Разработка алгебраической модели ламинарно-турбулентного перехода и ее использование совместно с вихреразрешающим подходом к расчету турбулентных течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Стабников Андрей Сергеевич

• Стабников Андрей Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Стабников Андрей Сергеевич

Введение

Глава 1. Модели для предсказания положения ламинарно-турбулентного перехода

1.1. Модели ламинарно-турбулентного перехода для замыкания уравнений Рейнольдса

1.2. Учет ламинарно-турбулентного перехода в гибридных вихреразрешающих подходах

Глава 2. Полуэмпирическая модель турбулентности SST KD

2.1. Формулировка модели SST KD

2.2. Калибровка констант модели SST KD

2.2.1. Постановки использовавшихся при калибровке задач

2.2.2. Метод решения уравнений

2.2.3. Методика калибровки и ее результаты

Глава 3. Тестирование модели SST KD

3.1. Переходные пограничные слои на плоской пластине

3.1.1. Постановки задач

3.1.2. Результаты расчетов

3.2. Обтекание крыловых профилей

3.2.1. Постановки задач

3.2.2. Результаты расчетов

3.3. Обтекание тандема крыловых профилей NACA0012

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Результаты расчетов

3.4. Выводы

Глава 4. Метод SST KD DDES

4.1. Формулировка метода

4.2. Метод решения уравнений

4.3. Тестирование метода

4.3.1. Обтекание сферы

4.3.2. Обтекание круглого цилиндра

4.3.3. Обтекание вращающегося круглого цилиндра

4.3.4. Обтекание тандема круглых цилиндров

Заключение

Список литературы

Приложение А. Модель SST KD

Приложение Б. Метод SST KD DDES

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Главным инструментом проектирования во многих отраслях промышленности на данный момент является компьютерное моделирование, в связи с чем огромные усилия направлены на разработку новых и улучшение существующих методов и моделей численных расчетов физических процессов. Область гидро- и газодинамики не является исключением. Необходимость в надежных и точных методах численного расчета всевозможных видов течений вызвана повышением темпов и объемов производства. Если в XX веке для инженерных целей использовались в основном приближенные аналитические решения модельных задач и физический эксперимент, то в наше время в подавляющем большинстве случаев инженеры полагаются на результаты численного моделирования течений, а экспериментальные исследования, в связи с высокой стоимостью и сложностью, как правило, используются для валидации результатов расчетов.

Большинство представляющих практический интерес течений являются полностью или частично турбулентными. Расчет таких течений - одна из центральных проблем вычислительной гидроаэродинамики. В отличие от гладкого и слоистого ламинарного течения, в турбулентных течениях присутствует хаотичное неупорядоченное движение частиц жидкости на фоне среднего потока. Турбулентность в значительной степени влияет на трение, сопротивление, перенос тепла и структуру течения в целом. Несмотря на то, что турбулентные течения полностью описываются уравнениями Навье Стокса [1] (такой метод расчета турбулентных течений называется Direct Numerical Simulation -DNS), в связи с необходимостью разрешения турбулентных пульсаций с очень мелкими временными и пространственными масштабами практическое применение этого метода в ближайшие десятилетия не представляется возможным [2]. В настоящее время DNS используется в основном в исследовательских целях для решения модельных задач при относительно низких числах Рейнольдса.

Альтернативой DNS служит метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES), в рамках которого способ описания влияния турбулентных вихрей на осредненное течение зависит от их размера. Методология LES основана на том, что мелкомасштабные турбулентные процессы являются универсальными и независящими от

конкретной геометрии и граничных условий для большинства течений, что дает возможность строить эффективные модели для учета их влияния на течение. Крупномасштабные турбулентные структуры в общем случае не являются универсальными и могут зависеть от таких факторов, как форма обтекаемого тела, число Рейнольдса и уровень возмущений в набегающем потоке и поэтому требуют разрешения. Такой подход зачастую обеспечивает методу LES сравнимую с DNS точность решения различных задач гидроаэродинамики и аэроакустики. Однако, LES, хоть и требует меньших вычислительных затрат, чем DNS, все же является весьма ресурсоемким, особенно при расчете пристеночных течений, поскольку в пограничном слое даже самые крупные вихри являются относительно мелкими, и для их разрешения требуются очень подробные сетки и маленькие шаги по времени. Поэтому широкое использование LES для решения инженерных задач также весьма проблематично [3].

В связи с этим, для решения прикладных задач чаще всего используется гораздо более экономичный подход, основанный на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (Reynolds Averaged Navier-Stokes, RANS) [4], также называемых уравнениями Рейнольдса. В рамках RANS подразумевается осреднение всех турбулентных пульсаций, а их влияние на осредненное течение описывается при помощи дополнительных слагаемых в уравнениях движения и энергии, зависящих от так называемых Рейнольдсовых напряжений, которые необходимо определить для замыкания уравнений. Наборы формул, связывающие эти напряжения с осредненными параметрами потока, называются моделями турбулентности. По степени сложности модели турбулентности варьируют от простых алгебраических соотношений до сложных систем дифференциальных уравнений. Используемые в инженерной практике модели, как правило, опираются на гипотезу Буссинеска, постулирующую линейную связь напряжений Рейнольдса с тензором скоростей деформаций осредненного течения. Это позволяет свести расчет тензора напряжений Рейнольдса к определению коэффициента пропорциональности в формуле Буссинеска - коэффициента турбулентной вязкости. При этом для расчета турбулентной вязкости зачастую решаются дифференциальные уравнения переноса вспомогательных величин, таких как кинетическая энергия турбулентности и скорость ее диссипации. За последние десятилетия накоплен очень большой опыт использования RANS подхода, свидетельствующий о том, что его точность различна для разных классов течений. В частности, общепризнано, что ошибки,

возникающие при моделировании этим методом отрывных течений, весьма существенны

[5].

C ростом производительности вычислительных ресурсов все чаще применяются гибридные вихреразрешающие подходы, комбинирующие RANS и LES. В рамках таких подходов, в части расчетной области (как правило, в присоединенном пограничном слое) используется метод RANS в сочетании с той или иной моделью турбулентности, а в остальной части потока, в том числе в отрывных областях и следе за телом, реализуется LES. Таким образом, гибридные подходы позволяют использовать сильные стороны двух подходов: RANS обеспечивает высокую точность расчета пограничных слоев, а LES -отрывных областей. При этом для расчетов при помощи гибридных подходов в пристеночной области требуется сетка, достаточная для RANS, что позволяет существенно сократить вычислительные затраты по сравнению с LES. По способу определения границ RANS и LES областей гибридные подходы можно разделить на две категории. Если границы задаются пользователем до проведения расчета и являются статичными, подход называется зонным. Если же переключение между режимами происходит автоматически в процессе решения, то подход называется незонным, или глобальным. Поскольку глобальные подходы не требуют априорных знаний о структуре и деталях рассматриваемого течения, они являются более универсальными, практичными и предпочтительными при решении инженерных задач с использованием кодов общего назначения [6].

Среди глобальных подходов наиболее успешными являются методы семейства DES (Detached Eddy Simulation), в рамках которых в RANS подобластях потока используется базовая полуэмпирическая модель турбулентности, а в LES подобластях - подсеточная модель, построенная на ее основе. При этом переключение между RANS и LES выполняется динамически в процессе решения, на основе локальных характеристик потока и расчетной сетки. Признано [7], что среди методов этого семейства для решения прикладных задач наиболее подходящей является модификация DES, получившая название DDES (Delayed Detached Eddy Simulation) [8], в которой предложено успешное решение проблемы спонтанного переключения в режим LES в присоединенном пограничном слое. Важным обстоятельством является то, что точность гибридных подходов, в том числе и метода DDES, существенно зависит от точности расчета присоединенного пограничного слоя, которая обеспечивается базовой RANS моделью.

Поскольку модель 88Т [9] считается одной из лучших, если не лучшей, полуэмпирической моделью турбулентности, методы, построенные на ее основе, потенциально более точны по сравнению с методами на основе других моделей [7].

Однако, обычно полуэмпирические модели, на основе которых строятся гибридные методы, в том числе и модель 88Т, не включают в себя механизмов описания ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) в пограничном слое. Это может приводить к снижению точности расчета, поскольку в большинстве течений пограничный слой не является турбулентным на всей своей протяженности. Турбулентному участку, как правило, предшествует ламинарный участок той или иной длины, который может значительно повлиять на характеристики течения в целом. Это влияние проявляется не только при умеренных, но и при высоких числах Рейнольдса, особенно при наличии отрыва от гладкой поверхности. Классическим примером влияния ЛТП на характеристики отрывного течения может служить явление кризиса сопротивления плохообтекаемых тел, подробно описанное в [10], и заключающееся в том, что при повышении числа Рейнольдса присоединенный пограничный слой турбулизуется до отрыва, что приводит к смещению точки отрыва и резкому падению коэффициента сопротивления (см. Рис. 1).

1

1

Алл А Д

Delany&Sorensen (1953) X

Spitzer (1965) *

Achenbach&Heinecke (1981) □

Bursnall&Loftin (1951) ■

Vaz et al.(2007) О

Schewe (1983) +

Wieselsberger (1922)

1

Fage (1930) * Present LES •

U

Q

0

0

0

0

0

10

Re

Рис. 1. Зависимость осредненного коэффициента сопротивления круглого цилиндра от числа Рейнольдса в различных экспериментальных исследованиях (из [11]).

Таким образом, точность расчета с использованием гибридных подходов в некоторых случаях может быть повышена путем использования модели RANS, способной учесть ЛТП, в качестве базовой.

Несмотря на то, что исследования, направленные на создание методов расчетного определения положения ЛТП в пристеночных течениях, проводятся уже на протяжении многих десятилетий, данная задача по-прежнему остается одной из немногих не до конца решенных фундаментальных задач механики жидкостей и газов. Это объясняется исключительным многообразием и сложностью физических механизмов потери устойчивости ламинарного течения и, соответственно, существованием различных «сценариев» ЛТП. При этом, однако, существует большое количество моделей, обеспечивающих приемлемую точность расчета для широкого спектра течений. Наилучшей по точности из таких моделей на данный момент считается дифференциальная модель ЛТП SST y-Ree [12], разработанная на основе полуэмпирической модели турбулентности с двумя уравнениями к-ю SST [9]. В рамках модели SST y-Ree производится решение не только двух уравнений для характеристик турбулентности к и ю, но и двух дополнительных уравнений для вспомогательных величин: коэффициента перемежаемости у и критического числа Рейнольдса Ree. Хотя модель SST y-Ree, за счет возможности описания различных сценариев ЛТП, превосходит по точности модель SST, ее использование связано с повышением вычислительных затрат, требуемых для получения сошедшегося решения, а иногда сходимости итерационного процесса достичь не удается вовсе [13], [14]. Эти проблемы не являются специфическим недостатком модели SST y-Ree, они характерны и для других, менее точных, дифференциальных моделей ЛТП (их обзор приведен в разделе 1.1. Главы 1).

В связи с этим в последнее время все больше усилий прикладывается к разработке алгебраических моделей ЛТП, в рамках которых не производится решения дополнительных дифференциальных уравнений для характеристик, отвечающих за определение положения перехода. Такие модели кажутся весьма перспективными, поскольку их отличает от дифференциальных моделей простота в использовании, лучшая сходимость и сравнительно небольшое количество дополнительных вычислений относительно базовых моделей турбулентности, на основе которых они построены.

Следует отметить, что подавляющее большинство попыток учесть влияние ЛТП в рамках гибридных вихреразрешающих подходов основано на использовании дифференциальных моделей ЛТП в качестве базовых RANS моделей (обзор гибридных подходов на основе моделей ЛТП приведен в разделе 1.2 Главы 1). Это, как и в случае RANS, может приводить к вычислительным проблемам, выражающимся в отсутствии

и т-ч и

сходимости итераций и увеличении времени расчета. В этой связи весьма перспективным кажется применение в рамках гибридных подходов алгебраических моделей ЛТП, что и определило направление настоящей работы.

Цели и задачи работы

Основная цель работы состоит в разработке экономичной и надежной вычислительной технологии расчета течений с ЛТП в рамках глобальных гибридных вихреразрешающих подходов.

Конкретными задачами, которые необходимо решить для достижения этой цели, являются:

- проведение аналитического обзора существующих RANS моделей ЛТП и выбор на его основе моделей, представляющихся наиболее перспективными в контексте данной работы;

- разработка вычислительно эффективной алгебраической модели ЛТП, превышающей по точности известные аналоги;

- всестороннее тестирование разработанной модели в рамках RANS;

- разработка гибридного вихреразрешающего метода, базирующегося на инкорпорации разработанной модели ЛТП в глобальный гибридный метод SST DDES;

- тестирование предложенного гибридного метода;

- применение разработанного метода к расчету ряда турбулентных течений с массивным отрывом при докритических, критических и закритических числах Рейнольдса.

Научная новизна

1. Предложена новая алгебраическая RANS модель ЛТП, представляющая собой усовершенствованную версию известной модели KD, существенно превосходящую ее по точности.

2. На базе глобального гибридного подхода SST DDES предложен новый гибридный вихреразрешающий метод, предназначенный для расчета течений при наличии ЛТП в присоединенных пограничных слоях, и продемонстрированы его преимущества над оригинальным методом SST DDES.

3. Впервые в рамках вихреразрешающих подходов проведены систематические численные исследования ряда течений, характеризующихся формированием за обтекаемым телом обширных отрывных зон (сфера, неподвижный и вращающийся круглый цилиндр, тандем цилиндров), в результате которых предложено объяснение резкого изменения боковой силы, действующей на сферу, при числах Рейнольдса близких к критическим, и описан обратный эффект Магнуса.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит:

- в разработке новой алгебраической RANS модели ЛТП;

- в разработке нового глобального гибридного вихреразрешающего метода, обеспечивающего возможность расчета течений с массивным отрывом с учетом ЛТП;

- в изучении и объяснении ряда физических явлений, характерных для обтекания плохообтекаемых тел при числах Рейнольдса, близких к критическим.

Практическая значимость работы состоит:

- в повышении точности расчета ряда важных с практической точки зрения течений в рамках уравнений Рейнольдса и в рамках глобальных гибридных вихреразрешающих подходов;

- в получении детальных расчетных данных по аэродинамическим характеристикам ряда сложных течений, представляющих большой практический интерес.

Положения, выносимые на защиту

1. Новая алгебраическая RANS модель ЛТП (SST KD модель), превосходящая по точности существующие аналоги.

2. Гибридный вихреразрешающий метод (SST KD DDES), предназначенный для расчета отрывных течений, в которых ЛТП играет ключевую роль.

3. Количественные данные по аэродинамическим характеристикам обтекания сферы, цилиндра, вращающегося цилиндра и тандема цилиндров при докритических, критических и закритических числах Рейнольдса.

4. Объяснение механизмов резкого изменения боковой силы, действующей на сферу, при числах Рейнольдса близких к критическим.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается:

- использованием математических моделей, основанных на фундаментальных законах сохранения;

- проверкой отсутствия зависимости получаемого решения от вычислительных аспектов решения рассмотренных математических задач;

- детальным анализом полученных результатов, их сравнением с известными из литературы надежными экспериментальными данными и результатами расчетов.

Кроме того, в качестве основного вычислительного инструмента в работе используется академический конечно-объемный CFD код лаборатории «Вычислительная гидроаэроакустика и турбулентность» СПбПУ "Numerical Turbulence Simulation" (NTS код), прошедший тщательную верификацию путем сравнения с известными аналитическими решениями и с результатами численных расчетов, полученными с помощью других известных кодов (ANSYS FLUENT и ANSYS CFX, DLR TAU, NOISEtte, SINF и др.).

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях и семинарах:

1. Международная конференция ФизикА.СПб (2016, 2017, 2018, 2019, 2020).

2. Engineering Turbulence Modeling and Measurements (ETMM 2021).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгебраической модели ламинарно-турбулентного перехода и ее использование совместно с вихреразрешающим подходом к расчету турбулентных течений»

Структура работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 Диссертации посвящена детальному обзору современных подходов к моделированию ЛТП, как в рамках RANS, так и в рамках вихреразрешающих методов.

В Главе 2 рассматривается формулировка, оптимизация и калибровка новой модели ЛТП SST KD.

Глава 3 содержит результаты тестирования модели SST KD.

В Главе 4 рассматривается формулировка вихреразрешающего метода SST KD DDES и его использование в расчетах четырех течений с массивным отрывом.

В Заключении приведены основные новые результаты, полученные в диссертации.

Результаты работы получены при поддержке гранта РФФИ (проект 19-31-90046 "Аспиранты", успешно завершенный в 2022 г.).

Глава 1. Модели для предсказания положения ламинарно-

ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА

Как уже отмечалось во Введении, описание ЛТП в рамках гибридных вихреразрешающих подходов осуществляется на основе моделей, разработанных для замыкания уравнений Рейнольдса. Исходя их этого, настоящая глава построена следующим образом. В разделе 1.1 рассматриваются модели для описания ЛТП, а

в разделе 1.2 приведен опыт их применения совместно с вихреразрешающими подходами.

1.1. Модели ламинарно-турбулентного перехода для замыкания

УРАВНЕНИЙ РЕЙНОЛЬДСА

Моделирование ламинарно-турбулентного перехода является весьма нетривиальной задачей. Это связано с тем, что в зависимости от уровня турбулентности внешнего потока и градиента давления ЛТП в пограничном слое может проходить различным образом (конкретный способ ЛТП принято называть сценарием).

При низких интенсивностях турбулентных пульсаций внешнего потока, характерных для задач внешней аэродинамики, в пограничном слое на обтекаемой поверхности реализуется так называемый естественный ЛТП, инициатором которого является формирование волн Толлмина-Шлихтига (ТШ), амплитуда которых растет вниз по потоку. Эти волны приводят к развитию продольных и поперечных вихревых структур, а в дальнейшем - к появлению турбулентных «пятен», постепенно увеличивающихся в размере (переходная область) и, в конечном итоге, заполняющих весь пограничный слой (переход).

При более высоких уровнях турбулентности набегающего потока, характерных для внутренних течений, происходит сдвиг ЛТП вверх по потоку и сокращение длины переходной области [15] (см. Рис. 2). В этом случае пропускается этап постепенного роста волн ТШ и реализуется так называемый байпасный ЛТП.

Стоит отметить, что между этими двумя сценариями ЛТП не существует четкой границы1. В литературе [17] эту границу иногда определяют по значению интенсивности турбулентности во

внешнем потоке Ти = 100 • и '2 /(70 равному 0.8 - 1.0% (и' - мгновенные значения

турбулентных пульсаций, Цо - скорость во внешнем потоке, а черта обозначает осреднение по времени). Однако это определение является весьма условным, так как, наряду с интенсивностью пульсаций во внешнем потоке, на положение ЛТП влияют другие факторы, например, величина продольного градиента давления. Так, благоприятный (отрицательный) градиент давления, как правило, стабилизирует ламинарное течение и приводит к сдвигу положения ЛТП вниз по потоку и к удлинению переходной зоны. Положительный градиент оказывает обратный эффект, а при его увеличении происходит изменение механизма ЛТП: ламинарный пограничный слой отрывается от обтекаемой поверхности до того, как в нем успеет развиться неустойчивость ТШ, после чего оторвавшийся слой смешения турбулизуется вследствие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца [18] и вновь присоединяется к поверхности. Такой сценарий ЛТП получил название пузырькового, или отрывного ЛТП, и реализуется во многих аэродинамических течениях, например, при обтекании крыловых профилей. Таким образом, плавное изменение параметров набегающего потока может приводить не только к изменению положения и протяженности ЛТП, но и к смене его сценария. Например, при обтекании одного и того же крылового профиля в зависимости от угла атаки и уровня турбулентности набегающего потока может реализовываться любой из описанных выше сценариев ЛТП

1 Приведенная классификация сценариев ЛТП является простой и достаточной для настоящего повествования, но не является единственной. В зависимости от причин возникновения неустойчивости,

формы возникающих возмущений и характера их роста можно выделить гораздо больше различных типов перехода (см., например [16]).

Рис. 2. Зависимость положений начала и конца ламинарно-турбулентного перехода от уровня интенсивности турбулентности набегающего потока (из [15]).

/ и и и и \

(естественный, байпасный и пузырьковый), что существенно усложняет построение полуэмпирических моделей ЛТП, поскольку они должны адекватно описывать не только влияние уровня турбулентности и градиента давления на положение ЛТП в рамках каждого из сценариев, но и обеспечить своевременное переключение от одного сценария к другому.

В связи с большим количеством факторов, которые необходимо учитывать, моделирование ЛТП - крайне трудная задача. За многолетнюю историю исследований в этой области было создано множество моделей, и непрерывно создаются новые, поэтому исчерпывающий обзор всех существующих моделей практически невозможен. Ниже представлен обзор наиболее важных и интересных, на взгляд автора, моделей ЛТП, а также идей, лежащих в их основе.

Первая модель для естественного сценария ЛТП, происходящего вследствие конвективной неустойчивости волн ТШ, была предложена еще в 1956 году в независимо опубликованных работах [19] и [20], в которых представлен так называемый метод е9,

и и и и т-\

основанный на линейной теории устойчивости. В рамках этого метода на основе решения уравнения Орра - Зоммерфельда для пограничного слоя на плоской пластине авторам удалось построить однозначную зависимость усиления возмущений N от продольной координаты х, (или соответствующего ей локального числа Рейнольдса Яеж = иох/V).

х

N = 1п[а(х) / а)] = | -а (х')йх', (1.1)

х0

где а - амплитуда возмущения, аг- - показатель роста возмущения, хо - координата начала роста возмущений.

На основе экспериментальных данных [21] было установлено, что при низких уровнях турбулентности (Ти < 0.1%) переходный участок на плоской пластине находится в интервале чисел Рейнольдса от Reх = 2.8 106 до Reх = 3.9 106, что соответствует значениям N от 8.22 до 10.3. Позднее границы области ЛТП (критические значения N неоднократно уточнялись на основе вновь полученных экспериментальных данных (см., например, [22]). Для крыловых профилей и плоской пластины значение N01^ = 9.0 позволило получить хорошее совпадение с экспериментами в положении точки ЛТП и широко использовалось в последующих расчетах (метод е9).

Неоднократно предпринимались попытки расширить область применимости метода e9 и обобщить его на другие типы ЛТП. Так, в 1975 году один из его авторов J.L. van Ingen, обобщил метод на случай пузырькового ЛТП [23]. В 1977 году, на основе экспериментальных исследований, Mack [24] предложил метод eN, в рамках которого возможности оригинального метода были расширены за счет учета уровня турбулентности внешнего потока. Для этого постоянное значение 9 было заменено на переменное Ncrit, зависящего от уровня турбулентности и рассчитываемого по формуле

Nait =-8.43 - 2.4ln(Tu/100). (1.2)

Метод применим при Ncrit > 0, т.е. при уровнях турбулентности внешнего потока Tu < 3%.

В 1986 году Drela [25] при разработке кода ISES, предназначенного для расчета параметров крыловых профилей, использовал интегральный метод в рамках которого совместно решаются уравнения Эйлера и интегральные уравнения пограничного слоя ОДУ первого порядка для N. При достижении N(x) критического значения Ncrit, задаваемого пользователем, корреляционные функции метода переключались с ламинарных на турбулентные. Этот подход используется в находящемся в свободном доступе коде XFOIL [26], предназначенном для расчета обтекания крыловых профилей.

Оценивая метод eN в целом, можно заключить, что он обеспечивает достаточно высокую точность определения положения точки естественного ЛТП, но, даже при использовании формулы (1.2), является весьма неточным при расчете течений с высокими уровнями турбулентности внешнего потока. Кроме того, в рамках этого метода игнорируется наличие переходного участка, то есть предполагается, что ЛТП происходит мгновенно (в точке, где N достигает критического значения).

Однако, наиболее существенным недостатком данного метода является то, что его использование в CFD кодах общего назначения крайне затруднительно вследствие его существенной нелокальности (необходимости интегрирования параметров потока по продольной координате). Попытка исправить этот недостаток была предпринята в работе Coder, Maughmer [27], в которой предложена модель ЛТП, построенная на базе модели турбулентности Спаларта-Аллмареса SA [28]. Модель для этого была дополнена уравнением переноса для величины N, источниковые слагаемые которого построены на основе корреляций метода Drela [25]. Кроме того, уравнение для турбулентной вязкости

модели SA модифицировано таким образом, чтобы отключить генерационное слагаемое при N < Ncrit. Впоследствии модель [27] была улучшена ее авторами в работе [29]. Новая версия модели является галилеево инвариантной и полностью локальной, то есть может быть использована в кодах общего назначения на структурированных и неструктурированных сетках. Точность модели продемонстрирована на ряде внешних задач аэродинамики, таких как обтекание самолета [29] и лопастей вертолета [30].

Альтернативный подход к моделированию ЛТП основан на феноменологическом подходе к описанию байпасного ЛТП и концепции «ламинарной кинетической энергии», которая привлекается для описания физических процессов, имеющих место в «предпереходном» пограничном слое при наличии сильных турбулентных пульсаций во внешнем потоке. Как уже отмечалось, в отличие от естественного сценария ЛТП, при котором развитие возмущений Толлмина-Шлихтинга постепенно приводит к турбулизации течения (на описание этого процесса направлены методы класса eN), байпасный ЛТП инициируется сильными возмущениями, проникающими во внутреннюю часть пограничного слоя из внешнего потока. Это приводит к резким продольным искажениям или «полосам» в профиле скорости, называемыми полосами Клебанова (Klebanoff Streaks). Такая изогнутость профиля скорости является источником неустойчивости, которая затем инициализируется и усиливается мелкомасштабными турбулентными пульсациями. Подробное описание механизмов байпасного ЛТП на основе расчетов DNS приведено в статьях [31] - [34]. В 1996 году Mayle, Schulz [35] предложили уравнение переноса для ламинарной кинетической энергии, решение которого в рамках приближения пограничного слоя продемонстрировало хорошее совпадение с экспериментальными данными для интенсивности пульсаций вверх по потоку от точки ЛТП. В статье предлагается метод нахождения начала ЛТП, основанный на сравнении вязких напряжений на стенке с напряжениями, порожденными наличием «ламинарных пульсаций». Найденные таким образом положения точек ЛТП хорошо совпадают с экспериментальными значениями для течений с высокими уровнями турбулентности внешнего потока, однако при низких значениях этого параметра точность метода существенно снижается.

В работе [36] уравнение для ламинарной кинетической энергии [35] использовалось для учета ЛТП совместно с нелинейной моделью турбулентности. Для определения степени турбулентности использовался коэффициент перемежаемости у, определяемый

по алгебраической формуле из [37]. Полная кинетическая энергия возмущений в потоке определялась как к = (1 - y)kL + ykr, где к£ и кг - ламинарная кинетическая энергия и

кинетическая энергия турбулентности, соответственно.

Наиболее успешными моделями ЛТП, разработанными в рамках концепции ламинарной кинетической энергии, по-видимому, являются модели, предложенные в работах Walters [38] и [39]. Первая из них базируется на уравнениях переноса к и е, а вторая - на уравнениях переноса для к и ю. Несмотря на сложность формулировки, обе эти модели используют для расчетов только локальную информацию, поэтому они полностью применимы в современных CFD кодах. Модель [39] хорошо продемонстрировала себя при расчете ряда течений с байпасным сценарием ЛТП [40] - [42].

Наконец, наиболее представительным является класс эмпирических моделей ЛТП, опирающихся на экспериментальные корреляции для описания положения и протяженности любого типа ЛТП. Большинство из таких моделей используют понятие коэффициента перемежаемости у, определяемое в эксперименте в каждой точке потока, как у = Atturb /At, где Atteb - время, в течение которого наблюдается турбулентное

течение, а At - общее время наблюдения. Таким образом, при у = 0 течение полностью ламинарное, при у = 1 - турбулентное, а область с промежуточными значениями коэффициента перемежаемости является переходной. Следует отметить, что несмотря на одинаковое название, под коэффициентом перемежаемости (иногда эту величину называют просто перемежаемостью) в области моделирования ЛТП понимается не описанное выше отношение времен, а любая вспомогательная величина, промежуточные значения которой указывают на текущее состояние переходного течения. Именно такой смысл этого понятия подразумевается далее.

В первых моделях рассматриваемого класса коэффициент перемежаемости использовался для сшивки ламинарного и турбулентного решений задачи. Для его нахождения использовались эмпирические корреляции, связывающие положение точек начала и конца ЛТП с параметрами рассматриваемого течения, а в промежутке между этими точками коэффициент перемежаемости вычислялся при помощи различных алгебраических зависимостей от координаты (подробный обзор таких подходов приведен в [43]). Типичные примеры эмпирических корреляций приведены в работах

Hall, Gibbings [44], в которой критическое число Рейнольдса потери импульса представлено как функция градиента давления и уровня турбулентности внешнего потока, и Abu-Ghannam, Shaw [15], в которой начало и конец ЛТП определяются по значениям числа Рейнольдса потери импульса. Однако, как и в случае с методом eN, использование этих корреляций в современных кодах весьма затруднительно.

Следующим естественным шагом в развитии эмпирических моделей ЛТП, направленным на устранение этого недостатка, было построение дифференциальных моделей. В рамках первой модели этого типа, предложенной Libby [45], в расчетной области одновременно решаются две системы уравнений: одна для величин фь, соответствующих ламинарному обтеканию, а вторая - для величин фт, соответствующих турбулентному обтеканию. При этом актуальные значения этих величин получаются путем взвешивания двух решений ф = (1 — у)фь + уфг, где у - локальное значение

коэффициента перемежаемости.

Модель получила дальнейшее развитие в работах [46] - [48]. Так, Dopazo [46] и Byggstoyl, Kollmann [47] независимо пришли к одному и тому же дифференциальному уравнению для коэффициента перемежаемости у:

f+<"<>i=¿(Y(1-ЫИ. (1.3)

где u , u - скорости, полученные из решений уравнений для ламинарного и

Г" Г" О KJ KJ KJ

турбулентного обтекания, а о - член, отвечающий за средний перенос «ламинарной»

жидкости в «турбулентные» зоны, xt - координаты, t - время. Схожее уравнение было получено Steelant, Dick [48].

Однако практическое использование описанных моделей связано с целым рядом трудноразрешимых проблем, наиболее существенной из которых является сложность обеспечения выполнения уравнения неразрывности для актуального (взвешенного) поля скорости. Весьма существенными оказались и вычислительные трудности, возникающие при использовании этих моделей, поскольку они включают два набора уравнений переноса (для турбулентного и ламинарного течений), что влечет за собой увеличение времени расчета, а также проблемы при численной реализации. Все это привело к тому, что они не нашли применения в кодах общего назначения.

Гораздо более успешными оказались модели ЛТП, основанные на непосредственной инкорпорации коэффициента перемежаемости в уже существующие модели турбулентности для RANS таким образом, чтобы при его низких значениях были бы также малы значения турбулентной вязкости (и, соответственно, реализовывался ламинарный режим течения), а при высоких - уравнения модифицированной модели совпадали с исходной. Так, Suzen, Huang [49], основываясь на уравнениях Steelant, Dick [48] и Cho, Chung [50], построили уравнение переноса для коэффициента перемежаемости, который использовался в качестве множителя для турбулентной вязкости в модели Ментера SST [51]. Тем самым, авторам удалось создать замкнутую дифференциальную модель, однако для определения значения числа Рейнольдса, построенного по величине потери импульса, знание которого необходимо для нахождения точки начала ЛТП путем сравнения с алгебраической корреляцией, в рамках этой модели требуется проведение нелокальных операций (интегрирование поперек пограничного слоя), что, как уже многократно отмечалось, неприемлемо для современных CFD кодов.

Первая модель ЛТП, свободная от недостатков моделей, рассмотренных выше, была предложена Ментером в 2002 году [52]. Эта модель включает уравнения переноса кинетической энергии турбулентности к и удельной скорости ее диссипации ю модели SST [51], а для моделирования ЛТП генерационный член уравнения переноса кинетической энергии турбулентности умножается на функцию, зависящую от коэффициента перемежаемости, который, в свою очередь, определяется из следующего уравнения переноса:

где PT и E - источниковые члены, р - плотность, Uj - компоненты скорости, ц и ц/ - динамические молекулярная и турбулентная вязкости, а а/ - эмпирическая константа.

При этом нелокальных операций (в частности, определения толщины потери импульса) удалось избежать путем использования полуэмпирической формулы van Driest, Bluemer [53], связывающей число Рейнольдса потери импульса в рассматриваемом сечении с максимальным поперек пограничного слоя значением числа

(1.4)

Рейнольдса завихренности Rev = рdw2S/р, (dw - расстояние до стенки, а S = j -

модуль тензора скоростей деформаций):

Ree = max (Rev )/2.193. (1.5)

BL /

Локальная формулировка позволила использовать эту модель в кодах общего назначения, использующих параллелизацию и неструктурированные сетки.

С помощью данной модели были получены вполне приемлемые результаты при расчетах ЛТП на плоской пластине, однако из-за «назначения» критического числа Рейнольдса она не способна описывать влияние градиента давления на ЛТП, что сильно сужает область ее применения.

Этот недостаток был устранен в модели Langtry, Menter SST y-Ree [54], которая содержит дополнительное уравнение переноса для критического числа Рейнольдса

потери импульса Rc0/:

d(pRe0i) a(pi/.Ree/) 5

-+- =Рш +-

dt dXj dxj

где oet - константа модели.

Уравнение построено таким образом, что во внешнем потоке величина Re0/ определяется генерационным членом

Ры =cef(Reef-Reef)(l.0-^ef)p//, (1.7)

где t - временной масштаб, а се/ - константа. Такой генерационный член "принуждает" Re6/ соответствовать корреляционным значениям Re0f (зависящим от уровня турбулентности внешнего потока и градиента давления). В пограничном слое генерация отключается при помощи вспомогательной функции Ft, равной нулю в свободном

течении и единице в пограничном слое, а величина Re0/ переносится из внешнего потока

за счет диффузии. Такой подход позволяет «доставить» информацию о критическом числе Рейнольдса, определяемую во внешнем течении, внутрь пограничного слоя, где по формуле (1.5) можно оценить локальное число Рейнольдса потери импульса.

/ \ ^rsrw

dx

j

(1.6)

Модель содержит три эмпирические корреляционные функции: Re0c (Rc0; ) - связь

между числом Рейнольдса потери импульса, в сечении, где начинается рост коэффициента перемежаемости, и Rc0(, /\,ngth ( Rc0( ) - связь между длиной области

перехода и Rc();, и, наконец, Ree/(Tu, h>) - связь числа Рейнольдса потери импульса,

отвечающего началу перехода, со степенью турбулентности во внешнем потоке и безразмерным параметром Хе, характеризующим продольный градиент давления. Конкретный вид этих функций представлен в работе [12], опубликованной на несколько лет позже самой модели.

Таким образом, для проведения расчетов с помощью этой модели требуется знать только характеристики турбулентности набегающего потока. Эта модель обладает наиболее широкими возможностями среди существующих моделей ЛТП данного типа.

гр U U С» U с»

Так, по крайней мере в принципе, она позволяет описать естественный, байпасный и пузырьковый сценарии ЛТП, а также учесть возможность «обратного перехода» (реламинаризации турбулентного потока) под действием сильного благоприятного градиента давления и, по существу, является первой моделью пригодной для расчета течений со сложной геометрией и полностью адаптированной к CFD кодам. Наконец, тестирование модели, выполненное на большом числе двумерных и трёхмерных течений различной степени сложности, показало, что в рассмотренных случаях она превосходит по точности другие модели ЛТП рассматриваемого класса.

Вместе с тем, следует отметить, что при ее использовании часто бывает сложным достигнуть сходимости к стационарному решению (см., например, работы [14], [55], [56]), а также специфические трудности, вызванные отсутствием галилеевой инвариантности у величины Tu (эти трудности проявляются при расчёте течений с подвижными стенками). Кроме того, как и все известные модели ЛТП, модель y-Ree не является универсальной и во многих случаях не обеспечивает приемлемой точности предсказания положения ЛТП. В связи с этим, с момента публикации модели SST y-Ree появился целый ряд ее модификаций. В частности, в работах [57] и [58] были предложены поправки для предсказания перехода, вызванного неустойчивостью поперечного течения (cross-flow instability), которая характерна, например, для обтекания стреловидных крыльев.

В 2015 году, Menter, Smirnov, и др. [59] опубликовали модель ЛТП с одним дифференциальным уравнением для величины у (SST у модель). При формулировке новой модели авторы отказались от уравнения переноса для Re0/, а также от громоздких

корреляций для величин Reec, Ree/, и FWgth, заменив их одной простой алгебраической корреляцией и приняв FWgth за константу. Это обеспечило ускорение сходимости итераций и сокращение времени расчета, однако в результате сделанных существенных упрощений точность предсказания положения ЛТП во многих случаях понизилась.

Наряду с модификациями модели y-Ree на базе SST модели турбулентности, в литературе описаны попытки ее использования совместно с моделью SA [28], одна из которых предпринята в работе Medida, Baeder [60]. Полученные ими результаты для крыловых профилей оказались схожи с результатами, полученными при помощи оригинальной модели. Coder, Maughmer [61] упростили модель y-Ree, заменив уравнение переноса для Re0/ на алгебраическую корреляцию, и применили ее в комбинации как с

SST [9], так и с SA [28] моделями. Для неизвестных в рамках модели SA величин к (кинетическая энергия турбулентности) и ю (удельная скорость диссипации) авторы использовали следующие оценки:

к = vt тах(ю, SF2/a), (1.8)

молекулярной и турбулентной вязкостей. Полученные при помощи модели [61] результаты также близки к результатам оригинальной модели SST y-Ree.

Наконец, Coder, Maughmer [62], [63] предложили свою версию у модели, основанную на двух дополнительных уравнениях переноса: для перемежаемости у, и для показателя роста возмущений N из метода eN. Уравнение для перемежаемости практически без изменений взято из модели SST y-Ree, однако в данном случае точка начала ЛТП (в которой «включается» генерация в уравнении для коэффициента перемежаемости) определяется координатой, где величина N достигает критического

ю =

(1.9)

модуль тензора

завихренности, ß* и ai - константы модели SST, а v и V/ - кинематические коэффициенты

значения Ncrit. Модель ориентирована на задачи внешней аэродинамики с низкими уровнями турбулентности набегающего потока.

Таким образом, за последние два десятилетия дифференциальные модели ЛТП достигли определенного уровня зрелости и получили весьма широкое распространение. Однако, с опытом их использования пришло понимание того, что они являются чрезмерно сложными и громоздкости, в связи с чем в данный момент все больше исследований в этой сфере направлено на достижение упрощения структуры этих моделей с сохранением, или, по крайней мере, с незначительным снижением их точности [59], [64].

Эти попытки привели к созданию так называемых алгебраических моделей ЛТП, учет перехода в которых происходит только при помощи алгебраических соотношений, без решения дополнительных дифференциальных уравнений, что позволяет существенно сократить вычислительные затраты и улучшить сходимость итераций, в частности, при расчете нестационарных течений.

Одной из первых таких моделей является модель к-ю KD, впервые представленная в 2015 году авторами Kubacki, Dick [65], построенная на основе феноменологического подхода, использованного ранее в дифференциальной модели к-кь-ю [39] для описания физических процессов происходящих при байпасном сценарии ЛТП. Модель KD использует в качестве основы модель турбулентности Wilcox к-ю [66]. Авторы модели предприняли попытку формализовать явление проникновения крупных пульсаций внутрь пограничного слоя и ускорения его турбулизации в результате этого. Как и в дифференциальных моделях ЛТП, в рамках этой модели учёт перехода осуществляется путем введения коэффициента перемежаемости у, а ее отличительной особенностью является разделение турбулентной вязкости на крупномасштабную и мелкомасштабную составляющие. Кроме того, путем введения дополнительных функций, модель делается пригодной для описания пузырькового сценария ЛТП.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стабников Андрей Сергеевич, 2022 год

Список литературы

1. Chapman D.R. Computational Aerodynamics Development and Outlook // AIAA J. 1979. Т. 17, № 12. С.1293-1313.

2. Spalart P.R. Strategies for turbulence modelling and simulations // Int. J. Heat Fluid Flow. 2000. Т. 21, № 3. С. 252-263.

3. Menter F. и др. An Overview of Hybrid RANS-LES Models Developed for Industrial CFD // Appl. Sci. 2021. Т. 11, № 6. С. 2459.

4. Reynolds O. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion // Philos. Trans. R. Soc. Lond. A. 1895. Т. 18. С. 123-164.

5. Spalart P.R. Philosophies and fallacies in turbulence modeling // Prog. Aerosp. Sci. 2015. Т. 74. С. 115.

6. Fröhlich J., von Terzi D. Hybrid LES/RANS methods for the simulation of turbulent flows // Prog. Aerosp. Sci. 2008. Т. 44, № 5. С. 349-377.

7. Гарбарук А.В. и др. Современные подходы к моделированию турбулентности : учеб. пособие. Изд-во Политехн. ун-та, 2016.

8. Spalart P.R. и др. A New Version of Detached-eddy Simulation, Resistant to Ambiguous Grid Densities // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2006. Т. 20, № 3. С. 181-195.

9. Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model // Heat Mass Transf. 2003. Т. 4.

10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / под ред. Чекмарев А.И. 1950.

11. Rodriguez I. и др. On the flow past a circular cylinder from critical to super-critical Reynolds numbers: Wake topology and vortex shedding // Int. J. Heat Fluid Flow. 2015. Т. 55. С. 91-103.

12. Langtry R.B., Menter F.R. Correlation-Based Transition Modeling for Unstructured Parallelized Computational Fluid Dynamics Codes // AIAA J. 2009. Т. 47, № 12. С. 2894-2906.

13. Wauters J., Degroote J. On the study of transitional low-Reynolds number flows over airfoils operating at high angles of attack and their prediction using transitional turbulence models // Prog. Aerosp. Sci. 2018. Т. 103. С. 52-68.

14. Lopes R., E^a L., Vaz G. On the Numerical Behavior of RANS-Based Transition Models // J. Fluids Eng. 2020. Т. 142, № 5. С. 051503.

15. Abu-Ghannam B.J., Shaw R. Natural Transition of Boundary Layers—The Effects of Turbulence, Pressure Gradient, and Flow History // J. Mech. Eng. Sci. 1980. Т. 22, № 5. С. 213-228.

16. Физические Механизмы Перехода к Турбулентности в Открытых Течениях / под ред. Бойко А.В. и др. Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2006. 304 с.

17. Hosseinverdi S., Fasel H.F. Numerical investigation of laminar-turbulent transition in laminar separation bubbles: the effect of free-stream turbulence // J. Fluid Mech. 2019. Т. 858. С. 714-759.

18. McAuliffe B.R., Yaras M.I. Transition Mechanisms in Separation Bubbles Under Low- and Elevated-Freestream Turbulence // J. Turbomach. 2010. Т. 132, № 1. С. 011004.

19. Smith A. M. O. , Gamberoni N. 1956. Transition, Pressure Gradient and Stability Theory. Technical Report ES-26388, Douglas Aircraft Company.

20. J. L. van Ingen. 1956. A Suggested Semi-empirical Method for the Calculation of the Boundary Layer Transition Region. Report, VTH-74.

21. G. B. Schubauer, H. K. Skramstadt. 1948. Laminar Boundary Layer Oscillations and Transition on a Flat Plate. Report NACA 909.

22. van Ingen J. The eN Method for Transition Prediction. Historical Review of Work at TU Delft // 38th Fluid Dynamics Conference and Exhibit. Seattle, Washington: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2008.

23. Van Ingen J.L. On the Calculation of Laminar Separation Bubbles in Two-dimensional Incompressible Flow. 1975.

24. Mack L.M. Transition and Laminar Instability: JPL PUBLICATION NASA-CP-153203. Pasadena, California, 1977. С. 84.

25. Drela M., Gilest M.B. Viscous-Inviscid Analysis of Transonic and Low Reynolds Number Airfoils // AIAA J. 1987. С. 9.

26. Drela M. XFOIL: An Analysis and Design System for Low Reynolds Number Airfoils // Low Reynolds Number Aerodynamics / под ред. Mueller T.J. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1989. Т. 54. С. 1-12.

27. Coder J.G., Maughmer M.D. Computational Fluid Dynamics Compatible Transition Modeling Using an Amplification Factor Transport Equation // AIAA J. 2014. T. 52, № 11. C. 2506-2512.

28. Spalart P., Allmaras S. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // 30th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno,NV,U.S.A.: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1992.

29. Coder J.G. Enhancement of the Amplification Factor Transport Transition Modeling Framework // 55th AIAA Aerospace Sciences Meeting. Grapevine, Texas: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017.

30. Vieira B.A., Kinzel M.P., Maughmer M.D. CFD Hover Predictions Including Boundary-Layer Transition // 55th AIAA Aerospace Sciences Meeting. Grapevine, Texas: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017.

31. Jacobs R.G., Durbin P.A. Shear sheltering and the continuous spectrum of the Orr-Sommerfeld equation // Phys. Fluids. 1998. T. 10, № 8. C. 2006-2011.

32. Jacobs R.G., Durbin P.A. Simulations of bypass transition // J. Fluid Mech. 2001. T. 428. C. 185-212.

33. Zaki T.A. From Streaks to Spots and on to Turbulence: Exploring the Dynamics of Boundary Layer Transition // Flow Turbul. Combust. 2013. T. 91, № 3. C. 451-473.

34. Durbin P.A. Perspectives on the Phenomenology and Modeling of Boundary Layer Transition // Flow Turbul. Combust. 2017. T. 99, № 1. C. 1-23.

35. Mayle R.E., Schulz A. The Path to Predicting Bypass Transition // Volume 1: Turbomachinery. Birmingham, UK: American Society of Mechanical Engineers, 1996. C. V001T01A065.

36. Lardeau S., Leschziner M.A., Li N. Modelling Bypass Transition with Low-Reynolds-Number Nonlinear Eddy-Viscosity Closure // Flow Turbul. Combust. Former. Appl. Sci. Res. 2004. T. 73, № 1. C. 49-76.

37. Dhawan S., Narasimha R. Some properties of boundary layer flow during the transition from laminar to turbulent motion // J. Fluid Mech. 1958. T. 3, № 4. C. 418-436.

38. Walters D.K., Leylek J.H. A New Model for Boundary Layer Transition Using a Single-Point RANS Approach // J. Turbomach. 2004. C. 10.

39. Walters D.K., Cokljat D. A Three-Equation Eddy-Viscosity Model for Reynolds-Averaged Navier-Stokes Simulations of Transitional Flow // J. Fluids Eng. 2008. T. 130, № 12. C. 121401.

40. Wang X., Walters K. Computational Analysis of Marine-Propeller Performance Using Transition-Sensitive Turbulence Modeling // J. Fluids Eng. 2012. T. 134, № 7. C. 071107.

41. Bernardini C. h gp. Turbine blade boundary layer separation suppression via synthetic jet: An experimental and numerical study // J. Therm. Sci. 2012. T. 21, № 5. C. 404-412.

42. Keadle K., McQuilling M. Evaluation of RANS Transition Modeling for High Lift LPT Flows at Low Reynolds Number // Volume 6B: Turbomachinery. San Antonio, Texas, USA: American Society of Mechanical Engineers, 2013. C. V06BT37A029.

43. Narasimha R. The laminar-turbulent transition zone in the boundary layer // Prog. Aerosp. Sci. 1985. T. 22, № 1. C. 29-80.

44. Hall D.J., Gibbings J.C. Influence of Stream Turbulence and Pressure Gradient upon Boundary Layer Transition // J. Mech. Eng. Sci. 1972. T. 14, № 2. C. 134-146.

45. Libby P.A. On the prediction of intermittent turbulent flows // J. Fluid Mech. 1975. T. 68, № 02. C. 273.

46. Dopazo C. On conditioned averages for intermittent turbulent flows // J. Fluid Mech. 1977. T. 81, № 03. C. 433.

47. Byggstoyl S., Kollmann W. A closure model for conditioned stress equations and its application to turbulent shear flows // Phys. Fluids. 1986. T. 29, № 5. C. 1430.

48. Steelant J., Dick E. Modelling Of Bypass Transition With Conditioned Navier-Stokes Equations Coupled To An Intermittency Transport Equation // Int J Numer Meth Fluids. 1996. T. 23. C. 193220.

49. Suzen Y., Huang P. An intermittency transport equation for modeling flow transition // 38th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno,NV,U.S.A.: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2000.

50. Cho J.R., Chung M.K. A k-s-y equation turbulence model // J. Fluid Mech. 1992. T. 237. C. 301-322.

51. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. 1994. T. 32, № 8. C. 1598-1605.

52. Menter F.R., Esch T., Kubacki S. Transition Modelling Based On Local Variables // Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5. Elsevier, 2002. C. 555-564.

53. Van Driest E.R., Blumer C.B. Boundary Layer Transition: Freestream Turbulence and Pressure Gradient Effects // AIAA J. 1963. T. 1, № 6. C. 1303-1306.

54. Menter F.R., Langtry R., Völker S. Transition Modelling for General Purpose CFD Codes // Flow Turbul. Combust. 2006. T. 77, № 1-4. C. 277-303.

55. Stabnikov A.S., Garbaruk A.V. Comparative analysis of transition models at different farfield turbulence intensities // J. Phys. Conf. Ser. 2017. T. 929. C. 012101.

56. Stabnikov A.S., Garbaruk A.V. Analysis of the abilities of algebraic laminar-turbulent transition models // J. Phys. Conf. Ser. 2018. T. 1135. C. 012104.

57. Medida S., Baeder J. A New Crossflow Transition Onset Criterion for RANS Turbulence Models // 21st AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. San Diego, CA: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2013.

58. Grabe C., Krumbein A. Extension of the y-Re et Model for Prediction of Crossflow Transition // 52nd Aerospace Sciences Meeting. National Harbor, Maryland: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2014.

59. Menter F.R. h gp. A One-Equation Local Correlation-Based Transition Model // Flow Turbul. Combust. 2015. T. 95, № 4. C. 583-619.

60. Medida S., Baeder J. Application of the Correlation-based Gamma-Re Theta t Transition Model to the Spalart-Allmaras Turbulence Model // 20th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. Honolulu, Hawaii: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2011.

61. Coder J., Maughmer M. One-Equation Transition Closure for Eddy-Viscosity Turbulence Models in CFD // 50th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. Nashville, Tennessee: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2012.

62. Coder J., Maughmer M. A CFD-Compatible Transition Model Using an Amplification Factor Transport Equation // 51st AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. Grapevine (Dallas/Ft. Worth Region), Texas: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2013.

63. Coder J.G. Further Development of the Amplification Factor Transport Transition Model for Aerodynamic Flows // AIAA Scitech 2019 Forum. San Diego, California: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2019.

64. Menter F.R. h gp. An Algebraic LCTM Transition Model // Proceedings of the ERCOFTAC Symposium on Engineering Turbulence Modelling and Measurement (ETMM13). Rhodes, Greece, 2021.

65. Kubacki S., Gorecki B., Dick E. An Algebraic Intermittency Model Added to the k-w RANS Model for Transition Simulation // Proceedings of 11th European Conference on Turbomachinery Fluid dynamics & Thermodynamics ETC11, March 23-27, 2015, Madrid, Spain. 2015. C. 12.

66. Wilcox D.C. Formulation of the k-w Turbulence Model Revisited // AIAA J. 2008. T. 46, № 11. C. 28232838.

67. Kubacki S., Dick E. An algebraic intermittency model for bypass, separation-induced and wake-induced transition // Int. J. Heat Fluid Flow. 2016. T. 62. C. 344-361.

68. Kubacki S., Dick E. An algebraic model for bypass transition in turbomachinery boundary layer flows // Int. J. Heat Fluid Flow. 2016. T. 58. C. 68-83.

69. Kubacki S. h gp. An Extended Version of an Algebraic Intermittency Model for Prediction of Separation-Induced Transition at Elevated Free-Stream Turbulence Level // Int. J. Turbomach. Propuls. Power. 2020. T. 5, № 4. C. 28.

70. Kubacki S. h gp. Further development of an algebraic intermittency model for separation-induced transition under elevated free-stream turbulence. Gdansk, Poland, 2021.

71. Kubacki S. h gp. Extension of an algebraic intermittency model for better prediction of transition in separated layers under strong free-stream turbulence // Int. J. Heat Fluid Flow. 2021. T. 92. C. 108860.

72. Savill A.M. Evaluating turbulence model predictions of transition: An ERCOFTAC Special Interest Group Project // Appl. Sci. Res. 1993. T. 51, № 1-2. C. 555-562.

73. Sandhu J.P.S. Local-Correlation Based Zero-Equation Transition Model for Turbomachinery // Volume 1: Compressors, Fans, and Pumps; Turbines; Heat Transfer; Structures and Dynamics. Chennai, Tamil Nadu, India: American Society of Mechanical Engineers, 2019. C. V001T02A017.

74. Sandhu J.P.S., Ghosh S. A local correlation-based zero-equation transition model // Comput. Fluids. 2021. T. 214. C. 104758.

75. Singh Sandhu J.P., Ghosh S. A Simplified Local Correlation-Based Zero-Equation Transition Model // AIAA Aviation 2020 Forum. Virtual Event: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2020.

76. Bernardos L. h gp. Algebraic Nonlocal Transition Modeling of Laminar Separation Bubbles Using k-w Turbulence Models // AIAA J. 2019. T. 57, № 2. C. 553-565.

77. Laurent C. h gp. DNS database of a transitional separation bubble on a flat plate and application to RANS modeling validation // Comput. Fluids. 2012. T. 61. C. 21-30.

78. Bernardos L.F., Richez F., Gleize V. RANS modeling of Laminar Separation Bubbles around Airfoils at Low Reynolds conditions // AIAA Aviation 2019 Forum. Dallas, Texas: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2019.

79. Fürst J., Príhoda J., Straka P. Numerical simulation of transitional flows // Computing. 2013. T. 95, № S1. C. 163-182.

80. Cakmakcioglu S.C., Bas O., Kaynak U. A correlation-based algebraic transition model // Proc. Inst. Mech. Eng. Part C J. Mech. Eng. Sci. 2018. T. 232, № 21. C. 3915-3929.

81. Cakmakcioglu S.C. h gp. A Revised One-Equation Transitional Model for External Aerodynamics // AIAA Aviation 2020 Forum. Virtual Event: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2020.

82. Wray T.J., Agarwal R.K. Low-Reynolds-Number One-Equation Turbulence Model Based on k-w Closure // AIAA J. 2015. T. 53, № 8. C. 2216-2227.

83. Xue Y., Agarwal R.K. Development of a New Transitional Flow Model Integrating the one-equation Wray-Agarwal Turbulence Model with an Algebraic Intermittency Transport Term // AIAA Aviation 2021 Forum. Virtual Event: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2021.

84. S0rensen N.N., Bechmann A., Zahle F. 3D CFD computations of transitional flows using DES and a correlation based transition model // Wind Energy. 2011. T. 14, № 1. C. 77-90.

85. Qiao L. h gp. Combination of DES and DDES with a Correlation Based Transition Model // Appl. Mech. Mater. 2013. T. 444-445. C. 374-379.

86. Sa J.H. h gp. Low-Reynolds number flow computation for eppler 387 wing using hybrid DES/transition model // J. Mech. Sci. Technol. 2015. T. 29, № 5. C. 1837-1847.

87. You J.Y., Kwon O.J. A Blended Model for Simulating Massive Flow Separation and Laminar-Turbulence Transition // 42nd AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit. New Orleans, Louisiana: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2012.

88. Menter F., Egorov Y. A Scale Adaptive Simulation Model using Two-Equation Models // 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, Nevada: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2005.

89. Kim H.J., Kwon O.J. Numerical Simulation of Transitional Flows Using a Blended IDDES and Correlation-Based Transition Model // Comput. Fluids. 2021. C. 104916.

90. Choi J.H., Kwon O.J. Recent Improvement of a Correlation-Based Transition Model for Simulating Three-Dimensional Boundary Layers // AIAA J. 2017. T. 55, № 6. C. 2103-2108.

91. Shur M.L. h gp. A hybrid RANS-LES approach with delayed-DES and wall-modelled LES capabilities // Int. J. Heat Fluid Flow. 2008. T. 29, № 6. C. 1638-1649.

92. Hart J. Comparison of Turbulence Modeling Approaches to the Simulation of a Dimpled Sphere // Procedia Eng. 2016. T. 147. C. 68-73.

93. Hodara J., Smith M.J. Improved Turbulence and Transition Closures for Separated Flows // Proceedings of 41st European Rotorcraft Forum (ERF2015-113). Munich, Germany, 2015. C. 18.

94. Sánchez-Rocha M., Menon S. The compressible hybrid RANS/LES formulation using an additive operator // J. Comput. Phys. 2009. T. 228, № 6. C. 2037-2062.

95. Alam M., Walters K., Thompson D. A Transition-Sensitive Hybrid RANS/LES Modeling Methodology for CFD Applications // 51st AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. Grapevine (Dallas/Ft. Worth Region), Texas: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2013.

96. Bhushan S., Walters D.K. A dynamic hybrid Reynolds-averaged Navier Stokes-Large eddy simulation modeling framework // Phys. Fluids. 2012. T. 24, № 1. C. 015103.

97. Beechook A. Development and implementation of a new hybrid RANS/LES model for transitional boundary layers in OpenFOAM. 2015.

98. J.D. Steenbeek. Development of a hybrid RANS/LES model for transitional boundary layers. 2017.

99. Advances in DNS/LES: proceedings of the First AFOSR International Conference on DNS/LES, Louisiana Tech University, Ruston, Louisiana, USA, August 4 - 8, 1997 / nog peg. Liu C., USA, Louisiana Tech University. Columbus, Ohio: Greyden Press, 1997. 657 c.

100. Coder J.G., Ortiz-Melendez H.D. Transitional Delayed Detached-Eddy Simulation of Multielement High-Lift Airfoils // J. Aircr. 2019. T. 56, № 4. C. 1303-1312.

101. Wang S. h gp. Blending of Algebraic Transition Model and Subgrid Model for Separated Transitional Flows // AIAA J. 2019. T. 57, № 11. C. 4684-4697.

102. Yalcin O., Cengiz K., Wein L. Transitional DDES Study Over A Circular Cylinder And An Airfoil Profile // Transitional DDES Study Over A Circular Cylinder And An Airfoil Profile. Rhodes, Greece, 2021. C. 8.

103. Probst A. h gp. Evaluation of grey area mitigation tools within zonal and non-zonal RANS-LES approaches in flows with pressure induced separation // Int. J. Heat Fluid Flow. 2017. T. 68. C. 237247.

104. Walters D.K. Physical Interpretation of Transition-Sensitive RANS Models Employing the Laminar Kinetic Energy Concept // ERCOFTAC Bull. 2009. T. 80.

105. Shur M., Strelets M., Travin A. High-Order Implicit Multi-Block Navier-Stokes Code: Ten-Years Experience of Application to RANS/DES/LES/DNS of Turbulent Flows // Invited lecture. 7th Symposium on Overset Composite Grids and Solution Technology. Huntington Beach, USA. 2004.

106. Rogers S., Kwak D. An upwind differencing scheme for the time-accurate incompressible Navier-Stokes equations // 6th Applied Aerodynamics Conference. Williamsburg,VA,U.S.A.: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1988.

107. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. T. 2, № 1. C. 12-26.

108. Shoup T.E. A practical guide to computer methods for engineers. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall, 1979. 255 c.

109. Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Contributions on the mechanics of boundary-layer transition: NACA-TR-1289. 1955.

110. McGhee R.J. Experimentral Results for a Flapped Natural-Laminar-Flow Airfoil with High Lift/Drag Ratio: NASA Technical Memorandum 85788. 1984.

111. Vos R., Farokhi S. Airfoil Aerodynamics // Introduction to Transonic Aerodynamics. Dordrecht: Springer Netherlands, 2015. T. 110. C. 367-426.

112. Somers D.M. Design and Experimental Results for a Natural-Laminar-Flow Airfoil for General Aviation Applications: Technical Memorandum (TM) NASA Technical Paper 1861. 1981. C. 104.

113. Mcghee Robert J., Walker B.S., Millard B.F. Experimental Results for the Eppler 387 airfoil at Low Reynolds Numbers in the Langley Low-Turbulence Pressure Tunnel: Technical Memorandum (TM) 19890001471. 1988. C. 234.

114. Somers D.M. Design and Experimental Results for the S809Airfoil: NRELlSR-440-6918 • UC Category: 1213 • DE97000206. National Renewable Energy Laboratory, 1997.

115. Menter F.R. Influence of freestream values on k-omega turbulence model predictions // AIAA J. 1992. T. 30, № 6. C. 1657-1659.

116. Lee H., Kang S.-H. Flow Characteristics of Transitional Boundary Layers on an Airfoil in Wakes // J. Fluids Eng. 2000. T. 122, № 3. C. 522-532.

117. Matyushenko A.A., Stabnikov A.S., Garbaruk A.V. Criteria of computational grid generation for turbulence models taking into account laminar-turbulent transition // J. Phys. Conf. Ser. 2019. T. 1400. C. 077047.

118. Mockett C. h gp. Two Non-zonal Approaches to Accelerate RANS to LES Transition of Free Shear Layers in DES // Progress in Hybrid RANS-LES Modelling / nog peg. Girimaji S. h gp. Cham: Springer International Publishing, 2015. T. 130. C. 187-201.

119. Kim S.-E., Makarov B. An Implicit Fractional-Step Method for Efficient Transient Simulation of Incompressible Flows // 17th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. Toronto, Ontario, Canada: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2005.

120. Travin A. h gp. Physical and Numerical Upgrades in the Detached-Eddy Simulation of Complex Turbulent Flows // Advances in LES of Complex Flows / nog peg. Friedrich R., Rodi W. Dordrecht: Springer Netherlands, 2002. T. 65. C. 239-254.

121. Tiwari S.S. h gp. Flow past a single stationary sphere, 2. Regime mapping and effect of external disturbances // Powder Technol. 2020. T. 365. C. 215-243.

122. Achenbach E. Experiments on the flow past spheres at very high Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1972. T. 54, № 3. C. 565-575.

123. Taneda S. Visual observations of the flow past a sphere at Reynolds numbers between 10 4 and 10 6 // J. Fluid Mech. 1978. T. 85, № 1. C. 187-192.

124. Norman A.K., McKeon B.J. Unsteady force measurements in sphere flow from subcritical to supercritical Reynolds numbers // Exp. Fluids. 2011. Т. 51, № 5. С. 1439-1453.

125. Deshpande R. и др. Experimental investigation of boundary layer transition in flow past a bluff body // J. Phys. Conf. Ser. 2017. Т. 822. С. 012003.

126. Constantinescu G., Squires K. Numerical investigations of flow over a sphere in the subcritical and supercritical regimes // Phys. Fluids. 2004. Т. 16, № 5. С. 1449-1466.

127. Suryanarayana G.K., Prabhu A. Effect of natural ventilation on the boundary layer separation and near-wake vortex shedding characteristics of a sphere // Exp. Fluids. 2000. Т. 29, № 6. С. 582-591.

128. Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen. 2-е изд. / под ред. Prandtl L. Verlag R. Oldenbourg, 1923.

129. Texier B.D. и др. Physics of knuckleballs // New J. Phys. 2016. Т. 18, № 7. С. 073027.

130. Pereira F.S., Vaz G., Eca L. An assessment of Scale-Resolving Simulation models for the flow around a circular cylinder // Proceeding of THMT-15. Proceedings of the Eighth International Symposium On Turbulence Heat and Mass Transfer. Sarajevo, Bosnia and Herzegovina: Begellhouse, 2015. С. 295-298.

131. Pereira F.S., Vaz G., E^a L. Flow Past a Circular Cylinder: A Comparison Between RANS and Hybrid Turbulence Models for a Low Reynolds Number // Volume 2: CFD and VIV. St. John's, Newfoundland, Canada: American Society of Mechanical Engineers, 2015. С. V002T08A006.

132. Schewe G. On the force fluctuations acting on a circular cylinder in crossflow from subcritical up to transcritical Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1983. Т. 133. С. 265-285.

133. Delany, N., Sorensen, N., 1953. Low-Speed Drag of Cylinders of Various Shapes. Tech. Rep. NACA TN3038, NACA.

134. Achenbach E., Heinecke E. On vortex shedding from smooth and rough cylinders in the range of Reynolds numbers 6x10 3 to 5x10 6 // J. Fluid Mech. 1981. Т. 109. С. 239-251.

135. Vaz G. и др. Viscous Flow Computations on a Smooth Cylinders: A Detailed Numerical Study With Validation // Volume 3: Pipeline and Riser Technology; CFD and VIV. San Diego, California, USA: ASMEDC, 2007. С. 849-860.

136. Swanson W.M. The Magnus Effect: A Summary of Investigations to Date // J. Basic Eng. 1961. Т. 83, № 3. С. 461-470.

137. Zheng Z., Lei J., Wu X. Numerical Simulation of the Negative Magnus Effect of a Two-Dimensional Spinning Circular Cylinder // Flow Turbul. Combust. 2017. Т. 98, № 1. С. 109-130.

138. Schewe G., van Hinsberg N.P., Jacobs M. Investigation of the steady and unsteady forces acting on a pair of circular cylinders in crossflow up to ultra-high Reynolds numbers // Exp. Fluids. 2021. Т. 62, № 8. С. 176.

Приложение А. Модель 88Т КБ

Уравнения модели SST KD:

д(рк) д( рщк) * а

+ У ; = уРк + (1 - У)Рер - в рык + —

дх.

дХ дхк

д( рю) д(ри ю)

дх дх

( Ц + а к Ц Х )

дк

дх

= Рк - врю2 +

д

дх

(ц+х)

дю

дх

+

2 (1 - Ъ У

Р°ю2 дк д®

ю2__

Ю дХк дХк

Рк = т1п (-ыЩ диг/дху,10 • рР*кю), где ы)ы) = | К- 2^^

у = Ш1П

тах

V V

1.0,0.0

л л ,1.0

У У

Р = С Ъ уБ 2

вер вер вер

^ер =Ш1П

л

тах

V V 2.2 А

1.0,0.0

л

1.0

У У

,где Д =

^ 2 Б

Ъ = tanh (а^4), аг^ = тт

тах

4к 500У

С, Ю^, Ю^,,

у ц w w у

2кю

X (Ук >(Ую)

= ехР

С* ^

V V к У У

к, = л/

К = к к>

аА

= , где ю = тах [^ю, /^Б]

со

V, =

а2к,

ю

, где ю = тах[а2со,/725']

= 1апИ(aгg2), аг^ = тах(2л/к/(0.09ю^), 500у/())

СББ = СБ (10 + Сл!ш V)

(А.1)

(А.2) (А.3) (А.4) (А.5)

(А.6)

(А.7)

(А.8) (А.9)

(А.10)

(А.11)

(А.12) (А.13)

у = tanh

- О (5 - О)

Су (р*® )2

(А.14)

= 1 - 1апЪ

' к л V V® у

(А.15)

Константы SST:

°к = ^к1 + (1 - Р1 ) °к2, °к1 = 0.85, °к2 = 1 А

о® = ^ + (1 - ^)а®2, аю1 = 0.5, а®2 = 0.856, р = ^ +(1 -^)= 0.075, р2 = 0.0828,

в* = 0.09, а = р/р* - а®к2/ТР*.

(А.16)

Константы, относящиеся к описанию перехода:

Л = 1.3, С, = 2.0, СА = 1.0, Су = 10.0, Сш = 5.0, С8ер = 2.0, Ак = 550.0, а = 0.31, а2 = 0.45.

(А.17)

Приложение Б. Метод SST KD DDES

Уравнения метода SST KD DDES:

д(рк) | d(pukk) = dt dxk

д( рю) d(pUk&)

dx, dx.

Р*рюк д

yPk + (1 - у)Psep -+

l дХ 'DDES dxk

(^ + °к^t )

дк

dx,,

Pk - ррю2 +

dx,,

(^ + ^,)

дю

dx,,

+ 2 (1 - F )'

Р°ю2 дк д®

ю2__

Ю д-*к д-*к

(Б1)

'DDES 'rANS f шах{0, (1RANS CDES^SDA )}

/RANS=k1/2/p*®

fd = 1 — tanh

(Cdlrd f2 ], r, =( vt + v)/(к ^ 0.5 •( 52 + Q2))

(Б2) (Б3) (Б4)

*DDES _ Д tjtDDES SLA ~~ m KH

< VTM > - max

1,-

0.2v

{(Vt - Vt,„),10-6 Vt,4

тах

(Б5)

F

DDES

KH

[1.0 при fd < (1 - 8) \Fkh при fd > (1 - 8)

(Б6)

Fm (< v™ >) = max

F

min

KH ,

Tj-max 77mm i^max j^min F KH - F KH FKH , FKH +

a2 - a

(< vtm >-a)

(Б.7)

VTM =

461( 5 •п)хп|

Q 2^3tr (52)-[ tr (5)]2

(Б8)

где 1 п = п® х гп, п ® - орт вектора завихренности, а гп рассматриваемой ячейки сетки (п = 1,.. .,8).

радиус векторы вершин

А 1

ДГ1 = —¡= max

V3 ">т=1>8

(l я - l m )

(Б9)

P = min(-u'U ди/дxJ■ ,10 • рв*кю), где u'u' = f к ^ - 2v

(Б.10)

Y = min

r r max

vA Q

V Y

1.0,0.0

л л 1.0

(Б11)

У У

<

V

у = 1.0 при Ъ <0.9

Р = С Ъ vS 2

вер вер вер

Ъвер = ™

Д

У / тах V V 2-2 Л¥

1.0,0.0

\ \

1.0

У У

,где Д =

^ 2 Б

Ъ = tanh (ащ4), аг^ = тт

тах

4к 500V

V ^^ ;

2кю

X (УК )-(Ую)

/ы = ехр

С vQлЛ

V V К у у

К = л/

К = к к5

V = ■

<ьК

со

, где со = тах [^со,^^]

V =

агкг

(О

, где об = тах^оо,^^]

= tanh(а^2), аг^ = тах(2л/К/(0.09ю^), 500^())

СББ = СБ (10 + Сл!ш V)

О (Б - О)

V = tanh

С (в*ю)

= 1 - tanh

' к л V Сш ^ у

Константы SST:

= К1 +(1 - ) 2 ,ОК1 = 085, 2 = 10,

О. = ^ +(1 - Ъ)аЮ2, оЮ1 = 0.5, аЮ2 = 0.856, в = Ъв +(1 -Ъ)вгД = 0.075, р2 = 0.0828, в* = 0.09, а = в/в* - о.к 2/#.

(Б12) (Б13)

(Б14) (Б15)

(Б16)

(Б17) (Б18)

(Б19)

(Б.20)

(Б21) (Б.22)

(Б.23) (Б.24)

(Б.25)

Константы SST DDES Asla

CDES = F1CDES1 +(1 - F1 ) CDES2, CDES1 = 0.78, CDES2 = 0.61,

(Б.26)

Cdl = 20.0, Cd2 = 3.0, F™n = 0.1, F™x = 1.0, a = 0.15, a2 = 0.3. Константы, относящиеся к описанию перехода:

Ay = 1.3, Cs = 2.0, Ca = 1.0, Cv = 10.0, Cw = 5.0, Y v (Б.27)

Csep = 2.0, A = 550.0, a = 0.31, a = 0.45.