Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей от тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Волкова, Алла Владимировна

• Волкова, Алла Владимировна
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Волкова, Алла Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ТОРОИДАЛЬНОГО ИСТОЧНИКА.

1.1 Математические модели.

1.2 вариационные постановки.:.

1.3 Построение конечноэлементных аппроксимаций.

1.4 Методы решения конечноэлементных СЛАУ.

1.5 Сравнение с полуаналитическим подходом.

1.6 Сравнение результатов, полученных с использованием различных постановок.

1.7 Выводы.

ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОКАРОТАЖА В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ.

2.1 Построение двумерных сеток.

2.2 Сравнение тороидального и петлевого источников при профилировании в осесимметричной среде.

2.3 Учет возможной конструкции прибора.

2.4 Выводы.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ТОРОИДАЛЬНОГО ИСТОЧНИКА.

3.1 Математические модели.

3.2 Верификация решения трехмерной задачи.

3.3 Сравнение вычислительных затрат на получение решения по технологии с выделением поля и по технологии с включением источника в трехмерную задачу.

3 А Сравнение вычислительных затрат векторного и узлового МКЭ при расчете низких частот.

3.5 Выводы.

ГЛАВА 4. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ СЕТКИ В ХАРАКТЕРНЫХ ДЛЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОКАРОТАЖА СИТУАЦИЯХ.

4.1 Построение трехмерных конечноэлементных сеток для сред с наклонными слоями.

4.2 Построение сетки в околоскважинной зоне.

4.3 Результаты решения трехмерных задач.

4.3.1 Задача со слоем, границы которого параллельны оси скважины

4.3.2 Задача со скважиной, которая пересекает раздел двух сред.

4.3.3 Задача со скважиной, которая пересекает наклонный слой.

4.3.4 Задача о влиянии смещения зонда к стенке скважины.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей от тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах»

В последние десятилетия развитие вычислительной техники и численных методов привело к возможности построения эффективных вычислительных алгоритмов моделирования электромагнитных полей, которые в свою очередь являются мощным инструментом теоретических исследований и широко используются в различных областях науки и техники.

Среди всех задач моделирования электромагнитных полей можно выделить широкий спектр задач, в которых электромагнитное поле возбуждается гармоническими источниками тока. Методы, основанные на использовании гармонических полей, успешно применяются, например, в задачах электрокаротажа [19,23], которые, как известно, представляют собой геофизические исследования, основанные на оценке параметров среды в околоскважинном пространстве с целью изучения вскрытого скважиной геологического разреза.

Довольно часто для вычисления характеристик гармонических электромагнитных полей применяют аналитические и полуаналитические методы, использующие некоторые упрощения математической модели поля. Эти методы разрабатывались в трудах таких ученых, как В.С.Могилатов, М.И.Эпов и др. [1,26,53,83,98,110,112,114]. Основное достоинство этих методов состоит в том, что базирующиеся на их использовании алгоритмы позволяют достаточно быстро, с небольшими вычислительными затратами получать характеристики изучаемого поля, а к их недостаткам можно отнести невозможность учета всех особенностей решаемой задачи, в том числе и полностью адекватного учета структуры среды. Методы численного моделирования являются с этой точки зрения более универсальными, хотя в тех частных случаях, когда аналитические и полуаналитические методы применимы, могут проигрывать им из-за гораздо более высокой сложности получения конечного результата.

В настоящее время при решении дифференциально-краевых задач, описывающих различные электромагнитные поля, широко используется метод конечных элементов (МКЭ) как один из наиболее эффективных численных методов решения задач математической физики [16,17,24,28,52,58,73].

Однако применение стандартных вычислительных конечноэлементных схем для моделирования трехмерных электромагнитных полей требует очень больших вычислительных затрат. Это приводит либо к большим погрешностям решения из-за использования недостаточно подробной сетки, либо к чрезмерно большому времени счета при решении важных практических задач. Предложенный в [34,35,44,58,59,60,61,62,64] подход к конечноэлементному моделированию с выделением двумерной части поля позволяет при решении многих трехмерных задач во много раз снизить вычислительные затраты и тем самым сделать эти задачи доступными для решения с необходимой точностью при относительно небольших вычислительных затратах. В предлагаемой диссертационной работе будут построены основанные на таком подходе конечноэлемент-ные схемы моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками типа тороидальная катушка и токовая петля.

Таким образом, актуальность данной диссертационной работы определяется необходимостью создания эффективных методов решения трехмерных электромагнитных задач для гармонических источников.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема разработки методов численного моделирования гармонических электромагнитных полей от источника в виде тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах, характерных для задач электрокаротажа.

В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач.

Цели и задачи исследования Расчет вызванных гармоническим тороидальным источником осесимметричных электромагнитных полей. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

- разработаны конечноэлементные схемы моделирования осесиммет-ричных электромагнитных полей, возбуждаемых тороидальным гармоническим источником, для двух постановок: скалярной - для </?-компоненты напряженности магнитного поля и векторной - для г - и х -компоненты напряженности электрического поля;

- разработаны алгоритмы автоматического перестроения конечноэле-ментных сеток при перемещении источника вдоль оси скважины, на основе чего реализованы методы автоматического расчета соответствующих гармонических полей с выдачей значений в одном или нескольких приемниках; выполнена программная реализация разработанных конечноэлемент-ных схем моделирования осесимметричных полей, вызываемых гармоническим током в тороидальной катушке, на основе скалярной (для Н(р ) и векторной (для Ег, Е2) постановок. Моделирование трехмерных электромагнитных полей от гармонических индукционных источников в виде тороидальной катушки и круговой петли. Для этого были решены следующие задачи:

- разработаны конечноэлементные схемы моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей с выделением осесиммет-ричной части поля при его возбуждении тороидальным или петлевым источником; проведена верификация разработанных вычислительных схем трехмерного моделирования на задачах меньшей размерности (в осесимметричных средах), а также путем сравнения решений, полученных с использованием различных постановок; изучена реакция электромагнитных полей, возбуждаемых тороидальным и петлевым источниками, на трехмерные неоднородности удельного сопротивления в ситуациях, характерных для задач электрокаротажа.

Научная новизна

1. Предложены конечноэлементные схемы моделирования возбуждаемых гармоническим током в тороидальной катушке осесимметричных электромагнитных полей, основанные на использовании узлового (для Н ) и векторного (для Ег, Е2) МКЭ.

2. На основе метода выделения поля разработаны конечноэлементные схемы моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармоническими индукционными источниками.

3. Проведено сравнение тороидального и петлевого источников для некоторых задач электрокаротажа.

4. На основе разработанных методов моделирования исследовано поведение трехмерных электромагнитных полей в ситуациях, когда гармонический тороидальный источник смещен относительно оси скважины и когда скважина наклонена к пересекаемому ею разделу сред или слою под некоторым углом.

На защиту выносятся:

1. Конечноэлементные схемы моделирования вызванных гармоническим током в тороидальной катушке осесимметричных электромагнитных полей, базирующиеся на двух различных постановках: скалярной для (для Н' ) и векторной (для Ег, Е2).

2. Математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей, основанные на выделении осесимметричной части поля.

3. Сравнительный анализ схем моделирования гармонических электромагнитных полей, основанных на использовании различных математических моделей и конечноэлементных аппроксимаций.

4. Результаты моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническими индукционными источниками, в некоторых характерных для задач электрокаротажа ситуациях: источник перемещается вдоль оси скважины в осесимметричной среде, когда скважина пересекает слои под прямым углом; источник смещается с оси скважины к ее границе; скважина параллельна границе раздела сред; источник перемещается в скважине, которая наклонена к пересекаемому ею разделу сред или слою.

Достоверность результатов

Адекватность математических моделей и разработанных конечноэле-ментных схем и вычислительных процедур подтверждены следующими экспериментами:

1. Решение гармонической осесимметричной задачи в цилиндрически-слоистых средах сравнивалось с результатами, полученными другими авторами с использованием полуаналитических методов [26].

2. Верификация трехмерных расчетов проводилась на осесимметричных моделях путем сравнения с решениями, получаемыми на основе двумерных постановок для Н .и для {Ег, Ег ).

3. Одна и та же трехмерная задача решалась в трех постановках: для вектор-потенциала А и скалярного потенциала V (узловой МКЭ), для напряженности электрического поля Е и напряженности магнитного поля Н (векторный МКЭ).

Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы вычислительные схемы моделирования осесимметричных и трехмерных гармонических электромагнитных полей, вызываемых тороидальным источником.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе конечноэлементные схемы моделирования гармонических осесимметричных электромагнитных полей от тороидального источника тока реализованы в программном комплексе. Разработанные программы могут быть использованы для оценки возможностей электромагнитных зондирований с использованием тороидального источника при изучении параметров осесимметричных и трехмерных сред, включающих в себя скважину, зону проникновения, горизонтальные, вертикальные и наклонные слои и различные трехмерные неоднородности удельного сопротивления и диэлектрической проницаемости.

Личный вклад

Автором лично разработаны и программно реализованы конечноэле-ментные схемы моделирования осесимметричных гармонических электромагнитных полей для тороидального источника, вычислительные схемы решения трехмерных гармонических электромагнитных задач на основе выделения осесимметричной части поля, выполнены расчеты осесимметричных и трехмерных полей для источников в виде тороидальной катушки и круговой токовой петли. В совместных публикациях автору принадлежат в работе [40] - построение конечноэлементных сеток (с шестигранными ячейками) и проведение расчетов электромагнитных полей. в работах [9,10,31,33] — построение конечноэлементных аппроксимаций, разработка алгоритмов построения сеток, проведение конечно-элементных расчетов и анализ результатов.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на VII международном научном симпозиуме имени академика М.А.Усова 2004 «Проблемы геологии и освоения недр» (Томск, 2004 г.); Новосибирской научно-технической конференции имени Попова «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск 2005 г., 2008 г.); Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск 2005 г., 2008 г.); IX международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск 2008 г.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 10 работ, из них 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 4 статьи в сборниках научных трудов и 4 статьи в материалах конференций.

Структура работы

Диссертационная работа изложена на 143 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (115 наименований), приложения и содержит 66 рисунка и 18 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Волкова, Алла Владимировна

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований состоят в следующем.

1. Разработаны и программно реализованы конечноэлементые схемы моделирования осесимметричных электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим током в тороидальной катушке, в двух постановках: скалярной -для Н^ и векторной - для (Ег, Ег). Проведено их сравнение для осесимметричных сред со слоем при различных контрастах проводимости слоя и вмещающей среды.

2. Разработаны и программно реализованы алгоритмы автоматического перестроения двумерных сеток при перемещении источника вдоль оси скважины. Проведено сравнение откликов от различных слоев для тороидального и петлевого источников. Реализована возможность учета влияния каротажного прибора.

3. На основе метода выделения осесимметричной части поля разработаны вычислительные схемы конечноэлементного моделирования гармонических трехмерных электромагнитных полей от индукционных источников. Построенные численные процедуры протестированы на осесимметричных задачах и путем решения одной и той же трехмерной задачи в различных постановках (для Н и для Е). Проведено сравнение этих постановок по точности и вычислительным затратам.

4. Разработаны и программно реализованы средства генерации трехмерных сеток с шестигранными ячейками в ситуациях, когда скважина и зона проникновения пересекают раздел сред или аномальный слой под произвольным углом, а также для учета ситуаций, когда прибор с круглым поперечным сечением смещен с оси скважины.

5. Построены аппроксимации трехмерных задач на базе трех различных моделей электромагнитного поля - системы уравнений для потенциалов (А, У), векторного уравнения для напряженности электрического поля Е и векторного уравнения для напряженности магнитного поля Н .

6. С помощью разработанных вычислительных процедур и реализующего их программного комплекса выполнены расчеты трехмерных гармонических электромагнитных полей от тороидального и петлевого источников в ситуациях, характерных для задач электрокаротажа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Волкова, Алла Владимировна, 2009 год

1. Альпин JIM. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике / JIM. Альпин, Д.С. Даев, А.Д. Каринский. М.: Недра, - 1985. - 407 с.

2. Антонов Ю.Н. ВИКИЗ обоснование и интерпретация / Ю.Н. Антонов, М.И. Эпов // Состояние и пути развития высокочастотного электромагнитного каротажа: Материалы научно-практической конференции, Новосибирск, НИЦ ОИГГиМ СО РАН, 1998. - С. 6-14.

3. Антонов Ю.Н. Эффективность и перспективы метода ВИКИЗ/ Ю.Н.Антонов, М.И.Эпов, К.Н.Каюров // Каротажник. 1998. - № 53. -С. 30-51.

4. Антонов Ю.Н. Интерпретация данных ВИКИЗ в комплексе актуальных задач нефтяной геологии / Ю.Н.Антонов, М.И.Эпов, Ю.Н. Карогодин, Д.П. Юшин, Н.К Глебочева// Каротажник. 2002. -№ 100. - С. 172-193.

5. Антонов Ю.Н. Интерпретация диаграмм ВИКИЗ / Ю.Н.Антонов // КароIтажник. 1999. - № 64. - С. 3-43.

6. Волкова A.B. Математические модели для конечноэлементных расчетов трехмерных гармонических полей, вызываемых тороидальным током / A.B. Волкова // Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. - № 2(56). - С. 33-36.

7. Волкова A.B. Программно-математическое обеспечение моделирования осесимметричных полей в задачах электрокаротажа для двух источников индукционного типа / A.B. Волкова, М.Г. Персова // Научный вестник НГТУ. 2009. - № 2(35). - С. 3-7.

8. Ельцов И.Н. Технология интерпретации в системе МФС ВИКИЗ+ / И.Н. Ельцов // Состояние и пути развития высокочастотного электромагнитного каротажа, Новосибирск, НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. С. 40-41.

9. Иванов В.Т. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа / В.Т. Иванов, М.С. Масютина. М. Наука, 1983. - 143 с.

10. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем / В.П.Ильин. М.:Физматлит, 1995. - 288 с.

11. Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов / В.П. Ильин. — Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 2007. 371 с.

12. Кулон Ж.-Л. -К. САПР в электротехнике / Ж.-Л. Кулон, Ж.-К. Сабоннадьер; Перевод с фр. В. А. Соколова; Под ред. Э. К. Стрельбицкого. — М.: Мир, 1988.-204 с.

13. Мартаков C.B. Прямые задачи электромагнитного каротажа / C.B. Марта-ков, М.И. Эпов // Геология и геофизика. 1999. - Т.40. - №2. - С. 249-254.

14. Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э.Митчел, Р.Уэйт. М.: Мир, 1981. - 216 с.

15. Могилатов B.C. Возбуждение слоистых геоэлектрических сред гармоническим током / B.C. Могилатов, Г.А.Борисов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т.6. -№1(13). - С. 77 - 98.

16. Персова М.Г. «Математическая модель и конечноэлементная аппроксимация осесимметричного поля, возбуждаемого тороидальным током» / М.Г.Персова, А.В.Зинченко (A.B. Волкова) // Сб. науч. тр. НГТУ. 2005. -№3(41).-С. 33-38.

17. Персова М.Г. «Математическое моделирование постоянного электрического поля при заряде и измерениях в обсаженных скважинах» / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик // Сибирский журнал индустриальной математики.-2006.-№ 1(25)-С. 116-125.

18. Персова М.Г. «Моделирование трехмерных стационарных магнитных полей вертикальной электрической линии» / М.Г. Персова // Научный вестник НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 2006. - №1(22) - С. 113-122.

19. Персова М.Г. Зондирование становлением поля трехмерных сред и проблемы интерпретации / М.Г. Персова // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - № 2(38) - С. 84-96.

20. Персова М.Г. «Применение шестигранных конечных элементов для решения задач геоэлектрики» / М.Г. Персова, Д.В.Шилак // Сб. науч. тр. НГТУ. 2005. - № 2(40). - С. 9-14.

21. Писсанецки С. Технология разреженных матриц / С.Писсанецки. — М.: Мир, 1988.-410 с.

22. Рояк М.Э. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток / М.Э.Рояк, Ю.Г.Соловейчик // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1996. -№2(4). - С. 39-46.

23. Рояк С.Х. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей: дис. . канд. тех. наук : 05.13.18 / С.Х.Рояк — Новосибирск, 2000. -206 с.-Библиогр.: с. 162-171.

24. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон. -М.: Мир, 1989. 192 с.

25. Светов Б.С. Основы геоэлектрики / Б.С.Светов. — М.: Издательство ЛКИ, 2008.-256 с.

26. Эпов М.И. Оценка электрической анизотропии по диаграммам ВИКИЗ / М.И. Эпов, К.В. Сухорукова, М.Н. Никитенко // НТВ "Каротажник". -1999.-№54.-С. 17-29.

27. Соловейчик Ю.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, М.Г. Персова // Учебное пособие. Сер. «Учебники НГТУ». Новосибирск: НГТУ, 2007. — 899 с.

28. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Дис. . д-ра техн. наук : 05.13.16 / Ю.Г. Соловейчик. — Новосибирск, 1997. 333 с. -Библиогр.: с. 307-333.

29. Соловейчик Ю.Г. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, В.С.Моисеев, A.B. Васильев // Физика Земли. -1997.-№ 9. С. 67-71.

30. Соловейчик Ю.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, B.C. Моисеев, Г.М.Тригубович // Физика Земли. 1998. - № 10. -С. 78-84.

31. Соловейчик Ю.Г. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии / Ю.Г.Соловейчик, М.Г. Персова, Г.М.Тригубович // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т.6. - №2(14) - с. 107-125.

32. Соловейчик Ю.Г. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии / Ю.Г.Соловейчик, М.Г.Персова, Ю.В.Тракимус // Доклады АН ВШ январь-июнь №1(2), 2004 С. 76-86.

33. Соловейчик Ю.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеидальных сетках / Ю.Г. Соловейчик, М.Г.Токарева, М.Г. Персова // Вестник ИрГТУ. Иркутск. — 2004. — № 1.-С. 45-60.

34. Соловейчик Ю.Г. Разработка системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки/ Ю.Г. Соловейчик,

35. М.Э. Рояк, Г.М.Тригубович, A.B. Чернышев // Доклады СО АН ВШ январь-июнь №1(5), 2002-С. 105-114.

36. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г.Стренг, Дж.Фикс М.: Мир, 1977.-350 с.

37. Тракимус Ю.В. Исследование точности расчета векторным МКЭ нестационарного осесимметричного электромагнитного поля / Ю.В.Тракимус // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск, 2005. - № 4(42). - С. 57-62.

38. Токарева М.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки / М.Г.Токарева, М.Г.Персова, А.Г. Задорожный // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск, 2002. - № 2(28). - С. 41-48.

39. Воронежский государственный университет, 2003. 742 с.) - г. Мирный — 2003.-С. 301-311.

40. Уэйт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм / Дж. Р.Уэйт. — М.: Недра, 1987. 235 с.

41. Эпов М.И. Электромагнитные методы исследования скважин / М.И. Эпов -Новосибирск: Наука, 1979. 104 с.

42. Эпов М.И. Система одномерной интерпретации данных высокочастотных индукционных каротажных зондирований / М.И. Эпов, М.Н. Никитенко // Геология и геофизика. 1993.-Т. 34. -№2. - С. 124-130.

43. Эпов М.И. Особенности высокочастотных индукционных зондирований в скважинах с горизонтальным завершением / М.И. Эпов, К.В. Сухорукова, М.Н. Никитенко, Ю.Н. Антонов // Геология и геофизика. 1998. - Т. 39. — №5. - С. 649-656.

44. Эпов М.И. Оценка электрической анизотропии по диаграммам ВИКИЗ / М.И. Эпов, К.В. Сухорукова, М.Н. Никитенко // НТВ "Каротажник" -1999.-№54, С. 17-29.

45. Эпов М.И. Характеристики пространственного разрешения зондов ВИКИЗ / М.И. Эпов, В.Н. Ульянов // Электр, и электромагн. методы исследования в нефтегазовых скважинах — Новосибирск, Изд-во СО РАН, НИЦ ОИГГГМ, 1999.-С. 196-211.

46. Эпов М.И. Интегрированная интерпретация данных ВИКИЗ по площади / М.И. Эпов, A.M. Пестерев, В.Н. Ульянов // Электр, и электромагн. методы исследования в нефтегазовых скважинах Новосибирск, Изд-во СО РАН, НИЦ ОИГТТМ, 1999. - С. 235-239.

47. Albanese R. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements / R.Albanese, G. Rubinacci // J.Comput.Phys. 1993. - Vol. 108. -P. 236-245.

48. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements / A. Bossavit Academic Press (Boston), 1998.

49. Bossavit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism / A. Bossavit // IEE Proc., 135, Pt.A, 1988. — P.493-500.

50. Cendes Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations / Z.J.Cendes // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. № 5 - P. 3958-3966.

51. Cingoski V. An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements / V.Cingoski, H. Yamashita // J. Applied Phys. 1994. - Vol.75. - № 10. - P. 6042-6044.

52. Dyczij-Edlinger R. A fast vector potencial method using tangentially continuous vector finite elements / R. Dyczij-Edlinger, G. J.-F. Peng, Lee // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. 1998. Vol. 46. P. 863-868.

53. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems / R. Fletcher // In G. A. Watson, editor, Proceedings of the Dundee Biennal Conference on Numerical Analysis 1974. Springer Verlag, New York, 1975. - P. 73-89.

54. Habashy T.M. Beyond the Born and Rytov approximation: a nonlinear approach to electromagnetic scattering / T.M Habashy, R.W. Groom // Spies B.R.J.Geophys. Res. 1993. 98. B2. P. 1759-1775

55. Lanczos C. Solution of systems of linear equations by minimized iterations. / C. Lanczos // Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1952-№49.-P. 33-53.

56. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in R3 / J.C.Nedelec // Numer. Math. №50, 1986 .-P. 57-81.

57. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 / J.C. Nedelec // Numer. Math. №35, 1980.-P. 315-341.

58. Rodrigue G.A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids / G.Rodrigue, D.White // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23; № 3. - P. 683-706.

59. Rieben R.N. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids / R.N. Rieben, G.H. Rodrigue, D.A. White.// Journal of Computational Physics vol.204, 2005. -P. 490-519.

60. Ren Z. High Order Differential Form-Based Elements for the for the Computation of Electromagnetic Field / Z. Ren , N.Ida // IEEE Transactions On Magnetics, VOL. 36, №. 4, 2000. P. 1472-1478.

61. Saad Y. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving non-symmetric linear systems / Y. Saad, M. Schultz // SIAM J. Sci. Comput. 1986. -vol. 7.-P. 856-869.

62. Sogabe T. A COCR method for solving complex symmetric linear systems / T. Sogabe, S.-L. Zhang. // Journal of Computational and Applied Mathematics, 199(2007), P. 297-303.

63. Soloveichik Y.G. Iterative method for solving finite element systems of algebraic equations / Y.G. Soloveichik // Computers Math. Applic — Vol.33, 1996 — P. 87-90.

64. Torres-Verdin C. Rapid 2.5 — dimensional forward modeling and inversion via a new scattering approximation / C. Torres-Verdin, T.M. Habashy // Radio Sci. 1994.-29.-№4.-P. 1051-1079.

65. H.A. van der Vorst, A Petrov-Galerkin type method for solving Ax=b, where A is symmetric complex / H.A. van der Vorst, J.B.M. Melissen // IEEE Transaction on Magnetics, Vol.26. № 2(1990). - P. 706-708.

66. Zhdanov M.S. Quasi-linear approximation in 3-D EM modeling/ M.S.Zhdanov, S. Fang // Geophysics. 1996a. 61 P. 646-665.

67. Zhdanov M.S. 3-D quasi-linear electromsgnetic modeling and inversion/ M.S.Zhdanov, S.Fang // Three Dimensional Electromsgnetics, Seg Monograph. -Tulsa, OK, 1999-P. 233-255.

68. Zhdanov M.S. Quasi-analitical approximations and series in electromagnetic modeling /M.S. Zhdanov, V.I.Dmitriev, S.Fang, G Hursan // Geophysics. 2000. 65. P. 1746-1757.

69. Zhou L. Residual smoothing techniques for iterative methods / L. Zhou, H. Walker.// SIAM J. Sci. Computing. vol. 15. - № 2 - 1994 - P. 297-312.