Неклассические начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными и нелинейными граничными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Стригун, Мария Владимировна

• Стригун, Мария Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стригун, Мария Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Нелокальные задачи для гиперболического урав нения с интегральными граничными условиями

§1. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной и по переменной времени интегральным условием

1.1. Постановка задачи 1

1.2. Разрешимость задачи 1

§2. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной интегральным условием

2.1. Постановка задачи 2

2.2. Разрешимость задачи 2

Глава 2. Начально-краевые задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения

§3. Начально-краевая задача с нелинейным граничным условием а(1, ¿)их(7, £) + \и(1, £)|ри(1, €) = О

3.1. Постановка задачи 3

3.2. Разрешимость задачи 3

§4. Начально-краевая задача с нелинейным граничным условием а(7, í)г¿ж(/, €) + А(Ь)ии(1, £) + \щ(1, Ь)\рщ(1, £) = 0 —

4.1. Постановка задачи 4

4.2. Разрешимость задачи 4 при A(t) = 0

5.2. Разрешимость задачи 4 при A(t) 0

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неклассические начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными и нелинейными граничными условиями»

Введение

Уравнения с частными производными начали исследоваться в связи с необходимостью решать задачи математической физики. К настоящему моменту некоторые классы задач хорошо изучены. В соответствии с потребностями естествознания сформировались классические постановки задач для основных типов уравнений. Однако современный уровень развития науки требует исследования различных процессов, которые невозможно моделировать с помощью классических задач, что приводит к необходимости изучения задач с условиями иных типов. Таким образом, возникла необходимость обобщения классических и постановки качественно новых задач. С другой стороны, появившиеся новые задачи оказались интересными с чисто теоретической точки зрения. Кроме того, у теории уравнений с частными производными был большой потенциал, связанный с появлением понятий обобщённой производной и пространств Соболева. Одним из классов качественно новых задач стали задачи с нелокальными условиями, о чём написал А. А. Самарский в обзорной статье " О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений" [48].

Нелокальными называют задачи, в которых граничные условия представляют собой соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных в граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение. Такие задачи активно изучаются в последние годы. Они точнее других описывают физические и биологические процессы, протекающие в областях с границей, недоступ-

ной для проведения непосредственных измерений. Отметим, что задачи с нелокальными условиями оказались тесно связанными с обратными задачами, возникающими в современном естествознании. На данный момент изучение нелокальных задач весьма актуально и с точки зрения развития теории уравнений с частными производными, и в связи с необходимостью решения прикладных задач.

Нелокальные задачи для различных уравнений с частными производными рассматривались многими авторами: в первую очередь здесь следует отметить работы А. В. Стеклова [50], А. В. Бицад-зе [1], А. К. Гущина [2], В. П. Михайлова [27], В. А. Ильина [8], Е. И. Моисеева [8], В. И. Жегалова [4], [56], [65], [66], А. М. Нахушева [29]—[30], Ф. И. Франкля [60], А. Л. Скубачевского [49], А. А. Самарского [1], [48], Н. И. Ионкина [9]-[11], А. И. Кожанова [16]—[20], [11], Л. С. Пулькиной [36]—[42], О. А. Репина [43]—[45], К. Б. Сабитова [46]—[47], Н. И. Иванчова [7].

Среди нелокальных задач можно выделить несколько классов. К первому относятся задачи с условиями, представляющими собой линейную комбинацию значений искомой функции и её производных в конечном числе граничных и внутренних точек области. Такие условия называют краевыми условиями со смещением. Эти задачи описывают, например, процесс охлаждения твердого тела линейных размеров [50]. Они изучались в работах В. И. Жегалова [4], [56], [65], [66], А. Н. Зарубина [6], В. А. Ильина [8], Н. И. Ионкина [И], Т. Ш. Кальменова [12], Е. И. Моисеева [8], [И], А. М. Нахушева [33], О. А. Репина [43]. Обобщением этого класса условий являют-

ся интегральные условия. Одними из первых статей, посвящённых изучению задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, были публикации Дж. Кэннона [62] и Л. И. Камынина [13]. Эти работы можно считать началом систематического исследования задач с интегральными условиями.

Несколько позже появились статьи Н. И. Ионкина [9] и [10], в которых была показана однозначная разрешимость задачи для уравнения теплопроводности с нелокальным условием следующего вида:

I

о

В дальнейшем задачи с интегральными условиями для параболических уравнений были исследованы в работах Н. И. Юрчука [61], А. И. Кожанова [19], Н. И. Иванчова [7].

В то же время, работ, в которых рассматриваются нелокальные задачи для гиперболических уравнений, гораздо меньше. Их систематическое исследование началось в 90-х годах XX века. Одними из первых работ являются статьи Л. С. Пулькиной [34], [52]. Интегральный аналог задачи Гурса для гиперболического уравнения рассматривался О. М. Кечиной и Л. С. Пулькиной в статье [15]. Работа [36] Л. С. Пулькиной также посвящена изучению задач с интегральными условиями для гиперболического уравнения.

Существование единственного решения смешанной задачи для гиперболического уравнения с переменными коэффициентами с усло-

вием Неймана их(0,£) = 0 и интегральным условием

I

О

доказано Л. С. Пулькиной в [38].

Результаты проведённых к данному моменту исследований дали мотивацию для классификации нелокальных интегральных условий. Условиями второго рода называют соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных как во внутренних точках области, так и в точках её границы. Условия первого рода содержат значения искомого решения только во внутренних точках области. В статье Л. С. Пулькиной [63] на примере двух начально-краевых задач для волнового уравнения показана существенная разница между условиями первого и второго рода.

Ещё одна неклассическая задача для многомерного гиперболического уравнения с граничным условием вида

и\3т = у К(х,у,Ь)и{у,г)(1у

п

исследовалась А. И. Кожановым и Л. С. Пулькиной в [20]. Там авторы сводили нелокальную задачу к задаче с нулевыми граничными условиями для уравнения соболевского типа.

Исследования показали, что многие классические методы доказательства разрешимости начально-краевых задач не применимы для нелокальных задач, поскольку нелокальные условия приводят к неполноте и неортогональности системы собственных функций задачи [9]. В связи с этим, возникла необходимость разработки новых

методов, позволяющих исследовать разрешимость нелокальных задач.

Разработке некоторых методов исследования разрешимости нелокальных задач посвящена первая глава диссертации. В ней рассмотрены две задачи для уравнения

ии ~ (а(х, ^их)х + с(х, г)и = /О, г)

в области С^т = 0 < х < I, 0 < £ < Т} с начальными

условиями

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х).

В первой задаче одно из граничных условий содержит интегральный

оператор, причём интегрирование ведётся как по пространственной

переменной, так и по переменной времени. А именно,

г I

= ! J к{1,у,г,т)и(у,т)<1у(1т. о о

Во второй задаче нелокальное условие имеет вид

I

и{1,£) = J К{х)и{х,Ь)(1х. о

Заметим, что оба нелокальных условия содержат значения в граничных точках самой искомой функции и(х, £), а не её производной. Это делает невозможным применение метода компактности для доказательства разрешимости задач. В некоторых случаях нелокальные задачи с условиями, содержащими значения на границе искомой функции, можно исследовать методом вспомогательных задач, но это сопряжено с необходимостью решать задачу с ненулевыми граничными условиями, что представляет собой отдельную проблему,

особенно острую для гиперболических уравнений, так как сопровождается эффектом "потери гладкости". Поэтому важно разработать новые методы исследования задач с условиями указанного вида. В диссертации предложен такой метод.

Другим классом неклассических задач являются нелинейные задачи. Классические граничные условия линейны. Они возникают в результате ограничений, принятых при построении математической модели. Например, в классических постановках задач о колебании струны под струной понимается гибкая упругая нить, величина натяжения которой может быть вычислена по закону Гука. В книге [57] упоминается нелинейное граничное условие

которое описывает продольные колебания пружины при упругом закреплении концов, не подчиняющемся закону Гука. Задачи с нелинейными граничными условиями для параболических и эллиптических уравнений изучались в работах В. А. Кондратьева [22], Н. А. Ларькина, Э. Тронко [64], И. В. Филимоновой [59], С. Жер-би, Б. Саида-Хуари [63]. Гиперболические уравнения с граничными условиями такого типа практически не изучены.

Ж.-Л. Лионе в книге [26] рассматривает задачи для эллиптического уравнения с граничным условием, содержащим нелинейное слагаемое вида \и(1, ^\ри(1, £). Эта нелинейность также изучается в работах М. О. Корпусова [23], [24]. В данной диссертации будут исследованы задачи для гиперболического уравнения с граничными условиями, содержащими нелинейные слагаемые видов |п(7, Ь)\ри(1, Ь)

и А{Ь)ии{1, рщ(1, £)• Для гиперболических уравнений ока-

залось невозможно применять методы, подобные использованным в указанных работах. Во второй главе диссертации разработаны некоторые методы исследования задач с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения и доказана разрешимость двух нелинейных начально-краевых задач.

Опишем подробнее основные результаты диссертационной работы. Как уже было отмечено, первая глава посвящена изучению нелокальных задач. В первом параграфе поставлена задача 1: найти в области = '■ 0 < х < I, 0 < £ < Т} решение уравнения

Щг — (^{х,Ь)их)х + с(х,1)и = f(x,i), удовлетворяющее начальным условиям

и(х,0) = ср(х), щ(х,0) = ф(х), граничному условию

■и{о, г) = О

и нелокальному условию

* I

и{1^) = У J К(1,у,Ът)и{у,т)<1ус1т, о о

где а(х, , с(х^), — функции, заданные в области

¿) > 0 для любой € К(х,у^,т) задана в Цт х

а (р(х) и ф(х) — на отрезке [О, I].

В предлагаемой работе получены условия разрешимости этой задачи, которые сформулированы в следующей теореме.

Теорема 1. Если функции /(#,£),

(р(х), ф(х) удовлетворяют условиям а(х, £) £ С1^?), с(х^) Е С((2Т),

f(x,t) e L2(Qt), K(x, y, t, t) g C2([0,/] x [0,/] x [0,T] x [0,T]), (p(x) G W^O, /), ^(x) € ¿2(0, l) и, кроме того, выполняются условия согласования

<р(1) = о,

i

ф(1) = J K(l,y,0,0)<p(y)dy, о

то существует единственное решение и(х,у) G W^iQr) задачи 1.

Во втором параграфе исследуется задача 2: найти в области Qt решение гиперболического уравнения

ий - (аих)х + си = f(x,t),

с начальными данными

и(х,0) - (р(х), щ(х, 0) = ф(х),

удовлетворяющее граничному условию

u(0,t) =0

и интегральному условию

i

u(l,t) = J K(x)u(x,t)dx, о

где функции a(x,t), c(x,t), f(x,t) заданы в области QT, a(x,t) > 0 для любой (x,t) £ QT, К(х), (р(х) и ф(х) заданы на отрезке [0,1].

Получен следующий результат.

Теорема 2. Если функции а(х, t), с(х, t), /(ж, £), К(х), <р(х), ф(х) удовлетворяют условиям a(x,t) £ c(x,t) € C(QT), f(x,t) Е

L2(Qt), K(x) G C2[0,/], K{0) = 0, \K(x)| < у для любого ж G

[0,1], ср(х) G И/21(0,/), ^(я) G 1/2(0,/) и, кроме того, выполняются

следующие условия согласования

i

(р(1) = J K(x)(p(x)dx, о

i

о

то существует единственное решение и(х,у) G И^НОг) задачи 2.

Во второй главе диссертационной работы доказана однозначная разрешимость двух задач с нелинейными граничными условиями. В параграфе 3 рассматривается задача 3: найти решение уравнения ии — (аих)х + си = f(x,t) в области Qt, с начальными данным

и(х, 0) = <р{х),

щ(х, 0) = ф(х), удовлетворяющее граничным условиям

ux(0,t) = 0,

a(l,t)ux(l,t) + \u(l,t)\pu(l,t) = 0,

где a(x,t), c(x,t), f{x,t) — функции, заданные в области QT, a(x,t) > 0 для любого (x,t) G QT, (р(х) и ф(х) заданы на отрезке [0,/].

Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

f{x,t) G

L2(Qt), c(x,t) G C(QT), a(x,t) G C\QT), ф) G W^O,/), ф(х) G

12

Ь2(0,1), (р'(0) = О и а(1,0)<р'+1<р(1)1р<р(1) = О, тогда для любого р > О существует единственное решение задачи 3.

В четвёртом параграфе поставлена задача 4: найти в области (¿т решение гиперболического уравнения

Ьи =

где

Ьи = иы - (а(х, €)их)х + с(х, Ь)щ с начальными данными

и(ж,0) = О, щ{х, 0) = 0,

удовлетворяющее граничным условиям

= 0,

а{1, 1)их{1, £) + А(1)ии(1,¿) + |щ(1, *)|I) = 0,

где а(х, ¿), с(х^), — функции, заданные в области

а(ж, £) > 0 для любой £ От; Ж^) — функция, заданная на

отрезке [0,Т].

Доказаны следующие теоремы разрешимости. Теорема 4. Если А(£) = 0, /(ж,*) £ с(х,г) £ С(ДТ),

с^х^) £ С(С}Т), а(ж,£) £ СХ((3Т), аь{х,£) £ С^С^), то для любого р > 0 существует единственное решение задачи 4.

Теорема 5. Если £ И^ЧФг), £ сь(х,г) £

С(ёг), € С1^), ^(ж,0 £ С1^), А(*) £ С^Т],

А(£) ^ Ао > 0, то для любого р > 0 существует единственное решение задачи 4.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных и нелинейных задач, а также при исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с интегральными и нелинейными условиями.

Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета (руководитель — д. ф.-м. н., профессор Л. С. Пулькина), на Шестой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2007" (Казань), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна — 2008, на Международной конференции по дифференциальным уравнения и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.), на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, 2011 г.), на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2011 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42], [51]—[56].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Л. С. Пулькиной за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Стригун, Мария Владимировна

Заключение

Сформулируем основные положения, выносимые на защиту.

1. Доказательство однозначной разрешимости двух начально-краевых задач для одномерного гиперболического уравнения с интегральными граничными условиями.

2. Разработанные методы исследования задач с интегральными граничными условиями, содержащими значение искомой функции на границе области.

3. Доказательство однозначной разрешимости трёх начально-краевых задач для одномерного гиперболического уравнения с нелинейными граничными условиями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стригун, Мария Владимировна, 2012 год

Список литературы

[1] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач. // ДАН СССР. 1969. Т. 185. №4. С. 739-740.

[2] Гущин А. К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию нелокальных задач для эллиптических уравнений. // Математический сборник. 2002. Т. 193. №5. С. 17-36.

[3] Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений второго порядка. // Математический сборник. 1994. Т. 185. №1. С. 121-160.

[4] Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. // Учёные записки Казанского университета. 1962. Т. 122. №3. С. 3-16.

[5] Жегалов В. И. Одновременное обобщение задач Трикоми и Гел-лерстедта. // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. (СО АН СССР, Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1981. С. 58-61.

[6] Зарубин А. Н. Краевая задача с инволютивным сдвигом в граничном условии. // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. №10. С. 1423-1425.

[7] Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием. // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. Ш. С. 547-564.

[8] Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма—Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №7. С. 1198-1207.

[9] Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. №2. С. 294-304.

[10] Ионкин Н. И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1279-1283.

[11] Ионкин Н. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1284—1295.

[12] Кальменов Т. Ш. Спектр краевой задачи со смещением для волнового уравнения. // Дифференциальые уравнения. 1983. Т. 19. т. С. 75-78.

[13] Камынин JI. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. // Журнал

вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. №6. С. 1006-1024.

[14] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 4-е изд., исп. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург. 2004. 816 с.

[15] Кечина О. М., Пулькина Л. С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2009. №6(72). С. 50-56.

[16] Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения. // Математические заметки ЯГУ. 2001. Т. 8. №1. С. 33-49.

[17] Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. №6. С. 763-774.

[18] Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7. №1. С. 51—60.

[19] Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений. // Вестник Самарского государственного технического университета. 2004. №30. С. 63-69.

[20] Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для

многомерных гиперболических уравнений. // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. №9. С. 1166-1179.

[21] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

[22] Кондратьев В. А. Асимптотика решений эллиптических уравнений с нелинейными краевыми условиями. // Современные проблемы математики и механики. Т. 5, вып. 1. Дифференциальные уравнения, МГУ, 2009. С. 77-87.

[23] Корпусов М. О., Свешников А. Г. О достаточных условиях разрушения решения уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием Неймана. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. №11. С. 2042-2045.

[24] Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010. 240 с.

[25] Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

[26] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

[27] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983. 424 с.

[28] Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. 232 с.

[29] Нахушев А. М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978. Т. 242. №5. С. 1008-1011.

[30] Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложение к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №1. С. 72-81.

[31] Нахушев А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связь с нагруженными уравнениями. // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. №1. С. 92-101.

[32] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. школа. 1995. 301 с.

[33] Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // ДАН СССР. 1969. Т. 187. №4. С. 736-739.

[34] Пулькина Л. С. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. //Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С. 48-51.

[35] Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. // Матем. заметки. 1992. Т. 51, вып. 3. С. 91-96.

[36] Пулькина Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с

интегральными условиями для гиперболического уравнения. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. №2. С. 279-280.

[37] Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения. // Математические заметки. 2001. Т. 70. вып. 1. С. 88—95.

[38] Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. // Математические заметки. 2003. Т. 74, вып. 3. С. 435-445.

[39] Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. №7. С. 887-892.

[40] Пулькина Л. С. Дифференциальные уравнения в частных производных. Самара, Издательство Самарский университет, 2004. 140 с.

[41] Пулькина Л. С. Нелокальные задачи с интегральными условиями для одномерного волнового уравнения. // Доклады АМАН. 2010. Т. 12. №2. С. 52-59.

[42] Пулькина Л. С., Стригун М. В. Две начально-краевые задачи с нелинейными граничными условиями для одномерного гиперболического уравнения. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. №2(83). С. 46-55.

[43] Репин О. А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу. // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. №1. С. 175-176.

[44] Репин О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа. // Доклады РАН. 1999. Т. 365. №5. С. 593-595.

[45] Репин O.A. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе— Лыкова. // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. №10. С. 1412-1417.

[46] Сабитов К. Б., Исянгильдин А. X. Задача типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа. // Доклады РАН. 1992. Т. 326. №5. С. 787-791.

[47] Сабитов К. Б., Исянгильдин А. X. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми. //Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №3. С. 409— 412.

[48] Самарский А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. №11. С. 1221-1228.

[49] Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром. // Математический сборник. 1983. Т. 121(163). №2(6). С. 201-210.

[50] Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 433 с.

[51] Стригун М. В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с граничным условием, содержащим инте-

тральный оператор. // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. 2007. Т. 36. С. 209-211.

[52] Стригун М. В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с граничным условием, содержащим интегральный оператор. // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна — 2008. Тезисы докладов, с. 135.

[52] Стригун М. В. Нелокальная задача с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения // Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". СамДифф — 2009. Тезисы докладов. Самара. С. 59.

[53] Стригун М. В. Об одной нелокальной задаче с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2009. №8(74). С. 78—87.

[54] Стригун М. В. Об одной нелокальной задаче с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2010. С. 178-179.

[55] Стригун М. В. Задача с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. // Материалы международного молодёжного научного форума "Ломоносов—2011".

[56] Стригун М. В. Начально-краевая задача для одномерного гиперболического уравнения с интегральным граничным услови-

ем. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. №8(89). С. 95-101.

[57] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

[58] Филат в О. П. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Самара: Издательство Самарский университет, 1999. 210 с.

[59] Филимонова И. В. О поведении решений полулинейного параболического или эллиптического уравнения, удовлетворяющих нелинейному граничному условию в цилиндрической области. // Труды семинара имени И. Г. Петровского. Выпуск 26. М.: Издательство МГУ, 2007. С. 369-390.

[60] Франкль Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. // ПММ. 1956. Т. 20. №2. С. 196-202.

[61] Юрчук Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. №12. С. 2117-2126.

[62] Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy. // Quarterly of Applied Math. 1963. V. 21. No. 2. P. 155-160.

[63] Gerbi S., Said-Houare B. Local existence and exponential growth for a semilinear damped wave equation with dynamic boundary

conditions. // Advances in Differential Equations. 2008. V. 13. No. 11-12. P. 1051-1074.

[64] Larkin N. A., Tronco E. Nonlinear quarter-plane problem for the Korteweg—de Vries equation. // Electronic Journal of Differential Equations. 2011. V. 2011. No. 113. P. 1-22.

[65] Zhegalov V. I. On the Tricomi problem with non-local boundary conditions. / / Teubneu-Text zur Mathematik. 1986. Bd.90 (Dedicated to the memory of F.Y. Tricomi). Leipzig: BSB Teubner. P. 301-312.

[66] Zhegalov V. I., Chabacaev. R. R. Non-local Cauchy—Goursat problem// World Scientific Publ. Co. Serie in Pure Math. V. 2. Topic in Mathematical analysis (A volum dedicated to the memory of A. L. Cauchy). 1989. P. 301-312.