Измерение топографии двулучепреломления в кристаллах флюорита и исследование его влияния на качество изображения проекционных фотолитографических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.07, кандидат наук Никулина Екатерина Алексеевна

• Никулина Екатерина Алексеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Никулина Екатерина Алексеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Проекционная фотолитография

Глава 2. Остаточное двулучепреломление

2.1. Методы контроля двулучепреломления

2.2. Описание установки

2.2.1. Измерительные возможности цифровой камеры

2.3. Математическая модель метода измерений двулучепреломления

2.4. Определение величины и ориентации двулучепреломления

2.5. Расчет модуляции интенсивности источника света

2.6. Исследование точности метода

2.6.1. Описание формата .brf

2.6.2. Генерация шума

2.6.3. Моделирование результатов измерения

Глава 3. Методы оценки влияния поляризации на качество оптического

изображения

Глава 4. Исследование влияния двулучепреломления на качество

проекционных оптических систем

4.1. Влияние местных неравномерностей двулучепреломления на структуру дифракционного изображения точки

4.2. Влияние распределения двулучепреломения при когерентном освещении

4.3. Метод базисных плоских волн

4.3.1. Технология CUDA

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Вывод матриц Мюллера

Поляризатор

Произвольная фазовая пластинка, оптическая ось которой составляет

угол 0 с осью х

Приложение 2. Система зрачковых координат

Приложение 3. Пример серии фотоснимков

Приложение 4. Пример рассчитанной карты двулучепреломления

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Измерение топографии двулучепреломления в кристаллах флюорита и исследование его влияния на качество изображения проекционных фотолитографических систем»

Актуальность работы

Еще во времена средневековья умы ученых занимала проблема образования изображения. Благодаря открытию закона преломления появилось такое понятие как «качество изображения», а изобретение фотографии привело к созданию первых фотообъективов. Развитие фотографии требовало разработки светосильных и широкопольных объективов, формирующих изображение высокого качества. Чем выше становились требования к качеству изображения, тем сложнее оказывались оптические системы, тем более жесткие требования предъявлялись к изготовлению оптических элементов. В конечном счете, на сегодняшний день качество изображения реальных оптических систем определяется качеством материала оптических элементов, а так же технологическими процессами обработки заготовок и их окончательной сборки.

Одним из параметров оптических материалов является двойное лучепреломление. Электромагнитное излучение, преломляясь на границе с двулучепреломляющей средой, разделяется на две равные составляющие с взаимно перпендикулярными состояниями линейной поляризации. При этом для одной из них скорость распространения остается постоянной (обыкновенный луч), а скорость другой зависит от направления распространения (необыкновенный луч).

Как известно, для предотвращения возникновения двулучепреломления в оптическом материале применяют операцию отжига, заключающуюся в плавном охлаждении заготовок. Однако даже при длительном постепенном отжиге в стекле могут возникать остаточные напряжения, вызывающие анизотропию. Так же к факторам, влияющим на изотропность оптических материалов, можно отнести механическую обработку, которая может внести дополнительные структурные изменения.

Оценка двулучепреломления давно является одним из главных этапов производственного контроля, тем не менее, существующие и доступные методы

контроля [1,2,3] не удовлетворяют требованиям, предъявляемым в нанофотолитографии. В частности, при контроле заготовок, используемых для изготовления линз проекционного фотолитографического объектива, стоит задача оценки двулучепреломления крупногабаритных деталей, с высоким разрешением. Следует отметить, что контроль двулучепреломления традиционно производится в одной или нескольких точках образца. Однако, для фотолитографии необходимо более тщательное и высокоточное исследование. Так, например, данные о распределении двулучепреломления по объему заготовки могут помочь при анализе остаточного напряжения в оптических материалах, а также позволяют выбрать для изготовления крупногабаритных оптических деталей области материала с приемлемым уровнем двулучепреломления.

Цели работы

Разработка методов измерения распределения двулучепреломления в крупногабаритных образцах флюорита и дальнейшей оценки влияния полученных данных на качество изображения проекционных фотолитографических систем с учетом оптических аберраций и частичной когерентности источника.

Задачи исследования

1. Провести исследование основных факторов, оказывающих влияние на качество изображения проекционных фотолитографических систем.

2. Выполнить анализ существующих методов измерения остаточного двулучепреломления в крупногабаритных заготовках оптического стекла или таких кубических кристаллов как флюорит.

3. Разработать метод измерения двулучепреломления в крупногабаритных образцах. Описать математическую модель разработанного метода и исследовать его характеристики.

4. Провести исследования программных комплексов, применяемых при расчете фотолитографических систем. Оценить использованные в них способы моделирования.

5. Разработать метод расчета функции рассеяния точки с учетом двулучепреломления и волновых аберраций при частично когерентном освещении.

6. При помощи созданного метода расчета функции рассеяния точки выполнить анализ влияния различных факторов на качество изображения проекционных фотолитографических систем.

Предлагаемая диссертационная работа состоит из вводного раздела, четырех глав основного содержания, заключительного раздела, списка использованной литературы, а так же четырех приложений.

В первой главе приведено описание процесса фотолитографии, проанализированы основные свойства фотолитографических объективов, а так же определены все факторы, влияющие на формирование изображения. Основным фактором, влияние которого редко учитывается при проектировании оптических систем, оказывается двулучепреломление. Таким образом, показана целесообразность данного исследования, которое направлено на измерение и оценку влияния двулучепреломления в оптических системах.

Во второй главе рассматриваются характеристики двулучепреломления, а так же предлагается метод измерения распределения величины и ориентации остаточного двулучепреломления в крупногабаритных образцах. Приводится математическая модель предложенного метода и схема измерительной установки. Рассматриваются преимущества и ограничения, связанные с используемым оборудованием. Представлено описание пакета программ для управления предложенной установкой, и последующей обработки полученных изображений. Приводится исследование точности описанной методики измерения двулучепреломления.

В третьей главе диссертационной работы представлены существующие методы оценки влияния как остаточного двулучепреломления, так и прочих поляризационных эффектов, которые оказывают влияние на оптическое изображение.

В процессе написания диссертационной работы было разработано и исследовано несколько способов оценки влияния двулучепреломления на качество изображения оптических систем. Первый метод позволяет оценить влияние анизотропии оптического материала на вид дифракционного изображения точки. Второй метод описывает способ расчета функции рассеяния точки (ФРТ) с учетом двумерного распределения величины и ориентации двулучепреломления при когерентном освещении. Третий - учитывает частичную когерентность источника света.

В четвертой главе диссертационной работы представлены математические модели рассмотренных методов и приведены результаты их компьютерного моделирования. Описаны сложности программной реализации приведенных методов, а так же предложены пути решения. Рассмотрена технология СПОА, позволяющая использовать графические процессоры для выполнения объемных потоковых вычислений. Так же приведена оценка временных затрат при расчете по описанным методам. Представлены графики, описывающие влияние двулучепреломления при разных условиях, а так же показана форма дифракционного изображения точки, рассчитанная с учетом полученных распределений характеристик двулучепреломления.

В приложениях приведен вывод матриц Мюллера, использованный при разработке методик измерения и оценки двулучепреломления. Описана система канонических координат. Так же представлена серия снимков полученных на созданной в ходе работы установке для измерения двумерного распределения двулучепреломления. Кроме того, приведены карты распределения ориентации и величины двулучепреломления, рассчитанные по представленным снимкам.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель локальной оптической неоднородности

материала, вызванной двулучепреломлением.

2. Изменение интенсивности при вращении скрещенных поляризаторов в предложенной измерительной схеме позволяет получить двумерное

распределение величины и ориентации двулучепреломления по образцу флюорита, помещенному между поляризаторами.

3. Метод и принципиальная схема измерения локального распределения двулучепреломления.

4. Метод расчета функции рассеяния точки с учетом двумерного распределении двулучепреломления.

Научная новизна

1. Разработанный метод измерения двулучепреломления позволяет определять двумерное распределение его характеристик по образцу.

2. Модернизация метода расчета функции рассеяния точки позволяет учесть как измеренное распределение двулучепреломления, так и волновые аберрации системы. Расчет можно проводить с учетом частично-когерентного освещения для высокоапертурных систем.

Практическая ценность работы

1. Предложенный метод измерения распределения двулучепреломления позволяет проводить исследования в автоматизированном режиме.

2. Измерительная схема обеспечивает возможность получения двумерных распределений величины и ориентации двулучепреломления в крупногабаритных образцах флюорита.

3. Метод расчета функции рассеяния точки основан на более точном применении теории дифракции, что позволяет с его помощью анализировать высокоапертурные системы.

4. Созданная совокупность методов измерения и расчета, позволяет оценить влияние распределения двулучепреломления в конкретном образце на всю систему с учетом основных факторов, таких как волновые аберрации и частичная когерентность источника.

Глава 1.Проекционная фотолитография

Полупроводниковые микросхемы прочно вошли в нашу жизнь, однако процесс их производства является одним из сложнейших технологических процессов за всю историю человечества. При создании этой технологии потребовалось совокупное участие многих областей человеческой деятельности: точной механики, материаловедения, электроники, химии, оптики и т.д.

Технология изготовления микроэлектроники крайне сложный и дорогостоящий процесс, центральное место в этом производстве занимает фотолитография. Чаще всего именно ее ограничения определяют возможность создания необходимого полупроводникового прибора. Характеристики фотолитографического оборудования устанавливают ограничения на размер элементов микросхемы, а так же на толщины его активных слоев. Такой важный параметр полупроводниковой микросхемы, как быстродействие, тоже определяется размером минимального элемента.

Знаменитый закон, сформулированный Муром, гласит, что каждые полтора года плотность компоновки элементов в микроэлектроники увеличивается в два раза [4]. В основном это обусловлено стремительным развитием фотолитографических систем.

Однако производство микросхем считается одним из самых дорогих. Создание каждого высокотехнологичного фотошаблона стоит более миллиона долларов, а время его службы при постоянном использовании обычно не превышает двух недель. Затраты на разработку новых материалов и технологий методом проб и ошибок получаются слишком высокими, следовательно, методы математического моделирования становятся все более актуальными. Именно точное моделирование фотолитографических процессов позволяет сделать наиболее точный прогноз относительно самых перспективных направлений исследований [5].

Одним из первых исследователей этого направления был Р.Дилл, и с 1975 года было выполнено немало научно-исследовательских работ на эту тему, до сих

пор не существует удовлетворительного по быстродействию и точности математического аппарата. Причиной тому является огромное количество факторов, оказывающих влияние на технологический процесс. Последнее приводит к чрезвычайно громоздким и дорогим расчетам, что вынуждает пересматривать существующие модели и создавать новые, допускающие точное или приближенное функциональное решение.

Основным этапом при создании микросхем является литография - процесс переноса изображения фотошаблона на фоторезистивную поверхность пластины.

Существует множество различных видов литографии, но в серийном производстве микроэлектроники, как правило, используется фотолитография или, как ее еще называют, проекционная оптическая литография. Технология фотолитографии подразумевает использование светочувствительного материала (фоторезиста) для формирования требуемой структуры на поверхности.

Для усовершенствования систем фотолитографии применяется большинство видов коррекции оптических систем, известных в настоящее время. Например, для повышения глубины резкости часто используется внеосевое освещение источником сложной формы. Для улучшения разрешения системы увеличивают числовую апертуру проекционных объективов, а так же уменьшают длину волны используемого освещения. Такие высокоапертурные объективы крайне сложны в разработке и изготовлении, их оптические аберрации влияют на такие важные параметры как глубина резкости, разрешение и размер минимального элемента. Изменение рабочей длины волны ведет за собой множество проблем, связанных с оптическими материалами и качеством их изготовления. Большая сложность оптических схем, высокие требования к качеству сборки и материалов, а так же множество параметров, которые обычно не оказывают значительного влияния, не позволяют построить точные физические модели проекционных фотолитографических систем.

Для того чтобы лучше понять требования, предъявляемые к фотолитографическим системам, следует подробно рассмотреть процесс производства интегральных микросхем [6].

Интегральная микросхема представляет собой полупроводниковый кристалл, в котором искусственным путем создаются участки с различной электронной проводимостью, таким образом, что в совокупности он представляет собой миниатюрную электро-схему, состоящую из таких стандартных элементов как резисторы, транзисторы, конденсаторы, диоды, тиристоры и т.д.

Основным материалом подложки интегральных микросхем является кремний. На подложке последовательно формируют слои со сложной структурой, обеспечивающей требуемую электронную проводимость. Для этого на обрабатываемую поверхность наносят светочувствительный материал, на который при помощи объектива проецируется фотошаблон.

Производство микроэлектроники осуществляется в так называемых «чистых комнатах». В таких помещениях обеспечиваются постоянные значения температуры и влажности. Так же дополнительно контролируется состав воздуха для предотвращения влияния внешних факторов на изготавливаемое изделие.

Перечислим основные этапы производства микросхемы [3-6]:

1. Очистка и подготовка поверхности.

На первом этапе технологического процесса заготовку полупроводникового кристалла очищают от содержащихся в ней примесей, для этого ее подвергают химической обработке. В результате получается химически чистый кремний. Затем заготовку разрезают на пластины толщиной менее миллиметра.

2. Нанесение слоев.

Прежде всего, для защиты полученной кремниевой пластины, на нее наносится изолирующий слой двуокиси кремния, который препятствует попаданию примесей в очищенную заготовку. Затем на пластине последовательно создаются слои различных оксидов и металлов, выполняющие изолирующие и проводящие функции. Именно состав и толщина этих слоев и создает в итоге требуемую комбинацию областей с разной электронной проводимостью.

3. Нанесение фоторезиста.

После нанесения слоев кремниевая пластина покрывается фоторезистом. Фоторезист обладает светочувствительными и кислотостойкими свойствами.

Наиболее распространенный способ нанесения фоторезистов -центрифугирования. К основным достоинствам этого способа можно отнести однородность получаемой пленки, а так же возможность точного контроля его толщины. В случае невозможности применения центрифугирования заготовки просто окунают в фоторезист.

Под действием света в фоторезисте происходят химические реакции, которые и позволяют создать структуру на поверхности кристалла. Фоторезисты делятся на негативные и позитивные. В первом случае участки, подвергнутые действию света, закрепляются, а все остальное вымывается при помощи проявителя. В позитивном фоторезисте напротив закрепляются не освещавшиеся участки, именно такие фоторезисты и используют чаще всего.

4. Предварительное задубливание.

Резист после нанесения нуждается в просушке. При этом образец помещается в печь, где он находится в течение пяти минут при температуре порядка 100 оС. На этом этапе растворитель, содержащийся в фоторезисте, испаряется, что приводит к увеличению адгезии, предотвращает прилипание к фотошаблону, а так же обеспечивает возможность добавления второго слоя фоторезиста [7].

5. Фотолитография.

Фотолитографический процесс по праву считается главным процессом при создании микросхемы, так как на этом этапе и создается необходимая структура на поверхности многослойного образца.

При экспонировании слой фоторезиста освещается светом ультрафиолетового или видимого диапазона. Освещение происходит через фотошаблон, на который нанесена требуемая схема. При этом внутри фоторезиста формируется так называемое скрытое изображение.

Как правило, фотошаблон представляет собой маску из хрома на стеклянной подложке. Прежде чем приступить к реальному изготовлению, все фотошаблоны разрабатываются и оптимизируются при помощи компьютерных систем проектирования.

Чаще всего в качестве фотошаблона используются фазосдвигающие маски. Как правило, при экспонировании соседних участков на фотошаблоне лучи имеют близкие по значению фазы, что приводит к их интерференции и образованию муаров, а как следствие и к уменьшению разрешения при работе в условиях близких к дифракционному пределу. Для исключения подобных эффектов, части фотошаблона покрывают специальным фазосдвигающим веществом, таким образом, что между соседними лучами создается сдвиг фазы в 90 градусов - эта процедура существенно увеличивает качество получаемого изображения [8].

Различные элементы фазосдвигающей маски определяют положение резисторов, конденсаторов и других элементов, определяющих требуемую интегральную схему.

Процесс фотолитографического экспонирования осуществляется через фотолитографический объектив при помощи установки, которая очень точно позиционирует кристаллическую пластину и фотошаблон. Точность этой установки должна быть не менее десятой доли микрометра.

6. Вторичное задубливание.

Не обязательный шаг, используется только в случае, когда изображение содержит острые края. Для выполнения этой процедуры образец выдерживается в печи при средних температурах.

7. Проявление.

Образец погружают в проявитель, при этом в слое фоторезиста происходит химическая реакция. Необходимые места укрепляются, остальное вымывается, в итоге на поверхности пластины образуется структура, являющаяся уменьшенной копией маски фотошаблона.

8. Травление.

Типы травления делятся на сухое (плазменное) и жидкостное. Выбор того или иного типа травления зависит от поставленной задачи. В итоге создается требуемая топография внутри полупроводниковой пластины.

9. Электроосаждение.

Электроосаждение заключается в осаждении электролитического материала в окнах фоторезиста. В конце этого этапа уже ненужный фоторезист удаляют.

Описанные этапы повторяют для всех уровней многослойной микросхемы, при этом каждый из новых слоев нужно точно сориентировать и совместить с полученными ранее слоями. Таким образом, постепенно набирается многоуровневая структура напоминающая «вафлю», так как полупроводниковая пластина содержит набор многослойных микросхем, образуя тем самым сложный лабиринт из участков с разными типами проводимости.

На одной такой пластине создается сразу несколько сотен микросхем. Поэтому пластина разрезается на отдельные микросхемы, к которым присоединяются соответствующие выводы. Далее полученные микросхемы покрываются защитным слоем и устанавливаются в корпус.

В настоящее время активное развитие получили такие технологии производства микросхем, как рентгеновская литография и электронная литография, но, тем не менее, пока эти методы далеки от оптической фотолитографии по производительности и надежности, поэтому в массовом производстве микросхем для флеш памяти и микропроцессоров по-прежнему лидирует фотолитография.

Минимальный размер элемента интегральной схемы определяется дифракционным пределом проекционного объектива использующегося при ее создании. Для объектива с числовой апертурой 0,95 с использованием эксимерного лазера ArF (длина волны излучения 193 нм) в качестве источника на воздухе минимальный элемент равен 124 нм.

В фотолитографии применяют несколько основных способов уменьшения дифракционного предела. Самым простым из них является использование иммерсионной жидкости (как правило, воды) в промежутке между полупроводниковой пластиной и объективом [9].

Как уже упоминалось ранее, использование фазосдвигающих масок так же позволят значительно увеличить разрешение.

Кроме того, следует упомянуть о таком методе увеличения разрешения, как коррекция эффекта оптической близости. Этот способ позволяет бороться с искажениями на острых краях элементов путем введения компенсирующих элементов на фотошаблонах.

Еще одним способом уменьшения критических размеров элементов интегральных схем является двойное экспонирование. Суть методики сводится к последовательному экспонированию одного и того же слоя фоторезиста двумя фотоошаблонами с различными микрорисунками. Структуры этих микрорисунков дополняют друг друга таким образом, что при совмещении получается нужная схема с лучшим разрешением [10,11,12].

Кроме того очень часто одновременно с описанными методами так же применяют силилирование в процессе образования рисунка, многослойный фоторезист или внеосевое освещение маски.

Так, например, современная фотолитографическая установка TWINSCAN XT:1950Hi от компании ASML позволяет за один час создавать один топографический слой в ста кремниевых пластинах диаметром 300 мм. Обеспечиваемый минимальный размер элемента при этом достигает 38 нм. В установке используется иммерсионная литография с водяной прослойкой и аргон-фторидный эксимерный лазер с длиной волны 193 нм [13].

Лабораторные установки показывают и более впечатляющие результаты с возможностью уменьшения размера элемента до 9 нм [11].

К основным направлениям дальнейшего развития оптической фотолитографии относят использование лазеров с меньшими длинами волн, а так же создание «суперимерсий», с коэффициентом преломления большим, чем коэффициент преломления воды.

Производительность, качество и надежность фотолитографической установки в первую очередь зависит от качества ее проекционной системы, которая в свою очередь зависит от совокупности таких характеристик как: числовой апертуры, длинны волны источника излучения, степени когерентности, свойств используемых оптических материалов и многого другого.

В данной работе моделируется формирование изображений при помощи проекционных фотолитографических объективов, а так же исследуется влияние характеристик двулучепреломления на качество этих изображений.

Компьютерное моделирование является важным этапом разработки любых сложных технических изделий. Оно позволяет еще в момент проектирования выбрать оптимальные параметры будущей системы, а так же режимы ее работы. Благодаря таким моделям можно оптимизировать экспозицию, правильно сконфигурировать фазосдвигающие шаблоны, определить другие параметры системы.

Кроме того компьютерное моделирование позволяет изучить возможности новых принципов и решений для получения лучших характеристик.

Задача любой математической модели - максимально соответствовать физическому процессу, который она описывает. Другим преимуществом компьютерного моделирования является возможность расчета не только поверхностных изображений, но и скрытых изображений в толщине слоя фоторезиста. Кроме того, при наличии информации о химических свойствах фоторезиста существует возможность моделирования постэкспозиционных изображений.

Основными особенностями, влияющими на качество фотолитографических систем, являются неприменимость стандартных скалярных методов из-за высоких числовых апертур [14], необходимость учета частичной когерентности источников [15], поляризационные свойства материалов (в системах с ультрафиолетовым освещением) [16], а так же нелинейности в фоторезистах. Описанные особенности мотивируют к поиску новых методов расчета формирования изображения. При этом возникает необходимость применения дифракционной теории в векторном виде.

Поляризационные свойства оптических материалов, а так же двулучепреломление могут оказать серьезное воздействие на качество изображения проекционных фотолитографических систем. Дело в том, что деформация волнового фронта, вызванная двулучепреломлением,

пропорциональна длине волны проходящего излучения. Следовательно, чем меньше длина волны, тем строже должны быть допуска на двулучепреломление.

До последнего времени в качества источников излучения в фотолитографии использовали лазеры с активным материалом из KrF (рабочая длинна волны 248 нм), дополнительный учет двулучепреломления в этом случае не требовался. Однако, в настоящее время, для увеличения разрешения, применяются лазеры с такими веществами как А^ (193 нм) или F2 (157 нм), для которых описанная деформация волнового фронта может оказаться существенной.

Выводы по главе

1. Рассмотрен процесс фотолитографии.

2. Приведены основные параметры современных фотолитографических установок.

3. Сформулировано обоснование необходимости исследования остаточного двулучепреломления в материалах проекционных фотолитографических систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никулина Екатерина Алексеевна, 2016 год

- - -С

С2е2 = +к => к = 2с1 - - = 2с1 - - с- = -2е2. (п.1.12)

Подставляя в уравнение П.1.5 выражение П.1.10 находим: С 22/2 + Т-2 = 1/2. (П.1.13)

Следовательно, Т = -2 / 2.

г) Рассмотрим свет с круговой поляризацией и амплитудой А (радиус круга). Амплитуды компонент, параллельных оси Ох и оси Оу, обе равны А, так что

(столбец Стокса для света поляризованного по кругу) I = 2А , Q = и = 0 и

V = 2 А2. Прибор преобразует такой свет в линейно-поляризованный под углом 0 к оси Ох с амплитудой А. Следовательно, Н = АС, К = А—, Л = 0, откуда

I = А2, Q = А2(С12 --12) = А2С2, и = 2АС1 • А--1 = А2-2, V = 0, т.е. получаем плоско поляризованный свет. Исключая А , находим:

(П.1.14)

" 1" " 1/2 С2/2 -2/2 Б ~ "2"

С 2 С2/2 С 22/2 С Н 0

- 2 - 2/2 С2-2 /2 ь М 0

_ 0 _ _ 0 0 0 -_ _2_

откуда

1 = 1 + 2П => П = 0

с = с + 2н => Н = 0

-2 = -2 + 2М => М = 0

(П.1.15) (П.1.15) (П.1.15) (П.1.15)

0 = 2- => - = 0. Уравнение П.1.6 с учетом известного выражения П.1.11 дает:

(П.1.16)

(П.1.17) (П.1.18)

А из уравнения П.1.7 с учетом известных выражений П.1.12 и П.1.15 имеем:

-2 = -2 / 2 + -С22/2 + Ь-2, (П.1.16)

С2 = С2 /2 + С2 / 2 + G-2,

в-2 = С2 /2- С23 /2 = (С2 /2)(1 -С22) = С2-22 /2,

С = С2 -2 / 2.

LS2 = S2 /2 - S2C /2 = (S2 /2)(1 - C22) = S2 /2

(П.1.17) (П.1.18)

Таким образом, матрица Мюллера поляризатора записывается в виде:

L = S 22/2

" 1

C2

S 2 0

C C

C 2 S 2 0

S 2

C 2 S 2 S2

00

(П.1.19)

Произвольная фазовая пластинка, оптическая ось которой составляет угол 0 с осью х

Запишем матрицу Мюллера в общем виде: 'Ж В Y В'

Z =

E F G H K L M N P R X T

(П.2.1)

Пусть С1 = cos0, С2 = cos 20, Sx = sin0, S2 = sin 20, p = cos A, fi = sin A. В зависимости от состояния поляризации исходного излучения существует несколько вариантов его преобразования.

а) Неполяризованный свет после прохождения через прибор остается без изменения. Следовательно,

(П.2.2)

1" 'W B Y D" "1" "W"

0 E F G H 0 E

0 K L M N 0 K

0 P R X T 0 P

т.е. Ж = 1, Е = 0, К = 0, Р = 0.

б) Любые колебания вдоль оптической оси прибора остаются без изменения после прохождения через прибор, т.е. плоскополяризованный свет остается плоскопляризованным в той же плоскости.

1" "1 B Y D ~ " 1 "

С2 0 F G H С2

S 2 0 L M N S 2

0 _ 0 R X T _ 0 _

1 + BC2 + YS2 FC 2 + GS2 LC2 + MS2 RC2 + XS2

Таким образом

BC2 + YS2 = 0

FC 2 + GS2

LC2 + MS 2 = S2

RC2 + XS2

0

(П.2.4) (П.2.5) (П.2.6) (П.2.7)

в) Воздействие прибора на колебания единичной амплитуда вдоль оси х. Для такого колебания х = sin mt, y = 0, I = Q = 1, U = V = 0. Рассмотрим повернутую систему координат, изображенную на рисунке П.2.1. Так что оптическая ось направлена вдоль оси так что колебания в Е-луче происходят вдоль оси а в О-луче - вдоль оси п, следовательно % = С sin mt, г = Sx sin mt.

Рисунок П. 1.1. Повернутая система координат После прохождения фазовой пластинки О-колебания отстают по фазе на 5 относительно Е-колебаний. Следовательно, на выходе пластинки:

] = -S1 sin(mt — S) = —S1 sin m ■ cosS + S1 cosmt • sin S, (П.2.8)

£ = Cl sin wt. (П.2.9)

Таким образом, результирующие составляющие вдоль осей х и у можно записать в виде:

C sin wt SlPsinwt + S^coswt

X "C1 - S11

_ y _ _ S1 C1 J

C12 sin wt + S12p sin wt - S^ м cos wt S1C1 sin wt - S1C1P sin wt + S1C1m cos wt

c2 + s?p - s^m

S1C1(1 - P) scm

sin wt cos wt

(П.2.10)

где p = cosd, а ¡i = sin д.

Кроме того, если, если, в конечном счете, x = H sin( wt + Ф) y = Ksin(wt + a), т.е. А = а-ф, можно написать следующее:

и

X

_ y _

H cosф H sin ф K cosa K sin a

sin wt coswt

(П.2.11)

Таким образом

H е<^ф H sin ф K cosa K sin a

с? + s2p - s2m .ад(1 - p) здм.

(П.2.12)

Умножая каждую матрицу на ее транспонированную, как прежде, получаем:

H2

HK cos A

2

HK cos A K Это дает

с; + 2s12c12p+s; s2c2 (1 - p) / 2

S 2 C2 (1 - p)/2 2SfCf(1 -p)

(П.2.13)

I = H2 + K2 = 1,

Q = H2 -K2 = C22 + S22p,

U = 2HK cos A = S2C2 (1 - p), так что (из равенства 12 = Q2 + U2 + V2) имеем

2 2 2

V = S^m . Отсюда следует, что V равно либо + S2м, либо - S2м- Для того, чтобы выбрать правильный ответ, рассмотрим снова равенство П.2.12.

Приравнивая друг другу определители этих двух матриц, находим HK (sin acosф - cos a sin ф) =

= мВД (C12 + S¡p) + mS¡Cx (1 - p) = MS1C1

(П.2.14)

Отсюда сразу получаем HK sin(a — ф) = S1C1^ Следовательно,

V = 2HKsin А = 2HKsin(a — ф) = 2SlClM = S2/u Таким образом,

(П.2.16)

1 " "1 B Y D ~ T "1 + B ~

С22 + S22ß 0 F G H 1 F

S 2C2 (i — ß) 0 L M N 0 L

S 2 Л _ 0 R X T 0_ R

(П.2.17)

Откуда B = 0, F = C22 + S22ß, L = S2C2(1 — ß), R = S2 Из этих равенств учитывая П.2.4-П.2.7.

Y = 0 (П.2.18)

G = C2 S 2 (1 -ß) (П.2.19)

M = S 2 + C22ß (П.2.20)

X = —C 2л (П.2.21)

г) Действие фазовой пластинки на пучок света с круговой поляризацией, для которого х = cos zut, y =—sin mt, а параметры Стокса имеют вид (2, 0, 0, 2). Так же, как и в пункте «в», перейдем к осям £ и п, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна оптической оси пластинки, и рассмотрим вызываемое пластинкой отставание по фазе на 5 О-колебаний относительно. E-колебаний, а затем снова вернемся к старым осям х и у. В результате имеем:

Ci —/Si — Siß

х "C1 — S11 " 1 0" " C1 S1 0 1 sin mt

_ У _ _ S1 C1 _ л ß_ _— S1 Ci — 1 0 cosmt

Бх + С СХР (П.2.22)

Точно так же, как и в пункте «в», нужно умножить матрицу, связывающую

"— S1 C1 " sin mt sin mt

X = G

_— C1 — S1 _ cos mt cos mt

столбцы

х sin mt

и

_ У _ cosmt

, на ее транспонированную. В данном случае удобно

воспользоваться теоремой матричной алгебры относительно транспонирования

т т т

произведения матриц. Нетрудно проверить, что (АВ) = (В) (А) , т.е. матрица, транспонированная по отношению к произведению двух матриц, равна произведению отдельных транспонированных матриц, но в обратном порядке.

Таким образом, (АВ)( АВ)т = (А)( В)( В)т (А)т = (А)( ВВТ)(А)т (поскольку

матричное произведение ассоциативно).

Применяя это свойство к матрице О получаем:

х

GGT = Ci - А - S1P '- S1 С1 "

S1 + juC1 Сф _ _- С1 - S1 _

X

- S1 - С11

_ С1 - S1J

С1 - /uS1 S1 + /лС1 SJ Сф

(П.2.23)

В этом произведении перемножение двух средних матриц дает единичную 1 0"

матрицу

0 1

, которую можно не учитывать. В результате перемножения двух

других матриц после упрощающих преобразований получаем

Как прежде, эта матрица должна быть ровна матрице

H 2 HK cos А

1-PS2 + МС2

+ VC2 1 + ^S2

HK cos А

K 2

Q = H2 -K2 =-2^S2.

О О

Таким образом I = H 2 + K2 = 2,

U = 2HK cos А = 2C. Равенство 12 = Q2 + U2 + V2 приводит к V2 = 4ф2, но величина V может быть равной либо + 2ф, либо - 2ф. Чтобы дать однозначный ответ, снова приравниваем друг другу найденные нами две матрицы 2Х2, которые

связывают между собой матрицы-столбцы

X sin ZDt

и

_ y J cosrnt

Это равенство

записывается в виде:

H cosф H sin ф С1 - Sxp "- S1 С1"

K cos a K sin a S1 + ¡лС1 Сф J _- С1 - S1J

(П.2.24)

Приравнивая определитель левой матрицы в этом равенстве произведению определителей матриц, стоящих в правой части равенства, получаем: HK (sin о cosф — coso sin ф) =

= (C2p — jPS1C1 + S?P + jPS1C1 )(S2 + C12) = P. (П.2.24)

Отсюда сразу же следует:

HKsin(o — ф) = P, т.е. V = 2HKsin А = 2HKsin(o — ф) = 2P. Таким образом,

(П.2.25)

2 " "1 B Y D " "2" " 2 + 2 D"

— 2j 2 0 F G H 0 0 + 2H

2JC 2 0 L M N 0 0 + 2 N

2P _ 0 R X T 2 0 + 2T

откуда Б = 0, Н = -^2, N = цС2, Т = р. Следовательно, матрица фазовой пластинки в общем случае имеет вид:

"1 0 0 0 "

0 С22 + Б1р С 2 52(1 -р) - Б2ц

0 ^(1 -Р) +РС22 С2^

0 52Ц - С2Ц Р

(П.2.26)

Приложение 2. Система зрачковых координат

Обычно распространение света через оптическую систему от предмета до изображения выражается при помощи канонических координат.

Формулы расположения точек на зрачке в канонических, или как их еще называют зрачковых (относительных), координатах определяется следующим образом:

р.х = ^ = р = Р'х (П.3.1)

Рх = р. = р = Р, (П.3.2)

где рх, ру - входные канонические координаты; Ах, Ау - передние обобщенные апертуры; р'х, ру - выходные канонические координаты; А'х, А'у -

задние обобщенные апертуры.

Для изображения и предмета канонические (приведенные) координаты описываются следующими формулами:

Лх = - хА = - х' А = л'х (П.3.3)

лу =- у~ = - у-у = л'у, (П.3.4)

АУ- = -у' А

Я А

где х, у - обобщенные координаты на предмете; х', у' - обобщенные координаты на изображении; X - длина волны излучения.

Канонические координаты по источнику излучения: с

4 = ^ (П.3.5)

Ау

5

^у =-у, (П.3.6)

ау

где 5х, 5у - координаты на изображении источника.

К основным преимуществам использования канонических координат при расчете формирования изображения можно отнести следующие их свойства:

• зрачок всегда описывается кругом с радиусом равным единицы;

• увеличение оптической системы так же получается равным единице;

• масштаб в области изображения источника и области зрачка остается одинаковым;

• дифракция, как на выходном зрачке, так и на предмете моделируется простым преобразованием Фурье. Использование масштабных множителей не требуется.

Канонические координаты обеспечивают удобный для преобразований и вычислений вид, что позволяет упростить и разделить между собой различные алгоритмы расчетов.

Приложение 3. Пример серии фотоснимков

Снимки основного измерения:

Приложение 4. Пример рассчитанной карты двулучепреломления

Рисунок П.4.1. Двумерное распределение величины двулучепреломления

Рисунок П.4.2. Двумерное распределение ориентации двулучепреломления