Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Шишкин, Андрей Борисович

• Шишкин, Андрей Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шишкин, Андрей Борисович

Введение

Глава 1. Теорема двойственности

1.1 О структуре двойственных переходов.

1.2 Схема двойственности.

1.3 7г-симметричные множества и 7г-симметричные функции

1.4 Спектральный синтез.

1.5 Локальное описание.

1.6 Теорема двойственности.

Глава 2. Локальное описание. Теорема редукции

2.1 Суть и контуры доказательства теоремы редукции

2.2 Симметричные многочлены.

2.3 Симметричные функции.

2.4 О представлениях симметричных функций.

2.5 Теорема редукции.

Глава 3. Локальное описание. Критерий обильности

3.1 Устойчивость, насыщенность, обильность.ИЗ

3.2 Критерий обильности.

3.3 Обильные подмодули.

Глава 4. Спектральный синтез

4.1 Мотивация

4.2 7г-симметризация и 7Г-свертка.

4.3 Однородные уравнения типа свертки

4.4 Спектральный синтез.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами»

1. Пусть Н — произвольное локально выпуклое пространство, А : Н —> Н — линейный непрерывный оператор. Подпространство Иг С Н называется инвариантным относительно оператора А, если АШ С V/. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому инвариантному относительно оператора А (далее, часто, просто инвариантному или А-инвариантному) подпространству IV С Н состоит в описании этого подпространства, например, в терминах корневых подпространств оператора А. Корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному значению Л £ С, называется непустое подпространство хеН:(А-\)пх = 0,пеЩ.

Элементы этого подпространства принято называть корневыми. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора А подпространство IV С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора А, лежащих в \¥, совпадает с IV. Задача спектрального синтеза для оператора А состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство V/ С Н допускает спектральный синтез.

Из элементарной линейной алгебры известно, что если Н — конечномерное пространство, то любое инвариантное подпространство является прямой суммой конечного множества корневых подпространств. Из известной теоремы Гильберта - Шмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве (Гильберт, Шмидт - пространство Ь2, Л. Нейман - сепарабельное гильбертово пространство [75], Г. Реллих - общий случай [77]) вытекает, что любое инвар иантное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетного множества корневых подпространств. Этим столь общие примеры исчерпываются. Известно, что уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабель-ном гильбертовом пространстве, есть такие, которые не имеют ни одного корневого элемента. Поэтому понятно, что дальнейшие исследования по спектральному синтезу связаны с изучением конкретных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.

Пусть — односвязная область в С; Н = Я(П) — пространство функций, аналитических в О, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; Б : Н —» Н — оператор дифференцирования. Инвариантные подпространства IV С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора И в комплексной области представляет собой перенос на ситуацию аналитических функций известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [70]. Вместе с тем, сравнение результатов по спектральному синтезу в комплексной области с известными фактами гармонического синтеза на прямой обнаруживает лишь частичную аналогию.

Впервые задача спектрального синтеза для оператора И была сформулирована в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [80]. Указанная монография содержит первый результат по спектральному синтезу в комплексной области: при условии О, = С любое замкнутое

О-инвариантное подпространство в Н допускает спектральный синтез.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора И — задача аппроксимации для однородной системы сверточных уравнений: можно ли каждое решение такой системы аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит [78], Полиа [76], Валирон [79], А.Ф. Леонтьев [27] - [30], А.О. Гельфонд [7], Л. Эренпрайс [72], [73], Д. Диксон [71], И.Ф Красич-ков-Терновский [12] - [14] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных функций тесно связаны с задачей изучения решений однородного уравнения свертки.

Систематические исследования по спектральному синтезу в комплексной области инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Терновским [12] - [14]. С этим же именем связаны: первый пример замкнутого ^-инвариантного подпространства, не допускающего спектральный синтез [13]; обобщение результата Л. Шварца на случай неограниченных выпуклых областей !Г2 [13]; положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки в случае выпуклой П [13]; продолжение спектрального синтеза с выпуклой области [14] и др. Среди последующих результатов следует отметить результат А.Ф. Леонтьева: любое замкнутое .О-инвариантное подпространство в Н, О, — выпуклая область типа полуплоскости, является множеством решений системы из двух однородных уравнений свертки [31]; результат С. Г. Мерзлякова: положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки для некоторого класса криволинейных полос [35]; результат С. И. Калинина по продолжению спектрального синтеза для однородного уравнения свертки [10]; свежий результат А.Н. Абузяровой, обобщающий результат А.Ф. Леонтьева на случай произвольной выпуклой области [2].

По характеру результатов с задачей спектрального синтеза для оператора В тесно связана задача спектрального синтеза для, так называемого, оператора, порождаемого умножением на независимую переменную. Речь идет об операторе Л*, сопряженном оператору

РР\ф(\)\ф{\), где Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций, с ограничением на рост. Если Р = Т(Н*), где Н* — топологическое сопряженное к Н, Т — преобразование Лапласа, то задачи спектрального синтеза для операторов Б и Л* совпадают. Постановка задачи для оператора Л* и ее исследование проведено в работе В. А. Ткаченко [40]. По методам исследования и форме изложения статья [40] близка к классическим работам по спектральной теории операторов в банаховых пространствах.

Параллельно с этими исследованиями изучалась задача спектрального синтеза для оператора

Л,.(/{,.'., Л) покомпонентного дифференцирования, действующего в топологическом произведении Н = Н\ х . х НН) = Qj — односвязная область в С. Эта задача перекликается с известной задачей М. В. Келдыша о кратной полноте корневых (собственных и присоединенных) элементов компактного оператора в гильбертовом пространстве [11]. Опуская точные формулировки, отметим, что задача о кратной полноте, перенесенная в условия локально выпуклого пространства Н, является сужением задачи спектрального синтеза для оператора я"я"|(/ь.,л)->(/{,. покомпонентного дифференцирования, на запас замкнутых инвариантных подпространств вида ]¥" = х . х где IV — произвольное замкнутое ^-инвариантное подпространство Н = Здесь Ни — топологическая ^-степень Н.

Постановка задачи спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования (иначе — задача спектрального синтеза на системах областей) впервые подвергнута обстоятельному исследованию в работах И.Ф. Красичкова-Терновского [17], [18]. Центральное место в этих работах занимает критерий допустимости спектрального синтеза (критерий обильности - в условиях двойственной задачи), позволивший автору перенести ряд результатов по спектральному синтезу для оператора дифференцирования на векторный случай. Среди этих результатов отметим: положительное решение аппроксимационной задачи для однородного сверточного уравнения на системе выпуклых областей; положительное решение задачи спектрального синтеза для любого замкнутого инвариантного подпространства в случае системы односвязных областей, звездных в одном общем направлении. К этим результатам примыкает положительное решение аппроксимационной задачи для однородных сверточных уравнений на системах криволинейных полос С. Г. Мерзлякова [35].

Дальнейшие исследования по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора дифференцирования к оператору кратного дифференцирования

Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым в работах [33], [34]. В этих работах показано, что любое замкнутое 1)9-инвариантное подпространство Н = Н(С) допускает спектральный синтез (то же утверждение справедливо, если д = 2, О - полуплоскость или прямолинейная полоса). Здесь же построен пример замкнутого £>2-инвариантного подпространства Н = $7 - неограниченная выпуклая область, не допускающего спектральный синтез. Отметим, что этот пример опровергает гипотезу В. А. Ткаченко из [1]. Более полное исследование £>9-инвариантные подпространства получили в работах А. Б. Шишкина [44], [46] (см. также [19]) и в работе И.Ф. Красичкова Терновского [24]. Последняя работа и работы [21], [22], [23] посвящены более общей задаче — задаче спектрального синтеза для дифференциального оператора тт(В) = В4 + агВ4'1 + . + аяВ° с постоянными коэффициентами, действующего в Н покомпонентно. В работе [24] показано, например, что для выпуклых областей инвариантных относительно поворота на угол ^ задача спектрального синтеза для оператора тг(В) равносильна задаче спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования Вя, действующего в Ш покомпонентно. Для случая произвольных выпуклых областей, даже в скалярном случае, возможность такой редукции остается под вопросом. Однако, характер известных результатов по спектральному синтезу для оператора 7Г(В) позволяет считать ее весьма вероятной.

Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для системы ^(И),., 7тд(В) дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Задача спектрального синтеза для системы операторов 7Г1(1)),.,7тч{Б) состоит в определении условий, при которых замкнутое инвариантное относительно каждого оператора из данной системы подпространство ЖСМ совпадает с замыканием линейной оболочки совместных корневых элементов операторов 7Г1(£)),., 7ГЯ(Б), лежащих в IV.

Такая постановка задачи является новой даже в классической ситуации. Однако, именно в такой постановке задача спектрального синтеза приобретает завершенность формы и допускает естественное обобщение на случай многих переменных. Случай многих переменных здесь не рассматривается. Но следует отметить, что многие из представленных здесь результатов допускают перенос на ситуацию с многими переменными.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Подобно тому, как при исследовании решений однородных дифференциальных уравнений конечного или бесконечного порядка основным инструментом являются характеристические функции, так и при исследовании инвариантных подпространств роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающими алгебраической структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов. Каждому инвариантному подпространству определенным образом ставится в соответствие его аннуляторный подмодуль. Аналитические задачи, относящиеся к инвариантному подпространству, сводятся к задачам алгебраического характера, относящимся к аннуляторному подмодулю, т. о. исследование инвариантных подпространств сводится к исследованию аналитико-алгебраических свойств целых функций.

Приведем общую постановку задачи локального описания. Пусть т — какая-либо топология в С; К = {K(U)} — произвольный предпучок колец над (С, г), с гомоморфизмами сужения киси> К(U1) -> K(U)\ М = {M(U)} — произвольный предпучок абелевых групп над (С, г), с гомоморфизмами сужения rriucu' M(ZJ') —> M(U). Считаем, что М — предпучок модулей над предпучком колец К, другими словами, для любого U € г абелева группа M(U) является модулем над кольцом K{U). Индуктивный предел К\ колец K(U), U Э А, относительно системы гомоморфизмов kucu'i обладает структурой кольца и называется локальным кольцом в точке А. Индуктивный предел Мд абелевых групп M(U), U Э А, относительно системы гомоморфизмов тписи'-, обладает структурой модуля над кольцом Кх и называется локальным модулем в точке А. Естественный модульный гомоморфизм М(С) —» Мд обозначим т\.

Пусть G £ т. Выделим в M{G) множество Р, наделенное структурой локально выпуклого пространства. Подмодуль /д С Мд, порождаемый множеством шд(/), I — замкнутое подпространство Р, называется локальным подмодулем подпространства I в точке А. Говорят, что подпространство / С Р допускает локальное описание, если оно совпадает с пересечением

ГиСЛтдЧЛ)).

Задача локального описания состоит в определении условий при которых замкнутое подпространство I С Р допускает локальное описание. Для проверки допустимости локального описания замкнутым подпространством / С Р достаточно убедиться в выполнимости импликации еР,тА(Л €/аУАее =»/е/.

Пусть т — обычная топология в С, Сг = С, М(11) = К{и) = 0(и) — кольцо голоморфных в и функций, М\ = 0\ — кольцо ростков голоморфных в точке А функций. Идеалы в локальном кольце 0\ однозначно определяются наименьшей кратностью обращения в нуль в точке А их элементов. Таким образом, задача локального описания развивает классическую задачу восстановления целой функции по ее нулям. Например, если Р — пространство всех целых функций порядка не выше р < 1, с любой локально выпуклой топологией, то положительное решение задачи локального описания по отношению к подпространству вида {с/(.г) : с £ С}, где / — фиксированный элемент Р, следует из теоремы Адамара. Из той же теоремы вытекает, что это подпространство не допускает локальное описание при р ^ 1.

Понятно, что задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального синтеза. Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу. Задача локального описания, двойственная задаче спектрального синтеза для системы операторов 7Г1(£>),., тг9(1)), действующих в Н покомпонентно, вполне характеризуется следующим выбором параметров: тж — прообраз топологии из С9 при голоморфном отображении С —У С9, осуществляемом ^-многочленом (7Г1,., тгд), К (и) = Ож(и) — кольцо локально голоморфных функций от 7Г, М(и) = ©(£7) — декартова ^-степень кольца 0(и) голоморфных функций, О = С, Р — интерпретация сильного сопряженного Ш* в терминах преобразований ЛаПласа. Пространство Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций с ограничениями на рост. Это пространство обладает структурой топологического модуля над кольцом многочленов и может рассматриваться как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7тд. Замкнутые (С[7г]-подмодули в Р, допускающие локальное описание в смысле этой задачи называются обильными.

Постановка и детальное исследование этой задачи для случая = г, и = 1, осуществлены в работах И.Ф. Красичкова-Терновского [12], [13]. В этих работах вскрыта связь задачи с задачей спектрального синтеза, построен пример необильного замкнутого С[г]-подмодуля в Р, доказана обильность главных (порожденных одним элементом) С[.г]-подмодулей в случае выпуклой £1; доказана обильность всех замкнутых С[.г:]-подмодулей в случае неограниченной выпуклой сформулирован критерий обильности конечно порожденного подмодуля и др. К этим работам примыкает работа А. Н Абузяровой [2], в которой доказано, что всякий обильный С[.г]-подмодуль в случае выпуклой О является конечно порожденным и имеет не более двух образующих.

Случай 7г(.г) — г, V ^ 1, Р — произвольное равномерно устойчивое пространство функций из О (С), С? — открытое множество в (С, изучен в работах [15], [16]. В этих работах разработан метод резольвентной функции, позволивший автору, в условиях векторного Р, доказать критерий обильности замкнутого С[2:]-подмодуля, доказать обильность главных С[г]-подмодулей в случае выпуклых ., доказать обильность всех замкнутых С[.г]-подмодулей в случае системы односвязных областей, звездных в одном общем направлении и др. Критерий обильности замкнутого (С[.г]-подмодуля в Р получил свое развитие в работе [20] (см. также [56]).

Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю 7г(.г) = г9, V = 1, О — выпуклая область. Первое исследование этой задачи осуществлено А. Б. Шишкиным в работах [45], [46] (см. также [19]). В этих работах на основе метода резольвентной функции доказан критерий обильности замкнутого С[л9]-подмодуля, доказана обильность главных С[гд]~ подмодулей, охарактеризованы обильные подмодули ранга 1 и др.

Случай тг(г) = ^ + а^9-1 + . + ад,

01,., — выпуклые, исследован в работах [21] - [23]. В этих работах показано, в частности, что для выпуклых областей инвариантных относительно поворота на угол рассматриваемый случай сводится к случаю тг(г) = доказана обильность главных С[7г]-подмодулей; охарактеризованы обильные С[7г]-подмодули в случае неограниченных . Пх,., и др.

Ситуации

Ф) = (7Г1(20>--->7Г<7(20)> 7Г](г) — многочлены, посвящены работы [47] - [64] и две главы этой диссертации.

3. Изложение проводится по следующему плану.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шишкин, Андрей Борисович, 2003 год

1. Исследования по линейным операторам и теории функций. 99 нерешенных задач линейного и комплексного анализа // J1. :, Наука, Ленингр. отд-ние. 1978.

2. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 4. С. 3-22.

3. Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М. : Высшая школа, 1979.

4. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М. : ИЛ. 1959.

5. Ван-дер-Варден В.Л. Алгебра. М. : Наука, 1979.

6. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М. : Мир, 1969.

7. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 42 67.

8. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука. 1967.

9. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Математика. 1958. Т.2 № 2. С. 77 102.

10. Калинин С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 2. С. 199 211.

11. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С. И 14.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459 -489.

13. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 1. С. 3 30.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 3. С. 331 362.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, № 1. С. 44 66.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, № 2. С. 309 341.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 1. С. 3 41.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 3. С. 384 401.

19. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 1. С. 24 27.

20. Красичков-Терновский И.Ф. Абстрактные приемы локального описания замкнутых подмодулей аналитических функций // Матем. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1640 1658.

21. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559 1588.

22. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. И. Метод модулей // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 1. С. 3 19.

23. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 6. С. 55 86.

24. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 23 46.

25. Красичков-Терновский И.Ф. Фундаментальный принцип дляинвариантных подпространств аналитических функций. II // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 6. С. 57 98.

26. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, № 6(288). С. 3 58.

27. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. МИАН. 1951. Т. 39.

28. Леонтьев А.Ф. Об одном функциональном уравнении // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. С. 725 756.

29. Леонтьев А.Ф. О представлении функций рядами полиномов Дирихле // Мат. сб. 1966. Т. 70. С. 132 144.

30. Леонтьев А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1971. Т. 112. С. 300 326.

31. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент // М. : Наука. 1983. 175 с.

32. Мергелян С.Н. Равномерное приближение функций комплексного переменного // УМН. 1952. Т. 7, № 2.

33. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С 701 713.

34. Мерзляков С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. 1986. Т. 40, JY2 5. С. 635 639.

35. Мерзляков С.Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 5. С. 85 102.

36. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М. : Наука, 1982.

37. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М. : Мир, 1967.

38. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". М. : Мир, 1984.

39. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика (сб. переводов). Т.1, т. С. 60 77.

40. Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 421 466.

41. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968.

42. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. Ленинград: ОГИЗ, 1948.

43. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М. : Наука, 1985.

44. Шишкин A.B. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq. Современные проблемы математического анализа / М. : МОПИ, 1987. Деп. в ВИНИТИ 22. Об. 87. К0- 4489. С. 117 133.

45. Шишкин A.B. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 6. С. 94 100.

46. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 828 848.

47. Шишкин A.B. Проективное и индуктивное описание. Деп. в ВИНИТИ 11. 02. 93. № 326 В93, 12 с.

48. Шишкин A.B. Спектральный синтез и локальное описание на областях в Сп. Деп. в ВИНИТИ 11. 02. 93. № 327 В93, 11 с.

49. Шишкин A.B. Экспоненциальный синтез и локальное описание. Теорема двойственности. Деп. в ВИНИТИ 11. 02. 93. № 328 -В93, Юс.

50. Шишкин A.B. Системы дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Армавир: АГПИ, 1995.

51. Шишкин А.Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Обильные подмодули. Деп. в ВИНИТИ 04. 08. 95, № 2397 В95. 40 с.

52. Шишкин A.B. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. Синтез. Деп. в ВИНИТИ 04. 08. 95, № 2398 В95. 41 с.

53. Шишкин A.B. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций -Армавир: Издательский центр АГ-ПИ. 1995. 188 с.

54. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для системы операторов, порождаемых умножением на степени независимых переменных. Деп. в ВИНИТИ 01. 02. 96 № 355 В96, 23 с.

55. Шишкин А.Б. Локальное описание в индуктивных пределах равномерно устойчивых пространств. Деп. в ВИНИТИ 01. 02. 96 № 356 В96, 16 с.

56. Шишкин А.Б. Однородное уравнение ç-сторонней свертки /Комплексный анализ, дифференциальные уравнения численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа, 1996 С. 132 - 135.

57. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // ДАН РАН. 1997. Т. 355, № 1. С. 28 30.

58. Шишкин А.Б., Шевцов H.H. Индуктивное и проективное описания с общих позиций /Развитие непр. пед. образования в новых соц.-эк. условиях на Кубани (научные труды). Армавир, 1998. С. 125 126.

59. Шишкин A.B. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 9. С. 143 -160.

60. Шишкин A.B. 7Г-свертка на выпуклых областях в С" // Наука Кубани, 1999. № 6. С 61 64.

61. Шишкин A.B., Шевцов H.H. Индуктивное и проективное описания. Схема двойственности // Труды ФОРА, 1999, № 4. С. 54 60.

62. Шишкин A.B. 7г-свертка на выпуклых областях в С" /Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Труды международной конференции). I. Комплексный анализ. Уфа, ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. С. 201 206.

63. Шишкин A.B., Шевцов H.H. Представление функций, аналитических в конечносвязной области рядами Дирихле Лорана / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания (сб. научных трудов), Пензенский ГПУ им. Белинского, 2001, ч.1, С. 131 - 137.

64. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин A.B. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа //Мат. сб. 2001. Т. 192, JY2 11. С. 35 54.

65. Шишкин A.B. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. // Матем. сб. 200 .Т. , К0- . С. .

66. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.69 7071