Специальные ряды по полиномам Мейкснера и ортонормированные по Соболеву функции, порожденные функциями Лагерра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гаджимирзаев Рамис Махмудович

• Гаджимирзаев Рамис Махмудович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Гаджимирзаев Рамис Махмудович

К,ж(х)

1.4.1. Оценка функции (х) на мпожестве

1.4.2. Оценка функции Л^(х) на множестве Я2

1.4.3. Оценка функции Л^(х) на множествах ^з и б4 ■ ■ ■

Глава 2.Специальные ряды по модифицированным полиномам Мейкснера и их аппроксимативные свойства

2.1. Введение

2.2. Специальный ряд по полиномам т" м(х) и аппроксимативные свойства их частичных сумм

2.3. Оценка функции Лебега (х)

Глава 3.Функции, ортонормированные по Соболеву и порожденные функциями Лагерра

3.1. Введение

3.2. Некоторые сведения о полиномах и функциях Лагерра

3.3. Рекуррентные соотношения для функций С"п(х)

3.4. Достаточные условия равномерной сходимости на [0, А] ряда Фурье по функциям С^п(х)

3.5. Свойства функций С® п(х)

3.5.1. Представления для функций С® \+п(х)

3.5.2. Асимптотические свойства и оценки для функций С(1А+п(х)

Заключение

Литература

В настоящей диссертации можно выделить два направления, первое из которых (главы 1 и 2) посвящено исследованию вопроса об оценке отклонения от заданной функции частичных сумм рядов Фурье и специальных рядов по системе модифицированных полиномов Мейкснера, а второе направление (глава 3) - исследованию свойств функций, ортонормированных по Соболеву и порожденных функциями Лагерра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Специальные ряды по полиномам Мейкснера и ортонормированные по Соболеву функции, порожденные функциями Лагерра»

Актуальность темы

Рассмотрим первое направление (главы 1 и 2). Вкратце остановимся на истории развития дискретных ортогональных полиномов, основы которых были заложены в работах П.Л. Чебышева [1-5]. В этих работах П.Л. Че-бышев рассматривал многочлены (х, N), п = 0, N — 1, ортогональные на равномерной сетке О = {0,1, 2,... — 1} относительно веса

где с - постоянная, Г - гамма функция Эйлера, и исследовал различные их свойства. В частности, П.Л. Чебышев показал, что для многочленов Т^"3(х, N) имеет место следующее представление:

где в(х) = х(М + а — х). Заметим, что это представление является разностным аналогом формулы Родрига для полиномов Якоби. В этом смысле многочлены Т^"3(х, N) являются дискретными аналогами многочленов Якоби. Далее в работах Шарлье [6], М.Ф. Кравчука [7], Мейкснера [8] и Хана [9] изучались различные системы дискретных ортогональных полиномов. Эти

■ы(х) = с

Г(ж + $ + 1)Г(Ж — ж + а) Г(ж + 1)Г(Ж — х)

системы отличаются выбором сетки О и весовой функции п)(х). Например, многочлены М.Ф. Кравчука К(х), являющиеся дискретным аналогом классических полиномов Эрмита, определяются сеткой О = {0,1, 2,..., N} и весом

ы(х) = ^ ^(1 - д)мо <д< 1,

а многочлены Мейкснера М^(х) = М^(х, д), являющиеся дискретным аналогом классических полиномов Лагерра, - сеткой О = {0,1, 2,...} и весом

п(х) = Ях +)1) (1 - д)а+1, о <я< 1.

Для полиномов Шарлье 3%(х)7 определяемых сеткой О = {0,1, 2,...} и весом

№(ж) = г|-ТТ) , в> 0

отсутствует аналог среди непрерывных классических ортогональных многочленов. Отметим, что каждая из этих систем полиномов может быть получена на основе разностной формулы Родрига [10]. Кроме того, все четыре системы удовлетворяют соответствующим линейным разностным уравнениям второго порядка с полиномиальными коэффициентами. А это, в свою очередь, позволяет всякую систему ортогональных многочленовРп(ж), удовлетворяющую одному из вышеупомянутых свойств, путем замены переменной привести к одной из указанных четырех классических систем.

Дальнейшее развитие этой теории связано, в частности, с работами Хана [9], Карлина и Мак-Грегора [11], Дельсарта [12], Аски и Вилсона [13], Никифорова А.Ф., Уварова В.В., Суслова С.К. [14]. Были найдены различные приложения дискретных ортогональных полиномов в теории кодирования, вычислительной математике, при решении разностных уравнений спектральными методами, оценивании распределения вероятности дискретных случайных величин, обработке, сжатии и передачи дискретной информации. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на различных сетках.

Известны различные связи полиномов Мейкснера М^(х) с другими специальными функциями. В частности, при N > 0 ö = -j q = e—ö, Qs = {О, Ö, 26,...} и фиксирован пом п имеется связь полиномов (х) = M®(Nx, e—ö) с классическими полиномами Лагерра L(^(x):

lim И*-(х) = Щ(х).

Это соотношение показывает, что если 1С - компакт комплексной плоскости, то при фиксированном п и достаточно малом Ö поведение модифицированных полиномов Мейкснера М^-(х) на ^ близко к поведению полиномов Лагерра L^(х). При скорости роста п = 0(ln N), N ^ < определенную информацию об асимптотическом поведение полиномов М®-(х) можно извлечь, сопоставляя гипергеометрические ряды, выражающие полиномы Мейкснера и Лагерра. В работе И.И. Шарапудинова [15] была исследована задача о получении асимптотических формул для М^-(х) ПРИ минимальных ограничениях на рост п по сравнению с ростом N, чтобы при этом асимптотическое поведение М^-(х) существенно не отличалось от асимптотического поведения L®(х). В частности, при п = O(N) была доказана следующая

Теорема (И.И. Шарапудинов [15, стр. 196]). Пусть 5 = - > О, а > —1, X > 0 z € C. Тогда имеют, место следующие асимптотические формулы:

f е5 - 1 \п

С-(А = [ m(Z) + К-(Z), ™>п,-(z) = %(z) + к-(z),

для остаточных членов (z); (z) которых при, О < п < XN справедливы оценки,:

п—1 п—1

(Z)\ < С(а, Х)5 £Щ(z)|, Гп--(z) < с(а, X)ön—S £\Lak(z)|. к=0 к=0

Кроме того, при выполнении условий этой теоремы была получена асимптотическая формула и для разности (г) — М^—1 м(г):

( г6- 1 \п

М«м (г) — (г) = ) [Щг) — Ь^г)] + (г).

Здесь для У^х при 0 < п < ХМ справедлива оценка (г)1 <

с(а,Х)\ 6Ь—1(*)1 + Е Ь (*)|) .

I к=о J

Как следствие первой теоремы для ортонормированных полиномов

Мейкснера т(х) была установлена асимптотическая формула через ор-

тонормированные полиномы Лагерра I"(х) при х € [0, то).

Следствие (И.И. Шарапудинов). Пусть Х, М > 0, 5 = 1, а >

— 1, х € [0, то). Тогда для остаточного члена (х) асимптотической формулы

тп,м(х) = 1аа(х) + Уп,М(х),

при, 0 < п < ХМ имеет место оценка:

|<ж(x)|< с(а,Х)Аап(x)JПп—а/2,

где A%(x) функция определенная равенством (1.10)

В той же работе посредством этой асимптотической формулы и весовых оценок для полиномов Лагерра были получены весовые оценки для m^ N (x) и их разностей |m"+1 N(x) — т%—1 N(x)| (см. (1.7) - (1.11)). Эти оценки вместе с формулой Кристоффеля-Дарбу позволяют достаточно полно исследовать аппроксимативные свойства частичных сумм ряда Фурье по полиномам m^N (x). Впервые ряды Фурье по полиномам m^N (x) были введены в работе [16]. В этой же работе была рассмотрена задача о приближении функций, заданных на дискретном множестве = {0, 6, 26,...}, посредством частичных сумм ряда Фурье по полиномам m^N(x) при а = — В частности, была получена верхняя оценка для соответствующей функции Лебега. В первой главе настоящей диссертации мы обобщаем этот результат па случай а > —1 (см. 1.4).

Во второй главе настоящей диссертации вводятся новые специальные ряды по полиномам (х). Впервые специальные ряды по ультрасферическим полиномам Якоби Р%(х) — Р^,а(х) были введены в работе И.И. Ша-рапудинова [17]. Выли исследованы аппроксимативные свойства частичных сумм этих рядов. Как показано в [17], специальные ряды по полиномам Рп(х) являются естественным обобщением так называемых предельных рядов по полиномам Р%(х) при а ^ — 1, введенных в [18]. Одной из особенностей предельных рядов по полиномам Р%(х) является то, что для их частичных сумм 3—1(х), п > 1 справедливо равенство 51-1 (±1) = /(±1)-Далее, в работе [19] для функции ^заданной па сетке были введены предельные ряды по полиномам (х) при а ^ — 1, частичные суммы которых совпадают с заданной функцией в точке х = 0. Специальные ряды по системе полиномов {(ж)}£=0э введенные во второй главе настоящей диссертации, являются обобщением предельных рядов по полиномам тпК(ж). Отметим, что при п > 1 частичные суммы S®+rN(<й,х) специальных рядов по полиномам (х) обладают тем свойством, что для х € {0, 5, 26,..., (г — 1)£} справедливы равенства

^п+г N(&, х) — ¿(х).

Далее, используя свойство

(Рк, х) = Рк,

где рк алгебраический полином степени < п + г, исследованы аппроксимативные свойства сумм S®+rN ((1,х). При этом основное внимание уделено оценке сверху соответствующей функции типа Лебега при г — 2 < а < г + 2, г € N (см. 2.3).

Перейдем ко второму направлению (глава 3). В третьей главе диссертации исследуются свойства системы функций С^п(х), п — 0,1,..., ортогональной при а > —1 относительно скалярного произведения соболевского

типа и порожденной системой функций Лагерра С,°п(х), п = 0,1,.... Скалярное произведение типа Соболева, в отличие от скалярного произведения в обычном смысле, содержит в себе производные рассматриваемых функций. В достаточно общем виде оно может быть задано формулой

где (1 Цк - меры Бореля. Первые работы по теории полиномов, ортогональных относительно скалярных произведений типа Соболева (полиномы, ортогональные по Соболеву (ПОС)), появились еще в начале 60-тых [20]. Дальнейшее интенсивное развитие этой теории началось в 1990-е годы [21-34] и продолжается в настоящее время (см. [35-46] и цитированные в них работы). Такой интерес к этой теории, в частности, связано с тем, что ПОС в обычном смысле не ортогональны. И как следствие, многие свойства ортогональных в обычном смысле полиномов (трехчленное рекуррентное соотношение, формула Кристоффеля - Дарбу, свойство перемежаемости нулей) в этом случае теряются. Кроме того, методы используемые при исследовании асимптотических свойств и получении оценок для полиномов, ортогональных в обычном смысле, напрямую не переносятся на случай ПОС, а некоторые и вовсе теряют смысл. А это в свою очередь затрудняет исследование вопросов, связанных со сходимостью рядов Фурье по системам ПОС. Но в тоже время ряды Фурье по системам ПОС находят применение в различных прикладных задачах [37], в частности при решении задачи Коши для ОДУ спектральными методами [45,46]. При этом следует отметить, что наиболее продвинутые результаты полученные в выше приведенных работах ассоциированы со скалярным произведением вида

т

г— 1

В третьей главе настоящей диссертации рассматривается система функций {£гп (х)}п=о:

хп

Сгг,(х) = —г, п = 0,1,...,г — 1,

г,пк ; п!

X

£?,+,(х) = !(х — 1Г—1С£ п = 0, 1,...г

о

ортонормированная относительно скалярного произведения (/, д) в при р(х) = 1 и [а, Ь] = [0, то).

Задачи, рассматриваемые в главе 3 настоящей работы, посвящены исследованию свойств системы £^п(х) таких как: полнота и ортонормиро-ванность, рекуррентные соотношения, представления через классические полиномы Лагерра, асимптотические свойства для случая г = 1 и а = 0и оценки, аналогичные оценкам для функций Лагерра. Кроме того, рассматривается задача о равномерной сходимости на отрезке [0, А] ряда Фурье по системе {£"п(х)}ТО=0 к / <Е ПРИ 4 < Р < 4.

Объект исследования

Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены исследованию аппроксимативных свойств частичных сумм ряда Фурье и специальных рядов по модифицированным полиномам Мейкснера (х). Основное внимание в этих главах уделено поточечной оценке сверху соответствующих функций Лебега. В главе 3 рассматривается система функций {£"п(х)}ТО=0, ортогональная в смысле Соболева и порожденная системой функций Лагерра. Исследуются различные свойства этой системы.

Цели и задачи исследования

В главах 1 и 2 данной диссертации рассматривается задача о приближении функций посредством частичных сумм ряда Фурье и специальных рядов по системе полиномов (х)}^=0- Особенностью специальных рядов является то, что их частичные суммы интерполируют исходную функцию в точках {0, 8, 28,..., (г — 1)£}. В связи с этим основными целями глав 1

и 2 данной работы являются исследование аппроксимативных свойств частичных сумм рядов Фурье и специальных рядов по системе {т^к(ж)}п=0? соответственно.

Третья глава диссертации посвящена исследованию различных алгебраических и асимптотическихх свойств системы функций С^п(х), ортогональной в смысле Соболева. Одной из особенностей скалярных произведений соболевского типа является то, что они содержат в себе слагаемые, которые позволяют «контролировать» поведение соответствующих ортогональных функций в заданной системе точек. Основной целью главы 3 является исследование различных свойств системы £^п(х) (таких как: рекуррентные соотношения, различные представления через полиномы Ла-герра, асимптотические свойства) и рассмотрение вопроса о равномерной сходимости на отрезке ряда Фурье по системе {СгП(х)}:=0.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Получить поточечную оценку сверху для функции Лебега частичных сумм ряда Фурье по полиномам (х) при а > —1.

2. Построить новые специальные ряды по полиномам т" м (х).

3. Исследовать поведение функции типа Лебега частичных сумм специальных рядов по полиномам (х).

4. Получить рекуррентные соотношения для функций £®п(х).

5. Исследовать вопрос о равномерной сходимости на отрезке ряда Фурье по системе {£г,п(х)}:=0-

6. Получить различные представления для функций С1 п(х) через полиномы Лагерра.

7. На основе этих представлений исследовать асимптотические свойства функций С1 п(х) при п ^ : х € [0,:) и получить оценки, аналогичные оценкам для функций Лагерра.

Методика исследований

При исследовании задач 1-3, поставленных в диссертации, в основном применялись традиционные методы приближения функций с помощью ортогональных полиномов. При исследовании аппроксимативных свойств сумм Фурье и частичных сумм специального ряда существенно использовались формула Кристоффеля-Дарбу, асимптотические свойства и весовые оценки для полиномов (х), которые впервые были установлены в работе И.И. Шарапудинова [15]. При исследовании задач 4-7, помимо рекуррентных соотношений, различных алгебраических свойств и асимптотических формул для полиномов Лагерра, применялись еще общие методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна

Первая глава диссертации посвящена оценке функции Лебега частичных сумм ряда Фурье по модифицированным полиномам Мейкснера для а > —1, ортогональным на бесконечной равномерной сетке. Во второй главе вводятся специальные ряды по полиномам (х) и исследуются аппроксимативные свойства их частичных сумм. Главной преимуществом новых специальных рядов, соответствующие заданному г € N5 является то, что их частичные суммы интерполируют исходную функцию в точках 0, 5,..., (г — 1)£. В третьей главе исследуются различные алгебраические и асимптотические свойства системы функций {Сс^п(х)}'::=0. Получены достаточные условия равномерной сходимости на отрезке [0, А] ряда Фурье по системе {£"п(ж)}:"=0 к функции / го пространства при | < р < 4.

Одной из особенностей соболевских скалярных произведений является то, что они содержат в себе слагаемые, позволяющие «контролировать» пове-

дение соответствующих ортогональных функций в заданных точках области ортогональности.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получена поточечная оценка сверху для функции Лебега частичных сумм Фурье по модифицированным полиномам Мейкснера(х).

2. Построены специальные ряды по полиномам т(Цм (х).

3. Исследованы аппроксимативные свойства частичных сумм специального ряда по полиномам (х). В частности, исследовано поведение соответствующей функции типа Лебега.

4. Получены рекуррентные соотношения для функций С(^п(х)7 ортонор-мированных по Соболеву и порожденных функциями Лагерра.

5. Получены достаточные условия равномерной сходимости на отрезке [0, А] ряда Фурье по системе {£"п(х)}ТО=0-

6. Исследованы асимптотические свойства функций С® п(х) при п ^ то их Е [0, то).

7. Получены оценки, аналогичные оценкам для функций Лагерра.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. При этом, полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении дифференциальных (разностных) уравнений спектральными методами, обработке дискретной информации и т.д.

Степень достоверности

Все результаты, полученные в диссертации, опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и не противоречат результатам других авторов по данной тематике.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

• 18-я международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 27 января - 3 февраля 2016 г.),

• XIV-я Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, с. Цей, 03-08 июля 2017 г.),

• 19-я международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 90-летию со дня рождения академика П.Л. Ульянова (Саратов, 29 января - 2 февраля 2018 г.),

• XIV-я Владикавказская молодежная математическая школа «Математический анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, с. Цей, 16-21 июля 2018 г.),

• XV-я Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, с. Цей, 15-20 июля 2019 г.),

• 20-я международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 28 января - 1 февраля 2020 г.),

а также на семинаре по комплексному анализу в МИАН (семинар Гончара) и семинарах отдела математики и информатики Дагестанского федерального исследовательского центра РАН.

Публикации. Основные результаты работы изложены в 14 печатных изданиях [47-60], из которых 7 работ [47-53] изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 0 и тезисах и материалах конференций [54-59].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объём диссертации - 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Содержание первой главы

В первой главе диссертации исследуются аппроксимативные свойства рядов Фурье по полиномам Мейкснера (х), ортогональным на сетке

06 = {0Д 26,...}.

Классические полиномы Мейкснера (х) = (х,д)7 ортогональные при 0 < д < 1, а > — 1 па сетке Ъ+ = {0,1,...} относительно веса р(х) = р(х,а,д) = ГГ(++1)1) (1 — я)°'+1? впервые были введены в работе Л. Ме1хпег [8]. Эти полиномы находят приложения в различных задачах спектральной теории оценивания [61], идентификации параметров систем [62], приближенного вычисления интегралов [63] и др.

В последнее время теория этих полиномов также находит применение, в частности, в задачах, связанных с приближением дискретных функций, заданных на равномерных сетках с шагом 6 и медленно стремящихся к пулю при х — +:. Такие задачи, в частности, возникают при обработке и сжатии временных рядов. Для приближения таких функций удобно пользоваться модифицированными полиномами Мейкснера (х), ортогональными при а > — 1 на сетке 0$ с весом р^(х) = р(Ых, а, е~6).

В первой главе вводится пространство С(0$) дискретных функций / (х), заданных на 0$ и таких, что

Нш |/(х)1е 2 = 0.

х—

Норму в С) мы можем определить с помощью равенства

Ц/Цад) = sup е-f1 /(ж)|.

x<Eqs

Так как для а > —1,1 < р < 2 имеет место вложение С(Q§) С где

i р

V>N = [f :Пд ^ R, ||/||^ = I Е If(x)IPPN(х)) < то}, то для f G С(Qs)

\xeQg

можно определить коэффициенты Фурье

fk = Е f^X*(t)PN(t) (1)

teQs

и рассмотреть ряд Фурье по системе полиномов [m^N (х)}ТО=0

то

f(x) fkmk,N(х),

где т^ N (ж) - ортонормированный полином Мейкснера степени к.

ляется анализ последовательности коэффициентов Фурье к = 0,1,.... Если, начиная с некоторого номера к все коэффициенты достаточно

стичная сумма его ряда Фурье:

п

(х) = (f,x) = ^jfk mk,N (х).

к=0

эффициенты Фурье к = 0,1,... ,п. При такой замене исходного сигнала / на частичную сумму (ж) его ряда Фурье естественно возникает задача об оценке разности |/(х) — (х)|. Это одна из важнейших теоретических задач, которая возникает при решении практических проблем, связанных с обработкой, сжатием и хранением дискретной информации.

Остановимся на этой задаче более подробно. Для этого нам понадобятся некоторые сведения о модифицированных полиномах Мейкснера (ж).

Пусть а > —1, N > 0 <5 = 1, Я = & 5

Ря (X) = р(Мх,а,е-') = е-х Г(^+ + +)1) (1 — е"' Г+1

Полиномы (х), п = 0,1,... при а > —1 образуют ортогональную систему на сетке 0$ = {0, 5, 25,...} относительно веса р^(х), т.е.

Мп,м(х)Мк,м(х)Рм(х) = Н^х5пк,

х£О$

где 5пк - символ Кронекера,

Нап.м = С' + аУ"Г(« + 1).

п

Соответствующие ортонормированные полиномы мы обозначим через

тп,м(х) = (Нп,м) 2 (х).

Используя (1), величину (х) можно представить в виде

^ а, х) = ^ / (I, х)рм (г), (2)

где (Ь,х) величина, определенная равенством (1.6).

Будем приближать функции / € С (0§) суммам и (х). Для этого введем величину наилучшего приближения Еп(/, 5):

Еп(/,5) = рЫп — рп\\с(О,),

где инфимум берется по всем алгебраическим полиномам рп степени < п. Так как (рп) = рт то

е"2| /(х) — (¡,х) | <

! 11 (х) — Рп(/,х)1 + е~! | (рп — /,х)1 . Отсюда и из (2) получаем

е"* | /(х) — (¡,х) | < Еп(/,5)(1 + АащМ(х)),

17

где

К»(ж) = £ е-ч* ^ + +)1) (1 — е-г1 а, ж) |,

ге п

з

(Ъ ,х) = (х)тк,М (£).

к=0

Последнее неравенство, обычно называемое неравенством Лебега, для системы модифицированных полиномов Мейкснера, показывает связь ве-

стичпой суммой (ж), с наилучшим приближением Еп(/, 5). Следовательно, аппроксимативные свойства линейных операторов (ж) существенно зависят от поведения функции Лебега Л^(ж) при п, N ^ то. Это проблема, хорошо исследованная для всех классических (непрерывных и дискретных) ортогональных систем. В случае полиномов Мейкснера это задача исследована в работе [16] при п = 0(N) и а = — 2- В первой главе настоящей диссертации мы обобщаем этот результат на случай а > —1. При оценке величины Л" ^(ж) для п = 0(N) и а > —1 основополагающую роль играют весовые оценки для полиномов М^ (ж) и следующие вспомогательные утверждения, доказанные в пункте 1.3.

Лемма 0.1. Пусть п > 1. Тогда справедливо равенство

ап

(х, у) = — т^(ж)т^(у)+

ап + ап—1

+п+п—1 6 1 [тщК(У) (тп+1,м(ж) — тп—1,М(ж))

ап + ап—1 е6/2 — е—6/2 у — ж

~тп,М(ж) (тп+1,м(У) — тп—1,м(У)) ] .

- I

Лемма 0.2. Пусть —1 <а е М, и = 4п + 2а + 2, Х> 0, г > 0, N = 1/5, 0 < 5 < 1. Тогда для 1 < п < XN имеет место следующая оценка

(Ъ, г) < с(а,Х)п1—а(Аап(Ъ))2.

Лемма 0.3. Пусть —1 <а € К, V = 4п + 2а + 2, \ > 0, и/2 < г < 3и/2, N =1/5, 0 <5 < 1. Тогда для 1 < п < ХМ имеет место следующая

оценка

е~ (г, г) < с(а,Х)п

Теперь сформулируем основные результаты главы 1. При этом будем считать, что а > —1, 0 <5 < 1,1 < п < ХЩ X > 0 V = 4п + 2а + 2.

Теорема 0.1. Пусть х € [0, 3]. Тогда имеют место следующая оценка

— 1 < а < — 2,

(х) < с(а,х) <

1п(п + 1), а = — 2,

П 2 ,

а > — 2.

Теорема 0.2. Пусть х € [3, 2]. Тогда, и,м,еют место следующая оценка,

Кы(х) < с(а,Х)

\и(пх + 1), 1п(п + 1) + (§)

1

2 + 4

— 1 < а < — 2,

а > — 2.

Теорема 0.3. Имеют место следующие оценки,:

1) если х € [2, %], то

(х) < с(а,Х)

\и(п + 1) +

(

и

V1/3 + 1х — V |

)

1/4

2) если, х € [Щ-, :), то

Кк(х) < с(а,Х)п3/2е~х/4.

1

Содержание второй главы

При решении различных прикладных задач возникает необходимость приближения функций так, чтобы приближающий аппарат совпадал с исходной функцией в одной или нескольких точках заданной сетки. Как было

отмечено выше, частичные суммы ряда Фурье по ортогональным полиномам таким свойством не обладают. В связи с этим в работах И.И. Ша-рапудинова и его учеников были введены новые ряды, лишенные этого недостатка. В частности, в работах [18,19] были введены предельные ряды по ультрасферическим полиномам Якоби и полиномам Мейкснера соответственно.

Вторая глава диссертации посвящена специальным рядам по полиномам (х) и аппроксимативным свойствам их частичных сумм. Эти ряды являются обобщением предельных рядов по полиномам (х), введенных в работе [19]. Приведем определение специального ряда по полиномам т^м(х). С этой целью через 12,и(О) обозначим пространство функций /(х), заданных на О и таких, что

22/2(х)Кх) < ж.

хеО

Мы рассмотрим случай, когда 0 = 0$ = {0,£, 2 £,...}, 6 = 1/^ р,(х) = Рм(х) = р(Ых,а, е-5). Пусть ((х) е ), тогда при х е 0Г,6 =

{г5, (г + 1)£,...} мы можем определить дискретный аналог полинома Тейлора следующего вида

г—1

Рг-1,М(х) = £ ^^И

(х) =

^ V!

V=0

где А0((х) = ((х), Д\((х) = ((х + £) -((х), (х) = (Д^-1 ((х)). Легко проверить, что функция (г(х) = ^^/(д-!'принадлежит пространству (Пг,3) где р^г(х) = р(М(х - гб), а, е-6) Так как модифицированные полиномы Мейкснера Мг(х) = (х - г5) (к = 0,1,...) при а > -1 образуют ортонормированный базис в 12,РИг (Ог,б) с весом (х), то для функции (г (х) мы можем определить коэффициенты Фурье

((1) - Рг-1^N (I)

tеОrtg tеОrtg

22 (*)тк,М,г й =22 N-г(т)[г] Р^Г (1)ткЖг й

„ „ v /

и ряд Фурье по системе полиномов (ж)}ТО=0:

то

¿г (ж) = тк:М,г (ж),

к=0

который в силу базиспости в 12,РМг (&г,5) системы модифицированных полиномов Мейкснера ткКг(ж) (к = 0,1,...) сходится для любого ж е Таким образом, для функции ¿(ж) мы можем написать равенство

то

¿(ж) = Рг—1 Д(ж) + N—г(^ж)[г] т%кгГ(ж), ж е п6. (3)

к=0

Ряд (3) мы будем называть специальным рядом функции ¿(ж) по системе полиномов {т^N г(ж)}ТО=0- Частичную сумму ряда (3) обозначим через

п

3Щ+г,м (^, ж) = Рг—1 ,м (ж) + N— ¿г,к т(к1м,г (ж).

к=0

Отметим два важных свойства сумм (¿,ж)\

• для п > 1 и ж е {0, 5, 25,..., (г — 1)£} справедливы равенства

3'п+г N(¿, ж) — ¿(ж) ,

• если ¿(ж) = рп+г(ж) - алгебраический полином степени < п + г, то

3п+г,М (Рп+г, ж) = Рп+Г (ж). Далее, обозначим через дп+г (ж) алгебраический полином степени п + г, для

которого Дг¿(0) = Дгдп+Г(0) (г = 0,г — 1). Тогда

1 (!(ж) — 3п+г^,ж)1 = \(1(ж) — 0_п+г(ж) + 0_п+г(ж) — 3п+г,м ((^,ж) \ <

| ¿(ж) — Цп+г (ж) |

+ \ 3п+г. N(Яп+г — ¿,ж) \ .

Отсюда для ж е ^г,б

СС Т I 1 I I СС Т I 1

е—2ж—2+4 | ¿(ж) — (а, ж) \ < е—2ж—2+4 | ¿(ж) — цп+г (ж)| +

е 2x 2+1 (qn+r — d,x) \ . (4)

Так как Pr—1:N(qn+r — d,x) = 0, то

6 2 x 2 1 \ Snn,r n (Qn+r di x) \

е-!ж-2+—r (Nx)[r]

J2( Qn+r d)*k mk,N (x — Г 5)

k=0

<

= e"2x" 2+1 (Nx)r^ £ 19n+((NitJ(t)l pN.r(t)K,N (t — ^x — Г i)| . (5)

+1

(N Положим

Щ(d, S) = inf sup e 2x 2+4 |d(x) — qk(x)| , (6)

ik xeQr,s

k( x)

< к, удовлетворяющих условиям А^(0) = Агqk(0) (i = 0,r — 1). Тогда из (4) и (5), учитывая (6), получаем

e-fx"2+1 \d(x) — S*+r.N(d,x)\ < Ern+r(d, S)(1 + (x)), (7)

где

CN(x) = e-*x~2+4(Nx)^ x

V е"2^ ^ - 4 Г(Ш -Г + а + 1) (1- е~6)а+1 \К°„Ц -гб х- г5) \ ^ (Nt)ИГ(т -г + 1) (1 е ) \ ЫмV гд,х гдЦ .

В связи с неравенством (7) возникает задача об оценке функции Лебега См(х) при п < Х^ ^ > 1 х Е [г5, ж).

При этом, как и в первой главе, разобьем полуось [г5, ж) на следующие множества: Х2 = [г5, 37], Х2 = [37, |], Х3 = [|, 3т], Х4 = [3г, ж). Будем оценивать функцию (х) отдельно на каждом Хг)г =1, 2, 3,4. Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 0.4. Пусть г Е N г — 2 < а < г + 2^ = 4п + 2а + 2,\ > 1,п < XN. Тогда имеют место следующие оценки,:

1) если х Е Х1 то

1ап"к (х) < с(а,А, г)

2) если х Е Х2, то

1ап*н (х) < с(а}\} г)

3) если х Е Х3? то

1п(п + 1), а = г, 1 + па~г, а = г,

сх — I

1п(1 + пх) + (П) 2

Слт(х) < c(а,x, г)

1п(п + 1) +

(

V1 + \х — и\

)

4) если х Е Х4, то

1пм(х) < с(а,Х, г)п 2+4х2+4е 4.

4

Содержание третьей главы

В третьей главе данной работы исследуются алгебраические и асимптотические свойства функций С^п(х), п = 0,1,..., г Е М, ортонормирован-ных относительно соболевского скалярного произведения

г—1

■>00

<1,9) = Е } (0)9м (0) + /(г) (х)д(г) (х)йх. (8)

и порожденных функциями Лагерра {Сап (х)}':^={).

Соболевские скалярные произведения характеризуются тем, что они включают в себя слагаемые (массы), которые «контролируют» поведение соответствующих ортогональных функций в одной или нескольких точках

х = 0

Это обстоятельство имеет важное значение для некоторых приложений,

в которых требуется, чтобы значения частичных сумм ряда Фурье функции /(х) по рассматриваемой системе ортогональных функций совпадали в концах отрезка [ а, Ь] с её значениями /(а) и /(Ь). Заметим, что обычные ортогональные с положительным на промежутке (а, Ь) весом полиномы этим свойством не обладают.

В работах И.И. Шарапудинова [42,44,45] разработан один из методов построения таких систем, ортонормированных в смысле Соболева относительно скалярного произведения

Г-1 п ь

<1,9) = Е ^) (а)9(") (а) + / /(г) (х)д(г) (х)р(х)(х, (9)

^=0

ряды Фурье по которым обладают вышеупомянутыми свойствами. Для этого выбирается система интегрируемых функций {фк}ь=05 которая в обычном смысле ортонормирована относительно веса р(х):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаджимирзаев Рамис Махмудович, 2023 год

Литература

1. Чебышев П.Л. О непрерывных дробях (1855) // Полное собрание сочинений. Издательство АН СССР. 1947. Т. 2. С. 103-126.

2. Чебышев П.Л. Об одном новом ряде // Полное собрание сочинений. Издательство АН СССР. 1947. Т. 2. С. 236-238.

3. Чебышев П.Л. Об интерполировании по способу наименьших квадратов (1859) // Полное собрание сочинений. Издательство АН СССР. 1947. Т. 2. С. 314-334.

4. Чебышев П.Л. Об интерполировании (1864) // Полное собрание сочинений. Издательство АН СССР. 1947. Т. 2. С. 357-374.

5. Чебышев П.Л. Об интерполировании величин равноотстоящих (1875) // Полное собрание сочинений. Издательство АН СССР. 1948. Т. 3. С. 66-87.

6. Charlier С.V.L. Uber die Darstellung willkürlicher Functione // Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik. 1905. T. 2. C. 1-32.

7. Krawtchouk M.F. Sur une generalisation des polynomes d Hermite // Comptes Rendus de 1 Acad. des. Sc. Paris. 1929. № 189. C. 620-622.

8. Meixner J. Orthogonale Polynomsysteme mit einer besonderen Gestalt der erzeugenden Function // Journ. of the London Mathematical Sociate. 1934. № 9. C. 6-13.

9. Hahn W. Uber orthogonalpolynomsisteme, die q-Differenzengleihungen genügen // Math.Nachr. 1949. № 2. C. 4-34.

10. Weber M., Erdeleyi A. On the finite difference analogue of Rodrigues formula // Amer. Math. Month. 1952. T. 59. C. 163-168.

11. Karlin S., McGregor J.L. The Hahn polnomials, formulas and an application // Scripta Math. 1961. T. 26. C. 33-46.

12. Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования. Б-ка кибернетического сборника. Москва: Мир, 1976. С. 134. (Пер. изд. Delsarte, P. An algebraic approach to the association schemes of codding theory CN. V. Philips' Gloeilampenfalrieken, 1973).

13. Askey R., Wilson J.A. A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6j-symbols // SIAM J. Math. Anal. 1979. T. 10. C. 1008-1016.

14. Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной. Москва: Наука, 1985. С. 215.

15. Шарапудипов И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала: Изд-во Даг. гос. пед. ун-та, 1997. С. 255.

16. Гаджиева З.Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкснера. candthesis. Сарат. гос. ун-т, Саратов, 2004.

17. Шарапудинов И.И. Некоторые специальные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78, № 5. С. 201-224.

18. Шарапудинов И.И. Предельные ультрасферические ряды и их аппроксимативные свойства // Матем. заметки. 2013. Т. 94, № 2. С. 295-309.

19. Султанов Э.Ш. Предельные дискретные ряды Мейкснера и их аппроксимативные свойства // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 29-32.

20. Althammer P. Eine Erweiterung des Orthogonalitatsbegriffes bei Polynomen und deren Anwendung auf die beste Approximation // J. Reine Angew. Math. 1962. T. 211. C. 192-204.

21. Bavinck H., Meijer H.G. Orthogonal polynomials with respect to a symmetric inner product involving derivatives // Appl. Anal. 1989. T. 33. C. 103-117.

22. On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products / A. Iserles, P.E. Koch, S.P. Norsett [h ^p.] //J. Approx. Theory. 1991. T. 65, № 2. C. 151-175.

23. Meijer H.G. Laguerre polynomials generalized to a certain discrete Sobolev inner product space //J. Approx. Theory. 1993. T. 73, № 1. C. 1-16.

24. Marcellan F., Alfaro M., Rezola M.L. Orthogonal polynomials on Sobolev spaces: old and new directions // J. Comput. Appl. Math. 1993. T. 48, № 1-2. C. 113-131.

25. Lopez G., Marcellan F., Van Assche W. Relative asymptotics for polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product // Constr. Approx. 1995. T. 11, № 1. C. 107-137.

26. Kwon K.H., Littlejohn L.L. The orthogonality of the Laguerre polynomials

(x) for positive integers k // Ann. Numer. Anal. 1995. T. 2, № 1-4. C. 289-303.

27. Bavinck H. On polynomials orthogonal with respect to an inner product involving differences //J. Comput. Appl. Math. 1995. T. 57, № 1-2. C. 1727.

28. Perez T.E., Pinar M.A. On Sobolev orthogonality for the generalized Laguerre polynomials //J. Approx. Theory. 1996. T. 86, № 3. C. 278-285.

29. Martinez-Finkelshtein A, Moreno-Balcazar J.J. Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials for a Jacobi weight // Methods Appl. Anal. 1997. T. 4, № 4. C. 430-437.

30. Марчелан Ф., Осиленкер Б. П. Оценки полиномов, ортогональных по отношению к скалярному произведению Лежиндри Соболева // Матем. заметки. 1997. Т. 62, № 6. С. 871-880.

31. An asymptotic result for Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials / F Marcellan, H.G Meijer, Т.Е. Perez [и др.] // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1997. T. 87. C. 87-94.

32. Martinez-Finkelshtein A. Asymptotic properties of Sobolev orthogonal polynomials // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998. T. 99, № 1-2. C. 491-510.

33. Kwon K.H., Littlejohn L.L. Sobolev orthogonal polynomials and second-order differential equations // Rocky Mountain J. Math. 1998. T. 28, № 2. C. 547-594.

34. Moreno A.F., Marcellan F., Osilenker B.P. Estimates for polynomials orthogonal with respect to some Gegenbauer-Sobolev type inner product // J. Inequal. Appl. 1999. T. 3. C. 401-419.

35. Marcellan F., Quintana Y., Urieles A. On the Pollard decomposition method applied to some Jacobi-Sobolev expansions // Turkish J Math. 2013. T. 37. C. 934-948.

36. Fejzullahu B.X., Marcellan F. A Cohen type inequality for Gegenbauer-Sobolev expansions // Rocky Mountain J. Math. 2013. T. 43. C. 135-148.

37. Marcellan F., Xu Y. On Sobolev orthogonal polynomials // Expo. Math. 2015. T. 33, № 3. C. 308-352.

38. Осиленкер Б.П. О линейных методах суммирования рядов Фурье по многочленам, ортогональным в дискретных пространствах Соболева // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56, № 2. С. 420-425.

39. Ciaurri О., Minguez J. Fourier series of Gegenbauer-Sobolev polynomials // SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 2018. T. 14, 11 c.

40. Ciaurri O., Minguez J. Fourier series of Jacobi-Sobolev polynomials // Integral Transforms and Special Functions. 2019. T. 30, № 4. C. 334-346.

41. Магомед-Касумов М.Г. Система функций, ортогональная в смысле Соболева и порожденная системой Уолша // Матем. заметки. 2019. Т. 105, № 4. С. 545-552.

42. Шири пули нов И.И., Шарапудинов Т.И. Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Чебышева, ортогональными на сетке // Изв. вузов. Матем. 2017. Т. 8. С. 67-79.

43. Шарапудинов И.И. Специальные ряды по полиномам Лагерра и их аппроксимативные свойства // Сибирский математический журнал. 2017. Т. 58, № 2(342). С. 440-467.

44. Шарапудинов И.И. Системы функций, ортогональные по Соболеву, ассоциированные с ортогональной системой // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Т. 82, № 1. С. 225-258.

45. Шарапудинов И.И. Ортогональные по Соболеву системы функций и задача Коши для ОДУ // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83, № 2. С. 204-226.

46. Шарапудинов И.И. Ортогональные по Соболеву системы функций и некоторые их приложения // Успехи математических наук. 2019. Т. 74, № 4(448). С. 87-164.

47. Гаджимирзаев P.M. Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 4. С. 388-395.

48. Гаджимирзаев P.M. Аппроксимативные свойства специальных рядов по полиномам Мейкснера / / Влили каик, матем. журн. 2018. Т. 20, № 3. С. 21-36.

49. Gadzhimirzaev R. M. Approximative properties of Fourier-Meixner sums // Пробл. инил. Issues Anal. 2018. T. 7(25), № 1. C. 23-40.

50. Gadzhimirzaev R. M. Sobolev-orthonormal system of functions generated by the system of Laguerre functions // Пробл. анал. Issues Anal. 2019. T. 8(26), № 1. C. 32-46.

51. Гаджимирзаев P.M. Оценка функции Лебега сумм Фурье по модифицированным полиномам Мейкснера // Матем. заметки. 2019. Т. 106, № 4. С. 519-530.

52. Гаджимирзаев P.M. Интегральные оценки многочленов Лагерра с экспоненциальным весом // Изв. вузов. Матем. 2020. Т. 4. С. 16-25.

53. Gadzhimirzaev R.M. Approximation of discrete functions using special series by modified Meixner polynomials // Сиб. электрон, матем. изв. 2020. T. 17. С. 395-405.

54. Гаджимирзаев P.M. Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 18-й международной Саратовской Зимней школы. Саратов: 2016. С. 102-104.

55. Гаджимирзаев P.M. Специальные ряды по полиномам Мейкснера и их аппроксимативные свойства // Математический анализ и матема-

тическое моделирование: Тезисы докладов XII региональной школы-конференции. Владикавказ: 2016. С. 7-8.

56. Гаджимирзаев P.M. Аппроксимативные свойства сумм Фурье-Мейкснера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 19-й международной Саратовской Зимней школы. Саратов: 2018. С. 98-101.

57. Гаджимирзаев P.M. Система функций, ортонормированная по Соболеву и порожденная системой функций Лагерра // Математический анализ и математическое моделирование: Материалы XIV-и Владикавказской молодежной математической школы. Владикавказ: 2018. С. 11-12.

58. Гаджимирзаев P.M. Асимптотические свойства функций, порожденных функциями Лагерра // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: Тезисы докладов XV международной научной конференции. Владикавказ: 2019. С. 72-74.

59. Гаджимирзаев P.M. Приближение дискретных функций специальными рядами по липомам Мейкснера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 20-й международной Саратовской Зимней школы. Саратов: 2020. С. 108-111.

60. Гаджимирзаев P.M. Приближение функций, заданных на сетке {0, 5, 2£,...} суммами Фурье - Мейкснера // Дагестанские электронные математические известия. 2017. Т. 7. С. 61 - 65.

61. Перов В.П. Прикладная спектральная теория оценивания. Наука, 1982. С. 255.

62. Gimlin D.R., Keys R.G., Keener М. S. The Mean-Square Error for a Recursive Moving Polynomial Predictor // Ieee transactions on systems, man and cybernetics. 1979. T. 9, № 4. C. 301-304.

63. Шарапудинов И.И. О применении многочленов Мейкснера к приближенному вычислению интегралов // Изв. вузов. Матем. 1986. Т. 2. С. 80-82.

64. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека. Москва: Наука, 1974. С. 297.

65. Сеге Г. Ортогональные многочлены. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. С. 500.

66. Суетин П.К. Классиеческие ортогональные многочлены. 2 изд. Москва: Наука, 1979.

67. Брычков Ю.А. Специальные функции. Производные, интегралы, ряды и другие формулы. Справочник. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. С. 512.

68. Erdelyi A. Asymptotic forms for Laguerre polynomials //J. Indian Math. Soc. 1960. T. 24. C. 235-250.

69. Jeffreys H., Jeffreys B.S. Methods of mathematical physics. 3 изд. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1956.

70. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series // Amer. J. Math. 1965. T. 87. C. 698-708.

71. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 810.