Системы массового обслуживания с повторными обращениями и вызываемыми заявками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лизюра Ольга Дмитриевна

• Лизюра Ольга Дмитриевна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Лизюра Ольга Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Асимптотический анализ RQ-системы M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками

1.1 Математическая модель RQ-системы M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками

1.2 Исследование числа заявок на орбите в предельном условии большой задержки заявок на орбите

1.3 Исследование числа заявок на орбите в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания заявок

1.4 Область применимости гауссовских аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на орбите

1.5 Выводы по главе

ГЛАВА 2 Диффузионный анализ полумарковских RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками

2.1 Исследование числа заявок на орбите в RQ-системе M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками

2.2 Сравнение точности диффузионной и гауссовской аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на орбите в RQ-системе M/GШ

2.3 Исследование числа заявок на орбите в RQ-системе GI/M/1 с разнотипными вызываемыми заявками

2.4 Исследование числа заявок на орбите в RQ-системе MAP/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками

2.5 Область применимости диффузионных аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на орбите

2.6 Выводы по главе

ГЛАВА 3 Диффузионный анализ многолинейной RQ-системы с вызываемыми заявками

3.1 Построение математической модели N -линейной RQ-системы с вызываемыми заявками в операторной форме

3.2 Исследование числа заявок на орбите в N -линейной RQ-системе

с вызываемыми заявками

3.3 Алгоритм расчета стационарного распределения вероятностей числа заявок на орбите в ^линейной RQ-системе с вызываемыми заявками

3.4 Область применимости численных результатов исследования числа заявок на орбите

3.5 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК РИСУНКОВ

СПИСОК ТАБЛИЦ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы массового обслуживания с повторными обращениями и вызываемыми заявками»

Актуальность работы.

Математическое моделирование реальных объектов и их поведения является основным инструментом исследования и их построению посвящено немало трудов в самых различных областях. При рассмотрении объектов, состояние которых не удается предсказать с необходимой точностью применяются методы стохастического моделирования. Теория массового обслуживания стала развитием теории вероятностей и случайных процессов как инструмент построения и исследования моделей с помощью цепей Маркова. Основоположниками данного научного направления считаются А.Я. Хинчин [39] и А.К. Эрланг [70].

В современных исследованиях методы теории массового обслуживания используются для моделирования процессов, протекающих в телекоммуникационных, компьютерных и телефонных системах и сетях. Классические результаты этой теории представлены в монографиях [10, 28, 115, 116].

Значимый вклад в развитие теории массового обслуживания внесли Баша-ринГ. П. [1], Бочаров П. П., Печинкин А. В. [6], Боровков А. А. [5], Фалин Г. И. [36], Рыков В. В. [32], Самуйлов К. Е. [33], Гайдамака Ю. В. [3], Наумов В. А. [80], Вишневский М. В. [7], Морозов Е. В. [19], Фархадов М. [37], Зорин А. В. [15], Цициа-швили Г. Ш. [38], Войтишек А. В. [8], Степанов С. Н. [35], Задорожный В. Н. [13], Горцев А. М., Нежельская Л. А. [11], Терпугов А. Ф. [28], Назаров А. А. [23], Моисеева С. П. [9], Моисеев А. Н. [18], Пауль С. В. [30]. Среди зарубежных авторов наибольшим влиянием в данном направлении исследований обладают Artalejo J. R. [49], Дудин А. Н. [71], Krishnamoorthy A. [46], Melikov A. [109], Pagano M. [102], Phung-Duc T. [104], Sztrik J. [114].

Самые ранние работы, посвященные системам массового обслуживания с повторными обращениями или RQ-системам (от англ. Retrial Queue) были опубликованы в 1940-1950-е годы [55, 73]. Авторы отмечают, что в телефонных системах возникают дополнительные потоки обращений от заблокированных пользователей. Этот эффект возникает из-за того, что абоненты, которым не удалось дозвониться с первого раза, как правило повторяют звонки. Вследствие этого возникает необходимость отслеживать количество неудовлетворенных пользова-

телей в системе, наряду с состоянием прибора и учитывать данный эффект при моделировании.

Отличительной особенностью RQ-систем является виртуальное место ожидания, называемое орбитой (в ранних работах ИПВ - источник повторных вызовов). Орбита как правило не ограничена, так как служит для учета пользователей, ожидающих обслуживания. Поступившая в систему заявка имеет два сценария: в случае если прибор свободен, заявка мгновенно занимает его для обслуживания после чего покидает систему навсегда; тогда как, если прибор занят в момент поступления, заявка присоединяется к орбите и ожидает там некоторое случайное время прежде чем повторно обратиться к прибору. При повторном обращении заявка ведет себя также, как та, что поступила из потока.

Широко распространены два основных подхода к организации орбиты. В рамках первого подхода предполагается, что каждая заявка на орбите генерирует повторные обращения независимо и с одинаковой интенсивностью, поэтому суммарная интенсивность повторных обращений определяется количеством заявок на орбите, что существенно увеличивает входную нагрузку узла. Альтернативный подход с постоянной интенсивностью повторных обращений с орбиты (constant retrials), основывается на предположении, что суммарная интенсивность повторных обращений остаётся неизменной вне зависимости от числа заявок на орбите. Обзор ранних исследований по RQ-системам и анализ применимости этих моделей представлен в работе [118].

Позднее RQ-системы стали использовать при моделировании сетей и систем связи, в частности, при моделировании протоколов случайного множественного доступа. Повторные обращения возникают при попытке доступа к узлу связи, который в этот момент уже занят передачей и являются средством избегания или устранения коллизий. Основные результаты исследования RQ-систем изложены в монографиях [47, 63], а также в обзорных статьях [69, 81].

Многолинейные RQ-системы не завоевали широкого признания вследствие значительных трудностей в их изучении. Нахождение двумерного распределения вероятностей состояний системы является сложной задачей, поскольку соответствующие уравнения невозможно представить в матричной форме. Первые модели с тремя и четырьмя устройствами были разработаны Т. Фунг-Дуком в исследовании [106], позже этот же коллектив изучил более универсальные системы вида M/M/c/c+r [104, 107]. Численные методы анализа указанных систем были предло-

жены в публикации А.Н. Дудина [68].

В настоящее время все больше обслуживающих сервисов частично или полностью работают в режиме са11-центра. Банки используют са11-центры для консультирования клиентов и для рекламы своих услуг, онлайн-магазины - для уточнения и подтверждения заказов, также са11-центры существуют независимо для проведения социальных опросов.

Моделированию са11-центров посвящено немало научных работ. Ранние работы, посвященные телефонным системам обслуживания, уделяли большое внимание статистическому анализу. Статья [65] посвящена качеству обслуживания клиентов в телефонных сервисах. В работе [43] авторы представляют исследование моделей потоков входящих звонков в реальных са11-центрах. Статистический анализ работы са11-центров с учетом различных аспектов функционирования сервиса представлены в исследовании [54]. Статистические модели позволяют анализировать системы и прогнозировать их работу, они используются в области наряду со стохастическими моделями теории массового обслуживания.

В то же время появились работы, посвященные моделированию са11-центров как систем массового обслуживания [2, 12, 52, 72, 56, 67, 113]. В качестве моделей са11-центра были предложены одно- и многолинейные системы массового обслуживания с очередью или потерями.

Однако, эти модели не учитывали такую особенность поведения клиентов в реальных са11-центрах как повторные звонки. В работе [40] авторы указывают на значимость повторных обращений при моделировании таких систем. RQ-системы является особым классом моделей теории массового обслуживания и получили большое распространение при моделировании телекоммуникационных систем и сетей. Наиболее подробно ознакомиться с исследованиями в данной области можно в обзорных статьях и монографиях [44, 47, 50, 63, 118].

В работе [51] впервые предлагается использование смешанного са11-центра, где оператор может как принимать звонки, так и инициировать звонки сам. Таким образом предлагается сократить время простоя операторов и повысить эффективность работы всей системы.

Для моделей смешанных са11-центров характерно наличие в системе заявок нескольких типов, так как не всегда поступающие звонки и звонки, совершаемые оператором, имеют одинаковые характеристики длительности. В качестве моделей таких систем были представлены RQ-системы с приоритетами пользователей или

несколькими входящими потоками [4, 53, 62].

С другой стороны альтернативная занятость оператора может быть связана не только с совершением звонков. Таким образом, в качестве моделей оператора call-центра могут выступать RQ-системы с прогулками [61, 66, 75, 112, 117]. В таких системах прибор может прерывать обслуживание поступающих заявок. Время простоя называют прогулкой и при моделировании оператора call-центра роль прогулки играет альтернативная занятость прибора.

В последнее время в качестве модели оператора смешанного call-центра используются RQ-системы с вызываемыми заявками. Данные модели отличаются тем, что во время простоя прибор вызывает заявки извне и обслуживает их наряду с заявками, поступающими из входящего потока. Вызываемая заявка здесь может быть и звонком оператора клиенту, и любым другим видом альтернативной занятости оператора. Таким образом, модели RQ-систем с вызываемыми заявками являются более гибкими, чем вышеописанные системы, и позволяют моделировать большинство современных телефонных сервисов.

Исследованию RQ-систем с вызываемыми заявками посвящено немалое количество современных исследований. В работах [48, 110] исследуется модель RQ-системы с вызываемыми заявками вида M/GI/1, где авторы находят совместное распределение вероятностей состояний системы (прибора и орбиты) с помощью рекуррентных и асимптотических методов.

В статьях [42, 79] авторы предлагают модели RQ-систем с вызываемыми заявками с постоянной интенсивностью повторных обращений с орбиты. Такие модели отражают не совсем типичное поведение заявок, когда они повторно обращаются к прибору с задержкой, но при этом существует некая очередь обращений, а также случаи, когда интенсивность повторных обращений одной заявки обратно зависит от числа ожидающих заявок в узле. Такое поведение может быть обусловлено техническими ограничениями узла, когда есть некий тайм-аут обращений.

Также для RQ-систем с вызываемыми заявками было предложено такое условие функционирования, как ограниченное число внешних источников. В таких системах каждый источник генерирует поток запросов к прибору, однако прерывает создание новых запросов на время, когда прибор обслуживает заявку данного источника [57, 60, 74, 88].

RQ-системы с вызываемыми заявками нескольких типов стали обобщением многих ранее рассмотренных моделей, в которых присутствует время альтерна-

тивной работы прибора: прогулки, поломки, разогрев/охлаждение. Ранние исследования [58, 59] посвящены RQ-системам с двумя типами вызывания: первый тип соответствует поиску заявки на орбите, что при моделировании аналогично повторным обращениям с другой интенсивностью; а второй тип - вызыванию извне системы. В [111] построена и исследована модель с двумя типами вызываемых извне заявок.

Также представляют интерес модели RQ-систем с вызываемыми заявками и ненадежным прибором, где обслуживающее устройство может выходить из строя и восстанавливается в течение случайного времени. Статьи [101, 103] посвящены анализу RQ-систем с данной модификацией.

Кроме исследования RQ-систем с вызываемыми заявками с целью получить характеристики функционирования системы, представляют интерес исследования направленные на оптимизацию работы системы. Так в работе [41] авторы предлагают алгоритм получения оптимальных интенсивностей вызывания и длительности обслуживания вызываемых заявок в смысле минимума числа заявок на орбите. Также авторы вводят такую характеристику как стоимость работы системы и рассматривают оптимизационную задачу минимизации стоимости работы системы.

Исследованию RQ-систем с вызываемыми заявками посвящено немалое количество современных исследований. В работе [45] авторы предлагают исследование марковской модели RQ-системы с вызываемыми заявками и разрабатывают рекуррентный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите. В статьях [105, 108] предлагаются марковские модели многолинейных RQ-систем с вызываемыми заявками, исследование которых проводится методами векторно-матричной алгебры.

Для исследования RQ-систем с вызываемыми заявками используются различные методы. Для простейших моделей с простейшими входящими потоками и экспоненциально распределенными временами обслуживания удается получить аналитические результаты и точные формулы для расчета основных характеристик системы.

В работе [45] авторы предлагают исследование марковской модели RQ-системы с вызываемыми заявками и разрабатывают рекуррентный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите. В статьях [105, 108] предлагаются марковские модели многолинейных RQ-систем с вызываемыми заявками, исследование которых проводится методами векторно-матричной

алгебры. Оба метода являются численными и позволяют исследовать систему на конкретных наборах входных данных.

Статья [79] посвящена регенеративному анализу модели с вызываемыми заявками и произвольным распределением времени обслуживания.

RQ-системы с коррелированными входящими потоками как правило слишком сложны и получить в явном виде формулы их характеристик удается в редких случаях. В такой ситуации исследователи прибегают к имитационному моделированию СМО, которому посвящены работы [14, 18, 34, 78].

Однако, для исследования систем с вызываемыми заявками также можно применить методы асимптотического анализа, позволяющие получить характеристики системы при выполнении некоторого предельного условия. В работах [82,110,95,98] методами асимптотического анализа исследуются RQ-системы с однотипными вызываемыми заявками. К RQ-системам с вызываемыми заявками применим и метод диффузионного анализа [31, 77]. В отличие от методов асимптотического анализа, он позволяет построить диффузионный процесс, плотность которого используется для построения приближений характеристик системы. Такая аппроксимация имеет большую точность, чем аппроксимации получаемые с помощью методов асимптотического анализа. Однако метод диффузионного анализа не удается применить для построения многомерных диффузионных приближений и исследования взаимного влияния компонент многомерных систем друг на друга. У методов асимптотического анализа таких ограничений нет.

В настоящей работе рассматриваются RQ-системы с разнотипными вызываемыми заявками вида M/GI/1, GI/M/1, MMPP/GI/1 и M/M/N. В качестве методов исследования выступают методы асимптотического анализа в различных предельных условиях, а также метод диффузионного анализа.

Актуальность работы подтверждается стремительным развитием области приложения исследования, а также несомненным интересом ученых к данной научной проблеме.

Целью данной работы является разработка и применение математических методов исследования систем массового обслуживания с повторными обращениями к прибору и вызываемыми заявками.

Задачи исследования:

1. Разработать модификации метода асимптотического анализа систем с повторными обращениями, разнотипными вызываемыми заявками и неэкспоненци-

альными распределениями времен обслуживания в предельных условиях большой задержки заявок на орбите и согласованно высокой интенсивности вызывания, позволяющие доказать теоремы о виде асимптотического распределения вероятностей случайных многомерных процессов, описывающих поведение систем.

2. Разработать модификации метода диффузионного анализа однолинейных немарковских систем с повторными обращениями, коррелированными входящими потоками и разнотипными вызываемыми заявками, позволяющие доказать теоремы о виде асимптотического распределения вероятностей исследуемых процессов и увеличить точность аппроксимации.

3. Разработать модификацию метода диффузионного анализа многолинейной марковской системы с повторными обращениями и однотипными вызываемыми заявками.

4. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ для имитационного моделирования и численного анализа однолинейных и многолинейных систем с повторными обращениями, представленных в диссертации, для вычисления значений их основных вероятностных характеристик и определения области применимости полученных аппроксимаций.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.

1. С использованием метода асимптотического анализа в предельных условиях большой задержки заявок на орбите и согласованно высокой интенсивности вызывания к системам с повторными обращениями, разнотипными вызываемыми заявками и неэкспоненциальными временами обслуживания доказаны теоремы о виде распределения вероятностей числа заявок на орбите и определены вероятностные характеристики случайных многомерных процессов, описывающих поведение систем.

2. С использованием метода диффузионного анализа однолинейных немарковских систем с повторными обращениями, коррелированными входящими потоками и разнотипными вызываемыми заявками доказаны теоремы о виде предельных распределений вероятностей числа заявок на орбите и распределения вероятностей состояний прибора, позволяющий с высокой точностью определить вероятностные характеристики процессов, описывающих поведение систем.

3. Для анализа многолинейных марковских систем с повторными обращениями и вызываемыми заявками одного типа построен аппроксимирующий диффузи-

онный процесс, который позволяет с высокой точностью получить вероятностные характеристики процессов, описывающих поведение исследуемой системы.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Предложены модификации методов асимптотического анализа в предельных условиях большой задержки заявок на орбите и согласованно высокой интенсивности вызывания заявок, которые позволяют исследовать RQ-системы с разнотипными вызываемыми заявками и произвольным распределением вероятностей времени обслуживания.

Разработаны модификации метода диффузионного анализа, позволяющие находить вероятностные характеристики RQ-систем с вызываемыми заявками различной конфигурации, в том числе для многолинейных RQ-систем.

Построенные модели адекватны реальным телекоммуникационным системам, а полученные выражения для их характеристик можно использовать для анализа функционирования и решения задач оптимизации параметров таких систем.

Методы исследования.

Для построения и описания процессов изменения состояний систем массового обслуживания использовались многомерные цепи Маркова.

Для исследования однолинейной RQ-системы с произвольным распределением времени обслуживания применяются метод дополнительной переменной, а также разработанные модификации метода асимптотического анализа в предельных условиях большой задержки заявок на орбите и согласованно высокой интенсивности вызывания заявок.

Для широкого класса моделей разработаны и применены модификации метода диффузионного анализа, учитывающие непуассоновость входящих потоков, произвольное распределение времени обслуживания на приборе, разнотипность вызываемых заявок и многолинейность модели.

Для того, чтобы оценить точность полученных приближений использован метод имитационного моделирования, позволяющий получить численные значения исследуемых вероятностных характеристик предложенных моделей в допредельной ситуации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоремы о виде асимптотических стационарных распределений вероятностей состояний систем с повторными обращениями, разнотипными вызываемыми

заявками и неэкспоненциальными временами обслуживания в предельных условиях большой задержки заявок на орбите и согласованно высокой интенсивности вызывания.

2. Теоремы о виде асимптотических стационарных распределений вероятностей состояний систем с повторными обращениями, коррелированными входящими потоками и разнотипными вызываемыми заявками в предельном условии большой задержки заявок на орбите.

3. Теоремы о виде коэффициентов переноса и диффузии диффузионного процесса, аппроксимирующего число заявок на орбите в многолинейной системе с повторными обращениями и вызываемыми заявками.

Достоверность полученных результатов подтверждается математически корректными формулировками и доказательствами теорем, представленными в диссертационной работе, а также согласованностью результатов, с полученными в более ранних исследованиях для определенных частных случаев.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации.

Совместно с научным руководителем А. А. Назаровым автор сформулировал цели и задачи работы. Лично им получены все представленные в диссертации результаты: выведены формулы, доказаны теоремы, созданы алгоритмы построения асимптотических распределений и выполнен численный анализ.

Связь работы с крупными научными проектами.

Исследования по теме диссертации проводились автором в рамках выполнения грантов РФФИ № 18-01-00277 А «Разработка моделей и методов исследования телекоммуникационных систем, управляемых протоколами случайного множественного доступа» и № 19-41-703002 «Математическое моделирование систем передачи данных при высоких нагрузках», а также инициативного проекта «Разработка метода асимптотически-диффузионного анализа математических моделей телекоммуникационных систем».

Публикации.

По теме диссертации автором опубликовано 27 работ. В том числе: 10 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук (из них 9 в журналах, индексируемых Web of Science и Scopus), получено 1 свидетельство о регистрации

программных продуктов, 17 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных и научно-практических конференций (из них 6 в журналах, индексируемых Web of Science и Scopus).

Апробация работы.

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

1. Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems (ITTMM), 2019, г. Москва, Россия.

2. VII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», 2019, г. Томск, Россия.

3. XVIII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ), 2019, г. Саратов, Россия.

4. XXIII Международная конференция «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь, информационные технологии и математическое моделирование» (DCCN), 2020, г. Москва, Россия.

5. Международная научно-практическая конференция «Современные стохастические модели и проблемы актуарной математики» (МАМОНТ), 2020, г. Кар-ши, Узбекистан.

6. Пятая Международная конференция по стохастическим методам (МКСМ-5), 2020, г. Москва, Россия.

7. XIX Международная конференция им. А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ), 2020, г. Томск, Россия.

8. XXIII Международная конференция «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь, информационные технологии и математическое моделирование» (DCCN), 2022, г. Москва, Россия.

9. XXIII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ), 2024, г. Карши, Узбекистан.

10. 40-я Международная конференция «Ляпуновские чтения», 2024, г. Иркутск, Россия.

Структура работы.

В Главе 1 представлена модель системы массового обслуживания с повторными обращениями и разнотипными вызываемыми заявками. Получены выраже-

ния стационарных асимптотических характеристических функций числа заявок на орбите в предложенной системе. Показано, что предельные распределения вероятностей являются гауссовскими. Найдены явные выражения для параметров гауссовских аппроксимаций.

В Главе 2 представлены однолинейные полумарковские Я^-системы с разнотипными вызываемыми заявками различной конфигурации. Получены выражения асимптотических вероятностных характеристик в виде стационарных плотностей вероятностей предельных случайных процессов, аппроксимирующих число заявок на орбите в рассмотренных системах.

В Главе 3 представлено исследование многолинейной Я^-системы с вызываемыми заявками. С помощью метода диффузионного анализа получено выражение стационарной плотности вероятностей предельного диффузионного процесса, аппроксимирующего число заявок на орбите.

ГЛАВА 1. Асимптотический анализ RQ-системы М/О1/1 с разнотипными

вызываемыми заявками

В данной главе представлен анализ RQ-системы с разнотипными вызываемыми заявками и произвольным распределением вероятностей времен обслуживания всех типов заявок. Исследование системы осуществляется с помощью метода асимптотического анализа с двух предельных условиях: большой задержки заявок на орбите и согласованно высокой интенсивности вызывания. Первое условие является стандартным в рамках выбранной методики, а второе актуально только для RQ-систем с вызываемыми заявками и позволяет получить предельное распределение вероятностей числа заявок на орбите при неограниченно растущих с одинаковой скоростью интенсивностях вызывания для всех типов заявок.

1.1 Математическая модель RQ-системы М/О1/1 с разнотипными

вызываемыми заявками

Рассмотрим однолинейную RQ-систему, на вход которой поступает простейший входящий поток заявок с параметром Л. Время обслуживания каждой поступившей заявки является случайной величиной с произвольной функцией распределения вероятностей В\(х). Если поступившая заявка застает прибор свободным, то она занимает его для обслуживания.

Если прибор занят, то заявка переходит на орбиту, где осуществляет случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром а. Из орбиты после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из орбиты занимает его для обслуживания, в противном случае заявка мгновенно возвращается на орбиту для реализации следующей задержки.

Когда прибор свободен, он вызывает заявки извне. Рассматривается система с несколькими типами вызываемых заявок. Прибор вызывает заявки типа п с

интенсивностью ап. Вызванная заявка мгновенно занимает прибор для обслуживания. Время обслуживания вызванной заявки типа п является случайной величиной с произвольной функцией распределения вероятностей Вп(х). Для удобства дальнейшего исследования нумерация типов вызываемых заявок идет с 2 до N. Рисунок 1.1 иллюстрирует структуру описанной модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лизюра Ольга Дмитриевна, 2026 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башарин Г. П. Массовое обслуживание в телефонии / Г. П. Башарин, А. Д. Харкевич, М. А. Шнепс. — М.: Наука, 1968. — 247 с.

2. Башарин Г. П. Математическая модель центра обслуживания вызовов с учётом интернет-запросов / Г. П. Башарин, С. Н. Клапоущак, Д. В. Хуртин // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2008.

— № 1. C. 20-27.

3. Башарин Г. П. Модели для анализа качества обслуживания в сетях связи следующего поколения / Г. П. Башарин, Ю. В. Гайдамака, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина. — М.: РУДН, 2008. — 137 с.

4. Башарин Г. П. Об однофазной системе массового обслуживания с двумя типами заявок и относительным приоритетом / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов // Техническая кибернетика. — 1983. — Т. 3. — С. 48-56.

5. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания / А. А. Боровков. — М.: Наука, 1972. — 367 с.

6. Бочаров П. П. Теория вероятностей / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. — М.: Физматлит, 2005. — 295 с.

7. Вишневский В. М. Системы массового обслуживания с коррелированными входными потоками и их применение для моделирования телекоммуникационных сетей / В. М. Вишневский, А. Н. Дудин // Автоматика и телемеханика.

— 2017. — T. 78, № 8. — С. 3-59.

8. Войтишек А. В. Основы метода Монте-Карло / А. В. Войтишек. — Новосибирск: НГУ, 2010. — 108 с.

9. Гарайшина И. Р. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания / И. Р. Гарайшина, С. П. Моисеева, А. А. Назаров. — Томск: Изд-во НТЛ, 2010. — 206 с.

10. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. — 3-е изд., — М.: Наука, 1987. — 397 с.

11. Горцев А. М. Оценивание параметров синхронного дважды стохастического потока событий методом моментов / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. — 2002. — № 81-1. — С. 24-29.

12. Дудин С. А. Модель функционирования колл-центра как система МАР/РН/М/КМ с нетерпеливыми запросами / С. А. Дудин, О. С. Дудина // Проблемы передачи информации. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 68-83.

13. Задорожный В. Н. Оптимизация однородных немарковских сетей массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Проблемы управления. — 2009. — № 6.

— С. 68-75.

14. Змеев О. А. Разработка объектно-ориентированного программного комплекса имитационного моделирования систем массового обслуживания / О. А. Змеев, А. В. Приступа // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика".. — 2004. — №284. С. 171-173.

15. Зорин А. В. Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А. В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109.

16. Лизюра О. Д. Асимптотический анализ К^-системы ММРР1М11 с N типами вызываемых заявок в условии предельно редких изменений состояний входящего потока / О. Д. Лизюра, А. А. Назаров, С. В. Пауль // Сборник материалов международной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем". — Томск, 2019.

— С. 241-246.

17. Лизюра О. Д. Асимптотический анализ К^-системы с разнотипнымивызыва-емыми заявками и произвольным распределением времени обслуживания / О. Д. Лизюра // Сборник тезисов докладов 40-й международной конференции "Ляпуновские чтения". — Иркутск, 2024. — С. 132-133.

18. Моисеев А. Н. Разработка объектно-ориентированной модели системы имитационного моделирования процессов массового обслуживания / А. Н. Моисеев, М. В. Синяков // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2010. — Т. 1, № 10.

— С. 89-93.

19. Морозов Е. В.. Об оценивании вероятности переполнения конечного буфера в регенеративных системах обслуживания / Е. В. Морозов, Р. С. Некрасова // Информатика и её применения. — 2012. — Т. 6, № 3. — С. 90-98.

20. Назаров А. А. Асимптотический анализ К^-системы ММРР1М11 с разнотипными вызываемыми заявками / А. А. Назаров, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика.. — 2021. — Т. 21, № 1. — С. 111-124.

21. Назаров А. А. Асимптотический анализ К^-системы с N типами вызываемых заявок в предельном условии большой задержки заявок на орбите / А. А. Назаров, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2019. — № 48. — С. 13-20.

22. Назаров А. А. Асимптотический анализ К^-системы ММРР1М11 с разнотипными вызываемыми заявками / А. А. Назаров, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра // Сборник материалов международной конференции "Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019)". — Томск, 2019.

— Т. 2. — С. 239-244.

23. Назаров А. А. Асимптотический анализ марковизируемых систем / А. А. Назаров. — Томск: Издательство Томского университета, 1991. — 162 с.

24. Назаров А. А. Асимптотически-диффузионный анализ К^-системы ММРР/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками / А. А. Назаров, Т. Фунг-Дук, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра // Сборник материалов международной конференции "Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (БСС^2022)". — Москва, 2022. — С. 9499.

25. Назаров А. А. Исследование К^-системы М1М11 с разнотипными вызываемыми заявками и ненадежным прибором методом асимптотически-диффузионного анализа / А. А. Назаров, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра, К. С. Шульгина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2021. — № 57. — С. 7483.

26. Назаров А. А. Исследование К^-системы М1М1111 с вызываемыми заявками методом асимптотически-диффузионного анализа / А. А. Назаров, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра // Сборник материалов международной конференции "Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (БССМ-2019)". — Москва, 2019. — С. 148-155.

27. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020666411. Программа для имитации работы системы с повторными обращениями, разнотипными вызываемыми заявками и марковски модулированным входящим потоком / Назаров А. А. (КИ), Пауль С. В. (КИ), Лизюра О. Д. (КИ); правообладатель: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» (КИ). - Заявка № 2020665517; дата поступления — 02.12.2020; дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ — 09.12.2020, Бюл. 12.

28. Назаров А. А. Теория массового обслуживания:учебное пособие по специальностям 010200 (010501) "Прикладная математика и информатика 061800 (080116) "Математические методы в экономике-/ А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. — Томск: Изд-во НТЛ, 2010. — 228 с.

29. Назаров А. А. К^-система с неординарным входящим потоком и разнотипными вызываемыми заявками / А. А. Назаров, С. В. Пауль, О. Д. Лизюра // Сборник материалов международной конференции "Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019)". — Томск, 2019. — Т. 2. — С. 245-249.

30. Пауль С. В. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка / С. В. Пауль, А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. — 2006. — № 819. — С. 178-183.

31. Пауль С. В. Методы асимптотического и диффузионного анализа математических моделей систем случайного множественного доступа : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 1.2.2. / Пауль Светлана Владимировна. — Томск, 2022. — 327 с.

32. Рыков В. В. Управляемые системы массового обслуживания / В. В. Рыков // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». — 1975. — Т. 12, № 0. — С. 43-153.

33. Самуйлов К. Е. Сети и телекоммуникации / К. Е. Самуйлов, И. А. Шалимов,

B. В. Василевский, Н. Н. Васин, Д. С. Кулябов, А. В. Королькова. — М.: Юрайт, 2019. 363 с.

34. Сонькин М. А. Объектная модель приложения для имитационного моделирования циклических систем массового обслуживания / М. А. Сонькин, А. Н. Моисеев, Д. М. Сонькин, Д. А. Буртовая // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2017. — № 40. С. 71-80.

35. Степанов С. Н. Оценка канального ресурса мультисервисных сетей с возможностью повторения заблокированной заявки / С. Н. Степанов, О. А. Кокина// Электросвязь. — 2009. — № 12. — С. 21-24.

36. Фалин Г. И. Асимптотическая инвариантность вероятностных характеристик структурно-сложных систем коммутации с потерями / Г. И. Фалин // Проблемы передачи информации. — 1981. — Т. 17, № 2. — С. 79-85.

37. Фархадов М. П. Распознавание речи в системах массового обслуживания населения / М. П. Фархадов // Труды СПИИРАН. — 2011. — № 19. —

C. 65-86.

38. Цициашвили Г. Ш. Стационарные потоки в ациклических сетях массового обслуживания / Г. Ш. Цициашвили, М. А. Осипова // Дальневосточный математический журнал. — 2016. — Т. 16, № 2. — С. 223-228.

39. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания / А. Я. Хинчин. — М.: Физматгиз, 1963. — 236 с.

40. Aguir S. The impact of retrials on call center performance / S. Aguir, F. Karaesmen, O. Z. Ak§in, F. Chauvet// OR Spectrum. — 2004. — Vol. 26, no. 3. — P. 353-376.

41. Aissani A. Optimal Analysis for M/G/1 Retrial Queue with Two-Way Communication / A. Aissani, T. Phung-Duc // Lecture Notes in Computer Science.

— 2015. — Vol. 9081. — P. 1-14.

42. Aissani A. Profiting the idleness in single server system with orbit-queue / A. Aissani, T. Phung-Duc // Proceedings of the 11th EAI International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools. — 2017. — P. 237-243.

43. Avramidis A. Modeling daily arrivals to a telephone call center / A. Avramidis, A. Deslauriers, P. L'Ecuyer // Management Science. — 2004. — Vol. 50, no. 7.

— P. 896-908.

44. Artalejo J. R. Accessible bibliography on retrial queues: Progress in 2000-2009 / J. R. Artalejo // Mathematical and computer modelling. — 2010. — Vol. 51, no. 9-10. — P. 1071-1081.

45. Artalejo J. R. Markovian retrial queues with two way communication / J. R. Artalejo, T. Phung-Duc // Journal of Industrial & Management Optimization.

— 2012. — Vol. 8, no. 4. — P. 781-806.

46. Artalejo J. R. Numerical analysis of (s, S) inventory systems with repeated attempts / J. R. Artalejo, A. Krishnamoorthy, M. J. Lopez-Herrero // Annals of Operations Research. — 2006. — Vol. 141. — P. 67-83.

47. Artalejo J. R. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach / J. R. Artalejo, A. Gomez-Corral. — Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2008. 318 p.

48. Artalejo J. R. Single server retrial queues with two way communication / J. R. Artalejo, T. Phung-Duc // Applied Mathematical Modelling. — 2013. — Vol. 37, no. 4. — P. 1811-1822.

49. Artalejo J. Standard and retrial queueing systems: a comparative analysis / J. Artalejo, G. Falin // Revista matematica complutense. — 2002. — Vol. 15, no. 1. — P. 101-129.

50. Artalejo J. R. Stochastic decomposition for retrial queues / J. R. Artalejo, J. I. Falin // Top. — 1994. — Vol. 2, no. 2. — P. 329-342.

51. Bernett H. G. Blended call center performance analysis / H. G. Bernett, M. J. Fischer, D. M. B. Masi // IT professional. — 2002. — Vol. 4, no. 2. — P. 33-38.

52. Bhulai S. A queueing model for call blending in call centers / S. Bhulai, G. Koole // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2003. — Vol. 48, no. 8. — P. 14341438.

53. Brandt A. On a two-queue priority system with impatience and its application to a call center / A. Brandt, M. Brandt // Methodology and Computing in Applied Probability. — 1999. — Vol. 1, no. 2. — P. 191-210.

54. Brown L. Statistical analysis of a telephone call center: A queueing-science perspective / L. Brown, N. Gans, A. Mandelbaum, A. Sakov, H. Shen, S. Zeltyn, L. Zhao // Journal of the American statistical association. — 2005. — Vol. 100, no. 469. — P. 36-50.

55. Cohen J. W. Basic problems of telephone traffic theory and the influence of repeated calls / J. W. Cohen // Philips Telecommunication Rev. — 1957. — Vol. 18, no. 2. — Art.num. 49.

56. Deslauriers A. Markov chain models of a telephone call center with call blending / A. Deslauriers, P. L'Ecuyer, J. Pichitlamken, A. Ingolfsson, A. Avramidis // Computers & operations research. — 2007. — Vol. 34, no. 6. — P. 16161645.

57. Dragieva V. A finite-source M/G/1 retrial queue with outgoing calls / V. Dragieva, T. Phung-Duc // Annals of Operations Research. — 2019. — P. 1-21.

58. Dragieva V. Two-way communication M/M/1 retrial queue with server-orbit interaction / V. Dragieva, T. Phung-Duc // Proceedings of the 11th International Conference on Queueing Theory and Network Applications / ACM. — 2016. — P. 11.

59. Dragieva V. Two-Way Communication M/M/1/1 Queue with Server-Orbit Interaction and Feedback of Outgoing Retrial Calls / V. Dragieva, T. Phung-Duc //

Communications in Computer and Information Science. — 2017. — Vol. 800.

— P. 243-255.

60. Dragieva V. Two-way communication M/M/1//N retrial queue / V. Dragieva, T. Phung-Duc // Lecture Notes in Computer Science. — 2017. — Vol. 10378. — P. 81-94.

61. Economou A. Optimal balking strategies in single-server queues with general service and vacation times / A. Economou, A. Gomez-Corral, S. Kanta // Performance Evaluation. — 2011. — Vol. 68, no. 10. — P. 967-982.

62. Falin G. I. On the single server retrial queue with priority customers / G. I. Falin, J. R. Artalejo, M. Martin // Queueing systems. — 1993. — Vol. 14, no. 3-4. — P. 439-455.

63. Falin G. Retrial queues / G. Falin, J. G. C. Templeton. — CRC Press, 1997. — Vol. 75. 320 p.

64. Fedorova E. Queueing system with two phases of service and service rate degradation/E. Fedorova, I. Lapatin, O. Lizyura, A. Moiseev, A. Nazarov, S. Paul// Axioms. — 2023. — Vol. 12, no. 2. — Art.num. 104.

65. Gilmore A. Call centres: is service quality a priority? / A. Gilmore // Managing Service Quality. — 2001. — Vol. 11, no. 3. — P. 153-159.

66. Ke J. C. Modified vacation policy for M/G/1 retrial queue with balking and feedback / J. C. Ke, F. M. Chang // Computers & Industrial Engineering. — 2009.

— Vol. 57, no. 1. — P. 433-443.

67. Kim C. Queueing system MAP/M/N as a model of call center with call-back option / C. Kim, O. Dudina, A. Dudin, S. Dudin // Lecture Notes in Computer Science. — 2012. — Vol. 7314. — P. 1-15.

68. Kim C. S. Computation of the steady state distribution for multi-server retrial queues with phase type service process / C. S. Kim, V. V. Mushko, A. N. Dudin // Annals of Operations research. — 2012. — Vol. 201. — P. 307-323.

69. Kim J.. A survey of retrial queueing systems / J. Kim, B. Kim // Annals of operations research. — 2016. — Vol. 247. — P. 3-36.

70. Kingman J. F. C.. The first Erlang century-and the next / J. F. C. Kingman // Queueing systems. — 2009. — Vol. 63, no. 1. — Art.num. 3.

71. Klimenok V. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory / V. Klimenok, A. Dudin // Queueing Systems.

— 2006. — Vol. 54. — P. 245-259.

72. Koole G. Queueing models of call centers: An introduction / G. Koole, A. Mandelbaum // Annals of Operations Research. — 2002. — Vol. 113, no. 1-4.

— P. 41-59.

73. Kosten L. On the influence of repeated calls in the theory of probabilities of blocking / L. Kosten // De Ingenieur. — 1947. — Vol. 59, no. 1. — P. 1-25.

74. Kuki A. A Contribution to Modeling Two-Way Communication with Retrial

/ ___ ___

Queueing Systems / A. Kuki, J. Sztrick, A. Toth, T. Berczes // Communications in Computer and Information Science. — 2018. — Vol. 912. — P. 236-247.

75. Li H. A single-server retrial queue with server vacations and a finite number of input sources / H. Li, T. Yang // European Journal of Operational Research. — 1995. — Vol. 85, no. 1. — P. 149-160.

76. Lizyura O. Two-Way Communication MAP/GI/1 Retrial Queue with Multiple Types of Outgoing Calls / O. Lizyura // Proceedings of international conference "Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2024)". — Tomsk, 2024. — P. 51-57.

77. Moiseev A. Asymptotic Diffusion Analysis of Multi-Server Retrial Queue with Hyper-Exponential Service / A. Moiseev, A. Nazarov, S. Paul // Mathematics. — 2020. — Vol. 8, no. 4. — Art.num. 531.

78. Moiseev A. Discrete-event approach to simulation of queueing networks / A. Moiseev, A. Demin, V. Dorofeev, V. Sorokin // Key Engineering Materials

— 2016. — Vol. 685. — P. 939-942.

79. Morozov E. Regenerative Analysis of Two-Way Communication Orbit-Queue with General Service Time / E. Morozov, T. Phung-Duc // International Conference on Queueing Theory and Network Applications / Springer. — 2018. — P. 22-32.

80. Naumov V. Matrix and analytical methods for performance analysis of telecommunication systems / V. Naumov, Yu. Gaidamaka, N. Yarkina, K. Samouylov. — Cham: Springer Nature Switzerland AG, 2022. — 307 p.

81. Nazarov A. A survey of recent results in finite-source retrial queues with collisions / A. Nazarov, J. Sztrik, A. Kvach // Communications in Computer and Information Science. — 2018. — Vol. 912. — P. 1-15.

82. Nazarov A. Asymptotic analysis of Markovian retrial queue with two-way communication under low rate of retrials condition / A. Nazarov, S. Paul, I. Gudkova // Proceedings 31st European Conference on Modelling and Simulation. — 2017. — P. 678-693.

83. Nazarov A. Asymptotic analysis of Markovian retrial queue with unreliable server and multiple types of outgoing calls / A. Nazarov, S. Paul, O. Lizyura // Global and Stochastic Analysis. — 2021. — Vol. 8. no. 3. — P. 143-149.

84. Nazarov A. Asymptotic analysis of Markovian retrial queue with unreliable server and two-way communication under low rate of retrials condition / A. Nazarov, S. Paul, O. Lizyura, K. Shulgina // Proceedings of international conference "Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2020)". — Tomsk, 2020. — P. 99-104.

85. Nazarov A. A. Asymptotic-diffusion analysis of multiserver retrial queue with two-way communication / A. A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. V. Paul, O. D. Lizyura // Proceedings of internationa conference "Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2020)". — Moscow, 2020. — P. 531-539.

86. Nazarov A. A. Asymptotic-diffusion analysis of retrial queue with two-way communication and renewal input / A. A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. V. Paul, O. D. Lizyura // Proceedings of internationa conference "Пятая Международная конференция по стохастическим методам (МКСМ-5)". — Москва, 2020. — P. 345-351.

87. Nazarov A. Asymptotic Diffusion Method for Retrial Queues with State-Dependent Service Rate / A. Nazarov, E. Fedorova, O. Lizyura, R. Salimzyanov // Mathematics. — 2023. — Vol. 11, no. 14. — Art.num. 3140.

88. Nazarov A. Asymptotic sojourn time analysis of finite-source M/M/1 retrial queuing system with two-way communication / A. Nazarov, J. Sztrik, A. Kvach // Communications in Computer and Information Science. — 2018. — Vol. 912.

— P. 172-183.

89. Nazarov A. Asymptotic-Diffusion Analysis for Retrial Queue with Batch Poisson Input and Multiple Types of Outgoing Calls / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul, O. Lizura // Lecture Notes in Computer Science. — 2019. — Vol. 11965. — P. 207-222.

90. Nazarov A. Central Limit Theorem for an M/M/1/1 Retrial Queue with Unreliable Server and Two-Way Communication / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul, O. Lizura, K. Shulgina // Communications in Computer and Information Science.

— 2021. — Vol. 1391. — P. 120-130.

91. Nazarov A. Diffusion approximation for multiserver retrial queue with two-way communication / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul, O. Lizyura // Lecture Notes in Computer Science. — 2020. — Vol. 12563. — P. 567-578.

92. Nazarov A. Diffusion limit for single-server retrial queues with renewal input and outgoing calls / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul, O. Lizyura // Mathematics.

— 2022. — Vol. 10, no. 6. — Art.num. 948.

93. Nazarov A. Diffusion Approximation for the MAP/GI/1 Retrial Queue with Two-Way Communication / A. Nazarov, O. Lizyura // Communications in Computer and Information Science. — 2025. — Vol. 2472. — P. 119-133.

94. Nazarov A. A. Heavy Load Asymptotics for a Single Server Queue with Two-Way Communication and Markov Modulated Poisson Input / A. A. Nazarov, S. V. Paul, O. D. Lizyura // Proceedings of conference "Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем". — Moscow, 2019. — P. 83-89.

95. Nazarov A. Heavy Outgoing Call Asymptotics for MMPP/M/1/1 Retrial Queue with Two-Way Communication / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul // Communications in Computer and Information Science. — 2017. — Vol. 800.

— P. 28-41.

96. Nazarov A. A. Heavy outgoing call asymptotics for retrial queue with two way communication and multiple types of outgoing calls / A. A. Nazarov, S. V. Paul,

0. D. Lizyura // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2019. — Vol. 27, no. 1. — P. 5-20.

97. Nazarov A. Single Server Queues with Batch Poisson Input and Multiple Types of Outgoing Calls / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul, O. Lizura // Communications in Computer and Information Science. — 2019. — Vol. 1109. — P. 177-187.

98. Nazarov A. Slow retrial asymptotics for a single server queue with Two-Way communication and Markov Modulated Poisson Input / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul // Journal of Systems Science and Systems Engineering. — 2019. — Vol. 28, no. 2. — P. 181-193.

99. Nazarov A. Two-way communication retrial queue with markov modulated Poisson input and multiple types of outgoing calls / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul, O. Lizyura // Communications in Computer and Information Science. — 2023. — Vol. 1748. — P. 370-381.

100. Nazarov A. A. Two-way communication retrial queue with unreliable server and multiple types of outgoing calls / A. A. Nazarov, S. V. Paul, O. D. Lizyura // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2020. — Vol. 28, no. 1. — P. 49-61.

101. Nazarov A. Unreliable Single-Server Queue with Two-Way Communication and Retrials of Blocked and Interrupted Calls for Cognitive Radio Networks / A. Nazarov, T. Phung-Duc, S. Paul // Communications in Computer and Information Science. — 2018. — Vol. 919. — P. 276-287.

102. Pagano M. On the Optimal Input Rate in Queues with Batch Service / M. Pagano,

1. Tananko, E. Stankevich//Axioms. — 2023. — Vol. 12, no. 7. — Art.num. 656.

103. Paul S. Retrial Queueing Model with Two-Way Communication, Unreliable Server and Resume of Interrupted Call for Cognitive Radio Networks / S. Paul, T. Phung-Duc // Communications in Computer and Information Science. — 2018. — Vol. 912. — P. 213-224.

104. Phung-Duc T. A matrix continued fraction approach to multiserver retrial queues / T. Phung-Duc, H. Masuyama, S. Kasahara, Yu. Takahashi // Annals of Operations Research. — 2013. — Vol. 202. — P. 161-183.

105. Phung-Duc T. An efficient method for performance analysis of blended call centers with redial / T. Phung-Duc, K. Kawanishi // Asia-Pacific Journal of Operational Research. — 2014. — Vol. 31, no. 02. — P. 1-35.

106. Phung-Duc T. M/M/3/3 and M/M/4/4 retrial queues / T. Phung-Duc, H. Masuyama, S. Kasahara, Yu. Takahashi // Journal of Industrial and Management Optimization.

— 2009. — Vol. 5, no. 3. — P. 431-451.

107. Phung-Duc T. State-dependent M/M/c/c+ r retrial queues with Bernoulli abandonment/T. Phung-Duc, H. Masuyama, S. Kasahara, Yu. Takahashi//Journal of Industrial and Management Optimization. — 2010. — Vol. 6, no. 3. — P. 517540.

108. Phung-Duc T. Two way communication retrial queues with balanced call blending / T. Phung-Duc, W. Rogiest // Lecture Notes in Computer Science. — 2012. — Vol. 7314. —P. 16-31.

109. Ponomarenko L. Performance analysis and optimization of multi-traffic on communication networks / L. Ponomarenko, C. S. Kim, A. Melikov. — Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2010. — 194 p.

110. Sakurai H. Scaling limits for single server retrial queues with two-way communication / H. Sakurai, T. Phung-Duc // Annals of Operations Research.

— 2016. — Vol. 247, no. 1. — P. 229-256.

111. Sakurai H. Two-way communication retrial queues with multiple types of outgoing calls / H. Sakurai, T. Phung-Duc // Top. — 2015. — Vol. 23, no. 2. — P. 466-492.

112. Selvaraju N. Impatient customers in an M/M/1 queue with single and multiple working vacations / N. Selvaraju, C. Goswami // Computers & Industrial Engineering. — 2013. — Vol. 65, no. 2. — P. 207-215.

113. Stolletz R.. Performance analysis and optimization of inbound call centers / R. Stolletz. — 1st ed., — Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2003. 219 p.

114. Sztrik J. Basic queueing theory / J. Sztrik. — Saarbrucken: GlobeEdit OmniScriptum GmbH, KG, 2016. — 246 p.

115. Taylor H. M.. An introduction to stochastic modeling / H. M. Taylor, S. Karlin. — 3rd ed., — New York: Academic Press, 1998. — 646 p.

116. Tweedie R. L. Sufficient conditions for regularity, recurrence and ergodicity of Markov processes / R. L. Tweedie // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1975. — Vol. 78. — P. 125-136.

117. Wang J. A Repairable M/G/l Retrial Queue with Bernoulli Vacation and Two-Phase Service / J. Wang, J. Li // Quality Technology & Quantitative Management. — 2008. — Vol. 5, no. 2. — P. 179-192.

118. Yang T. A survey on retrial queues / T. Yang, J. G. C. Templeton // Queueing systems. — 1987. — Vol. 2, no. 3. — P. 201-233.

СПИСОК РИСУНКОВ

1.1 RQ-система M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками .... 16

2.1 RQ-система GI/M/1 с разнотипными вызываемыми заявками .... 57

2.2 RQ-система MAP/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками ... 72

3.1 RQ-система M/M/N с вызываемыми заявками.............97

СПИСОК ТАБЛИЦ

1.1 Расстояние Колмогорова для системы M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками при а ^ то....................38

1.2 Расстояние Колмогорова для системы M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками при а ^ 0.....................39

2.1 Расстояние Колмогорова для системы M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками при а ^ 0 в сравнении с диффузионной аппроксимацией ...............................54

2.2 Расстояние Колмогорова для системы M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками при а ^ то в сравнении с диффузионной аппроксимацией ............................. 55

2.3 Расстояние Колмогорова для системы GI/M/1 с разнотипными вызываемыми заявками ........................... 93

2.4 Расстояние Колмогорова для системы MAP/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками ......................... 94

3.1 Расстояние Колмогорова для системы M/M/N с вызываемыми заявками ....................................109