Теоремы вложения в обобщенных классах С.Л. Соболева и их применение в кубатурных формулах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Хамаев, Евгений Афанасьевич

• Хамаев, Евгений Афанасьевич
• 1983

Оглавление диссертации Хамаев, Евгений Афанасьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Теоремы вложения для обобщенных класhjti I сов С.Л.Соболева С (£„)

§ I. Основные определения и представления функций

§ 2. Полнота пространства L^(En).

§ 3. Граничные свойства функций из пространства t^(En)

ГЛАВА II. Кубатурные формулы в / (£„).

§ I. Норма и общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в •.

§ 2. Оптимальный периодический функционал погрешности в

§ 3. Экстремальная функция и норма функ ционала погрешности в (£„).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы вложения в обобщенных классах С.Л. Соболева и их применение в кубатурных формулах»

В диссертации рассматриваются функциональные пространства, построенные с помощью одного класса псевдодифференциальных: операторов. Эти пространства являются обобщением классов Lpfei) С.Л.Соболева /17» [2], которые были распространены на дробные индексы П.И.Лизоркиным. Различным обобщениям этих классов в последнее время были посвящены многочисленные работы (см., например) Трибель [2Q], Каля-бин Г.А. [10], Лизоркин П.И. [l], /в], Адаме Р.А. [27] , С.Л.Соболевым в [l], [2]t были введены пространства функций, имеющих все обобщенные производные порядка в , суммируемые в . Каждая такая функция имеет представление JCwab га гДе Qff(*) "* полином степени О .Множество таких функций с нормой г . образует банахово пространство Wp (fl . Фактор-пространство по конечномерному подпространству полиномов степени i) получило название /-р (£/*) . Пространство С.Л.Соболева нашло широкое применение в различных областях анализа, дифференциальных уравнений и вычислительной математики. Имеются многочисленные работы, в которых были даны различные обобщения для более общих пространств функций. Наиболее значительный вклад в этом направлении внесли работы С.М.Никольского [з], /V/, который, используя аппарат теории приближений целыми функциями экспоненциального типа, создал теорию вложений для классов н. классов с доминирующей производной, весовых классов и др. Исследованию Н - классов были посвящены многочисленные работы (см. например, Бесов О.В., Ильин В.П.,Никольский С.М., [б], Бугров Я.С. [д], Кудрявцев Л.Д. [il] и др.) Б настоящее время построена достаточно полная теория пространств

Лизоркина-Трибеля Z * (£г>) с лиувиллевсиими производись ными, которая основана на приближении функций многих переменных целыми функциями экспоненциального типа, построенных при помощи различных разбиений единицы в пространствах Фурье-образов и использование теории мультипликаторов в (£„) включающей теоремы Марцинкевича, Михлина, Кальдерона-Зиг-мунда.

В работе рассматривается пространство типа /.р fen), построенное с помощью псевдодифференциального оператора вида где символ однороден и имеет заданное поведение на бесконечности и около координатных плоскостейj= ^.,/7. Каждая функция <f(sc) , для которой э Lp °° и рост которой на бесконечности ограничен некоторой фиксированной степенью jjcj , имеет представление типа (I). Множество таких функций с конечной полунормой

- (з) будем называть пространством С• Как частный случай в этот класс входят пространствас лиувиллевски-ми обобщенными производными П.И.Лизоркина. Некоторые свойства этого пространства были рассмотрены ранее в работах

С.В.Успенского и Б.Н.Чистякова [l2], [хз].

В диссертации исследованы различные свойства пространства Zf&J , построено интегральное представление для фунЛ кций из этого класса, доказана полнота этого пространства, изучены граничные свойства функций из l^fe*) и установлена теорема вложения в CCJ2.) . Это составляет содержание первой главы.

Во второй главе диссертации рассматриваются кубатурные формулы в пространствах /wfcj и JS^tf») . Исследование г « численного интегрирования кратных интегралов (кубатурных формул) и одномерных интегралов (квадратурных формул) методами функционального анализа особенно широко стали применяться в последние два десятилетия. Достаточно указать в этом направлении работы: Соболев С.Л. [2~], Никольский С.М. /"4J, Бесов О.В. £б], Рамазанов М.Д. /I9J, Половинкин В.И. /l8j, Шойнжуров Ц.Б. [26],[21} и мн.др.

В настоящей работе продолжаются исследования оценок погрешности кубатурных формул в пространстве с обобщенными лиувиллевскими производными. Основная методика этого вопроса, которую разработал С.Л.Соболев для ri переменных, заключается в следующем. Пусть оценивается погрешность куба-турной формулы fa) Л где -О- - некоторая ограниченная область в , -переменное число узлов, JZ/r - узлы кубатурной формулы,

- коэффициенты кубатурной формулы (4). Формула (4) определяет функционал ошибок

Если Ь - банахово пространство, вложенное в С , то для погрешности кубатурной формулы (4) имеем оценку

6)

Величина // характеризует качество кубатурной формулы (4). Оценка погрешности, как вычисление нормы (6) вполне естественная, т.к. большинство численных оценок погрешности интегрирования может быть получено с помощью этого метода, если соответствующим образом выбрать нормированное пространство. Например, для ошибок формулы прямоугольников:

- ^(j>) ^ известная оценка о может рассматриваться как оценка вида (6), если за В> взять нормированное пространство С №,1] , заданное на множестве дважды непрерывно дифференцируемых на [о, /] функций полунормой

IfSMl-ZS&fjMi

Тогда, используя неравенство (6), оценку (7) можно записать в виде

Выражение (5) называется функционалом погрешности кубатурной формулы (4). Функционалу в (5) соответствует обобщенная функция

Or (8) где (я?) - характеристическая функция области ,

- обобщенная функция Дирака. Поэтому выражение (5) часто записывают в виде ffr-^j/ficj^ о) л а обобщенную функцию в (8) также называют функционалом погрешности формулы (4). Всякая конкретная функция или класс функций могут принадлежать различным нормированным пространствам Ь и, следовательно, функционалы вида (8) могут принадлежать разным пространствам £> . Поэтому выбор пространства для оценки погрешности данного метода приближенного интегрирования является, часто, задачей нетривиальной. Определенные преимущества получаются, если в качестве & взять пространства классов , имеющих все обобщенные производные до порядка Jn включительно (в Л или в Е„ )» суммируемые там в степени р , т.е. определенные полунормами: с Г, Q, <fm <// <fsn

-fs^n'JU f о? pV) Ъ'У j! = ос Л о/ -<У / с* . - ©С, . С*, . . . . . в

Одномерным аналогом этих пространств является пространство /^/Ц £] с нормой ^ т, Ф«.ЯЬ( 2

Из теоремы о вложении пространства типа Wp в пространство непрерывных функций С fa) (см. ) следует, что функционал |ида (8) принадлежит / (£„) , если: г*

I) Рт>/7 , 2) (Wx^ar^J^O при /o<Av77, т.е. ортогональность многочленам степени меньшей М . Отметим преимущества пространств J. ™ :

1) ЦТ- является классическим пространством аналиг* за. В терминах этих пространств формулируются многие результаты теории уравнений в частных производных, функций действительного переменного, функционального анализа, вычислительной математики. frj

2) Нормы в — однородны и не меняются при ортогональных преобразованиях системы координат в Ен .

С.Л.Соболев в [l] исследовал кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем в L™(£л) . Эти исследования были обобщены на случай L™(Л.) В.И.Половинкиным в [is] . В Основе обоих методов ставилась задача нахождения квадрата нормы функционала погрешности

СЮ) где &(х) фундаментальное решение полигармонического уравнения (или уравнения Эйлера): ъл \м

Равннство (10) было получено следующим образом: вначале искалась в I.™экстремальная функция , т.е. такая,что к)

Экстремальная функция U(sc) может быть найдена как решение уравнения (II) и выражено через фундаментальное решение G&) , тогда из (12) можно найти норму и преобразовать к виду (10)

Б диссертации изучаются кубатурные формулы в пространствах if (ъ) и с обобщенными лиувиллев-скими производными. Эти пространства обладают аналогичными свойствами, что и пространства описанные выше. Норма в ) задается выражением:

Вместо уравнения (II) рассматривается более общее псевдодифференциальное уравнение:

PU = j"y^stpris) U(5)ctS = (13) где символ - вещественнозначная, положительная функция. Рассматриваются решения уравнения (13), имеющие вид им = №)) + где Шф ]^GM^J^if a ~ полином

0 -/ степени m'-i^fa;-',.,^-/) , и при

- не целом, т°= ^ при = - целом, c/=f>4 . ^ )

3 о a 3

- показатель однородности символа уи (1$) .

При исследовании кубатурных формул и их функционалов погрешностей автор придерживается методики С.Л.Соболева, с помощью которой даны оценки нормы функционалов погрешности для различных классов функций. Перейдем к более подробному изложению вопросов, освещенных в диссертации.

В § I главы I даются основные определения и представления функций из класса La (£*) и /«^^vJ

Рассмотрим псевдодифференциальный оператор вида , С Jjcj И

PLL^M juas)ua)js,

E/t где на символ JU(£$) накладываются следующие условия:

1)' Существует вещественный вектор, что для любого Л> о и любого

2) Существуют константы £<лг С, 9 что для любых и удовлетворяющих условию JET /£./ / 9 Q = *9 £=1/7 имеет место оценка 0<Со

3) Для любого JS> , , при f 9 функции существуют и непрерывны и fe^iS)!- П ISfifecfMSl)*0 где константа С не зависит от / . Здесь ))0>о , а = о , если -целые или o^At^f&l и I)K=S-ff-f&l) если jB^&l+S . Примером функции, удовлетворяющей условиям I) - 3) может служить м Ас

Для фиксированного JttfeS) введем класс S/u . Комплексно значная функция yfajeSju , если: I. Угх) € ЛLpfaf) , ДЛЯ любого Р> / . гS)yffi)€ S - пространство основных функций Шварца.

Следуя П.И.Лизоркину 7 , рассмотрим множество У -совокупность бесконечно-дифференцируемых функций, стремящихся к нулю вместе со всеми производными на бесконечности и у каждой из координатных плоскостей. Преобразование Фурье таких функций имеет нулевые моменты до любого порядка. Легко проверить, что У С . П.И.Лизоркиным показано, что У плотно в .

На функциях S^ определим оператор:

РУ^) = Ы^Ь ^Jxf'f) Я*

Так как jutts) У>(!) £ $> , то Р*У<?$> .

7

Для фиксированных р . W , я 1ч?]

У У 7 определим линейное многообразие . функция если:

I) LlC*) W , .

V^MA^M ' , , <14>

Так как множество Зу^. плотно в Lp'fe*), и выполнено (14) то функционал P*!f) , заданный на S^u может быть продолженным на все (£*) .

Тогда по теореме Рисса существует функция jLp такая, что для любой или

PLL ~ £ , где U (jc) будем называть обобщенным решением этого псевдодифференциального уравнения. Для функций введем полунорму:

Имеет место теорема. y-V

ТЕОРЕМА 2 (О представлении). Пусть LLM^l^(E^) тогда для почти всех & £ имеет место представление где: r> ajfH^k^ikfW^,

Гх/

7 4/n m - достаточно большое, фиксированное, положительное число.

2) Р^ {зс) - полином степени , ttfj > ( УmcKjeo^ - J</l) • (mitro/j) e

3) " есть элемент пространства и при -не целом, при ^ - целом. (16)

D V </ V р

4) и удовлетворяет условию ^j для всех yfoJfSjx.

5) J/e>ffl есть предел последовательности в LJE») при о.

У, \

Введем класс функций LDO(£n) (в дальнейшем, для простоты, J4 у»^ будем его обозначать / {£„) ). Функция (Е„) , Р если:

1. UMelp^fa), 7

2. шм, /т ~

3. Для почти всех xjef^ з jt = fa, .jZhJ имеет место ° при , где т? удовлетворяет (16).

Как следствие из теоремы 2 получается представление функций LL(x) е у**

СЛЕДСТВИЕ. Пусть Шх) ff^,), тогда для почти всех jЮСЕ* имеет место представление:

U М^Р^М cf/J? (17) где j/.pfen) , Pfrjo-i - полином, принадлежащий ядру оператора р , степени удовлетворяет (16).

Главным результатом § 2 главы I является ТЕОРЕМА 3. Для каждой функции существует функция такая, что и имеет место представление (17).

Как следствие из этой теоремы следует: пространство (£») - полное.

В § 3 главы I изучаются граничные свойства функций из пространства , вложение J-p ) в С£А) „ класс непрерывных в -/2- функций. Эти утверждения выражаютсяя в виде следующих теорем.

ТЕОРЕМА 4. Пусть Ц(х)е/р , тогда существует полином Рм- / М степени = fart,., п» -удовлетворяет (16)., что (ll(x) -fc))^ и имеет место оценка где

- классы О.В.Бесова,

Ж- ^ и с не

4 </ зависит от

LUx).

ТЕОРЕМА 5 (обратная). Пусть на Enj задана локально суммируемая функция

Определим вектор о/-. j так, что i'e-1?), rrt

И пусть символ jti(i$) с показателем однородности , четная функция, тогда существует функция такая, что где не зависит от Л(х) и !г£я) .

ТЕОРЕМА 6. Пусть Ц(зс) SuppLl<cJl и Щ<р , тогда IL(jc) может быть изменена на множестве меры нуль так, что она будет непрерывной и существует такой полином Pmi М степени , где ^ удовлетворяет (16), что ma.sc jlLM- P^j.f jceJl где константа с зависит от диаметра области -О. .

В § I главы 2 находится норма и общий вид функционала погрешности кубатурной формулы (4) над пространством Z^ffeJ. р

Рассмотрим обобщенную функцию которая принадлежит, очевидно, £ ив дальнейшем будем изучать (■X') как функционалы над A^fen) ,

Пусть Л. - ограниченная область в Е„ с кусочно-гладкой границей, тогда уравнение

П /S**/ 1 имеет решение (£**) , которое представляется в виде ЦМ= (^Ю + Р^+РпМ где Рт(х) - полином степени т= и ^ =ГJ/7 при ' ~ не целом, при Р. = о/~* - целом, а

У </ / / <7

Г ^ = j / ^Cfrlf^jdll (I8)

Здесь свертка понимается в смысле обобщенных функций так оС как при cfj/j-^o , и Pyi (зс) - финитна, то свертка существует и при этом оказывается, что Рл(х)) ^

ТЕОРЕМА. 2.1. Пусть ^ М =

О (К, = , где т. удовлетворяет (18). Тогда для справедливо г ejx),w4=\(firnjpfjx и сю

I&&), (20)

В § 2 главы 2 находится оптимальный периодический уч функционал погрешности кубатурной формулы над (Еп).

V о

- матрица периодов

Пусть /1 = (о\) , (о l) л = {х: O^jt ~ фундаментальный параллео </ j лепипед, - целочисленный вектор. Выберем так, чтобы выполнялось & ft-LP* J- ±Л / hl-h^-.-hn-h 7 • (21) У

Введем периодический функционал погрешности кубатурной формулы fQ fc^A) и рассмотрим его над пространством периодических функций о) с конечной нормой

MffjBxIP 1Р г I ]

22)

С f и LLa ~ J Utt)£ ^ .Пусть UM <f 5

Jlv периодическая обобщенная функция. Введем пространство J.p £Ла) » сопряженное /.р (J2a) .

Тогда

-Ло

-Я/.

Ла оо

Jl^fy/? е (23) к где Условие минимальности нормы о

23) по С равносильно соотношению о (24)

В главе 2 § 3 проводится оценка нормы периодического функционала погрешности Р0 (Лх)r/h) Sfx-hMjt)

7s^* \ ТуЧ/ \ в А, В этом случае является гильбертовым, что дает возможность вычислить квадрат нормы функционала погрешности кубатурной формулы, где ila(x) - экстремальная функция и

Kb = о

Тогда при условии

I& 'jS&M-WV*)/ (25)

Если символ ju(£$)-l5l то оценка (25) совпадает с соответствующей оценкой С.Л.Соболева (см. /2J ).

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [зо] - [за] и докладывались на Всесоюзной школе по теории функций г.Кемерово, 1983 г.; на 1-ой областной научной конференции по теории функций и вычислительной математике г.Иркутск, 1982 г.; на ХУП научной конференции профессорско-преподавательского состава и научных работников Восточно-Сибирского технологического института г.Улан-Удэ, 1978 г.; на ХХП научной конференции сотрудников Новосибирского института советской кооперативной торговли 1981 г.; на семинаре отдела дифференциальных уравнений в Институте математики СО АН СССР (руководитель доктор физико-математических наук Успенский С.В.) 1983 г.; на семинарах отделов математического анализа и дифференциальных уравнений в Институте математики и механики АН Каз.ССР, г.Алма-Ата, 1983 г. (руководители доктора физико-математических наук Блиев Н.К., Отелбаев М.О.); на научном семинаре кафедры высшей математики Восточно-Сибирского технологического института г,Улан-Удэ, 1982 г. (руководитель доктор физико-мате: матических наук Шойнжуров Ц.Б.).

Список литературы диссертационного исследования Хамаев, Евгений Афанасьевич, 1983 год

1. Соболев С.Л, Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, 1962 г., 255 с.2» Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., Наука, 1974 г., 808 с.

2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1977 г.

3. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М., Наука, 1974 г. 223 с.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., Наука, 1975 г.

5. Бесов О.В. Оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С.Л.Соболева и их обобщения. Труды Матем. ин-таим. В.А.Стеклова АН СССР, 1977 г., т.143, с. 42-56.

6. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lp(£n) • Матем. сб., 1963 г., т.60, № 3, с. 325-353.

7. Лизоркин П.И. Поведение функций из лиувиллевских классов на бесконечности. Труды Матем. ин-та АН СССР, 1979 г., т.150, с. 3-318.

8. Бугров Я.С. К теоремам вложения для И классов С.М.Никольского. С М Ж 4:5, 1963 г., с.1012-1028.

9. Успенский С.В. О дифференциальных свойствах решений одного класса псевдодифференциальных уравнений на бесконечности. Сиб. мат. журн., 1972 г., т. 13,с. 665-673.

10. Успенский С.В., Чистяков Б.Н. О выходе на полином при стремлении /Я1/*- ов решений одного класса псевдодифференциальных уравнений. Сиб. мат. журн., 1975 г.,т. 16, £ 5, с. 1053 1070.

11. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения. Успехи мат. наук, 1965 г., т. 20, 1)121), с. 3 74.

12. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. Мир, М., 1965 г.

13. Титмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М., Огиз, 1948 г., с. 480.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Наука, 197Г г.

15. Половинкин В.И. Кубатурные формулы в пространствах С,Л.Соболева. Автореферат докторской диссертации, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1975 г.

16. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973 г., с. 174.

17. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве Vl!"(En) • Сиб. мат. журн.,1967 г., т. 7, В 2, с. 433 446.

18. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы в криволинейной решетке. Б кн. "Теория куба-турных формул и приложения функц. анализа к задачам матем. физики. Труды семинара С.Л.Соболева, Новосибирск, 1976 г., JE I, с. 157 184.

19. Войтишек Л. Б. Вычисление функции Энштейна. Вопросы вычислительной и прикладной математики. Вып.38, Ташкент, 1970 г., с. 16-21.

20. Загирова Ф.Я. Об оценке остаточного члена кубатурных формул и приложения функц. анализа к задачам матем, физики. Материалы школы-конференции в г.Улан-Удэ, Наука, Новосибирск, 1973 г., с. 35 40.

21. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. Физматгиз. М., 1962 г.

22. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т.П., Мир, М.,1962 г.27. fldctms А. spaces , sfew УоУк , а.о:Acad. plieSS , 1975 г., ХУШ, 268 .

23. Трибель, Ханс. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М., Мир, 1980 г., с. 664.

24. Успенский С.В. 0 представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов. Тр. Мат. ин-та. АН СССР, 1972 г., т.117, с. 292 - 299.

25. Хамаев Е.А. 0 дифференциальных свойствах функций, принадлежащих пространству / (£м) В кн.: Теория кубартурных формул и приложения функц. анализа к задачам мат.физики. (Труды семинара С.Л.Соболева), Новосибирск, 1979 г., J6 I, с. 136 153.

26. Хамаев Е.А. 0 полноте пространства . Теория кубатурных формул и вычислительная математика. (Труды конференции по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике. Новосибирск, 1978 г.), Наука, Новосибирск, 1980 г., с. 237 239.

27. Хамаев Е.А,, Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве В кн.: Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам матем.физики. (Труды семинара С.Л.Соболева), Новосибирск, 1980 г., J6 I, с. 132 - 148.

28. Хамаев Е.А. Дифференциальные свойства следа функций изjtj 1пространства С.Л.Соболева. В кн.: Теориягкубатурных формул и приложения функц. анализа к задачам матем. физики. (Труды семинара С.Л.Соболева), Новосибирск, 1981 г., № I, с. 103 123.