Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лыков, Константин Владимирович

• Лыков, Константин Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лыков, Константин Владимирович

Введение

1 Основные обозначения и предварительные сведения

2 Экстраполяционные пространства

2.1 Определение и общие свойства экстраноляционных проса ранств

2.2 Экстраполяционное описание пространств Марцинкевича и Орлича

2 3 Экстраполяционное описание иространс1в Лоренца

2.4 Сильно экстраполяционные пространства

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы»

Симметричные пространства появились в ¡заботах по интерполяции линеи-ных операторов и гармоническому анализу в конце 60-х годов [11, 37] В настоящий момент теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа и служит мощным методом исследования конкретных пространств Настоящая диссертационная работа посвящена двум вопросам, теории эксхраполяции и дополняемости подпространств в симметричных пространст вах

В первой главе собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Вторая глава посвящена экстраполяции в шкале £р-пространс1в при р —> оо.

Хорошо известно, что многие важные операторы анализа, такие, например, как максимальный оператор Харди-Литтльвуда, сингулярный оператор Гильберта, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе, ограниченно действуют в ¿^-пространствах при 1 < р < со, но не ограничены на "концах" этой шкалы — в пространствах Ь^ и (или хотя бы в одном из них). Это обстоятельство стало одной из причин возникновения экстраполяционных утверждений, первым из которых, видимо, стала классическая теорема Яно (см [45] или [25, гл. 12, теорема 4.41]).

Теорема (Яно). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве Li[0,1].

1) Если Т действует в пространствах Ьр[0,1] при р € (1,ро| и

T\\r^Lp = О ({р~ 1)~п) при р —1 w некотором а > О, то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца L(log L)a, действующего ограниченно в L\: 1

Tx\\Ll<C\\x\\L()ogL)ai где ML(logL)n := J Ina(e/t)x'(t)dt, о x*(t) — невозрастающая перестановка функции

2) Если Т действует в пространстваг Ьр[0,1] при р £ [р0, оо) и

T\\LpLp = 0(ра) при р —► со и некотором а > О, тоТ действует из в пространство Орлича Exp Ll/a: ll^llcxpL»/- ^^IWIl«,. где IMIexPl>/° := SUP ln~a{e/t)x*{t). y 1 0<t<l

В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана [34, 35, 39, 40). В частности, используя введеные ими функчоры пересечения А и суммы Е они получили эксграполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно (см., например, [39, с. 22-23]).

АРо<Р<оо (p~aLp) = Exp Lx'a и S1<P<P0 ((р - 1 )-°Lp) = L(\ogLf.

Рассмотрим подробнее функтор пересечения А. Если {Ля}^-) — семейство банаховых пространств, непрерывно вложенных в одно и тоже банахово прос гранство Л, 'I о

Аеев (Ад) = { а € А : ||а||д = вир ||а||л <оо\,

I вев ) т.е.

1) где Ьос — пространство ограниченных функций на 0. Согласно описанию Мильмана и Яверса

VI х

Ехр 1Ма ра откуда, с учетом простого соо! ношения

1*1110. = а:

1х(ро,00) мы сразу получаем вторую часть теоремы Яно.

В работе [36] подробно рассмотрены функторы и £(г\ являющиеся обобщением функторов А и Е, Авторы рассматривают совместимую пару квази-банаховых пространств (Ао, Л1) и шкалу пространств Ад,г вещественного метода интерполяции с фиксированным г. Норма в

ДМ оиределяеп'я следующим образом:

1/г

11/11д(.

М(0)Лйг) [щтяА0г в где М{9) — положительная непрерывная функция, парамеф функтора ДМ В частном случае г = оо получаем функтор Д. В [36] рассмотрены также различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно

Еще больше возможностей для этого возникает, если в (1) заменить Ьх произвольным банаховым пространством F.

В первом параграфе второй главы введено определение экпраполяци-онного пространства С г относительно шкалы ¿^-пространств на отрезке [0,1] и изложены общие свойства таких пространств Норма в Ср определяется следующим образом:

Заметим, что пространства Lp совпадают с пространствами (Li, Loch-i/p.p вещественнного метода интерполяции, те., в отличие от [36], меняются оба интерполяционных параметра В случае, когда параметр экстраполяции F есть проаранство Lж с весом, экстраполяционные простражчва изучались Островским Е.И. в работах [42, 44], где такие пространства названы момешными (moment spaces). Там же рассмотрены приложения к рядам и преобразованию Фурье, сингулярным интегральным операторам и теории мартингалов В связи с этими приложениями в [44] приведена ха-рактеризация сепарабельной части моментного пространства. В настоящей работе получена характеризация всех сепарабельных экстраполяционных пространств в терминах свойств параметра F, а также аналогичная характеризация всех максимальных экстраполяционных пространств Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.11. Экстраполяционное пространство Е сепарабельио тогда и только тогда, когда

E = Cf, для некоторого F, удовлетворяющего условию feF * i™^'^!!^0-5

Теорема 2.1.17. Экстраполяционное пространство Е максимально тогда и только тогда, когда

Е = СР для некоторого F, удовлетворяющего условию • Х[1,м) зир ||/ • Х[1,лг]||г < оо / е Р. n

Параграф 2.2 посвящен экетраполяционному описанию проем ранств Ор-лича и Марцинкевича. В качестве параметров экстраполяции здесь естественно рассматривать Р = Ь^и), где и) — вес, определяемый характеристиками описываемых пространств.

Теорема 2.2.4. Пусть М(ф) — пространство Марцинкевича с фундаментальной функцией (р = (р(1), — его сепарабельная часть Следующие условия эквивалентны•

1) М(ф) экстраполяционно;

2) М(<р) = Сн„ где № = Ь^Ш];1);

3) М0(ф) экстраполяционно;

4) М°((р) = Сщ, где Щ — подпространство Н^ функций /{р), для которых ¡{р)/\\1/ч>\\р -* 0 при р -> оо;

5) выполнено условие ч>(Ь)<Свиртг^й-, ф(1) = 1/ф), О С £ < 1; р> 1 уь

6) выполнено условие

1 /Р ф)< Сзир 11ШГ> 0 < £ < 1. р> 1 р/а

В нско горых случаях (но не всегда) в качес гве параметра можно взя i ь пространпво вида Fv = Loc{íp{2~v)). Доказан критерий возможное in такого описания. Будем говорить, что íp £ А2, если для некоторого а > О

0 < c^(í2), 0 < t < 1. Теорема 2.2.9. Пусть ip(t) £ Т. Следующие условия эквивалентны•

1)ч> € А2;

2)<р(2-р)~\ШГР1 (р> 1);

ММ = M(<¿) = си, где /„ = /ооМ2-в)).

Хорошо известно [23], чю пространства Орлича и Марцинкевича, лежащие достаточно "близко" к Ьж совпадают. Поэтому приведенные результаты для пространств Марцинкевича позволяют частично peumib аналогичную задачу для пространств Орлича. Следующая теорема дает еще один вариант решения проблемы экстраполяционного описания таких пространств.

Теорема 2.2.24. Пусть

М(и) = eN^tl{u)\ и > 1, с некоторой выпуклой функцией N(t), удовлетворяющей условию т lim-1 = 00. t—> 00 t

Если пространство Орлича Ьм есть одновременно пространство Марцинкевича, то

Ьм = Clm, 7 с

Здесь и*{р) = 8ир{рг-;у(г)} функция, сопряженная к N.

Близкая по содержанию теорема сформулирована в работе [42], однако доказательство, приведенное там, ошибочно. Теорема 2.2 24 обобщает результаты работ [30, 41].

Экстраполяция со шкалы /^-пространств в пространсхва Орлича рассматривалась также Мамонтовым А.Е в работах [20, 21]. Подход, предложенный в указанных работах, связан с возможностью интегрального представления некоторых Я-функций разложением по степенным функциям

В параграфе 2.2 приведены также различные примеры, в том числе пример нежсграполяционного пространства Марцинкевича, для которою Ьр Э М((р) для всех р > 1.

Параграф 2.3 посвящен пространствам Лоренца Аг(</?).

В связи с изучением вопроса сходимости ортогональных рядов в симметричных пространствах, близких к Ьж, С.Ф.Лукомский доказал следующее утверждение [38]: если существует 7 > 0 такое, что для почти всех Ь € [0,1] выполнено неравенство р'(1) < 7^'(£2),

2) то имеет место соотношение

В параграфе 2 3 найдены необходимые и достаточные условия, при которых справедливо (3), а также приведен пример функции у?, для которой не выполнено (2), но, тем не менее, имеет место (3)

Обозначим через дг пространство /г(2~п/гу/(2~п)1/'г). Его функциональным аналогом будет пространство = Ьг(2~р/Г(р'(2~р)1/Г) функций, определенных на [1, оо). Основным результатом параграфа 2 3 является следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Для каждого г £ [1, оо) следующие условия эквивалентны:

Заметим, что условие ц> Е А2 возникает как при экстраполяционном описании пространств Марцинкевича, так и Лоренца (см. теоремы 2 2 9 и 2 3.1). В связи с этим в параграфе 2 4 введено понятие сильно экстраполя-ционного пространства Для таких пространств функции имеют эквивалентные нормы. Сильно эксграполяционные иросфанства всегда экстраполяционны, причем норма в параметре экстраполяции F естественным образом определяется через норму самого пространства Кроме того, для соответствующих параметров 7*1 справедливо:

В параграфе 2.4 показано, чю А2-условию удовлетворяют фундаментальные функции всех сильно экстраполяционных проаранств. Доказана теорема, устанавливающая сильную эксчраиоляционность прос1ранс1в,

1)ч> € А2;

2) Аг(ф) = С0г;

3) Ш = СЯг. х = и 11 = х^) = ||х||

1» ф которые можно получить с помощью К-метода интерполяции в парах (Л(</>), М{ф)) и (Loo, М{<р)), если <р е А2

Теорема 2.4.6. Пусть функция ip(i) удовлетворяет А2 -условию, F — произвольный параметр вещественного метода интерполяции Тогда пространства

A(<p),M(<p))r и сильно экстраполяционны

Теорема 2 4.6 обобщает некоторые результаты работы [3], где рассматривались пространства Орлича Ьф, построенные по функциям Орлича М вида М{и) = ехр(Ф(м)) с выпуклой Ф, и пространства (Lос, Ьф)р

Конструкция сильно экстраполяционного пространства также обобщает результаш работ [30, 41], в которых эксграполяционные утверждения получаются на основе декомпозиционной техники (представление функции в виде суммы, каждое слагаемое в которой рассматривается как элемент соответствующего пространства исходной шкалы). В этих работх, в частности, показано, чю условия

I® ||S||

SUp-L < 00 и Slip-- < 00 p>\ p p>1 p эквивалентны. По поводу декомпозиционной техники смотрите также [29, 31]

Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений [12, 18, 19, 25, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45] В параграфе 2 5 рассмотрены приложения экстраполяционного описания симметричных пространств к вопросу сходимости ортогональных рядов. Доказаны сле^-ющие теоремы.

Теорема 2.5.1. Пусть Е = Су, а система {.Ги}^! — минимальна и полна в Е. Тогда, если для всех х € Е и натуральных N n хп{х)хп

71=1 7(Р) • 1кНр при р > ро, где {х*п} — система, сопряженная к {хп}, то для любого х £ Е ряд ос п= 1 сходится кх в пространстве Е\ = Сщ/^).

Теорема 2.5.2. Пусть пространство Е сильно экстпраполяционно. Тогда, в условиях теоремы 2 5.1, для любого х £ Е ряд ос

У! хп{х)хп п=1 х\\е=\\х -«не. сходится кх в пространстве Ек с нормой где х г = 1у х*^, к(Ь) = 1/7(1пе/<).

Известно, что тригонометрическая система и система Уолша не являются базисами в пространствах, расположенных "слишком близко" к Ьх В то же время в работах [12, 38] С Ф.Лукомский доказал, чгю ряды но тригонометрической системе и системе Уолша, рассматриваемые в просфан-ствах Лоренца подобного типа, сходятся относительно нормы несколько более широкого пространства Там же доказаны теоремы о точности этого пространства. В диссертации изучаются аналогичные вопросы для се-парабельной части пространства Марцинкевича. Из теоремы 2 5.2 вытекает следующее утверждение.

Следствие 2.5.4. Пусть </? € А2, {Фп}% 1 ~~ ортоиормированная система и для всех х 6 М0(<^) и натуральных N где Сп(х) — коэффициенты Фурье функции х. Если система {фп} полна в М°(<р), то для любого х € М°(</?) ряд

Условию следствия удовлетворяют, в частности, тригонометрическая система и система Уолша.

Третья глава посвящена вопросу дополняемости подпространств симметричных пространств, порожденных дизъюнктными сжатиями и трансляциями аь, = = а(2кЬ — 1) одной функции а = а(Ь).

В работах [32, 33] рассмотрен случай симметричного пространства Е = Е[0, оо) на полуоси [0, оо), где изучалась дополняемость подространства порожденного дизъюнктными сдвигами функции а £ Е\0,1) Пространство Ечш названо "хорошим" (Е е М), если любое нодпространаво вида <2п дополняемо. В указанных работах даны необходимые и досточные условия для принадлежности пространства классу М, выделены классы "хороших" пространств среди пространств Орлича, Марцинкевича, Лоренца Там же предложена характеризация пространств Ьр в классе всех симметричных пространств: доказано, что перестановочно инвариашное пространаво Е совпадает с иросгране 1вом Ьр (0 < р < оо) тогда и только тогда, когда оба пространства Е и ассоциированное к нему Е' принадлежат классу М. р

00 п=1 сходится кх в пространстве М°((р\), где х

1п е/Г

Аналогичные вопросы для пространства Е на отрезке [0,1] рассматривались в работе [27]. Именно, для произвольного а е Е и двоичных интервалов рассмотрим функции, полученные сжатием и трансляциями функции а .

Пространства <2а>п = врап^ап^}^] конечномерны и, следовательно, дополняемы. В [27] вводится множество N0(Е), состоящее из всех функций а € Е, для коюрых подпространства <2„)П равномерно дополняемы в Е. Там же рассмотрены свойства пространства мультипликаторов М(Е), состоящего из всех измеримых функций х = а;(£), для которых произведение х(Ь)у{8) принадлежит Е\0,1] х [0,1] для всех у 6 Е. Доказано, что для сепарабельного пространства имеет место равенство Ыц(Е) = М(Е), приведена характеризация пространств £р[0,1], аналогичная характеризации £р[0, оо) в [32, 33] (см. далее теорема 3.2.3)

В диссертации изучается вопрос о дополняемости в симметричном пространстве Е на отрезке [0,1] подпространства фа = браг^а/,}]^, порожденного функциями

Как и в работе [27], выявлена связь этого вопроса со структурой пространства мультипликаторов М(Е). Изучению последнего посвящен параграф 3.1, в частности, доказана следующая характеризация М(Е)

Теорема 3.1.3. Пусть Е — произвольное симметричное простран

• >

ЯплМ = ство на [0,1]. Тогда у € М(Е) тогда и только тогда, когда сущ(ствует константа С > О такая, что для произвольного набора действительных чисел а = (аО^ справедливо неравенство

00 г=1 с Е ос г=1 хд, — характеристическая функция множества

Дг = (2"г,2-г+1],

У* = г/(2Ч-1) , если I € Д„ иначе.

Пусть {а; е X : 1 = / 6 и о

Введем в рассмотрение оператор

00 / I ладо

Л = 1.

Рв1/х(0 = £ 2к I Шх{з) Ж ак{1),

1 = 1 у д где

Л(0

2Н - 1) , если Ь € А*

4)

5)

О , иначе.

Через будем обозначать множество таких а € У(Е), для коюрых существует функция / е ^(Е") такая, что оператор Р0>/ ограничен. В параграфе 3.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.2.8. Если Е — симметричное пространство, интерполяционное меэюду Ь\

Теорема 3.2.12. Если Е — симметричное пространство на [0,1], се-парабелъное или со свойством Фату, то следующие условия эквивалентны:

1) Существует С > О такое, что

00 00 00

С"1 < У>а* < С 2 СкХЬк к=1 Е к=1 и к-1 для произвольного а € V(E) с ||a||¿; = 1 и всех наборов {сд,}j, q, € R;

2) Для произвольных а € V(E) ufe V(E'), удовлетворяющих (4), оператор Paj, определенный в (5), ограничен;

3) Е = Lp для некоторого р £ [1, оо].

Автор выражает глубокую благодарное!ь своему научному руководи ie-лю, профессору, доктору физико-математических наук, Сергею Владимировичу Асташкину за постоянное внимание к работе, поддержку и совеш при подгоювке диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лыков, Константин Владимирович, 2006 год

1. Асгашкин C.B. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Lp—пространств / С.В.Асташкин // Функцион. анализ и его прил 2003. Т 37. No 3 С. 73-77.

2. Асташкин, С. В Об экстраполяционных свойствах шкалы Lp -пространств / С.В Асташкин / Матем. сборник. 2003. Т. 194. No б С 23-42.

3. Асташкин, C.B. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным меюдом интериоляции / С.В.Асташкин // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 2 С. 264-289.

4. Асташкин, C.B. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, близких к Loo / С.В.Астшкин, К.В.Лыков // Сиб матем. ж. 2006. Т. 47. № 5. С. 974-992.

5. Асташкин, С В. Экстраполяционное описание некснорых симмефич-ных пространств / С.В.Асташкин, К.В.Лыков // Тр. матем. цен фа им. Н.И.Лобачевского. Материалы VII международной Казанской летней научн. школы-конференции. Казань. 2005. С 12-13.

6. Асташкин, C.B. О некоторых новых соотношениях между нормами вклассе симметричных пространств / С.В Асташкин, К.В Лыков // Воронежская зимняя математическая школа С Г.Крейна — 2006 Тезисы докладов. Воронеж. 2006. С. 13.

7. Берг, Й. Интерполяционные нросхрансгва Введение / Й.Берг, Й.Лефстрем. М : Мир, 1980.

8. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / ЛВКанюрович Л В, ГП.Акилов. С.-Пб.: Невский диалект, 2004. 816 с

9. Кашин, B.C. Ортогональные ряды / Б.С.Кашин, А.А Саакян. М. АФЦ, 1999. 550 с.

10. Красносельский, М.А. Выпуклые функции и iipocipanciBa Орлича / М.А.Красносельский, Я Б.Рутицкий. М.: Физматгиз, 1958 272 с.

11. Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.ГКрейн, Ю.И.Петунин, Е М.Семенов. М.: Наука, 1978. 400 с

12. Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Loo / С.Ф.Лукомский // Матем. замегки. 2001. Т. 70, No 6 С. 882889.

13. Лыков, К.В. Экстраполяция в шкале Lp-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича / К В Лыков // Вестник СамГУ. 2006. № 2 (42). С. 28-43

14. Лыков, К.В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства / К.В Лыков // Вестник СамГУ 2006. № 4 (44) С 5-12

15. Мамонтов, А. Е О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкоеIи, I / А Е.Мамонтов // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 2. С. 408-420.

16. Мамон юв, А. Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости, II / А.Е.Мамонтов // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 3. С. 635-649

17. Мамонтов, А. Е Интегральные представления и преобразования Л^ функций, I / А.Е Мамон юв // Сиб. матем. ж. 2006. Т. 47. К» 1. С 123145.

18. Мамонтов, А. Е. Интегральные представления и преобразования М-функций, II / А Е.Мамонтов // Сиб. матем. ж. 2006. Т 47. № 4 С 811830.

19. Рохлин, В.А. Об основных понятиях теории меры / В А.Рохлин // Математический сборник. 1949. Т. 25. № 1. С. 107-150

20. Рутицкий, Я Б О некоторых классах измеримых функций / Я.Б.Рутицкий // Успехи мат. наук. 1965 Т. 20. № 4. С. 205-208

21. Симоненко И. Б. Инюрполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И.Б.Симоненко // Матем. сб. 1964 Т 63.C. 536-553.

22. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды Т2 / А.Зигмунд М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Astashkin, S.V. Tensor Product in Symmetric Function Spaces / S.V.Astashkin // Collect. Math. 1997. V 48 P 375-391.

24. Astashkin, S.V. Multiphcator Space and Complemented Subspares of rearrangement invariant space / S.V.Astashkin, L Maligranda and E M.Semenov // Journal of Functional Analysis 2003 V. 202 P 247276.

25. Brudnyi, Yu.A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Yu.A.Brudnyi, N.Ya.Krugliak. North Holland Publish., 1991.

26. Capone, C. On extrapolation blowups in the Lp-scale / С Capone, A.Fiorenza, M.Krbec // J. of Ineq. And Applicat. 2006. V. 2006.

27. Edmunds, D. E. On decomposition in exponential Orlicz spaces /D.E.Edmunds, M.Krbec // Math. Nachr. 2000. V. 213 P. 77-88.

28. Fiorenza, A. On an optimal decomposition in Zygmund spaces / A.Fiorenza, M.Krbec // Georjian Math. Jour. 2002. V. 9. No. 2 P. 271-286

29. Hernandez, F.L. Subspaces generated by translations in rearrangement invariant spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov //J Fun<\ Anal. 1999 V. 169, No. 1. P 52-80.

30. Hernandez, F.L A characterization of Lp among rearrangement invariant function spaces / F.L.Hernandez, E M.Semenov // Positivity 2000 V 4, No . P. 253-258.

31. Jawerth, B. Extrapolation Spaces with applications / B.Jawerth, M.Milman // Mein, of the Amer. Math. Soc 1991. V 89, No. 440 82 PP

32. Jawerth, B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B Jawerth, M.Milman // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math Conference Proc , 5. 1992. P 81-105.

33. Karadzhov, G. Extrapolation theory: New results and applications / G Karadzhov, M.Milman //J Approx Theory. 2005. V 133, No 1 P 3899

34. Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces . J.Lindenstrauss, L.Tzafriri. Berlin; Heidelberg; New York. Springer-Verlag, 1979. 244 p.

35. Lukomskii, S.F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces / S.F.Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9, No 2. P. 229-238

36. Milman, M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis / M.Milman. Berlin. Springer-Verlag, 1994. 162 pp (Lecture Notes in Math. V. 1580)

37. Milman, M. Extrapolation spaces and a.e convergence of Fourier series / M.Milman // J. of Approx. Theory. 1995. V. 80, No. 1 P. 10-24.

38. Neves, J. On decompositions in generalized Lorentz-Zygmund spaces / J.Neves // Boll. Unione Mat. Ital. Sez B Artie. Ric Mat (8). 2001 V 4, No. 1. P. 239-267.

39. Ostrovsky, E. Exponential Orlicz Spaces: new Norms and Applications / E.Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/0406534, v.l, 25 06 2004

40. Ostrovsky, E. A remark on the inequalities of Bernstein-Markov type in exponential Orlicz and Lorentz spaces / E Ostrovsky //Electronic Publ, arXiv/FA/0411617, v.l, 27.11 2004.

41. Ostrovsky, E. Some new moment rearrangement invariant spaces; theory and applications / E.Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/0605732, v.l, 29.05.2006.

42. Yano, S. An extrapolation theorem / S.Yano // J. Math Soc Japan 1951. V 3, No. 2. P 296-305