Способы определения показателей стохастического резонанса для разных систем и аддитивных смесей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Табакова Анастасия Сергеевна

• Табакова Анастасия Сергеевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Табакова Анастасия Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЗОР СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ ПРОГНОЗИРУЕМОГО ЯВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА

1.1 Описание явления стохастического резонанса, его физический смысл

1.2 Параметры входных и выходных сигналов. Варианты аддитивных смесей сигнала и шума

1.3 Показатели явления стохастического резонанса. Системы, работающие в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса

1.4 Выводы

2 СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА

2.1 Математическая модель системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции Ляпунова

2.2 Математическая модель системы, использующей осциллятор с кубической нелинейностью

2.3 Способы определения показателей стохастического резонанса при цифровой обработке разных аддитивных смесей

2.4 Выводы

3 ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ АДДИТИВНЫХ СМЕСЕЙ

3.1 Проектирование системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции Ляпунова

3.2 Проектирование системы, использующей осциллятор с кубической нелинейностью

3.3 Выводы

4 КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЦИФРОВОЙ

ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

4.1 Компьютерная модель системы, использующей цифровой фильтр на основе мнимой части характеристической функции Ляпунова

4.2 Компьютерная модель системы, использующей осциллятор с кубической

нелинейностью

4.3 Модификация компьютерных моделей для случая воздействия сосредоточенной помехи

4.4 Выводы

5 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

5.1 Исследование компьютерных моделей систем при цифровой обработке аддитивной смеси квазидетерминированного сигнала и «белого» шума

5.1.1 Экспериментальные исследования способа №1

5.1.2 Экспериментальные исследования способа №2

5.1.3 Экспериментальные исследования способа №3

5.2 Исследование компьютерных моделей систем при цифровой обработке аддитивной смеси квазидетерминированного сигнала и сосредоточенной помехи

5.2.1 Экспериментальные исследования способа №4

5.2.2 Экспериментальные исследования способа №5

5.3 Исследование компьютерных моделей систем при цифровой обработке аддитивной смеси случайных сигналов и «белого» шума

5.4 Критерии наличия эффекта стохастического резонанса

5.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Способы определения показателей стохастического резонанса для разных систем и аддитивных смесей»

Актуальность темы исследования.

Как известно, мешающие воздействия ухудшают функционирование различных физических и, особенно, технических систем. В частности, наличие помех затрудняет обнаружение сигнала, снижает качество связи, разрушает передаваемую диагностическую информацию и т.д. В некоторых системах может возникать явление стохастического резонанса (СР), при котором добавление шума усиливает полезный сигнал, и, следовательно, облегчает его обработку. Иными словами, в таких системах воздействие шума становится конструктивным и в присутствии шума система начинает работать лучше, чем в его отсутствии. Наличие шума, например, будет способствовать усилению полезного входного сигнала в составе аддитивной смеси, который является слабым. Эффект СР формируется при добавлении шума определенной интенсивности. С увеличением интенсивности шума до определенного значения эффект стохастического резонанса возникает и присутствует, пока интенсивность шума не достигнет критического значения. При дальнейшем увеличении интенсивности шума эффект СР пропадает. В результате эффекту СР соответствуют некоторые оптимальные значения уровня шума. В условиях СР выходной сигнал системы будет изменяться по закону полезного сигнала.

Появление эффекта СР может быть спрогнозировано в различных классах устройств и систем. Система, работающая в режиме СР, имеет три важных признака: нелинейность; наличие двух временных масштабов; наличие стабильных состояний (система может быть динамической бистабильной или моностабильной, а также нединамической пороговой).

Применение нелинейных систем позволяет использовать положительную роль шума в решении различных задач цифровой обработки сигналов.

Явление стохастического резонанса характеризуется рядом показателей и специальными формами зависимостей параметров системы от интенсивности шума на ее входе. В этой связи особую актуальность приобретает синтез способов

определения показателей стохастического резонанса для систем и устройств в условиях воздействия разных аддитивных смесей.

Основная идея работы состоит в применении способов определения показателей стохастического резонанса для обнаружения сигнала путем увеличения соотношения сигнал/шум в нелинейной системе, состоящей из цифрового фильтра на основе характеристической функции А. Ляпунова и порогового устройства, а также в нелинейной системе, состоящей из осциллятора с кубической нелинейностью, при изменении интенсивности мешающего воздействия.

Степень проработанности проблемы

Несомненные заслуги в изучении явления стохастического резонанса принадлежат таким отечественным исследователям, как В. С. Анищенко и Ю. Л. Климонтович. Первые работы, в которых описано открытие явления стохастического резонанса, принадлежат авторам R. Benzi, C. Nicolis, S. Fauve, В. McNamara. В настоящее время учеными рассмотрены вопросы функционирования различных нелинейных устройств в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса. В частности, известны публикации, в которых описано функционирование триггера Шмитта (В. С. Анищенко, V. I. Melnikov, А. Ю. Гришенцев, А. Н. Казимиров) и статьи, описывающие работу осциллятора Дуффинга (А. К. Иманбаева, Ю. Л. Климонтович, В. В. Зайцев, С. А. Решетняк).

Стохастический резонанс и другие эффекты, индуцированные шумом, имеют большие перспективы использования в физических системах и, особенно, в технических системах. При этом на сегодняшний день фактически отсутствует теория проектирования устройств и систем, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса. Для построения теории, а также для написания инженерных методик проектирования должны быть сформулированы способы определения показателей стохастического резонанса для разных систем и устройств.

Объект исследования: нелинейные системы, реализующие нелинейную цифровую обработку сигналов в условиях возникновения прогнозируемого эффекта стохастического резонанса.

Предмет исследования: прогнозируемое явление стохастического резонанса, возникающее в нелинейных системах цифровой обработки сигналов.

Цель диссертационной работы - предложить новые способы определения показателей стохастического резонанса и показать их реализуемость, при цифровой обработке аддитивных смесей (в частности, при неразрушающем контроле изделий, например, в задачах обработки сигналов акустической эмиссии).

Для достижения сформулированной цели диссертационной работы были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. Произведен анализ систем, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса.

2. Описаны математические модели нелинейных систем, в которых может возникать прогнозируемое явление стохастического резонанса.

3. Предложены способы определения показателей стохастического резонанса для различных систем.

4. Произведено проектирование нелинейных систем.

5. Разработаны компьютерные модели нелинейных систем, в которых может возникать прогнозируемое явление стохастического резонанса.

6. Выполнены экспериментальные исследования, в ходе которых подтверждена эффективность предложенных способов.

7. На основе результатов экспериментов предложены критерии наличия эффекта стохастического резонанса.

Методы исследования. При решении перечисленных задач были использованы: положения общей теории радиотехнических сигналов, математический аппарат статистической радиотехники, теория и методы цифровой обработки сигналов, методы моделирования в пакете прикладных программ МайаЬ, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Впервые предложена математическая модель нелинейной системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции случайных процессов. Впервые предложена математическая модель бистабильной системы, использующей осциллятор с кубической нелинейностью. Предложенные математические модели описывают нелинейные системы в условиях явления стохастического резонанса. Модели показывают увеличение амплитуды составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала (частота сосредоточенной помехи 50000 Гц, частота полезного сигнала 500 Гц) при увеличении интенсивности сосредоточенной помехи в определенном диапазоне.

2. Впервые теоретически установлены и экспериментально подтверждены закономерности увеличения амплитуды составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала в рассматриваемых нелинейных системах, в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса, при воздействии на входе системы аддитивной смеси квазидетерминированного сигнала и помех («белого» шума и сосредоточенной помехи). Для нелинейной системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции случайных процессов, при воздействии «белого» шума увеличение соотношения сигнал/шум на выходе системы по сравнению с соотношением сигнал/шум на входе системы составляет от 10 до 17,9 дБ (от 7 до 22,5 дБ для сосредоточенной помехи) в зависимости от параметров входного полезного сигнала.

3. Впервые предложены способы определения показателей стохастического резонанса в рассматриваемых нелинейных системах. В ходе экспериментальных исследований способов определения показателей стохастического резонанса, впервые установлены критерии наличия эффекта стохастического резонанса в рассматриваемых нелинейных системах. Установлены граничные значения интенсивности «белого» шума, при которых величина соотношения сигнал/шум на выходе нелинейной системы будет иметь значение >3дБ, при этом в системе происходит эффект стохастического резонанса

с различными параметрами входного полезного сигнала. Для системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции случайных процессов, при амплитуде полезного сигнала 0,6 В наличие эффекта стохастического резонанса соответствует граничным значениям дисперсии

«белого» шума в диапазоне от 0,09 до 3,30 В , при амплитуде полезного сигнала

22

0,3 В граничные значения дисперсии «белого» шума составляют 0,28 В и 2,00 В .

Достоверность результатов исследования подтверждается использованием в процессе исследований адекватных физически обоснованных математических моделей, логической обоснованностью выводов и рекомендаций. Адекватность компьютерной модели подтверждена значением относительной погрешности моделирования, не превышающим 5 %.

Теоретическая значимость. Предложенные способы вносят вклад в теорию проектирования устройств, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса. В частности, представленные в работе, способы могут быть использованы для проектирования систем, выполняющих увеличение соотношения сигнал/шум при воздействии различных аддитивных смесей.

Практическая значимость работы заключается в том, что:

1. Предложенные способы позволяют построить теорию проектирования алгоритмов и устройств цифровой обработки сигналов (например, алгоритмов повышения соотношения сигнал/шум), которые будут работать в условиях прогнозируемого (ожидаемого) явления стохастического резонанса.

2. Предложенные модели описывают системы, позволяющие локализовать дефект объекта контроля без определения времени прихода акта акустической эмиссии в сложных случаях (при большой интенсивности шума, или при неразрушающем контроле неоднородных материалов). Применение предложенных моделей будет способствовать уменьшению вероятности ошибок распознавания сигнала акустической эмиссии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель нелинейной системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции случайных процессов. Математическая модель бистабильной системы, использующей осциллятор с кубической нелинейностью. В данных системах в условиях возникновения эффекта стохастического резонанса увеличение интенсивности мешающего воздействия на входе системы способствует увеличению амплитуды составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала. При этом увеличение амплитуды составляющей спектра на частоте полезного сигнала соответствует определенному диапазону изменения интенсивности мешающего воздействия на входе.

2. Закономерности увеличения амплитуды составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала в нелинейных системах при воздействии на входе системы аддитивной смеси квазидетерминированного сигнала и помех («белого» шума и сосредоточенной помехи).

3. Способы определения показателей стохастического резонанса, при цифровой обработке аддитивной смеси квазидетерминированного сигнала и помех («белого» шума и сосредоточенной помехи). Предложенные способы позволяют обнаружить полезный сигнал в составе аддитивной смеси на выходе нелинейной системы путем увеличения соотношения сигнал/шум при изменении интенсивности мешающего воздействия.

ОБЗОР СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ ПРОГНОЗИРУЕМОГО ЯВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА

В данной главе выполнен обзор литературных источников, посвященных анализу функционирования различных устройств и систем в условиях возникновения явления стохастического резонанса. Также в главе рассматриваются используемые параметры входных и выходных сигналов систем и различные показатели данного явления.

1. 1 Описание явления стохастического резонанса, его физический смысл

Термин «СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС» впервые был введен в 1981 году в ряде статей [1, 2], описывающих исследования циклов изменения климата на Земле. Последующие работы [3, 4] показали существование явления стохастического резонанса не только в климатических системах. На сегодняшний день известно, что стохастический резонанс представляет собой фундаментально общее физическое явление [5, 6] и, как эффект, существует в различных сферах жизни. В настоящее время стохастический резонанс подробно рассмотрен в физических [7], биологических [8], химических [9], экономических [10] и социальных системах [11]. Примерами систем, в которых обнаруживается явление стохастического резонанса, являются: ледники на Земле [1, 2]; североатлантический климат [1, 2]; кольцевой лазер [12, 4]; органы чувств у ряда животных (речной рак, сверчок и др.) [13]; системы цифровой обработки изображений [14]; нединамические пороговые системы [15, 16]; биологические и искусственные нейроны [5].

Эффект стохастического резонанса определяет группу явлений, при которых отклик нелинейной системы на слабый сигнал заметно усиливается с ростом интенсивности шума в системе. В условиях возникновения эффекта стохастического резонанса наблюдается усиление слабого сигнала при наложении шума [5, 6]. В данной работе понятие «шум» включает любое внешнее мешающее

воздействие на систему, в том числе помеху. Влияние внутренних шумов системы не рассматривается.

В обыденном понимании любые мешающие воздействия ухудшают функционирование как технических или физических систем, так и биологических. Например, борьба с шумами и помехами является основной задачей во многих областях радиоэлектроники. Стохастический резонанс определяет отклик некоторой системы на слабый сигнал, который существенно усиливается с ростом интенсивности шума. Иными словами, в присутствии шума система начинает работать лучше, чем в его отсутствии [5, 17, 18].

Таким образом, различные классы устройств могут работать в таком режиме, при котором наличие шума будет играть конструктивную роль в их функционировании [19, 20]. Наличие шума, например, будет способствовать усилению полезного входного воздействия, которое является слабым. Признаками устройства [5], в котором может быть спрогнозировано явление стохастического резонанса являются: нелинейность; наличие нескольких стабильных состояний, т.е. система может иметь два или более стабильных состояния, может быть моностабильной динамической, а также может быть нединамической пороговой [15, 16], наличие двух временных масштабов.

Стохастический резонанс является одним из примеров индуцированных шумом эффектов перехода нелинейной системы из одного состояния в другое [5, 6].

Если слабый полезный сигнал или шум воздействуют на нелинейную систему по отдельности, то эффект стохастического резонанса не наблюдается, т.е. усиление слабого полезного сигнала не происходит. При этом если на вход нелинейной системы подана смесь слабого полезного сигнала и шума, явление стохастического резонанса может возникнуть. В частности, может прослеживаться изменение выходного сигнала нелинейной системы по закону слабого полезного входного воздействия [5, 6].

При сложении сигнала с шумом выходной сигнал нелинейной системы будет изменяться по закону полезного сигнала, т.е. шум будет способствовать

усилению слабого полезного сигнала. При этом происходит перетекание энергии шума в энергию полезного сигнала [5]. Для возникновения эффекта стохастического резонанса интенсивность шума должна изменяться в некотором диапазоне. При слишком малой интенсивности шума эффекта стохастического резонанса наблюдаться не будет. Аналогично при слишком высокой интенсивности шума эффект стохастического резонанса также будет пропадать

[5, 6].

Явление стохастического резонанса характеризуется специальными формами зависимостей соотношения сигнал/шум на выходе системы (и ряда других параметров [5, 6]) от интенсивности шума на ее входе. В условиях возникновения эффекта данные зависимости будут иметь формы резонансных кривых. При этом такие резонансные кривые невозможно наблюдать в случае использования линейных систем.

Стохастический резонанс и другие эффекты, индуцированные шумом, имеют большие перспективы использования в физических системах и, в частности, в технических системах [26]. При этом на сегодняшний день фактически отсутствует теория проектирования устройств и систем, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса. Для построения теории, а также для написания инженерных методик проектирования должны быть созданы способы определения показателей стохастического резонанса для разных систем и устройств.

1.2 Параметры входных и выходных сигналов. Варианты аддитивных смесей

сигнала и шума

Пусть аддитивная смесь на входе системы представлена суммой

г (г )= и (г)+ п (г), (1.1)

где и(г) - некоторый полезный сигнал или регулярное входное воздействие на систему; п(г) - «белый» шум (полоса шума превышает полосу пропускания устройства); г - время.

В частности, полезный сигнал может определяться выражением

и (г )= их (г )= е0 + и^т (ю0г + п ) (1-2)

и представлять собой нецентрированный квазидетерминированный сигнал с законом распределения арксинус. Представленный сигнал является моногармоническим, его спектральная плотность мощности сосредоточена в узкой полосе частот около фиксированной частоты (ширина полосы спектра много меньше частоты сигнала). В выражении (1.2) е0 - математическое ожидание сигнала; и0, ю0 - амплитуда и круговая частота сигнала (постоянные величины); п - начальный угол сдвига фазы сигнала (случайная величина с равномерным

законом распределения на интервале -л...+л:). «Белый» шум характеризуется

22

интенсивностью (дисперсией) аш =(аш )вх. При е0=0 сигнал (1.2) становится центрированным, т.е. регулярное входное воздействие на систему будет выражаться в виде:

и (г )= и2 (г )= и^т (ю0г + п ) • (1.3)

Далее в работе будем использовать дискретные мгновенные значения смеси (1.1), определяемые выражением

z (к -Аг) = и (к -Аг) + п (k -А г), (1.4)

где z(k•Аг) - к-ое дискретное мгновенное значение аддитивной смеси сигнала и шума, взятое в момент времени г = г0+кАг при г0 = 0; Аг - интервал дискретизации; и(^Аг) - к-ое дискретное мгновенное значение полезного сигнала; п(кАг) - к-ое дискретное мгновенное значение «белого» шума. Дискретные значения нецентрированного квазидетерминированного сигнала будем задавать в виде

и

1 (к -Аг )= е0 + U0sin

2п — к + п

/

^ д

(1.5)

где /0 - частота сигнала; _/д=1/Дг - частота дискретизации. Аналогично можно определить выражение для дискретного центрированного квазидетерминированного сигнала

и2

(к -Аг )= и ^п

2п — к + п

/

д

(1.6)

Далее в работе в некоторых расчетах используется период сигнала T0=Hf0.

В общем случае определение частоты дискретизации случайного процесса производится в соответствии с выражением [27, 28, 29]

f = 2 • X • /в,

где f - верхняя частота в спектре сигнала; X - дополнительный коэффициент, который принимает любое значение внутри некоторого диапазона (например, внутри диапазона 1...10). В соответствии с работами [29, С.77] значение коэффициента X>1 позволяет с меньшими ошибками расширить применение теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона для различных сигналов из класса случайных процессов. В данной работе коэффициент X будет выбираться в диапазоне 5.500.

В частотной области все характеристики дискретных сигналов и дискретных систем рассматриваются в диапазоне [0; f/2]. И, для анализа частотных характеристик дискретных сигналов и систем в пространстве частот может быть введено понятие нормированной частоты

f = fo/f = fo •At.

При использовании круговой частоты ее нормированное значение будет выражаться в виде

с = 2п • fo/f = ®o/f = С ^At. При этом частотные характеристики дискретного сигнала или дискретной

системы следует рассматривать в области f е[0; 0,5] или со е[0; п].

Далее в работе будут использоваться различные варианты аддитивных смесей полезного сигнала и мешающего воздействия (шума или помехи). Прежде всего, в последующих главах будут применены аддитивные смеси полезного сигнала и «белого» шума (1.1). Для полезного нецентрированного квазидетерминированного сигнала смесь будет определяться выражением

z(t)= ux(t) + n(t) = e0 + U0 sin(ю0 • t + n)+ n(t), для полезного центрированного квазидетерминированного сигнала смесь будет иметь вид

z(t)= и2(t) + n(t) = U0 sin(ю0 • t + n)+ n(t). Вместе с тем, в качестве мешающего воздействия будет использоваться сосредоточенная помеха. В этом случае аддитивная смесь полезного и мешающего воздействий примет вид

z (t )= и (t)+ ип (t),

где un(t) - сосредоточенная помеха, представляющая собой квазидетерминированный сигнал с законом распределения арксинус. Если полезный сигнал не центрированный, то смесь будет определяться выражением

z(t)= e0 + U0 sin (ю0 • t + n) + ип sin(юп • t + n), где ип, юп - амплитуда и круговая частота помехи (постоянные величины). Для центрированного сигнала смесь будет иметь вид

z (t) = U0sin(ю0 • t + n) + Uпsin (юп • t + n).

При использовании дискретных значений смесь нецентрированного квазидетерминированного сигнала и «белого» шума будет определяться выражением

z1(k • At) = e0 + U0 sin

2л—k + n f

+ n

(k • At).

(1. 7)

Если полезный сигнал представляет собой центрированный квазидетерминированый сигнал, то выражение для смеси будет иметь вид

z2 (k • At ) = U0sin

f f Л k+n

f

Ja

+ n

(k •At).

(1.8)

Смесь нецентрированного полезного квазидетерминированного сигнала и сосредоточенной помехи будет определяться выражением

z3 (k • At) = e0 + U0 sin

f

2n—k + n f

Ja

+ Uп sin

' f ' k + n

f

(1.9)

где ^п - частота сосредоточенной помехи. Сосредоточенная помеха характеризуется дисперсией ап2=(ап2)вх=ип2/2. Среднеквадратическое отклонение

сосредоточенной помехи (ап)вх=ап^Un /2.

Для центрированного квазидетерминированного сигнала смесь с сосредоточенной помехой будет определяться формулой

г4 (к • А?) = и0 sin

' / Л к + п

/

д

+ ип sin

к + п

/д д

(1.10)

Далее в работе будут рассмотрены случаи, когда

- частота помехи равна частоте полезного сигнала / =/0;

- частота помехи находится в полосе частот полезного сигнала;

- частота помехи находится за пределами полосы частот полезного сигнала.

Кроме квазидетерменированных сигналов в работе так же будут

проводиться эксперименты со случайными сигналами. Одним из примеров случайного сигнала является сигнал акустической эмиссии (АЭ). АЭ называют излучение акустических волн в процессе перестройки структуры материала. Достаточно быстрое протекание физических процессов изменения структуры в ограниченном объеме материала (пластическая деформация, разрушение, образование и рост трещин, движение дислокаций, фазовые превращения, трение и т.д.) сопровождается излучением акустических волн. В основе анализа параметров сигналов АЭ находятся закономерности распространения акустических волн в различных объектах контроля. В результате разрушения объект контроля переходит в неравновесное состояние. Это приводит к возникновению в нем упругих колебаний, т.е. к АЭ. Таким образом, для появления акустических колебаний среды необходимо, чтобы некоторый процесс проходил с высокой скоростью в ограниченном объеме среды [30]. Актом АЭ называют однократное срабатывание источника колебаний, при этом сигнал АЭ состоит из раздельных импульсов, каждый из которых соответствует одному акту [30].

Пусть функция и3(к-Дг) - дискретный сигнал АЭ, в этом случае аддитивная смесь сигнала АЭ и «белого» шума будет представлена формулой

г5 (к • А?) = и3 (к • А?) + п(к • А?).

(111)

1.3

Показатели явления стохастического резонанса. Системы, работающие в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса

В современных литературных источниках под термином «Система» понимаются «.сложные комплексы взаимосвязанных машин, аппаратов, сооружений и т.п.» (Некрасов С. И., Некрасова Н. А. Философия науки и техники: тематический словарь справочник. Учебное пособие. - Орёл: ОГУ, 2010. - 289 с.). Также в настоящее время система рассматривается, как «... целостная совокупность конечного числа взаимосвязанных материальных объектов (устройств).». При этом «устройство» понимается, как «... составная часть технической системы» (Кириллов Н. П. Концептуальная модель объекта ситуационного управления функциональными состояниями технических систем // Искусственный интеллект и принятие решений. - 2012. - № 4. - С. 61-75.). Также термин «система» используется, чтобы подчеркнуть высокоуровневый характер рассмотрения.

Системы, используемые для преобразования сигналов, имеют самые разнообразные физические характеристики и могут классифицироваться по различным признакам. Важнейшим классификационным признаком является линейность или нелинейность системы. Линейными называются системы, для которых выполняется принцип суперпозиции: реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности. Системы, для которых принцип суперпозиции не выполняется, называются нелинейными. [21, 24].

По заявлению авторов обзора [5, С. 10] «.как качественные, так и количественные характеристики стохастического резонанса будут во многом определяться свойствами конкретных нелинейных систем». В соответствии с работами [5, 6, 31, 32] о наличии явления СР в нелинейных системах говорит следующее:

- наблюдается увеличение коэффициента усиления энергии периодического сигнала;

- увеличивается отношение сигнал/шум на выходе системы;

- для бистабильной системы плотность вероятности времени пребывания системы в одном из стабильных состояний (например, времени пребывания частицы в потенциальной яме в случае физических систем и т.п.) имеет выраженный максимум, соответствующий половине периода полезного сигнала

[5].

Для определения показателей наличия стохастического резонанса будем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Табакова Анастасия Сергеевна, 2025 год

с^ - А/)

0, если у^-А/)<ашр, (1Л8)

где Спор - пороговое значение, которое может задаваться по-разному в зависимости от конкретной задачи. Например, пороговое значение может быть задано в соответствии с выражением

Спор = 1,5 - (ЗуРш )= 1,5 -

г

3

V

Л

X Ь (1 -А/)]2

1=0

У

т.е. для случая импульсной характеристики, показанной на рисунке 1.3,

Спор = 1,5 - (з^ш - (52 + 42 + З2 + 22 +1))= 1,5 - (зТззТ^ш). Если с(А/ А/) =1, то сигнал и(А/А/) присутствует в смеси (1.17), если А/) =0, то сигнал и(А/ А/) в смеси отсутствует.

Графики входных и выходных сигналов цифрового согласованного фильтра при разных значениях интенсивности шума, показаны на рисунках 1.4 - 1.5.

Рисунок 1.4 - Входной сигнал (1.15) цифрового согласованного фильтра (а); аддитивная смесь (1.17) (б); выходной сигнал цифрового согласованного фильтра (в); выходной сигнал порогового устройства (г)

Уровню порога соответствует сплошная линия. Как было сказано ранее, полезный сигнал появляется в разные моменты времени.

Как можно видеть из содержания рисунка 1.4, при небольшой интенсивности шума выходной сигнал согласованного фильтра в момент окончания полезного сигнала значительно превышает установленное значение порога (рисунок 1.4в).

Рисунок 1.5 - Входной сигнал (1.15) цифрового согласованного фильтра (а); аддитивная смесь (1.17) (б); выходной сигнал цифрового согласованного фильтра (в); выходной сигнал порогового устройства (г)

Однако с ростом интенсивности шума аш2, выходной сигнал согласованного фильтра в момент окончания полезного сигнала не будет превышать порог. Такой случай наглядно продемонстрирован на рисунке 1.5в. Выходной сигнал цифрового согласованного фильтра в момент окончания полезного сигнала не превышает уровень Спор. Ввиду этого, пороговое устройство не может обнаружить полезный сигнал на фоне «белого» шума.

Значение (Рс)вых определяется полностью известными значениями полезного сигнала (1.15), а также отсчетами импульсной характеристики (коэффициентами) согласованного фильтра (1.16). Значение (Рш)вых на выходе согласованного

фильтра зависит от значений импульсной характеристики фильтра, а также от дисперсии шума на входе аш2.

В результате для постоянной энергии полезного сигнала значение (Рс)вых также будет оставаться постоянным. При изменении дисперсии шума на входе будет меняться лишь дисперсия шума на выходе. Поэтому соотношение сигнал/шум на выходе цифрового согласованного фильтра может быть представлено в виде

22 ^вых Кк/,

22

где К - некоторая константа. Зависимость Нвых от аш будет представлять собой

22

гиперболу. Пример графика зависимости Ивых от аш для цифрового фильтра с импульсной характеристикой (1.16) при обнаружении сигнала (1.15) в смеси с «белым» шумом приведен на рисунке 1.6.

2

Рисунок 1.6 - Зависимость значения ^вых цифрового согласованного фильтра от

интенсивности шума на его входе

Следовательно, для линейного устройства, а именно, для цифрового согласованного фильтра, рост интенсивности шума будет вызывать монотонное уменьшение соотношения сигнал/шум на выходе. При введении в алгоритм нелинейных операторов (sin, cos, возведение в степень и т.д.), устройство или система, реализующие этот алгоритм, становятся нелинейными [23, 24, 25]. При

использовании нелинейных систем можно получить графики зависимости

2 2

^вых (ош ), в том числе, имеющие форму резонансных кривых.

Наиболее простым примером системы, в которой наблюдается явление стохастического резонанса, является триггер Шмитта [5, 52, 53, 54] при воздействии аддитивной смеси (1.8). При этом «белый» шум в отсутствие полезного сигнала не способен вызвать переходы триггера из одного стабильного состояния в другое [5]. Амплитуда регулярного входного воздействия также настолько мала, что в отсутствие шума переходы системы между стабильными состояниями не происходят [5, С. 8]. В соответствии с работой [5, С. 8] система, в которой может возникать явление стохастического резонанса, имеет два временных масштаба. Первый временной масштаб определяется периодом дискретизации сигнала Д/. Второй временной масштаб соответствует среднему времени перехода системы из одного стабильного состояния в другое. В случае воздействия аддитивной смеси сигнала и шума среднее время между переходами триггера Шмитта из одного стабильного состояния в другое зависит от дисперсии шума на входе. В общем случае можно сказать, что при подаче на вход смеси (1.8) система характеризуется функционалом

= 1/Л/ = Р

где - усредненный период импульсов на выходе триггера Шмитта; / - средняя частота следования импульсов на выходе триггера Шмитта; Р - обозначение функционала. Ввиду этого, изменяя значение интенсивности шума на входе системы можно добиться того, чтобы средняя частота ее выходного сигнала соответствовала частоте полезного сигнала на входе, т.е. в случае триггера Шмитта /0.

В статье [5, С. 8] также указывается, что стохастический резонанс в нелинейных системах имеет более выраженный характер при значительном различии первого и второго временного масштаба, т.е. в случаях, когда Т0>>Д/ или, что тоже самое, /0<</д. Также в тексте [5, С. 14] указано, что при увеличении частоты входного регулярного воздействия эффект стохастического резонанса полностью пропадает. Поэтому для исследования систем с прогнозируемым явлением стохастического резонанса целесообразно выбирать большие значения дополнительного коэффициента X.

В обзоре [5] алгоритм функционирования триггера Шмитта представлен в следующем виде:

Утр (k • М) = sgn(П • y((k -1) • М) - n((k -1) • М) - u2 ((k -1) • M)) (1.19)

где П - порог срабатывания триггера. В данном случае sgn - кусочно-постоянная функция (сигнум-функция) определяется выражением

1, если arg > 0; sgn(arg)= <! 0, если arg = 0;

-1, если arg < 0,

в котором arg - некоторый действительный аргумент. Графики, демонстрирующие возникновение стохастического резонанса, показаны на рисунках 1.7 и 1.8. На вход триггера Шмитта подана смесь (1.8). Значение U0=0,45 В остается постоянным, интенсивность шума меняется, порог срабатывания П установлен равным 0,9 В, //=0,001. Квазидетерминированный сигнал (1.6) является подпороговым, т.е. сам по себе в отсутствие шума он не может вызвать переход триггера из одного стабильного состояния в другое.

Осциллограмма полезного сигнала показана на рисунке 1.7а. При интенсивности

2 2

шума ош =0,08 В триггер совершает переходы из состояния «-1» в состояние «1». Формы входного и выходного сигналов триггера показаны на рисунках 1.7б и 1.7в соответственно. Из рисунков можно видеть, что период срабатывания триггера Шмитта (рисунок 1.7в) совпадает с периодом регулярного сигнала (рисунок 1.7а). На рисунке 1.7г показаны значения временных интервалов между переходами триггера Шмитта из состояния «-1» в состояние «1».

Текущий временной интервал в секундах определяется по формуле Tr=N/Ai, где Nr - количество интервалов дискретизации между переходами триггера Шмитта из состояния «-1» в состояние «1»; r - порядковый номер интервала, r=1, 2, 3...M (M - количество зафиксированных временных интервалов Tr). В соответствии с рисунком 1.7г интервалы Tr сосредоточены около значения, равного периоду регулярного воздействия.

Рисунок 1.7 - Регулярный входной сигнал (а); входной сигнал триггера Шмитта (б); выходной сигнал триггера Шмитта (в); временные интервалы между переходами триггера Шмитта из состояния «-1» в состояние «1» (г)

При дальнейшем увеличении интенсивности шума, например, до значения

22

аш =0,13 В (рисунок 1.8) период переключения триггера Шмитта становится не регулярным (рисунок 1.8в). Временные интервалы между переходами триггера Шмитта из состояния «-1» в состояние «1» также показывают значительный разброс относительно значения периода входного регулярного воздействия (рисунок 1.8г).

Рисунок 1.8 - Регулярный входной сигнал (а); входной сигнал триггера Шмитта при увеличении интенсивности шума (б); выходной сигнал триггера Шмитта (в); временные интервалы между переходами триггера Шмитта из состояния «-1» в

состояние «1» (г)

На рисунке 1.9 представлены зависимости, демонстрирующие появление стохастического резонанса.

О 005 01 015 02 0 25 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25

а) 0=:'в: 6) 0п,:'в: в) 0ш:в:

Рисунок 1.9 - Зависимость соотношения сигнал/шум на выходе триггера Шмитта

от интенсивности шума (а); зависимость коэффициента усиления энергии периодического сигнала от интенсивности шума, при разных значениях частоты внешнего воздействия (б); зависимость коэффициента усиления энергии периодического сигнала от интенсивности шума, при разных значениях

амплитуды входного сигнала (в)

На рисунке 1.9а показан график зависимости соотношения сигнал/шум на выходе триггера Шмитта от интенсивности шума на его входе. Данный график получен по результатам испытаний компьютерной модели, реализующей алгоритм (1.14) при П=0,9 В и и0=0,32 В. На рисунке можно видеть резонансную форму кривой с характерным максимумом. Отчетливо выраженный максимум соответствует некоторому оптимальному уровню шума. При увеличении интенсивности шума на входе отношение сигнал/шум на выходе триггера Шмитта возрастает до максимума и затем спадает. При увеличении частоты периодического сигнала значение соотношения Р1рег/Рш уменьшается.

Аналогичную форму имеет кривая зависимости коэффициента усиления энергии периодического сигнала от интенсивности шума на входе (рисунок 1.9б). Точно также при увеличении интенсивности шума на входе нелинейной системы значение Кр возрастает до максимума и затем спадает. При уменьшении частоты внешнего воздействия максимум усиления сдвигается в сторону меньших значений интенсивности шума, а сам коэффициент усиления увеличивается (рисунок 1.9б). С увеличением амплитуды входного сигнала максимум

уменьшается по величине, смещаясь в сторону меньших значений интенсивности шума (рисунок 1.9в).

Кроме того, при исследовании явления стохастического резонанса рассматриваются графики зависимостей, демонстрирующих эффект синхронизации [5]. Такой график будет демонстрировать наличие диапазона значений уровня шума, в котором средняя частота переключений триггера Шмитта практически остается постоянной и очень близкой к частоте входного регулярного воздействия. Это и есть та область, где можно наблюдать эффект захвата частоты, т.е. для определенных значений (аш2)вх выходной сигнал триггера Шмитта синхронизирован с входным полезным сигналом. Например, явление стохастического резонанса может характеризоваться зависимостями Ц)((аш )вх), при которых средняя частота выходного сигнала равна частоте входного сигнала. Для триггера Шмитта такие области синхронизации по форме кривых соответствуют «языкам Арнольда» [5, 55]. С увеличением соотношения сужаются области синхронизации, а также увеличиваются пороговые значения амплитуды сигнала. Таким образом, при увеличении соотношения эффект синхронизации ухудшается [5].

При исследовании явления стохастического резонанса также используются

2 2

различные зависимости, показывающие разницу между значениями ¿вых и ¿вх

2 2 2

[56]. На рисунке 1.10а представлен график зависимости ¿вых /Нвх =F(hвх ) для триггера Шмитта в условиях возникновения стохастического резонанса. При увеличении интенсивности шума, т.е. при уменьшении ¿вх2 соотношение ¿вых2/^вх2

достигает максимума, а потом идет на спад. На рисунке 10б также показан пример

2 2 2 зависимости ¿вых /^вх =F((Oш )вх).

Явление стохастического резонанса может характеризоваться

вероятностями времени пребывания системы в одном из стабильных состояний

[5]. Для триггера Шмитта существуют такие значения интенсивности шума, при

которых плотность вероятности времени его пребывания в одном из стабильных

состояний содержит ярко выраженный пик, соответствующий половине периода

полезного сигнала. Иными словами, если переключения триггера происходят

синхронно с входным сигналом, то время пребывания системы в одном из состояний равно времени пребывания в другом состоянии и равно половине периода входного регулярного воздействия [5]. При дальнейшем увеличении интенсивности шума эффект синхронизации входного и выходного сигналов триггера пропадает и среднее время, необходимое для переключений, становится гораздо меньшим, чем половина периода [5].

Также для изучения явления могут использоваться статистические характеристики временных интервалов между переходами устройства из состояния «-1» в состояние «1». Пример гистограммы периодов выходного сигнала триггера Шмитта показан на рисунке 1.10в.

а) Л«2 б) в)

2 2

Рисунок 1.10 - Зависимость значения квых /квх от отношения сигнал/шум

2 2

на входе (а); зависимость значения квых /квх от интенсивности шума на входе (б); гистограмма периодов выходного сигнала триггера Шмитта (в)

Еще одним примером нелинейных систем, в которых возникает явление стохастического резонанса, являются нединамические пороговые системы [15, 16]. Детектирование с использованием установленного порога широко используется в разных областях техники (например, в технической и медицинской диагностике, в задачах обнаружения сигналов на фоне шумов [56, 59] и т.д.). Например, известна задача обнаружения импульса на фоне шумов при использовании акустико-эмиссионного метода неразрушающего контроля.

Также примерами пороговой системы является искусственный нейрон (искусственная нейронная сеть) или нейроподобные системы [16], т.к. в них используются пороговые функции активации. С современной точки зрения, искусственный нейрон представляет собой некоторый простой преобразователь, имеющий несколько входов и один выход уин. В устройстве суммирования искусственного нейрона происходит вычисление значения, равного взвешенной сумме входов:

L

д = Wo Wi ■ Х-,

/ =1

где w0, wi - синоптические веса входных переменных х-; L - количество входов технического нейрона. Далее скалярный сигнал д преобразуется в выходной сигнал _Уин с использованием нелинейной функции активации, например, имеющей вид

уин (д)= 1/(1 + е"д ). (1.20)

В зависимости от типа нейронной сети может быть использована та или иная нелинейная функция активации.

В соответствии со статьей [5] в условиях возникновения эффекта СР шумовой сигнал может по своим статистическим свойствам быть близким к «белому» шуму, а может иметь конечное время корреляции и ограниченный спектр.

Кроме приведенных графиков для изучения явления стохастического резонанса в настоящее время рассматриваются следующие характеристики: зависимость мгновенной разности фаз от интенсивности шума [5]; функция когерентности системы [62]; зависимость динамических энтропий системы от интенсивности шума [63]; фазовые портреты систем [57, 64].

Алгоритмы цифровой обработки сигналов (1.19) и (1.20) используют конструктивную роль шума в функционировании системы [65]. Они могут быть применены при создании: устройств и систем, выполняющих увеличение соотношения сигнал/шум; помехоустойчивых систем связи; перспективных

систем радио- и гидролокации, выделяющих слабые сигналы на фоне шумов большой интенсивности.

С учетом всего изложенного выше введем показатели явления СР, которые будут использованы далее в работе. В настоящее время под термином «Показатель» понимается «...явление или событие, по которому можно судить о ходе какого-нибудь процесса» (Толковый словарь русского языка. Том III. Под редакцией Д.Н. Ушакова. М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. 720 с.). В более широком смысле к показателю также относятся данные, по которым можно судить о развитии, ходе и состоянии предмета, процесса, явления и т.д. Показатель является обобщенной характеристикой объекта или явления.

Таким образом, для нелинейной системы в условиях воздействия на нее аддитивной смеси полезного сигнала и шума (помехи) в данной работе будут введены следующие показатели эффекта СР

1. Диапазон значений интенсивности шума на входе системы, при котором возникает явление СР. Данный диапазон также может быть пересчитан в

диапазон значений соотношения сигнал/шум при котором наблюдается СР.

2 2

2. Амплитуда вершины на графике зависимости квых =F((oш )вх). При

этом предполагается, что наблюдается положительный эффект фильтрации, т.е.

к 2/к 2 > 1 ' 'вых 7' 'вх ^ 1 •

3. Значение интенсивности шума на входе системы, которое

22

соответствует положению вершины на графике зависимости квых =F((Oш )вх).

2 2 2

4. Амплитуда вершины на графике зависимости квых /квх =F((Oш )вх).

5. Значение интенсивности шума на входе системы, которое соответствует положению вершины на графике зависимости kвЬIX2/kвх2=F((aш2)вх).

1.4 Выводы

В данной главе рассмотрены вопросы функционирования различных нелинейных устройств и систем в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса. Кроме того, представлены свойства таких устройств и

систем, а также определены показатели явления стохастического резонанса. В частности, показаны графики зависимостей, свидетельствующие о наличии данного явления.

Подводя итоги проведенного обзора литературных источников, можно сформулировать общие выводы о современном состоянии развития цифровых систем, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса.

1. Установлено, что явление СР можно реализовать в бистабильных и моностабильных динамических системах, а также в нединамических пороговых системах.

2. Установлено, что мешающее воздействие во входной аддитивной смеси может представлять собой «белый» шум, либо оно может иметь конечное время корреляции и ограниченный спектр [5].

3. Из анализа литературы установлено, что в условиях явления СР достигается улучшение определенных характеристик информационного сигнала, и, соответственно, изучение явлений, вызывающих периодическое изменение состояний системы под действием шума, является актуальным и перспективным научным направлением.

4. Рассмотренные в главе радиоэлектронные устройства, позволяют утверждать, что явление стохастического резонанса может быть использовано в следующих областях радиоэлектроники:

- фильтрация и другая обработка сигналов (разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов и алгоритмов повышения соотношения сигнал/шум);

- связь (создание помехоустойчивых систем связи);

- радио- и гидролокация (разработка перспективных устройств, выполняющих выделение слабого сигнала на фоне шумов);

- обработка изображений и техническое зрение (создание систем очистки изображений от сильных шумов).

5. Явление стохастического резонанса может быть применено для обработки сигналов, используемых при неразрушающем контроле изделий (обнаружение акустико-эмиссионных импульсов на фоне шумов и др.).

6. В нынешних условиях необходимо создание теории построения алгоритмов цифровой обработки сигналов, использующих явление стохастического резонанса (известные на сегодняшний день сведения о стохастическом резонансе носят характер описания экспериментальных исследований).

7. Необходима разработка инженерных методик проектирования устройств, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса (методик, упрощающих синтез нелинейных устройств, и позволяющих делать инженерные расчеты).

Из всего сказанного выше можно заключить, что для создания теории проектирования систем, работающих в условиях прогнозируемого явления стохастического резонанса, прежде всего, необходимо решить следующие задачи:

- выработать способы определения показателей этого явления для различных устройств и систем;

- выполнить экспериментальные исследования, подтверждающие эффективность выработанных способов.

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКОГО

РЕЗОНАНСА

На основании задач исследования, которые были сформулированы выше, в данной главе предложены способы определения показателей стохастического резонанса для различных устройств и систем. В качестве мешающих входных воздействий рассматриваются «белый» шум и сосредоточенная помеха. В современных литературных источниках, посвященных патентоведению, например, в [66], термин «Способ» рассматривается как «...процесс выполнения действий над материальным объектом с помощью материальных объектов». В качестве результата способ может иметь «...определение состояния предметов материального мира (контроль, измерение, диагностика)» [66]. Также в соответствии с ресурсом [67] способ определяется как «...процесс, направленный на определение свойств предмета с помощью измерения или диагностики».

В случае определения показателей стохастического резонанса способы предполагают формулирование последовательности действий, которая производит испытание различных систем (или их моделей) в условиях воздействия на них определенных тестирующих сигналов (выборок). При испытаниях систем выполняются измерения параметров их входных и выходных сигналов. Результатом предложенных способов будет являться определение того, что в системах возникает (либо не возникает) явление стохастического резонанса.

2.1 Математическая модель системы, использующей цифровой фильтр на основе характеристической функции Ляпунова

Главным признаком систем, в которых возникает явление стохастического резонанса, является их нелинейность. В частности, нелинейной является система, реализующая алгоритм вычисления значений характеристической функции (х.ф.) А. Ляпунова [68, 69]. Данная функция является вероятностной характеристикой

случайного процесса, либо случайной величины [70, 71], и в настоящее время используется для решения различных фундаментальных и прикладных задач.

Если z(k-Ai) - случайный процесс, то в соответствии с работой [56] уравнения фильтрации сигнала будут иметь вид

1 N

Az (V,t) = - X cos[z(k-At) • V], (2.1)

N k=1

1 N

Bz (V, t) = - X sin[ z (k-At) • V], (2.2)

N k=1

где N - объем выборки мгновенных значений аддитивной смеси; V - параметр коэффициента усиления (ослабления) мгновенных значений случайного процесса. Единица измерения параметра V - один разделить на вольт [1/В]. Вероятностную характеристику, обозначенную сверху значком «т», будем называть оценкой этой характеристики. Таким образом, формула (2.1) представляет собой оценку действительной части х.ф., а формула (2.2) - оценку мнимой части х.ф. Значения

/г /v

Az (V, t) и Bz (V, t) выражаются в безразмерных единицах.

При использовании скользящего усреднения уравнения (2.1) и (2.2) могут быть выражены в виде

1 N-1

Az(V,k •At) = - X cos[z((k -1) • At) • V], (2.3)

N l=0

1 N -1

Bz (V, k •At) = - X sin[ z ((k -1) • At) • V ]. (2.4)

N l=0

В соответствии с работами [56, 71] оценки действительной и мнимой части х.ф. могут быть измерены как одновременно, так и независимо друг от друга. Окончательный выбор оценки, как правило, продиктован результатами ее анализа с точки зрения простоты, удобства применения в аппаратуре или математической статистике, надежности свойств [56, 71]. Поскольку в выражении (2.3) присутствует функция cos, то при значении сигнала на входе системы, равном 0, на выходе будем получать оценку, равную 1. Далее для построения систем будет использоваться мнимая часть х.ф., т.е. выражение (2.4), т.к. в мнимой части х.ф. присутствует функция sin, которая подходит для задач данной работы, вследствие

свойства sin(0)=0. Также далее в работе в формуле (2.4) будем использовать значение ¥=1 в соответствии с рекомендациями источника [56]. Например, если

N=10, то для формирования одного значения оценки В2 (¥, к •At) в момент времени к используется «окно» из 10 отсчетов входного сигнала (одного текущего отсчета г(кД) и 9 предыдущих отсчетов). Значения синуса вычисляются для каждого отсчета, попавшего в «окно», т.е. значения синуса вычисляются 10 раз. Затем значения синусов суммируются и делятся на 10. Таким образом, в момент

времени к формируется одно значение оценки В2 (¥, к ^). В следующий момент времени к+1 на входе устройства появляется новый отсчет сигнала 2((к+1)Д{), он становится текущим отсчетом, а самый «старый» отсчет «окна» исключается. Для отсчета сигнала 2((к+1)-Д^ вычисляется значение синуса, а значение синуса самого «старого» отсчета «окна» также исключается. Далее значения синусов снова суммируются и делятся на 10. В результате в момент времени к+1

формируется значение оценки В2 (¥ ,(к +1) • ^) и т.д.

При подаче на вход цифрового фильтра (2.4) последовательности (1.6)

и

,(к •At ) = и ^т

' Г

к + п

!

^ д

сигнал на его выходе будет иметь различную форму в зависимости от значения и0. Формы сигналов на выходе цифрового фильтра с алгоритмом функционирования (2.4) показаны на рисунке 2.1. Анализ формы сигналов позволяет сказать, что, например, при и0=0,4 В выходной сигнал фильтра на рисунке 2.1 по форме соответствует входному сигналу. При возрастании амплитуды и0 до значений п/2 и более форма выходного сигнала начинает отличаться от формы входного сигнала. На рисунке 2.1 также показана форма выходного сигнала фильтра при действии на его входе сигнала амплитудой и0=1,6 В. Амплитуда выходного сигнала при и0=1,6 В на рисунке 2.1 ограничена на уровне ±1 подобно сигналу на выходе ограничителя.

1.5 1

? 05 ■4 о

г.

-0-5 -1 -1.5

0 200 400 600 800 1000 Рисунок 2.1 - Формы сигналов на выходе ЦФ

В результате этого у сигнала на выходе фильтра появилось горизонтальное плато. Для того, чтобы зафиксировать нахождение отсчета сигнала на плато, можно ввести пороги ±П определенного уровня.

На рисунке 2.2 показаны сигналы на выходе ЦФ (2.4) при подаче на вход аддитивной смеси (1.7) при отсутствии «белого» шума, т.е. (аш )вх=0, с различными значениями и0 и е0. Как видно из рисунка 2.2, сигнал на выходе нелинейной системы при и0 = 2,0 В (рисунок 2.2а) и и0 = 2,4 В (рисунок 2.2б) содержит не горизонтальные плато, а «провалы» вершин, которые при увеличении амплитуды сигнала становятся всё глубже. При е0=0 В глубина «провалов» А и одинакова у положительной и отрицательной полуволны периодического сигнала. Если математическое ожидание сигнала е0^0 и равно, например, е0=0,3 В, то форма сигнала становится другой (рисунки 2.2в, 2.2г). Теперь глубина «провалов» вершин у положительной и отрицательной полуволны периодического сигнала разная и равна АВ=Аи+в0.

В статье [5, С. 30] указано, что при исследовании явления стохастического резонанса входные и выходные сигналы системы могут быть ассоциированы с передаваемой информацией. Информация об амплитуде и фазе регулярного сигнала может быть закодирована в переходах системы из одного состояния в другое [5, 72].

/о//д=0?001

Рисунок 2.2 - Сигналы на выходе системы (2.4) при различных значениях и0 и е0

Для ЦФ (2.4) переходы между состояниями можно связать с установлением

/v /v

на его выходе значений В2(¥,к •А!)>П либо В2(¥,к •А!)<-П (см. рисунок 2.1).

/v

Рассмотрим превышения порога П, т.е. случай, когда В2 (V, к •At )>П, и будем их

фиксировать с помощью порогового устройства, работающего в соответствии с выражением

с(к • At) =

1, если В7 (V, к • At) > П;

, 7 (2.5)

0, если В7 (V,к • At) < П.

Таким образом, для обработки аддитивной смеси сигнала и шума далее будем использовать нединамическую пороговую систему, которая последовательно реализует алгоритмы (2.4) и (2.5).

Значение порогового уровня П выбирается не более 1, т.к. амплитуда выходного сигнала ЦФ ограничена на уровне ±1. При этом полезный сигнал является подпороговым, т.е. полезный сигнал имеет такую амплитуду, при

которой значения В7 (V, к • At) не превышают заданный порог П. Если у полезного

сигнала имеется постоянная составляющая, то значение е0 также выбирается с

учетом того, что значения В7 (V, к • А) не должны превышать заданный порог П.

Установим значение порога П=0,8 В и зададим малое значение амплитуды квазидетерминированного сигнала, например, и0=0,6 В. При таком слабом входном периодическом воздействии превышения выходным сигналом фильтра (2.4) порога П наблюдаться не будет. При добавлении «белого» шума определенной интенсивности, т.е при воздействии на входе фильтра (2.4) смеси

( / Л 7 (к -А ) = 72 (к ■At ) = и^т к + п + п(к -А)

V ?д У

выходной сигнал В7 (V, к -А) в некоторые моменты времени будет превышать порог П=0,8 В. Форма сигнала на выходе ЦФ с алгоритмом (2.4) при воздействии смеси (1.8) с параметрами и0=0,6 В, //=0,001, аш=0,574 В показана на рисунке 2.3а. Сигнал на выходе устройства, детектирующего пересечение порога П=0,8 В, показан на рисунке 2.3б. Входной сигнал показан на рисунке 2.3в. На рисунке 2.3 пересечения порога П происходят при поступлении на вход ЦФ положительной полуволны полезного сигнала. Если амплитуда сигнала остается неизменной, т.е. и0=0,6 В, а интенсивность шума возрастает, то пересечения порога П наступают как во время воздействия положительной полуволны регулярного сигнала, так и во время воздействия его отрицательной полуволны. При дальнейшем увеличении аш пересечения порога проиходят хаотично. Таким образом, можно говорить о

том, что в цифровом фильтре с алгоритмом функционирования (2.4) наблюдается явление стохастического резонанса.

Рисунок 2.3 - Выходной сигнал ЦФ (2.4) (а); выходной сигнал порогового устройства (б); регулярный входной сигнал (в)

В соответствии с рисунками 2.3а - 2.3в в последовательности импульсов о(ЬД?) может присутствовать периодичность, т.к. пересечения порога (при определенных соотношениях сигнал/шум на входе системы) происходят с приходом положительной полуволны регулярного сигнала. Спектральный анализ сигнала о(ЬД^ должен показать присутствие или даже преобладание компоненты, соответствующей частоте регулярного сигнала. Гармоника на частоте регулярного сигнала должна присутствовать в спектре сигнала о(ЬД?) даже при малом соотношении сигнал/шум на входе системы. Или, по крайней мере, должна

сохраняться возможность отделения данной гармоники от остальных спектральных составляющих [73].

Спектр последовательности импульсов является дискретным, поэтому можно отслеживать уровень гармоники на частоте регулярного сигнала после выполнения дискретного преобразования Фурье сигнала c(kAt), либо в результате нахождения спектральной плотности мощности сигнала c(kAt). Уровень гармоники на частоте регулярного сигнала будем сопоставлять с уровнями остальных спектральных составляющих (в соответствии с параграфом 1.3).

Найдем выражения, описывающие выходной сигнал нелинейной системы, последовательно реализующей алгоритмы (2.4) и (2.5). Для того чтобы найти выражения будем использовать гармонический анализ. Также далее в главе установим значения V=1; N=5; /=500 Гц; /=50000 Гц; П=0,8. Для упрощения анализа вместо квазидетерминированных сигналов

z(t)= и2(t)+ ип(t)= U0sin(ю0 • t + n) + Uпsin(юп • t + n) в смеси на входе нелинейной системы будем использовать детерминированные сигналы, т.е. смесь z(t) представим в следующем виде

z(t)= d0(t)+ dп(t) = U0 sin(ю0 • t) + Uпsin(юп • t), (2.6)

где d0(t) - полезный (регулярный) детерминированный сигнал; du(t) -сосредоточенная помеха, представляемая в виде детерминированного сигнала. Значения U0, Un, ю0 и юп детерминированных сигналов далее будем считать постоянными величинами кроме особо оговоренных случаев.

Дискретные системы, реализующие алгоритмы (2.4)

i N-1

Bz(V,k • At) = — £sin[z((k -1) • At) • V]

N l=0

и (2.5)

Ч если Bz (V, k •At) > П

с( k •At) =

0, если Bz (V, k •At) < П

заменим их аналоговыми представлениями с использованием амплитудных (проходных) и амплитудно-частотных характеристик. При этом будем считать, что алгоритм (2.4) может быть условно разделен на две части. Первая часть выражения

(2.4) - вычислитель функции синус; вторая часть - суммирование-накопление с делением на N. В результате преобразований структурная схема нелинейной системы в аналоговом представлении будет иметь вид, показанный на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 - Структурная схема нелинейной системы в аналоговом

представлении

На данном рисунке АФП - аналоговый функциональный преобразователь, т.е. вычислитель функции синус; ФНЧ - фильтр нижних частот; АПУ - аналоговое пороговое устройство. Таким образом, с помощью АФП мы условно заменяем АЦП и нахождение функции синуса (первую часть алгоритма (2.4)). Вторая часть алгоритма (2.4) заменена ФНЧ, т.к. операции суммирования-накопления с делением на N по сути представляют собой преобразования, выполняемые фильтром скользящего среднего. В соответствии с работами [78, 79] фильтр скользящего среднего представляет собой фильтр нижних частот. Пороговое устройство, реализующее алгоритм (2.5), и ЦАП заменены АПУ. Иными словами, сигнал c(t) на рисунке 2.4 - это сигнал c(k-At), прошедший через цифроаналоговый преобразователь. Таким образом, необходимо найти выражение для выходного сигнала c(t) при воздействии на входе нелинейной системы сигнала (2.6).

В соответствии с рисунком 2.4 структурная схема состоит из двух нелинейных преобразователей (АФП и АПУ) и одного линейного (ФНЧ). В соответствии с работой [40] связь между входным сигналом z(t) и выходной реакцией нелинейной системы c(t) определяется зависимостью

c(t) = F ( z, t), (2.7)

где z - значение на входе нелинейной системы; F(^) - некоторый нелинейный функционал. При этом предполагается, что нелинейная система и устройства в ее составе являются безынерционным [40]. Выражение (2.7) не должно явно

содержать время [40, С.274]. Таким образом, зависимость (2.7) приводится к виду с = Е(2). В данном случае считается, что значение с на выходе нелинейной системы мгновенно изменяется вслед за изменением значения 2 [40]. Также для упрощения далее будем использовать амплитудные спектры сигналов вместо спектральных плотностей мощности.

Выполним аппроксимацию амплитудных характеристик нелинейных преобразователей с использованием степенных функций [40]. АФП выполняет преобразование входного сигнала в виде

Уафп( 2) =

Амплитудную характеристику АФП аппроксимируем полиномом 3-го порядка, выражаемым в виде

3 2

Уафп( 2) = р3 •(2) + р2 •(2) + р1 •(2) + po, (2-8)

где р0^р3 - коэффициенты полинома. Значения коэффициентов вычисляются с использованием метода наименьших квадратов. Коэффициенты полинома (2.8), вычисленные с использованием функций пакета Ма^аЬ, приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Коэффициенты полинома

Коэффициенты полинома для аппроксимации амплитудной характеристики

АФП

Р3 Р2 Р1 Р0

-0,115 -5,81210-17 0,932 1,16610-17

Аппроксимируем амплитудную характеристику АПУ полиномом 6-го порядка

с(Уфнч ) = а6 ■(Уфнч )6 + а5 ■(Уфнч )5 + а4 ■(Уфнч )4 + (2 9)

+ а3 ■(УфНЧ)3 + а2 ■(УфНЧ)2 + а1 ■(Уфнч) + а0. где уФНЧ - значение на входе порогового устройства; с(уФНЧ) - значения на выходе порогового устройства; а0...а6 - коэффициенты полинома. Как и в случае аппроксимации (2.8), значения а0...а6 вычислены с использованием метода наименьших квадратов. Результаты вычислений коэффициентов а0...а6 представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 - Коэффициенты полинома

Коэффициенты полинома для аппроксимации амплитудной характеристики АПУ

аб а5 а4 аз

-0,222 -0,425 0,524 1,062

а2 а1 а0 —

0,139 -0,214 -0,029 —

Амплитудная характеристика АФП, аппроксимированная с помощью полинома (2.8) показана на рисунке 2.5 а. Амплитудная характеристика АПУ, аппроксимированная с помощью полинома (2.9), представлена на рисунке 2.5б с использованием сплошной линии. Пунктиром на данном рисунке показана амплитудная характеристика идеального порогового устройства с порогом П=0,8.

1 Уфнч

а) б)

Рисунок 2.5 - Аппроксимация амплитудной характеристики АФП (а); аппроксимация амплитудной характеристики АПУ (б)

Таким образом, входное воздействие будет описываться математической моделью (2.6), а преобразования АФП и АПУ будут определяться математическими моделями (2.8) и (2.9) соответственно. Амплитудная характеристика ФНЧ является линейной, поэтому его действие может быть определено с использованием постоянных множителей Ки0 и КиП. В данном случае

Ки0 - коэффициент усиления ФНЧ по напряжению на частоте полезного сигнала; КиП - коэффициент усиления ФНЧ по напряжению на частоте сосредоточенной помехи. Установим значения Ки0=1, КиП =0,65 в соответствии с работами [25, 79]. Полоса пропускания ФНЧ настроена на полезный сигнал и вычисляется как УЛп=2*/д/5 [50].

Как было сказано ранее, для упрощения в данной работе будут использованы амплитудные спектры сигналов вместо оценок спектральной плотности мощности. Соответственно, вместо соотношения сигнал/шум по мощности будем использовать соотношение сигнал/шум по напряжению на выходе нелинейной системы. Данное соотношение определяется по формуле ^вых=5/о/5/п, где J - амплитуда составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала; J - амплитуда составляющей спектра выходного сигнала на частоте сосредоточенной помехи.

Таким образом, для решения задач данной работы необходимо найти выражение, описывающее выходной сигнал системы на рисунке 2.4. Далее следует вывести формулы, позволяющие находить SJo и J хотя бы в упрощенном виде. При этом амплитуды составляющих спектра выходного сигнала должны быть найдены в виде зависимостей Sj0(UIl) и Sj^Un).

Вначале получим выражение, определяющее сигнал на выходе АФП при входном воздействии в виде аддитивной смеси (2.6). Для упрощения математических выкладок в формуле (2.6) введем обозначение фаз колебаний, т.е. перепишем формулу (2.6) в виде

z (t )= U 0 sin (у )+ ^sin (Уп ), (2.10)

где у0 - фаза колебания полезного сигнала; уп - фаза колебания сосредоточенной помехи. Результат подстановки выражения (2.10) в полином (2.8) будет иметь вид

уафп = Рз • (U0 • sin(V0)+ Uп • ^п(Уп))3 + Р2 • (U0 • sin(V0) + Uп • М^п))2 + (2 11)

+ Р! • (u0 • sin(^0 ) + Uп • ^п(Уп )) + Р0.

В результате преобразований формулы (2.11) для выходного сигнала модуля АФП получим следующее выражение

~U 2 0 ~U 2 О

уафп = Po + 02 2 + п2 2 + U0 ■ Р1 ■ sin(^o) + Uп ■ Pi ■ sin(¥n) +

3 3 2

+ 3 ■ Р3 ■ U0 ■ sin(¥o) + 3 ■ Рз ■ ип ■ sin(¥n) U0 ■ Р2 ■ cos(2 ■ Vo)

4 4 2

23

Uп2 ■ Р2 ■ cos(2 ■ уп) U0 ■ Р3 ■ sin(3 ■ у0)

2 4

-Uп ■ Р3 • 7(3 ■ ^ - U0 ■ U п ■ Р2 ■ cos(vo + Уп) +

Л

+ 3 ■ U0 ■ Uп ■ Р3 ■ sin(2 ■ V0 - Уп) + 4

+ U0 ■ Uп ■ Р2 ■ cos(V0 -¥п) + 3■U0 ■Uп ?3 ■ s'n(¥0) +

2

2

2

+ 3 ■ U0 ■ ^ ■ Р3 ■ sin^) 3 ■ U0 ■ Uп ■ Р3 ■ sin(V0 - 2 ■ Уп)

24

2

3 ■U0 ■Uп ■ Р3 ■ sin(V0 + 2 ■ Уп) 3 ■ U0 ■ Uп ■ Р3 ■ sin(2 ■ V0 + Уп)

2

___0_

4 4

(2.12)

Sf п (Un)= 3^Р3 ^U0 ^^ + ^^ + Р1 ■ Un = Л. (2.14)

В выражении (2.12) рассмотрим множители при sin(y0) и sin(Vn) и запишем их в виде функций амплитуды сосредоточенной помехи на входе. Множитель функции sin(vo) будет иметь вид

3 2

Sf0U) = ^^ + 3 ■Р3 ■ U0 ■+ Р, ■ U0 = А, (2.13)

множитель функции sin(Vn) будет определяться выражением

г02 ■ Un + 3^3- U3 2 4

Таким образом, функция Sj0(Uu) определяет амплитуду составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала, а функция Sfn(Un) -амплитуду составляющей спектра выходного сигнала на частоте сосредоточенной помехи. Как видно из выражения (2.13), амплитуда составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала зависит от Uu. Иными словами, изменение значения Uu может способствовать как увеличению, так и уменьшению амплитуды составляющей спектра на частоте полезного сигнала. На рисунке 2.6

показаны графики функций 5/о(ип) (сплошная линия) и 5/п(ип) (пунктирная линия) для и0=0,6 В.

6 о=0:6 В

0.7 0.6 0.5

00

о 0.4

со*

0.3 0.2 0.1

в/п /

V

/

/

Я/о

/ ^^

/

/

/

г

0.5 1 1.5

ип,в

Рисунок 2.6 - Зависимости амплитуд составляющих спектра выходного сигнала АФП от амплитуды сосредоточенной помехи на входе

Как можно видеть из формулы (2.12), сигнал на выходе АФП содержит различные спектральные составляющие, в том числе те, которые соответствуют комбинационным частотам. Далее будем считать, что спектр выходного сигнала АФП содержит только составляющие на частотах ю0 и юп (или /0 и /), т.е. выходной сигнал может быть представлен суммой

У афп = а0 ^п(¥0) + ап^п(уп). (2л5)

Остальными составляющими спектра будем пренебрегать вследствие малых значений их амплитуд.

Для нелинейной системы, показанной на рисунке 2.4, получим выражение для выходного сигнала ФНЧ. Иными словами, найдем выходной сигнал системы из последовательно соединенных АФП и ФНЧ при воздействии на нее сигнала (2.10). ФНЧ является линейным устройством, поэтому его действие определяется множителями Ки0 и КиП. Если сигнал на входе ФНЧ будет определяться выражением (2.15), то его выходной сигнал можно представить в виде

У фнч = Ки 0 • А0 • ^п(¥0) + Ки п • ап • ^п( ¥п) (2.16)

В результате множитель функции зт(у0), как функционал от аргумента ип, будет определяться выражением

о (ип) = К

и 0

' 3 • Рз • и0 + 3 • Рз • ио • ип2 + р и

+-+ Р1 • и о

v

4

2

(2.17)

/

а множитель функции эт(уп) будет иметь вид

Б, п (ип ) = К.

иП

г3 • Р3 • и2 • ип 3 • Р3 • ип

гз 0 п + ———п + р1 • ип

v

2

4

(2.18)

у

Графики функций (2.17) (сплошная линия) и (2.18) (пунктирная линия) для различных значений и0 показаны на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 - Зависимости амплитуд составляющих спектра выходного сигнала ФНЧ от амплитуды сосредоточенной помехи на входе

Рассмотрим свойства преобразователя АПУ отдельно от нелинейной системы. Пусть на его вход воздействует аддитивная смесь (2.10), тогда выходной сигнал АПУ будет определяться выражением

с = аб •(и0 • + ип • ^п(Уп))6 + а5 •(и0 • + ип • ^п(Уп))5 +

а4 •(и0 • + ип • ^п(Уп))4 + аз •(и0 • + ип • ^п(Уп))3 + (2.19)

+

+

а2 • (и0 • ^^ + ип • ^п(Уп))2 + а1 • (и0 • ^п(У0) + ип • ^^)+ а0.

Выполним преобразование выражения (2.19) и рассмотрим множители функций эт(у0) и эт(уп). Как и ранее, запишем эти множители в виде функций амплитуды сосредоточенной помехи на входе. Множитель функции эт(у0) будет иметь вид

о (и ч 5 • а5 • Ц05 + 15 • «5 • Ц03 • К + 3• аз • Ц3 +

о/0 (и п)_ з + 4 + 4 +

15 • а5 • Ц0 • и;} 3 • аз • Ц0 • Ц;

+-5-0-п +-3-0-п + а1 • ц

8 2 1 0

множитель функции эт(уп) будет определяться выражением

(цп)_ I5 • а5 • Ц04 •ип + I5 • а5 • Ц02 •ип3 +

8 4

3 • а3 • и02 • ип 5 • а5 • Цп5 3 • а3 • Ц^

+-3—0-п +-5-п +-3—п +а1 . ип.

2 8 4 1 п

(2.20)

(2.21)

Графики функций (2.20) (сплошная линия) и (2.21) (пунктирная линия) для различных значений Ц0 показаны на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 - Зависимости амплитуд составляющих спектра выходного сигнала АПУ от амплитуды сосредоточенной помехи на входе (при входном воздействии смеси (2.10))

При построении графиков предполагалось, что полезный сигнал имеет такую амплитуду, что в отсутствии помехи не может вызвать установление на

выходе порогового устройства значения, равного 1, т.е., например, при П=0,8 значения и0 были взяты в диапазоне от 0,3 до 0,4 В.

Как можно видеть из графиков на рисунке 2.8, увеличение амплитуды помехи способствует росту составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала. Также из графиков можно видеть, что на рисунках имеются участки, где Б,0(ип)> 5/П(ип). В соответствии с работами [5, 31] такие участки на графиках как раз и свидетельствуют о том, что в системе может возникать явление стохастического резонанса.

Найдем выражение, определяющее выходной сигнал на выходе нелинейной системы на рисунке 2.4. В соответствии с формулами (2.9) и (2.16) выходной сигнал системы, состоящей из последовательно соединенных АФП, ФНЧ и АПУ может быть представлен суммой

с(•УфНЧ) = а6 • (А0 • Ки0 • ^^ + Ап • Кип • ^ПОп))6 +

а5 • (Л0 • Ки0 • ^^ + Ап • Кип • ^ПОп))5 + + а4 • (Л0 • Ки0 • + Ап • Кип • ^ПОп))4 +

+ а3 • (Л0 • Ки0 • ^^ + Лп • Кип • ^ПОп))3 +

+ а2 • (Л • ки0 • sin(Vо) + Лп • Кип • $ш(^п))2 +

(2.22)

+ а1 • (Л0 • Ки0 • ) + Ап • Кип • ^Оп^ а0-

В результате преобразований выражения (2.22) и группировки слагаемых относительно sm(y0) и sm(yп) для множителя функции sm(y0) получим следующее выражение

0(и ) = 5 • а5 • А • Ки0 + I5 • а5 • А0 • Ап • Ки0 • Кп +

3 3 4 4

+ 3 • а3 •А • Ки0 + 15 • а5 • А0 • Ап • Ки0 • Кп + (2 23)

4 8

+ 3 • а3 • А0 • Ап • Ки 0 • КиП + а А К +-~-+ а1 • А •Ки0'

I2 2

а множитель функции sm(yп) будет иметь вид

Б (ип) = 15а5 • А0-Ап • ККип + 15а5 • А • Ап3 • К^ • К;3 ^ п 8 4 (2.24)

+ 3^3-Ао • Ап • Ки0 • КиП + 5-а5-Ап5 • К^п + 3^ аЦ • К^ + а А К

+-2-+-8-+-4-+ • • .

Графики функций (2.23) (сплошная линия) и (2.24) (пунктирная линия) для различных значений и0 показаны на рисунке 2.9.

В ранее известных работах [5, 31] говорится, что в условиях возникновения эффекта стохастического резонанса увеличение интенсивности мешающего воздействия на входе системы способствует увеличению амплитуды составляющей спектра выходного сигнала на частоте полезного сигнала. В данных работах также указывается на то, что увеличение амплитуды составляющей спектра на частоте полезного сигнала соответствует определенному диапазону изменения интенсивности мешающего воздействия на входе. Иными словами, сначала увеличение интенсивности помехи либо шума способствует росту составляющей спектра на частоте входного сигнала, а потом, при дальнейшем росте интенсивности эта составляющая спектра начинает уменьшаться. В результате при большой интенсивности сосредоточенной помехи (шума) на входе эффект стохастического резонанса пропадает.

Рисунок 2.9 - Зависимости амплитуд составляющих спектра выходного сигнала нелинейной системы от амплитуды сосредоточенной помехи на входе

Вертикальные штрихпунктирные линии на рисунке 2.9 показывают минимальное значение амплитуды сосредоточенной помехи, при котором наблюдается пересечение порога в АПУ. На всех графиках, представленных на рисунке 2.9, мы можем наблюдать такую же ситуацию. В начале увеличение Цп приводит к росту значения / но потом с дальнейшим увеличением амплитуды мешающего воздействия значение 0/0 уменьшается.

Также из содержания графиков на рисунке 2.9 следует, что увеличение Цп способствует не только возрастанию значения / но и появлению участков, на которых выполняется условие 5/о(ип)> 5/П(ип)- На графиках рисунка 2.9 также видно расширение участков с условием 5/о(Цп)> 0/П(ип) по сравнению со случаем порогового устройства (рисунок 2.8). Например, на рисунке 2.9а данный участок соответствует изменению Цп от 0,60 В до 1,29 В, в то время как на рисунке 2.8а -изменению Цп от 0,40 В до 0,66 В.

Проанализировав графики на рисунке 2.9 можно сделать вывод о том, что теоретически установленные зависимости достоверно характеризуют процессы, проходящие в нелинейной системе в условиях эффекта стохастического резонанса. Результаты расчетов, показанные в данной главе, не противоречат результатам ранее известных работ [5, 31]. Например, графики функций (2.23) и (2.24) показывают, что превышение значения 5/о(ип) над 5/П(ип) соответствует определенному диапазону изменения интенсивности мешающего воздействия на входе.

2.2 Математическая модель системы, использующей осциллятор с кубической

нелинейностью

Другим примером систем, в которых может возникать явление стохастического резонанса, является осциллятор с кубической нелинейностью [6, 23, 57, 58]. В уравнении, описывающем действие данного осциллятора, используются функции, выражаемые через кубический полином. В зависимости от различных изменений структуры данный осциллятор может быть приведен к виду

осциллятора Ван дер Поля, осциллятора Крамерса [23], осциллятора Дуффинга [23] и т.д. Модификации осциллятора используются для описания хода множества различных физических процессов. Рассмотренные осцилляторы могут быть реализованы в дискретной форме [5, 60, 61]. Например, в статье [5] для исследования явления стохастического резонанса рассматривался один из вариантов осцилляторов с кубической нелинейностью, действие которого определяется следующим выражением

где а и Ь - параметры дискретной системы, имеющие постоянные значения. В данном случае z(k•Дt) представляет собой сумму полезного сигнала и мешающего воздействия. Система имеет два устойчивых состояния, граница между устойчивыми состояниями системы соответствует значению у(^Д0=0. В зависимости от сочетаний значений параметров а и Ь система (2.25) обладает различными свойствами.

Вначале рассмотрим воздействие на систему (2.25) с параметрами а=2,5 и Ь=0,08 слабого периодического сигнала (1.6) при Ц0=0,15 В,/¿/=0,05 в отсутствии шума, т.е. z(k•Дt)=u2(k•Дt), п(^Д?)=0. Осциллограммы сигналов системы, реализующей алгоритм (2.25), показаны на рисунке 2.10. Анализируя осциллограмму сигнала на рисунке 2.10в можно сказать, что при воздействии слабого периодического сигнала выходной сигнал системы (2.25) имеет только положительные значения. Выходной сигнал системы изменяется в диапазоне от 0 до 0,3974 В, при этом он представляет собой колебания с небольшой амплитудой около 0,15 В. Переходы через границу между устойчивыми состояниями у(^Д^=0 не совершаются. В виду этого, воздействие слабого центрированного квазидетерминированного сигнала при Ц0=0,15 В без шума не может вызвать переход системы из одного устойчивого состояния в другое.

+ г((£ -1) •ДО,

Рисунок 2.10 - Аддитивная смесь (а); выходной сигнал осциллятора (б);

регулярный входной сигнал (в)

Далее проанализируем воздействие на систему аддитивной смеси (1.8) при

22

и0=0,15 В, У0//д=0,05 и аш = 0,015 В . На рисунке 2.11а показана аддитивная смесь (1.8), на рисунке 2.11в - полезный сигнал. Форма сигнала на выходе системы с алгоритмом (2.25) при воздействии смеси (1.8) показана на рисунке 2.11б.

Рисунок 2.11 - Аддитивная смесь (а); выходной сигнал осциллятора (б);

регулярный входной сигнал (в)

Содержание рисунков 2.11а и 2.11в говорит о том, что в условиях добавления шума система (2.25) начинает совершать переходы из одного устойчивого состояния в другое (осциллограмма на рисунке 2.11б имеет как положительные, так и отрицательные значения). При этом содержание рисунков 2.11б и 2.11в также демонстрирует то, что переходы выходного сигнала системы через значение Х^ДО=0 происходят регулярно. При поступлении на вход системы положительной полуволны полезного сигнала на выходе можно видеть также положительную полуволну. Аналогично поступление на вход отрицательной полуволны полезного сигнала способствует появлению на выходе отрицательной полуволны (рисунки 2.11б и 2.11в). Исходя из вышеуказанного, информация об

амплитуде и фазе регулярного сигнала может быть закодирована в переходах системы (2.25) из одного устойчивого состояния в другое.

Найдем выражения, описывающие выходной сигнал нелинейной системы

(2.25)