Разработка методов и комплекса программ безошибочных вычислений для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кинцель, Дмитрий Александрович

• Кинцель, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кинцель, Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ ОШИБОК.

1.1. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И АБСОЛЮТНЫЕ ОШИБКИ.

1.2. ОШИБКИ СОДЕРЖАЩИЕСЯ В ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ.

1.3. ОШИБКИ ОГРАНИЧЕНИЯ.

1.4. ОШИБКИ ОКРУГЛЕНИЯ.

1.5. УСТОЙЧИВОСТЬ И ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СИСТЕМ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ.

2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

2.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ КРАМЕРА.

2.2. ПРЯМОЕ ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ.

2.3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ (ГАУССА).

2.4. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯХОЛЕЦКОГО.

2.5. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СИНГУЛЯРНЫМ ЧИСЛАМ.

2.6. ОЦЕНИВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИИ.

3.1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДА ЧИ.

3.2. ОДНОМОДУЛЬНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ.

3.3. РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

3.4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДА ЧИ И СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов и комплекса программ безошибочных вычислений для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений»

Актуальность исследования. В настоящее время любой инженерный расчет немыслим без использования ЭВМ. С развитием технических возможностей компьютеров соответственно расширяется и область их применения, охватывающая все большую сферу инженерных задач. Существует достаточное количество пакетов прикладных программ, которые широко применяются специалистами, ориентированных на решения как самых общих, так и специализированных инженерных задач [38, 40, 137]. Однако вычисления в машинной арифметике отличаются от арифметики «карандаша и бумаги». В ручных вычислениях промежуточные результаты непосредственно доступны для обозрения, и точность вычислений можно изменить в соответствии с требованием момента [53]. В машинной арифметике каждое число имеет фиксированное количество разрядов, которого в ряде случаев недостаточно для получения приемлемой точности [6]. Также ручные вычисления обычно не бывают длинными, тогда как машинный процесс вычислений может состоять из миллионов шагов [89]. Ничтожно малые ошибки, которыми в коротком вычислении можно было бы пренебречь, накапливаясь в протяженном процессе, могут приводить к разрушительным последствиям. Кроме этого, методы, вполне удовлетворительные для задач малой размерности, могут быть неэффективными для задач больших размерностей этого же типа [39].

Одной из задач, наиболее часто встречающихся в научных вычислениях, - решение системы линейных уравнений [121]. К линейным уравнениям приводят многие приложения [42, 140]. Также линейные уравнения могут возникать и опосредованно, как шаг в решении более сложной проблемы [15, 141]. Системы нелинейных уравнений, решают, используя последовательность линейных приближений, что порождает последовательность линейных систем [34, 88, 136]. При решении краевых задач для дифференциальных уравнений часто ограничиваются поиском решения только в конечном множестве точек, что во многих случаях ведет к системам линейных уравнений [87].

Для целого класса задач, которые относятся к плохо обусловленным, точное решение не может быть получено на компьютере традиционными способами, которые обычно используются в стандартном математическом обеспечении [8]. В этом случае некорректность решения обусловливается архитектурой ЭВМ, формой представления информации, и не зависит, например, от производительности или объема памяти. Любая цифровая ЭВМ является конечной машиной, так как она способна представлять конечное множество чисел. Поэтому в общем случае множество вещественных чисел R, которое является бесконечным, не представимо в компьютере. Точность представления таких чисел на ЭВМ зависит от размера разрядной сетки, используемой для вычислений. По этой причине при решении практически любой реальной задачи на ЭВМ возникают ошибки округления. При решении плохо обусловленных задач такие ошибки могут приводить к катастрофическому искажению результата решения [70].

Чтобы избежать ошибок связанных с машинным округлением в работе предлагается использовать системы, которые свободны от ошибок округления [31]. Примером таких систем являются одномодульные системы вычетов. Общая идея состоит в том, что рациональные числа с помощью метода, основанного на расширенном алгоритме Евклида, переводятся во множество целых чисел \т (прямое отображение). Все действия производятся во множестве целых чисел, а результаты приводятся по модулю т. Конечные результаты с помощью обратного отображения переводятся из множества целых чисел во множество рациональных. Вычисления, основанные на таких системах, называются «безошибочными», или их эквивалентом - «точные вычисления» (exact computation) [31]. Основной проблемой использования схожих систем является проблема взаимно однозначного перевода чисел из одной системы в другую. По причине того, что поле рациональных чисел бесконечно, а количество целых чисел, представимых в компьютере является конечным, возникает проблема однозначного обратного отображения полученного решения в поле рациональных чисел. Для определенного ряда задач, имеющих целочисленное решение, проблемы обратного отображения, не возникает. Но для задач, решение которых надо искать в поле рациональных чисел такая проблема существует.

Для установления однозначного соответствия необходимо иметь дополнительную информацию о искомом решении [44]. В данной работе предлагается комбинированный алгоритм нахождения решения в поле рациональных чисел, основанный на одномодульной системе вычетов. Этот алгоритм основан на итерационном методе исключения и включает в себя как методы безошибочного вычисления, так и обычную арифметику ЭВМ. Обычная конечно-разрядная арифметика используется для определения области решения, а безошибочные вычисления для точного нахождения оценки в этой области.

Целью исследования является разработка методов, позволяющие использовать безошибочные вычисления для нахождения решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, решение которых лежит в поле рациональных чисел, а также разработка комплекса программ по моделированию, генерации исходных данных, нахождения оценок для данных задач с помощью различных численных методов.

Для достижения поставленной цели в работе сформулированы следующие задачи:

- провести сравнительный анализ существующих в настоящее время методов для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений;

- составить алгоритмы различных методов для ЭВМ, использующих одно-модульную систему вычетов и конечно-разрядную арифметику для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений;

- разработать комбинированный метод решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.

Научную новизну диссертационной работы составляют результаты теоретических и экспериментальных исследований:

-на основе анализа существующих методов решения систем нормальных уравнений, для различных диапазонов изменения исходных данных, предложен метод безошибочных вычислений на основе одномодульной арифметики;

- на основе модульной арифметики разработан комбинированный алгоритм идентификации параметров плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений параболических регрессий высоких порядков

Практическую значимость имеют:

- комбинированный алгоритм для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений;

- разработанный комплекс программ, предназначенный для решения плохо обусловленных систем линейных уравнений, и нахождения коэффициентов парабол высоких порядков, который может применяться в различных областях науки и техники;

-предлагаемый комбинированный алгоритм позволяет аппроксимировать экспериментальные данные полиномами высоких степеней с большой степенью точности;

- материалы работы использованы в учебном процессе для подготовки специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в Саратовском государственном техническом университете.

На защиту выносятся:

-комбинированный метод для решения плохо обусловленных систем линейных уравнений, сочетающий в себя безошибочные вычисления и обычную конечно-разрядную арифметику ЭВМ; -реализация комбинированного метода для нахождения коэффициентов параболической регрессии высоких порядков; - комплекс программ, предназначенный для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений и нахождения коэффициентов параболических регрессий различными методами.

Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты работы обсуждались и докладывались на: II. Всероссийской научно-практической конференции «Современные технологии в обучении и производстве», 2003 г., г. Камышин, XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях "ММТТ-ДОН"», 2003 г., г. Ростов-на-Дону, III Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (ВК-73-93), 2003 г., г. Пенза.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 141 наименования; содержит 2 рисунка, 6 таблиц, 3 приложения, комплекс программ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кинцель, Дмитрий Александрович

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. При решении задачи нахождения параметров параболической регрессии с помощью одномодульной системы вычетов получено абсолютно точное решение в ситуациях, когда решение с использованием обычной конечно-разрядной арифметики не могло даже верно определить порядок коэффициентов с помощью лучших ортогональных численных методов.

2. Модульную арифметику вычетов можно применять также для решения некоторого класса других плохо обусловленных задач. Для некоторых типов плохо обусловленных систем нормальных уравнений, метод основанный на безошибочных вычислениях является наилучшим.

3. Основной проблемой при использовании безошибочных вычислениях является проблема псевдопереполнения. Использование предлагаемого комбинированного метода в определенной степени решает эту проблему и расширяет границы применения модульной арифметики.

4. Разработанный комплекс программ, позволяет находить решение систем линейных уравнений различными методами. На основе алгоритмов представленных в комплексе программ, для решения линейных систем уравнений с помощью безошибочных вычислений, можно создавать новые алгоритмы, предназначенные для решения других типов плохо обусловленных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кинцель, Дмитрий Александрович, 2004 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М: Финансы и статистика, 1983.472 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.487 с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов, М.: Мир, 1975, 760с.

5. Арене X., Лёйтер Ю. Многомерный дисперсионный анализ. Пер. с нем. М.: Финансы и статистика, 1985. 230 с.

6. Афифи А., Эйзенс С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ / Пер. с англ. М.:Мир,1982.488с.

7. Ахмед Н., Pao К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер.с англ. М.:Связь,1980. - 248 с.

8. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.

9. Балакирев B.C., Володин В.М., Цирлин A.M. Оптимальное управление процессами химической технологии. М.: Химия, 1978. - 383 с.

10. Беллман Р. Ведение в теорию матриц, М.: Наука, 1969, 386 с.

11. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, в 2-х томах, т.1, т.2., М.: Физматиздат, 1962,464 е., 640 с.

12. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 448 с.

13. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1,2: Пер.с англ. М.: Мир, 1974. 406с., 197 с.

14. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.: Наука, 1997. 288 с.

15. Болч Б., Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономики: Пер.с англ. М.: Статистика, 1979. - 317 с.

16. Большаков A.A., Каримов Р.Н. Методы сжатия информации. Саратов, Са-рат. политехи, ин-т, 1991 88с.

17. Боровиков В.П., Боровиков И.П. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. М.: Информационно-издательский дом «Филинь», 1997. 608 с.

18. Васильева Л.Г., Жилейкин Я.М., Осипик Ю.И. Преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. Их свойства и применение // Вычислительные методы и программирование, 2001, т. 3, с. 172- 175.

19. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): — М.: Высш.шк., 2000. 266 с.

20. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. М.: Энергия, 1979. 320 с.

21. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплице-выми матрицами, М: Наука, 1987, 320 с.

22. Волгин В. В. Модели случайных процессов для вероятностных задач синтеза АСУ. Генеральная совокупность реализаций. Эргодичность. Единственная реализация. М.: Изд-во МЭИ, 1998. 64 с.

23. Волгин В.В., Каримов Р.Н. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления. М.: Энергия, 1979. 80 с.

24. Высокоскоростные вычисления. Архитектура, производительность, прикладные алгоритмы программы суперЭВМ /Под ред. Я. Ковалика. М.: Радио и связь, 1988

25. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

26. Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948.

27. Голуб Дж., Ван Лоан Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1993.

28. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 208 с.

29. Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его применения и обобщения. -М.: Прогресс, 1966.

30. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.:Финансы и статистика, 1981.-302 с.

31. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. Пер с англ. М.: Мир, 1988.

32. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: В 2-х томах, т.1 Методы обработки данных, т.2 - Методы планирования эксперимента. - М.: Мир, 1980,1981. - 610с, - 529с.

33. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. Пер с англ. М.: Мир, 1984.

34. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн.1, Кн.2 / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика. 1986. 366с., 1987,351 с.

35. Енюков И.С. Методы, алгоритмы, программы многомерного статистического анализа: Пакет ППСА. М.: Финансы и статистика, 1986. 232 с.

36. Еремин А.Ю., Капории И.Е., Реализация явных чебышевских методов при решении задач большой размерности, в кн.: Многопроцессорные вычислительные структуры. Таганрог: ТРТИ, 1985, вып. 7 (XVI), с. 43-46.

37. Загоруйко Н.Г. и др. Пакет прикладных программ ОТЭКС (для анализа данных). М.: Финансы и статистика, 1986. 160 с.41.3акс JI. Статистическое оценивание/ Пер. с нем. М.: Статистика, 1976. 598с.

38. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.

39. Иберла К. Факторный анализ. М.: Статистика, 1980. 398 с.

40. Иванов В.К., Васин В.В., Тасана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978,206с.

41. Ицкович Э.Л. Контроль производства с помощью вычислительных машин, М: Энергия, 1975, 416 с.

42. Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. Учеб. пособие. Ч. 1. Разведочный анализ. Анализ качественных данных. Ч. 2. Регрессионный анализ. СГТУ, Саратов, 2002. 112с., 116с.

43. Каримов Р.Н., Долотовский Л.В. Регрессионная модель сложной преобразовательной системы для многокритериального проектирования// Вопросы преобразовательной техники и частотного электропривода: Меж-вуз.научн.сб. Сарат.госуд.техн.ун т, 1994. С.ЗЗ - 38.

44. Каримов Р. Н., Кинцель Д. А. Решение плохо обусловленных задач с помощью безошибочных вычислений // Прогрессивные технологии в обучении и производстве. Матер. II всероссийской конференции, г. Камышин, Волгоград, 2003, Т.2,292 294

45. Каримов Р. Н., Кинцель Д. А. Методы оценивания коэффициентов парабол высоких порядков //Автоматизация и управление в машино- и приборостроении. Межвуз. науч. сб. Саратов, СГТУ, 2003. с. 112-115.

46. Каримов Р.Н., Усов Д. П. Знаковый метод оценки статических характеристик объектов в системах управления// Вопросы преобразовательной техники и частотного электропривода: Межвуз.научн.сб. Сарат.госуд.техн.ун -т, 2000. С.33-38.

47. Каримов Р.Н., Червякова О.В. Восстановление пропусков в многомерных данных методом сингулярного разложения. //Вопросы преобразовательной техники и частотного электропривода и управления: Межвуз.научн.сб. Сарат.госуд.техн.ун т, 1999. С. 19 - 26.

48. Кашьяп Р. JL, Pao А. Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным: Пер. с англ. М:., Наука. 1983. 384 с.

49. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. Изд. второе, стереотип. - М.: Мир, 2001. - 575 е., ил.

50. Кедем Б. Спектральный анализ и различение сигналов по пересечениям нуля // ТИИЭР. 1986. Т. 74, № 11. С. 6-25.

51. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи/ Пер. с англ. М.: Наука, 1973. 899 с.

52. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ временные ряды/Пер. с англ. М.: Наука, 1976. 736 с.

53. Кинцель Д. А. Оценивание зависимостей с использованием параболической функции одной переменной. // Электротехнические комплексы и силовая электроника. Анализ синтез управление: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2003. с. 48-54.

54. Кнут Д. Е. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977.

55. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров; пер с англ., М.: Наука, 1979,720 с.

56. Корнейчук Н.П., Экстремальные задачи теории приближения, М.: Наука, 1976,320 с.

57. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.398 с.

58. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. 296 с.о

59. Ликеш И., Ляга И. Основные таблицы математической статистики/ Пер.с чешек. М.: Финансы и статистика, 1985. 356 с.

60. Лимер Э. Статистический анализ не экспериментальных данных. Выбор формы связи: Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1983. - 381 с.

61. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. Л. Физматгиз, 1962,352с.

62. Литвак Б.Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.

63. Литтл Р. Дж.А., Рубин Д.А. Статистический анализ данных с пропусками/Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1990. 366 с.

64. Лоусон Ч., Хенсен Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов: Пер.с англ. М.: Наука, 1986. - 232 с.

65. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. М.: Наука, 1991.432 с.

66. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 584 с.

67. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика, 1975, вып. 1,-421 е., 1976, вып. 2, - 325 с.

68. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. Пер. с англ. М.: Мир, 1982.

69. Марпл-мл.С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 584 с.

70. Математика и САПР: в 2-х кн., кн 1. Основные методы. Теория полюсов., /Пер. с франц./, Шенен П.,Коснар М., Гардан И. и др. М: Мир, 1988, 204с.

71. Математика и САПР: в 2-х кн., кн 2. Вычислительные методы. Геометрические методы., /Пер. с франц./, Жерман-Лакур П., Жорж П., Пистр Ф. и др. М: Мир, 1989,264с.

72. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т.2. 1104с.

73. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971.-576 с.

74. Морозов В.А., Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М: Наука, 1987,240 с.

75. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия: В 2-х вып. Вып. 1/ Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1982. 317 с.

76. Мудров В.И., Кушко В.Л. Метод наименьших модулей. М.: Знание, 1971.-64 с.

77. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. 208с.

78. Немчинов B.C. Полиномы Чебышева и математическая статистика. М.: Наука, 1946.

79. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем: Пер. с англ./ М. Бассвиль, А. Вилски, А. Банвенист и др.; Под ред. М. Бассвиль и А. Банвениста. М.: Мир, 1989. 278 с.

80. Оппенгейм A.B., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. /Под. ред. С.Я. Щаца. М.: Связь, 1979. - 416 е., ил.

81. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. М.: Знание, 1980.64 с.

82. Ортега Дж., Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: Пер. с англ., М: Мир, 1991,367с.

83. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы дифференциальных уравнений. Пер с англ. М.: Наука, 1986.

84. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Пер с англ. М.: Мир, 1975.

85. Остем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ: Пер с англ. М.: Мир, 1987. 480 с.

86. Отнес Р., Эоксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы/ Пер. с англ. М.: Мир, 1982.428 с.

87. Пакеты прикладных программ: Опыт использования. М.: Наука, 1989 (Алгоритмы и алгоритмические языки).

88. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики/Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1982. 344 с.

89. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности / С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1989. 607 с.

90. Пытьев Ю. П. Математические методы интерпретации эксперимента: Учеб. Посо-бие для вузов. М.: Высш. шк., 1989. 351 с.

91. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер.с англ. М.: Мир, 1984. - 264 с.

92. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.:, Мир. 1978. 774 с.

93. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния/Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 512 с.

94. Самарский A.A., Гулин A.B., Численные методы. Учебное пособие для ВУЗов, М.: Наука, 1989,432 с.

95. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов: Пер. с англ./Под ред. С. Гуна, X. Уайтхауса, Т.Кайлата. М.: Радио и связь, 1989.-472 е.: ил

96. ЮО.Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Пер.с англ.- М.: Мир, 1980. 456 с.

97. Семенов H.A. Программы регрессионного анализа и прогнозирования временных рядов. Пакеты ПАРИС и МАВР. М.: Финансы и статистика. 1990.—111 с.

98. Сергеенко.А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. СПб.: Питер, 2002. 608 с.

99. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике: Пер. с англ. М.: Статистика, 1974. - 374 с.

100. Ю4.Смоляк. С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: (Статистическая обработка неоднородных совокупностей). М.: Статистика, 1980. 208 с.

101. Ю5.Современные методы идентификации систем. Пер. с англ./ Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983.400с.

102. Юб.Справочник по прикладной статистике: В 2-х т. Т.1, Т.2/Пер.с англ. под ред. Э.Ллойда, У.Ледермана, Ю.Н.Тюрина. М. Финансы и статистика, 1989,1990, 510с.,-526с.

103. Статистические методы для ЭВМ. Пер.с англ. М.: Наука, 1986. - 464 с.

104. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М.:, Сов. Радио, 1977.-288 с.

105. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.

106. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач., М: Наука, 1979, 286 с.

107. Ш.Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В. Регулязирующие алгоритмы и априорная информация, М: Мир, 1983, 200с.

108. Тихонов А.Н., Уфимцев M.B. Статистическая обработка результатов эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1988. 174 с.

109. ИЗ.Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов: Пер.с англ. М.: Мир, 1978.411с.

110. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. М.: МГУ, 1972. 230 с.

111. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ/Пер. с англ. М.: Мир, 1981. 693с.

112. Пб.Тюрин Ю.Н., Макаров A.A. Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА М, 1998. - 528 с.

113. Уилкс С. Математическая статистика: Пер. с англ. М.: Наука, 1967. -632 с.

114. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры, М.: Физматгиз, 1963, 734 с.

115. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. Пер с англ. М.: Мир, 1980.

116. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Пер с англ. М.: Мир, 1969.

117. Хадлет Р., Джонсон Р. Линейная классификация и некоторые дальнейшие результаты по наилучшим представлениям низкой размерности. // Классификация и кластер. М.: Мир, 1980. 389 с.

118. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. -М.:ИЛ, 1956.

119. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.:, Наука, 1972,-400 с.

120. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 575 с.

121. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами/Пер. с англ. М.: Мир, 1973.- 957с.

122. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ/Пер.с англ. М.: Мир, 1989. 655с.

123. Хьюбер П. Робастность в статистике/Пер. с англ. М.: Мир, 1984.304 с.

124. Цветков Э.И. Методические погрешности статистических измерений, Ленинград, Энергоатомиздат, 1984,144с.

125. Цветков Э.И. Процессорные измерительные средства, Ленинград, Энергоатомиздат, 1989, 224с.

126. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б., Кузьмин В.И. Прогнозирование количественных характеристик процессов. М.: Сов. Радио, 1975. 400 с.

127. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства), М.: Наука, 1969, 432с.

128. Шишкин Е.В. Линейные пространства и отображения М.: изд-во МГУ, 1987,311с.

129. Эстербо О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц: Пер. с англ., М.: Мир, 1987,120с.

130. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. Радио, 1979.312 с.

131. Jenkins М.А., Traub J.F. 1970, A three-stage algorithm for real polynomials using quadratic iteration, SIAM Journal on Numerical Anlysis 7, pp 545-556.

132. Luenberger D. G. 1984, Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts.

133. Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. Издание 2-е, стереотипное М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1997. - 712 с.

134. Rissanen J. A. Universal Prior for the Integers and Estimation bu Minimum Description Length. Ann. Stat., vol. 11, pp. 417-431, 1983.

135. Schnabel R.B., Koontz J.E., Weiss B.E. 1982, A modular system of algorithms for unconstrained minimization, Report CU-CS-240-82, Computer Science Department, University of Colorado, Boulder, Colorado

136. Simonoff, J.S. (1988), Regression Diagnostics to Detect Nonrandom Miss-ingness in Linear Regression, Technometrics, v.30, n.2, p.205 214.

137. Wattson L.T. 1986, Numerical linear algebra aspects of globally convergent homotopy methods, SIAM Review pp. 529-545.