Разработка методов ускорения расчетов при моделировании фильтрации однофазной жидкости в пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Майков Дмитрий Николаевич

• Майков Дмитрий Николаевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Майков Дмитрий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

1.1. Гидродинамическое исследование скважин при разработке нефтяных и газовых месторождений

1.2. Современные методы, алгоритмы и программные комплексы вычислительных процессов, применяемые при интерпретации гидродинамических исследований скважин

1.3. Физико-математическое описание изотермического процесса фильтрации однофазной жидкости в пористой среде для интерпретации гидродинамических исследований скважин

1.3.1. Уравнения, описывающие свойства жидкости и пористой среды

1.3.2. Уравнения фильтрации

1.3.3. Уравнение неразрывности (сохранения массы)

1.3.4. Уравнение пьезопроводности

1.3.5. Уравнение фильтрации жидкости в трещиновато-поровых пластах

1.4. Аналитические решения уравнения пьезопроводности

1.4.1. Безразмерные переменные

1.4.2. Применение преобразования Лапласа к уравнению пьезопроводности

1.4.3. Вертикальная скважина в бесконечном однородном пласте

1.4.4. Скважина с трещиной бесконечной проводимости и трещиной с равномерным потоком

1.5. Численные решения уравнения пьезопроводности

1.5.1. Основные численные методы

1.5.2. Особенности построения расчетных сеток

1.5.3. Пространственная и временная дискретизация уравнения пьезопроводности

1.5.4. Учет работы скважины

1.5.5. Запись и решение систем алгебраических уравнений

1.6. Постановка цели и задач исследования

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКВАЖИНЫ С ТРЕЩИНОЙ АВТОМАТИЧЕСКОГО ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА ПЛАСТА

2.1. Постановка задачи

2.2. Описание построения математической модели

2.3. Определение функциональной зависимости полудлины трещины

2.4. Верификация зависимости по расчету полудлины трещины

2.5. Численный анализ параметров модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП

2.6. Выводы по главе

3. МЕТОДЫ УСКОРЕНИЯ РАСЧЕТА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

3.1. Метод ускорения расчета давления многозабойных скважин в однородном пласте

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Описание реализации метода

3.1.3. Верификация предложенного решения

3.1.4. Численный анализ параметров модели многозабойной скважины

3.2. Метод ускорения расчета давления многозабойных скважин в пласте с двойной пористостью

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Описание реализации метода

3.2.3. Численный анализ параметров модели многозабойной скважины в пласте с двойной пористостью

3.3. Метод ускорения расчета давления при изменяющихся дебитах по истории эксплуатации скважины

3.3.1. Принцип суперпозиции

3.3.2. Алгоритм аппроксимации функции изменения давления

3.3.3. Алгоритм расчета изменения давления с использованием аппроксимации

3.3.4. Численный анализ предлагаемого метода

3.4. Метод ускорения численного решения дифференциального уравнения пьезопроводности модели пласта с двойной пористостью

3.4.1. Постановка задачи

3.4.2. Разработка метода, ускоряющего численное решение

3.4.3. Начальные и граничные условия

3.4.4. Численный анализ применения метода ускорения

3.5. Выводы по главе

4. АЛГОРИТМЫ УСКОРЕНИЯ РАСЧЕТА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

4.1. Алгоритм оптимизации для решения обратной коэффициентной задачи при интерпретации результатов ГДИС

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Метод оптимизации Левенберга-Марквардта

4.1.3. Модификация метода Левенберга-Марквардта

4.1.4. Численный анализ предлагаемого алгоритма

4.2. Алгоритм ускорения расчетов при решении обратной коэффициентной задачи пьезопроводности

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Алгоритм аппроксимации функции аналитической модели при решении уравнения пьезопроводности

4.2.3. Численный анализ предлагаемого алгоритма

4.3. Выводы по главе

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

5.1. Описание программного комплекса

5.2. Анализ интерпретации ГДИС по разработанному программному комплексу

5.2.1. Интерпретация ГДИС при изменяющихся дебитах по истории эксплуатации

скважин

5.2.2. Интерпретация ГДИС скважин с автоГРП

5.2.3. Интерпретация ГДИС трещиновато-порового пласта

5.2.4. Поиск параметров методом решения обратной коэффициентной задачи

5.3. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. СВИДЕТЕЛЬСТВО О РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ ДЛЯ

ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СВИДЕТЕЛЬСТВО О РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ ДЛЯ

ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. СВИДЕТЕЛЬСТВО О РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ ДЛЯ

ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. АКТ О ВНЕДРЕНИИ

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. АКТ О ВНЕДРЕНИИ

ПРИЛОЖЕНИЕ Е. АКТ О ВНЕДРЕНИИ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Сокращения:

ГДИС - гидродинамические исследования скважин; ГИС - геофизические исследования скважин;

PVT - pressure (давление), volume (объем), temperature (температура); МГРП - многостадийный гидроразрыв пласта; СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений; CG - метод сопряженных градиентов;

BiCGStab - стабилизированный метод бисопряжённых градиентов;

GMRES - обобщенный метод минимальных невязок;

PSS - псевдостационарная модель потока (pseudo steady state);

АвтоГРП - автоматический гидроразрыв пласта;

МКР - метод конечных разностей;

МКЭ - метод конечных элементов;

МКО - метод конечных (контрольных) объемов;

ЭВМ - электронная вычислительная машина;

ВСС - влияние ствола скважины.

Обозначения: p - давление;

q - внешний источник/сток; q - приведенный внешний источник/сток; Q - объемный дебит; t - время;

rw - радиус скважины; Xf - полудлина трещины; s - переменная преобразования Лапласа; S - скин-фактор; V - объем;

и - скорость фильтрации; Т - температура; с - сжимаемость; А - площадь;

Ж1 - коэффициент продуктивности скважины; В - объемный коэффициент; к - толщина пласта; к - проницаемость.

Греческие символы:

ц - динамическая вязкость;

р - плотность;

ф, ф - пористость;

а - геометрический коэффициент;

X - удельный коэффициент проводимости;

ю - доля трещинно-кавернозной емкости.

Индексы:

w - скважина;

d - безразмерная величина;

f - жидкость, трещина;

г - пористая среда;

g - газ;

Ш - трещина;

mb - матрица;

0 - начальное значение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов ускорения расчетов при моделировании фильтрации однофазной жидкости в пористой среде»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Для оценки продуктивных и фильтрационных характеристик пластов нефтегазовых месторождений проводят гидродинамические исследования скважин (ГДИС). Неоднородность исследуемых объектов накладывает высокие требования к точности и оперативности интерпретации данных ГДИС. В связи с этим, актуальной является задача ускорения расчетов при моделировании фильтрации жидкости в пористой среде, особенно в условиях переменных режимов работы скважин, сложной геометрии скважинных конструкций, наличия трещин автоматического гидравлического разрыва пласта (автоГРП) и двойной пористости пластов.

Традиционные методы численного и аналитического решения задач фильтрации часто характеризуются сложностью вычислений и длительностью расчётов, что затрудняет их применение при оперативном принятии решений на практике. Особенно трудоёмкими являются обратные задачи, решение которых требует многократного проведения прямых расчётов, что существенно увеличивает время интерпретации.

Таким образом, развитие новых математических моделей, численных методов и алгоритмов, направленных на сокращение времени расчётов при сохранении точности, является важной научной задачей. Полученные результаты позволят не только оперативно проводить гидродинамические исследования скважин, но и повысить эффективность оценки параметров разработки месторождений, оптимизировать процесс проектирования и эксплуатации скважин.

Степень разработанности. Исследованиям в области моделирования процесса фильтрации при гидродинамических исследованиях скважин посвящены работы многих авторов, в частности: К.С. Басниев [1], Ю.П. Желтов [2], В.Н. Щелкачев [3, 4, 5], Р.Д. Каневская [6, 7], E. Ozkan, R. Raghavan, A. C. Gringarten, H. J. Ramey, T. Yildiz, F.J Kuchuk, M. Onur, F. Hollaender [8-17], G. Stewart [18], D. Bourdet [19, 20], H. Cinco-Ley [21-25], A.F. Everdingen [26, 27], T.A. Blasingame

[28], J.E. Warren, P.J. Root [29], D.W. Peaceman [30], P.J. van den Hoek [31], А.Я. Давлетбаев, А.Р. Давлетова [32-35], M. Sharma [36, 37], А.В. Григорьев, П.Н. Вабищевич, В.И. Васильев [38-41], C.H. Бузинов, И.Д. Умрихин [42, 43], П.В. Мангазеев, Т.А. Деева, М.Р. Камартдинов, Т.Е. Калугина, М.В. Панков, П.В. Шевелев [44, 45], М.Х. Хайруллин, Р.С. Хисамов, М.Н. Шамсиев, Е.Р. Бадертдинова, Р.Г. Фархуллин [46, 47], С.Г. Каменецкий, В.М. Кузьмин, В.П. Степанов [48], М.И. Кременецкий, А.И. Ипатов [49], Л.Г. Кульпин, Ю.А. Мясников [50], В.И. Курочкин, В.А. Санников [51], А.Г. Загуренко [52], Б.С. Чернов, М.Н. Базлов, А.И. Жуков [53], А. Чодри [54], Р. мл. Эрлагер [55], G. Bourdarot [56], G. DaPrat [57], M.M. Kamal [58], G.P. Kruseman, N.A. Ridder [59], J.P. Spivey, J. Lee, J.B. Rollins, W.J. Lee [60, 61], C.S. Matthews, D.G. Russell [62], R.N. Horne [63], M.A. Sabet [64] и др. Однако вопросы ускорения расчетов при моделировании процессов фильтрации в гидродинамических исследованиях скважин требуют дальнейшего исследования.

Объект исследования: изотермический процесс фильтрации однофазной жидкости в пористой среде при проведении интерпретации результатов гидродинамических исследованиях скважин.

Предмет исследования: математические модели, методы и численные алгоритмы моделирования процесса фильтрации жидкости в пористой среде, применяемые для интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

Цель работы: разработка методики, применение которой, позволит сократить время расчета параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости в пористой среде без потери точности при проведении интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин. Задачи работы:

1. Разработать математическую модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП для интерпретации параметров фильтрации при гидродинамических исследованиях скважин с учетом изменения полудлины трещины от времени.

2. Разработать методы ускорения расчёта прямой задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин, работающих в трещиновато-поровом пласте и с изменяющимися режимами работы.

3. Разработать алгоритм ускорения расчета обратной задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин, основанной на решении уравнения пьезопроводности методом Левенберга-Марквардта.

4. Реализовать разработанную математическую модель, методы и алгоритм в виде программного комплекса для проведения расчетов параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости при проведении интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

5. На основе разработанного программного комплекса провести параметрический анализ результатов интерпретации ГДИС на типовых режимах работы скважин.

Научная новизна

1 . Разработана математическая модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП, позволяющая проводить интерпретацию результатов ГДИС с применением полученной оригинальной зависимости изменения полудлины трещины от времени.

2. Разработаны новые методы ускорения расчёта прямой задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости, позволяющие сократить время расчета без потери точности при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин с изменяющимися режимами работы и для модели пласта с двойной пористостью.

3. Разработан алгоритм ускорения расчета обратной задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости, основанный на модификации метода Левенберга-Марквардта для решения уравнения пьезопроводности, позволяющий сократить время расчета и повысить точность интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

4. Разработан программный комплекс, реализующий предложенные методы и алгоритм, отличающийся оригинальностью архитектуры, взаимодействием программных модулей, позволяющий использовать разработанную математическую модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП для проведения расчетов параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов ГДИС, а также проведения параметрических исследований.

5. На основе разработанного программного комплекса проведен параметрический анализ результатов ГДИС на типовых режимах работы скважин, получены закономерности влияния параметров модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП на эксплуатационные параметры скважин.

Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в разработке новой математической модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП, методов и алгоритма ускорения вычислений прямой и обратной задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости в пористой среде, применяемых при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин, с учетом дополнительной информации об изменении длины трещины от времени.

Практическая значимость диссертации заключается в разработке комплекса программ, реализующего предложенные математическую модель трещины автоГРП, численный метод и алгоритм ускорения расчета параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости в пористой среде, позволяющих сократить время решения модельных задач при проведении интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

Методология и методы исследования

Для решения поставленных задач использованы методы математического моделирования, численные методы, такие как метод Ньютона, Левенберга-Марквардта, алгоритм Форчуна, итерационные алгоритмы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса-Зейделя с коэффициентом релаксации, стабилизированный метод бисопряжённых градиентов BICGStab, аналитические

методы суперпозиции, алгоритм Стефеста, ШТЬи разложение матрицы, методы вычислительной геометрии и линейной алгебры.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП для проведения интерпретации параметров фильтрации при гидродинамических исследованиях скважин с учетом полученной оригинальной зависимости изменения полудлины трещины от времени.

2. Методы ускорения расчёта прямой задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости, применяемые при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин: первый метод основан на аппроксимации функции изменения давления для скважин с переменным режимом работы; второй метод основан на преобразовании конечно-разностной аппроксимации системы дифференциальных уравнений при численном решении модели пласта с двойной пористостью.

3. Алгоритм ускорения расчета обратной задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости, основанный на модификации метода Левенберга-Марквардта для решения уравнения пьезопроводности.

4. Программный комплекс, реализующий предложенную математическую модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП, методы и алгоритм ускорения расчетов параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов ГДИС.

5. Результаты параметрического анализа исследований ГДИС на типовых режимах работы скважин, полученные закономерности влияния параметров модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП на эксплуатационные параметры скважин.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обосновывается корректным применением математического аппарата при описании исследуемых процессов. Результаты проведенных исследований согласуются с аналитическими и численными решениями, опубликованных в известных научных работах,

полученными при проведении расчетов параметров фильтрации с применением известных программ моделирования.

Апробация результатов работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VI научно-практическая конференция. АО «Белкамнефть», Ижевск, 2016, VII научно-практическая конференция. АО «Белкамнефть», Ижевск, 2017, VIII научно-практическая конференция. АО «Белкамнефть», Ижевск, 2018, IX международная научно-практическая конференция обучающихся, аспирантов и ученых «Опыт, актуальные проблемы и перспективы развития нефтегазового комплекса», Тюменский индустриальный университет, Тюмень, 2019. Научно-техническая конференция «Цифровые технологии в добыче углеводородов: цифровая прозрачность». ООО «РН-БашНИПИнефть», Уфа, 2022. XII международная научно-практическая конференция. АО «Белкамнефть», Ижевск, 2022. III Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы энергомашиностроения, нефтяной и газовой отрасли». ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, Ижевск, 2023. Научно-практическая конференция «Инновационные решения в геологии и разработке ТРИЗ» и «Цифровая трансформация в нефтегазовой отрасли». Нефтяное хозяйство, Москва, 2023. III Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы науки и техники». СПИ (филиал) ФГБОУ ВО «ИжГТУ имени М.Т. Калашникова», Сарапул, 2023. XII Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». НИИ ПММ ТГУ, Томск, 2023. XIV Международная научно-практическая конференция. АО «Белкамнефть», Ижевск, 2024. III, IV Региональная школа-семинар молодых ученых, аспирантов и студентов «Липановские научные чтения», Ижевск, 2024, 2025. Нефтегазовый дискуссионный форум DECOM 2024, Казань, 2024. Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», Ижевск, 2025. Работа обсуждалась на семинаре кафедры вычислительных технологий и интеллектуальных систем больших данных института математики, информационных технологий и физики УдГУ,

2025, расширенном семинаре кафедры «Прикладная математика и информационные технологии» ИжГТУ, 2025. Реализация результатов работы

Результаты диссертационной работы, включая разработанные методы и алгоритм, использованы при разработке программного обеспечения «Siam Well Test», «SiamEngy» в организациях ООО «Сиам ГеоТест» (г. Томск), и программного обеспечения «SiamDataSpectrum» в ООО «Сиам Мастер» (г. Томск), а также используются в учебном процессе в институте нефти и газа им. М.С. Гуцериева Удмуртского государственного университета при подготовке бакалавров и магистров по направлению «Нефтегазовое дело».

Соответствие диссертации паспорту научной специальности Результаты диссертационного исследования соответствуют следующим пунктам паспорта научной специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

П 2. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий: разработаны методы ускорения расчета прямой задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости при моделировании работы скважин с изменяющимся режимом эксплуатации и пластов с двойной пористостью. Разработан алгоритм ускорения расчета обратных задач изотермической фильтрации однофазной жидкости, основанный на решении обратной коэффициентной задачи пьезопроводности на основе метода Левенберга-Марквардта.

П 3. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента: предложенные методы и алгоритм ускорения расчёта прямой и обратной задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости, реализованы в виде комплекса программ, с помощью которого проведен параметрический анализ работы вертикальной скважины с трещиной автоГРП, пласта с двойной пористостью, а также проведена оценка скорости

вычислений при решении прямой и обратной задачи фильтрации для интерпретации результатов ГДИС.

П 4. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели: разработана математическая модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП, позволяющая учитывать изменение длины трещины от времени при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

П 9. Постановка и проведение численных экспериментов, статистический анализ их результатов, в том числе с применением современных компьютерных технологий: на основе разработанного программного комплекса проведен параметрический анализ типовых режимов работы скважин при проведении ГДИС. Получены новые результаты параметрического анализа и закономерности влияния параметров модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП на эксплуатационные параметры скважин.

По теме диссертационного исследования опубликовано 20 работ, в том числе 6 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий по научной специальности 1.2.2, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук, из них 4 переводные статьи представлены в изданиях Web of Science и Scopus, 9 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научно-практических конференций, получено 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Сведения о личном вкладе автора

Выносимые на защиту положения, включающие постановку цели и задач научного исследования, математическая модель, методы и алгоритмы ускорения расчета, результаты параметрического анализа, получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 160 страницах машинописного текста, содержит 56 рисунков, 21 таблицу, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 200 наименований и 6 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи исследования, приведены основные научные положения и результаты.

В первой главе приводится анализ математических моделей, методов решения, описывающих нестационарный процесс фильтрации в пористой среде, используемых при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

Во второй главе приводится разработка математической модели вертикальной скважины с трещиной автоматического гидравлического разрыва пласта, позволяющая учесть влияние изменения полудлины трещины от времени при интерпретации результатов ГДИС.

В третьей главе предложены методы ускорения вычислений прямой задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин. Первый метод ускорения основан на аналитическом решении уравнений изотермической фильтрации однофазной жидкости, реализуемого на основе принципа суперпозиции, при моделировании скважин с изменяющимися режимами работы.

В четвертой главе разработаны модификации метода Левенберга-Марквардта, направленные на введение ограничений поиска, а также улучшение сходимости и стабильности решения обратной коэффициентной задачи для модели фильтрации. Проведен численный анализ модификаций алгоритмов и представлены результаты по точности решения и времени расчетов, что позволяет оценить эффективность предложенных методов.

В пятой главе приводится разработанный комплекс программ, реализующий предложенные методы и алгоритм, позволяющий использовать математическую модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП для интерпретации результатов ГДИС, а также проведения параметрических исследований.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты работы, намечены направления перспективных исследований.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

В данной главе приводится анализ математических моделей, методов решения, описывающих нестационарный процесс фильтрации в пористой среде используемых при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

1.1. Гидродинамическое исследование скважин при разработке нефтяных и газовых месторождений

Гидродинамические исследования скважин - система мероприятий, проводимых на скважинах по специальным программам, т.е. замер с помощью глубинных приборов ряда величин (изменения забойных давлений, дебитов, температур во времени и др.), последующая обработка замеряемых данных, анализ и интерпретация полученной информации о продуктивных и фильтрационных характеристиках - параметрах пластов и скважин [44]. Проведение гидродинамических исследований скважин (ГДИС) является неотъемлемой частью разработки нефтяных и газовых месторождений. При помощи методов ГДИС определяют энергетическое состояние пласта, фильтрационно-емкостные свойства разрабатываемого объекта,

гидродинамическую связь между скважинами, получают информацию о динамике разработки месторождения, осуществляют подбор геолого-технических мероприятий (ГТМ) для повышения эффективности и оптимизации разработки [65-67], определяют эффективность мероприятий по интенсификации добычи и т.д.

Гидродинамические исследования скважин связаны с математическим аппаратом и базируются на решении прямых и обратных задач подземной гидродинамики [46]. Прямые задачи основаны на решении дифференциальных уравнений, описывающих процесс фильтрации в пласте. Обратные задачи

заключаются в определении параметров-коэффициентов, используемых в дифференциальных уравнениях, описывающий процесс фильтрации.

Текущий подход определения параметров пластов и скважин при ГДИС включает исследования на установившихся и неустановившихся режимах фильтрации. Большая часть методов ГДИС при неустановившихся режимах фильтрации базируются на линейной теории упругого режима. Получаемые дифференциальные уравнения линейного упругого режима фильтрации решаются как численно, так и с использованием аналитических методов. Аналитические методы, по сути, являются традиционными методами теории теплопроводности, а именно: методы интегральных преобразований (Лапласа, Фурье и т.д.), суперпозиция базовых решений и разделение переменных [3-5, 68-71].

Согласно работе [72], ГДИС посвящено значительно зарубежных и отечественных работ [16, 18, 20, 42-64, 73-81].

1.2. Современные методы, алгоритмы и программные комплексы вычислительных процессов, применяемые при интерпретации гидродинамических исследований скважин

В настоящее время предпочтительными являются методы интерпретации ГДИС, основанные на численном моделировании нестационарных процессов фильтрации жидкости и газа, так как по сравнению с аналитическими методами, численные методы позволяют значительно расширить возможность описания процесса фильтрации, делая вычисления более приближенными к реальным, в случае необходимости учета тепловых процессов, нелинейной фильтрации (турбулентность, многофазность потока и т.д.), гравитационных и капиллярных сил, а также учета сложной геометрии пласта, скважин и произвольной неоднородности коллектора.

Наряду с численным моделированием активно развиваются методы автоматической интерпретации ГДИС. Так, в [82-85] используют синтаксическое распознавание образов и экспертные системы для классификации модели по участкам кривой производной давления, в [86, 87] применяют нейронные сети и их ансамбли для автоматической идентификации модели, интерпретирующей

ГДИС. В [84] предложен гибридный подход, который объединяет оба направления: нейронные сети выделяют характерные фрагменты кривой, а символьные правила — интерпретируют их и оценивают параметры. Кроме того, методы машинного обучения применяются для прогноза параметров работы скважин [88, 89].

Отдельное направление в развитии методов интерпретации связано с применением гидропрослушивания — регистрации отклика наблюдательных скважин на управляемое гидродинамическое воздействие, например, скачкообразное изменение давления в нагнетательной скважине. Метод позволяет оценить гидродинамическую связанность между скважинами, а также выявить наличие барьеров, зон высокой проницаемости или предпочтительных направлений фильтрации. В последние годы метод активно интегрируется в численные модели, включая автоматизированную обработку сигналов и оценку параметров двойной и множественной пористости, трещиноватости, а также характеристик межскважинной фильтрации. Существует различные модификации гидропрослушивания [42, 43, 54, 55, 58], включая 2D и 3D гидропрослушивание [90, 91], а также подходы, основанные на методе фильтрационных волн давления (ФВД) [58, 92-96], которые обеспечивают высокую информативность и устойчивость к помехам при определении фильтрационных свойств как вблизи скважины, так и на значительном удалении от неё.

Современное состояние ГДИС характеризуется высокой информативностью и достоверностью благодаря развитию измерительной техники, вычислительных алгоритмов и компьютерных технологий. Многие результаты работ в области ГДИС используются в отечественных и зарубежных программных продуктах: Siam Well Test (ООО «Сиам Геотест»), Saphir, Topaze, Rubis, (Kappa Engineering), PanSystem (Weatherford), F.A.S.T. Welltest (Fekete), PolyGon (ООО «Софойл»), ГДИ-эффект (ООО «ГИС-ГДИ-эффект»), РН-ВЕГА (ПАО «НК «Роснефть»), ГидраТест (ООО «НПП ГЕТЭК»), ГДИ-эффект (ООО «ГИС-ГДИ-эффект») и др.

Несмотря на значительный прогресс и разнообразие реализованных вычислительных моделей и программных комплексов для интерпретации ГДИС,

всё ещё актуальны задачи ускорения расчётов при сохранении и повышении их точности.

При моделировании работы многозабойных скважин можно выделить три основных подхода: аналитический, численный и полуаналитический. Работы, касающиеся многозабойных скважин, можно классифицировать по трем направлениям: модели продуктивности [97-100], аналитические модели [12-15, 17, 101-104] и промысловые заключения [105-107]. Так, Karakas исследовал изменение давления в скважине с двумя горизонтальными боковыми ответвлениями при неустановившемся режиме на основе численного симулятора и промысловых данных [101]. Raghavan и Ambashta представили полуаналитическую модель многозабойной скважины [17]. Они выделили режимы течения и предложили асимптотические решения для каждого режима течения. Ozkan предложил модель скважины с двумя боковыми стволами в анизотропных пластах [15]. Позже Yildiz и Ozkan расширили модель скважины с двумя боковыми стволами в сторону прогнозирования потока в перфорированные вертикальные скважины [8]. На основе этой работы строится модель многозабойной скважины. Larsen предложил приближенное полуаналитическое решение многозабойной скважины в слоистом коллекторе [104]. Он разделил каждый боковой ствол на мелкие сегменты и аппроксимировал каждый участок моделью трещины. Ding использовался метод граничных интегралов для моделирования неустановившегося потока к многозабойной скважине [102]. Ouyang и Aziz разработали полуаналитическое решение многозабойной скважины с произвольной геометрией и исследовали распределение потока вдоль каждого бокового сегмента [103]. Yildiz предложил аналитическую модель горизонтальной скважины с боковыми ответвлениями в условиях установившегося режима с учетом скин-фактора [12-14]. Аналогичный подход был применен в работах Salas, в которых описывается аналитическое решение для многозабойных скважин, боковые стволы которых вскрывают несколько коллекторов горизонтально, с учетом потерь на трение в скважине [99]. Симонов предложил математическую

модель многозабойной скважины с трещинами конечной проводимости при неустановившемся режиме фильтрации с учетом потерь на трение [108].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Майков Дмитрий Николаевич, 2026 год

г - к

* фс^, (1.32)

X

х* = —, (1.33)

(1.34)

(1.35)

здесь ^ - безразмерное время, - безразмерное давление, р0 - начальное давление, х - координата х, - безразмерная координата х, у - координата у, -безразмерная координата у, г - радиальное направление, - безразмерное радиальное направление, г№ - радиус скважины, к - толщина пласта, Q - дебит скважины, В - объемный коэффициент жидкости.

1.4.2. Применение преобразования Лапласа к уравнению пьезопроводности

Уравнение пьезопроводности (1.28) может быть представлено более удобно для проведения расчетов за счёт перехода в образное пространство с использованием преобразования Лапласа. Преобразование выполняется с помощью лапласовой трансформанты, что позволяет свести дифференциальное уравнение во временной области к алгебраическому уравнению в образной области, облегчая его аналитическое или численное решение. Трансформанта Лапласа имеет следующий вид:

где £ - переменная преобразования Лапласа.

Численное обращение функции из пространства изображений Лапласа в оригиналы может быть выполнено с помощью численного алгоритма Стефеста

Здесь I - функция в лапласовом (образном) пространстве, V - весовые коэффициенты, N - параметр метода Стефеста (должен быть чётным числом).

(1.36)

[149]:

(1.37)

В уравнении (1.37) параметр N выбирается с соблюдением чётности, как правило, в диапазоне от 8 до 16; наиболее часто используется значение N = 8. Алгоритм Стефеста хорошо подходит для численного обращения решений уравнения пьезопроводности, поскольку обеспечивает высокую точность на гладких и монотонных функциях. Помимо алгоритма Стефеста может применяться и алгоритм Изегера [150], основанный на гауссовых квадратурах и позволяющий повысить точность обращения при более сложной структуре образа функции.

1.4.3. Вертикальная скважина в бесконечном однородном пласте

В классической постановке задачи фильтрации жидкости в пористой среде одним из базовых случаев является вертикальная скважина, работающая в бесконечном однородном пласте, что позволяет получить аналитическое решение уравнения пьезопроводности. Предполагается, что пласт обладает постоянными фильтрационно-емкостными свойствами, протяжённость его границ бесконечна, а скважина представляется линейным источником с осевой симметрией. Схема скважины в пласте приведена на рисунке 1.3.

Уравнение пьезопроводности (1.29) приводится к безразмерной форме с использованием параметров (1.24) - (1.28), после чего к нему применяется преобразование Лапласа (1.36). Приведенный внешний источник/сток с

* * п

интенсивностью д считается отсутствующим, т.е. д = 0.

Непрониц границы

Рисунок 1.3 - Схема вертикальной скважины в бесконечном однородном пласте

р*- .

а*2

(1.38)

Принимаются следующие начальные и граничные условия:

Ра ('а = 0Г ) = 0.

Нш Нш

Ра (га^а)

&гА

= 0, = -1.

(1.39)

г*

Уравнение (1.38) имеет аналогичную запись, как и модифицированное уравнение Бесселя [61, 151]:

*2У , 1 *у

ах2 + х ах=0,

(1.40)

которое имеет общее решение:

у = ЛК0 (^х) + В10 (,/цХ), (1.41)

где К0 - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка, 10 -модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, А и В -коэффициенты, определяемые по начальным и граничным условиям.

С учетом начальных и граничных условий (1.39) и свойств функции Бесселя (1.42) получаются значения коэффициентов А и В, представленные в (1.43):

Нш Нш Нш

К

(х)]

х^0

= 0,

I

= да,

J х^0

0 (х)]х

ХК1 ( Х )] х^0 = 1, 1

Л = -, В = 0. £

(1.42)

(1.43)

Из общего решения (1.41), условий (1.43) уравнение (1.38) примет вид (1.44):

Ра(£) = 1к0 (^). (1.44)

Уравнение (1.44) представляет собой аналитическое решение уравнения пьезопроводности для вертикальной скважины, моделируемой линейным

источником, в бесконечном однородном пласте, при условии вскрытия пласта по всей его толщине.

1.4.4. Скважина с трещиной бесконечной проводимости и трещиной с равномерным потоком

Процесс фильтрации жидкости к скважине с трещиной гидроразрыва для моделей равномерного потока, конечной и бесконечной проводимости, постоянного размера, заполненной проппантом изучен и описан во многих работах [9-11, 22-24, 109]. Схема вертикальной скважины с трещиной, характеризующейся равномерным притоком, в бесконечном однородном пласте приведена на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Схема вертикальной скважины с трещиной в бесконечном

однородном пласте

Решение уравнения пьезопроводности в образах Лапласа и безразмерной форме для вертикальной скважины с трещиной равномерного потока, вскрывающей пласт по всей толщине, приведено ниже [9, 11]:

йх,

Х,

(1.45)

Хт

' w

Здесь К0 - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка, ха - безразмерная координата х, уа - безразмерная координата у, х - полудлина трещины, г№ - радиус скважины, - безразмерная полудлина трещины, -

безразмерное давление в образах Лапласа, £ - переменная преобразования Лапласа.

Уравнение (1.45) получается путем интегрирования решения модели вертикальной скважины линейного источника в бесконечном однородном пласте

(1.44) по траектории трещины.

При расчете безразмерного давления в скважине по модели трещины равномерного потока величины и уа принимаются равными нулю. В работе [10] показано, что при = 0.732 расчет безразмерного давления по уравнению

(1.45) совпадает с расчетом для модели трещины бесконечной проводимости. 1.5. Численные решения уравнения пьезопроводности

1.5.1. Основные численные методы

При невозможности получения аналитического решения или для моделирования сложных геологических условий и конфигураций скважин широко применяются численные методы решения уравнения пьезопроводности. Среди них основными являются метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных (контрольных) объемов [152] (МКО).

Выбор конкретного численного метода для решения задач фильтрации при интерпретации ГДИС зависит от сложности моделируемой системы "скважина-пласт-граница", требуемой точности, доступных вычислительных ресурсов и специфики поставленной задачи. Для современных сложных моделей часто предпочтение отдается МКО или МКЭ из-за их способности адекватно описывать сложную геометрию и неоднородности.

1.5.2. Особенности построения расчетных сеток

Качество и эффективность численного решения задач фильтрации жидкости в пористой среде во многом определяются выбором и построением расчетной сетки, которая дискретизирует пространственную область пласта. Расчетные сетки можно классифицировать по различным признакам, типы приведены на рисунке 1.5, [139].

Для большинства практических задач ГДИС используются двухмерные (плановые или профильные) и трехмерные модели сеток, например, сетки на основе триангуляции Делоне или диаграмм Вороного (РЕВ1-сетки), для построения которых в 2D, может применяться алгоритм Форчуна [153]. Возможности таких сеток для описания геометрии пласта с учетом структурных нарушений продемонстрированы в работе [154].

Рисунок 1.5 - Типы расчетных сеток Для оптимизации точности и вычислительной эффективности применяются различные приемы адаптации сеток. Локальное измельчение сетки заключается в уменьшении размера ячеек в областях с высокими градиентами решения, например, вблизи скважин, трещин ГРП или фронтов вытеснения, что позволяет повысить точность без чрезмерного увеличения общего числа ячеек. Пример такого измельчения для сетки Вороного приведен в [155]. Противоположный процесс, локальное укрупнение сетки, подразумевает объединение мелких ячеек в более крупные в областях, где параметры изменяются плавно, с целью снижения вычислительных затрат. Более сложный подход представляют адаптивные сетки, которые могут динамически перестраиваться, измельчаясь или укрупняясь, в процессе расчета в зависимости от текущего решения.

Независимо от выбранного типа, к качеству элементов сетки предъявляются определенные требования. Важна ортогональность (для некоторых численных методов), при которой грани ячеек должны быть перпендикулярны линиям, соединяющим центры соседних ячеек, для минимизации ошибок аппроксимации фильтрационных потоков. Необходимо контролировать соотношение сторон ячеек, избегая чрезмерно вытянутых или сплюснутых форм, а также минимизировать их скошенность, поскольку сильно скошенные ячейки негативно влияют на точность и устойчивость. Кроме того, желательно обеспечивать плавное изменение размеров соседних ячеек.

Таким образом, выбор типа и параметров сетки всегда является компромиссом между желаемой точностью моделирования, сложностью геологического объекта и конфигурации скважины, а также доступными вычислительными ресурсами. Эффективное построение сетки, включая грамотное применение техник локального измельчения и укрупнения, важно для получения достоверных результатов при интерпретации ГДИС при приемлемых временных затратах.

1.5.3. Пространственная и временная дискретизация уравнения пьезопроводности

Переход от непрерывной математической модели фильтрации, описываемой уравнением пьезопроводности, к дискретной модели, пригодной для численного решения на электронной вычислительной машине (ЭВМ), осуществляется посредством процедуры дискретизации. Этот процесс включает аппроксимацию производных по пространственным координатам и по времени.

Пространственная дискретизация заключается в замене частных производных по пространству их конечно-разностными аналогами в узлах расчетной сетки. Для аппроксимации первых и вторых производных давления могут использоваться различные разностные схемы, выбор которых влияет на порядок точности и вычислительные характеристики метода [139].

Конечно-разностная аппроксимация уравнения пьезопроводности (1.28) для декартовой неструктурированной нерегулярной сетки Вороного в рамках МКО имеет следующий вид [156, 157]:

* к./ л (1.46)

I П1 I _ П .. П — I 1 . ЛИ V '

п (р1—р> Г=Л (&—р>п—1)+оии '

.=1 У^1 л/

V =

ы в ■

Здесь Т - коэффициент проводимости на грани, V - объем ячейки, В - объемный коэффициент жидкости, р - давление в ячейке, п - шаг времени.

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение (или система уравнений) пространственной и временной дискретизацией преобразуется в систему алгебраических уравнений относительно значений давления в узлах сетки на каждом временном слое. 1.5.4. Учет работы скважины

Корректное моделирование работы скважины является одним из центральных аспектов численного решения задач фильтрации, особенно при интерпретации ГДИС, где забойное давление и дебит являются ключевыми измеряемыми и анализируемыми параметрами. В численных моделях скважина обычно представляется как источник или сток, расположенный в одной или нескольких ячейках расчетной сетки.

Для связи параметров потока в ячейке, содержащей скважину, с фактическим забойным давлением используются различные подходы. Одним из наиболее известных и широко применяемых является метод Писмена [30], основанный на уравнении Дюпюи при однофазном стационарном течении фильтрационного потока в цилиндрической системе координат [158]. Этот метод устанавливает аналитическую связь между численно рассчитанным давлением в блоке скважины и забойным давлением для установившегося или квазиустановившегося радиального течения в прискважинной зоне. Формула Писмена позволяет вычислить эквивалентный радиус ячейки скважины (радиус Писмена) гс, который зависит от размеров и формы ячейки сетки, содержащей скважину, а также от

анизотропии проницаемости. Зная эффективный радиус, дебит скважины Q и параметры пласта, скин-фактор, можно определить забойное давление pw по

формуле:

0 = М (рс - рш), 2якН

М =

М

1п

Ггл

с

г

Vу

+ 5

где Q - объемный дебит скважины в стандартных условиях, WI - коэффициент продуктивности скважины, pc - давление в ячейке, гс - эквивалентный радиус ячейки (радиус Писмена), pw - забойное давление скважины, £ - скин-фактор.

Эквивалентный радиус ячейки скважины г0 для сетки Вороного может быть определен в соответствии с работой [159]:

Гс = ехр

Я И 1п К К

. . К,..

] V Уу

К

у]

где I - индекс ячейки скважины, у - индекс соседней ячейки, Ьу - длина грани между ячейкам I и у, ^ - дистанция между центрами ячеек I и у, 6у - угол потока. Схема эквивалентного радиуса ячейки сетки Вороного представлена на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Схема эквивалентного радиуса ячейки сетки Вороного [159]

1.5.5. Запись и решение систем алгебраических уравнений

После дискретизации дифференциального уравнения пьезопроводности исходная система уравнений в частных производных преобразуется в систему алгебраических уравнений, решение которых производится на каждом временном шаге. Неизвестными в этой системе обычно являются значения давления в узлах расчетной сетки.

Получаемая система уравнений имеет вид:

Ах = Ь, (1.47)

где А - разреженная матрица коэффициентов, отражающая связность ячеек сетки и свойства среды, х - вектор неизвестных давлений, Ь - вектор правых частей, включающий данные предыдущего временного слоя, данные источников (скважины) и граничные условия.

Для решения систем уравнений вида (1.47) используются как прямые методы (например, различные варианты метода Гаусса, ЬИ-разложение и т.д.), так и итерационные методы, что более распространено для крупных трехмерных задач. К популярным итерационным методам относятся метод сопряженных градиентов (СО) и его предобусловленные варианты (РСО), бисопряженные градиенты (ВЮО), стабилизированные бисопряженные градиенты (ВЮОБТАВ) [160], обобщенный метод минимальных невязок (ОМЯЕБ) и другие методы семейства Крылова. Эффективность итерационных методов во многом зависит от выбора подходящего предобуславливателя (например, диагональное

масштабирование, неполное ЬИ-разложение (1Ьи), алгебраические многосеточные методы (АМО)), который улучшает спектральные свойства матрицы и ускоряет сходимость.

В случаях, когда свойства жидкости и пористой среды зависят от самого искомого давления, получаемая система уравнений становится нелинейной. Нелинейные системы обычно решаются итерационными методами. Наиболее распространенным подходом является метод Ньютона [161] и его модификации.

Выбор конкретного решателя и предобуславливателя зависит от свойств матрицы (симметричность, положительная определенность), размера задачи и доступных вычислительных ресурсов, включая возможность параллельных вычислений.

1.6. Постановка цели и задач исследования

Анализ современного состояния математического моделирования процессов фильтрации жидкости при интерпретации результатов ГДИС, представленный в данной главе, выявляет ряд актуальных задач. Несмотря на значительный прогресс в развитии измерительной техники, вычислительных алгоритмов и программных комплексов, задачи ускорения расчетов при сохранении их точности остаются первостепенными. Это особенно значимо при работе со сложными геологическими объектами, такими как трещиновато-поровые пласты, и при учете динамических процессов, например, изменения геометрии трещин автоГРП или переменных режимов эксплуатации скважин. Традиционные подходы к решению прямых и, в особенности, обратных задач фильтрации часто сопряжены со значительными вычислительными затратами, что ограничивает их применение.

Исходя из вышеизложенного, целью настоящей диссертационной работы является разработка методики, применение которой, позволит сократить время расчета параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости в пористой среде без потери точности при проведении интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

Для достижения поставленной цели в работе сформулированы следующие задачи:

1. Разработать математическую модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП для интерпретации параметров фильтрации при гидродинамических исследованиях скважин с учетом изменения полудлины трещины от времени.

2. Разработать методы ускорения расчёта прямой задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов

гидродинамических исследований скважин, работающих в трещиновато-поровом пласте и с изменяющимися режимами работы.

3. Разработать алгоритм ускорения расчета обратной задачи изотермической фильтрации однофазной жидкости при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин, основанной на решении уравнения пьезопроводности методом Левенберга-Марквардта.

4. Реализовать разработанную математическую модель, методы и алгоритм в виде программного комплекса для проведения расчетов параметров изотермической фильтрации однофазной жидкости при проведении интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

5. На основе разработанного программного комплекса провести параметрический анализ результатов интерпретации ГДИС на типовых режимах работы скважин.

Решение указанных задач позволит сократить время на принятие управленческих решений по выбору стратегии разработки нефтяных месторождений.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКВАЖИНЫ С ТРЕЩИНОЙ АВТОМАТИЧЕСКОГО ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА ПЛАСТА

При эксплуатации нагнетательных скважин имеет место автоматический гидроразрыв пласта (автоГРП), вызванный высоким давлением закачки жидкости. Напрямую от давления на забое скважины зависит и геометрия получаемых в результате автоГРП трещин, в частности их длина. Трещины, при дальнейшей эксплуатации скважин, меняют свою геометрию, что может повлиять на разработку месторождений из-за незапланированных изменений в системе «скважина-пласт». Наличие изменений геометрии трещины можно отследить при помощи гидродинамических исследований скважин (ГДИС). 2.1. Постановка задачи

Рассмотрим вертикальную скважину с трещиной, схема которой приведена на рисунке 2.1.

Время

Рисунок 2.1 - Схема вертикальной скважины с изменяющейся трещиной Анализ диагностических графиков исследований скважин, где наблюдался эффект закрытия трещины автоГРП, позволил выделить характерные участки, на которых происходит изменение производной функции давления (см. рисунок 2.2). Первый участок (I) описывает линейный режим течения к трещине с исходной геометрией. На втором (II) участке наблюдается закрытие трещины, что сопровождается характерным изгибом производной. Третий участок (III)

диагностического графика описывает радиальный режим течения к трещине со стабильной измененной геометрией.

2 5 0,01 2 5 0,11 2 1 ' ' 10 5 100 2 5

Время, часы

Рисунок 2.2 - Пример диагностического графика с трещиной автоГРП При разработке модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП предполагается, что при постоянном давлении трещина имеет постоянную длину, а при переменном давлении, ее размер функционально зависит от изменения давления. Основой описания процесса изменения геометрии трещины является уравнение трещины бесконечной проводимости [9-11], а также принцип суперпозиции [18, 162]. Влияние соседних скважин и влияние ствола скважины (ВСС) не учитывается.

Кроме того, приняты следующие допущения:

1) коллектор представляет собой бесконечный горизонтальный пласт с заданной постоянной толщиной, с однородной структурой и физическими свойствами;

2) кровля и подошва пласта являются непроницаемыми границами;

3) скважина является вертикальной и вскрывает пласт на всю толщину;

4) скважина обладает трещиной, которая вскрывает пласт по всей толщине, имеет однородную структуру и симметрична относительно вертикального ствола скважины;

5) фильтрация жидкости является однофазной и изотермической.

2.2. Описание построения математической модели

За основу построения модели взято выражение (145) для расчета безразмерного давления в вертикальной скважине с трещиной равномерного потока, вскрывающей пласт по всей толщине [9, 11], приведённое в разделе 1.4.4.

При расчете безразмерного давления ра в скважине по модели трещины равномерного потока, величины ха и уа принимаются равными нулю. В работе [10] показано, что при ха = 0.732 расчет безразмерного давления ра по (1.45) совпадает с расчетом модели трещины бесконечной проводимости. В данной работе используем модель трещины бесконечной проводимости, поэтому принимается ха = 0.732 и уа = 0. Обратное преобразование Лапласа выполняется с использованием алгоритма Стефеста [149].

Процесс изменения геометрии полудлины трещины описывается с помощью принципа суперпозиции [18, 162]. Изменение длины трещины моделируется путем последовательного запуска и остановки фиктивных (модельных) скважин с различными полудлинами трещины, где каждая скважина активируется на определенный интервал времени, а затем останавливается. Соответственно, поведение давления в вертикальной скважине с автоГРП описывается уравнением:

N-1г , \ / \1

р (* ) = Р + Е ^ (Х£ ^ - (х£ ■>* - ) + АР(хЖ ^ - N1 (2.1)

где г - время; р(г) - расчетное давление в момент времени V, р{ - начальное давление; Ар - функция перепада давления модели трещины; N - общее количество изменяющихся по времени полудлин трещины; хд - рассматриваемая полудлина трещины; ^ - время запуска рассматриваемой фиктивной скважины.

В уравнении (2.1) индекс 7 = 1 соответствует трещине с исходной полудлиной, 7 = N соответствует трещине с конечной полудлиной. Полудлина трещины для промежуточных элементов имеет функциональную зависимость от давления.

Результаты тестовых расчетов по уравнению (2.1) показали, что точность результатов зависит от количества разбиений полудлин трещины на этапе ее

закрытия. С увеличением количества разбиений погрешность уменьшается. Сложность расчета, согласно принципу суперпозиции, для каждого последующего шага растет линейно, а расчет всей функции целиком имеет квадратичную сложность.

Изменение полудлины трещины Xу на этапе закрытия трещины описывается функциональной зависимостью от начальной ху и конечной хN полудлин трещины, а также от расчетного давления. Поскольку давление также зависит от полудлины трещины ху, согласно уравнению (1.45), возникает циклическая зависимость. Для упрощения дальнейших исследований, зависимость полудлины трещины определятся не от давления, а от времени, что не искажает физический смысл, так как давление также является функцией времени:

х/ = / (Л х/1, )•

2.3. Определение функциональной зависимости полудлины трещины

Для определения функциональной зависимости использовались реальные данные исследований ГДИС, в которых наблюдался эффект закрытия трещины автоГРП. Данные были предоставлены ООО «Сиам Мастер» на основе информации, полученной от заказчика с различных объектов. В рамках текущей работы было отобрано 10 исследований ГДИС, где явно наблюдался данный эффект.

Для анализа функции закрытия трещины определялись начальные параметры модели: начальная полудлина трещины х^, конечная полудлина трещины хуе, время начала закрытия трещины ^ и время окончания закрытия трещины Алгоритм определения этих параметров представлен ниже (см. рисунок 2.3):

1) определение проницаемости по участку радиального режима течения;

2) определение начальной полудлины трещины по линейному режиму течения с использованием полученной проницаемости;

3) определение конечной полудлины трещины, описывающей давление на поздних временах, с использованием полученной проницаемости;

4) визуальное определение времени начала и окончания процесса закрытия трещины на диагностическом графике Бурде [19] .

Рисунок 2.3 - Графическое представление алгоритма определения начальных

параметров модели автоГРП

Для построения диагностического графика использовалась упрощенная история работы скважины, включающая единственный продолжительный период закачки, что соответствует реальным условиям эксплуатации скважин согласно отчетам по закачке жидкости.

После определения временного интервала, в течение которого происходило закрытие трещины, а также начальных и конечных полудлин трещины, моделировался процесс закрытия, с использованием функции суперпозиции (2.1). Временной интервал был разбит на логарифмические шаги с дискретностью 20 точек на ^-цикл. В каждом временном интервале определялось значение полудлины трещины хуь обеспечивающее соответствие модели исходным данным исследования по давлению.

Поиск значений полудлины трещины осуществлялся с помощью алгоритма оптимизации Левенберга-Марквардта [163]. Целевая функция поиска имеет вид:

N е= Е 1=1

§ /

Ш1П,

где индекс I относится к определенному моменту времени измерения; N - общее число моментов измерения; f и g - векторы вычисленных и измеренных значений

2

давления; х^ - вектор искомых полудлин трещины. Вектор вычисленных значений рассчитывался по уравнению (2.1).

Для унификации всех экспериментальных данных в одном диапазоне они были приведены к безразмерному виду. Значения времени и полудлины трещины были логарифмированы по основанию 10, а затем нормализованы в диапазон от 0 до 1 по линейной зависимости, где условии что 1о§10(хд) ^ 1, 1о§10(х/е) ^ 0, ^ю(^) ^ 0, 1о§ю(^е) ^ 1.

Результат поиска полудлин трещин с учетом преобразования показан на рисунке 2.4, где видна схожесть распределения зависимости для экспериментальных данных с функцией соэ(.х).

Рисунок 2.4 - Зависимость полудлины трещины от времени Итоговая функция полудлины трещины, с учетом обратного преобразования из безразмерных величин имеет вид:

X (7) = 10^(/)д°ё10^)д°ё10^Я (2.2)

V (7 ) = °.5 + 0.5с°б (ли [ 1°Б10 (7) Л°ёю ) ,1°ВШ (7е)]),

^ х X X

и( х, хш1п' хшах) = '

X X

тах шт

§(п, Xmiп , "^тах ) = "^тт + п ("^тах _ Xmiп ).

Здесь ху3 - начальная полудлина трещины; х/е - конечная полудлина трещины; -время начала закрытия трещины; ге - время окончания закрытия трещины; у(г) —

промежуточная функция, зависящая от времени и(х, хт^, хтах) — промежуточная функция, аргументами которой являются параметры х, хт^ и хтах; g(xn, хтщ, хтах) — промежуточная функция, аргументами которой являются параметры хп, хтщ и

хтах.

Следует отметить, что существуют различные функции, способные описать полученные экспериментальные данные. В данной работе выбор функции обоснован ее простотой и соответствием эмпирическим наблюдениям.

На рисунке 2.4 графически приведена зависимость изменения длины трещины, описываемая уравнением (2.2), в сравнении с экспериментальными результатами (дискретные данные х/). Полученная зависимость изменения полудлины трещины от времени (см. рисунок 2.4) хорошо описывает экспериментальные данные на всем временном интервале. Среднеквадратичное отклонение расчетных значений полудлины трещины от экспериментальных данных ГДИС составило 4.31%.

2.4. Верификация зависимости по расчету полудлины трещины

Верификация полученной зависимости (2.2) для расчета полудлины трещины проводилась на основе данных трех исследований ГДИС, в которых также наблюдался эффект автоГРП. Сопоставление результатов, полученных по разработанной модели, с промысловыми данными для этих случаев представлено на диагностических графиках Бурде (см. рисунок 2.5). Параметры моделей для типовых режимов а, Ь, с приведены в таблице 2.1. Для построения диагностического графика использовалась упрощенная история работы скважины, включающая единственный продолжительный период закачки.

Таблица 2.1. Основные параметры модели

Параметр Значение

Рисунок 2.5, а Рисунок 2.5, Ь Рисунок 2.5, с

Толщина пласта, к (м) 16.2 10.7 15

Проницаемость пласта, к (мД) 15.367 16.3909 1.6911

Общая сжимаемость, ех (атм-1) 5.0206 10-5 8.6037 10-5 4.878 10-5

Пористость, ф 0.15 0.16 0.17

Объемный коэффициент 3 3 жидкости, В (м /ст.м ) 1 1 1.045

Вязкость жидкости, ц (сПз) 1.21 1.03 0.35

Дебит, Q (м /сут) 88 109 56

Начальная полудлина трещины, х£Ъ (м) 18.704 8.8887 4.9078

Конечная полудлина трещины, х& (м) 4.2315 3.0296 2.384

Время начала закрытия, ^ (час) 0.0316 0.07943 0.07943

Время конца закрытия, te (час) 14.1254 6.3096 3.9811

а

5 0,1 2 5 12 5 Ю 2 5

Время, часы

5 0,1 2 5 1 2 5 10 2 5 100 2

Время, часы

С

Рисунок 2.5 - Сравнение расчетных данных модели с результатами гидродинамических исследований скважин для параметров, приведенных в

таблице 2.1

На диагностических графиках (рисунок 2.5) видно, что рассчитанное давление по модели с использованием предлагаемой зависимости (2.2) изменения полудлины трещины хорошо согласуется с результатами исследования ГДИС реальных скважин.

2.5. Численный анализ параметров модели вертикальной скважины с трещиной автоГРП

Численный анализ проводился для модели вертикальной с трещиной автоГРП на основе уравнений (2.1) и (2.2). Исходные данные, используемые для расчета по предлагаемой модели, приведены в таблицах 2.2 и 2.3. Для расчетов использовалась модель трещины бесконечной проводимости (уравнение (1.45)).

Таблица 2.2. Основные параметры моделирования

Параметр Значение

Толщина пласта, к 10 м

Проницаемость пласта, к 100 мД

Общая сжимаемость, с 0.00005 атм-1

Пористость, ф 0.2

Объемный коэффициент жидкости, В 1 м3/ст.м3

Вязкость жидкости, ц 5 сПз

Дебит, Q 100 м3/сут

Таблица 2.3. Основные параметры модели

Параметр Значение

Начальная полудлина трещины, х^ 200 м

Конечная полудлина трещины, х^ 50 м

Время начала закрытия, 0.01 ч

Время конца закрытия, ¿е 1 ч

Результаты расчета давления для заданных модельных условий представлены на рисунке 2.6, на котором выделяются три этапа изменения трещины автоГРП: начальный этап, этап закрытия трещины и конечный этап. Начальный этап (в интервале времени 10-5 - 0.01 ч) соответствует расчету по модели трещины бесконечной проводимости с начальной полудлиной трещины х^ = 200 м. Этап закрытия трещины (0.01 - 1 ч) соответствует изменению полудлины трещины от начальной х^ до конечной х/е. Конечный этап (1 - 105 ч) соответствует расчету давления по модели трещины бесконечной проводимости с конечной полудлиной х/е = 50 м, рассчитанной с учетом предыдущих изменений полудлины. Полное соответствие расчета модели трещины бесконечной при х^е = 50 м наблюдается с 10 ч, что связано с применением принципа суперпозиции.

=1

о

^ 0,1

0,01

О Трещина автоГРП — —Трещина бескон. проводимости, = 200м -Трещина бескон. проводимое™, лу = 50м

10"

10"

ю2

104

Время, часы

Рисунок 2.6 - Расчетное давление по модели трещины автоГРП На рисунке 2.7 показано влияние длительности закрытия трещины на изменение давления в скважине.

Время, час

Рисунок 2.7 - Влияние длительности закрытия трещины Из рисунка 2.7 видно, что при увеличении времени завершения закрытия трещины te увеличивается длительность процесса закрытия трещины, а при

уменьшении te возрастает изменение давления в интервале времени закрытия

_ 2

трещины. При малых значениях te (менее 10- ч) на производной может

наблюдаться пик. Чем больше время закрытия трещины, тем плавнее происходит

изменение перепада давления. С момента начала процесса и до 0.01 часа, а также

после 10 ч расчетные значения перепада давления всех случаев идентичны.

На рисунке 2.8 показано влияние конечной полудлины трещины на изменение давления в скважине.

1СГ5 1(Г4 1(Г3 1(Г2 1СГ1 1 10 Ю2 103 104 105

Время, часы

Рисунок 2.8 - Влияние конечной полудлины трещины Из рисунка 2.8 видно, что с уменьшением конечной полудлины трещины хуе увеличивается изменение давления с момента начала закрытия трещины (0.01 ч). При уменьшении конечной полудлины трещины хуе в 2 раза (с 200 до 100 м) изменение давления в скважине на последней расчетной точке 105 ч увеличивается в 1.145 раза (с 44.672 до 51.132 атм). При уменьшении конечной полудлины трещины хуе в 4 раза (с 200 до 50 м) изменение давления увеличивается в 1.288 раза (с 44.672 до 57.516 атм). Производная изменения давления в интервале времени закрытия трещины (0.01 - 1 ч) возрастает с уменьшением х^. После 500 ч производная изменения давления для всех трех рассматриваемых случаев идентична. При конечной полудлине трещины хуе = 200 м модель вертикальной скважины с трещиной автоГРП полностью соответствует модели трещины бесконечной проводимостью с полудлиной ху = 200м. Начальный этап (до 0.01 ч) для всех трех случаев также идентичен.

На рисунке 2.9 показано влияние проницаемости пласта к на изменение давления в скважине.

Рисунок 2.9 - Влияние проницаемости пласта Из рисунка 2.9 видно, что с уменьшением проницаемости пласта к увеличивается изменение давления и его производная на всем временном интервале. При уменьшении к в 10 раз с (1000 до 100 мД) изменение давления в скважине на последней расчетной точке 105 ч увеличивается в 8.443 раза (с 6.812 до 57.516 атм). При уменьшении к в 100 раз (с 1000 до 10 мД) изменение давления увеличивается в 68.865 раза (с 6.812 до 469.119 атм).

На рисунке 2.10 показано влияние скин-фактора S на изменение давления в скважине. Для учета скин-фактора £ в уравнении (1.45) использованы положения, изложенные в работе [164].

1(Гб Ю-5 Ю-4 Ю-3 10~2 Ю-1 1 10 102 103 104 105 106

Время, часы

Рисунок 2.10 - Влияние скин-фактора Из рисунка 2.10 видно, что с увеличением скин-фактора £ увеличивается изменение давления на всем временном интервале. При увеличении скин-фактора

£ с 0 до 0.5 изменение давления в скважине на последней расчетной точке 105 ч увеличивается в 1.08 раза (с 57.516 до 62.122 атм). При увеличении £ с 0 до 1 изменение давления увеличивается в 1.16 раза (с 57.516 до 66.727 атм). Производная изменения давления для всех случаев идентична на всем временном интервале.

2.6. Выводы по главе

Представлена новая расчетная модель вертикальной скважины с трещиной автоматического гидравлического разрыва пласта, позволяющая учитывать изменение полудлины трещины во времени при интерпретации параметров ГДИС. Модель основана на уравнении трещины бесконечной проводимости и принципе суперпозиции для описания изменения параметров трещины во времени.

Предложена функциональная зависимость изменения полудлины трещины, полученная на основе промысловых данных ГДИС, где наблюдался эффект автоГРП. Результаты расчетов по предлагаемой модели с использованием функции изменения полудлины трещины хорошо согласуются с экспериментальными данными по давлению. Функция описывает дискретные данные полудлин трещины на всем расчетном интервале, при этом максимальное среднеквадратичное отклонение между модельными и экспериментальными значениями составило 4.31 %.

Полученная модель вертикальной скважины с трещиной автоматического гидравлического разрыва пласта, не изменяет общую методологию интерпретации ГДИС скважин с трещиной автоГРП, а дополняет ее возможностью извлечения дополнительных параметров. Получаемые в результате интерпретации с использованием модели автоГРП параметры, могут быть использованы для последующего проектирования и оптимизации разработки месторождения. При этом сам процесс интерпретации ГДИС не требует дополнительных усилий и осуществляется аналогично базовому подходу, что делает предложенную модель удобной и практичной для применения.

Результаты исследования опубликованы в работе [165].

3. МЕТОДЫ УСКОРЕНИЯ РАСЧЕТА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

В данной главе предложены методы ускорения вычислений прямой задачи фильтрации жидкости при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин.

3.1. Метод ускорения расчета давления многозабойных скважин в однородном пласте

Аналитическое моделирование многозабойных скважин позволяет получать точные решения при условии корректного учёта взаимодействия между отдельными стволами. Однако при увеличении числа стволов существенно возрастает вычислительная сложность таких расчётов, особенно в случае необходимости многократного их использования, например, при параметрическом анализе или решении обратных задач.

С учётом роста интереса к многозабойным технологиям и увеличения числа таких скважин на месторождениях, задача ускорения расчётов становится особенно актуальной. Полученные результаты позволят сократить объём вычислений без потери точности, что даст возможность оперативно производить интерпретацию результатов ГДИС. 3.1.1. Постановка задачи

Рассмотрим многозабойную вертикальную скважину, схема которой приведена на рисунке 3.1.

""Ж......

и ! У У

.....

—

х х,

х„ х,

Рисунок 3.1 - Схема многозабойной скважины с вертикальным вскрытием пласта В расчетной модели определяется изменение давления в общем стволе скважины. Для сокращения вычислительных затрат рассматривается частный случай многозабойной скважины с вертикальным вскрытием пласта по всей толщине. В рамках данной модели принимаются следующие допущения:

1) коллектор представляет собой бесконечный горизонтальный пласт с заданной постоянной толщиной, с однородной структурой и физическими свойствами;

2) кровля и подошва пласта являются непроницаемыми границами;

3) стволы скважины является вертикальными и вскрывают пласт на всю толщину и обладают бесконечной проводимостью;

4) влияние ствола скважины (ВСС) отсутствует;

5) фильтрация жидкости является однофазной и изотермической;

6) гидравлические потери давления на трение отсутствуют.

Работа стволов описывается согласно положениям, описанным в разделе 1.4.3, а давление в общем стволе скважины определяется на основе подходов, представленных в работах [28, 166, 167].

3.1.2. Описание реализации метода

Для описания последовательности реализации метода примем, что общий безразмерный приток жидкости представляет собой сумму безразмерных потоков каждого отдельного ствола:

I 2 ) = 1.

] =1

(3.1)

Безразмерный перепад давления рц в элементе I в пересчете на перепады давления р^ в элементе I за счет дебитов элементов _/ = 1, ..., п может быть получен при помощи свертки:

п г'

р*=2 (г) р'*и ~т)^.

1 ^

(3.2)

При помощи преобразования Лапласа уравнения (3.1) и (3.2) можно записать в виде:

1

I а/=-,

]=1

Ра1 =1.

}=1

(3.3)

(3.4)

При отсутствии потерь на трение и при бесконечной проводимости ствола скважины, перепад давления в любой точке общего ствола будет одинаков.

р = р*=1,п. (3.5)

Безразмерный перепад давления в общем стволе скважин системы из п стволов находится при помощи замыкания уравнений (3.3), (3.4) и (3.5):

ЯРЫЛОА 1 + Л'АП.2Й12 + • • • + = Рй;

•^сшЙп + + • • • + Л'А12.пЙ1П = Рй

(3.6)

+ л'Яап.2Й12+• • •+= Рй;

<1п

В матричном виде уравнение (3.6) имеет вид:

п

<

1

£

1 ^1.2 • ■ -1 " Он" "0"

-1 0

= 0

ФапЛ • Флп,п -1 Й,п 1

s в в 0 1

Так как рассматриваются вертикальные стволы с полным вскрытием пласта, в уравнении (3.7) элементы р^ являются решением модели вертикальной скважины (1.44). Элементы рнаходящиеся на диагонали 1,1; 2,2; ..., п,п, будут соответствовать уравнению вертикальной скважины в точке, соответствующей стволу (на стволе), а остальные - в точке, удаленной от центра на расстояние, равное дистанции между стволами. Безразмерный радиус диагональных элементов рассчитывается по уравнению (1.35), где в качестве радиального направления г используется радиус рассматриваемого ствола. В остальных элементах р^ радиальное направление рассчитывается по уравнению (3.8). При расчете безразмерного радиуса г& в качестве радиуса скважины г№ выбирается радиус любого ствола.

' Ч( X - X )2 +(* - У )2. (3.8)

3.1.3. Верификация предложенного решения

Верификация полученного решения (3.7) выполнена путем сопоставления с численным решением, основанным на конечно-разностной аппроксимации уравнения пьезопроводности (1.46). В процессе моделирования пласт принимается квадратной формы со стороной 105 м. Расчетная сетка для численного решения приведена на рисунке 3.2, количество расчетных ячеек составило 1481. В качестве общего дебита всех стволов использовался дебит, приведенный в таблице 2.2. Параметры ответвлений приведены в таблице 3.1. Результат расчетов давления многозабойной скважины в общем стволе приведен на рисунке 3.3.

60 ООО

-60 000

-во ООО -46 800 -33 600 -20400 -7 200 6 000 19200 32400 45 600 6000С

Длима, м

Рисунок 3.2 - Расчетная сетка многозабойной скважины _Таблица 3.1. Параметры ответвлений_

Ствол № X, м У, м Радиус, м

1 0 0 0.065

2 50 50 0.09

3 500 250 0.045

• Численная модель Аналитическая модель

Рисунок 3.3 - Сопоставление расчетов модели многозабойной скважины

На диагностическом графике (см. рисунок 3.3) видно, что численное решение согласуется с аналитическим, среднее отклонение расчетного перепада давления по численному метода от аналитического составило 0.38%. В интервале времени от 0.316 ч до 1000 ч наблюдается эффект интерференции стволов. Время расчета численного решения составило 0.821 с, аналитического - 0.062 с. Вычисления по численному решению оказались в 13.24 раза медленнее, чем по аналитическому. 3.1.4. Численный анализ параметров модели многозабойной скважины

Численный анализ проводился для модели многозабойной скважины с полным вертикальным вскрытием пласта на основе уравнения (3.7). Решение (3.7) осуществлялось при помощи ЦУ-разложение [168]. Исходные данные, используемые для расчетов по предлагаемой модели, приведены в таблицах 2.2 и 3.2.

Таблица 3.2. Начальные параметры ответвлений

Ствол № х, м У, м Радиус, м

1 0 0 0.065

2 250 0 0.065

На билогарифмическом диагностическом графике Бурде [19] показаны результаты расчетов модели. Приведено влияние изменения расстояния между стволами (см. рисунок 3.4) и изменения радиуса второго ствола (см. рисунок 3.5) на изменение давления в общем стволе скважины.

Рисунок 3.4 - Влияние изменения расстояния между стволами

На диагностическом графике Бурде (рисунок 3.4) видно, что с увеличением расстояния между стволами происходит смещение начала эффекта интерференции стволов на более поздний момент времени и уменьшение перепада давления в общем стволе после начала эффекта интерференции: при увеличении расстояния между скважинами в 5 раз с 100 до 500 м увеличивается время начала переходного режима в 25 раз с 0.5 до 12.5 ч, уменьшается перепад давления в общем стволе скважины на последней расчетной точке 79432 ч в 1.106 раза с 77.324 до 69.918 атм, при увеличении расстояния между скважинами в 10 раз с 100 до 1000 м увеличивается время начала переходного режима в 100 раз с 0.5 до 50 ч, уменьшается перепад давления в общем стволе скважины на последней расчетной точке 79432 ч в 1.159 раза с 77.324 до 66.736 атм. С момента начала работы скважины до 0.5 ч перепады давления и их производные идентичны для всех рассматриваемых случаев, после 8000 ч зависимость производных перепада давления всех рассчитываемых вариантов имеет одинаковый характер. Влияние изменения расстояния между стволами на время начала эффекта интерференции и перепад давления в общем стволе имеет нелинейный характер.

Рисунок 3.5 - Влияние изменения радиуса второго ствола

На диагностическом графике Бурде (рисунок 3.5) видно, что с увеличением радиуса второго ствола наблюдается уменьшение изменения давления в общем стволе скважины: при увеличении радиуса второго ствола скважины в 20 раз с 0.01 до 0.2 м на первой расчетной точке 1.26 • 10-5 ч уменьшается перепад давления в 2.409 раза с 6.962 до 2.89 атм и его производная в 1.763 раза с 2.008 до 1.139 атм; на последней расчетной точке 79432 ч уменьшается перепад давления в 1.094 раза с 76.975 до 70.331 атм. Влияние изменения радиуса второго ствола на перепад давления имеет нелинейный характер. После 0.002 часа производные изменения давления для всех расчетных случаев имеют идентичный характер.

Таким образом, представлен метод ускорения расчета давления в многозабойной скважине при интерпретации параметров ГДИС. Метод основан на аналитическом решении уравнения пьезопроводности для вертикальной скважины и рассматривает частный случай многозабойной скважины, когда каждый ствол вскрывает пласт вертикальной по всей толщине. Давление общего ствола вычисляется как суперпозиция вкладов всех отдельных стволов.

Верификация с детальной численной моделью показала расхождение не более 0.5 % во всём диапазоне времени. В результате численного анализа параметров модели многозабойной скважины с применением разработанного метода показано, что использование метода при расчете эксплуатационных режимов является обоснованным. Метод может позволить проводить оперативную интерпретацию результатов ГДИС, особенно при решении обратной коэффициентной задачи.

Результаты исследования опубликованы в работах [169-171]. 3.2. Метод ускорения расчета давления многозабойных скважин в пласте с двойной пористостью

В предыдущем разделе (гл. 3.1) представлен метод ускоренного расчёта давления многозабойных скважин в однородном пласте. Однако в реальных условиях пласт часто характеризуется двойной пористостью: трещиноватая система обеспечивает высокую проницаемость, в то время как матрица аккумулирует основную массу фильтрационного потока. При такой структуре

пласта необходимо одновременно рассчитывать распределение давления как в системе трещин, так и в матричных блоках, что усложняет гидродинамическое взаимодействие между стволами и повышает вычислительные затраты при интерпретации результатов ГДИС. 3.2.1. Постановка задачи

Рассмотрим многозабойную скважину, работающую в пласте двойной пористости по модели Уоррена - Рута. Схема приведена на рисунке 3.1. В расчётной модели, как и в разделе 3.1, определяется изменение давления в общем стволе скважины, однако теперь необходимо учитывать наличие две поровые среды — системы трещин и матричных блоков. Для сокращения вычислительных затрат анализируется частный случай скважины, полностью вскрывающей пласт по толщине. При этом принимаются следующие допущения:

1) коллектор представляет собой бесконечный горизонтальный пласт постоянной толщины к, описываемый моделью двойной пористости Уоррена-Рута с постоянными параметрами ю (доля трещинно-кавернозной емкости) и X (удельный коэффициент проводимости);

2) кровля и подошва пласта непроницаемы;

3) стволы скважины вертикальны, вскрывают пласт на всю толщину и обладают бесконечной проводимостью;

4) влияние ствола скважины (ВСС) отсутствует;

5) фильтрация жидкости однофазная, изотермическая; межпоровый обмен матрица ^ трещины протекает по псевдоустановившемуся закону Уоррена-Рута;

6) гидравлические потери давления на трение отсутствуют.

Работа многозабойной скважины описывается согласно положениям, изложенным в разделе 3.1, при этом для пласта двойной пористости фильтрационно-ёмкостные параметры заменяются их эквивалентами для системы «трещины + матрица».

3.2.2. Описание реализации метода

Дифференциальное уравнение пьезопроводности модели двойной пористости приведено в разделе 1.3.5. Приведем систему уравнений (1.30) в безразмерный вид и примем внешний источник/сток с интенсивностью д

* п

отсутствующим, т.е. д = 0:

v2pa -ЧPmd -Pfd);

dtd

0 = (1 -ю)^ + Ц pmd - pfd ). dtd

Безразмерные переменные приведены ниже [18]:

(3.9)

—яг 2h

Qmfd = -TTW- °mf , (3.10)

ю:

QB

фйА

ФйСf +ФтЬСm

(3.11)