Оптимизация формы резонатора волнового твердотельного гироскопа по критерию минимума расщепления собственных частот тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Вахлярский Дмитрий Сергеевич

• Вахлярский Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Вахлярский Дмитрий Сергеевич

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПОСТРОЕНИЯ АДЕКВАТНЫХ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ РЕЗОНАТОРОВ ВОЛНОВЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ГИРОСКОПОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

1.1. Принцип работы волнового твердотельного гироскопа

1.2. Исследуемые процессы и используемые математические модели

1.3. Основные причины погрешностей показаний волнового твердотельного гироскопа, их моделирование и методы компенсации

1.4. Формулировка целей и задач исследования

ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОМБИНАЦИИ С МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ ВОЛНОВЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ГИРОСКОПОВ С ДЕФЕКТАМИ

2.1. Метод возмущений. Общие положения

2.2. Вычисление возмущённых величин с помощью трёхмерных массивов при численной реализации

2.3. Возмущенный конечный элемент оболочки вращения с дефектами срединной поверхности, толщины и свойств материала

2.4. Вычисление расщепления частоты в коммерческом конечно-элементном комплексе ANSYS

2.4.1. Использование конечных элементов твердотельного (SOLID) типа

2.4.2. Использование конечных элементов оболочечного (SHELL) типа

2.5. Числовые примеры

2.6. Выводы по Главе

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЕФЕКТОВ ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧАСТОТ

3.1. Методика вычисления расщепления частот при произвольном меридиональном распределении четвёртой гармоники дефекта

3.2. Вычисление максимально возможной величины расщепления и соответствующего ей меридионального распределения четвертой гармоники дефекта

3.3. Одновременное наличие двух гармоник дефекта

3.4. Числовые примеры

3.4.1. Цилиндрическая оболочка с двумя участками постоянной толщины

3.4.2. Полусферическая оболочка постоянной толщины

3.5. Выводы по Главе

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ВЕЛИЧИНЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧАСТОТ К ФОРМЕ МЕРИДИАНА РЕЗОНАТОРА

4.1. Цилиндрический резонатор

4.2. Полусферический резонатор

4.3. Конический резонатор

4.4. Тороидальный резонатор

4.5. Колоколообразный резонатор

4.6. Анализ результатов

4.7. Выводы по Главе

ГЛАВА 5. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ РЕЗОНАТОРА ПО КРИТЕРИЮ МИНИМИЗАЦИИ ВЕЛИЧИНЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧАСТОТ

5.1. Методика решения оптимизационной задачи

5.2. Оптимизация функции меридионального изменения толщины цилиндрического резонатора

5.3. Оптимизация резонатора по трем точкам меридиана с начальным приближением в виде конической оболочки

5.4. Оптимизация функции меридионального изменения толщины полусферического резонатора при большом количестве точек

5.5. Оптимизация формы меридиана и толщины резонатора с начальным приближением в виде полусферической оболочки при большом количестве точек

5.6. Выводы по Главе

ГЛАВА 6. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЁТА И ИЗМЕРЕНИЯ РАСЩЕПЛЕНИЙ ЧАСТОТ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА

6.1. Описание образцов цилиндрических резонаторов

6.2. Измерение геометрических параметров резонаторов

6.3. Измерение физических свойств резонаторов

6.4. Измерение расщепления частот

6.5. Конечно-элементное моделирование экспериментальных резонаторов

6.6. Выводы по Главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВТГ - волновой твердотельный гироскоп

КЭ - конечный элемент

МКЭ - метод конечных элементов

МЭМС - микроэлектромеханическая система

НДС - напряжённо-деформированное состояние

ПО - программное обеспечение

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) - прибор измерения первичной инерциальной информации, который может работать в режиме датчика угловых скоростей или в режиме датчика угла поворота. В настоящее время ВТГ применяется в следующих областях [31]: бортовые навигационные системы (космические, авиационные, судовые), системы безопасности наземных транспортных средств, информационно-измерительные комплексы для диагностики сложных технологических и энергетических установок (нефтегазовая промышленность и добыча полезных ископаемых), робототехнические системы различного назначения, медицинская техника, бытовая техника и электроника и т.д.

Волновой твердотельный гироскоп сочетает в себе следующие свойства: высокий ресурс, низкое время готовности, устойчивость к кратковременным отключениям электропитания, малое энергопотребление, низкие требования к обслуживанию благодаря отсутствию вращающихся частей, наименьшее количество деталей среди всех типов гироскопов [89].

Одним из основных преимуществ ВТГ является соотношение класса точности к цене. Увеличение конкурентоспособности данного типа гироскопов, возможно за счет снижения стоимости при массовом производстве. Одним из важнейших параметров, влияющих на точность ВТГ, является величина расщепления частот его резонатора. Расщепление вызывает не связанный с вращением гироскопа дрейф стоячей волны и как следствие погрешности показаний прибора.

Наличие отклонений свойств резонатора от идеальной осевой симметрии, геометрические и физические дефекты, нарушающие осевую симметрию, приводят к расщеплению частот ВТГ. Для его устранения проводят операцию балансировки резонаторов (балансировка по разночастотности). Данная операция

требует длительного времени, так как на величину расщепления накладывается довольно жесткое ограничение (для полусферического резонатора из кварца при рабочей частоте около 3500 Гц, расщепление после балансировки не должно превышать 0,001 Гц, для цилиндрического резонатора из металла 0,01 Гц, при рабочей частоте порядка 5000 Гц). При массовом производстве сокращение времени балансировочных операций приведет к снижению стоимости. Одним из возможных вариантов сокращения времени балансировки является уменьшение первоначального расщепления частот, полученного после изготовления резонатора. Учитывая общемировой тренд к созданию систем управления погрешностями при механической обработке, можно уменьшить первоначальное значение расщепления частот рациональным выбором формы меридиана резонатора (если удастся обеспечить заданное распределение погрешностей). Или, наоборот, для выбранной формы меридиана оболочки чувствительного элемента ВТГ подобрать такое распределение погрешностей, которое даст минимальное первоначальное значение расщепления. Кроме того, процесс балансировки может быть выполнен по-разному:

1. Изменением окружного распределения толщины;

2. Окружным искажением срединной поверхности оболочки резонатора;

3. Изменением окружного распределения плотности.

В случае массового изготовления резонаторов для микроэлектромеханических (МЭМС) гироскопов не механической обработкой, выбор рациональной формы меридиана в зависимости от погрешностей позволит уменьшить количество отбраковываемых изделий.

Основной подзадачей при оптимизации формы меридиана по критерию уменьшения расщепления частоты является вычисление значения этого расщепления при наличии дефектов. Поскольку в процессе решения оптимизационной задачи форма резонатора меняется на каждой итерации, необходима методика построения математических моделей резонаторов с произвольной формой меридиана и заданными погрешностями, позволяющая точно вычислить расщепление частот. Наиболее общей (с точки зрения

возможной геометрии меридиана и разнообразия накладываемых дефектов) и простой (с точки зрения построения) является конечно-элементная модель резонаторов. Так как дефекты малы, а сам прибор является высокоточным, к качеству конечно-элементных моделей предъявляются особые требования с точки зрения точности вычисления расщепления частот, и как следствие, моделирования других задач динамики. Таким образом, актуальной является не столько задача оптимизации резонатора по критерию именно расщепления частот, а сколько задача создания универсального инструментария для оптимизации резонаторов по требуемым динамическим критериям. Таким инструментарием, отвечающим требованиям по точности вычисления динамических характеристик (расщепления частот), является построение конечно-элементных моделей соединенных с численной реализацией аналитических процедур метода возмущений для резонаторов ВТГ с погрешностями

Объект исследования: оболочка резонатора волнового твердотельного гироскопа с технологическими погрешностями геометрии и свойств материала.

Цель диссертационной работы в разработке метода построения конечно-элементных моделей, соединенных с аналитическими процедурами метода возмущений, для вычисления расщепления частот при оптимальном проектировании резонаторов ВТГ и применения разработанного метода к оптимизации формы резонатора по критерию минимальной чувствительности расщепления частот к фиксированным технологическим погрешностям геометрии и свойств материала.

Научная новизна результатов, полученных в работе, заключается в следующем:

1. Разработана методика построения конечно-элементных моделей высокой точности и вычисления расщепления частот оболочки, близкой к оболочке вращения с произвольной формой меридиана, произвольным изменением толщины в меридиональном направлении и произвольным распределением дефектов геометрии (отсчётной поверхности и толщины), и свойств материала

(плотности, модуля упругости, коэффициента Пуассона и др.) как в меридиональном, так и в окружном направлениях;

2. Впервые показано, что при одновременном наличии двух гармоник одного дефекта (например, две гармоники дефекта толщины) или по одной гармонике двух разных дефектов (например, одна гармоника дефекта толщины и одна гармоника дефекта плотности) с соотношением номеров ^ ± т1=2п значение расщепления частот существенно возрастает. При этом величина расщепления является билинейной функцией амплитуд дефектов с коэффициентом пропорциональности, зависящим от меридионального изменения каждой гармоники;

3. Предложена и реализована методика упрощенного вычисления линейной части расщепления частот, вызванного четвёртой гармоникой дефекта, произвольно распределенной вдоль меридиана;

4. Предложен метод вычисления максимально возможной линейной части расщепления частот и соответствующей ей функции изменения четвёртой гармоники дефекта вдоль меридиана. Указанный метод позволяет также вычислить предельно допустимые значения амплитуд четвёртой гармоники дефектов при заданной величине расщепления.

Достоверность полученных результатов обеспечена строгостью использованных математических методов, проверкой разработанных алгоритмов и программ на модельных и тестовых задачах, сопоставлением полученных автором результатов с известными результатами аналитических, численных и экспериментальных исследований.

Внедрение. Разработанная методика построения конечно-элементных моделей повышенной точности применяется для построения конечно-элементной модели полусферического резонатора в АО «Инерициальные Технологии Технокомплекса» [52] и цилиндрического резонатора в АО «НПК «КБМ» [53], что подтверждено соответствующими актами.

Практическая значимость

1. Предложенный способ вычисления максимально возможной линейной части расщепления частот для выбранной формы резонатора и амплитуды дефекта позволяет: установить поля допусков на изготовление резонаторов; обосновать требование к однородности материала; выявить наиболее чувствительные к погрешностям области резонаторов.

2. Разработанная методика построения конечно-элементных моделей с использованием метода возмущений позволяет оценить пределы применимости коммерческого программного обеспечения, реализующего метод конечных элементов, применительно к задачам моделирования динамики резонаторов волновых твердотельных гироскопов. Эта методика также может использоваться для моделирования других структур, для которых порождающей задачей при использовании метода возмущений является осесимметричная, например, исследование напряженно-деформированного состояния различных роторных машин, в частности, газотурбинных двигателей.

3. Разработанный метод построения конечно-элементных моделей резонаторов волновых твердотельных гироскопов обеспечивает конструктору возможность оптимального проектирования геометрии резонаторов с точки зрения максимально возможного расщепления частот при заданном уровне погрешностей изготовления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация формы резонатора волнового твердотельного гироскопа по критерию минимума расщепления собственных частот»

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях: «МИКМУС - 2016» (Москва, 2016); II Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная юбилеям основателей кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана профессоров С.Д. Пономарева, В.Л. Бидермана, К.К. Лихарева, Н.Н. Малинина, В.А. Светлицкого (Москва, 2017); «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2018); «Научное приборостроение» (Казань, 2018); «XIX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону 2018).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, включая 4 статьи в журналах из перечня ВАК РФ, 1 статью в сборнике трудов конференции и 4 тезиса докладов. Общий объем публикаций составляет 3,25 п. л.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, общих выводов и заключения, приложения. Изложена на 195 страницах машинописного текста, включая 53 иллюстрации, 70 таблиц и библиографический список, содержащий 98 наименований.

В Главе 1 выполнен обзор работ посвященных изучению резонаторов волновых твердотельных гироскопов. Описаны модели, используемые в настоящее время для исследования динамики резонаторов ВТГ. Приведены основные причины погрешностей показаний ВТГ. Сформулированы цели и задачи диссертации.

В Главе 2 описан подход к совместному использованию метода конечных элементов и метода возмущений применительно к задаче вычисления расщепления собственных частот оболочки близкой к оболочке вращения, но имеющей произвольное распределение дефектов - отклонений от осесимметричности. Описывается построение авторского конечного элемента, использующего метод возмущений, позволяющего вычислить расщепление частот вплоть до требуемого порядка п. Вычислено второе приближение расщепления частот для цилиндрического и полусферического резонаторов. Проводится сравнение результатов вычисления расщепления частот с помощью авторской программы и коммерческого конечно-элементного пакета ANSYS, а также с данными, полученными другими авторами.

В Главе 3 рассматривается случай произвольного изменения четвёртой гармоники дефекта в меридиональном направлении. В этом случае величина расщепления частот зависит от функции меридионального изменения дефекта. При вычислении методом конечных элементов, каждая конкретная функция потребует перестроения КЭ модели. В данной главе приводится методика

упрощённого вычисления величины расщепления частот, не требующая построения КЭ для каждой конкретной функции меридионального изменения дефекта, при заданной конфигурации резонатора. В основе построения данной методики лежит линейность зависимости величины расщепления частот от амплитуды четвёртой гармоники при малых значениях дефектов. Данная методика может быть применена только при выбранной конфигурации резонатора, то есть, когда заданы форма меридиана и функция изменения толщины вдоль него. Результатом её применения является вектор-столбец интерполяционных коэффициентов. Для вычисления этих коэффициентов необходимо разбить меридиан на участки и провести серию расчётов величины расщепления частот с наложением на каждом участке двух типовых линейных функции меридионального изменения дефекта. Далее, при произвольной функции меридионального изменения дефекта, вычисление величины расщепления частот сводится к простому скалярному умножению полученного вектора-столбца на вектор-столбец ординат функции меридионального изменения дефекта и амплитуду четвёртой гармоники дефекта.

Для заданного значения расщепления частот приведён способ вычисления максимально допустимой амплитуды дефекта. При заданной амплитуде дефекта приведён способ вычисления функции его меридионального изменения, дающей максимальное значение расщепления частот.

Для полусферической и цилиндрической оболочек численно показано, что при наличии двух гармоник дефекта с соотношением номеров + т| = 2п, расщепление частот является билинейной функцией (k, т - номера гармоник, п -

окружное волновое число). Показано, что коэффициент пропорциональности билинейной функции зависит от характера изменения гармоник k и т вдоль меридиана и не зависит от угла между гармониками дефектов.

В Главе 4 проводится исследование чувствительности расщепления частот: к форме резонатора; к различному меридиональному распределению дефектов для типичных простых форм резонаторов.

В Главе 5 описана методика оптимизации формы меридиана резонатора ВТГ по критерию минимума расщепления собственных частот. Рассмотрены примеры оптимизации резонаторов с разным количеством точек аппроксимации геометрии меридиана и разными начальными приближениями.

В Главе 6 описана методика измерений геометрии экспериментальной партии металлических резонаторов в виде цилиндров с двумя участками постоянной толщины. Описана методика проведения эксперимента по измерению расщепления частоты указанных резонаторов. Проводится сравнение расчетных и экспериментальных значений расщепления частоты.

В общих выводах и заключении подведены итоги и обозначены направления дальнейших исследований.

В приложении приведены примеры сравнения значений расщеплений частот, полученных автором и другими авторами. Приведены амплитуды и фазы гармоник некруглости, измеренные на экспериментальных образцах с помощью кругломера, приведён листинг программы формирования матриц КЭ.

Благодарности

Автор выражает искреннюю и глубочайшую благодарность: Костееву В.А. и представительству фирмы Tyler&Hobson за предоставление доступа к кругломеру для измерения погрешностей экспериментальных образцов; д.т.н. Лунину Б.С. за помощь в измерении расщеплений собственных частот экспериментальных образцов резонаторов и ценные советы в отношении работы в целом; научному руководителю д.т.н. профессору Гуськову А.М.; д.т.н. профессору Сорокину Ф.Д. за помощь в разработке конечного элемента; к.т.н. Николаеву С.М. за дружескую поддержку и обсуждение работы; к.т.н., заместителю начальника отдела прочности АО «ОКБ «ГИДРОПРЕСС» Фризен Е.А.

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПОСТРОЕНИЯ АДЕКВАТНЫХ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ РЕЗОНАТОРОВ ВОЛНОВЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ГИРОСКОПОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

1.1. Принцип работы волнового твердотельного гироскопа

Волновой твердотельный гироскоп - высокоточный высоконадежный прибор измерения инерциальной информации. ВТГ обладает рядом качеств, наличие которых делает перспективным использование такого типа датчиков в микроэлектромеханических системах. Работая в режиме интегрирующего гироскопа, ВТГ является одним из немногих датчиков, выходной сигнал которого пропорционален непосредственно углу поворота прибора, а не угловой скорости.

Функционирование волновых твердотельных гироскопов (ВТГ) основано на явлении прецессии упругих волн, возбужденных в осесимметричных телах (эффект Брайана [64]) при их вращении. Угловая скорость О вращения гироскопа относительно инерциального пространства, и угловая скорость О пучностей относительно твёрдого тела, возбужденной в осесимметричном теле стоячей волны, связаны соотношением:

О = КО, (1.1)

где К - коэффициент Брайана (коэффициент прецессии).

В качестве резонаторов волновых твердотельных гироскопов чаще всего применяются тонкие упругие кольца, диски и осесимметричные оболочки. Фотографии резонаторов реальных ВТГ показаны на (Рис. 1.1).

DRIVE ELECTRODES

SENSING ELECTRODES

а)

г)

Рис. 1.1. Формы резонаторов б - цилиндрический

в)

д)

ВТГ: а - кольцевой резонатор

е)

резонатор [98]; [48, 69, 75, 67];

в - полусферический резонатор [38]; г - дисковый резонатор [93, 92]; д - тороидальный резонатор [60, 74];

д - колоколообразный резонатор [72, 91]

Принцип работы ВТГ может быть рассмотрен на примере резонатора в виде тонкого упругого кольца. Для него возможно построить простую аналитическую модель, которая в то же время достаточно полно отражает особенности работы гироскопа. В конструкциях ВТГ с тонкостенными оболочками вращения (Рис. 1.1), колебания кромки резонатора идентичны колебаниям тонкого упругого кольца. Однако, некоторые особенности, проявляющиеся на резонаторах в виде оболочек вращения, принципиально не могут быть обнаружены на моделях кольцевого резонатора. И более того, используя модели, основанные на теории осесимметричных оболочек вращения. Одной из таких особенностей является сильная зависимость расщепления частоты резонатора от типа дефекта и функции его меридионального распределения. Например, это наблюдается для цилиндрического резонатора с двумя участками разной толщины [58].

При вращении основания стоячая волна движется относительно кольцевой кромки резонатора, что объясняется действием кориолисовых сил инерции. На Рис. 1.2 приведены первые три рабочие формы стоячей волны.

п=\

п—2

п=Ъ

Рис. 1.2. Формы колебаний стоячей волны в резонаторе ВТГ

Эффект Брайана справедлив для любого закона вращения основания О^) [23, 25, 22]. При этом, угол поворота стоячей волны относительно кольцевого резонатора определяется формулой:

где п - номер формы колебаний кольца (окружное волновое число).

Эффект Брайана используется для построения датчиков угловой скорости (1.1) и углового перемещения (1.2). Поскольку положение узлов и пучностей стоячей волны относительно кольца зависит от его углового перемещения, то, измеряя их эволюцию (р^) определяется угловая скорость О^). Для определения произвольного углового движения объекта относительно инерциального пространства необходимо иметь три таких датчика, ориентированных по трем взаимно перпендикулярным осям.

Основы принципа функционирования ВТГ подробно рассмотрены в работах Журавлёва В. Ф. [23, 22]. В качестве основной модели используются нерастяжимое и растяжимое кольцо. В работе исследована динамика невращающегося и вращающегося идеального кольцевого резонатора. Рассмотрена динамика неидеального резонатора с погрешностями плотности.

(1.2)

Приведены формулы скорости прецессии стоячей волны для идеального резонатора (1.3).

2

О= 2 7 О. (1.3)

п +1

Для кольцевого резонатора, при законе изменения плотности

1 7

-cos

(, (1.4)

р р(0)'

где х - безразмерная амплитуда дефекта плотности, р(0) - номинальное значение плотности, в [23] найдена величина расщепления частот:

где Е - модуль упругости материала;

I - момент инерции поперечного сечения кольцевого резонатора при изгибе;

1 - площадь поперечного сечения кольцевого резонатора; Я - радиус осевой линии кольцевого резонатора.

Величина расщепления, соответствующая закону изменения плотности:

- р(0)

р = р(0)(1 + х^ (2^)), (1.6)

согласно [43] имеет вид:

8 2 6 Дю = - х —¡=л 5* л/5 V

Е1

Е (1.7)

р(0) 1Я4

В монографии [23] также рассмотрены позиционное и параметрическое возбуждения стоячей волны в кольцевом резонаторе. Найдены стационарные решения и условия их устойчивости. Исследованию кольцевого резонатора посвящено большое количество работ [36, 49, 42, 43, 41, 24, 22, 65, 76].

Нелинейные эффекты в кольцевом резонаторе, возникающие за счёт больших перемещений рассмотрены в работе [23]. С помощью метода двух масштабов найдены поправки к скорости прецессии волны и частоте её колебаний, вызванные амплитудой колебаний а:

О = (--О*-ГО (О*, п ) а а

\ п +1 у

Е1

р8Я4

ю„ =

П(Пч-Г>/п2 +1+ О2 - г»и (О*,п)а2

у

Е1

(1.8)

рЖ4

где Го (О,п),Гю (О,п) - коэффициенты, зависящие от угловой скорости О и

волнового числа п;

О* = О Е1 / (рЖ4) - безразмерная скорость вращения основания.

В работе [23] показано, что угловая скорость прецессии стоячей волны относительно основания прибора в простейшем случае может быть записана в виде:

9 = —, (1.9)

п

где п - окружное волновое число;

Лю - расщепление круговой частоты.

В работе [43] для резонатора с неоднородностью распределения массы получена формула вычисления скорости ухода ВТГ (для ? ^ 1):

1 2

9 = — t (Лю) (8(0), (1.10)

8

где t - время;

(р0 - угол, определяющий ориентацию волны относительно тяжёлой собственной оси.

В работе [23] также рассмотрена модель полусферического резонатора. На основании того, что колебания кромки близки к изгибным колебаниям кольца, многие эффекты, возникающие в полусферическом резонаторе, могут быть изучены на кольцевой модели. Этот вывод применим к резонаторам в виде оболочек вращения с произвольной формой меридиана. Более подробное изучение полусферического резонатора приведено, например, в работах [38, 43]. В [29] приводится алгоритм расчёта собственной частоты ВТГ. Учёт ножки при расчёте спектра частот резонатора ВТГ выполнен в работе [30].

В ВТГ отсутствует вращающийся ротор, что дает такому гироскопу ряд преимуществ:

1. Большой ресурс работы;

2. Хорошее соотношение точности и стоимости;

3. Малая случайная погрешность;

4. Устойчивость к неблагоприятным внешним воздействиям (перегрузки, вибрация);

5. Небольшие габаритные размеры, масса и потребляемая мощность;

6. Сохранение инерциальной информации при кратковременном отключении электропитания. Это свойство позволяет использовать прибор при однократном возбуждении на участке затухания свободных колебаний, что может быть использовано в одноразовых изделиях. В настоящее время для металлических резонаторов, предполагаемых к использованию в подобных целях, достигнуты значения добротности порядка 50000, а расщепления после балансировки порядка 0,01 Гц.

Однако добиться высоких значений характеристик можно лишь устранив или компенсировав влияние технологических и конструктивных погрешностей изготовления резонатора ВТГ.

Чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа - резонатор, изготавливают из кварцевого стекла, сапфира, рубина, ковара (сплав никеля, кобальта и железа), бронзы [38].

Можно выделить следующие технологии получения резонаторов ВТГ:

1. Точение (для кварцевых и металлических резонаторов);

2. Выдувание (для кварцевых резонаторов, в основном МЭМС гироскопов);

3. Травление кремния (для МЭМС гироскопов).

Возбуждение стоячих волн в резонаторе и съём информации с него осуществляется одним из трёх способов;

1. Магнитное (в настоящее время при серийном производстве практически не используется);

2. Электростатическое;

3. Пьезоэлектрическое.

Электростатическое возбуждение используется в резонаторах, изготовленных из кварцевого стекла [38]. Для этого на поверхность резонатора (внутреннюю и/или внешнюю [42], торцевую [37]) наносят тонкий проводящий слой металла, а с ответной стороны устанавливают блок электродов управления и съёма информации Рис. 1.3.

а) б) в)

Рис. 1.3. Электростатические системы возбуждения и съёма информации: а - снаружи [87]; б - внутри [77]; в - на торце [88]

Пьезоэлектрическое возбуждение применяется на резонаторах, изготовленных из металла. Например, для цилиндрического резонатора [86] или колоколообразного резонатора [91]. Для этого на дно резонатора (или его боковую поверхность) приклеиваются или припаиваются тонкие пластинки, изготовленные из пьезоэлектрического материала Рис. 1.4.

а) б)

Рис. 1.4. Пьезоэлектрические системы возбуждения и съёма информации:

а - цилиндрический резонатор; б - «китайский колокол» [91]

Важнейшей характеристикой резонаторов ВТГ является добротность Q,

зависящая от формы резонатора, материала, из которого он изготовлен и конструкции прибора. В работе [36] рассмотрены основные факторы, влияющие на добротность, среди которых: термоупругие потери, возникающие при изгибе тонкостенных структур; внутреннее трение в материале. Также в работе разработаны способы: уменьшения внутреннего трения в резонаторах из кварцевого стекла и из металла; методы уменьшения влияния металлического покрытия на характеристики ВТГ. В статье [62] методом конечных элементов выполнен анализ влияния формы ножки и её размеров, а так же толщины полусферического резонатора на его добротность. Оценено влияние некоторых дефектов геометрии резонатора на его добротность.

В настоящее время используются в основном две формы оболочечных резонаторов ВТГ: полусферическая (Рис. 1.5, а)) для резонаторов из кварцевого стекла с металлическим напылением для осуществления электростатического возбуждения (например, ВТГ фирмы Northrop Grumman Corporation [50]) и цилиндрическая (Рис. 1.5, б)) с дном и двумя участками разной толщины в области цилиндрической части для металлических резонаторов (например, ВТГ фирмы Innalabs [51]).

Рис. 1.5. Формы резонаторов, используемые в настоящее время при серийном производстве ВТГ: а - полусферическая [31]; б - цилиндрическая [31]

В работе [18] получена общая формула для определения скорости прецессии оболочек вращения с произвольной формой меридиана. В работе [15] определяется скорость прецессии для оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка с положительной кривизной (эллипсоид, двухполостный гиперболоид, эллиптический параболоид), а также для оболочек с меридианами в виде парабол произвольной степени. В работе [43] получена формула для вычисления коэффициента прецессии оболочек вращения со сложным составным меридианом. Статья [91] посвящена проектированию и исследованию металлического резонатора в форме колокола с возбуждением от пьезоэлементов. В качестве достоинств резонатора в виде колокола, позволяющих эффективно использовать его для одноразовых изделий, указывается высокая устойчивость к ударным воздействиям и дешевизна. В статье приводится алгоритм выбора

проектных параметров исходя из требований по рабочей частоте и отстройке от ближайших частот.

Активно ведутся работы по созданию микроэлектромеханичесих ВТГ [45, 54, 47, 63, 84, 83]. В статье [61] микрорезонатор в виде тора получен выдуванием: значение добротности равно Q = 40000; величина расщепления частот составляет Д/2 = 28 Гц (частоты /2 = 22036 Гц и /2 = 22064 Гц). В

работе [85] рассмотрены два способа возбуждения стоячей волны и съёма информации с полусферического микрорезонатора: электростатическое возбуждение/съём; пьезоэлектрическое возбуждение/электростатический съём. В работе [96] для полусферического резонатора диаметром 1,240 мм, полученного травлением, достигается значения расщепления Д/ = 93,75 Гц и добротности Q = 5000 при рабочей частоте /3 = 20,5кГц, соответствующей окружному волновому числу п = 3. В работе [97] приводится, что для полусферического резонатора радиусом 0,3 мм, полученного травлением, амплитуда погрешности радиуса не превышает 1,2 мкм.

1.2. Исследуемые процессы и используемые математические модели

При исследовании ВТГ с помощью математических моделей, можно выделить следующие основные задачи:

1. Исследование влияния тепловых процессов и температурных эффектов на характеристики ВТГ [12, 11, 4, 5, 13, 14, 86];

2. Моделирование процессов диссипации энергии в резонаторе и на его границах, для определения добротности, являющейся динамической характеристикой [62]

3. Моделирование динамики резонатора и прибора в целом.

В свою очередь исследование динамики ВТГ подразделяется на следующие основные подзадачи:

• вычисление собственных частот и форм колебаний;

• моделирование установившихся процессов при гармоническом воздействии на конструкцию;

• моделирование переходных процессов.

Настоящая работа сконцентрирована на вычислении собственных частот и их расщеплений для резонаторов ВТГ. Основными типами моделей динамики резонаторов ВТГ являются следующие:

1. Точечная;

2. Кольцевая;

3. Модель на основе осесимметричной теории оболочек;

4. Модель на основе общей теории оболочек;

5. Конечно-элементная модель оболочечного резонатора.

Точечная модель резонатора представляет собой набор точечных масс (восемь в [7] и шестнадцать в [57]), соединённых между собой и с центром системы пружинами. С помощью данной модели возможно исследование динамики идеального и неидеального резонаторов. При использовании подобной модели необходимо осуществить переход от распределённых параметров к сосредоточенным. Погрешности накладываются на дискретные параметры такие, как: величины точечных масс; жесткости пружин; коэффициенты демпфирования; зазоры между электродами и резонатором. Таким образом, реальные погрешности изготовления могут быть внесены в модель только опосредованным образом. Некоторые из погрешностей принципиально не могут быть рассмотрены с помощью такой модели, например, неоднородность по окружному углу радиуса кривизны осевой линии кольцевого резонатора. Данная модель может быть эффективно использована для синтезирования алгоритмов управления стоячей волной в резонаторе.

Кольцевая модель резонатора основана на уравнениях механики тонкостенных стержней, и является наиболее хорошо разработанной [23, 38, 36, 98]. Данная модель проста с математической точки зрения и допускает точное решение. В то же время с её помощью можно описать почти все основные особенности работы ВТГ. С помощью кольцевой модели может быть рассмотрено влияние таких технологических погрешностей, как: окружная неравномерность плотности, модуля упругости, толщины, радиуса кривизны осевой линии;

неоднородности зазора между резонатором и электродами. На основе кольцевой модели невозможно полноценно учесть вибрацию основания и балочные колебания резонатора. Кольцевая модель качественно пригодна для описания динамики оболочечных резонаторов, однако количественно не даёт возможности вычислить значение их масштабного коэффициента и оценить влияние погрешностей и других параметров на его величину. Для оболочечных резонаторов кольцевая модель не может быть использована при количественной оценке влияния технологических погрешностей на динамические характеристики.

Модель резонатора на основе теории оболочек с осесимметричной срединной поверхностью и переменными в окружном направлении параметрами так же является достаточно хорошо разработанной [38, 46, 1, 16, 40, 59, 78, 68, 79, 81, 80, 82, 90, 94, 95]. Она имеет достаточно простой вид [6], однако в отличие от кольцевой модели, далеко не во всех случаях имеет точное аналитическое решение. С помощью оболочечной модели может быть вычислен масштабный коэффициент и оценено влияние технологических погрешностей (например, неоднородности толщины в окружном направлении) на его значение для произвольной формы меридиана [43].

С помощью данной модели, возможно рассмотреть влияние практически всех дефектов изготовления резонаторов (плотности, модуля упругости, толщины) на расщепление частот, а следовательно, и на уход ВТГ. Единственным исключением является дефект геометрии отсчётной поверхности, который принципиально не может быть рассмотрен в рамках осесимметричной теории оболочек.

Принципиальным отличием оболочечных резонаторов от кольцевого является то, что погрешности изготовления (формы и свойств материала) изменяются не только в окружном направлении, но и в меридиональном. Как следствие расщепление частот, вызванное одним и тем же типом дефекта, будет зависеть от его изменения вдоль меридиана. Положение главных осей резонатора так же может зависеть от меридионального изменения дефекта, вызывающего расщепление. Так, например для двух разных функций меридионального

изменения четвёртой гармоники дефекта толщины полусферического резонатора, направления главных осей могут составлять 45°, при условии, что оба дефекта изменяются в окружном направлении по cos(4^). Эту особенность следует

учитывать при описании оболочечного резонатора с произвольным дефектом, его заменой идеальным резонатором с точечными массовыми дефектами. При наличии четырёх точечно-массовых дефектов, расположенных через угол 90 градусов, тяжёлая ось всегда совпадает с угловым положением одной из масс. Ещё одной особенностью оболочечного резонатора по сравнению с кольцевым является наличие не только окружного, но и меридионального волнового числа.

Модель резонатора на основе общей теории оболочек применяется при исследованиях ВТГ крайне редко ввиду сложности уравнений, описывающих её [6]. Данная модель позволяет учесть наибольшее количество факторов, влияющих на динамику резонатора. В работах [32, 31] исследовано влияние дефекта отсчётной поверхности на расщепление частот резонатора на основе общей теории оболочек с применением метода возмущений. Данные работы могут быть использованы для верификации конечно-элементных моделей резонаторов, учитывающих подобные дефекты.

Конечно-элементная модель оболочечного резонатора является наиболее общей и в то же время достаточно простой для построения, однако в литературе встречается сравнительно небольшое количество работ посвященных конечно-элементному моделированию резонаторов ВТГ [27, 58, 91, 73, 71, 85, 97, 66]. В настоящее время, применение метода конечных элементов (МКЭ) к моделированию процессов, проходящих в деформируемом твёрдом теле, фактически стало стандартом. МКЭ позволяет эффективно решать все типы указанных выше задач, а также все типы указанных подзадач исследования динамики резонатора ВТГ. Однако высокая точность самого прибора и особенность конструкции его резонатора предъявляют жесткие требования к качеству конечно-элементных (КЭ) моделей, используемых при исследовании динамики. Указанной особенностью конструкции является нарушение осевой симметрии в виде небольших отклонения геометрий реальных резонаторов ВТГ

или свойств их материала. Математические модели (а в частности, и КЭ модель), используемые для исследования динамики резонатора, должны обеспечивать возможность внесения указанных выше отклонений, и в качестве следствия обнаруживать появление расщепления собственных частот. При исследовании идеальных резонаторов без нарушения осевой симметрии, «паразитное» расщепление частот, возникающее за счёт численных погрешностей, должно быть минимальным. Указанное выше «паразитное» расщепление может выступать одним из критериев качества КЭ модели резонатора без нарушения осевой симметрии. Очевидно, что чем выше значение этого «паразитного» расщепления, тем больше будут погрешности при моделировании стационарных и переходных процессов в резонаторах ВТГ. При внесении в КЭ модель погрешностей геометрии и свойств материала (нарушающих осевую симметрию) проблема возникновения «паразитного» расщепления остаётся. Более того, в этом случае отделить уход гироскопа, вызванный моделируемым расщеплением, от ухода вызванного, «паразитным» расщеплением, практически невозможно. Таким образом, построение КЭ модели с возможностью внесения необходимых несовершенств и минимальным «паразитным» расщеплением частот является важной задачей, для точного моделирования динамики резонаторов ВТГ. Работ посвященных оценке качества КЭ моделей с точки зрения точности вычисления динамических характеристик (таких как расщепление частот, амплитуды основного и квадратурного колебаний), получаемых с их помощью, автором обнаружено не было. Рассмотрим пример построения КЭ модели идеального полусферического резонатора постоянной толщины в коммерческом КЭ комплексе ANSYS. Эскиз меридиана с размерами показан на Рис. 1.6. Для модели используются восьмиузловые элементы solid185 и двадцатиузловые элементы solid186, основанные на трёхмерной теории упругости и четырёхузловые элементы shell181 и восьмиузловые элементы shell281 основанные на теории оболочек Тимошенко. Построение модели проводится стандартным для КЭ комплексов методом, так, как обычно поступают инженеры-расчётчики на предприятиях:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вахлярский Дмитрий Сергеевич, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Астахов С.В. Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров: дис. ... канд. техн. наук. Москва. 2012. 157 с.

2. Балансировка полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов методом химического травления /М.А. Басараб [и др.] // Гироскопия и навигация. 2015, Т. 88. №1. С.61-70.

3. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. М.: Физматлит. 2007. 248 с.

4. Басараб М.А., Матвеев В.А. Численное моделирование тепловых полей в резонаторе волнового твердотельного гироскопа с использованием метода R-функций // Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. Т.7. №8. С. 26-37.

5. Беднова Е.В. Математические модели температурных погрешностей полусферического резонатора как элемента измерителя угловой скорости. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. 2002. 127 с.

6. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

7. Бонштедт А.В., Кузьмин С.В., Мачехин П.К. Восьмиточечная модель твердотельного вонового гироскопа // Вестн. Удмуртск. ун-та. Математика. 2007. № 1. С. 135-214.

8. Волновой твердотельный датчик инерциальной информации в условиях температурных возмущений / В.Э. Джашитов // Датчики и системы. 2010. №1. С.57-61.

9. Воробьев В.А., И.В.Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейности колебаний резонатора. // Гироскопия и навигация. 2005. Т. 48. № 1. С.15-21.

10. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций М.: Физматлит,

2006. 392 с.

11. Джашитов В.Э., Панкратов В.М. Датчики, приборы и системы авиакосмического и морского приборостроения в условиях тепловых воздействий // Под ред. В.Г. Пешехонова. С.-Пб.: Изд-во ЦНИИ Электроприбор. 2005. 403 с.

12. Джашитов В.Э., Панкратов В.М. Математические модели теплового дрейфа гироскопических датчиков инерциальных систем. СПб.: Изд-во ЦНИИ Электроприбор, 2001. 150 с.

13. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Барулина М.А. Температурные и технологические погрешности волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2010. Т. 68. № 1. С.47-62.

14. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Голиков А.В. Анализ и управление температурными полями волнового твердотельного датчика инерциальной информации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 4. С.62-68.

15. Дзама М.А., Егармин Н.Е. Прецессия упругих волн при вращении некоторых классов осесимметричных оболочек // Известия АН СССР. Серия: Механика твердого тела. 1991. № 01. С. 170-175.

16. Донник А.С. Влияние геометрической неоднородности и упругой анизотропии материала на точностные характеристики волнового твердотельного гироскопа: дис. ... канд. техн. наук. Москва. 2006. 131 с.

17. Егармин Н.Е. Динамика неидеальной оболочки и управление ее колебаниями // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 4. С.49 59.

18. Егармин Н.Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесимметричной оболочки // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 1. С. 142-148.

19. Жбанов Ю.К., Журавлёв В.Ф., Влияние подвижности центра резонатора на работу волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. МТТ.

2007. № 6. С. 14-24.

20. Жбанов Ю.К., Журавлёв В.Ф., О балансировке волнового твердотельного гироскопа. // Изв. РАН. МТТ. 1998. №4. С. 4-16

21. Жбанов Ю.К., Каленова Н.В., Поверхностный дебаланс волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН, сер. «Механика твердого тела». 2001. № 3. С. 11-18.

22. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 3. С. 6-19.

23. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука. 1985. 125 с.

24. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. № 5. С. 17-23.

25. Журавлев В.Ф., Попов А.Л. О прецессии собственной формы колебаний сферической оболочки при ее вращении. // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 1. С. 147 - 151.

26. Збруцкий А.В., Минаев Ю.К. Влияние неперпендикулярности оси полусфе-рического резонатора к плоскости закрепления на точностные характеристики твердотельного волнового гироскопа // Гироскопия и навигация. 1999. Т. 24. № 1. С. 106-111.

27. Использование метода конечных элементов совместно с методом возмущений в задаче вычисления расщепления частоты оболочки с дефектом формы срединной поверхности /Д.С. Вахлярский [и др.] // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2016. № 05. С. 152-174.

28. Каленова Н.В. Динамические эффекты неуравновешенности полусферического резонатора волнового твердотельного гироскопа и методы его балансировки: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. 2012. 136 с.

29. Киреенков А.А. Алгоритм расчета собственной частоты волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. №3. С.3-9.

30. Киреенков А.А. Расчет спектра полусферы на ножке // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №4. С.23-29.

31. Козубняк С.А. Разработка методов расчёта расщепления спектра частот неидеального упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа: дис. ... канд. техн. наук. Москва. 2017. 158 с.

32. Козубняк С.А. Расщепление собственных частот колебаний цилиндрического резонатора волнового твердотельного гироскопа, вызванное возмущением формы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Приборостроение. 2015. № 3. С. 39-49.

33. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями): пер. с нем. М.: Наука. 1968. 504 с.

34. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука. 1973. 280 с.

35. Лунин Б.С. Научно-технологические основы разработки полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов: дис. .д-ра техн. наук. Москва. 2006. 361 с.

36. Лунин Б.С. Физико-химические основы разработки полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов. - М. Изд. МАИ. 2005. -224 с.

37. Лунин Б.С. Чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа: пат. 7G01C 19/56 РФ. 2000.

38. Лунин Б.С., Матвеев В.А., Басараб М.А. Волновой твердотельный гироскоп. Теория и технология. М.: Радиотехника. 2014. 176 с.

39. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматлит. 1949. 618 с.

40. Матвеев В.А., Басараб М.А. Приближение атомарными функциями и численное решение краевых задач динамики резонатора волнового твердотельного гироскопа // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Приборы и приборные системы». Тула. 2001. С.34-42.

41. Матвеев В.А., Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Численное моделирование динамических процессов в упругом кольце с помощью сплайн-аппроксимации

// Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation (DSMSI'2001), Thesis of Conference Reports. Kiev. 2001.

42. Матвеев В.А., Липатников В.И., Алехин А.В. Проектирование волнового твердотельного гироскопа. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1997. 168 с.

43. Матвеев В.А., Лунин Б.С., Басараб М.А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. М.: Физматлит. 2008. 240 с.

44. Матвеев В.А., Нарайкин О.С., Иванов И.П. Расчет полусферического резонатора на ЭВМ // Изв. АН СССР. Машиностроение. 1987. № 7. С. 6-9.

45. Матвеев В.В., Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем. СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн ЦНИИ «Электроприбор». 2009. 280 с.

46. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов // М.: Физматлит. 2009. 228 с.

47. Методы первичной цифровой обработки сигналов микромеханического волнового твердотельного гироскопа /В.М. Ачильдиев [и др.] // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2011. Т. 9. № 2. С. 39-55.

48. Миниатюрные волновые твердотельные гироскопы для малых космических аппаратов /М.А. Басараб [и др.] // Вестник МГТУ им Баумана. Серия: Приборостроение. 2014. № 4. С. 80-96.

49. Нарайкин О.С., Сорокин Ф.Д., Козубняк С.А Расщепление собственных частот кольцевого резонатора твердотельного волнового гироскопа, вызванное возмущением формы // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия: Машиностроение. 2012. №06. С. 176-185.

50. Официальный сайт Northrop Grumman Corporation [Электронный ресурс]. URL: http://www.northropgrumman.com (дата обращения: 03.01.2019).

51. Официальный сайт компании Innalabs [Электронный ресурс]. URL: http://www.innalabs.com (дата обращения: 03.01.2019).

52. Официальный сайт АО «Инерциальные технологии «Технокомплекса» [Электронный ресурс]. URL: http://www.inertech.ru (дата обращения: 03.01.2019).

53. Официальный сайт АО «Научно-производственная корпорация «Конструкторское бюро машиностроения» [Электронный ресурс]. URL: http://www. kbm.ru (дата обращения: 03.01.2019)

54. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учебное пособие. М.: Машиностроение. 2007. 400 с.

55. Сарапулов С.А., Киселенко С.П., Иосифов А.О. Влияние вращения на динамику неидеального полусферического резонатора // Механика гироскопических систем. 1993. №12. С.59 - 66.

56. Статическая балансировка цилиндрических резонаторов волновых твердотельных гироскопов /М.А. Басараб [и др.] // Гироскопия и навигация, 2014. № 2(85). С.43-51.

57. Трунев Г.А., Шестнадцатиточечная модель твердотельного волнового гироскопа // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011, № 2. С. 135-146.

58. Численное исследование резонаторов ВТГ различной формы при наличии дефектов различного типа /Д.С. Вахлярский [и др.] // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2016. № 10. С. 1-22.

59. Юрин В.Е. Устойчивость колебаний волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 3. С. 20-31.

60. Achieving sub-Hz frequency symmetry in micro-glassblown wineglass resonators /D. Senkal [et al.] // Journal of microelectromechanical systems, 2014. Vol. 23. №. 1. P 9.

61. Adaptable test-bed for characterization of micro-wineglass resonators /D. Senkal [et al.] // Proc. MEMS. Taipei. 2013. P. 469-472.

62. Anchor loss in Hemispherical Shell Resonator /A. Darvishian [et al.] // Journal of Microelectromechanical Systems. 2017. Vol. 26: № 1. P. 51-66

63. Ayazi F., Najafi K. A HARPSS Polysilicon Vibrating Ring Gyroscope // Journal of Microelectromechanical Systems. 2001. Vol. 10. №.2. P. 169-179.

64. Bryan G.H. On the Beats in the Vibrations of a Revolving Cylinder or Belle // Proc. Camb. Phil. Soc. Math. Phys. Sci. 1892. Vol. 7. P. 101 - 111.

65. Chang C.-O., Chou C.-S., Lai W.-F. Vibration Analysis of a Three-Dimensional Ring Gyroscope // Bulletin of the College of Engineering, N.T.U. 2004. №. 91. P. 65-73.

66. Characterization of the Bell-Shaped Vibratory Angular Rate Gyro /N. Liu [et al.] // Sensors. 2013. № 13. P. 10123 - 10150. DOI: 10.3390/s130810123.

67. Chikovani V.V., Yatsenko Yu.A., Mikolishin I.T. Shock and vibration sensitivity test results for metallic resonator CVG // Proc. of XVI International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2009. P. 88-92.

68. Development and Test of the Hemispherical Resonator Gyro for Use in an Inclinometer System /B.P. Bodunov [et al.] // Proc.8th International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2001. P. 75-81.

69. Digitally Controlled High Accuracy Metallic Resonator CVG /V.V. Chikovani [et al.] // Proc. Symposium Gyro Technology. Stuttgart. 2006. P. 4.04.7.

70. Egarmin N.E., Yurin V.E. Introduction to the theory of vibratory gyroscopes. M.: Binom. Co., 1993. 111 p.

71. Fabrication and testing of hemispherical mems wineglass resonators /P. Pai [et al.] // Proc. IEEE Sensors. Taipei. 2013. P. 677-680.

72. Frequency split elimination method for a solid-state vibratory angular rate gyro with an imperfect axisymmetric-shell resonator /Z. Lin[et al.] // Sensors. 2015. № 15(2). P. 3204-3223. D0I:10.3390/s150203204.

73. Hemispherical wineglass resonators fabricated from the microcrystalline diamond /A. Heidari [et al.] // Journal of Micromechanics and Microengineering. 2013 Vol. 23 №12 P. 125016-125017.

74. High-Q fused silica birdbath and hemispherical 3-d resonators made by blow torch molding /J. Cho [et al.] // IEEE 26th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS). Taipei. 2013. P. 177-180.

75. Improved accuracy metallic resonator CVG /V.V. Chikovani [et al.] // Proc. of XV International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2008. P. 28-31.

76. In-plane free vibration of a single-crystal silicon ring /C-O. Chang [et. al.]// International Journal of Solids and Structures. 2008. Vol. 45. P. 6114-6132.

77. Jeanroy A., Caron J-M., Inertial rotation sensor having its sensing element mounted directly on the body: пат. 2005/0039529 A1 США. 2005. 4 p.

78. Low-cost hemispherical resonator for use in small commercial HRG-based navigation systems /B.P. Bodunov [et al.] // Proc. 4th Int. Conf. on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 1997. P.41-47.

79. Lynch D.D. Hemispherical resonator gyro // IEEE Trans. Aerosp. Electron. System. 1984. №17. P. 432 - 433.

80. Lynch D.D. Hemispherical resonator gyro // EOS Technical Journal. 1995. Vol. 3. № 1. P. 11-22.

81. Lynch D.D. HRG development at Delco, Litton, and Northrop Grumman // Proc. of Anniversary Workshop on Solid-State Gyroscopy. Yalta. 2008.

82. Lynch D.D. Vibration-induced drift in the hemispherical resonator gyro // Proc. of the Annual Meeting of the Institute of Navigation. Dayton, Ohio. 1987. P. 34-37.

83. Martynenko Yu.G., Merkuryev I.V., Podalkov V.V. Calibration of parameters of small viscoelastic anisotropy of the resonator of a wave solid-state gyroscope by the results of bench tests // Proc. of XVII International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2010. P.40-47.

84. Martynenko Yu.G., Merkuryev I.V., Podalkov V.V. Dynamics of a ring micromechanical gyroscope in a mode of the forced oscillations // Proc. of XVI International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2009. P. 73-82.

85. MEMS-Based Hemispherical Resonator Gyroscopes /P. Pai [et al.] // Proc. IEEE Sensors. Taipei. 2012.

86. Metallic Resonator CVG Thermophysical Parameter Optimization and Temperature Test Results /V.V. Chikovani [et al.] // Proc. of XIV International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2007. P. 74-77.

87. Painter C. Distributed mass hemispherical resonator gyroscope: пат. EP2 463 623 A3. ЕС. 2012. 5 p.

88. Renault A. Method for implementing a resonator under electrostatic forces: пат. 7,010,977 B2 США. 2006. 6 p.

89. Rosellini L., Caron J.M., A promising HRG-based IMU for space application // 7th International ESA Conference on Guidance, Navigation & Control Systems. Tralee. 2008

90. Rozelle D.M., The hemispherical resonator gyro: from wineglass to the planets // Spaceflight Mechanics. 2009, Vol. 134. P. 1157-1178.

91. Research on bell-shaped vibratory angular rate gyro's character of resonator /Z. Su [et al.] // Sensors. 2013. № 13. P. 4724-4741. D0I:10.3390/s130404724.

92. Schwartz, D., Mass Perturbation Techniques for Tuning and Decoupling of a Disk Resonator Gyroscope // PhD thesis. University of California, Los Angeles, 2010.

93. Schwartz D., Kim D.J., M'Closkey R.T., Frequency Tuning of a Disk Resonator Gyro Via Mass Matrix Perturbation // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Controls. 2009. Vol. 131. № 6. P. 061004.

94. Shatalov M., Fedotov I., Joubert S. On dynamics and control of vibratory gyroscopes with spherical symmetry // Proc. 13th International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg. 2006.

95. Shatalov M., Fedotov I., Joubert S. Resonant vibrations and acoustic radiation of rotating spherical structures // Proc. 13th International Congress on Sound and Vibration. Vienna. 2006.

96. Sorenson L.D., Shao P., Ayazi F., Effect of thickness anisotropy on degenerate modes in oxide micro-hemispherical shell resonators // IEEE MEMS. 2013. № 111. P. 169-172.

97. Sorenson L.D., Gao X., Ayazi F., 3-D Micromachined Hemispherical Shell Resonators with Integrated Capacitive Transducers // Proc. IEEE 25th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS). Paris. 2012. P. 168-171.

98. Yilmaz E., Bindel D., Effects of Imperfections on Solid-Wave Gyroscope Dynamics // Proc. IEEE Sensors. Baltimore. 2013. P. 1331-1334.

ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1. Гармоники отклонения от круглости измеренные с помощью

кругломера

Таблица 57.

Амплитуды и фазы гармоник некруглости резонатора № 1

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм к К ,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,994 0,323 1,298 1,979 0,314 162,9 299,7 357,2 51,7

2 4,361 1,065 1,965 2,064 0,498 139,7 309,2 358,2 16,7

3 6,721 1,928 3,036 2,322 0,519 185,4 301,6 4,9 341,0

4 9,081 1,630 3,733 2,396 0,473 173,2 305,6 9,0 309,4

5 11,440 3,166 4,252 2,463 0,351 157,5 303,2 17,8 301,6

6 13,800 3,572 4,678 2,832 0,560 152,4 301,7 23,7 307,7

7 16,160 2,967 5,152 2,928 0,569 158,1 302,4 33,9 280,9

8 18,520 2,746 5,837 3,535 0,555 157,9 303,5 44,8 259,7

9 20,879 4,555 6,045 4,218 0,511 149,5 298,5 47,6 267,8

10 23,240 5,357 6,707 4,233 0,367 142,5 297,5 52,8 274,3

Внешняя поверхность

1 0,308 11,011 0,349 0,429 0,481 207,8 62,2 37,9 155,4

2 2,550 10,204 1,019 0,204 0,204 211,4 30,8 356,3 135,6

3 4,800 9,052 1,449 0,075 0,287 215,0 26,6 269,1 112,5

4 7,050 7,768 1,505 0,488 0,199 227,2 19,9 287,3 41,5

5 9,301 6,841 2,080 0,521 0,175 237,1 22,5 239,3 349,2

6 12,499 7,419 3,005 0,582 0,344 253,8 26,8 285,9 16,2

7 15,374 7,725 3,429 0,832 0,260 277,2 28,1 236,6 56,4

8 18,251 8,740 4,098 1,406 0,576 294,2 32,5 223,6 90,1

9 21,126 10,593 5,079 2,006 0,939 302,9 32,0 220,4 99,7

10 23,999 11,708 5,940 2,738 1,463 311,8 31,9 219,0 103,6

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм к К ,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 2,001 9,763 0,850 1,195 0,410 304,6 2,7 4,0 260,9

2 4,401 9,658 1,557 1,008 0,560 307,7 20,3 0,4 283,7

3 6,801 9,551 1,386 1,116 0,478 306,6 13,7 346,2 294,1

4 9,201 10,562 2,173 1,180 0,284 313,1 14,1 341,0 277,9

5 11,600 9,775 1,725 1,117 0,184 308,1 5,6 341,1 287,7

6 14,000 8,660 2,148 0,608 0,175 308,7 17,3 1,0 331,4

7 16,400 7,739 2,486 0,471 0,094 315,9 4,8 21,3 322,6

8 18,801 7,414 2,821 0,413 0,117 311,9 359,0 9,3 33,7

9 21,201 7,126 2,945 0,694 0,224 316,7 359,5 109,3 333,2

10 23,600 6,564 2,356 0,629 0,543 328,1 351,5 96,9 336,2

Внешняя поверхность

1 0,301 30,248 1,380 0,527 0,334 192,7 309,3 125,7 309,4

2 2,552 26,894 0,786 0,074 0,281 194,0 282,4 35,2 174,7

3 4,801 24,346 1,194 0,221 0,214 191,7 249,7 330,9 191,3

4 7,050 21,625 0,886 0,448 0,276 192,6 229,8 271,6 238,1

5 9,299 18,491 1,473 0,862 0,017 190,7 214,9 272,8 138,2

6 12,493 15,346 1,914 0,812 0,307 189,7 221,2 313,0 240,5

7 15,375 11,782 1,982 0,730 0,252 190,6 216,5 335,2 267,2

8 18,250 8,426 2,814 1,473 0,124 179,8 210,3 339,0 238,9

9 21,127 5,240 2,969 2,073 0,135 181,4 210,1 346,0 284,4

10 24,000 2,211 4,204 2,980 0,111 137,4 209,1 344,6 94,2

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ , мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,998 3,772 1,145 1,583 0,104 234,3 265,5 18,4 236,8

2 4,334 2,813 0,995 1,864 0,281 223,4 277,6 14,0 103,2

3 6,666 2,028 1,523 1,657 0,093 225,2 286,8 8,1 14,5

4 8,999 1,456 2,221 1,747 0,263 221,1 292,5 10,1 28,5

5 11,334 1,587 3,338 1,295 0,421 201,5 284,1 17,9 85,1

6 13,667 1,900 3,539 1,526 0,433 176,5 289,7 15,3 47,5

7 15,997 1,469 3,100 1,840 0,327 143,0 277,5 19,4 34,5

8 18,332 1,095 2,677 1,720 0,389 59,3 274,9 24,6 356,6

9 20,665 0,760 2,389 2,293 0,424 107,3 267,1 23,6 309,1

10 22,998 1,444 1,702 2,039 0,865 50,3 257,4 17,0 304,6

Внешняя поверхность

1 0,310 18,200 0,937 0,416 0,318 180,4 231,3 252,0 319,8

2 2,299 16,562 1,975 0,519 0,637 175,4 222,4 300,9 6,1

3 4,300 15,033 1,900 0,228 0,599 174,1 212,1 219,7 342,9

4 6,300 14,551 1,386 0,593 0,394 175,5 209,7 176,7 339,2

5 8,299 13,332 1,703 0,710 0,328 169,6 211,1 147,2 0,6

6 12,508 11,238 1,446 0,398 0,426 168,6 202,7 110,8 335,5

7 15,123 10,131 1,550 0,468 0,284 162,6 201,1 126,0 308,1

8 17,748 8,656 1,733 0,965 0,789 149,1 193,8 141,4 279,2

9 20,375 7,734 2,190 0,591 0,681 137,0 183,2 143,3 270,4

10 22,999 7,599 2,228 0,572 0,919 133,9 184,2 150,2 264,1

№ сеч. мм Аг1, мкм Ьг2, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 2,000 1,160 0,628 1,046 0,314 238,3 195,2 57,3 99,4

2 4,401 0,432 1,029 1,231 0,357 222,3 198,5 65,8 54,5

3 6,800 1,057 1,525 1,330 0,114 291,8 209,8 67,0 29,3

4 9,201 1,491 1,629 1,070 0,172 26,4 204,4 58,7 350,7

5 11,601 1,381 1,899 1,178 0,100 51,0 186,6 40,2 27,4

6 14,002 1,811 2,401 0,891 0,041 15,1 185,5 47,0 56,5

7 16,399 2,707 2,307 0,421 0,315 39,7 185,6 23,5 211,5

8 18,799 1,981 2,687 0,202 0,229 10,8 191,8 64,7 178,4

9 21,200 1,857 3,288 0,118 0,368 27,0 191,4 183,3 192,4

10 23,602 3,329 3,577 0,277 0,711 30,9 187,3 205,1 181,0

Внешняя поверхность

1 0,265 32,129 0,178 0,325 0,198 94,3 348,2 250,8 78,1

2 2,652 28,513 1,363 0,389 0,186 95,8 13,0 38,2 118,2

3 5,000 24,464 1,862 0,436 0,470 97,9 16,2 52,3 37,8

4 7,351 21,809 1,272 0,462 0,172 102,8 16,9 64,7 51,6

5 9,701 19,687 1,724 0,547 0,216 103,3 27,1 74,2 37,1

6 12,484 16,962 2,232 0,593 0,332 111,5 30,9 95,8 99,0

7 15,374 14,682 3,024 0,352 0,135 118,6 36,4 143,5 93,5

8 18,251 11,234 2,917 0,621 0,432 133,8 39,3 172,6 136,9

9 21,127 8,973 3,768 0,785 0,736 148,2 32,3 190,5 163,4

10 24,002 9,305 4,154 1,098 1,244 174,7 37,4 200,1 159,0

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,994 1,929 0,628 1,296 0,529 182,6 332,2 339,7 29,5

2 4,400 1,182 1,541 1,563 0,586 221,3 312,0 343,6 37,5

3 6,800 1,467 1,761 1,684 0,794 263,4 299,0 334,1 49,1

4 9,201 0,827 2,744 1,966 0,826 269,0 287,0 339,9 39,8

5 11,601 1,666 2,615 1,994 0,722 293,1 276,5 347,1 53,9

6 14,001 1,829 2,616 1,849 0,537 289,6 265,0 0,1 38,0

7 16,401 2,781 3,047 1,606 0,356 305,8 250,8 20,5 29,1

8 18,801 2,454 3,576 2,098 0,346 309,3 246,2 31,6 346,5

9 21,199 3,183 4,143 2,481 0,616 333,0 249,7 30,9 289,4

10 23,600 3,142 4,178 2,814 0,724 322,0 247,0 31,3 293,0

Внешняя поверхность

1 0,294 29,223 0,578 0,208 0,193 282,0 328,4 283,5 103,3

2 2,651 26,394 1,336 0,572 0,186 277,5 39,5 311,9 42,0

3 5,001 23,564 1,711 0,214 0,250 272,8 47,5 326,2 64,4

4 7,350 22,229 2,208 0,130 0,417 266,6 63,6 270,4 124,8

5 9,700 20,558 2,507 0,285 0,192 261,0 71,2 170,7 138,8

6 12,501 15,515 3,037 0,443 0,378 250,5 52,6 283,5 57,0

7 15,375 17,048 3,495 0,220 0,283 241,0 67,9 268,9 122,3

8 18,251 16,092 4,132 0,050 0,351 229,3 68,9 53,6 65,5

9 21,126 15,779 4,876 0,066 0,103 215,7 66,8 115,1 78,7

10 24,000 16,985 5,714 0,126 0,316 203,7 71,9 122,6 352,4

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 2,030 4,189 1,951 0,399 0,007 156,2 244,4 12,6 125,8

2 4,330 5,215 3,220 0,415 0,126 147,8 246,4 356,2 33,6

3 6,630 5,931 3,404 0,470 0,530 144,0 249,6 346,8 53,4

4 8,930 6,309 3,209 0,777 0,906 136,1 247,6 43,7 84,6

5 11,231 7,297 3,592 0,826 0,751 132,8 251,0 27,9 70,6

6 13,531 7,515 3,947 0,897 0,708 137,6 255,3 35,5 70,4

7 15,831 7,442 3,918 0,890 0,747 135,7 253,5 47,3 88,1

8 18,131 7,145 4,235 0,833 0,914 129,6 256,8 41,5 94,2

9 20,431 6,859 3,666 0,772 0,903 130,2 251,3 52,6 96,0

10 22,731 7,133 2,541 0,705 1,048 134,5 248,9 73,6 86,8

Внешняя поверхность

1 0,282 27,395 0,522 0,440 0,230 30,0 206,4 123,8 212,4

2 2,284 25,845 1,001 0,927 0,932 26,1 215,7 42,0 289,3

3 4,283 26,279 1,397 0,154 0,360 24,7 266,5 226,6 165,4

4 6,282 24,640 1,813 0,327 0,416 21,7 269,9 286,4 172,5

5 8,283 24,673 2,187 0,436 0,508 18,6 272,5 315,2 197,1

6 12,499 22,936 3,120 0,458 0,362 16,4 273,3 314,3 139,5

7 15,099 22,421 4,016 0,554 0,175 12,6 277,6 296,5 232,9

8 17,701 22,731 4,478 0,390 0,358 7,8 278,9 329,8 103,9

9 20,301 21,515 5,074 0,195 0,485 4,1 275,9 2,7 96,5

10 22,900 21,664 5,881 0,681 0,686 0,5 277,7 358,9 68,0

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ , мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,999 2,478 1,371 1,481 0,654 231,1 166,5 233,4 125,8

2 4,401 2,391 2,628 1,721 0,624 214,7 182,6 214,0 157,1

3 6,800 1,429 3,210 1,848 0,722 257,0 188,0 208,2 155,4

4 9,201 0,873 3,634 1,933 0,803 217,0 184,8 206,5 160,7

5 11,600 0,792 3,777 1,850 0,832 260,4 186,4 211,4 169,2

6 14,001 1,183 4,023 1,696 0,714 321,8 183,9 206,3 181,8

7 16,400 0,141 4,385 1,458 0,582 69,8 175,5 205,7 180,9

8 18,800 1,717 4,385 1,263 0,112 358,5 174,8 214,5 258,8

9 21,201 1,616 4,516 1,160 0,426 2,3 180,1 214,9 13,1

10 23,600 3,208 4,419 1,298 0,896 8,8 183,0 214,1 12,9

Внешняя поверхность

1 0,305 6,089 0,759 0,496 0,218 329,6 344,6 240,3 236,4

2 2,650 5,459 0,815 0,586 0,284 329,1 353,6 279,2 247,3

3 5,002 4,650 1,129 0,175 0,096 331,4 355,5 225,7 110,9

4 7,352 5,339 1,099 0,332 0,098 341,9 350,5 140,6 264,4

5 9,700 4,678 1,193 0,485 0,245 342,0 355,1 130,2 68,5

6 12,507 4,584 1,517 0,616 0,107 358,8 3,4 172,7 336,2

7 15,375 5,101 1,518 0,579 0,553 1,0 17,3 191,9 24,3

8 18,249 4,354 1,911 0,612 0,570 20,0 20,0 206,2 12,7

9 21,126 3,888 2,263 0,964 1,328 17,4 23,1 208,6 6,4

10 24,000 4,255 2,560 1,310 2,069 38,0 21,2 211,3 9,6

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,997 6,129 0,291 1,160 0,262 320,7 272,2 63,3 102,5

2 4,400 6,193 0,167 1,186 0,290 306,3 104,8 56,1 83,9

3 6,801 7,051 0,385 1,296 0,411 304,8 107,0 67,8 127,1

4 9,201 8,361 0,687 1,492 0,470 301,1 103,3 62,2 118,5

5 11,601 9,148 1,055 1,701 0,486 295,3 74,6 56,5 131,7

6 13,999 10,702 1,384 1,665 0,638 298,0 79,2 47,1 134,7

7 16,399 11,445 1,599 1,611 0,337 295,1 75,2 38,8 112,8

8 18,800 12,429 1,973 0,900 0,268 296,2 69,8 15,7 77,9

9 21,201 13,932 2,204 1,069 0,580 289,0 59,9 65,0 281,4

10 23,600 15,099 1,312 1,247 0,412 297,4 44,6 36,6 16,5

Внешняя поверхность

1 0,301 28,876 0,434 0,820 0,698 180,6 222,3 133,3 333,0

2 2,650 28,567 0,165 0,943 0,200 176,2 49,4 114,8 59,9

3 5,001 27,222 0,643 0,486 0,421 172,2 223,0 79,6 11,6

4 7,350 27,409 0,921 0,472 0,211 165,4 252,8 55,2 279,0

5 9,700 27,625 1,210 0,368 0,241 161,7 241,9 40,7 331,7

6 12,500 27,587 1,303 0,674 0,344 158,1 269,8 16,5 32,0

7 15,375 29,013 1,266 0,438 0,240 152,0 221,2 4,7 0,8

8 18,252 28,827 1,192 0,475 0,133 148,0 226,6 35,5 273,4

9 21,124 29,207 1,340 0,520 0,290 143,3 219,3 31,4 221,7

10 24,000 29,949 1,705 0,690 0,736 137,0 218,9 28,1 253,4

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,999 0,782 0,912 1,773 0,575 306,8 157,0 202,7 284,4

2 4,402 0,930 1,558 1,983 0,747 299,3 165,8 187,9 268,8

3 6,800 1,100 1,945 1,949 0,696 189,9 170,4 209,6 282,3

4 9,201 1,212 2,420 1,967 0,630 238,6 167,6 205,4 270,0

5 11,601 0,857 2,699 1,897 0,728 178,9 170,1 192,3 267,2

6 14,001 2,274 2,293 2,233 1,058 199,1 156,6 192,5 256,4

7 16,400 1,591 2,945 2,032 0,503 181,9 168,5 211,1 242,5

8 18,800 2,868 3,288 2,098 0,532 159,3 164,0 218,4 220,2

9 21,200 3,151 3,436 1,784 0,731 158,4 171,0 223,5 187,0

10 23,598 5,044 3,471 1,802 1,257 184,8 176,7 222,4 184,7

Внешняя поверхность

1 0,250 18,541 0,681 0,315 0,116 238,2 21,8 126,5 356,1

2 2,551 16,840 0,663 0,624 0,215 237,3 12,5 132,0 337,0

3 4,801 14,697 0,242 0,351 0,519 237,1 302,6 150,7 351,7

4 7,050 13,637 0,564 0,311 0,403 239,5 307,7 160,8 319,3

5 9,301 11,357 0,358 0,307 0,263 243,0 239,6 242,7 304,8

6 12,497 9,509 0,126 0,290 0,311 242,1 183,2 197,2 278,1

7 15,375 7,750 0,114 0,152 0,263 239,1 335,6 171,8 216,1

8 18,251 6,591 0,150 0,152 0,600 253,6 199,8 196,1 205,6

9 21,126 3,774 0,491 0,044 1,256 253,0 259,9 204,0 185,2

10 24,000 2,952 0,600 0,265 1,689 270,5 200,7 57,1 189,6

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,993 3,227 1,401 2,407 0,528 233,4 355,8 113,4 228,8

2 4,340 3,165 2,379 2,447 0,552 232,4 2,6 100,9 230,4

3 6,681 3,128 2,901 2,434 0,468 228,6 3,2 100,8 208,1

4 9,021 2,388 3,558 2,140 0,286 227,0 5,3 100,9 244,7

5 11,360 2,267 3,909 1,936 0,269 221,4 11,9 103,6 210,0

6 13,700 1,542 4,444 1,855 0,200 244,3 17,3 106,9 231,0

7 16,041 2,053 4,321 1,623 0,371 262,8 16,4 113,7 238,5

8 18,380 2,040 4,599 1,471 0,298 286,5 9,0 103,2 298,5

9 20,720 1,539 4,477 1,208 0,360 306,0 6,5 90,6 305,0

10 23,061 1,535 4,606 0,828 0,372 308,3 8,0 90,3 352,3

Внешняя поверхность

1 0,306 29,629 0,620 0,149 0,159 290,9 60,5 90,0 304,9

2 2,550 25,443 1,699 0,466 0,252 292,6 54,4 142,2 260,1

3 4,800 21,185 2,333 0,286 0,157 291,6 51,1 201,9 189,2

4 7,050 17,489 1,798 0,355 0,096 293,3 45,7 216,5 167,4

5 9,301 13,658 2,515 0,744 0,262 295,3 65,4 274,8 82,5

6 12,493 8,906 2,041 0,080 0,142 308,1 79,7 130,4 188,1

7 15,125 4,212 2,358 0,359 0,224 334,8 73,9 244,0 63,2

8 17,749 3,385 2,980 0,990 0,404 43,2 81,8 278,7 72,4

9 20,375 6,711 3,352 1,203 0,561 84,3 77,4 277,0 52,5

10 22,999 11,015 3,458 1,630 0,751 93,0 81,9 280,0 38,1

№ сеч. мм Аг1, мкм АГ, мкм АГ, мкм Ага , мкм 41,° 42,° 43,° 44,°

Внутренняя поверхность

1 1,999 2,045 1,497 0,978 0,220 337,2 214,2 99,7 313,7

2 4,400 1,170 1,617 1,730 0,297 335,1 221,1 100,8 295,2

3 6,801 1,712 1,926 1,928 0,419 103,0 240,9 105,2 316,6

4 9,200 2,257 1,962 2,301 0,393 121,8 246,7 108,9 327,5

5 11,601 3,161 1,735 2,627 0,402 103,3 253,9 111,9 313,1

6 14,000 4,748 1,658 2,323 0,324 108,1 240,9 110,2 265,7

7 16,401 4,795 1,532 2,295 0,332 110,3 241,3 113,2 300,7

8 18,800 5,009 1,295 2,356 0,462 96,9 232,2 116,7 342,5

9 21,201 5,080 0,877 2,254 0,714 101,1 250,6 121,6 15,8

10 23,600 7,498 0,460 1,970 1,415 119,8 274,5 127,1 47,4

Внешняя поверхность

1 0,299 27,210 0,560 0,850 0,070 0,8 178,6 262,6 66,1

2 2,653 24,628 0,847 0,549 0,240 1,4 182,9 237,4 331,4

3 5,002 22,147 0,719 0,265 0,341 4,4 203,9 216,7 292,0

4 7,351 21,375 0,878 0,314 0,513 6,0 281,6 151,2 264,5

5 9,700 20,556 1,279 0,618 0,695 5,7 307,7 163,8 274,5

6 12,494 18,500 2,511 0,421 0,396 10,8 311,8 196,0 295,1

7 15,365 17,087 3,288 0,745 0,415 13,7 315,2 184,8 354,4

8 18,232 15,623 4,063 1,533 0,519 19,7 318,9 183,7 22,0

9 21,096 13,701 4,735 1,834 1,056 21,2 319,3 182,4 31,0

10 23,959 12,330 5,994 2,517 1,992 24,3 319,0 183,8 28,6

П.2. Сравнение результатов, полученных автором с известными

результатами

Для проверки авторского конечного элемента при вычислении невозмущённых величин, была вычислена собственная частота цилиндрической оболочки (Рис. П.1) без дефектов, отвечающая окружному волновому числу п = 2. Параметры оболочки следующие: радиус ^ = 40 мм, длина 21 = 80 мм, толщина оболочки \ = 0,5 мм, модуль упругости Е = 7,36 -1010 Па, коэффициент Пуассона ¡л = 0,17, плотность р = 2210 кг/м3. Закрепление оболочки отсутствует.

77^

?1

Рис. П.1 Цилиндрическая оболочка для проверки вычисления невозмущённой частоты

По теории колебаний оболочек без растяжения срединной поверхности, квадрат частоты соп2 вычисляется следующим образом [6]:

Рк2 п2 (п2 -1)2 с2 =_Екк0__V_(П 1)

С 12(1 - п2 +1 . (П1)

В Таблице 68 приведено сравнение результатов, полученных в авторской программе с теоретическим значением частоты, отличие не превышает 1%.

Сравнение результатов. Невозмущённая частота

Толщина h0, м Собственная частота f2, Гц

Теория Автор

0,01 -10"3 4,5122 4,5120

1-10"3 451,22 450,36

5 -10"3 2256,1 2238,2

Для полусферической оболочки без ножки с дефектом толщины вычислено расщепление частот в авторской программе и с помощью ANSYS. Параметры оболочки следующие: радиус полусферы R = 20 мм, толщина оболочки h0 = 1 мм,

модуль упругости E = 7,36 • 1010 Па, коэффициент Пуассона р = 0,17, плотность р = 2210 кг/м3. Закрепление оболочки отсутствует.

Задавалась следующая функция толщины оболочки:

h = h0 (1 + sh cos (4^)) (П.2)

где sh - безразмерное отклонение от номинальной толщины, sh = 10"4 (максимальное отклонение от номинальной толщины составляет 0,1 мкм).

В Таблице 69 приведено сравнение результатов, полученных автором с ранее известными результатами. Видно, что они хорошо согласуются между собой.

Таблица 69.

Сравнение результатов. Дефект толщины

Собственная частота f2, Расщепление частот Af,

рад/с рад/с

Меркурьев И.В. 2,020-104 0,729

Козубняк С.А. 1,854 104 0,754

Автор 1,853 104 0,760

Ansys (shell281) 1,835 104 0,705

Ansys (solid185) 1,947-104 0,637

Ansys (solid186) 1,835 104 0,704

Для полусферической оболочки с дефектом срединной поверхности вычислено расщепление частот в авторской программе и с помощью ANSYS. Параметры оболочки следующие: радиус полусферы R = 30 мм, радиус ножки ra = 2 мм, толщина оболочки h0 = 0,5 мм, модуль упругости E = 75 -109 Па, коэффициент Пуассона /л = 0,17, плотность р = 2600 кг/м .

Дефект срединной поверхности задавался в следующем виде:

rerr (^) = A^cos (4р) n (^,р) (П.3)

где Ar4 = - амплитуда четвёртой гармоники дефекта срединной поверхности; р - меридиональная и окружная координаты срединной поверхности;

П (?(^,р) - нормаль к срединной поверхности без дефектов.

В Таблице 70 приведено сравнение результатов, полученных автором с ранее известными результатами. Видно, что они хорошо согласуются между собой.

Таблица 70.