Разработка метода определения положения ламинарно-турбулентного перехода в пограничных слоях с неоднородностями поверхности на основе глобального анализа устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Голубков Валентин Денисович

• Голубков Валентин Денисович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Голубков Валентин Денисович

Введение

Глава 1. Ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое и методы определения его положения с использованием линейного анализа устойчивости

1.1 Естественный сценарий ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на гладкой пластине и определение его положения с использованием линейного анализа устойчивости

1.2 Влияние неоднородностей поверхности на положение ламинарно-турбулентного перехода

1.3 Применение линейного анализа устойчивости для расчета влияния неоднородностей поверхности на положение ламинарно-турбулентного перехода

Глава 2. Новый метод расчета положения естественного ламинарно-турбулентного перехода на основе глобального анализа устойчивости

2.1 Описание разработанного метода

2.2 Численная реализация разработанного метода

2.2.1 Расчет базового решения

2.2.2 Расчет дискретной матрицы Якоби и решение задачи на ее собственные значения

2.2.3 Постпроцессинг результатов решения задачи на собственные значения дискретной матрицы Якоби

2.3 Выбор параметров метода на основе расчета ламинарного пограничного слоя на гладкой пластине без градиента давления

2.3.1 Выбор расчетной сетки

2.3.2 Выбор размера области для глобального анализа устойчивости

2.3.3 Выбор граничных условий для глобального анализа устойчивости

2.3.4 Выбор параметров решателя задачи на собственные значения

Глава 3. Верификация и валидация разработанного метода

3.1 Верификация элементов разработанного метода

3.1.1 Верификация реализации глобального анализа устойчивости

3.1.2 Верификация процедуры постпроцессинга результатов глобального анализа устойчивости

3.2. Валидация разработанного метода

3.2.1 Сравнение расчетных и экспериментальных положений естественного ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на пластине с неоднородностями поверхности без градиента давления

3.2.2 Сравнение расчетных и экспериментальных положений естественного ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на пластине с неоднородностями поверхности и градиентом давления

Глава 4. Применение разработанного метода для исследования влияния неоднородностей поверхности и градиента давления на положение естественного ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое

4.1 Исследование влияния прямых и обратных уступов в пограничном слое без градиента давления

4.2 Исследование влияния каверн в пограничном слое без градиента давления

4.3 Исследование влияния градиента давления в пограничном слое на гладкой поверхности

4.4 Исследование совместного влияния уступов и градиента давления

Глава 5. Применение разработанного метода для определения положения естественного ламинарно-турбулентного перехода на поверхности крылового профиля NLF(1)-0416

5.1 Предсказание положения ламинарно-турбулентного перехода на гладком профиле

5.2 Влияние неоднородностей поверхности на положение ламинарно-турбулентного перехода

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Современная промышленность при проектировании новых технических устройств и объектов сталкивается с рядом проблем, значительная часть которых связана с течениями жидкости и газа вблизи поверхности твердых тел. При обтекании твердого тела на его поверхности возникает пограничный слой (ПС), в котором зачастую могут одновременно существовать три принципиально различные области течения: полностью ламинарная, полностью турбулентная и область ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) между ними. Существенно отличающиеся распределения макропараметров жидкости (давления, скорости, температуры) в этих областях приводят к сильной зависимости действующих на тело сил от положения ЛТП. Этот факт определяет ключевую роль ЛТП при рассмотрении динамики обтекаемых тел во многих важных областях промышленности: турбомашиностроении, ветроэнергетике, гражданской авиации.

Например, сила сопротивления трения, действующая на типичный авиалайнер при его полете в крейсерском режиме, составляет более половины общего сопротивления [1]. Поскольку трение в ламинарном пограничном слое существенно меньше, чем в турбулентном, протяженность ламинарного пограничного слоя, а значит и положение ЛТП, напрямую влияет на величину общего сопротивления. По этой причине положение ЛТП на крыловом профиле существенным образом сказывается на потреблении топлива всего авиалайнера и объеме вредных выбросов в атмосферу, что подчеркивает актуальность и важность разработки высокоточных расчетных методов определения положения ЛТП для современной аэродинамики.

Универсальных расчетных методов предсказания положения ЛТП не существует из-за сложной природы ламинарно-турбулентного перехода, обусловленного, как было показано еще Рейнольдсом [2], потерей устойчивости ламинарного ПС и развитием возмущений в нем. Набор типов возмущений и процессов их развития, составляющих сценарий ЛТП, многообразен и определяется внешними по отношению к ПС факторами. По этой причине современные подходы являются специфичными, то есть обладают предсказательной силой лишь для конкретных сценариев. При низком уровне турбулентности набегающего потока, типичном для полета в атмосфере, в пограничном

и и / и \ и

слое реализуется так называемый естественный (или неконтролируемый) сценарий ламинарно-турбулентного перехода, характеризующийся длинной линейной стадией развития малых по амплитуде возмущений. В двумерных дозвуковых пограничных слоях на поверхностях с небольшой кривизной такие возмущения называются волнами Толлмина-Шлихтинга (ТШ). Предсказание их эволюции (развития во времени и пространстве) является ключевой задачей при расчете положения естественного ЛТП.

При обтекании твердых тел с гладкими поверхностями эволюция волн ТШ описывается в рамках методов, основанных на линейном анализе устойчивости упрощенных уравнений движения. Такими подходами являются локально-параллельный метод, в рамках которого решается уравнение Орра-Зоммерфельда, полученное в предположении о параллельности течения, и решение параболизованных уравнений устойчивости, основанных на предположении о медленном изменении течения в продольном и трансверсальном направлениях. Однако, в реальных конструкциях неизбежно присутствуют локальные геометрические неоднородности поверхности, например, стыки листов металла, образующих поверхность крылового профиля. Эти неоднородности влияют на эволюцию волн ТШ, а значит, и на положение ламинарно-турбулентного перехода. В пограничных слоях с неоднородностями поверхности возникают отрывные зоны, и предположения, лежащие в основе локально-параллельного метода и параболизованных уравнений устойчивости, то есть параллельность течения или медленное его изменение вдоль потока, строго говоря, не выполняются. Это обстоятельство приводит к необходимости использования более общего подхода, не имеющего подобных ограничений.

Таким подходом является глобальный анализ устойчивости (ГАУ). В рамках этого метода не делается упрощающих предположений относительно течения, как при выводе уравнения Орра-Зоммерфельда и параболизованных уравнений устойчивости. Другими словами, ГАУ предполагает исследование устойчивости решений полных двумерных или трехмерных уравнений Навье-Стокса. Этот метод успешно использовался для исследования устойчивости многих сложных течений, например, течения в каналах с внезапным расширением [3], трансзвукового бафтинга крыла [4] и других [5,6]. Однако, методы, построенные на основе ГАУ, не применялись для определения положения ЛТП в ПС с неоднородностями поверхности, что определило направление настоящей работы.

Цели и задачи работы Основная цель диссертации состоит в разработке и применении метода определения положения ЛТП в пограничных слоях с геометрическими неоднородностями поверхности на основе ГАУ

Конкретными задачами, которые необходимо решить для достижения этой цели, являются:

- реализация основных элементов ГАУ, а именно процедуры вычисления дискретного аналога матрицы Якоби уравнений Навье-Стокса и решения задачи на его собственные значения;

- разработка процедуры определения положения ЛТП на основе результатов ГАУ;

- верификация и валидация разработанного метода;

- численное исследование влияния неоднородностей поверхности на положение ЛТП в ПС на плоской поверхности и на крыловом профиле с помощью разработанного метода.

Научная новизна

1. Предложен новый (основанный на ГАУ) метод определения положения естественного ЛТП в ПС на поверхностях с геометрическими неоднородностями.

2. С использованием предложенного метода получены новые количественные данные о влиянии типа, размера и положения геометрических неоднородностей на обтекаемой поверхности при отсутствии и наличии продольного градиента давления на положение ЛТП на плоской пластине и крыловом профиле.

3. Впервые обнаружена независимость влияния наличия на обтекаемой поверхности прямых и обратных уступов и продольного градиента давления на величину сдвига положения ЛТП по сравнению с плоской поверхностью при нулевом градиенте давления.

4. Впервые показано, что модели турбулентности, учитывающие ЛТП, недооценивают влияние градиента давления при естественном сценарии ЛТП. Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит:

- в создании нового метода определения положения ЛТП в пограничных слоях с неоднородностями поверхности;

- в теоретическом подтверждении механизма влияния геометрических неоднородностей поверхности на положение ЛТП, связанного с усилением волн ТШ;

- в установлении факта независимости влияний постоянного градиента давления вдоль обтекаемой поверхности и наличия на ней прямых и обратных уступов на сдвиг положения ЛТП относительно его значения на гладкой плоской поверхности при нулевом градиенте давления.

Практическая значимость работы состоит:

- в повышении точности расчета положения ЛТП при обтекании поверхностей с геометрическими неоднородностями;

- в получении количественных зависимостей положения ЛТП на плоской пластине и крыловом профиле от градиента давления, размера и положения геометрических неоднородностей.

Положения, выносимые на защиту

1. Новый метод определения положения ЛТП в ПС с неоднородностями поверхности, основанный на ГАУ.

2. Количественные данные о зависимости положения ЛТП от типа, геометрических параметров, положения неоднородностей и градиента давления на плоской пластине и крыловом профиле.

3. Результаты оценки точности КА№ моделей турбулентности, учитывающих ЛТП.

4. Независимость влияний постоянного градиента давления вдоль обтекаемой плоской поверхности и присутствия на ней прямых и обратных уступов на сдвиг положения ЛТП относительно его значения на гладкой плоской поверхности при нулевом градиенте давления.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается комплексом внутренних методических исследований, тщательной верификацией отдельных элементов разработанного метода и его валидацией путем сравнения результатов расчетов с экспериментом.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих российских и международных конференциях и семинарах:

- Международная конференция «ФизикА.СПб» (2022);

- Всероссийская научная конференция «Неделя Науки ФизМех» (2023, 2024, 2025);

- XIII конгресс «Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике» (2023);

- XXV международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (2024);

- X юбилейная российская конференция «Вычислительный эксперимент в аэроакустике и аэродинамике» (2024);

- семинар по фундаментальным проблемам аэродинамики в формате видеоконференции ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, ИТПМ СО РАН, СПбПУ, НИИМ МГУ, ОИВТ РАН (2025).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода определения положения ламинарно-турбулентного перехода в пограничных слоях с неоднородностями поверхности на основе глобального анализа устойчивости»

Структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем диссертации 104 стр., в том числе 74 рисунков и 12 таблиц; список литературы включает 127 наименований.

В Главе 1 приведен обзор основанных на линейном анализе устойчивости методов расчета эволюции волн ТШ и положения ЛТП в пограничных слоях на гладких поверхностях и поверхностях с геометрическими неоднородностями поверхности.

В Главе 2 приведено подробное поэтапное описание разработанного метода и детали его численной реализации.

В Главе 3 приведены результаты верификации и валидации разработанного метода.

Глава 4 посвящена применению разработанного метода для исследования влияния неоднородностей и градиента давления в ПС на положение естественного ЛТП на плоской пластине.

В Главе 5 оценивается применимость разработанного метода для определения положения ЛТП на крыловом профиле из семейства КЬБ.

В Заключении приведены основные новые результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы получены при поддержке гранта РНФ N° 22-11-00041 от 18.05.2022 (успешно завершен в 2024 году.)

Глава 1. Ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое и

методы определения его положения с использованием линейного анализа устойчивости

1.1 Естественный сценарий ламинарно-турбулентного перехода в

пограничном слое на гладкой пластине и определение его положения с использованием линейного анализа устойчивости

Процесс перехода от ламинарного к турбулентному течению в дозвуковом пограничном слое определяется следующими основными факторами: внешними по отношению к пограничному слою возмущениями (уровнем турбулентности набегающего потока, интенсивностью акустических возмущений), шероховатостью поверхности пластины вверх по потоку от перехода и величиной градиента давления на поверхности пластины [7]. Эти факторы определяют конкретный набор явлений, приводящих к разрушению ламинарного ПС и возникновению развитой турбулентности, другими словами, составляющих сценарий ламинарно-турбулентного перехода. В аэродинамических приложениях шероховатость поверхности и градиент давления являются напрямую или опосредованно контролируемыми факторами, поскольку определяются качеством обработки поверхности крылового профиля и его формой соответственно. По этой причине в аэродинамических приложениях в качестве главного фактора рассматривается уровень турбулентности набегающего потока, в зависимости от которого в ПС принято выделять несколько сценариев ЛТП: естественный (неконтролируемый), байпасный (вынужденный, обходной [8]), пузырьковый (отрывной) и переход из-за неустойчивости поперечного течения. Приведенная классификация не имеет четких границ, межующих сценарии, и не является однозначной и всеобъемлющей [9], что выражается в том числе в разнообразии терминов, описывающих одни и те же или похожие сценарии.

В пограничных слоях с низким уровнем турбулентности набегающего потока (^ < 0.1%), характерным для задач внешней аэродинамики [10], наиболее часто реализуется естественный сценарий ЛТП, на предсказание положения которого нацелен разработанный в диссертации метод. Обобщенный по результатам экспериментальных исследований сценарий естественного ЛТП в пограничном слое на плоской пластине без градиента давления [11] включает в себя следующие характерные этапы, сменяющие друг друга с увеличением числа Рейнольдса, построенного по продольной координате

(рисунок 1). В области от передней кромки пластины до критического числа Рейнольдса Яе^а пограничный слой остается полностью ламинарным - любые малые возмущения в нем затухают. При Яе > Яета в ПС развиваются малые двумерные возмущения, амплитуда этих возмущений претерпевает значительный рост (2), после чего возникают трехмерные возмущения и образуются лямбда-вихри (3), деформация и разрушение которых (4) приводит к образованию турбулентных пятен Эммонса (5), которые, наконец, сливаются, образуя развитое турбулентное течение (6).

Как видно из обобщённого естественного сценария, процесс ЛТП протекает в области, имеющей заметную протяженность. Однако, на практике для удобства используется понятие положения ЛТП, определяемого в экспериментах как точка, в которой возникают заметные изменения структуры и интегральных характеристик ламинарного ПС. Эти изменения фиксируются по измеряемым пространственным или временным зависимостям величин: коэффициента перемежаемости, величины турбулентных пульсаций, распределения коэффициента полного давления на поверхности или коэффициента трения и других.

Несмотря на неоднозначное определение положения ЛТП, именно его расчет и является целью подавляющего большинства численных методов, нацеленных на предсказание ЛТП. Полное решение задачи расчета положения ЛТП можно свести к решению трех проблем: восприимчивости, линейного и нелинейного развития и взаимодействия возмущений.

Рисунок 1 - Естественный сценарий перехода на плоской пластине [11]

Первая проблема обусловлена тем, что ламинарный пограничный слой относится к классу течений, которые принято называть «усилителями шума» [12]. Особенность подобных течений заключается в том, что они не генерируют возмущения сами по себе, а лишь фильтруют и усиливают возмущения, пришедшие извне, в отличие от течений-«генераторов шума», к которым относится, например, ламинарное обтекание круглого цилиндра. Иными словами, в естественном сценарии ЛТП ламинарный пограничный слой представляется как механическая система без источников, в которой развиваются собственные колебания (возмущения). Начальный уровень амплитуд и частотный состав собственных возмущений и определяется решением проблемы восприимчивости, в широком смысле понимаемой как определение набора механизмов трансляции и трансформации возмущений от внешних источников. Эти механизмы были подробно изучены и описаны в ряде экспериментальных и численных работ [8,13-18], в которых исследовалась зависимость эволюции собственных возмущений ПС от типа и характеристик возмущений внешней по отношению к нему среды.

Вторая проблема заключается в предсказании эволюции собственных возмущений ламинарного ПС, возбужденных внешними источниками. В естественном сценарии ЛТП из-за малости амплитуды проникших в ПС возмущений, в нем развиваются собственные колебания, механизм роста амплитуды которых является линейным (описывается в рамках линеаризованных уравнений). В двумерных дозвуковых пограничных слоях на плоских пластинах такие возмущения называются волнами Толлмина-Шлихтинга. Первоначально существование этих волн было обосновано независимо в работах Толлмина [19] и Шлихтинга [20] теоретически, а затем в работе [21] волны ТШ были обнаружены экспериментально в трубе с очень низким уровнем турбулентности и передовыми по точности на тот момент измерительными приборами. Как уже было сказано выше, эволюция волн ТШ описывается в рамках линеаризованных уравнений Навье-Стокса и её расчет проводится с использованием методов линейного анализа устойчивости.

В рамках методов линейного анализа устойчивости исследуется устойчивость решений линеаризованных упрощенных уравнений движения. Так, самым простым в этом смысле является локально-параллельный метод, в котором течение полагается локально параллельным, т.е. проекция скорости, нормальная к стенке, в каждом сечении пограничного слоя принимается равной нулю. Линеаризация уравнений НС в результате

использования такого предположения приводит к уравнению Орра-Зоммерфельда, решение которого в виде задачи на собственные значения определяет устойчивость течения. Строго говоря, уравнение Орра-Зоммерфельда определяет устойчивость только полностью параллельных течений (течения Куэтта, течения Пуазейля), однако, оно применимо и для течений, близких к параллельным, например, для течения Блазиуса, что подтверждается экспериментальным наблюдением волн ТШ в ПС и хорошим согласованием расчетной кривой нейтральной устойчивости с экспериментальной в широком диапазоне частот [22,23]. Однако, неустойчивость развивающихся ближе к передней кромке волн ТШ с относительно высокими частотами, наблюдаемая в экспериментах, не предсказывается в рамках локально-параллельного метода, что обусловлено двумя основными причинами. Во-первых, в экспериментах в окрестности передней кромки пластины конечного радиуса возникает градиент давления, что приводит к искажению профиля скорости вблизи нее по сравнению с профилем Блазиуса, для которого проводится анализ устойчивости в локально-параллельном приближении. Уменьшение этого градиента давления путем профилирования передней кромки пластины [24,25] позволяет улучшить согласование результатов экспериментов и расчетов. Во-вторых, важную роль играет эффект непараллельности пограничного слоя, наиболее ярко проявляющийся в окрестности передней кромки, учет которого приводит к увеличению точности расчетов [26-29], особенно в области высоких частот.

В расчете непараллельность пограничного слоя может быть учтена в рамках линейного анализа устойчивости, основанного на решении параболизованных уравнений устойчивости (PSE) [30]. В этом методе вводится малый параметр e(Re'1) и течение в продольном и трансверсальном направлении считается зависящим от этого малого параметра. Стоит отметить, что процедура параболизации, использующаяся при выводе уравнений PSE, не позволяет получить действительно параболическую систему дифференциальных уравнений. Она имеет слабую эллиптичность, что приводит к ограничению на минимальный шаг по пространству или необходимости регуляризации уравнений. В двумерных ПС на гладких поверхностях результаты предсказания PSE и прямого численного моделирования (DNS) хорошо согласуются друг с другом [31], а в случае рассмотрения устойчивости трехмерных течений на гладких крыловых профилях, PSE значительно превосходит локально-параллельный метод по точности. Использование метода PSE позволило значительно расширить диапазон применимости

линейного анализа устойчивости, были рассмотрены задачи устойчивости мод Клебанова, вторичной неустойчивости волн ТШ [32], устойчивости поперечного течения и вихрей Гётлера [33]. Кроме того, возможность включения нелинейного слагаемого в параболизованных уравнениях устойчивости позволила рассмотреть нелинейное развитие волн ТШ [34,35] и их взаимодействие [32], а также механизмы нелинейной восприимчивости [31,32].

Концептуальное развитие метода PSE привело к появлению метода OWNS (One Way Navier Stokes), основанного на решении так называемых «однонаправленных уравнений» [36]. В основе данного подхода лежит разделение возмущений на волны, бегущие по течению и против течения с последующим применением проекционного оператора специального вида к линеаризованным уравнениям Навье-Стокса. В результате получается система параболических дифференциальных уравнений относительно малых возмущений, распространяющихся вдоль течения. Эта система относительно просто решается маршевым методом [37]. Метод OWNS имеет ряд преимуществ по сравнению с PSE. В частности, в нем решаются полностью параболизованные уравнения, так что при применении маршевого метода нет ограничений на продольный шаг, имеющихся в PSE из-за слабой эллиптичности уравнений. Это позволяет использовать достаточно подробные сетки и достигать большей по сравнению с PSE точности при исследовании устойчивости ряда течений [38,39]. Однако, как и в PSE, уравнения, решаемые в OWNS, справедливы только для течений, медленно изменяющихся по продольному направлению, что ограничивает их применение исследованиями устойчивости ПС на гладких и слабоискривленных поверхностях.

Третья проблема, которую следует решить при расчете положения ЛТП, состоит в

U и U U тл

предсказании нелинейного роста и взаимодействий возмущений. Рост амплитуды волн ТШ приводит к вторичной неустойчивости ламинарного пограничного слоя с «вмороженными» в него возмущениями, нелинейному взаимодействию волн, разрушению новой пространственно-временной структуры течения и возникновению полностью развитого турбулентного течения. Эта стадия ЛТП подробно рассмотрена в экспериментальных исследованиях [40-42], но ее теоретическое описание в настоящее время возможно лишь частично. Однако, характерная особенность естественного сценария ЛТП заключается в том, что стадия линейного развития возмущений занимает до 70-95% от протяженности ПС до положения ЛТП [40,43], а область нелинейных

процессов имеет значительно меньшую протяженность. Это обстоятельство позволяет производить достаточно точную оценку положения естественного ЛТП с использованием

и и и /— \J SJ XJ XJ

линеинои теории устойчивости, пренебрегая нелинейной стадиен развития возмущении.

Метод eN, являющийся практической реализацией этого подхода, устанавливает связь между положением ЛТП и экспоненциальным ростом амплитуды малых возмущений. Согласно этому методу проводится расчет пространственного распределения амплитуд Aro(x) волн ТШ различных частот и соответствующих распределений показателей темпа роста (N-факторов) Na>(x) = ln[Aro(x)/Ao], равных нулю в точке, соответствующей первой ветви кривой нейтральной устойчивости. Поскольку заранее частота возмущения, инициирующего ЛТП, неизвестна, по показателям темпа роста волн ТШ строится их огибающая N(x) (рисунок 2). Положение ЛТП xt оценивается как точка, где огибающая N(x) достигает критического значения Ncrit, которое должно быть известно априори.

N

-Щх) yf 1 / 1 j 1

^Т / 1 / / 1 / / 1 / / 1 / / 1 / 1 /ад i

v УС

Рисунок 2 - Схематическая иллюстрация применения метода для определения

положения ЛТП

В оригинальной формулировке метода, предложенной независимо в работах [44] и [45], для определения критического значения ^-фактора использовались данные многочисленных экспериментов по измерению положения ЛТП на крыловых профилях. По этим данным и результатам расчетов эволюции малых возмущений в локально-параллельном приближении было установлено, что критические значения ^-фактора лежат в диапазоне от 7 до 11. С приемлемой точностью в большинстве рассмотренных течений положение ЛТП соответствовало усилению возмущений в е9 (~8100) раз. Значение ЫстИ = 9 стало общепринятым для определения положения ЛТП в задачах внешней аэродинамики.

Существенный недостаток метода eN заключается в игнорировании зависимости положения ЛТП от начальной амплитуды возмущений в ПС или, иными словами, пренебрежении явлением восприимчивости. Именно это послужило одной из причин разброса критических значений ^-факторов в оригинальных работах [44,45]. Развитием метода eN стал метод переменного ^-фактора, компенсирующий этот недостаток путем учета зависимости от параметров, влияющих на восприимчивость пограничного слоя. Так, в работе [46] на основе экспериментальных данных по положению ЛТП на плоской пластине была построена корреляция, учитывающая зависимость критического значения ^-фактора от степени турбулентности набегающего потока. Аналогичным образом были построены корреляции от шероховатости и «волнистости» поверхности [47,48].

На основе метода eN построено множество успешно применяемых на практике методов определения положения ЛТП на крыловых профилях: метод XFOIL [49], RANS-модели турбулентности, учитывающие ЛТП [50], гибридные коды, совмещающие RANS-моделирование и линейный анализ устойчивости в локально-параллельном приближении [51,52]. Таким образом, метод eN является достаточно эффективным методом определения положения естественного ЛТП для широкого круга течений, и именно он использовался как часть разработанного в диссертации метода определения положения ЛТП в ПС с неоднородностями поверхности.

1.2 Влияние неоднородностей поверхности на положение ламинарно-турбулентного перехода

Прежде чем перейти к обзору влияния неоднородностей на положение ЛТП, следует отметить важность влияния градиента давления, который может быть вызван как общей кривизной поверхности тела, так и локальными геометрическими неоднородностями поверхности. Как показано в ряде работ, начиная с [21], продольный градиент давления существенным образом влияет на развитие возмущений в пограничном слое: благоприятный градиент давления имеет стабилизирующий эффект, тогда как неблагоприятный градиент давления содействует развитию возмущений. Большинство экспериментальных исследований сосредоточено на влиянии градиента давления на положение ЛТП при высоком уровне турбулентности набегающего потока [53-55], приводящем, как правило, к байпасному типу ЛТП. Тем не менее, как было показано в экспериментальной работе [56], нелинейная стадия развития возмущений в ПС с умеренным градиентом давления в случае естественного сценария ЛТП содержит все те

же этапы, что и в ПС без градиента давления. Это эмпирическое наблюдение подтверждает применимость методов линейного анализа устойчивости для предсказания положения ЛТП в ПС с градиентом давления.

Расчет эволюции волн ТШ и положения ЛТП в ПС с градиентом давления на гладкой пластине может быть выполнен с использованием классических методов линейного анализа устойчивости, например, локально-параллельного метода. Первые шаги в этом направлении были сделаны в результате исследования устойчивости автомодельных ПС семейства Фолкнера-Скэн, в которых в качестве параметра градиента давления выступает параметр Хартри. В работе [57] на основе результатов расчетов было показано, что благоприятный градиент давления приводит к значительному затягиванию перехода, тогда как неблагоприятный градиент давления ускоряет переход из-за возникновения точки перегиба на профиле скорости. Обобщение решений уравнений Орра-Зоммерфельда для ПС Фолкнера-Скэн было получено в работе [58]. В предложенном методе, получившем название метод Дрелы, было введено два параметра, зависящих от форм-фактора ПС Н, а именно число Рейнольдса начала роста возмущений и скорость роста показателя темпа роста амплитуды возмущений, на основе которых строилось продольное распределение ^-фактора. Метод Дрелы существенно расширил возможности инженерного прогнозирования положения перехода в ПС с градиентом давления и в настоящий момент является одним из самых популярных на практике методов.

Локальные геометрические неоднородности поверхности влияют на развитие волн ТШ и, следовательно, положение ЛТП, что подтверждается как экспериментальными данными [59-61], так и результатами прямого численного моделирования [62,63]. Подробные экспериментальные исследования влияния геометрических неоднородностей поверхности на эволюцию волн ТШ были проведены в ИТПМ СО РАН с помощью искусственного возбуждения возмущений в ПС. Так, в работах [64,65] было показано, что амплитуда возмущений, усиленных обратным уступом, примерно в два раза больше, чем амплитуда возмущений в случае прямого уступа той же высоты, а в работе [59] продемонстрировано, что усиление возмущений проявляется лишь локально в окрестности уступа и связано с невязкой неустойчивостью слоев смешения, образующихся в отрывных зонах, порожденных неоднородностью поверхности.

Положение ЛТП в свою очередь определяется не абсолютной величиной

U 7 U 7 /о ^ U

неоднородностей поверхности я, а их величиной h/o , обезразмеренной на толщину вытеснения ПС в месте расположения уступа на гладкой пластине [61,66]. В экспериментах, как правило, наблюдался сдвиг положения ЛТП вверх по потоку к положению неоднородностей с увеличением их размера, вплоть до фиксации положения ЛТП в окрестности положения неоднородности при достижении критической величины h/ö*. По результатам этих экспериментов были определены соответствующие фиксации положения ЛТП числа Рейнольдса, рассчитанные по критической высоте прямых и обратных уступов и скорости набегающего потока Rec = Ueh/v и равные 900 и 1800, соответственно [67]. Такой тип ЛТП некоторыми авторами называется «байпасным» [68,69], хотя он не вызван высоким уровнем турбулентности набегающего потока и происходит вследствие значительного усиления амплитуды волн ТШ в окрестности неоднородности.

Совместное влияние прямых и обратных уступов и чисел Рейнольдса, Маха и продольного градиента давления на положение ЛТП было систематически исследовано в работах [70,71] экспериментально. Как утверждают авторы, влияние неоднородностей на положение ЛТП, выраженное в виде зависимости нормализованного положения ЛТП £ от безразмерного размера неоднородностей h/ö*, можно отделить от влияния других факторов, а именно числа Маха и градиента давления, а также выразить их в виде корреляции £(h/ö*). Следует отметить, что авторами были рассмотрены только благоприятные градиенты давления, но даже для них по опубликованным экспериментальным данным видно, что погрешность предложенной корреляции достигает 20%. Кроме того, результаты авторов количественно отличаются от экспериментальных данных, полученных в работах [60,61,66], по-видимому, из-за разных рассмотренных диапазонов чисел Рейнольдса, построенных по положению неоднородностей, чисел Маха и распределений градиентов давления, что подтверждает существенную зависимость положения ЛТП в ПС с неоднородностями поверхности от этих факторов.

1.3 Применение линейного анализа устойчивости для расчета

влияния неоднородностей поверхности на положение ламинарно-турбулентного перехода

Методы линейного анализа устойчивости широко применяются для оценки влияния неоднородностей поверхности на положение ЛТП. Один из самых распространенных подходов, предложенный в пионерских работах [48,72], называется методом переменного М-фактора. Этот подход связывает влияние неоднородности размером к/§* со снижением критического значения М-фактора на величину АМ (декремент критического значения М-фактора). Этот декремент рассчитывается как разница между критическими значениями М-фактора на гладкой пластине М^ и пластине с неоднородностью М^, определенными по огибающей показателей темпа роста возмущений М(х) и соответствующим экспериментально измеренным положениям ЛТП (рисунок 3).

N

-Щх)

ДМ

-о----

Х{ Хю X

Рисунок 3 - Определение декремента критического значения М-фактора АМ по методу

переменного М-фактора

Впервые полуэмпирическая зависимость АМ(Н/д*) для прямых и обратных уступов на плоской пластине была предложена в работе [61]. Для этого были проведены экспериментальные измерения положения перехода на плоской пластине и пластине с прямыми и обратными уступами без градиента давления в широком диапазоне скоростей набегающего потока и высот уступов, результаты которых свидетельствуют об универсальном характере зависимостей АМ(Н/д*) для каждого типа уступа, причем влияние обратных уступов оказалось значительно более сильным, чем влияния прямых.

На основе экспериментального исследования влияния прямых и обратных уступов на положение ЛТП в ПС с знакопеременным градиентом давления в работе [60] были

предложены линейные зависимости АЫ(к/5*) для прямых (АЫ = 1.6к/5*) и обратных (АЫ = 4.4к/5*) уступов. Этими же авторами в работе [69] были проведены эксперименты для каверн и получены критические значения глубин к/5* и длин ^/5* каверн, приводящих к «байпасному» переходу, хорошо согласующиеся с результатами [73]. В результате было показано, что мелкие каверны усиливают возмущения так же, как обратные уступы, тогда как для глубоких каверн в докритическом диапазоне АЫ остается постоянным.

В работе [66] была проведена серия экспериментов по определению положения ЛТП на пластине с градиентом давления и прямыми и обратными уступами. Для обратных уступов зависимость АЫ(к/5*) оказалось близкой к результатам [61] и значительно отличалась от аппроксимации [60]. Для прямых уступов зависимость АЫ(к/5*) также не совпадала с корреляцией [60]. Было показано, что критическое значение Яве и АЫ могут зависеть не только от безразмерной высоты уступа к/5*, но и от других параметров.

Попытка построения универсальной модели на основе метода переменного Ы-фактора с использованием нейросетей для каверн была предпринята в работе [74]. Было получено удовлетворительное совпадение результатов предсказаний обученной нейросети с корреляцией [69]. Несмотря на воодушевляющие результаты, этот метод пока не нашел практического применения из-за относительно высокой вычислительной стоимости генерации большого количества обучающих задач и проблем выбора набора входных параметров для нейросети, а также из-за снижения точности расчета при параметрах, выходящих за диапазон, использованный при обучении.

Сравнение известных из литературы полуэмпирических корреляций и экспериментальных данных по влиянию обратных уступов на АЫ, полученных в описанных выше работах, приведено на рисунке 4. Заметный разброс совокупности экспериментальных данных, полученных при различных градиентах давления, числах Маха и числах Рейнольдса, построенных по положению уступов, свидетельствует о том, что точность зависимости декремента АЫ только от безразмерной величины неоднородности к/5* не может быть высокой.

Рисунок 4 - Сравнение полуэмпирических корреляций и данных для А^ из литературы

В этой связи в последние годы были предложены альтернативные подходы для учета влияния неоднородностей поверхности непосредственно на эволюцию волн ТШ и положение ЛТП, основанные на различных методах линейного анализа устойчивости. Несмотря на нарушение параллельности течения в окрестности неоднородностей, для исследования их влияния на эволюцию волн ТШ и положение ЛТП в ряде работ [73,75,76] был применен локально-параллельный метод. С его помощью было получено удовлетворительное совпадение численных результатов с экспериментальными данными и данными прямого численного моделирования [77] по влиянию прямых, обратных уступов и каверн малой высоты (глубины) на различных аэродинамических профилях. Однако, авторы [73] констатировали, что их метод применим только для малых неоднородностей, а существенная непараллельность течения при наличии неоднородностей с большими характерными размерами приводит к необходимости использования более общих подходов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Голубков Валентин Денисович, 2025 год

/ / / //

/ / / / / /

"Ч,"7 / /у/.

////. - а = -5

/// / у/ ^^^^ а - -6

! /// ^^^ — а - -7

ш /// о = -8

Ши// - а = -9

и/// - а - -10

и//// -11

¿у III - а = | | -12

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 х/с

Рисунок 69 - Расчетная зависимость от продольной координаты огибающей кривых фактора роста отдельных волн ТШ, Щх), полученная по результатам ГАУ для

различных углов атаки

Сравнение расчетных и экспериментальных положений ЛТП приведено на рисунке 70. В эксперименте на поверхности профиля с одинаковым шагом располагались датчики нестационарного давления. По сигналам этих датчиков определялось, находится ли датчик внутри ламинарного или турбулентного ПС. Таким образом, для каждого угла атаки в эксперименте определялись две точки на профиле, в первой из которых течение является ламинарным, а во второй - уже турбулентным. Иными словами, при каждом угле атаки экспериментальные данные позволяют судить не о точном его положении начала ЛТП, но о зоне, в которой оно находится (эти зоны и отмечены на рисунке 70 вертикальными отрезками). Видно, что, хотя при большинстве углов атаки ГАУ предсказывает несколько более ранний ЛТП, чем эксперимент, согласие расчета с экспериментом является вполне удовлетворительным. Это оправдывает применение разработанного метода для численного исследования влияния на положение ЛТП обратного уступа, расположенного на верхней поверхности профиля, результаты которого представлены ниже. Кроме того, полученный результат говорит о правильности выбора критического значения ЫстИ = 9 для этого течения при рассмотренных углах атаки, и оно используется для определения положения ЛТП на профиле с уступами в следующем разделе.

х(/с

ГАУ

X,

I <

0.8

0.6

0.4

0.2

-10

8

-6

а

Рисунок 70 - Сравнение расчетных и экспериментальных зависимостей положения ЛТП

5.2 Влияние неоднородностей поверхности на положение

ламинарно-турбулентного перехода

В настоящем разделе рассматриваются результаты применения разработанного метода для расчета влияния неоднородностей на положение ЛТП на крыловом профиле КЬБ(1)-0416 при угле атаки а = -12°. Как уже было сказано во введении, на реальных крыловых профилях такие неоднородности могут возникать из-за конструкционных особенностей, например, на стыках композитных панелей или листов металла, составляющих внешнюю обшивку крыла.

Поскольку высота уступа мала по сравнению с размером профиля и шириной канала, базовые решения для гладкого профиля и для профиля с уступами вдали от них практически совпадают, а их различие возникает в окрестности относительно короткой отрывной зоны, формирующейся вниз по потоку от обратного и вверх по потоку от прямого уступа (см. пример на рисунке 71). Кроме того, следует отметить, что в отличие от рассмотренных неоднородностей на плоской пластине, ни один из рассмотренных прямых уступов не приводит к отрыву потока за уступом. Возможно, отрыва не происходит, поскольку градиент давления на верхней поверхности крылового профиля достаточно велик для его предотвращения.

от угла атаки.

Рисунок 71 - Фрагменты полей продольной компоненты скорости и линий тока в окрестности уступа для гладкого профиля и профиля с обратным и прямым уступом высотой ЫЪ* = 1.0 из соответствующих базовых решений

при угле атаки а = -12°

Тем не менее, как видно из рисунка 72, различие базовых решений существенно сказывается на результатах ГАУ, в частности, на картине эволюции волн ТШ и на форме огибающих Ы(х) для гладкого профиля и профиля с уступами различной высоты, которые показаны на рисунке 73. Как и в случае пограничного слоя на плоской пластине, ГАУ предсказывает значительное увеличение наклона кривых Ы(х) в окрестности уступа, а вдали от уступа он вновь становится практически таким же, как и на гладкой поверхности.

Рисунок 72 - Фрагменты полученных из ГАУ при угле атаки а = -12° полей компоненты действительной части собственного вектора возмущений, соответствующей возмущениям продольной скорости, для гладкого профиля (а) и для профиля с обратным (б) и прямым уступом высотой к/5* = 1.0 (в)

Рисунок 73 - Расчетные зависимости от продольной координаты огибающих кривых фактора роста отдельных волн ТШ, М(х), при различных высотах обратных (а) и прямых (б) уступов, полученные по результатам ГАУ при угле атаки а = -12°

Огибающие, полученные по результатам ГАУ, позволяют сделать оценку влияния неоднородностей на положение ЛТП в виде зависимости нормализованного положения ЛТП %, рассчитанного при таком же критическом значении ^-фактора, как и на гладком профиле ЫстИ = 9, от безразмерной высоты неоднородности (рисунок 74). Видно, что на

крыловом профиле обратные уступы приводят к монотонному сдвигу ЛТП, тогда как прямые уступы влияют на положение ЛТП более сложным образом. При этом прямые уступы могут сильнее сдвигать ЛТП, чем обратные уступы той же высоты. Такой эффект, наблюдаемый на профиле, отсутствует в ПС на плоской пластине, где обратные уступы всегда сдвигают ЛТП сильнее, чем прямые уступы той же высоты.

Рисунок 74 - Сравнение зависимостей безразмерной величины \ от безразмерной высоты

обратного уступа А/5* на крыловом профиле

Таким образом, результаты Главы 5 убедительно демонстрируют эффективность разработанного метода для определения положения ЛТП на крыловых профилях. Кроме того, было установлено наличие существенных качественных различий влияния прямых уступов на положение ЛТП при обтекании плоской пластины и аэродинамического профиля.

Заключение

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем:

1. Разработан и реализован новый (основанный на ГАУ) метод определения положения естественного ЛТП в пограничных слоях на поверхностях с геометрическими неоднородностями, ключевым элементом которого является оригинальная процедура постпроцессинга результатов ГАУ.

2. Проведен комплекс внутренних методических, верификационных и валидационных расчетов, результаты которых подтверждают корректность реализации разработанного метода и его высокую точность.

3. С использованием разработанного метода получены количественные зависимости положения ЛТП в пограничном слое на плоской поверхности от высоты расположенных на ней геометрических неоднородностей различной формы (прямых, обратных уступов и прямоугольных каверн) при отсутствии и наличии продольного градиента давления.

4. Впервые показано, что влияние уступа и градиента давления на положение ЛТП является независимым (аддитивным).

5. Показано, что полуэмпирические модели для описания ЛТП, базирующиеся на уравнениях Рейнольдса, занижают влияние продольного градиента давления на положение естественного ЛТП.

6. Продемонстрирована применимость разработанного метода для предсказания положения ЛТП при обтекании как гладких аэродинамических профилей, так и профилей с малыми геометрическими неоднородностями поверхности.

7. Установлено наличие существенных качественных различий влияния прямых уступов на положение ЛТП при обтекании плоской пластины и аэродинамического профиля.

Список литературы

1. Marec J.-P. Drag Reduction: a Major Task for Research // Aerodynamic Drag Reduction Technologies / ed. by P. Thiede. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2001.

- P. 17-27.

2. Reynolds O. XXIX. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels // Philosophical Transactions of the Royal Society. - 1883. - Vol. 174. -P. 935-982.

3. Barkley D., Gomes M.G.M., Henderson R.D. Three-dimensional instability in flow over a backward-facing step // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 2002.

- Vol. 473. - P. 167-190.

4. Crouch J.D. et al. Origin of transonic buffet on aerofoils // Journal of Fluid Mechanics. -Cambridge University Press, 2009. - Vol. 628. - P. 357-369.

5. Bucci M.A. et al. Roughness-induced transition by quasi-resonance of a varicose global mode // Journal of Fluid Mechanics. - 2018. - Vol. 836. - P. 167-191.

6. Loiseau J.-C. et al. Investigation of the roughness-induced transition: global stability analyses and direct numerical simulations // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 2014. - Vol. 760. - P. 175-211.

7. Morkovin M.V. Transition in open flow systems-a reassessment // Bulletin of the American Physical Society. - 1994. - Vol. 39. - P. 1882.

8. Жигулев В.Н., Тумин А.М. Возникновение турбулентности. Динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях. - Новосибирск : Наука, 1987. - 281 с.

9. Boiko A.V. et al. Physics of transitional shear flows: instability and laminar-turbulent transition in incompressible near-wall shear layers. - Springer Science & Business Media, 2011. - Vol. 98.

10. Занин Б.Ю. Экспериментальные исследования влияния атмосферной турбулентности на течение в пограничном слое на крыле планера // Прикладная механика и техническая физика. - 2020. - Т. 61, № 5. - С. 21-31.

11. Schlichting H., Gersten K. Boundary-layer theory. - 9th ed. - Springer, 2016.

12. Бойко А.В. и др. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях. - М.-Ижевск : РХД, 2006.

13. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Лесченко В.Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. - Новосибирск : Наука, 1982.

14. Interaction of Vortex Disturbances and Boundary Layer on Blunt Bodies // LaminarTurbulent Transition / ed. by V.V. Kozlov. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1985. - P. 261-266.

15. Качанов Ю.С. и др. Преобразование внешних возмущений в волны пограничного слоя // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск : ВЦ и ИТПМ СО АН СССР, 1978. - Т. 9, № 2.

16. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение волн Толлмина— Шлихтинга в пограничном слое при воздействии внешних возмущений // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. - 1978. - № 5. - С. 85-94.

17. Устинов М.В. Восприимчивость пограничного слоя на плоской пластине к турбулентности набегающего потока // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2003. - № 3. - С. 56-68.

18. Kogan M.N. et al. Response of boundary layer flow to vortices normal to the leading edge // European Journal of Mechanics - B/Fluids. - Elsevier BV, 2001. - Vol. 20, № 6. - P. 813-820.

19. Tollmien W. Über die Entstehung der Turbulenz // Vorträge aus dem Gebiete der Aerodynamik und verwandter Gebiete / ed. by A. Gilles, L. Hopf, Th. V. Karman. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1930. - P. 18-21.

20. Schlichting H. Laminare Strahlausbreitung // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 1933. - Vol. 13, № 4. - P. 260-263.

21. Schubauer G.B., Skramstad H.K. Laminar boundary-layer oscillations and transition on a flat plate // Journal of Research of the National Bureau of Standards. - 1947. - Vol. 38. -P. 251.

22. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Развитие колебаний малой амплитуды в ламинарном пограничном слое // Ученые записки ЦАГИ. - 1975. - Т. 6, № 5. - С. 137-140.

23. White F.M., Majdalani J. Viscous fluid flow. - 3rd ed. - New York : McGraw-Hill, 2006.

24. Klingmann B.B.G. et al. Experiments on the stability of Tollmien-Schlichting waves // European Journal of Mechanics - B/Fluids. - 1993. - Vol. 12, № 4. - P. 493-514.

25. Ross J.A. et al. The flat plate boundary layer. Part 3. Comparison of theory with experiment // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1970. - Vol. 43, № 4. - P. 819-832.

26. Gaster M. On the effects of boundary-layer growth on flow stability // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1974. - Vol. 66, № 3. - P. 465-480.

27. Володин А.Г. Устойчивость плоского пограничного слоя с учетом непараллельности // Известия Сибирского отделения Академии наук СССР. - 1973. - № 8. - С. 13-15.

28. Nayfeh A.H., WS S., DT M. Stability of Non-Parallel Flows. - 1974.

29. Тумин А.М., Федоров А.В. Об учете влияния слабой неоднородности течения в пограничном слое на характеристики его устойчивости // Ученые записки ЦАГИ. -1982. - Т. 13, № 6. - С. 91-96.

30. Herbert T., Bertolotti F.P. Stability analysis of nonparallel boundary layers // Bulletin of the American Physical Society. - 1987. - Vol. 32, № 10. - P. 2079.

31. Herbert T. Parabolized Stability Equations // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1997. - Vol. 29, № 1. - P. 245-283.

32. Bertolotti F.P., Herbert Th. Analysis of the linear stability of compressible boundary layers using the PSE // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. - 1991. - Vol. 3, № 2. -P. 117-124.

33. Boiko A.V. et al. Steady and unsteady Gortler boundary-layer instability on concave wall // European Journal of Mechanics - B/Fluids. - Elsevier, 2010. - Vol. 29, № 2. - P. 61-83.

34. Bertolotti F.P., Herbert T., Spalart P.R. Linear and nonlinear stability of the Blasius boundary layer // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1992. - Vol. 242. - P. 441-474.

35. Goldstein M.E., Durbin P.A., Leib S.J. Roll-up of vorticity in adverse-pressure-gradient boundary layers // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1987. - Vol. 183. - P. 325-342.

36. Towne A., Colonius T. One-way spatial integration of hyperbolic equations // Journal of Computational Physics. - Elsevier, 2015. - Vol. 300. - P. 844-861.

37. Zhu M., Towne A. Recursive one-way Navier-Stokes equations with PSE-like cost // Journal of Computational Physics. - Elsevier, 2023. - Vol. 473. - P. 111744.

38. Towne A. et al. Efficient global resolvent analysis via the one-way Navier-Stokes equations // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 2022. - Vol. 948.

39. Rigas G., Colonius T., Beyar M. Stability of wall-bounded flows using one-way spatial integration of Navier-Stokes equations // 55th AIAA Aerospace Sciences Meeting. -Grapevine, Texas : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017. - AIAA 2017-0753.

40. Kachanov Y.S. Physical mechanisms of laminar-boundary-layer transition // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1994. - Vol. 26, № 1. - P. 411-482.

41. Klebanoff P.S., Tidstrom K.D., Sargent L.M. The three-dimensional nature of boundary-layer instability // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1962. - Vol. 12, № 1. - P. 1-34.

42. Kozlov V.V., Levchenko V.I., Sarik V.S. Formation of three-dimensional structures during the transition to turbulence in a boundary layer // Fluid Dynamics. - 1984. - Vol. 20. - P. 42-50.

43. Reed H.L., Saric W.S., Arnal D. Linear Stability Theory Applied to Boundary Layers // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1996. - Vol. 28, № 1. - P. 389-428.

44. Van Ingen J.L. A suggested semi-empirical method for the calculation of the boundary layer transition region. - Delft : Delft University of Technology, 1956. - Report VTH-74.

45. Smith A., Gamberoni N. Transition, Pressure Gradient, and Stability Theory. - El Segundo, Calif. : Douglas Aircraft Co., 1956. - Report ES 26388.

46. Mack L.M. Transition and laminar instability. - Pasadena, CA : Jet Propulsion Laboratory, 1977. - JPL Publication 77-15.

47. Crouch J.D., Ng L.L. Variable N-Factor Method for Transition Prediction in Three-Dimensional Boundary Layers // AIAA Journal. - 2000. - Vol. 38, № 2. - P. 211-216.

48. Wie Y.-S., Malik M.R. Effect of surface waviness on boundary-layer transition in two-dimensional flow // Computers & Fluids. - Elsevier, 1998. - Vol. 27, № 2. - P. 157-181.

49. Drela M. XFOIL: An Analysis and Design System for Low Reynolds Number Airfoils // Low Reynolds Number Aerodynamics / ed. by T.J. Mueller. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1989. - Vol. 54. - P. 1-12.

50. Coder J.G. Further Development of the Amplification Factor Transport Transition Model for Aerodynamic Flows // AIAA Scitech 2019 Forum. - San Diego, California : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2019. - AIAA 2019-0039.

51. Boiko A.V. et al. Numerical prediction of laminar-turbulent transition on an airfoil // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2014. - Vol. 29, № 4.

52. Boiko A.V. et al. Description and Prediction of Roughness-Induced Transition in Swept-Wing Boundary Layers // AIAA Journal. - 2025. - P. 1-12.

53. Abu-Ghannam B.J., Shaw R. Natural Transition of Boundary Layers—The Effects of Turbulence, Pressure Gradient, and Flow History // Journal of Mechanical Engineering Science. - 1980. - Vol. 22, № 5. - P. 213-228.

54. Gostelow J.P., Blunden A.R., Walker G.J. Effects of free-stream turbulence and adverse pressure gradients on boundary layer transition // Journal of Turbomachinery. - 1994. -Vol. 116, № 3. - P. 392-404.

55. Simoni D. et al. An accurate data base on laminar-to-turbulent transition in variable pressure gradient flows // International Journal of Heat and Fluid Flow. - Elsevier, 2019. - Vol. 77. - P. 84-97.

56. Borodulin V.I., Kachanov Y.S., Roschektayev A.P. Turbulence production in an APG-boundary-layer transition induced by randomized perturbations // Journal of Turbulence. -2006. - Vol. 7. - P. N8.

57. Wazzan A.R. Spatial and temporal stability charts for the Falkner-Skan boundary-layer profiles. - Long Beach, California : Douglas Aircraft Company, 1968. - Report DAC-67086.

58. Drela M., Giles M.B. Viscous-inviscid analysis of transonic and low Reynolds number airfoils // AIAA Journal. - 1987. - Vol. 25, № 10. - P. 1347-1355.

59. Boiko A.V. et al. Flow instability in the laminar boundary layer separation zone created by a small roughness element // Fluid Dynamics. - 1990. - Vol. 25, № 1. - P. 12-17.

60. Crouch J.D., Kosorygin V.S., Ng L.L. Modeling the Effects of Steps on Boundary-Layer Transition // IUTAM Symposium on Laminar-Turbulent Transition / ed. by R. Govindarajan. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2006. - Vol. 78. - P. 37-44.

61. Wang Y.X., Gaster M. Effect of surface steps on boundary layer transition // Experiments in Fluids. - 2005. - Vol. 39, № 4. - P. 679-686.

62. Teng M., Piomelli U. Instability and Transition of a Boundary Layer over a Backward-Facing Step // Fluids. - 2022. - Vol. 7, № 1.

63. Teng M. Effects of surface imperfections on the transitional boundary layer // Physics of Fluids. - 2023. - Vol. 35, № 8. - P. 084119.

64. Dovgal A.V., Kozlov V.V., Michalke A. Laminar boundary layer separation: instability and associated phenomena // Progress in Aerospace Sciences. - Elsevier, 1994. - Vol. 30, № 1. - P. 61-94.

65. Dovgal A.V., Kozlov V.V. Hydrodynamic Instability and Receptivity of Small Scale Separation Regions // Laminar-Turbulent Transition / ed. by D. Arnal, R. Michel. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1990. - P. 523-531.

66. Heintz A., Scholz P. Measurements on the effect of steps on the transition of laminar boundary layers // Experiments in Fluids. - 2023. - Vol. 64, № 4. - P. 76.

67. Nenni J.P., Gluyas G.L. Aerodynamic design and analysis of an LFC surface // Astronautics & Aeronautics. - 1966. - Vol. 4, № 7. - P. 52-57.

68. Mathias M., Medeiros M.F. Global instability analysis of a boundary layer flow over a small cavity // AIAA Aviation 2019 Forum. - Dallas, Texas : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2019. - AIAA 2019-3054.

69. Crouch J.D. et al. Characterizing surface-gap effects on boundary-layer transition dominated by Tollmien-Schlichting instability // Flow. - Cambridge University Press, 2022. - Vol. 2. - P. E8.

70. Costantini M., Risius S., Klein C. Step-induced transition in compressible high Reynolds number flow // Flow. - Cambridge University Press, 2022. - Vol. 2. - P. E33.

71. Risius S., Costantini M. Influence of backward-facing steps on laminar-turbulent transition in two-dimensional boundary layers at subsonic Mach numbers // Experiments in Fluids. - 2025. - Vol. 66, № 5. - P. 88.

72. Schrauf G. et al. Comparison of Boundary-Layer Transition Predictions Using Flight Test Data // Journal of Aircraft. - 1998. - Vol. 35, № 6. - P. 891-897.

73. Beguet S. et al. Modeling of Transverse Gaps Effects on Boundary-Layer Transition // Journal of Aircraft. - 2017. - Vol. 54, № 2. - P. 794-801.

74. Rouviere A. et al. Neural prediction model for transition onset of a boundary layer in presence of two-dimensional surface defects // Flow. - 2023. - Vol. 3. - P. E20.

75. Perraud J. et al. Laminar-turbulent transition on aerodynamic surfaces with imperfections // ONERA: Tire a Part. - 2004. - Vol. 13. - P. 2004.

76. Perraud J., Arnal D., Kuehn W. Laminar-turbulent transition prediction in the presence of surface imperfections // International Journal of Engineering Systems Modelling and Simulation. - 2014. - Vol. 6, № 3/4. - P. 162-171.

77. Edelmann C.A., Rist U. Impact of Forward-Facing Steps on Laminar-Turbulent Transition in Transonic Flows // AIAA Journal. - 2015. - Vol. 53, № 9. - P. 2504-2511.

78. Streett C. Direct harmonic linear Navier-Stokes methods for efficient simulation of wave packets // 36th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. - Reno, NV : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998. - AIAA 98-0617.

79. Hildebrand N., Choudhari M.M., Paredes P. Predicting Boundary-Layer Transition over Backward-Facing Steps via Linear Stability Analysis // AIAA Journal. - 2020. - Vol. 58, № 9. - P. 3728-3734.

80. Hildebrand N., Paredes P., Choudhari M.M. Effect of a forward-facing step on the disturbance amplification in a flat-plate boundary layer // Physical Review Fluids. -American Physical Society, 2025. - Vol. 10, № 4. - P. 043901.

81. Paredes P. et al. The harmonic linearized Navier-Stokes equations for transition prediction in three-dimensional flows // Computers & Fluids. - Elsevier, 2024. - Vol. 273. - P. 106206.

82. Franco Sumariva J.A., Hein S., Valero E. On the influence of two-dimensional hump roughness on laminar-turbulent transition // Physics of Fluids. - AIP Publishing, 2020. -Vol. 32, № 3. - P. 034103.

83. Theofilis V. Advances in global linear instability analysis of nonparallel and three-dimensional flows // Progress in Aerospace Sciences. - Elsevier, 2003. - Vol. 39, № 4. -P. 249-315.

84. Ehrenstein U., Gallaire F. On two-dimensional temporal modes in spatially evolving open flows: the flat-plate boundary layer // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 2005. - Vol. 536. - P. 209-218.

85. Alizard F., Robinet J.-C. Spatially convective global modes in a boundary layer // Physics of Fluids. - AIP Publishing, 2007. - Vol. 19, № 11. - P. 114105.

86. Äkervik E. et al. Global two-dimensional stability measures of the flat plate boundary-layer flow // European Journal of Mechanics - B/Fluids. - Elsevier, 2008. - Vol. 27, № 5. - P. 501-513.

87. Garicano-Mena J. et al. A stability analysis of the compressible boundary layer flow over indented surfaces // Computers & Fluids. - Elsevier, 2018. - Vol. 160. - P. 14-25.

88. Kuester M.S. Growth of Tollmien-Schlichting Waves over Three-Dimensional Roughness // AIAA Scitech 2020 Forum. - Orlando, FL : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2020. - AIAA 2020-0000.

89. Appel T. et al. BiGlobal Stability Analysis of Swept-Wing Boundary Layers with Forward and Backward Facing Steps // IUTAM Laminar-Turbulent Transition / ed. by S. Sherwin, P. Schmid, X. Wu. - Cham : Springer International Publishing, 2022. - Vol. 38. - P. 347358.

90. Shur M., Strelets M., Travin A. High-order implicit multi-block Navier-Stokes code: Ten-year experience of application to RANS/DES/LES/DNS of turbulence // 7th Symposium on Overset Composite Grids and Solution Technology. - Huntington Beach, CA, 2004.

91. Haase W., Braza M., Revell A. DESider-A European Effort on Hybrid RANS-LES Modelling: Results of the European-Union Funded Project, 2004-2007. - Springer Science & Business Media, 2009. - Vol. 103.

92. The FLOMANIA project / ed. by W. Haase et al. - Springer Berlin Heidelberg, 2006. -Vol. 94.

93. Mockett C., Haase W., Thiele F. Go4Hybrid: A European Initiative for Improved Hybrid RANS-LES Modelling / ed. by S. Girimaji et al. - Cham : Springer International Publishing, 2015. - Vol. 130.

94. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // Journal of Computational Physics. - Elsevier, 1981. - Vol. 43, № 2. - P. 357-372.

95. Richez F., Leguille M., Marquet O. Selective frequency damping method for steady RANS solutions of turbulent separated flows around an airfoil at stall // Computers & Fluids. -Elsevier, 2016. - Vol. 132. - P. 51-61.

96. De Pando M.F., Sipp D., Schmid P.J. Efficient evaluation of the direct and adjoint linearized dynamics from compressible flow solvers // Journal of Computational Physics.

- Elsevier, 2012. - Vol. 231, № 23. - P. 7739-7755.

97. Dwight R.P. Efficiency improvements of RANS-based analysis and optimization using implicit and adjoint methods on unstructured grids: PhD Thesis. - The University of Manchester, 2006.

98. Thormann R., Widhalm M. Linear-Frequency-Domain Predictions of Dynamic-Response Data for Viscous Transonic Flows // AIAA Journal. - 2013. - Vol. 51, № 11. - P. 25402557.

99. Timme S. Global instability of wing shock-buffet onset // Journal of Fluid Mechanics. -Cambridge University Press, 2020. - Vol. 885. - P. A37.

100. He W., Timme S. Triglobal infinite-wing shock-buffet study // Journal of Fluid Mechanics.

- Cambridge University Press, 2021. - Vol. 925. - P. A27.

101. Wengert R.E. A simple automatic derivative evaluation program // Communications of the ACM. - 1964. - Vol. 7, № 8. - P. 463-464.

102. Lyu Z. et al. Automatic Differentiation Adjoint of the Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations with a Turbulence Model // 21st AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. - San Diego, CA : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2013. - AIAA 2013-2581.

103. Baydin A.G. et al. Automatic differentiation in machine learning: a survey // Journal of Machine Learning Research. - 2018. - Vol. 18. - P. 1-43.

104. Hascoet L., Pascual V. The Tapenade automatic differentiation tool: principles, model, and specification // ACM Transactions on Mathematical Software. - 2013. - Vol. 39, № 3. -P. 20.

105. Straka C.W. ADF95: Tool for automatic differentiation of a FORTRAN code designed for large numbers of independent variables // Computer Physics Communications. - Elsevier, 2005. - Vol. 168, № 2. - P. 123-139.

106. Hernandez V., Roman J.E., Vidal V. SLEPc: A scalable and flexible toolkit for the solution of eigenvalue problems // ACM Transactions on Mathematical Software. - 2005. - Vol. 31, № 3. - P. 351-362.

107. Van Loan C.F., Golub G.H. Matrix computations. - 3rd ed. - Baltimore : Johns Hopkins University Press, 1996.

108. Mack C.J., Schmid P.J. A preconditioned Krylov technique for global hydrodynamic stability analysis of large-scale compressible flows // Journal of Computational Physics. -Elsevier, 2010. - Vol. 229, № 3. - P. 541-560.

109. Gaster M. A note on the relation between temporally-increasing and spatially-increasing disturbances in hydrodynamic stability // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1962. - Vol. 14, № 2. - P. 222-224.

110. Rodriguez Alvarez D., Tumin A., Theofilis V. Towards the foundation of a global modes concept // 6th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Conference. - Honolulu, Hawaii : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2011. - AIAA 2011-3747.

111. Yang W., Zurbenko I. Kolmogorov-Zurbenko filters // Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics. - 2010. - Vol. 2, № 3. - P. 340-351.

112. Борисович С.А. Цифровая обработка сигналов. - СПб. : БХВ-Петербург, 2011. - 769 с.

113. Swaminathan G. Global stability analysis of non-parallel flows: PhD Thesis. - Bangalore : Jawaharlal Nehru Centre for Advanced Scientific Research, 2010.

114. Groot K.J., Pinna F., Van Oudheusden B.W. On closing the streamwise BiGlobal stability problem: the effect of boundary conditions // Procedia IUTAM. - Elsevier, 2015. - Vol. 14. - P. 459-468.

115. Bhoraniya R., Narayanan V. Evaluation of the outflow boundary conditions for Bi-Global stability analysis of axisymmetric boundary layer // Proceedings of the 6th International and 43rd National Conference on Fluid Mechanics and Fluid Power. - MNNIT Allahabad, 2016.

116. Drazin P.G. Introduction to hydrodynamic stability. - Cambridge : Cambridge university press, 2002. - Vol. 32.

117. Provansal M., Mathis C., Boyer L. Benard-von Karman instability: transient and forced regimes // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1987. - Vol. 182. -P. 1-22.

118. Zebib A. Stability of viscous flow past a circular cylinder // Journal of Engineering Mathematics. - 1987. - Vol. 21, № 2. - P. 155-165.

119. Jackson C.P. A finite-element study of the onset of vortex shedding in flow past variously shaped bodies // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 1987. - Vol. 182. - P. 23-45.

120. Giannetti F., Luchini P. Structural sensitivity of the first instability of the cylinder wake // Journal of Fluid Mechanics. - Cambridge University Press, 2007. - Vol. 581. - P. 167197.

121. Worner A., Rist U., Wagner S. Humps/Steps Influence on Stability Characteristics of Two-Dimensional Laminar Boundary Layer // AIAA Journal. - 2003. - Vol. 41, № 2. - P. 192197.

122. Langtry R.B., Menter F.R. Correlation-based transition modeling for unstructured parallelized computational fluid dynamics codes // AIAA Journal. - 2009. - Vol. 47, № 12. - P. 2894-2906.

123. Menter F.R. et al. An algebraic LCTM model for laminar-turbulent transition prediction // Flow, Turbulence and Combustion. - Springer, 2022. - Vol. 109, № 4. - P. 841-869.

124. Malik M.R. et al. Application of Drag Reduction Techniques to Transport Aircraft // Encyclopedia of Aerospace Engineering. - John Wiley & Sons, Ltd, 2010.

125. Gubisch M. ILA: Airbus encouraged by laminar-winged A340 trial [Электронный ресурс] // Flight Global. - 2018. - URL: https://www.flightglobal.com/airframers/ila-airbus-encouraged-by-laminar-winged-a340-trial/127896.article (дата обращения: 20.01.2025).

126. Somers D.M. Design and experimental results for a flapped natural-laminar-flow airfoil for general aviation applications. - Hampton, Va. : NASA, 1981. - NASA Technical Paper 1865.

127. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // 30th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. - Reno, NV : American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1992. - AIAA 92-0439.