интенсивность от нескольких слоев не уменьшалась, зазоры между пластинами должны быть не меньше длины формирования излучения су2 /о ( с - скорость света, у - лоренц-фактор, о - частота излучения), а она для ультрарелятивистских энергий чрезвычайно большая - десятки метров для у> 104. Гарибян в работе [9], однако, отмечает, что оценки зоны формирования в [5] были сделаны для оптической области т.е., когда отношение с/ю~ 10 5см и, как выяснилось позже, для переходного излучения назад. Подобные заявления Франка делали переходное излучение малоперспективным.

Несмотря ни на что, интерес к нему не пропал, и в 1959 году переходное излучение в оптической области было измерено впервые экспериментально [10]. В эксперименте протоны, разгоняемые генератором Ван де Граафа до энергии 5 МэВ, пролетали через металлические мишени из золота, алюминия и серебра. Мишени стояли под углом к траектории пучка так, чтобы была возможность зарегистрировать фотоны с помощью фото-умножителя -регистрировалось переходное излучение, испускаемое назад.

В том же 1959 году Гарибян, работая над развитием теории переходного излучения [11, 12, 13], показывает, что переходное излучение вперед гораздо интенсивнее излучения назад и, что потери на переходное излучение ультрарелятивистскими частицами растут пропорционально лоренц-фактору частицы [14]. Подобный эффект обусловлен переходным излучением в рентгеновской области частот с пропорциональной произведению лоренц-фактора частицы и плазменной частоты материала граничной частотой (для ультрарелятивистских заряженных частиц энергия может быть порядка сотен кэВ), что было практически одновременно показано Гарибяном [14] и Барсуковым [15]. «Продление» спектра переходного в рентгеновскую область открыло новые возможности для его применения. Экспериментальное наблюдение рентгеновского переходного излучения не заставило себя ждать - с использованием бумажных радиаторов армянская группа исследователей в начале 1960-х годов наблюдала рентгеновское переходное излучение от космических мюонов [16].

Уже в 1960 - 70-х годах активно обсуждалось применение переходного излучения для детектирования, разделения и определения энергии и типа заряженных частиц, предлагались различные геометрии и материалы детекторов, собирались первые прототипы [17, 18, 19]. За прошедшее время было сделано много работ, посвященных различным аспектам этого типа излучения как экспериментальных [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26], так и теоретических [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36], [37], часть из которых были действительно «первопроходческими», часть обзорными. Рассматривались и различные «особые» случаи: Алиханян оценил влияние многократного рассеяния [38] и показал, что оно не влияет на интенсивность излучения, однако как будет видно далее в тексте диссертации существенно влияет на угловые характеристики; Гарибян рассмотрел возможность генерации переходного излучения в нерегулярной стопке пластин, пене, волокнистой или подобной пенопласту структуре [39, 40], что практически затем предложили использовать в детекторах [41]. И в настоящий момент

волокнистые радиаторы используются в барельной части ATLAS TRT на LHC [42]. До сих пор развиваются различные методы и подходы для описания переходного излучения и его применения [43, 44, 45, 46, 47, 48], рассматриваются различные «комбинированные» случаи, например, дифрагированное переходное излучение [49], проводились [50] и проводятся исследования излучения в предволновой (внутри зоны формирования излучения) зоне и от так называемого «полуголого» электрона [51]. Также переходное излучение в рентгеновском диапазоне рассматривалось в качестве источника излучения [52], и в этом плане показало себя с достаточно неплохой стороны: направленный характер, подстраиваемые параметры. Но интенсивность такого источника невелика, а для достижения адекватного выхода в рентгеновском диапазоне нужны электроны с энергией порядка сотен МэВ. Для подобных энергий электронов, с точки зрения направленности и достаточно узкой спектральной линии, выгоднее использовать в качестве источника обратное комптоновское рассеяние [53] или явление излучения при каналировании [54], некоторые аспекты которого исследовались автором данной диссертации [55, 56, 57] и частично были внедрены в описываемую в третьей главе компьютерную модель.

Как и ожидалось, в наши дни РПИ стало особенно полезным благодаря его реальным приложениям для обнаружения частиц высоких энергий [58, 2, 28, 59, 60]. РПИ широко используется в различных экспериментах [61, 62] и на ускорителях в так называемых детекторах или трекерах на переходном излучении [63, 64, 65], например, TRT в ATLAS, TRD в ALICE (LHC, CERN), CBM (FAIR) и т.д. В упомянутых установках детекторы переходного излучения хорошо себя зарекомендовали при отделении электронов от адронного фона на лоренц-факторах адронов около 500. Однако, при увеличении энергии частиц вклад переходного излучения от адронов становится значительным и практически выходит на насыщение при лоренц-факторах около 1000 [28]. Данный факт позволяет заключить, что идентификация заряженных частиц сверхвысоких энергий является

чрезвычайно сложной задачей, и в настоящее время не существует детекторов, способных разделять и идентифицировать отдельные заряженные ультрарелятивистские частицы с лоренц-факторами 103 - 105 с надежной эффективностью. Для преодоления данного «барьера» необходима разработка детекторов нового поколения.

Ярким примером того, где детекторы на переходном излучении нового поколения должны играть решающую роль, является будущий эксперимент по исследованию рождения адронов на малых углах при ядерных столкновениях на Большом Адронном Коллайдере [66, 67]. Подобный эксперимент требует разделения протонов, К-мезонов и пи-мезонов в диапазоне энергий 1-6 ТэВ, что как раз отвечает лоренц-факторам в диапазоне 103 - 104. В настоящее время ведется активная работа по разработке такого детектора группой ATLAS TRT и учеными из других групп [68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77], [78].

Немалую роль расчет и создание подобных детекторов могут играть и для астрофизики [79, 80, 81]. Такие детекторы, по сравнению с привычными калориметрами, могут обладать гораздо меньшими размерами и массой, что упростит отправку в космос и позволит разрешить неоднозначности, связанные с моделями рождения частиц при энергиях до 1017 эВ во Вселенной, где наблюдается существенное изменение спектра частиц. Существующие детекторы и трекеры на основе переходного излучения нуждаются в доработке, либо в полной модернизации, для чего требуются детальные теоретические расчеты, компьютерное моделирование и экспериментальные исследования.

Теория ПИ хорошо описывает относительно простые случаи, однако, в реальных условиях ПИ сопровождается рядом радиационных процессов и явлений. Именно поэтому в настоящее время в физике детекторов принято использовать мощные инструменты компьютерного моделирования. Одним из наиболее передовых и популярных инструментов является GEANT [82, 83, 84, 85], который разрабатывается с 1974 года в ЦЕРНе и других ведущих

научных центрах. Данный программный пакет (а именно С++ версия -Geant4) стал ведущим инструментом для компьютерного моделирования в различных областях ядерной и радиационной физики, таких как физика ускорителей [86, 87, 88], физика высоких энергий [89, 90, 91, 92, 93], медицинская физика [94, 95], космические исследования [96, 97] и т. д. Что особенно важно для данного исследования, в Geant4 включен модуль рентгеновского ПИ [98, 99, 100, 101, 102]. Однако же было показано, что данный модуль справляется не со всеми поставленными задачами [72], в частности, не описывает экспериментально наблюдаемые пики в малоугловом переходном излучении (под малыми углами здесь и далее понимаются углы порядка обратного лоренц-фактора первичных заряженных частиц). Стоит отметить, что описание данных пиков является чрезвычайно важной задачей для будущих детекторов переходного излучения, в которых для регистрации заряженных частиц предполагается использовать также угловые особенности переходного излучения, а не только спектральные как, например, происходит в ATLAS TRT [63]. Соответственно кроме теоретических исследований задачей диссертации является также модернизация данного модуля в Geant4 и создание полномасштабной компьютерной модели, учитывающей всевозможные сопровождающие ПИ процессы.

Целью настоящей работы является детальное исследование, путем проведения теоретических расчетов и компьютерного моделирования, ключевых особенностей рентгеновского переходного излучения от слоистых структур (радиаторов переходного излучения) для различных типов и энергий частиц, пролетающих через них. Анализ параметров радиаторов, для возможности дальнейшего практического использования на экспериментальных установках и построение детальной компьютерной модели, с учетом всех сторонних процессов: рассеяние и поглощение фотонов и частиц, рождение излучения отличного от переходного,

сопровождающих пролет первичной частицы и фотонов через радиаторы и чувствительные области детекторов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Построена теория малоуглового рентгеновского переходного излучения от слоистых сред - регулярных радиаторов для генерации излучения: получены полностью аналитические выражения, описывающие угловые характеристики излучения в зависимости от энергии ультрарелятивистских заряженных частиц и параметров радиаторов.

2. Предсказано существование серии резких пиков, в угловом распределении фотонов рентгеновского переходного излучения на малых углах. Получено дисперсионное соотношение, описывающее положение пиков в зависимости от параметров радиатора. Показано совпадение положения пиков с экспериментальными данными.

3. Доказана необходимость корректировки модуля рентгеновского переходного излучения в программном комплексе Geant4 для правильного описания пиков на малых углах, проведена необходимая корректировка. Создана полномасштабная компьютерная модель детектора на рентгеновском переходном излучении в программном комплексе Geant4. Продемонстрировано высокоточное количественное совпадение результатов моделирования спектральных и угловых распределений фотонов как с предсказаниями теории, так и с экспериментальными данными.

4. Создана компьютерная модель детектора на основе калориметрического модуля с учетом различных физических процессов, в том числе и рентгеновского переходного излучения, как альтернатива для идентификации легких частиц с лоренц-факторами порядка 1000 и жестких фотонов рентгеновского излучения.

Научная новизна.

В работе впервые построена теория, описывающая поведение переходного излучения на малых углах, проведена корректировка модуля переходного излучения программного пакета Geant4 и построена полная компьютерная модель детектора на переходном излучении.

Научная и практическая значимость.

Детальные расчеты характеристик рентгеновского переходного излучения от слоистых структур (радиаторов) совместно с полным компьютерным моделированием создают основу для будущего проектирования детекторов на переходном излучении, необходимых для идентификации заряженных частиц с высокими лоренц-факторами вплоть до 105. Подобных детекторов не существует в настоящее время, поэтому для симуляции их работы создана компьютерная модель с учетом чувствительных частей детектора, основанных на реальных полупроводниковых пиксельных чипах и газовых пропорциональных камерах.

Степень достоверности результатов подтверждается детальным сравнением теории и моделирования и совпадением с экспериментальными данными, а также совпадением теоретических результатов с известными из ранее исследованных предельных случаев.

Апробация работы. Основные результаты доложены на ряде международных конференций:

1. The 7th International Conference Channeling 2016, 24.09.2016 - 1.10.2016, г. Сирмионе, Италия.

2. The XII International Symposium RREPS-2017, 18 - 22 сентября 2017, г. Гамбург, Германия.

3. The 25th Nordic Particle Physics Meeting (Spaatind 2018) and Oslo Winter School «Standard Model, Quantum Chromodynamics, Heavy Ion Collisions», 2 -12 января 2018, г. Осло, Норвегия.

4. VII Международная молодежная научная школа-конференция «Современные проблемы физики и технологий», 16 - 21 апреля 2018, г. Москва, НИЯУ МИФИ.

5. CAS Beam Instrumentation, 2 - 15 июня 2018, г. Хельсинки, Туусула, Финляндия.

6. The 8th International Conference Channeling 2018, 23 - 28 сентября 2018, г. Искья, Италия.

7. V Всероссийский молодежный научный форум «Open Science 2018», 21 - 23 ноября 2018, г. Гатчина.

8. TRD Workshop, 9 - 10 апреля 2019, CERN, г. Женева, Швейцария.

9. The XIII International Symposium RREPS-2019, 16 - 20 сентября 2019, г. Белгород.

Личный вклад

Автор принимал непосредственное участие в выполнении теоретических расчетов и проведении моделирования, а также в наборе экспериментальных данных, с которыми проводилось сравнение в данной работе.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ в ведущих рецензируемых научных журналах — 9 работ в зарубежных журналах, входящих в базы данных WoS и Scopus, и 1 работа в журнале из перечня ВАК, с переводной версией, также входящей в базы данных WoS и Scopus.

Связь работы с научными проектами

По теме диссертационных исследований соискатель являлся исполнителем государственного задания № FZWG-2020-0032 (2019-1569).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Переходное излучение ультрарелятивистских заряженных частиц в периодических структурах»

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, в конце диссертации приведены приложения А и Б. Общий объем диссертации составляет 104 страниц. Диссертация содержит 49 рисунков, 1 таблицу и 123 наименования цитируемой литературы.

Глава 1 Теоретическое описание углового распределения рентгеновского переходного излучения.

1.1 Уточнение моделей теоретических расчетов характеристик переходного излучения

Среди множества теоретических исследований, посвященных переходному излучению, для изучения и дальнейшей доработки были выбраны две наиболее проработанные модели, предложенные Гарибяном Г.М. [35, 40, 31] и Пафомовым В.Е. [34, 36, 37].

Рисунок 1 Переходное излучение (зеленым) генерируется заряженными частицами при пролете сквозь радиатор - упорядоченную стопку из M пластин толщиной a с зазорами b.

1.1.1 Теория Пафомова

Рассмотрим рождение РПИ в регулярном радиаторе (см. Рисунок 1). Пренебрегая магнитными свойствами материала, можно записать формулу спектрально-углового распределения излученной энергии ПИ (1) из [36] (теория Пафомова), в виде:

d2WP (в, с) в2 2р2 sin3 в cos2 в

d6da с ж (i cos2 в)

■\f М)| , (1.1)

где е - заряд электрона, с - частота излучения, с - скорость света в вакууме, р = у/с - приведенная скорость электрона, в - полярный угол наблюдения, и фактор

/ (ю,0) = ]( еМ¥- е~М*) к,

—1—Ь собО

е с +

С а

—1—Ь собО

Ье

х

■ 1(М ^^ 1(М—1)(^—¥) 1 — е_ 1 (м—1)^ 1 — е_

—1 (М—1)у

Ке

1 — е -1(<Р+ф) 1 — е —

описывает свойства излучения от стопки пластин, в котором

Л Ь

х

У

1

Я"

(1.2)

Я

ю

. ч 2

(х+л) е с

ю

/ \ 2 '-"Х

(х — щ) е с

4хщ( е

1(М—1)^ е—(М—1)ф

(еМГ— е~Мг) е

)}(1—Гг).

ю, —г—ь собО

(1.3)

_ со

+

+ ■—

_ со +г—а

(1.4)

= агссоБСОБ

г „ \

ю

с

"Х

соб

ю

\

Ь СОБ0

У V с У

2 . „2

Х

2хщ

Б1П

с гл ^

ю

—"Х

V с У

Б1П

ю

с

Ь СОБ О

(1.5)

(р = —(" + Ь), Х = ^1£ — ^П2 0, 7] = £СОБО. V

(1.6)

Здесь М - это количество фольг в стопке, а и Ь - толщины фольг и зазоров, соответственно, а е - функция диэлектрической проницаемости материала радиатора:

/ \ ,( \ ■ п( \ л ю] 1у(ю)с е = е(ю) = е (ю) + е (ю) = 1--\ + —^^

ю ю

(1.7)

в которой ю0 - плазменная частота материала радиатора (ю0 = 20.871еУ для полипропилена) (см, например, [2]), у(ю) - линейный коэффициент поглощения, который может быть определен с использованием данных из [103]. Мнимая часть диэлектрической проницаемости е"(ю) ответственна за

поглощение фотонов ПИ в материале радиатора. Здесь также учтено, что й^ = ътвйвйф и проведено интегрирование по йф.

Хотя функция диэлектрической проницаемости (7) имеет универсальный асимптотический вид, она может меняться вблизи краев поглощения в очень узких диапазонах энергии, где диэлектрическая восприимчивость (в'(с) - 1) меняет знак. Именно поэтому, например, рентгеновское излучение Вавилова-Черенкова может возникать там, где £'(с) > 0 (см. [104]), или в кристаллах, где динамическое рассеяние излучения может привести к эффективному условию (с) > 0 , будет возбуждаться параметрическое рентгеновское

излучение [105].

Отметим, что выражение (22.10) из широко известной работы Пафомова [34] содержит опечатку: неправильный множитель е~1¥ в /(с,в) вместо е~гр

, показанного в более ранних работах [36] и в [37] - переводном издании [34].

Рисунок 2 показывает сравнения спектральных (а) и угловых (Ь) распределений, рассчитанных по формулам Пафомова [34] и [36] и доказывает, что опечатка в широко известной русскоязычной работе [34] может привести к серьезным ошибкам, особенно при описании спектральных распределений. Ниже, говоря о теории Пафомова, будем иметь ввиду только корректные выкладки [36, 37].

dN Photons

dfitu keV

] (a)

— Garibian/Pafomov(no abs)

10 5

— Pafomov_inc[34] (no abs) ... Garibian/Pafomov (abs)

1

0.50

0.10 0.05

5 10 15 20 25 30 35

fiw [keV]

Рисунок 2 Сравнение теоретических спектральных и угловых (Ь), (с) распределений РПИ от электронов 20 ГэВ. Красные прерывистые линии соответствуют теории Пафомова [34] с опечаткой, интегрирование производилось численно. Черные сплошные кривые соответствуют теории Гарибяна [31] без учета поглощения фотонов РПИ. Голубые пунктирные линии соответствуют теории [31] с учетом поглощения. Зеленые пунктирные и прерывистые линии отвечают распределениям Пафомова [36] без поглощения и с поглощением, соответственно. Радиатор рентгеновского переходного излучения содержит 150 фольг, изготовленных из полипропилена; плотность полипропилена 0.92 г/см3, а толщина фольг 62 мкм, с вакуумными зазорами в 2 мм.

Кривые на Рисунке 2 построены следующим образом: «Пафомов» - только с использованием численного интегрирования уравнения (1.1); «Гарибян» -забегая вперед, используя выражение (112) для спектрального распределения и углового с использованием выражения (1.19) без учета поглощения и (1.32) с учетом поглощения.

1.1.3 Теория Гарибяна

Спектрально-угловое распределение РПИ при 6« 1 согласно Гарибяну имеет вид (выражение (35) в [31]):

d2Wg (a,9)_ в2 югв\7 р

Z _ Z,,^ X

d9da

c 8жс

2 | m vac \

X

(1 - Q1/2 )2 + 4Q1/2 sin2

ü a Re —

V Zm J

fm (a,9)»

(1.8)

где 2тс и ^ - зоны формирования в вакууме и в среде:

Z

4 с

Z

4 c

a

(r~2+92)' m a(y~2 +92 +1 -s(a)\

(1.9)

FM (a,9) =

(1 - QMl 2 )2 + 4QM 2 sin2

f f i W »✓т» a b M Re — +-

V Z Z ,,

V V m vac J J

(l - Q1/2 )2 + 4Q12 sin2

f f 7 ^^

Re Ia + ±-

Z Z

V V m vac J J

Q = exp

aas

(1.10)

(111)

Здесь у - Лоренц фактор. Заметим, что (1.8) и (1.1) учитывают поглощение фотонов ПИ.

Спектральное распределение ПИ, согласно Гарибяну, имеет вид ((51) в

dWG (ю) e2aMeff

da 4c2 (a + b)

f

J в2\Z - Z I2 (1 - Q1/2 )2 + 4Q1/2sin2

n | vac m\ ^ !

n=1,2,3...

Re

a

(1.12)

в=в

1 - QM , 4жс (n - d) , ч

M^. = ——, в2 =-^—-г1, d = C - floor (C),

eff

1 - Q

ю

(a + b)

C =

ю

(a + b)

4жс

(1 -')

a

a+b

Y

-2

(1.13)

(1.14)

Здесь floor (C) обозначает целое число, не превышающее величины C.

Формула (1.12) может быть получена как результат интегрирования в (1.8) по всем значениям в, при условии что M »1.

Далее, для сравнения теоретических моделей с моделированием в Geant4 и экспериментами необходимо работать со значениями dN/d(hco) и

dN/de. Эти величины связаны с описанными выше следующим образом:

dN

d(hco) coh2 dco

1 dW(co) 1 f d2W(e,co) - j d9-

coh1

dOdco

dN ~d0

= J da

1 d2W(6,co) coh dOdco

(1.15)

(1.16)

где N это число излученных фотонов.

1.2 Угловое распределение РПИ от стопки пластин - точное решение.

Рассчитаем распределение переходного излучения. При Q = 1 и М »1 имеем:

Б1П

рм (ОД6)|е=1 =

М Яе

а

\\

\ 7 7 ..

\ т уас у

М »1

Б1П

а

(Г * \\ Яе

7 7

\ V т уас У у

(1.17)

м »1

■жМ У б

а

г Г Яе

7

\ V 7 т

\ \ - жг

уас у у

Результат интегрирования выражения (1.8) по всем рассматриваемым частотам

ОДшт (118) может быть представлен в виде:

Щв)_ (6м ^

й6 ~ 137 2с2

У 7 - 7

/ 1 | т V

|2 • 2 Бт

яе-а

V т у

ОД

лсд2 - в

+

а>=а\

1 63 М г2^х | +137 2с2 г =У 1 т У

г =г2,шт

22 Бт

яе-а

V 7т У

ОД

лОД - в

(119)

ОД=ОД

где

л = ( а + Ь )((2 + у~2 )/4с, (1.20) В = аа>Ц4с,

(1.21)

и частоты

жг ±

ОД,2 =

УКжГ)2

4 ЛВ

2 Л

(1.22)

должны удовлетворять неравенству (1.18).

Чтобы найти г1шах , г1ш1п , г2шах , г2ш1п должен быть проведен следующий анализ. Введем обозначения

г

A = 24aB/ ж,

A2 = 2 AOmax/ Ж

A3 =( АЮх + B )/™max, (1.23)

A4 = 2 AOmin/ Ж

A =( + B )/яютЬ.

Решая неравенство

®min <Ю1 < ®max , (124)

получаем систему

r > A, A4, fr > A, A,

1 4 or J 1 5 (1.25)

r < A2, A3, [r < A3, A4,

из которой, учитывая что r положительное целое, следует, что если A < A2, A и A4 < A3, то

ceiling(max{A, A4}) < r < floor(min{A2, A3}), (126)

или если A < A, A и A < A, A, то

ceiling (max { A, A }) < r < floor (min {A, A }), (127)

в противном случае первая сумма в (1.19) не содержит ни одного члена. Здесь ceiling (x) означает ближайшее целое число, превышающее x.

Таким образом, неравенство

ю <ю0<ю (1.28)

min 2 max V /

выполняется если хотя бы одна из двух систем неравенств верна:

> > A, A, fr > A, A, A,

1 4 или f 1 2 3 (1.29)

r < A2,A5, [r < A5.

Из (1.29) следует, что если A4 < A и A < A, A, то

ceiling(max {A, A }) < r < floor (min {A, A }), (130)

или если a > A, A, A и A < A, A, то

ceiling (max {A, A, A }) < r < floor (A), (1.31)

в противном случае вторая сумма в (1.19) не содержит ни одного члена.

Заметим, что диапазоны г , записанные в (1.26) и (1.27) могут перекрываться, таким образом, очень важно не переучитывать одинаковые члены первой суммы в (1.19). То же справедливо и для (1.30) и (1.31).

Интересно заметить, что если фактор Гм (ю.в) в выражении (1.8)

представляет набор острых пиков, при том что остальные множители -медленно изменяющиеся функции частоты, то возможно учесть поглощение фотонов, следуя вычислениям в [31]. В результате, вместо выражения (1.19) имеем:

(в) 1 в3 \

с№ 137 8с2

У М Л2 - 2 ,

/ 1 | т уас |

X

1.т1п /

X

(1 - 01/2) + 401/2вт2

V

Яе

а

2„

ю

Лю\ - В

+

Ю=Ю

1 @3 Г2.тах

+--- У МА2т - 7

(1.32)

137 8с2 '

X

X

(1 - б12 )2 + 401/281П2

Яе

а

лю - в

Численное интегрирование спектрально-углового распределения (1.8) показывает отличное согласие с выражением (1.32), поэтому последнее будет использовано ниже для анализа.

Так как теория Пафомова [36] очень громоздка и сложна, и не содержит выражений для спектральных и угловых распределений, то их можно получить путем численного интегрирования выражения (1.1) по в или ю , соответственно. Отметим, что примерный диапазон энергий, наиболее интересный для работы с РПИ, это от 5 кэВ до 35 кэВ.

Как видно из Рисунка 2а спектральное распределение, полученное численным интегрирование выражения (1.1) (теория Пафомова) по всем в прекрасно совпадает со спектральным распределением, построенным в

2

2

соответствии с уравнением (1.12) (теория Гарибяна) как с учетом поглощения фотонов так и без.

Тем временем Рисунок 2Ь и Рисунок 2с показывают, что кривые, построенные по формуле (1.32) (теория Гарибяна) и в результате численного интегрирования выражения (1.1) по частотам ю, отличаются как с учетом так и без учета поглощения РПИ, но только на очень маленьких углах

6<у-\ (1.33)

Это, ввиду идеального совпадения между спектрально-угловыми распределениями Пафомова и Гарибяна, означает, что широко известное приближение (1.17) необходимо уточнить при рассмотрении очень

маленьких углов, путем учета боковых максимумов. Это, однако, имеет

-1

смысл в том случае, когда нас интересует диапазон углов меньших чем у . Либо применять численное интегрирование в данном диапазоне углов -между нулем и первым дифракционным порядком.

Согласно вышесказанному, говоря о теории ниже, будем иметь ввиду только теорию Гарибяна [31] как наиболее удобную для теоретических исследований. При этом теория Пафомова также является эквивалентно корректной.

1.3 Обсуждение угловых распределений

На Рисунке 3а продемонстрирована зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости материала радиатора - полипропилена - от энергии фотонов. Рисунок 3 а и Рисунок 3Ь показывают, что наличие поглощения сказывается на распределении излучения преимущественно на низких частотах (до 10 кэВ). На Рисунке 3с показано, что поглощение влияет на угловое распределение излучения, главным образом, под большими углами.

Рисунок 3 (а) Зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости материала радиатора - полипропилена - от энергии фотонов. (Ь) Теоретические спектральные и (с) угловые распределения ПИ без (сплошные

кривые) и с (прерывистые кривые) учетом поглощения фотонов внутри материала радиатора.

Как видно из Рисунка 3^ теория предсказывает резкие пики в угловом распределении ПИ. Существование пиков также подтверждается численным интегрированием, см. Рисунок где выражения Пафомова были

проинтегрированы численно (численно, поскольку они очень громоздки для их аналитического анализа). Рассмотрим более подробно происхождение пиков.

Во-первых, функция диэлектрической проницаемости в рентгеновском диапазоне частот имеет вид (1.7) и не содержит особенных точек.

Во-вторых, угловое распределение является результатом интегрирования спектрально-углового распределения по всем частотам. Рассмотрим дисперсионное соотношение РПИ, следующее из аргумента дельта-функции в (1.17):

2 Л

аю г"2 +в2 4 Юо

Ю2 у

+ Ью(у~2 +в2 ) = 4жсг. (1.34)

Это дисперсионное соотношение физически является результатом сложной картины интерференции волн, излучаемых от фольг радиатора.

Разрешая это уравнение относительно ю получаем частоты ю1 и ю2 , определяемые соотношением (1.22). Это означает, что, на заданных г , существует две волны с частотами ю1 и ю2 распространяющиеся под одинаковым углом в. Заметим, что частоты ю1 и ю2 различны. Наличие двух частот вызвано дисперсией функции диэлектрической проницаемости в(ю) = 1 -юЦю2. Похожие эффекты известны в физике: сложный эффект

Доплера в дисперсных средах, когда несколько волн с различной длиной волны могут возбуждаться под одинаковым углом (см., например, [106]).

Среди множества углов в , удовлетворяющих дисперсионному соотношению (1.34), углы в*

в =

4пг с2 г2 аС (а + Ь)

У

(1.35)

особенные: волны, распространяющиеся под этими углами, имеют совпадающие частоты сох=ю2:

* ас0 с = 0

2яег

(1.36)

Вырождение по частотам можно увидеть на Рисунке 4. Красные кривые на Рисунке 4 демонстрируют случай, когда излучение с двумя разными длинами волн (энергиями фотона), соответствующие одному и тому же порядку дифракции г , распространяются под одинаковым углом. Черные кривые соответствуют случаю, когда с = с2.

Рисунок 4 Спектрально-угловое распределение числа фотонов РПИ, построенное по формуле (1.8) (без учета поглощения, т.е. при @ = 1) для фиксированного угла в : (а) третий дифракционный порядок ( г = 3 ),

вх=в* = 0.48 мрад (черная кривая), в2 = 0.47 мрад (красная кривая); (Ь) второй дифракционный порядок (г = 2), вх =в* = 0.32 мрад (черная кривая), в2 = 0.31 мрад (красная кривая). Остальные параметры для всех кривых одинаковы: энергия электронов составляет 20 ГэВ, радиатор из 150 пленок полипропилена с толщиной а = 62 мкм с зазорами 2 мм между ними.

Видно, что две узкие спектральные линии превращаются в одну широкую линию в случае, когда юх=ю2 . Поэтому для ПИ от стопки пленок этот эффект наряду с интерференцией излучения в периодических средах может давать пики в угловом распределении излучения под углами, определяемыми уравнением (1.35).

Действительно, угловое распределение (119) пропорционально множителю

3

ю1,2

Лю^2 - В

, (1.37)

ю=ю 2

который максимален при в = в*. Легко проверить, что положение пиков на Рисунке 3c описываются в точности (1.35), для соответствующих г.

На Рисунке 4 высота черных максимумов зависит от порядка дифракции г, сравните Рисунок 4a и Рисунок 4Ь. Уменьшение высоты черного пика на Рисунке 4Ь по сравнению с двумя красными обусловлено влиянием квадрата синуса в уравнении (1.8), который отвечает за интерференцию излучения с двух сторон одной пленки. Это также объясняет, почему только некоторые из пиков на Рисунке 2Ь^ и Рисунке 3c имеют форму резких пиков, а другие подавляются, сглаживаются.

Итак, подведем итог: физической природой пиков является интерференция волн излучения от множества периодически расположенных пленок в направлениях, где происходит вырождение частот. Стоит также отметить, что экспериментально подобные пики в рентгеновском диапазоне

наблюдались уже около 30 лет назад [107] для электронов с энергией 0.5 ГэВ. Положение этих пиков полностью описывается выражением (1.35).

1.4 Влияние воздушных промежутков между пленками

Все приведенные выше формулы описывают радиатор, состоящий из пленок с вакуумными зазорами, в реальности же зазоры радиаторов бывают заполнены различными газами: воздухом, углекислым или инертными газами. Наиболее часты случай - это воздух. Для ПИ, генерируемого ультрарелятивистскими электронами, зона формирования излучения в воздухе (соа1г - плазменная частота воздуха входит в еа1г) записывается как

4с

X. =—,-—-т. (1.38)

^ с(у-2 +в2 + 1 И) ( )

Для 20 ГэВ электронов она отличается от зоны формирования в вакууме при с < 28 квУ, что и объясняет разницу между кривыми на Рисунке 5. Данное различие может влиять на спектр излучения, хотя сшг относительно мало (0.723 eV). Однако, для рассмотренных зависимостей и параметров эта разница оказывается несущественной. Рисунок 5 демонстрирует совпадение спектральных и угловых распределений ПИ для случаев когда между фольгами воздух, или вакуум.

Итак, роль воздуха между пленками можно принять во внимание следующим образом. Спектрально-угловое распределение описывается уравнением (1.8) с заменой Хтс на 2а1г . Спектральное распределение (т.е. проинтегрированное по углам спектрально-угловое), заданное формулой (1.12), будет иметь такой же вид, но с заменами: 1) Хтс на 2а1г по формуле (1.38) и 2) С из (1.14) на

с( а + Ь )

С„, =

4яс

а (1 -е>) + Ь (1 -С) + г_2

а + Ь

(1.39)

Угловое распределение (т.е. проинтегрированное по частотам спектрально-угловое), заданное уравнениями (1.19) или (1.32) будет иметь такой же вид, но с заменами: 1) на 2а1г из (1.38), и 2) В из (1.21) на

Ваг =с (а(1 -е') + Ь(1 -£'аг))/4с. (1.40)

Рисунок 5 Сравнение теоретических спектральных (а) и угловых (б) распределений с воздушными (прерывистые кривые) и вакуумными (сплошные кривые) зазорами между пленками радиатора. Здесь е" = о, = о.

1.5 Сравнение положения максимумов излучения с экспериментальными данными

Для проверки выражений для угловых распределений переходного излучения, проведем сравнение с экспериментальными данными. Для данных, результаты которых имеются в виде ROOT [108] файлов можно проводить сравнение угловых распределений напрямую, но с учетом того, что теория дает чистый спектр без учета функции детектора. Для сторонних экспериментальных результатов разумно будет сравнивать лишь положения угловых максимумов, в теории определяемые из выражения (1.35). На Рисунке 6 показаны измеренные угловые распределения из [107], которые были получены на эксперименте 1991 года, с использованием электронного пучка с энергией 500 МэВ, проходящего через 8 фольг Майларовых толщиной 3.8 мкм с зазорами 345, 230, 115 мкм. Цветными линиями на данном рисунке изображены положения первых максимумов, вычисленных по формуле (1.35), которые приходятся на 0.89 мрад, 1.32 мрад, 2.1 мрад, для радиаторов с зазорами 345 мкм, 230 мкм, 115 мкм, соответственно, что хорошо совпадает с их экспериментальными положениями. Из данных распределений и из выражения (1.35) видно, что несмотря на привычное мнение, что максимум переходного излучения должен находится в пределах значения, обратно пропорционального лоренц-фактору частицы, изменяя параметры радиатора, можно сместить его в необходимую сторону. Данный факт является очень важным с точки зрения построения детекторов на переходном излучении.

Рисунок 6 Экспериментальные угловые распределения РПИ из [107] для 0,5 ГэВных электронов. Радиатор состоит из 8 майларовых фольг толщиной 3.8 мкм с зазорами 345, 230, 115 мкм. Вертикальные цветные линии получены из выражения (1.35) в соответствии с параметрами радиаторов эксперимента.

Рисунок 7 показывает сравнение свежих экспериментальных данных [70, 77] с теорией для 20 ГэВных электронов; радиатор изготовлен из 30 майларовых фольг, толщина которых 50 мкм, а зазоры между ними 2.97 мм. Для удобства сравнения теоретическая кривая была отмасштабирована на порядок так как при ее построении не учитывалось поглощение и функция детектора. Как видно положение теоретических пиков отлично совпадает с их экспериментальным положением, что еще раз показывает надежность полученных выражений.

2.5

dN 102 Photons -[-

d0 mrad

2.0

1.5

— Data

— Theory x 10

0.5

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

в [mrad]

Рисунок 7 Сравнение с экспериментальными данными [77, 70] (синяя гистограмма) теоретического углового распределения (черным) фотонов рентгеновского переходного излучения от радиатора из 30 фольг Майлара толщиной 50 мкм с зазорами в 2.97 мм для 20 ГэВ электронов. Теоретическая кривая построена без поглощения и отмасштабирована на порядок для удобства сравнения.

Сравнение с экспериментальными данными будет приведено также и в следующей Главе, но будет не прямым, а косвенным - путем сравнения теории с моделированием, а моделирования с экспериментом.

Выводы по Главе 1

В данной главе, сравнив две широко известные модели переходного излучения Г.М. Гарибяна и В.Е. Пафомова, была выработана теория для случая малоуглового переходного излучения из многослойной структуры. Сравнение результатов с экспериментальными данными и компьютерным моделирование будет представлено в следующей главе.

Было показано, что в рассматриваемом частотном диапазоне две различные теории (Пафомов [36] и Гарибян [31]) дают совпадающие спектральные и угловые распределения. Кроме того, было интересно выяснить, что широко известное и используемое выражение для ПИ из русской версии статьи Пафомова [34] содержит опечатку, приводящую к

значительной разнице в распределении частот, а правильное выражение содержится в ранней и менее известной статье Пафомова [36], а также в [37], которая является изданием Шпрингера статьи [34].

С точки зрения построения теории интересно, что в аналогичном радиационном механизме излучения Смита-Парселла вообще нет пиков в угловом распределении. Основное различие здесь заключается в диэлектрической проницаемости в дисперсионном соотношении (1.34) для РПИ от периодической структуры, в отличие от дисперсионного соотношения для излучения Смита-Парселла, в котором отсутствует диэлектрическая проницаемость [109]. Именно частотная зависимость диэлектрической проницаемости настолько сильно изменяет поведение углового распределения ПИ, а пики углового распределения излучения определяются эффектом усиления излучения при слиянии двух разных частот, как показано на Рисунке 4. На Рисунке 6 и Рисунке 7 показано, что полученные выражения соответствуют экспериментальным данным из [107, 77, 70].

Теория ПИ, разработанная здесь для малоуглового случая, может сыграть важную роль в будущем Малоугловом спектрометре на LHC и других экспериментах такого рода, для которых необходима разработка детекторов, способных детектировать заряженные частицы с Лоренц-фактором выше 103, включая адроны энергетического диапазона ТэВ.

Глава 2 Компьютерная модель детектора переходного излучения в программном комплексе Geant4.

Возможности современных ускорителей растут, а вместе с ними растут и требования к детекторам. Стандартно, в физике и технике коллайдеров идут двумя путями: модернизировать ныне функционирующие детекторы, или разработать и создать новые. Для решения любой из этих задач требуется наличие физической модели, описывающей ключевые процессы - такие как переходное излучение в радиаторе - и воплощение этой модели в программном комплексе. Пакет Geant4 [82, 83, 84, 85] отвечает всем требованиям такого моделирования. В этом разделе разработана модель рентгеновского переходного излучения на основе модуля РПИ в Geant4.

Geant4, как и другие программные комплексы, в ряде ситуаций требует настройки, вплоть до дальнейшего совершенствования алгоритмов и физико-математических моделей, на основе которых работают его вычислительные модули. Действительно, на практике часто случаются несовпадение данных моделирования и экспериментальных данных, что ставит перед исследователями вопрос о необходимости улучшения точности расчетов. В данном разделе также приводится сравнение результатов моделирования детектора РПИ в Geant4 с программой моделирования РПИ RADIATOR [110], с экспериментальными данными [70, 73, 74, 68] и теорией, описанной выше [72].

2.1 Описание модели детектора рентгеновского переходного излучения в Geant4

Рассмотрим теперь компьютерную модель детектора (см. Рисунок 8) рентгеновского переходного излучения, в составе которого имеется радиатор (упорядоченная слоистая среда), гелиевая труба (она позволяет уменьшить расходимость ПИ, а также служит для удержания дистанции между радиатором и детектором, достаточной для измерения углового

распределения фотонов), и детектирующий объем (см. визуализацию компьютерной модели на Рисунке 9).

Рисунок 8 Схема детектора ПИ для одновременного измерения и спектрального и углового распределений ПИ. Первичный пучок проходит через периодическую структуру из фольг (фиолетовым) и зазоров - радиатор ПИ, далее вместе с ПИ через гелиевую трубу и детектирующий объем -газонаполненный или полупроводниковый пиксельный [77]/стриповый [73] детектор.

Ключевым элементом детектора переходного излучения является радиатор, то есть периодическая структура, в которой излучаются кванты РПИ, см. Рисунок 1. Вышедшее из радиатора излучение регистрируется. Для регистрации обычно используются либо ионизационные камеры, либо детекторы на основе кремния или галлия арсенида.

Моделирование переходного излучения в ОеаП:4 осуществляется отдельным модулем. Этот модуль использует метод так называемого быстрого моделирования. Модуль позволяет найти число излученных фотонов, и определяет их спектральное и угловое распределения. Кроме строго периодической структуры, модуль РПИ способен работать и с нерегулярным радиатором, у которого величины размеров толщины фольги и промежутком между фольгами имеют отклонения от периодичности. В модуле заложено, что отклонения толщин от среднего значения описываются гамма-распределением. Число фотонов рентгеновского переходного

излучения разыгрывается по распределению Пуассона со средним числом, получаемым после интегрирования спектрального распределения фотонов РПИ. Среднее число фотонов необходимо для определения средней длины взаимодействия в радиаторе, которое используется для распределения «стартовых точек» фотонов внутри конкретной структуры. Модуль РПИ был написан и внедрен в ОеаП:4 В.М. Гришиным с командой разработчиков программного пакета [98, 99, 100, 101, 102]. Однако же для удобства Гришиным в модуле РПИ были созданы упрощенные модели регулярных радиаторов, позволяющие избежать численного интегрирования, которые и будут использоваться для дальнейшего исследования.

Рисунок 9 Модель газ-пиксельного детектора переходного излучения в программном комплексе в ОеаП:4. Красные линии обозначают отрицательно заряженные частицы (как падающие на радиатор, так и излученные в результате этого), зеленые - фотоны РПИ и другие нейтральные частицы.

Далее будут рассматриваться несколько различных радиаторов, параметры которых описывает Таблица 1.

Таблица 1 Параметры радиаторов, используемые при моделировании

№ Материал Толщина Зазор, мм Плотность Число

фольг, фольг, фольг

мкм ^еш3

1 Майлар 50 2,97 1,39 30

2 Майлар 50 2,97 1,39 30 х 3

3 Полипропилен 62 2 0,92 150

4 Полипропилен 15 0,222 0,92 36 х 5

(4,5 между

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савченко Александр Алексеевич, 2020 год

Список литературы

[1] B. Dolgoshein, "Transition radiation detectors and particle identification," Nucl. Inst. andMeth. A, vol. 252, p. 137, 1986.

[2] B. Dolgoshein, "Transition radiation detectors," Nucl. Instrum. Methods A, vol. 326, p. 434, 1993.

[3] A. Andronic and J. Wessels, "Transition radiation detectors," Nucl. Instr. and Meth. A, vol. 666, p. 130, 2012.

[4] V. L. Ginzburg and I. Frank, "Radiation from a uniformly moving electron due to its transition from one medium into another," J. Phys. USSR, vol. 9, p. 353, 1945.

[5] И. М. Франк, «Оптика источников света, движущихся в преломляющих средах,» УФН, т. 68 , p. 397, 1959.

[6] М. Л. Тер-Микаелян, «Интерференционное излучение сверхбыстрых электронов,» ЖЭТФ, т. 25, p. 296, 1953.

[7] Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук, «Пределы применимости теории тормозного излучения электронов и образования пар при больших энергиях,» ДАН СССР, т. 92, p. 535, 1953.

[8] Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук, «Электронно-лавинные процессы при сверхвысоких энергиях.,» ДАН СССР, т. 92, p. 735, 1953.

[9] Г. М. Гарибян, «Макроскопическая теория переходного излучения,» Ереванский Физический Институт, Ереван, 1973.

[10] P. Goldsmith and J. V. Jelley, "Optical transition radiation from protons entering metal surfaces," Philosophical Magazine, vol. 4, no. 43, p. 836, 1959.

[11] G. M. Garibyan, "Contribution to the theory of transition radiation," JETP, vol. 33, p. 1079, 1958.

[12] G. M. Garibyan and G. A. Chalikian, "The radiation from a charged particle passing through a plate," JETP, vol. 35, p. 1282, 1958.

[13] G. M. Garibyan, "Radiation from a charged particle traversing a layered medium," JETP, vol. 35, p. 1003, 1959.

[14] G. M. Garibyan, "Transition radiation effects in particle energy losses," JETP, vol. 37, p. 372, 1960.

[15] K. A. Barsukov, "Transition radiation in waveguides," JETP, vol. 37, p. 787, 1960.

[16] Ф. Р. Арутюнян, К. А. Испирян и А. Г. Оганесян, «Излучение мюонов сверхвысоких энергий в слоистой среде,» Известия АН СССР, т. 28, № 11, p. 1864, 1964.

[17] A. I. Alikhanyan, F. R. Arutyunyan, K. A. Ispiryan and M. L. Ter-Mikaelyan, "A Possible Method of Detecting High-Energy Charged Particles," JETP, vol. 14, p. 2002, 1962.

[18] L. C. Yuan, "Recent progress in transition radiation detector techniques,"

Presented at the Int. Conf. on Instrumentation for High-Energy Physics Frascati, 1973.

[19] M. L. Cherry, D. Muller and T. A. Prince, "The efficient identification of relativistic particles by transition radiation," Nucl. Inst. and Meth., vol. 115, p. 141, 1974.

[20] J. Oostens, S. Prlinster, C. L. Wang, Luke C. L. Yuan, "Transition radiation from relativistic charged particles and its energy dependence," PHYSICAL REVIEW LETTERS, vol. 19, p. 541, 1967.

[21] Luke C. L. Yuan, C. L. Wang, and S. Prunster, "X-Ray Transition Radiation Applied to the Detection of Superhigh-Energy Particles," Phys. Rev. Lett. , vol. 23, p. 495 , 1969).

[22] L.C.L. Yuan, C.L. Wang, H. Uto, S. Pruenster, "Energy dependence of x-ray transition radiation from ultrarelativistic charged particles," Phys.Lett.B , vol.

31, p. 603, 1970.

[23] A. I. Alikhanyan, "Recent progress on particle detector technique," PROCEEDINGS - Of the 1966 International Conference On Instrumentation for High Energy Physics, Stanford,, 1966.

[24] H. Boersch, C. Radeloff and G. Sauerbrey, "Experimental detection of transition radiation," Phys. Rev. Lett., vol. 7, p. 52, 1961.

[25] A. Frank, E. Arakawa and R. Birkhoff, "Optical emission from irradiated foils.," Phys. Rev., vol. 126, p. 1947, 1962.

[26] A. N. Chu, M. A. Piestrup, T. W. Barbee Jr., and R. H. Pantell, "Observation of soft x-ray transition radiation from medium energy electrons," Review of Scientific Instruments, vol. 51, p. 597 , 1980.

[27] L. Durand, "Transition radiation from ultrarelativistic particles," Phys. Rev. D, vol. 11, p. 89, 1975.

[28] X. Artru, G. B. Yodh and G. Mennessier, "Practical theory of the multilayered transition radiation detector," Phys. Rev. D, vol. 12, p. 1289, 1975.

[29] М. Л. Тер-Микаелян, Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях, Ереван: Издательство АН Арм.ССР., 1959.

[30] A. Hirose, "On transition radiation II," Radiation Physics and Chemistry, vol. 64, p. 261, 2002.

[31] Г. М. Гарибян и Я. Ши, Рентгеновское переходное излучение, Ереван, 1983.

[32] И. М. Франк, «Переходное излучение и оптические свойства вещества,» УФН, т. 87, p. 189, 1965.

[33] P. Rullhusen, X. Artru, P. Dhez, Novel Radiation Sources using Relativistic Electrons, Singapore: World Scientific,, 1998.

[34] В. Пафомов, «Излучение заряженной частицы при наличии границ раздела,» Труды ФИАН, т. 44, p. 28, 1969.

[35] G. M. Garibian, "Radiation from a Charged Particle Traversing a Layered Medium," JETP, vol. 35, p. 1435, 1958.

[36] V. E. Pafomov, "On the Interference Effects of Radiation in Layered Media," Sov. Phys. Tech. Phys. , vol. 8, p. 412, 1963.

[37] V. E. Pafomov, "Radiation of a charged particle in the presence of a separating boundary," The Lebedev Phys. Inst. Series, Springer, vol. 44, p. 25, 1971.

[38] А. И. Алиханян и др., «Влияние многократного рассеяния на переходное излучение,» письма вЖЭТФ, т. 18, p. 35, 1973.

[39] G. M. Garibian, L. A. Gevorgian, C. Yang, "The calculation of X-ray transition radiation generated in regular- and irregular-layered media," Nucl. Inst. andMeth, vol. 125, p. 133, 1975.

[40] G. M. Garibyan, L. A. Gevorgyan and C. Yang, "X-ray transition radiation produced in an irregular medium," JETP, vol. 66, p. 552, 1974.

[41] V. Chernyatin, B. Dolgoshein. Gavrilenko, M. Potekhin, A. Romaniouk and V. Sosnovtsev, "Foam radiators for transition radiation detectors," Nucl. Inst. and Meth. A, vol. 325, p. 441, 1993.

[42] M. Aaboud et al. (ATLAS Collaboration), "Performance of the ATLAS Transition Radiation Tracker in Run 1 of the LHC: tracker properties," JINST, vol. 12, p. P05002, 2017.

[43] В. В. Сыщенко и Э. А. Ларикова, «Метод отражений в описании излучения заряженной частицы на идеально проводящей сфере,» Научные ведомости БелГУ, т. 19, p. 163, 2014.

[44] Н. Ф. Шульга, В. В. Сыщенко и С. Н. Шульга, «Метод эквивалентных фотонов и эйканальное приближение в теории переходого излучения,» Поверхность. рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, т. 1, p. 1, 2010.

[45] N. F. Shul'ga and V. V. Syshchenko, "Transition radiation of high energy

particles on fiber-like targets," Phys. Lett. A, vol. 313, p. 307, 2003.

[46] А. П. Потылицын и др., «Наблюдение монохроматического переходного излучения от решетки в субтерагерцовом диапазоне,» Письма в ЖЭТФ, т. 104, p. 826, 2016.

[47] V. V. Berdnikov et al., "A Transition Radiation Detector Based on Thin Inorganic Scintillators," Instruments and Experimental Techniques, vol. 56, p. 146, 2013.

[48] Н. Ф. Шульга, С. В. Трофименко и В. В. Сыщенко, «О переходном и тормозном излучении релятивистского электрона с неравновесным полем,» Письма в ЖЭТФ, т. 7, p. 3, 2011.

[49] Trofymenko, S. V. Trofymenko, N. F. Shul'ga and A. V. Shchagin, "Diffracted x-ray transition radiation by a "half-bare" electron," PRAB, vol. 22, p. 024501, 2019.

[50] M. Castellano, V. Verzilov, L. Catani, A. Cianchi, G. D. D'Auria, M. Ferianis and C. Rossi, "Search for the prewave zone effect in transition radiation," Phys. Rev. E, vol. 67, p. 015501, 2003.

[51] N. F. Shul'ga, S. V. Trofymenko, S. Y. Barsuk and O. A. Bezshyyko, "On transition radiation by a low-energy relativistic "half-bare" electron," Eur. Phys. J. Plus, vol. 134, p. 343, 2019.

[52] M. Piestrup, P. Finman, A. Chu, T. Barbee, R. Pantell, R. Gearhart and F. Buskirk, "Transition radiation as an X-ray source," IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 19, no. 12, p. 1771, 1983.

[53] L. Federici, G. Giordano, G. Matone, G. Pasquariello, P. Picozza, E. Caloi and B. Girolami, "The LADON photon beam with the ESRF 5 GeV machine," Lettere Al Nuovo Cimento Series 2, vol. 27, no. 11, p. 339, 1980.

[54] M. Kumakhov и R. Weddel, «Theory of Radiation of Relativistic Channelled Particles,» Phys. Stat. Solidi B, т. 84 , p. 581, 1977.

[55] W. Wagner, A. Savchenko, B. Azadegan and M. Shafiee, "Nondipolarity of

axial channeling radiation at GeV beam energies," Phys. Rev. Accel. Beams, vol. 22, p. 054502 , 2019.

[56] B. Azadegan, W. Wagner, A. Savchenko and A. Tishchenko, "Simulation of Channeling Radiation and Positron Production in Thick Diamond Structures and a Tungsten Single Crystal," Radiation Physics and Chemistry, vol. 157, p. 84 , 2019.

[57] W. Wagner, A. Savchenko and B. Azadegan, "Simulation of positron spectra of a hybrid positron source," JINST, vol. 15, p. C06006 , 2020.

[58] M. L. Cherry, G. Hartmann, D. Muller and T. A. Prince, "Transition radiation from relativistic electrons in periodic radiators," Phys. Rev. D, vol. 10, p. 3594, 1974.

[59] P. Nevski, "Advances in the simulation of Transition Radiation Detectors," Nucl. Instrum. Methods A , vol. 522, p. 116, 2004.

[60] S. P. Wakely, "Precision X-ray transition radiation detection," Astroparticle Physics, vol. 18, p. 67, 2002.

[61] M. L. Cherry, "Measurements of the spectrum and energy dependence of x-ray transition radiation," Phys. Rev. D 17, 2245, vol. 17, p. 2245, 1978.

[62] T. Siedenburgathe et al. (AMS-TRD Collaboration), "The AMS TRD. A gasdetector designed for operation in space," Nucl. Phys. B - Proceedings Supplements, vol. 150, p. 30, 2006.

[63] E. Abat et al. (ATLAS collaboration), " The ATLAS TRT end-cap detectors," JINST, vol. 3, p. P02014, 2008.

[64] K. Aamodt et al. (ALICE collaboration), "The ALICE experiment at the CERN LHC," JINST 3, vol. 3, pp. S08002, see p. 66., 2008.

[65] G. Aad et al. (ATLAS collaboration), " The ATLAS experiment at the CERN Large Hadron Collider," JINST, vol. 3, p. S08003 , 2008.

[66] "Materials of the First meeting on Small Angle Spectrometer at LHC," [Online]. Available: https://indico.cem.ch/event/435373/.

[67] M. Albrow, "A Very Forward Hadron Spectrometer for the LHC and Cosmic Ray Physics," arXiv:1811.02047v1, 2018.

[68] N. Belyaev, M. L. Cherry, K. Desch et al. , "Measurements of angular distribution and spectrum of transition radiation with a GridPix detector," Journal of Physics: Conference Series, vol. 934, no. 1, p. 012049, 2017.

[69] N. Belyaev, M. L. Cherry, K. Desch, et al., "Test beam studies of possibilities to separate particles with gamma factors above 10A3 with straw based Transition Radiation Detector," Journal of Physics: Conference Series, vol. 934, p. 012053, 2017.

[70] E. Schioppa, F. Dachs, J. Alozy et al., "First measurements of the spectral and angular distribution of transition radiation using a silicon pixel sensor on a Timepix3 chip," Nucl. Instrum. Methods A, Vols. ,in Press, https://doi.org/10.10167j.nima.2018.11.06, 2018.

[71] A.A. Savchenko, A.A. Tishchenko, E.A. Shulga, A.S. Romaniouk, Yu.S. Smirnov, M.N. Strikhanov, "X-ray transition radiation from polypropylene radiator: experiment and GEANT4," Physics of Atomic Nuclei , vol. 81, p. 1618, 2018.

[72] A. A. Savchenko, D. Y. Sergeeva, A. A. Tishchenko and M. N. Strikhanov, " Small-angle X-ray transition radiation from multilayered structures," Phys. Rev. D, vol. 99, p. 016015, 2019.

[73] J. Alozy, N. Belyaev, M. Campbell et al., "Identification of particles with Lorentz factor up to 10A4 with Transition Radiation Detectors based on micro-strip silicon detectors," Nucl. Instrum. Methods A, vol. 927, p. 1, 2019.

[74] F. Dachs, J. Alozy, N. Belyaev et al., "Transition radiation measurements with a Si and a GaAs pixel sensor on a Timepix3 chip," Nucl. Instrum. Methods A, Vols. , in Press, https://doi.org/10.10167j.nima.2019.03.092, 2019.

[75] F. Loparco, J. Alozy, N.Belyaev et al., "Measurement of the energy spectra and of the angular distribution of the Transition Radiation with a silicon strip

detector," Journal of Physics: Conference Series, vol. 1390, p. 012115 , 2019.

[76] N. Belyaev, M. L. Cherry, F. Dachs et al., "Development of Transition Radiation Detectors for hadron identification at TeV energy scale," Journal of Physics: Conference Series , vol. 1390, p. 012126 , 2019.

[77] J. Alozy, N. Belyaev, M. Campbell et al. , "Studies of the spectral and angular distributions of transition radiation using a silicon pixel sensor on a Timepix3 chip," Nucl. Inst. and Meth. A , vol. 961 , p. 163681, 2020.

[78] A.A. Savchenko, A.A. TishchenkPs, D.Yu. Sergeeva et al., "Fine structure of angular distribution of x-ray transition radiation from multilayered radiator in Geant4," JINST, vol. 15, no. in Press, p. C06024, 2020.

[79] M. L. Cherry, "Measuring the Lorentz factors of energetic particles with transition radiation," Nucl. Instrum. Methods A , vol. 706, p. 39, 2013.

[80] M. L. Cherry and G. L. Case, "Compton scattered transition radiation from very high energy particles," Astroparticle Physics, vol. 18, p. 629, 2003.

[81] B. Huang et al., "Side-On transition radiation detector: A detector prototype for TeV energy scale calibration of calorimeters in space," Nucl. Inst. and Meth. A, vol. 962, p. 163723, 2020.

[82] "GEANT4, version 10.4, official web-sites," [Online]. Available: http: //www.geant4. org/geant4/; http: //geant4 .web .cem.ch/geant4/.

[83] J. Allison, K. Amako, J. Apostolakis et al., "Recent Developments in Geant4," Nucl. Instrum. Meth. A , vol. 835, p. 186, 2016.

[84] J. Allison, K. Amako, J. Apostolakis et al., "Geant4 Developments and Applications," IEEE Trans. Nucl. Sci. , vol. 53, p. 270, 2006.

[85] S. Agostinelli, J. Allison, K. Amako et al., "Geant4 - A Simulation Toolkit," Nucl. Instrum. Meth. A , vol. 506, p. 250, 2003.

[86] H. N. Tran, M. Karamitros and V. N. Ivanchenko, "Geant4 Monte Carlo simulation of absorbed dose and radiolysis yields enhancement from a gold

nanoparticle under MeV proton irradiation," Nucl. Instrum. Methods В, vol. 373, p. 126, 2016.

[87] G. Alexander, J. Barley, Y. Batygin, et al., "Observation of Polarized Positrons from an Undulator-Based Source," Phys. Rev. Lett. , vol. 100, p. 210801, 2008.

[88] D. D. DiJulio, C. P. Cooper-Jensen, H. Bjôrgvinsdottir, Z. Kokai and P. M. Bentley, " High-energy in-beam neutron measurements of metal-based shielding for accelerator-driven spallation neutron sources," Phys. Rev. ST -AB, vol. 19, p. 053501, 2016.

[89] U. Husemann, J. Mechnich and A. Salzburger, "Simulation strategies using FATRAS and GEANT4 for a future upgrade of the ATLAS tracking," Journal of Physics: Conference Series, vol. 331, p. 032046, 2011.

[90] D. Costanzo, A. Dell'Acqua, M. Gallas, et al., " The GEANT4-Based Simulation Software of the ATLAS Detector," IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, San Diego, CA, 5, p. 5, 2006.

[91] G. Aad et al. (ATLAS collaboration), "The ATLAS Simulation Infrastructure," Eur. Phys. J. C, vol. 70, p. 823, 2010.

[92] K. Abdel-Waged, N. Felemban and V. V. Uzhinskii, "GEANT4 hadronic cascade models analysis of proton and charged pion transverse momentum spectra from p + Cu and Pb collisions at 3, 8, and 15 GeV/c," Phys. Rev. C, vol. 84, p. 014905, 2011.

[93] Y. Takubo, R.N. Hodgkinson, K. Ikematsu, et. al., "Measuring anomalous couplings in H -> WW* decays at the International Linear Collider," Phys. Rev. D, vol. 88, p. 013010, 2013.

[94] S. Incerti, M. Douglass, S. Penfold, S. Guatelli and E. Bezak, " Review of Geant4-DNA applications for micro and nanoscale simulations," Physica Medica, vol. 32, p. 1187, 2016.

[95] M. B. Hahn, S. Meyer, H.-J. Kunte, T. Solomun and H. Sturm,

"Measurements and simulations of microscopic damage to DNA in water by 30 keV electrons: A general approach applicable to other radiation sources and biological targets," Phys. Rev. E, vol. 95, p. 052419, 2017.

[96] K. Murase, K. Ioka, S. Nagataki and T. Nakamura, "High-energy cosmic-ray nuclei from high-and low-luminosity gamma-ray bursts and implications for multimessenger astronomy," Phys. Rev. D, vol. 78, p. 023005, 2008.

[97] S. Abe, et al., (KamLAND Collaboration), " Production of radioactive isotopes through cosmic muon spallation in KamLAND," Phy. Rev. C, vol. 81, p. 025807, 2010.

[98] J. Apostolakis, S. Giani, M. Maire, A. Y. Bagulya and V. M. Grichine, "Parameterization models for X-ray transition radiation in the GEANT4 package," Comput. Phys. Commun., vol. 132, p. 241, 2000.

[99] V. M. Grichine and S. S. Sadilov, " GEANT4 models for X-ray transition radiation," Nucl. Instrum. Methods A , vol. 522, p. 122, 2004.

[100] V. M. Grichine, "Generation of X-ray transition radiation inside complex radiators," Physics Letters B , vol. 525, p. 225, 2002.

[101] V. M. Grichine, "Angular distribution of X-ray transition radiation from regular radiators," Nucl. Instrum. Methods A , vol. 696, p. 141, 2012.

[102] J. Allison, K. Amako, J. Apostolakis, et al., " Recent developments in GEANT4," Nucl. Instrum. Methods A, vol. 835, p. 186, 2016.

[103] J. H. Hubbell and S. M. Seltzer, "Tables of X-Ray Mass Attenuation Coefficients and Mass Energy-Absorption Coefficients 1 keV to 20 MeV for Elements Z = 1 to 92 and 48 Additional Substances of Dosimetric Interest,"

NISTInteragency/Internal Report (NISTIR), 2017.

[104] V. A. Bazylev, V. I. Glebov, E. I. Denisov, N. K. Zhevago, M. A. Kumakhov, A. S. Khlebnikov and V. G. Tsinoev, "X-ray Cerenkov radiation. Theory and experiment," JETP, vol. 54, p. 884, 1981.

[105] V. G. Baryshevsky, I. D. Feranchuk and A. P. Ulyanenkov, Parametric X-ray

Radiation: Theory, Experiment and Applications, Berlin: Springer Tracts in Modern Physics, 2006.

[106] H. Berger, " Complex Doppler effect in dispersive media," American Journal of Physics, vol. 44, p. 581, 1976.

[107] P. Goedtkindt, J.-M. Salom'e, X. Artru, P. Dhez, M. Jablonka, N. Maene, F. Poortmans and L. Wartski, "Interference effects in X-ray transition radiation with a 500 MeV electron beam," Nucl. Instrum. Methods Phys. Res., Sect. B, vol. 56, p. 1060, 1991.

[108] "ROOT Data Anlysis Framework," [Online]. Available: https://root.cern.ch/.

[109] A. P. Potylitsyn, M. I. Ryazanov, M. N. Strikhanov and A. A. Tishchenko, Diffraction Radiation from Relativistic Particles, Berlin: Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 239, 2011.

[110] "6. RADIATOR: A program to calculate the Transition Radiation quanta yield," [Online]. Available: https://radiator.hepforge.org/.

[111] Michael L. Cherry, Gary L. Case,, "Compton scattered transition radiation from very high energy particles," Astroparticle Physics, vol. 18, no. 6, p. 629, 2003.

[112] G. L. Case, P.P. Altice, M. L. Cherry, J. Isbert, D. Patterson, J. W. Mitchell, "Measurements of Compton scattered transition radiation at high Lorentz factors," Nucl. Instr. andMeth. A, vol. 524, p. 257, 2004.

[113] G. W. Bennett, et al., "Measurement of the Negative Muon Anomalous Magnetic Moment to 0.7 ppm," Phys. Rev. Lett., vol. 92, p. 161802, 2004.

[114] J. Grange et al., "Muon (g-2) Technical Design Report," arXiv:1501.06858, 2015.

[115] D. W. Hertzog, "Next Generation Muon g-2 Experiments," arXiv:1512.00928, 2015.

[116] L.P. Alonzi et al., "The calorimeter system of the new muon g-2 experiment at Fermilab," Nucl. Instr. and Meth. A , vol. 824, p. 718, 2016.

[117] A. Anastasi et al., "The calibration system of the new g-2 experiment at Fermilab," Nucl. Instr. andMeth. A, vol. 824, p. 716, 2016.

[118] A. Anastasi et al., "Test of candidate light distributors for the muon (g-2) laser calibration system," Nucl. Instr. and Meth. A , vol. 788, p. 43, 2015.

[119] [Online]. Available: http://www.siccas.com/PbF2LeadfluorideCrystal.htm.

[120] A.T. Fienberg et al., " Studies of an array of PbF2 Cherenkov crystals with large-area SiPM readout," Nucl. Instr. and Meth. A, vol. 783, p. 12, 2015.

[121] "16-channel Multi-Pixel Photon Counter, 57,600 50-^m-pitch pixels in a 1.2 x 1.2 area, Model number S12642-4040PA-50," [Online]. Available: http: //www.hamamatsu.com/eu/en/index.html.

[122] [Online]. Available: https://ut.mephi.ru.

[123] J. Kaspar et al., " Design and performance of SiPM-based readout of PbF2 crystals for high-rate, precision timing applications," arXiv:1611.03180v2 , 2016.

Приложение А — Оригинальный код.

1 // Vector of angles and angle integral distributions

2 G4PhysicsFreeVector* G4VXTRenergyLoss::GetAngleVector(G4double energy, G4int n)

3 {

4 G4double theta=0., result, tmp=0., cof1, cof2, cofMin, cofPHC, angleSum = 0.;

4 G4int iTheta, k, /*kMax,*/ kMin;

5 G4PhysicsFreeVector* angleVector = new G4PhysicsFreeVector(n);

6 cofPHC = 4.*pi*hbarc;

7 tmp = (fSigma1 - fSigma2)/cofPHC/energy;

8 cof1 = fPlateThick*tmp;

9 cof2 = fGasThick*tmp;

10 cofMin = energy*(fPlateThick + fGasThick)/fGamma/fGamma;

11 cofMin += (fPlateThick*fSigma1 + fGasThick*fSigma2)/energy;

12 cofMin /= cofPHC;

13 kMin = G4int(cofMin);

14 if (cofMin > kMin) kMin++;

15 if(verboseLevel > 2)

16 {

17 G4cout<<"n-1 = "<<n-1<<"; theta = "

18 <<std::sqrt(fMaxThetaTR)*fGamma<<"; tmp = "

19 <<0.

20 <<"; angleSum = "<<angleSum<<G4endl;

21 }

22 for( iTheta = n - 1; iTheta >= 1; iTheta-- )

23 {

24 k = iTheta - 1 + kMin;

25 tmp = pi*fPlateThick*(k + cof2)/(fPlateThick + fGasThick);

26 result = (k - cof1)*(k - cof1)*(k + cof2)*(k + cof2);

27 tmp = std::sin(tmp)*std::sin(tmp)*std::abs(k-cofMin)/result;

28 if( k == kMin && kMin == G4int(cofMin) )

29 {

30 angleSum +=0.5*tmp;

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

}

else if(iTheta == n-1);

else {

angleSum += tmp;

}

theta = std::abs(k-cofMin)*cofPHC/energy/(fPlateThick + fGasThick);

if(verboseLevel > 2) {

G4cout<<"iTheta = M<<iTheta<<"; k = "<<k<<"; theta = " <<std::sqrt(theta)*fGamma<<"; tmp = " <<tmp <<"; angleSum = "<<angleSum<<G4endl;

}

angleVector->PutValue( iTheta, theta, angleSum );

}

if (theta > 0.) {

angleSum += 0.5*tmp;

theta = 0.; }

if(verboseLevel > 2) {

G4cout<<"iTheta = "<<iTheta<<"; theta = "

<<std::sqrt(theta)*fGamma<<"; tmp = "<<tmp <<"; angleSum = "<<angleSum<<G4endl;

}

angleVector->PutValue( iTheta, theta, angleSum );

return angleVector; }

// Get XTR photon angle at given energy and Tkin

G4double G4VXTRenergyLoss::GetRandomAngle( G4double energyXTR, G4int iTkin ) {

G4int iTR, iAngle;

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

G4double position, angle; if (iTkin == fTotBin) iTkin—; fAngleForEnergyTable = fAngleBank[iTkin];

for( iTR = 0; iTR < fBinTR; iTR++ ) {

if( energyXTR < fXTREnergyVector->GetLowEdgeEnergy(iTR) ) break;

}

if (iTR == fBinTR) iTR--;

position = (*(*fAngleForEnergyTable)(iTR))(0)*G4UniformRand();

for( iAngle = 0;; iAngle++) {

if( position >= (*(*fAngleForEnergyTable)(iTR))(iAngle) ) break;

}

angle = GetAngleXTR(iTR,position,iAngle); return angle;

}

// Returns approximate position of x-ray photon angle at given energy during random sampling

// over integral energy distribution

G4double G4VXTRenergyLoss::GetAngleXTR( G4int iPlace, G4double position,

G4int iTransfer ) {

G4double x1, x2, y1, y2, result;

if( iTransfer == 0 ) {

result = (*fAngleForEnergyTable)(iPlace)->GetLowEdgeEnergy(iTransfer);

}

else {

y1 = (*(*fAngleForEnergyTable)(iPlace))(iTransfer-1);

y2 = (*(*fAngleForEnergyTable)(iPlace))(iTransfer);

x1 = (*fAngleForEnergyTable)(iPlace)->GetLowEdgeEnergy(iTransfer-1);

97 x2 = (*fAngleForEnergyTable)(iPlace)->GetLowEdgeEnergy(iTransfer);

98 if ( x1 == x2 ) result = x2;

99 else

100 {

101 if ( y1 == y2 ) result = x1 + (x2 - x1)*G4UniformRand();

102 else

103 {

104 result = x1 + (position - y1)*(x2 - x1)/(y2 - y1);

105 }

106 }

107 }

108 return result;

109 }

Приложение Б — Исправленные строки.

28 if( k == kMin && kMin == G4int(cofMin) )

29 {

30 angleSum +=tmp;

31 }

46 if (theta > 0.)

47 {

48 angleSum += 0;

49 theta = 0.;

50 }

72 position = (*(*fAngleForEnergyTable)(iTR))(1)*G4UniformRand();

73 for( iAngle = 1;; iAngle++)

88 if( iTransfer == 1 )

104 result = x1 + 0.1*(position - y1)*(x2 - x1)/(y2 - y1);