Теоретическое исследование возбуждения и ионизации глубоких центров в кристаллических структурах электромагнитным полем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Москаленко, Андрей Сергеевич

• Москаленко, Андрей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Москаленко, Андрей Сергеевич

Введение

1 Воздействие ТГц-излучения на люминесценцию ионов Ег3+ в кристаллическом Si

1.1 Введение.

1.2 Концепция нового механизма возбуждения.

1.3 Вычисление вероятности возбуждения.

1.3.1 Общее выражение для вероятности возбуждения.

1.3.2 Матричный элемент кулоновского взаимодействия.

1.3.3 Приближения и результат.

1.4 Сравнение с экспериментом и обсуждение

2 Процессы оже-возбуждения ионов Ег в Si-SiC>2 наноструктурах

2.1 Экситоны в нанокристаллах Si.

2.1.1 Эффект размерного квантования электронных состояний

2.1.1.1 Численное решение.

2.1.1.2 Адиабатическое приближение.

2.1.1.3 Влияние второй зоны проводимости.

2.1.2 Эффект размерного квантования дырочных состояний

2.1.3 Кулоновский сдвиг

2.1.4 Сравнение с экспериментом и обсуждение.

2.2 Возбуждение ионов Ег

2.2.1 Матричный элемент кулоновского взаимодействия.

2.2.2 Случай передачи большого квазиимпульса.

2.2.3 Случай передачи малого квазиимпульса.

2.2.3.1 Диполь-дипольное приближение.

2.2.3.2 Обобщение диполь-дипольного приближения

2.2.4 Обсуждение результатов.

3 Влияние магнитного поля на туннельную ионизацию глубоких центров

3.1 Введение.

3.2 Обзор литературы.

3.2.1 Термоионизация глубоких центров в полупроводниках

3.2.2 Туннелирование электрона в электрических и магнитных полях.

3.2.3 Многофоннонное туннелирование: теория и эксперимент

3.2.4 Влияние заряда: эффект Пула-Френкеля.

3.3 Туннелирование электрона с глубокого центра под действием переменного электрического поля в присутствие магнитного поля

3.3.1 Квазиклассическая волновая функция туннелирующего электрона.

3.3.2 Вероятность прямого туннелирования электрона.

3.4 Термоактивированная туннельная ионизация короткодействующего центра.

3.5 Сравнение с экспериментом и обсуждение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое исследование возбуждения и ионизации глубоких центров в кристаллических структурах электромагнитным полем»

В настоящее время все больший интерес проявляется к созданию оптических интегральных схем с элементами, осуществляющими различные функции: генерации света, преобразования оптических сигналов, усиления, переключения, функции приемника и волновода [1]. Так как кремневая технология на данный момент позволяет получить наиболее совершенный материал, то многие из этих элементов могут быть эффективно реализованы и интегрированы на ее основе. Одними из наиболее важных элементов являются усилители оптического сигнала. Они могут быть реализованы на основе диоксида кремния, легированного эрбием (БЮг^Ег). Причина особого интереса к Ег3+ обусловлена тем, что энергия перехода между его первым возбужденным 41гз/2 и основным состоянием 4Ii5/2 (0.81 эВ) попадает в окно прозрачности для оптоволокна на основе БЮг [2, 3], соответствущая длина волны является стандартом в телекоммуникационных технологиях. Однако существующие в настоящее время усилители на основе Si02:Er все еще достаточно дороги и громоздки для интегрирования с другими элементами.

В последнее время появилось большое число исследований, посвященных изучению кристаллического кремния, легированного эрбием (Si:Er) [4]. Преимущество применения Si:Er заключается в возможности значительно увеличить эффективное сечение возбуждения ионов Ег3+ по сравнению с Si02:Er. Однако, фотолюминесценция Ег в кристаллическом Si характеризуется сильным температурным гашением и практически не наблюдается при температурах выше 200 К. Существует большой интерес к исследованиям, направленным на преодоление этого фундаментального недостатка.

Недавно начали интенсивно изучаться легированным эрбием наноструктуры Si-Si02 [5], а именно материал, состоящий из нанокристаллов Si в кристаллической матрице Si02- В волноводах, созданных на его основе, наблюдалось эффективное усиление на длине волны 1.5 мкм [7]. Усиление является следствием эффективной передачи возбуждения от электронно-дырочных пар (экситонов), генерируемых в нанокристаллах, к ионам эрбия [8]. Хотя к настоящему времени существует большое число экспериментальных результатов для такого материала, механизм передачи возбуждения от электронно-дырочных пар в нанокристаллах к ионам Ег3+ понят в лучшем случае на качественном уровне. Таким образом, теоретическое исследование этого процесса является актуальной задачей для совершенствования характеристик такого материала.

В связи с появлением эффективных источников терагерцового излучения появился большой интерес к его влиянию на поведение носителей заряда в кристаллических структурах (терагерцовая спектроскопия) [9]. Излучение терагерцового диапазона позволяет активировать процессы, изучение которых было ранее недоступно с помощью излучения других диапазонов. Исследование процессов возбуждения и ионизации глубоких центров терагерцовым излучением является актуальным, так это предоставляет дополнительную важную информацию об этих центрах и их взаимодействии с окружающей средой.

Целью работы является теоретическое исследование процессов возбуждения и ионизации глубоких центров в кристаллических структурах электромагнитным полем:

1. оже-возбуждения ионов Ег3+ в кристаллическом Si при приложении тераг герцового излучения;

2. оже-возбуждения ионов Ег3+ в неоднородной среде, состоящей из нано-кристаллов Si в SiCb, за счет рекомбинации экситона в нанокристалле.

3. ионизации глубоких центров в полупроводниках терагерцовым излучением в присутствии постоянного магнитного поля.

Научная новизна работы заключается в том, что

1. предложен новый механизм возбуждения ионов Ег3+ в кристаллическом кремнии в присутствии квазиравновесных электронов и дырок, создаваемых стационарной межзонной накачкой, за счет поглощения терагерцового излучения, который позволяет возбуждать ионы Ег3+ неактивные только при межзонной накачке;

2. проведен расчет вероятности соответствующего оже-процесса с использованием теории возмущений второго порядка: при этом поглощение терагерцового излучения электроном происходит через виртуальное состояние второй зоны проводимости кремния, а возбуждение Ег3+ идет во второе возбужденное состояние 41ц/2 и сопровождается многофононным переходом.

3. проведен микроскопический расчет процесса оже-передачи возбуждения иону Ег3+, находящемуся на границе Si нанокристалла или в окружающей

S1O2 матрице, от электронно-дырочной пары в Si нанокристалле; выявлено, что диполь-дипольное приближение (механизм Ферстера) не может быть причиной эффективного возбуждения ионов Ег3+; проведена оценка для диполь-квадрупольного вклада, показывающая, что он может приводить к эффективной передаче возбуждения;

4. разработан метод квазиклассического рассмотрения туннельных эффектов в переменном барьере в трехмерном случае; метод применен для рассмотрения задач туннелирования электрона в переменном электрическом поле и постоянном магнитном поле;

5. рассмотрена задача о термостимулированной туннельной ионизации глубоких центров в полупроводниках терагерцовым излучением в постоянном магнитном поле; предсказан эффект уменьшения вероятности туннелирования с ростом магнитного поля, который недавно обнаружен экспериментально;

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволили

1. найти механизм возбуждения ионов Ег3+ в кристаллическом кремнии без участия мелкого донорного уровня, что дает надежду на получение эффективной люминесценции в приборе на базе Si:Er при комнатной температуре;

2. прояснить возможные пути передачи возбуждения от экситонов в кремниевых наноточках к ионам Ег3+ в перспективном для оптоэлектронных приложений материале, состоящем из нанокристаллов Si в SiCb и примеси Ег;

3. предсказать эффект подавления вероятности термостимуллированной туннельной ионизации глубоких центров в полупроводниках при приложении сильных магнитных полей, что послужило дополнительным подтверждением общей теории термостимуллированной туннельной ионизации глубоких центров в полупроводниках во внешних электрических и магнитных полях [10, 11];

Развитый метод квазиклассического расчета вероятности туннелирования в переменном электрическом и постоянном магнитном полях может быть также применен для решения других квантомеханических задач, в которых существенно, что траектория квазиклассического движения под барьером не является прямолинейной.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на международных конференциях: «Nanostructures: Physics And Technology» (С.-Петербург, 2002 г.),

Towards The First Silicon Laser NATO Advanced Workshop» (Тренто, Италия, 2002 г.), на Международной Конференции по Инфракрасным и Миллиметровым Волнам (IRMMW, Отсу, Япония, 2003 г.), на всероссийском совещании «Нанофотоника» (Нижний Новгород, 2002, 2003 гг.), а также на семинарах группы теории полупроводников Университета Марбурга (Германия, 2002 г.) и группы оптоэлектронных материалов в институте Ван-дер-Ваальса-Зеемана Университета Амстердама (2004 г.), на семинаре сектора теории электрических и оптических явлений в полупроводниках ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН (2003 г.).

Исследования в данном направлении были поддержаны Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант РФФИ № 98-02-18268), грантом президента для поддержки Ведущих Научных Школ НШ-2192.2003.2, грантом INTAS 03-51-64-86, грантом NWO 047.009.013 и NATO Linkage Grants.

По результатам исследований, составляющих содержание диссертации, опубликовано 8 научных работ, список которых приведен в заключении диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Москаленко, Андрей Сергеевич

Заключение

Совокупность представленных в диссертации результатов исследований позволяет сформулировать следующие научные положения, выносимые на защиту.

1. Терагерцовое излучение в диапазоне частот 15-35 ТГц способно вызывать эффективное возбуждение ионов Ег3+ в кристаллическом кремнии при межзонной подсветке. Вероятность возбуждения в единицу времени линейно возрастает с мощностью излучения, характеризуется существованием порога при энергии кванта 70 мэВ и спадает с ее ростом.

2. Адиабатическое приближение позволяет получить уровни квантования электронов в сферических кремниевых точках в рамках метода эффективной массы, хорошо согласующиеся с прямым численным расчетом.

3. Для объяснения эффективного оже-возбуждения иона Ег3+, находящегося на границе нанокристалла или за его пределами, при рекомбинации экситона в нанокристалле необходимо учитывать квадрупольный момент иона Ег3+.

4. Постоянное магнитное поле увеличивает время туннелирования (время Landauer-Biittiker [92]) и уменьшает вероятность туннельной ионизации электрона, локализованного в короткодействующем потенциале, переменным электрическим полем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Москаленко, Андрей Сергеевич, 2004 год

1. A. Polman, Nature Materials 1, 10 (2002).

2. W. J. Miniscalco, Journ. Lightwave Techn. 9, 234 (1991).

3. A.J. Kenyon, Prog. Quantum Electron. 26 (2002) 225.

4. A. Polman, J. Appl. Phys. 82, 1 (1997).

5. M. Fujii, M. Yoshida, Y. Kanzawa, S. Hayashi, K. Yamamoto, Appl. Phys. Lett., 71, 1198 (1997).

6. G. Franzo, V. Vinciguerra, F. Priolo, Appl. Phys. A, 69, 3 (1999).

7. L. Pavesi, L. Dal Negro, C. Mazzoleni, G. Franzo, F. Priolo, Nature, 408, 440 (2000).

8. P.G. Kik, M. Brongersma, A. Polman, Appl. Phys. Lett. 76, 2325 (2000).

9. B. Ferguson, X.-C. Zhang, Nature Materials 1, 26 (2002).

10. S.D. Ganichev, I.N. Yassievich, W. Prettl, J. Phys. Condens. Matter 14, R1263-R1295 (2002).

11. J. Palm, F. Gan, B. Zheng, J. Michel, and L. C. Kimerling, Phys. Rev. В 54, 17603 (1996).

12. Т. Gregorkiewicz, D. Т. X. Thao, J. M. Langer, H. H. P. Th. Bekman, M. S. Bresler, J. Michel, and L. C. Kimerling, Phys. Rev. В 61, 5369 (2000).

13. М. Forcales, Т. Gregorkiewicz, М. S. Bresler, О. В. Gusev, I. V. Bradley, and J-P. R. Wells, Phys. Rev. В 67, 085303 (2003).

14. M. Forcales, T. Gregorkiewicz, I. V. Bradley, and J-P. R. Wells, Phys. Rev. В 65, 195208 (2002).

15. Т. Gregorkiewicz, D. Т. X. Thao, and J. M. Langer, Appl. Phys. Lett. 75 , 4121 (1999).

16. M. S. Bresler, О. B. Gusev, I. N. Yassievich, and P. E. Рак, Appl. Phys. Lett. 75 , 2617 (1999).

17. M. S. Bresler, О. B. Gusev, B. P. Zakharchenya, and I. N. Yassievich, Phys. Solid State 38, 813 (1996).

18. A. Polman, G. N. van der Hoven, J. S. Custer, J. H. Shin, R. Serna, and P. F. A. Alkemade, J. Appl. Phys. 77, 1256 (1995).

19. M. Cardona, F. H. Pollak, Phys. Rev. 142, 530 (1966).

20. Г.Л. Вир, Л.Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках (Москва, Наука, 1972).

21. М. D. Shinn, W. A. Sibley, М. G. Drexhage, and R. N. Brown, Phys. Rev. В 27, 6635 (1983).

22. В. К. Ridley, Quantum Processes in Semiconductors (Oxford, Clarendon, 1988).

23. K. Huang, A. Rhys, Proc. R. Soc. A 204, 406 (1950).

24. I. N. Yassievich, L. C. Kimerling, Semicond. Sci. Technol. 8, 718 (1993).

25. B. R. Judd, Phys. Rev. 127, 750 (1962).

26. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика (Москва, Наука, 1989).

27. A. Hangleiter, Phys. Rev. В 37, 2594 (1988).

28. S. Chatterjee, С. Ell, S. Mosor, G. Khitrova, H.M. Gibbs, W. Hoyer, M. Kira, S.W. Koch, J.P. Prineas, H. Stolz, Phys. Rev. Lett. 93, 067402 (2004).

29. R.A. Kaindl, M.A. Carnahan, D. Hagele, R. Lovenich, D.S. Chemla, Nature 423, 734 (2003).

30. I. Tsimperidis, T. Gregorkiewicz, H. H. P. Th. Bekman, C. J. G. M. Langerak, and C. A. J. Ammerlaan, Mater. Sci. Forum 258-263, 1497 (1997).

31. I. Tsimperidis, Т. Gregorkiewicz, H. H. P. Th. Bekman, and C. J. G. M. Langerak, Phys. Rev. Lett. 81, 4748 (1998).33 3435 3637 38 [39 [40 [41 [42 [43 [44 [45 [46 [47 [48 [49 [50 [5152 53

32. M.S. Hybertsen, Phys. Rev. Lett., 72, 1514 (1994).

33. D. Kovalev, H. Heckler, M. Ben-Chorin, G. Polisski, M. Schwartzkopff, F. Koch, Phys. Rev. Lett., 81, 2803 (1998).

34. K. Watanabe, M. Fujii, and S. Hayashi, J. Appl. Phys., 90, 4761 (2001).

35. D. Kovalev, E. Gross, N. Kunzner, F. Koch, V.Yu. Timoshenko, M. Fujii, Phys. Rev. Lett., 89, 137401 (2002).

36. S. Ogtit, J.R. Chelikowsky, S.G. Louie, Phys. Rev. Lett., 79, 1770 (1997). F.A. Reboredo, A. Franceschetti, A. Zunger, Phys. Rev. B, 61, 13073 (2000).

37. A. Franceschetti, A. Zunger, Phys. Rev. B, 62, 2614 (2000).

38. B. Delley, E.F. Steigmeier, Phys. Rev. B, 47, 1397 (1993).

39. B. Delley, E.F. Steigmeier, Appl. Phys. Lett., 67, 2370 (1995).

40. Vasiliev, S. Ogiit, J.R. Chelikowsky, Phys. Rev. B, 65, 115416 (2002).

41. C. Delerue, M. Lanoo, G. Allan, Phys. Rev. Lett., 76, 3038 (1996). S. Y. Ren, Phys. Rev. B, 55, 4665 (1997).

42. K. Leung, K.B. Whaley, Phys. Rev. B, 56, 7455 (1997).

43. M.V. Wolkin et al., Phys. Rev. Lett., 82, 197 (1999).

44. Y.M. Niquet, C. Delerue, G. Allan, M. Lannoo, Phys. Rev. B, 62, 5109 (2000).

45. J. See, P. Dollfus, S. Galdin, Phys. Rev. B, 66, 193307 (2002).

46. D. Babic, R. Tsu, R.F. Greene, Phys. Rev. B, 45, 14150 (1991).

47. T. Takagahara, K. Takeda, Phys. Rev. B, 46, 15578 (1992).

48. J.B. Khurgin, E.W. Forsythe, G.S. Tompa, B.A. Khan, Appl. Phys. Lett., 69, 1241 (1996).

49. P.F. Tworga, A.J. Kenyon, and C.W. Pitt, J. Appl. Phys., 83, 3789 (1998). B.A. Бурдов, ЖЭТФ, 121, 480 (2002).

50. В.А. Бурдов, ФТП, 36, 1233 (2002).

51. C.S. Garoufalis, A. D. Zdetsis, S. Grimme, Phys. Rev. Lett., 87, 276402 (2001).

52. A.J. Williamson, J.C. Grossman, R.Q. Hood, A. Puzder, G. Galli, Phys. Rev. Lett., 89, 196803 (2002).

53. A. Baldereschi, N. O. Lipari, Phys. Rev. B, 8, 2697 (1973).

54. G. Dresselhaus, A.F. Kip, C. Kittel, Phys. Rev., 98, 398 (1955).

55. А.А. Копылов, A.H. Пихтин, ФТП, 11, 867 (1977).

56. A.A. Копылов, ФТП, 16, 2141 (1982).

57. А.Б. Мигдал. Качественные методы в квантовой механике и квантовой теории поля (М., Наука, 1975).

58. A.R. Edmonds, Angular momentum in quantum mechanics (Princeton, University Press, 1957).

59. B.JI. Гельмонт, М.И. Дьяконов, ФТП, 5, 2191 (1971).

60. A. Dargys, J. Kundrotas, Handbook on Physical Properties of Ge, Si, GaAs and InP (Vilnius, Science and Encyclopedia Publishers, 1994).

61. L.E. Brus, J. Chem. Phys., 80, 4403 (1984).

62. B.B. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (Москва, НИЦ 'Регулярная и хаотическая динамика", 2002).

63. D. Kovalev, Н. Heckler, G. Polisski, and F. Koch, phys. stat. sol. (b), 215, 871 (1999).

64. Al.L. Efros, M. Rosen, M. Kuno, M. Nirmal, D.J. Norris, M. Bawendi, Phys. Rev. B, 54, 4843 (1996).

65. Y. Kanzawa, T. Kageyama, S. Takeda, M. Fujii, S. Hayashi, K. Yamamoto, Solid State Communications, 102, 533 (1997).

66. B. Garrido Fernandez, M. Lopez, C. Garcia, A. Perez-Rodrigues, J. R. Morante, C. Bonafos, M. Carrada, A. Claverie, J. Appl. Phys., 91, 798 (2002).

67. S. Schuppler, S.L. Friedman, M.A. Marcus, D.L. Adler, Y.-H. Xie, F.M. Ross, T.D. Harris, W.L. Brown, Y.J. Chabal, L.E. Brus, P.H. Citrin, Phys. Rev. Lett., 72, 2648 (1994).72 73 [74 [7576 777879 8081 828384 85 [86 [87 [88 [89 [90 [91 [92

68. Ал.Л. Эфрос, А.Л. Эфрос, ФТП, 16, 1200 (1982).

69. J.P. Wilcoxon, G.A. Samara, P.N. Provencio, Phys. Rev. B, 60, 2704 (1999).

70. T. Takagahara, K. Takeda, Phys. Rev. B, 53, R4205 (1996).

71. M.A. Odnoblyudov, I.N. Yassievich, K.A. Chao, Phys. Rev. Lett., 83, 4884 (1999).

72. S. Makram-Ebeid, M. Lannoo, Phys. Rev. В 25, 6406 (1982).

73. D.M. Basko, V.M. Agranovich, F. Bassani, G.C. La Rocca, Eur. Phys. J. В1. B. 653 (2000).

74. A. Thraendhardt, C. Ell, G. Khitrova, H. M. Gibbs, Phys. Rev. В 65, 035327 (2002).

75. C. Delerue, G. Allan, M. Lannoo, Phys. Rev. В 64, 193402 (2001).

76. B.A. Беляков, B.A. Бурдов, Д.М. Гапонова, A.H. Михайлов, Д.И. Тетель-баум, С.А. Трушин, ФТТ 46, 31 (2004).

77. Т. Forster, Ann. Physik 2, 55 (1948).

78. Р.К. Kashkarov, "M'.G. Lisachenko, О. A. Shalygina, V.Yu. Timoshenko, B.V. Kamenev, M. Schmidt, J. Heitmann, and M. Zacharias, JETP 97,1123 (2003).

79. J. Heitmann, PhD Thesis, Martin-Luther-Universitat, Halle-Wittenberg (2003).

80. D.L. Dexter, J. Chem Phys. 21, 836 (1953).

81. M. Fujii, K. Imakita, K. Watanabe, S. Hayashi, J. Appl. Phys. 272, 272 (2004).

82. Taeseung Choi, Gwang-Hee Kim, Physica В 291, 219 (2000).

83. B.C. Попов, Б.М. Карнаков, В.Д. Мур, ЖЭТФ 115, 1642 (1999).

84. B. Карпус, В.И. Перель, Письма ЖЭТФ 42, 403 (1985).

85. S.D. Ganichev, Е. Ziemann, Th. Gleim et al, Phys. Rev. Lett. 80, 2409 (1998).

86. C.Д. Ганичев, И.Н. Яссиевич, В. Преттл, ФТТ 39, 1905 (1997). Л.В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1945 (1964).

87. R. Landauer, Th. Martin// Rev. Mod. Phys. 66, 217 (1994).

88. S.D. Ganichev, Physica В 273-274, 737 (1999).

89. A.M. Переломов, B.C. Попов, M.B. Терентьев, ЖЭТФ 50, 1393 (1966).

90. A.M. Переломов, B.C. Попов, M.B. Терентьев, ЖЭТФ 51, 309 (1966).

91. B.C. Попов, В.П. Кузнецов, A.M. Переломов, ЖЭТФ 53, 331 (1967).

92. Л.П. Котова, A.M. Переломов, B.C. Попов, ЖЭТФ 54, 1151 (1968).

93. B.C. Попов, А.В. Сергеев, Письма ЖЭТФ 63, 398 (1996).

94. B.C. Попов, Б.М. Карнаков, В.Д.Мур, ЖЭТФ 113, 1579 (1998).

95. B.C. Попов, А.В. Сергеев, ЖЭТФ 113, 2047 (1998).

96. В.И. Перель, И.Н. Яссиевич, Письма ЖЭТФ 68, 763 (1998).

97. В.И. Фистуль, Введение в физику полупроводников, (Москва, Из-во "Высшая школа", 1975).

98. В. Clerjaud, J. Phys. С 18, 3615 (1985).

99. A.M. Hennel, Acta Phys. Polon. A 79, 15 (1991).

100. L. Kohne, A. Dadgar, D. Bimberg, M. Zafar Iqbal, U.S. Quarashi, T. Griindemann, and H. Schumann, phys. stat. sol. (a) 171, 521 (1999).

101. M. Born, R. Oppenheimer, Ann. Physik 87, 457 (1927).

102. C.H. Henry, D.V. Lang, Phys. Rev В 15, (1977).

103. S.D. Ganichev, I.N. Yassievich, W. Prettl, Semicond. Sci. Technol. 11, 679 (1996).

104. M.A. Демьяненко, B.H. Овсюк, В.В. Шашкин, ФТП 34, 660 (2000).

105. Р.Н. Beton et al., Phys. Rev. В 49, 2261 (1994).

106. Nanzhi Zou, K.A. Chao, Yu.M. Galperin, Phys. Rev. Lett. 1756 (1993).

107. N.B. Delone, V.P. Krainov, Physics-Uspekhi 41, 49 (1998).

108. B.C. Попов, ЖЭТФ 118, 56 (2000).

109. R.P. Feynman, A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (New York, McGraw-Hill, 1965).

110. S.D. Ganichev, H. Ketterl, W. Prettl, I.A. Merkulov, V.I. Perel, I.N. Yassievich, A.V. Malyshev, Phys. Rev. В 63, 201204 (2001).

111. S.D. Ganichev, E. Ziemann, W. Prettl, I.N. Yassievich, A.A. Istratov, E.R. Weber, Phys. Rev. В 61, 10361 (2000).

112. Л.Д.Ландау, E.M. Лифшиц, Механика (Москва, Наука, 1988).

113. J.-B. Xia, Phys. Rev. В, 40, 8500 (1989).