Равномерность свойства отслеживания в динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бегун, Евгения Николаевна

• Бегун, Евгения Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бегун, Евгения Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОТСЛЕЖИВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Постановка задачи

§2. Вспомогательные утверждения

§3. Отслеживание численных решений на гиперболическом множестве

§4. Частный случай

ГЛАВА 2. ВОЗМУЩЕНИЕ КУСОЧНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР

§1. Аналог теоремы Перрона для последовательности отображений

§2. Возмущения в окрестности гиперболического куска траектории

§3. Основная теорема

ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНО ЛИПШИЦЕВО ОТСЛЕЖИВАНИЕ ПСЕВДОТРАЕКТОРИЙ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерность свойства отслеживания в динамических системах»

ВВЕДЕНИЕ

Задача отслеживания псевдотраекторий (приближенных траекторий) в динамических системах является в настоящее время одной из активно изучаемых задач в теории возмущений динамических систем ([8], [15], [23]). Эта задача представляет интерес для развития общей теории динамических систем, а также с точки зрения теории численных методов.

Наиболее важными являются два аспекта задачи об отслеживании: получение новых условий, при которых отслеживание возможно, а также развитие методов, позволяющих оценивать расстояние между псевдотраекториями и отслеживающими их точными траекториями. Основные известные достаточные условия отслеживания были связаны с наличием у изучаемых систем гиперболической структуры ([1], [9-10], [17], [19-21], [30]).

Различными авторами было показано, что наличие гиперболической структуры обеспечивает Липшицев характер отслеживания, при котором расстояние между отслеживаемыми и точными траекториями линейно оценивается величиной ошибки (см. [23]).

Липшицев характер отслеживания особенно важен с точки зрения теории численных методов, так как в этом случае удается показать, что полученная с помощью численного метода приближенная траектория отличается от точной на бесконечном промежутке времени на величину, определяемую погрешностью метода на интервале длины 1.

В диссертации рассматриваются следующие задачи. Во-первых, изучается характер отслеживания приближенных траекторий, порождаемых одношаговыми численными методами, на гиперболиче-

есть (d,Г)-псевдотраектория системы (0.1), если для любого т Е R

|Н(£,Ф(г)) - Ф(*+ r)| < d, |£| < Т. (0.2)

Пусть Л — гиперболическое множество системы (0.1). Мы рассматриваем случай, когда Х(х) ф 0, х Е А.

Будем искать численное решение уравнения (0.1) с задачей Коши x(to) = xq (не умаляя общности, можно взять £0 = 0).

Через хк = = 0,1,..., обозначим приближенное реше-

ние, где h — шаг метода.

Рассмотрим одношаговый метод точности п, то есть метод, обладающий следующим свойством: для ограниченной области D С Rs существует константа С = C(D) > 0 такая, что если хк Е D, то

Г- \хк+1 - E(h, хк)\< Chn+1 ^ (0.3)

В этом случае (при условии отсутствия ошибок начальных данных и округлений) погрешность метода

ек = E(kh,x0) - хк

связана с г следующим соотношением:

где С — константа, зависящая только от области D и оценок на правую часть системы (0.1) [3], [7]. Тогда, если xq, ...,хк Е D, то

\хк - Z(kh,x 0)| < фЛ 0 <к<\. (0.4)

/ Ь

Мы будем предполагать, что правая часть системы (0.1) обладает достаточной гладкостью, для того чтобы оценки (0.3), (0.4) выполнялись.

В §3 исследуется отслеживание численных решений на гиперболическом множестве Л.

Известно [1], что для точек множества Л выполнено следующее. Свойство Н.

Существуют константы Ко > 0 и а € (0,1) такие, что для точек р\,р2 € А найдутся линейные изоморфизмы П = Щрх,^)? в = 0(р1?р2) : Г^ —> К-8 со следующими свойствами:

П5Ы-5Ы, &и(Р1) = и(Р2),

при этом

||П-/||,||0-/||<КоЛ

где р = \р\ — р%\ (здесь — устойчивое и неустойчивое

подпространства гиперболической структуры в точке же А).

Будем считать, что в неравенствах, определяющих гиперболич-скую структуру, С = 1.

Будем искать численное решение уравнения (0.1) с задачей Коши ж(0) = х0. Пусть, как и ранее, Хк = о), к = 0,1,.. — приближенное решение, где И — шаг метода, £(£, х) — поток системы (0.1).

Для удобства обозначений будем считать, что приближенное решение Хк = Ч?н(хк- 1) порождается методом точности (п — 1), то есть выполняется аналог неравенства (0.3) с кп вместо /¿п+1.

Разработан основанный на свойстве Н метод нахождения констант Ь*,1г*, обладающих следующим свойством. Предположим, что выполнены неравенства

п > 3

и

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бегун, Евгения Николаевна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аносов Д. В. О касательных полях трансверсальных слоений в Y-системах // Матем. заметки, 1967. Вып. 2:5. С. 539-548.

2. Каток А. Б. Локальные свойства гиперболических множеств. В книге: З.Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М., 1975.

3. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Т. 2. М., 1977.

4. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. СПб., Изд. Ленинградского университета. 1988.

5. Плисс В. А. Связь между различными условиями структурной устойчивости // Дифференц. уравнения, 1981. Т.17. С. 828-835.

6. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 1977. Т.13. С. 883-891.

7. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М., 1989.

8. Aoki N., Hiraide К. Topological Theory of Dynamical Systems. Recent Advances. North-Holland Math. Library 52. North Holland, Amsterdam, 1994.

9. Bowen R. Periodic orbits for hyperbolic flows // Amer. J. Math., 1972. 94. P. 1-30.

10. Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms // Lect. Notes in Math., 470. Springer-Verlag, 1975.

11. Coomes B. A., Kocak H., and Palmer K.J. Shadowing orbits of ordinary differential equations //J. Comput. Appl. Math., 1994. 52. P. 35-43.

12. Coomes B. A., Kocak H., and Palmer K.J. Periodic shadowing

25. Pilyugin S.Yu. Shadowing in structurally stable flows, [to apper in J. Diff. Equat.]

26. Robinson C. Stability theorems and hyperbolicity in dynamical systems. // Rocky Mount. J. Of Math., 1977. 7. P. 425-437.

27. Sawada K. Extended f-orbits are approximated by orbits. // Nagoya Math. J., 1980. 79. P. 33-45.

28. Sakai K. The Cl uniform pseudo-orbit tracing property. // Tokyo J. Math., 1992. 15. P. 99-109.

29. Schwartz I.B. Estimating regions of existence of unstable periodic orbits using computer-based techniques. // SIAM J. Numer. Anal., 1983. 20. P. 106-120.

30. Steinlen H., Walther H.-O. Hyperbolic sets and shadowing for noninvertible maps. In: Advanced Topics in the Theory Of Dynamical Systems (Trento, 1987). Academic Press, Boston, MA, 1989. P. 219-234.

31. Бегун E.H. Возмущение кусочно гиперболических структур. - Ред. ж. "Вестник Санкт-Петербургского университета", серия 1: математика, механика, астрономия. Деп. в ВИНИТИ 1996* В,9ЬД?с.

32. Бегун Е.Н., Пилюгин С.Ю. Равномерно липшицево отслеживание псевдотраекторий // Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 1: математика, механика, астрономия, 1996. Вып. 1. С. 3-7.

33. Begun E.N. Shadowing of numerical trajectories for a flow on a hyperbolic set . Тезисы докладов Второй Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения" (15-20 июня 1998г., СПбГТУ). Санкт-Петербургб, С. 11.