Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сотников, Алексей Игоревич

• Сотников, Алексей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сотников, Алексей Игоревич

Основные обозначения

ГЛАВА 1. Введение

ГЛАВА 2. Предварительные сведения

§2.1. Вспомогательные сведения из теории упорядоченных пространств

§ 2.2. Вспомогательные факты из теории меры

I . "i

ГЛАВА 3. Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций . 42 (

I . •

§ 3.1. Понятие переходной функции

§ 3.2. Изоморфизмы между гфостранством переходных ^ функций и другими классическими пространствами

§ 3.3. Счетно-аддитивные и чисто конечно-аддитивные .•<-. переходные функции

§ 3.4. Сильно аддитивные переходные функции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций»

Тема настоящего исследования имеет давнюю историю и восходит к ' ^ первым работам российских математиков по цепям Маркова. В начале XX века А. А. Марков построил основы теории важнейшего сегодня типа случайных процессов с дискретным временем, названных в последствии его именем — «цепи Маркова». Суть этих процессов заключается в том, что развивающаяся в дискретном времени динамическая стохастическая система имеет некоторую вероятностную закономерность, учитывающую свою предысторию только за один прошлый шаг, либо за заранее фиксированное конечное число предыдущих шагов. Оказалось, что большинство реальных процессов в физике, биологии, экономике и в других областях укладываются в математическую теорию цепей Маркова. Для динамичеi • ских систем, у которых непрерывность времени существенна, также построена аналогичная цепям Маркова теория марковских случайных процессов с непрерывным временем. ' После создания в 1933 г. А. Н. Колмогоровым новой аксиоматики теории вероятностей на основе общей 'Теории меры теория случайных процессов — ,и теория цепей Маркова в частности — начала бурно развиваться с использованием всего набора методов функционального анализа.Общепризнанной вехой в этом развитии является работа 1941 г. Иосиды и Какутани [43], в которой теория цепей Маркова была переведена на язык теории линейных операторов в некоторых пространствах функций и пространствах мер. Этот функциональный - операторный подход трудно пробивал себе дорогу в обилии исследований по цепям Маркова, выполняемых в рамках классической трактовки случайных процессов на • языке случайных величин (элементов). Признанию нового взгляда на теорию случайных процессов способствовали теперь уже классические работы Ю. В. Прохорова [20] и А. А. Боровкова [2], выполненные уже на функциональном языке с использованием конечно-аддитивных мер (зарядов).4, G Уместно также упомянуть работы Бартла и Данфорда (см. [7]) по выявлению общего вида линейных операторов в различных пространствах . функщ1й, которые показали, что все такие операторы имеют аналитический интегральный вид «марковского типа», т.е. задаются при помощи некоторого ядра — функщ^и двух переменных, являющейся обычной измеримой функцией по первой переменной и мерой по второй переменной.После этого стало ясно, ч1г) проблемы вероятностной теории цепей Маркова и основные задачи функционального анализа имеют много общегб.Все исследования в работа:: [9-11] проводятся в рамках функционального подхода, что привело к необходимости попутного решения и ряда ' проблем собственно функционального анализа. А. И. Жданок указывает # В [9-11] на необходимость отдельного и широкого исследования конечноаддитивных цепей Маркова, однако в этих работах он такой цели не ставит.Первоначально тема настоящего исследования была обозначена А. Е. Гутманом и А. И. Жданком как задача решения ряда проблем в теории цепей Маркова, оставшихся без внимания в рамках уже сложившихся функционально-операторных методов. Вскоре стало ясно, что для решения таких задач требуется привлечение аппарата теории векторных решеток и теории векторных мер, ргьзвитием которого, в частности, занимаются А. Г. Кусраев [17-19] и А. Е. Гутман [5].В работах А. И.Жданка [9-11] вводятся и исследу-ются конечно-аддитивные цепи Маркова, переходная вероятность которых удовлетворяет более слабому аналогу условия (2): р{х,*) 6 6а(Е) для всех х е X, где 6а (Е) — пространство всех ограниченных конечно-аддитивных мер из S в R. Стремясь превратить множество рассматриваемых функций в векторное пространство, мы отказываемся от их положительности и норлп!рованности и приходим к следующе^^ определению переходной функции.Переходной функцией на измеримом пространстве {X, Е) назовем отображение р: X X Л —^ Ж, удовлетворяющее следующим условиям: (1) р{; Е) G В(Х) для всех £7 € Е; (2) р{х^ •) G 6а(Е) для всех х & X.Следует заметить, что переходную вероятность также иногда называют переходной функцией. Мы различаем термины «переходная вероятность» и «переходная функция» и употребляем последний для любых функций, удовлетворяющих условиям приведенного выше определения.Совокупность всех переходных функций на измеримом пространстве [Х, S) будем обозначать символом Р{Х, Е).В параграфе 3.3 данной работы введены и исследованы пространства 7^са(-^ , Е) и Vpfa{X,E) счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций и показано, что они являются взаимно дополнительными полосами относительно естественной дизъюнктности. В частности, установлено, что разложение Р(Х, Е) = Vca{X,E) ®Vpfa{X,E) не всегда имеет место (см.- 3.3.7). Отметим, что данный вопрос был впервые обозначен в работе [9].В параграфе 3.4 данной работы мы рассматриваем подпространство Vsa{X, Е) С 'Р(Х, S), состоящее из сильно аддитивных переходных функций, и показываем, что любая такая переходная функция допускает (единственное) разложение в сумму счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной составляющих (см. 3.4.11). Мы также исследуем порядковые, метрические и алгебраические свойства пространства Vsa{X,Yi) и устанавливаем его взаимосвязи с соответствующи^1И пространствами линейных рператоров, векторных мер и измеримых вектор-функций (см. 3.4.5). •t I I Полученные в работе результаты касаются не только исследования переходных функций с абстрактной точки зрения теории упорядоченных пространств и банаховых алгебр. Из них также следуют некоторые новые утверждения и для традиционных цепей Маркова, востребованность которых в математических приложениях общеизвестна (см. например теоремы 3.3.7 и 3.4.11).Все основные результаты данной диссертационной работы были опубликованы автором в работах [6,13,21-24] и докладывались на семинарах кафедры математического ангшиза Новосибирского государственного университета, лаборатории функционального анализа Института математики и.м. Л.Соболева СО РАН, а также на конференциях, проводимых в Новосибирском и Тывинском государственных университетах.Автор выражает благодарность А. Е. Гутману и А. И. Жданку за постановку задачи и ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сотников, Алексей Игоревич, 2004 год

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

2. Боровков А. А. Сходимость мер и случайных процессов // УМЕ. 1976. Т. XXXI, №2(188). С. 3-68.

3. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.N N N4 4. Вулих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973.

4. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормирован-^ ных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.Новосибирск: Институт математики, 1995. С. 63-211.

5. Гутман А. Е., Сотников А.Ц. Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций // Сибирский математи- i ческий журнал. 2004. Т. 45, № 1. С. 80-102.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Лилейные операторы. Общая теория. М.: , ИЛ, 1962.

7. Жданок А. И. Инвариантны^ конечно аддитивные меры и предель- J. ное поведение марковских процессов с дискретным временем // ДАНУкр. ССР. 1981, №3. С. 11-13.

8. Жданок А. И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. I // Математические труды. 2001. Т. 4, №2. С. 53-95.

9. Жданок А. И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. II // Математические труды. 2002. Т. 5, Xе 1. С. 46-66.

10. Жданок А. И. Гамма-компактификация измеримых пространств // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44, № 3. С. 463-476.

11. Жданок А. И.у Беляков К. И. Переходная функция как векторная 0 мера. Квазикомпактность и сильная феллеровость // Латвийскиймат. ежегодник. Рига.: Зинатие, 1989, №33. С. 463-476.

12. Жданок А. И., Сотников А. И. Регуляризация двузначных мер // Тезисы докладов в Респ. научно-практической конференции. Кызыл: ТывГУ, 1999. С. 81-83.

13. Канторович Jl. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

14. Куср&ев А. Г. Линейные операторы в решеточно кормированных пространствах // Исследования по геометрии «в целом» и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 84-123.

15. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. М.: Наука, 2003.

16. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ. Новосибирск: Институт математики, 1999.i 'i

17. Прохоров Ю. В Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // ТВП. 1956. Т. I, № 2. С. 177-238.

18. Сонников А. И. Порядковые и алгебраические свойства пространства переходных функций и марковских операторов // Вестник НГУ. Серия «математика, механика, информатика». 2002. Т. 2, JNT® 1. C.tfl-84. А

19. Сотников А. И. Обобщенные марковские операторы // Материалы XL международной научно-техн. конференции. Серия «математика». Новосибирск: НГУ, 2002. С. 130-131.

20. Сотников А. И. Обобщенные переходные функции // Материалы XLI международной научно-техн. конференции. Серия «математика». Новосибирск: НГУ, 2003. С. 80-81.

21. Сотников А. И. Пространство сильно аддитивных переходных функций // Препринт. Новосибирск: Институт математики, 2004.

22. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

23. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. I // Матем. сб. 1940. V. 8 (50), N2. P. 307-348.

24. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. II // Матем. сб. 1941. V. 9 (51), N3. P.563-628.

25. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. Ill // Машем. сб. 1943. V. 13(55), N2. Р. 169-293.щ 29. Aliprantis C.D., Burkinshaw О. Positive Operators. New York: Acad. W Press, 1985.

26. Diestel J. Sequences and Series in Banach Spaces. New York, etc.: Springer-Verlag, 1984.

27. Diestel J., UhlJ.J.Jr. Vector Measures. Providence: Amer. Math. Soc., N s 1977. \

28. Foguel S. R. Existence of invariant measures for Markov processes.II //Proc. Amer. Math. Soc. 1966. V. 17, N'(2. P. 387-389.i

29. Halmos P. R. On the set of values of a finite measure // Bull Amer. Math. Soc. 1947. V.53, N2. P. 138-141.

30. Herkenrath U. Markov processes under' continuity assumptions // Revue Roumaine de Math. P. ett appl. 1977. V. XXII, N10. P. 1419-1431.1з7. Hildebrandt Т.Н. On bounded linear'ifunctional operations. // Trans, щ Amer. Math. Soc. 1934, N36. P. 868-875.

31. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C, Topics in the Theory of Lifting. Berlin, etc.: Springer, 1969.

32. Maharam D. On a theorem of von Neumann // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 987-994.

33. Ramakrishnan S. Finitely additive Markov chains // Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 265(1). P. 247-272.

34. Sidak Z. Integral representations for transition probabilities of Markov chains with a general state space // Czechoslovak Math. J. 1962. V. 12(87), N4. P. 492-522.

35. Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72, N 1. P. 46-66.43." Yosida K, Kakutani S. Operator-theoretical treatment of Markoff's process and mean ergodic theorem // Ann. Math. 1941. V. 42, N 1. P. 188-228.